การกระจายความเบ้และความโด่ง

การกระจายความเบ้ และความโดง่ นางสาวอนงค์ลกั ษณ์ อินทรน์ ยุ้

5.1 การกระจาย (Variation or Dispersion ) การวัดการกระจายของขอ้ มูล หมายถงึ การทีข่ ้อมูลในชุดใดชุดหน่ึงกระจายออกจาก กัน หรอื อย่หู ่างจากกันมากนอ้ ยเพยี งใดถ้าคะแนนของขอ้ มูลในชดุ ใดอยู่หา่ งกันนอ้ ย หรอื มขี นาดไลเ่ ล่ียกัน เราเรียกว่า ขอ้ มลู ชดุ น้นั มีการกระจายนอ้ ย แตถ่ า้ คะแนนในชุดใดอยหู่ ่าง กนั มากเราเรยี กวา่ ข้อมูลชดุ นัน้ มกี ารกระจายมาก การวดั การกระจายมี 4 ชนิดคอื 1. พิสยั (Range) 2. สว่ นเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation ) 3. สว่ นเบย่ี งเบนเฉล่ยี ( Mean Deviation or Average Deviation ) 4. สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ( Standard Deviation )

คือ ครึ่งหนง่ึ ของระยะจากควอร์ไทล์ที่ 3 ถึงควอร์ไทลท์ ี่ 1 ของคะแนนใน ชดุ หนง่ึ สว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็นการวดั การกระจาย เม่ือวัดแนวโนม้ เขา้ สู่ ส่วนกลางด้วยมธั ยฐานการคานวณหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลใ์ ช้สูตร Q.D. = Q3 − Q1 เม่อื Q.D = ส่วนเบ่ยี วเบนควอรไ์ ทล์ หรือ 2 Q3 = ควอรไ์ ทลท์ ่ี 3 นั่นคอื 3(n +1) Q.D. = P75 − P25 4 2 Q1 = ควอรไ์ ทลท์ ี่ 1 น่ันคือ n +1 4

คอื ความแตกต่างระหวา่ งคา่ สงั เกตทม่ี คี า่ มากทส่ี ดุ กบั ค่าสงั เกตทม่ี คี า่ น้อยทส่ี ดุ พสิ ยั เป็นการวดั การกระจายทง่ี า่ ยทส่ี ดุ ขอ้ เสยี ของพสิ ยั คอื ในการหา พสิ ยั นนั้ ใชเ้ ฉพาะคะแนนทส่ี งู สดุ ทต่ี ่าสดุ เทา่ นนั้ การหาพสิ ยั ทาไดโ้ ดยใชส้ ตู ร ตวั อย่างเช่น พสิ ัย = Xmax − Xmin ขอ้ มลู ชุดท1่ี : 3 8 15 20 16 ขอ้ มลู ชุดท2่ี : 18 28 14 36 10 พสิ ยั ของขอ้ มลู ชุดท่ี 1 = 20-3 = 17 พสิ ยั ของขอ้ มลู ชุดท่ี 2 = 36-10 = 26

ตวั อยา่ งท่ี 5.1 จากคะแนนท่กี าหนดใหจ้ งคานวณหาส่วนเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ Q1 ตรงกับตาแหน่งที่ 60 1 = 15 4 ภาพท่ี 1 ตารางคะแนน ความถี่ ความถ่สี ะสม ทม่ี า อนงคล์ ักษณ์ อินทรน์ ้ยุ ,2564

Q3 ตรงกบั ตาแหนง่ ท่ี 60 = 45 4 Q3 = Li + ( Fn − F1 ) ( F2 − F1 ) Q1 = Li + ( Fn − F1 ) = 49.5 +10 ( 45 − 36) ( F2 − F1 ) (50 − 36) = 29.5 +10 (15 − 7) = 49.5 +10(0.64) (19 − 7) = 55.93 = 29.5 +10(0.67) Q.D. = Q3 − Q1 = 36.17 2 Q3 ตรงกบั ตาแหนง่ ที่ 60 3 = 45 = 55.93 − 36.17 4 2 Q3 = Li + ( Fn − F1 ) = 19.76 = 9.88 ( F2 − F1 ) 2 = (45 − 36) (50 − 36) ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ = 9.88 49.5 +10 = 49.5 +10(0.64) = 55.93 Q.D. = Q3 − Q1 2 55.93 − 36.17

เป็นคา่ ทใ่ี ชว้ ดั การกระจายทต่ี ่างไปจากคา่ เฉลย่ี หรอื เป็นการวดั สว่ น เบย่ี งเบนเฉลย่ี ของขอ้ มลู แต่ละตวั จากคา่ เฉลย่ี จากเลขคณติ สว่ นเบ่ยี งเบนเฉลย่ี จะมคี า่ น้อย ถา้ ขอ้ มลู มคี า่ ใกลเ้ คยี งกบั คา่ เฉลย่ี งและสว่ นเบย่ี งเบนเฉลย่ี จะมคี า่ มาก ถา้ ขอ้ มลู มคี า่ ตา่ งไปจากคา่ เฉลย่ี

ก.1. กรณที ราบคา่ ขอ้ มลู ทกุ หน่วยในประชากร (เป็นการหา Popular Mean Deviation) ก.2. กรณีทราบคา่ ขอ้ มลู บางหน่วยในประชากร (เป็นการหา simple Mean Deviation)

ตวั อยา่ ง 5.2 จากการสอบถามเกย่ี วกบั ระยะเวลาทใ่ี ชใ้ นการเดนิ ทางจาก บา้ นไปยงั ทท่ี างาน (หน่วย : นาท)ี จานวน 10 คนไดผ้ ลดงั น้ี 60 90 180 120 60 90 45 120 30 45 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนเฉลย่ี ของระยะเวลาทใ่ี ชใ้ นการเดนิ ทาง วธิ ที า 1) หาคา่ ของมชั ฌมิ เลขคณติ จากสตู ร

i =1 = 60 + 90 +... + 45 10 n = 840 = 84 นาที X =  Xi 10 i =1 = 60 + 90 +... + 45 n 10 = 840 = 84 นาที  X1 − X 10 n M .D. = i=1  X1 − X n M .D. = i=1 = 60 − 84 + 90 − 84 + ... + 45 − 87 n 10 = 360 10 = 60 − 84 + 90 − 84 + ... + 45 − 87 10 = 36 นาที = 360 10

ข.1 กรณที ท่ี ราบคา่ ขอ้ มลู ทกุ หน่วยในประชากร โดยที่ Xi แทนค่าก่งึ กลางชัน้ ของขอ้ มลู ชดุ ท่ี i K แทนจานวนช้ัน fi แทนความถี่ของช้นั ที่ i N แทนขนาดของประชากร ข.2 กรณที ท่ี ราบคา่ ขอ้ มลู บางหน่วยประชากร โดยที่ Xi แทนคา่ ก่ึงกลางชน้ั ของขอ้ มลู ชัน้ ท่ี 1 K แทนจานวนชั้น fi แทนความถข่ี องชั้นที่ i N แทนขนาดของตัวอยา่ ง

ตวั อยา่ งท่ี 5.3 เครอ่ื งจกั รชนิดหน่ึงผลติ โลหะได้ 75 ชน้ิ ปรากฏผลดงั ตาราง ตอ่ ไปน้ี ภาพท่ี 2 ตารางแสดงน้าหนกั และจานวนของโลหะ ที่มา อนงค์ลกั ษณ์ อินทรน์ ุย้ ,2564

จงหาสว่ นเบย่ี งเบนเฉลยี่ ของน้าหนักโลหะ วิธีทา ภาพที่ 3 ตารางแสดงการหาส่วนเบ่ยี งเบนเฉลยี่ ของนา้ หนักโลหะ ท่มี า อนงค์ลักษณ์ อนิ ทรน์ ุย้ ,2564

จากสูตร n X = fi Xi i =1 = 120.75 75 = 1.61กรมั K  f1 Xi − X M .D. = i=1 n = 45.92 75 = 0.61 กรมั ดังนั้น ส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ยี ของน้าหนกั โลหะ คอื 0.61 กรมั

ในกรณที ขี่ อ้ มูลมี 2 ชดุ มีหนว่ ยการวัดต่างกนั หรอื มัชฌมิ เลขคณิตไม่เท่ากนั จะนาส่วน เบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกันเองโดยตรงไมไ่ ด้ จะเปรียบเทยี บโดยการใช้ สมั ประสทิ ธิ์แห่งการกระจาย ตามสตู ร V = 100 S.D. X เมอ่ื V = สมั ประสทิ ธ์แิ หง่ การกระจาย S.D. = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน X = มชั ฌมิ เลขคณติ

ตัวอย่างที่ 5.5 จากขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้คะแนนดบิ สูตร S.D. =  X 2 − ( X )2 N N2 แทนคา่ S.D. = 21161 −  457 2 10  10  = 2116.1− 2088.49 = 27.61 = 5.25 ภาพท่ี 4 ตารางแสดงข้อมูลดบิ เพื่อหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ทีม่ า อนงคล์ กั ษณ์ อนิ ทร์นยุ้ ,2564

หมายถงึ มชั ฌมิ เลขคณติ ของกาลังสองของผลตา่ งระหว่างขอ้ มลู แตล่ ะคา่ กบั มชั ฌมิ เลข คณติ ของขอ้ มลู ชดุ น้นั ดังสูตร Var(X ) =  2 = (X − X )2 สาหรับข้อมลู ทไี่ มไ่ ด้จดั หมวดหมู่ N เมื่อ Var(X ) =  2 = ความแปรปรวน X = ขอ้ มูล X = มชั ฌมิ เลขคณิต N = จานวนขอ้ มลู ทง้ั หมด และ Var(X ) =  2 =  f (X − X )2 สาหรบั ขอ้ มูลที่จัดหมวดหมู่ N

ขอ้ มูลทีม่ กี ารจัดแจงสมมาตรนั้น มธั ยฐาน และฐานนิยม จะมีค่าเท่ากนั หรือทับกับ พอดี ส่วนข้อมลู ท่มี กี ารแจกแจงทไี่ มส่ มมาตร คอื เบไ้ ปขา้ งใดขา้ งหนึง่ มัชฉมิ เลขคณติ มธั ย ฐาน และฐานนยิ มจะมีค่าตา่ งกัน ภาพท่ี 5 ความเบ้ ท่ีมา อนงคล์ ักษณ์ อินทร์นุ้ย,2564

เราจะใช้ความเบ้ความสัมพันธ์ โดยการหาผลต่างระหว่างมัชฌิมเลขคณิตกับฐาน นยิ ม แลว้ หารดว้ ยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตามสตู รของ Carl Person ดังนี้ ความเบ้ = X − Mo S.D. แต่ค่าฐานนิยมเป็นค่าโดยประมาณในขอ้ มูลการจดั หมวดหมู่ ซึ่งไม่ดเี ท่าคา่ มัธยฐาน จงึ นยิ มใชค้ า่ มัธยฐานแทน และจากความสัมพันธ์ วา่ ( )Sk = 3X − 3Mdn − 2X S.D. Sk = 3X − 3Mdn S.D. จะได้ Sk = 3( X )− Mdn S.D.

X = 44.2 , Mdn = 43.9 , Mo = 43.3 และ S.D. = 15.358 ความเบ้ = X − Mo S.D. 5.8 จงหาความเบข้ องคะแนนดงั น้ี ซ่งึ คะแนนชดุ น้คี านวณค่ามSชั kฌมิ=เล4ข4ค.ณ2−ิต4ม3ธั.3ยฐาน และส่วน 15.357 เบี่ยงเบน ดังนี้ = 0.0586 X = 44.2 , Mdn = 43.9 , Mo = 43.3 และ S.D. = 15.358 3( X − Mdn) ความเบ้ = X − Mo Sk = S.D. S.D. = 3(44.2 − 43.9) Sk = 44.2 − 43.3 15.357 15.357 = 0.0586 = 0.0586 Sk = 3( X − Mdn) การวัดความเบอ้ าจวดั ได้โดยการใชค้ วอร์ไทล์ หรือเปอร์เซนไทล์ ดงั สูตรตอ่ ไปนี้ S.D. Sk = (Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) = Q3 − 2Q2 + Q1 Q3 − Q1 Q3 − Q1 = 3(44.2 − 43.9) = ( ) ( )Sk P90 − P50 − P50 − P10 = P90 − 2P50 + P10 15.357 P90 − P10 P90 − P10 = 0.0586 การวัดความเบ้อาจวัดได้โดยการใช้ควอร์ไทล์ หรือเปอรเ์ ซนไทล์ ดังสูตรตอ่ ไปน้ี Sk = (Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) = Q3 − 2Q2 + Q1 Q3 − Q1 Q3 − Q1

( )Sk หรอื 3 = i=1 Xi − X 3 ( )N 3 หรือ 3 = i=1 Xi − X N 3 ( )K 3 ( )N 3 f Xi − X Sk หรือ 3 = i=1 Xi − X N Sk หรือ 3 = i=1 3 3 ( )N 3 ( )K 3 หรือ 3 = i=1 Xi − X หรอื f Xi − X N 3 3 = i=1 N 3 ( )K 3 เมอื่ 3= ความเบ้ f Xi − X K = จานวนชัน้ N Sk หรือ 3 = i=1 3 K3

หมายถงึ ลักษณะการแจกแจงปกติ หรือ โคง้ ปกติ เพราะการแจกแจงปกตจิ ะต้องมี ลักษณะ 2 ประการ คือ สว่ นโค้งตอ้ งมีลักษณะสมมาตรไม่เบ้ไปทางใดทางหน่ึงและมีความโด่ง พอดตี ามสัดสว่ นของมัน ถ้าเสน้ โค้งของการแจกแจงของขอ้ มูลชดุ ใดมีการแจกแจงสมมาตร แต่มคี วามโด่งมากหรอื น้อยเกินไป การแจกแจงนั้นจะไม่เรียกว่า การแจกแจงปกติ ความโดง่ จะมี 3 ลกั ษณะ ดังน้ี 1.การแจกแจงท่มี ีลักษณะเป็นเส้นโคง้ ปกติ เรียกว่า Mesokurtic 2.การแจกแจงท่มี ลี ักษณะแบนเรยี กวา่ Platykurtic 3.การแจกแจงท่มี ีลกั ษณะสูง เรียกวา่ Leptokurtic

4 ( )N 4 หรอื 4 = i=1 Xi − X N 4 ( )N 4 ( )K 4 Xi − X fi Xi − X 4 = i=1 4 = i=1 N N 4 4 ( )N 4  ( )K 4 Xi − X หรือ 4 = fi Xi − X หรอื 4 = i=1 N 4 i =1 N 4 เมอ่ื 4 = ความโด่ง ( )K 4 K = จานวนช้ัน fi Xi − X 4 = i=1 N

เพ่อื ความรวมเรวและสะดวกในการคานวณ สาหรบั ขอ้ มลู ที่จัดหมวดหมจู่ ึงใช้วิธีลัดดงั สูตรต่อไปน้ี      4=i4K fidi4  K fidi3  K  K fidi2  K 2  K 4   i=1 N  i=1 N   i=1 N     4  −4  fidi +6  fidi  − 3 fidi           i=1 i=1 i=1     N N N           หรือ 4  K fidi4  K fidi3   K fidi2    i=1 N  i=1 N   i=1 N   = i4  − 4d   + 6d 2   − 3d 4       4        K  fidi เม่อื d = i=1 N

ก ของผลรวมทส่ี าคั และใชก้ ันบ่อยมีดงั น้ี 1. ถา้ a เปน็ คา่ คงทใ่ี ด N  a = Na i =1 2. ถ้า a เป็นคา่ คงทใี่ ด NN  aXi = a Xi i=1 i=1    3. N N N N ( Xi + Yi + Zi ) = Xi + Yi + Zi i=1 i=1 i=1 i=1

ท่มี า https://www.youtube.com/watch?v=AC5U841fU2o