«Квант» №8, 2022

Если у вас сломалась головоломка «Змейка» – одно из творений знамени- того изобретателя Эрне Рубика, – то вместо того, чтобы чинить, можно сделать из нее новую головоломку. «Змейка» состоит из 24 равных треу- гольных призм, шарнирно соединен- ных между собой. Если убрать все шарниры, то змейка распадется на отдельные призмы, каждая из кото- рых является половиной кубика, будем считать этот кубик единичным. Шестнадцать таких половинок и станут деталями нашей новой головоломки, цель которой — сложить куб 2×2×2. Но просто так складывать куб из полукубиков неинтересно, поэтому усложним себе задачу, склеив их парами, как показано на фотографии. Чтобы было удобнее решать задачу, можно сделать лоток в форме трехгранного угла – он послужит основой для куба, который вы собираете. Для этого надо вырезать картонный квадрат 4×4, согнуть его по средним линиям, сделать полу- разрез и склеить два квадрата 2×2 между собой. Задача не простая, сходу решить ее скорее всего не получится, но если проявить настойчивость, то успех обязательно придет. Удачи! Н.Авилов











































ÊÂÀÍT  2022/¹8 íûõ ìíîæåñòâ, ïóñòü èõ íîìåðà X  Y. âîâàòü òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî õîòÿ Ëàäüå ïîíàäîáèëñÿ õîòÿ áû n – 1 õîä, áû 150 èç íèõ íàçâàëè öâåò âåðíî? ÷òîáû äîáðàòüñÿ îò X äî ñòîðîíû BC, õîòÿ áû îäèí õîä âäîëü BC è åùå íå ìåíåå n – 1 Îòâåò: ìîãóò. õîäà, ÷òîáû äîéòè äî Y. Ïîýòîìó Ïîñêîëüêó 300  0  1  2  ...  24, îäèí Y – X 2n – 1. èç öâåòîâ íå èñïîëüçîâàí, äðóãîé èñïîëü- çîâàí îäèí ðàç, ..., ïîñëåäíèé – 24 ðàçà. Á.Ôðåíêèí Çàíóìåðóåì öâåòà ÷èñëàìè îò 0 äî 24 è Ì2700. Äàí ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí ñòå- ðàññìîòðèì ïåðåñòàíîâêó ñ0,ñ1, ...,ñ24  ïåíè 2022 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. ÷èñåë 0,1,...,24, ãäå ñi – íîìåð öâåòà, Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êîðíåé îí ìîæåò êîòîðûé âñòðå÷àåòñÿ i ðàç. Êàæäûé ìóä- èìåòü íà èíòåðâàëå 0;1 ? ðåö, íà êîòîðîì íàäåò êîëïàê öâåòà ñi, çíàåò ïåðåñòàíîâêó ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû Îòâåò: 2021 êîðåíü. ñi íà ñi1 (øàïêè îáîèõ öâåòîâ îí âèäèò â Îöåíêà. Åñëè ìíîãî÷ëåí èìååò 2022 êîð- êîëè÷åñòâå i – 1). Ýòè äâå ïåðåñòàíîâêè íÿ, òî èõ ïðîèçâåäåíèå – öåëîå ÷èñëî, îòëè÷àþòñÿ ÷åòíîñòüþ. ïîýòîìó õîòÿ áû îäèí êîðåíü ðàâåí íóëþ Èçíà÷àëüíî ìóäðåöû äåëÿòñÿ íà äâå ðàâ- èëè ïî ìîäóëþ íå ìåíüøå 1. íûå ãðóïïû: «÷åòíûõ» è «íå÷åòíûõ». Ïðèìåð. Âûáåðåì ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà «×åòíûå» ìóäðåöû íàçûâàþò ñâîé öâåò òàê, ÷òîáû ïåðåñòàíîâêà ïîëó÷èëàñü ÷åò- 0  b0  a1  b1  a2  ...  a2021  b2021  1. íîé, à «íå÷åòíûå» – ÷òîáû îíà ïîëó÷èëàñü íå÷åòíîé.  ðåçóëüòàòå ðîâíî ïîëîâèíà Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí ìóäðåöîâ âîññòàíîâèò ïðàâèëüíóþ ïåðå- ñòàíîâêó, ò.å. ïðàâèëüíî íàçîâåò ñâîé öâåò. Q x  x – a1x – a2 ...x – a2021 ; À.Ãðèáàëêî åãî êîýôôèöèåíòû ðàöèîíàëüíû, ïóñòü k – ïðîèçâåäåíèå èõ çíàìåíàòåëåé. Çíàêè Ô2705. Òðè ÷åðåïàõè, äâèæóùèåñÿ ñ ïî- ÷èñåë Q b0 , Q b1, ..., Q b2021 ÷åðåäóþò- ñòîÿííûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè è âñå ñÿ, ïóñòü m – ìèíèìóì èõ ìîäóëåé. Âûáå- âðåìÿ ïîääåðæèâàþùèå êóðñ îäíà íà äðó- ðåì íàòóðàëüíîå n, êîòîðîå êðàòíî k è áîëüøå 1 m. Ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí ãóþ, â ìîìåíò çàïóñêà ñåêóíäîìåðà íàõî- P x  x2022  nQ x – èñêîìûé. Äåéñòâè- äèëèñü â âåðøèíàõ ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿ- òåëüíî, âñå åãî êîýôôèöèåíòû öåëûå; çíà- ìîóãîëüíîãî òðåó- êè ÷èñåë P bi  è Q bi  ñîâïàäàþò, ïîýòîìó ãîëüíèêà ABC ñ êà- P x èìååò êîðåíü íà êàæäîì èç èíòåðâà- ëîâ bi;bi1 ïðè i îò 0 äî 2020, ò.å. 2021 òåòàìè äëèíîé l êîðåíü íà èíòåðâàëå 0;1. (ðèñ. 1). Ñêîðîñòü À.Êàíåëü-Áåëîâ ïåðâîé ÷åðåïàõè ðàâ- Ì2701. Ñóëòàí ñîáðàë 300 ïðèäâîðíûõ ìóäðåöîâ è ïðåäëîæèë èì èñïûòàíèå. Îí íà v1  v, ãäå v – èç- ñîîáùèë èì ñïèñîê èç 25 öâåòîâ è ñêàçàë, âåñòíàÿ âåëè÷èíà, à ÷òî íà èñïûòàíèè êàæäîìó ìóäðåöó íà- äåíóò íà ãîëîâó êîëïàê îäíîãî èç ýòèõ ñêîðîñòè âòîðîé è öâåòîâ, ïðè÷åì åñëè äëÿ êàæäîãî öâåòà íàïèñàòü êîëè÷åñòâî íàäåòûõ êîëïàêîâ òðåòüåé ÷åðåïàõ v2 ýòîãî öâåòà, òî âñå ÷èñëà áóäóò ðàçëè÷- è v3 òàêîâû, ÷òî â íû. Êàæäûé ìóäðåö óâèäèò, êàêîé êîë- ïðîöåññå èõ äâèæå- Ðèñ. 1 ïàê íà êîì íàäåò, íî ñâîé êîëïàê íå óâèäèò. Çàòåì îäíîâðåìåííî (ïî ñèãíà- íèÿ óãëû â òðåóãîëüíèêå, îáðàçîâàííîì ëó) êàæäûé äîëæåí áóäåò íàçâàòü ïðåä- ïîëàãàåìûé öâåò ñâîåãî êîëïàêà. Ìîãóò ÷åðåïàõàìè, íå èçìåíÿþòñÿ. Íàéäèòå: ëè ìóäðåöû çàðàíåå äîãîâîðèòüñÿ äåéñò- 1) âðåìÿ t, ÷åðåç êîòîðîå ÷åðåïàõè âñòðå- òÿòñÿ; 2) ìîäóëè ñêîðîñòåé v2 è v3 âòîðîé è òðåòüåé ÷åðåïàõ; 3) óñêîðåíèÿ ÷åðåïàõ â íà÷àëüíûé ìî- ìåíò âðåìåíè;













































ÎËÈÌÏÈÀÄÛ \"# 4. ×åðåç øàð (14 áàëëîâ) òî÷åê ïðè ðàçìåðå äëèííîé ñòîðîíû ôîòî-  ýòîé çàäà÷å ïðåäëàãàåòñÿ ïðîàíàëèçèðî- ãðàôèè 3000 òî÷åê. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì âàòü èçîáðàæåíèÿ ïëîñêèõ ïðåäìåòîâ â ïðî- äàííûì ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F îáúåêòèâà çðà÷íîì øàðå ðàäèóñîì R, èçãîòîâëåííîì èç ôîòîàïïàðàòà. Ó÷òèòå, ÷òî F s, 1 äþéì ñòåêëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n  3. Âî 2,54 ñì. 2 Ï.Êðþêîâ âñåõ ÷àñòÿõ çàäà÷è ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíèþ çðåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ïðåä- 5. Àíàëîãèè (14 áàëëîâ) ìåòà, à öåíòð øàðà – ëåæàùèì íà ëèíèè A.  âàêóóìå, â îáëàñòè, ãäå íåò çàðÿäîâ è çðåíèÿ, êàê ïîêàçàíî íà ñõåìàòè÷íîì ðèñóí- òîêîâ, ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ îïè- êå 22. Ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå ñûâàþòñÿ îäèíàêîâûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíå- Ðèñ. 22 íèÿìè (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêîâ è ïîñòîÿííûõ èçîáðàæåíèÿ, êîòîðûå ôîðìèðóþòñÿ ïàðà- ìíîæèòåëåé), ïîýòîìó êàðòèíû ëèíèé ýòèõ êñèàëüíûìè (ïðèîñåâûìè) ëó÷àìè. Ëèíåé- ïîëåé âäàëè îò èñòî÷íèêîâ î÷åíü ïîõîæè. íûì óâåëè÷åíèåì  íàçîâåì îòíîøåíèå ïåð- Íàïðèìåð, íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ òî÷å÷íîãî ïåíäèêóëÿðíîãî ëèíèè çðåíèÿ ðàçìåðà èçîá- ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ (p  ql – äèïîëüíûé ðàæåíèÿ h ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ðàçìåðó ìîìåíò äèïîëÿ) â òî÷êå ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r ïðåäìåòà h. äàåòñÿ ôîðìóëîé A.  øàðå íàáëþäàþò èçîáðàæåíèå óäà- E r  1  3p rr  p , ëåííîãî ïðåäìåòà ðàçìåðîì h. Ðàññòîÿíèå îò 4 0  r3  øàðà äî ïðåäìåòà ðàâíî L, ïðè÷åì L R,  r5 L h. Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòü  L. êîòîðàÿ ïðåâðàùàåòñÿ â ôîðìóëó äëÿ èíäóê- B. Øàð ïðèñëîíèëè ê ïîâåðõíîñòè ýêðàíà öèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ âèòêà ñ òîêîì (ìàãíèò- êîìïüþòåðíîãî ìîíèòîðà. Ñ êàêèì óâåëè÷å- íèåì  ìîæíî âèäåòü áóêâû (è îòäåëüíûå íîãî äèïîëÿ) ïðè çàìåíå E B, 1 0 , ïèêñåëè) íà ýêðàíå â ýòîì ñëó÷àå? 4 0 4 C. Íà ôðàãìåíòå ôîòîãðàôèè ýêðàíà êîì- p , ãäå  ISn – ìàãíèòíûé ìîìåíò ïüþòåðíîãî ìîíèòîðà, ê êîòîðîìó ïðèæàò ñòåêëÿííûé øàð, íàáëþäàåòñÿ óâåëè÷åííîå âèòêà ïëîùàäüþ S ñ òîêîì I, n–âåêòîð â øàðå èçîáðàæåíèå ïèêñåëåé (ðèñ. 23). åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ïëîñêîñòè âèòêà. Ðèñ. 23 Ðàññìîòðèì ñîëåíîèä ñ êîëè÷åñòâîì âèò- êîâ N (N 1) äëèíîé L, íàìîòàííûé äîñòà- Ïóñòü øàð ðàäèóñîì R  2 ñì ïðèæàëè ê òî÷íî òîíêèì ïðîâîäîì âèòîê ê âèòêó íà ýêðàíó ìîíèòîðà è ñôîòîãðàôèðîâàëè ñ ðàñ- ïîëûé öèëèíäðè÷åñêèé íåìàãíèòíûé ñåð- ñòîÿíèÿ s  1 ì, ïðè ýòîì öåíòð øàðà íàõî- äå÷íèê ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R (R L). Ïî äèëñÿ âáëèçè îïòè÷åñêîé îñè îáúåêòèâà, âèòêàì ñîëåíîèäà òå÷åò òîê I. ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè ýêðàíà. Ðàçðå- øåíèå ìîíèòîðà ñîñòàâëÿëî 2560 1440 ïèê- 1) Íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò âèòêîâ ñîëå- ñåëåé, à äëèíà äèàãîíàëè ýêðàíà 32 äþéìà. íîèäà åãî ïîëå ýêâèâàëåíòíî ïîëþ äâóõ Ðàçìåðû ñâåòî÷óâñòâèòåëüíîé ìàòðèöû ôî- ôèêòèâíûõ ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ, ðàñïîëî- òîàïïàðàòà áûëè ðàâíû 23,5 15,6 ìì. Îêà- æåííûõ íà òîðöàõ ñîëåíîèäà. Íàéäèòå ìî- çàëîñü, ÷òî èçîáðàæåíèå â øàðå ãîðèçîí- äóëü ìàãíèòíîãî çàðÿäà QM ëþáîãî èç òîð- òàëüíîãî îòðåçêà ýêðàíà èç 20 ïèêñåëåé öîâ ñîëåíîèäà. çàíèìàåò íà ôîòîãðàôèè ÷óòü áîëüøå 100 2) ×åìó ðàâíà èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà â òî÷êå A (ðèñ. 24) íà ðàññòîÿíèè b (b R, b L) îò åãî îñè? 3) Íàéäèòå èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà â òî÷êå, ëåæàùåé âíå ñîëåíîèäà Ðèñ. 24