กฎของโคไซน์และไซน์

1 กฎของโคไซน์และไซน์ เนอื่ งจากฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติเป็นฟงั ก์ชันของจานวนจรงิ หรือของมุม สมบัตขิ องฟงั กช์ ันเหลา่ นี้อาจนามาใชใ้ นการหาความยาวด้านของด้านและขนาดของมมุ ของรปู หลายเหล่ียมได้ โดยเฉพาะรูปสามเหลีย่ มซ่งึ จะกลา่ วถึงความสมั พันธร์ ะหว่างดา้ นและมุมของรูปสามเหล่ียมและฟังก์ชันตรโี กณมิติดังน้ี กฎของโคไซน์ ในรปู สามเหล่ียม ABC ใด ๆ ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลาดับจะได้ a2  b2  c2  2bccos A หรือ cosA  b2  c2  a2 b2  a2  c2  2accosB 2bc c2  a2  b2  2abcosC หรือ cosB  a2  c2  b2 2ac หรือ cosC  a2  b2  c2 2ab กฎของโคไซน์นใี้ ชห้ าความยาวของดา้ นหรือขนาดของมุมของรูปสามเหลย่ี มเมื่อกาหนดความยาวของดา้ นบางดา้ นและขนาดของมุมบางมุมมาให้ ดงั ในตัวอยา่ งต่อไปนี้ตัวอย่างท่ี 1 ในรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ a, b และ c หนว่ ย เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม Bและ มุม C ตามลาดบั ถา้ a = 12, b = 7 และ Cˆ  40 จงหาคา่ ของ cวิธที า จากกฎของโคไซน์ c2  a2  b2  2abcosCจะได้ c2  122  72  2(12)(7)cos40  144  49  168(0.766)  193 128.688  64.312ดงั น้ัน c  64.312  8.02

2ตวั อยา่ งที่ 2 ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ให้ a, b และ c หนว่ ย เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A มุม Bและ มมุ C ตามลาดบั ถ้า b = 5, c = 9 และ Aˆ  110 จงหาคา่ ของ aวิธที า จากกฎของโคไซน์ a2  b2  c2  2bccosAจะได้ a2  52  92  2(5)(9)cos110  25  81  90 cos(90  20 )  106 90( sin 20 ) จาให้ดีนะเดก็ ๆ  106 90( 0.3420)  106 30.78  136.78ดงั น้นั a  136.78  11.70ตวั อย่างท่ี 3 ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ให้ a, b และ c หนว่ ย เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม Bและ มุม C ตามลาดับ ถ้า a = 12, b = 7 และ c = 8 จงหาค่าของ Bˆวธิ ที า จากกฎของโคไซน์ cosB  a2  c2  b2 จะได้ 2ac cosB  122  82  72 2(12)(8)  144  64  49 192  159 192  0.8281ดงั น้ัน Bˆ  34 (เปดิ ตาราง)

3 แบบฝกึ หดั ที่ 1 กฏของโคไซน์กาหนดใหร้ ปู สามเหลยี่ ม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A มุม B และ มมุ C ยาว a, b และ c หนว่ ยตามลาดบั จงใชก้ ฎของโคไซน์เพือ่ หาค่าต่อไปน้ี 1) จงหา a เมือ่ กาหนด Aˆ  63 , b = 25 และ c = 30 2) จงหา b เมอื่ กาหนด Bˆ  32 , a = 12 และ c = 14 3) จงหา c เมือ่ กาหนด Cˆ  126 , a = 38 และ b = 29 4) จงหา Bˆ เม่อื กาหนด a  5 , b 13 และ c  12 5) จงหา Cˆ เมื่อกาหนด a  5 , b 2 5 และ c  15

4 กฎของไซน์ ในรปู สามเหลย่ี ม ABC ใด ๆ ถา้ a, b และ c เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลาดบั จะได้ sin A  sin B  sin C a bcกฎของไซนน์ ใ้ี ช้หาความยาวของด้านหรือขนาดของมุมของรูปสามเหลีย่ ม ดงั ในตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ีตัวอยา่ งท่ี 4 รูปสามเหลย่ี ม ABC มี a, b และ c หนว่ ย เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A มุม B และ มุม Cตามลาดับ ถา้ a = 10 , Bˆ  42 และ Cˆ  51 จงหา bวธิ ีทา จากกฎของไซน์ sin A  sin B  sin C จาได้ม้ยั คะ่ คนเกง่ ของครู ผลบวกมุมภายในรูปสามเหล่ยี มใดๆ a bc เท่ากับ 180 องศา นนั่ คือ จะได้ sin A  sin B หรอื ab sin 87  sin 42 10 bb  10sin 42 sin 87b  10 (0.6691) 0.9986b  6.7

5ตวั อย่างที่ 5 รูปสามเหล่ียม ABC มี a, b และ c หน่วย เปน็ ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A มุม B และ มุม Cตามลาดับ ถ้า a = 16, Aˆ  30 และ c = 24 จงหาขนาดของมุม Cวิธที า จากกฎของไซน์ sin A  sin B  sin C a bc จะได้ sin A  sin C ac sin 30  sin C 16 24 sin C  24sin 30 16 sin C  24  0.5 16 sin C  0.75 Cˆ อาจเป็นมุมป้านเน่ืองจาก sinC  0 ฉะนั้น Cˆ อาจเป็นมุมแหลม ( 0  Cˆ  90 ) หรือ(90  Cˆ  180 )จะได้ Cˆ  4840หรือ Cˆ  180  4840  13120แบบฝึกหัดท2ี่ กฎของไซน์กาหนดใหร้ ปู สามเหลีย่ ม ABC มีด้านตรงขา้ มมุม A มมุ B และ มุม C ยาว a, b และ c หนว่ ยตามลาดับ จงใชก้ ฎของไซน์เพื่อหาค่าต่อไปน้ี 1) จงหา c เมอื่ กาหนดให้ Aˆ  30 , Cˆ  39 และ a = 10 2) จงหา b เมอ่ื กาหนดให้ Aˆ  49 , Cˆ  71 และ c = 5 3) จงหา a เมอ่ื กาหนดให้ Aˆ  116 , Cˆ  12 และ b = 14 4) จงหาความยาวเสน้ รอบรปู ของรูปสามเหล่ยี มหนา้ จวั่ ซึ่งมฐี านยาว 60 หน่วย และขนาดของ มุมยอดเป็น 30 องศา

6การหาพนื้ ท่ขี องรปู สามเหล่ยี มใดๆในรปู สามเหล่ียม ABC ใด ๆ ถ้า a, b และ c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมA, B และ C ตามลาดับ จะได้พน้ื ทรี่ ปู สามเหลยี่ ม ABC  1 b csin A 2  1 a csin B 2  1 a bsin C 2 แบบฝึกหดั ที่ 3 การหาพื้นท่ขี องรปู สามเหล่ยี มใดๆจงหาพ้ืนท่ีของรปู สามเหลย่ี ม ABC จากสิ่งท่ีกาหนดใหต้ ่อไปนี้ 1) a = 15 , b = 20 และ Cˆ  72 2) 2) c = 5.5 , b = 80 และ Aˆ  127