Квант

МАРТ 2019Ю №3 НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА В номере: УЧРЕДИТЕЛИ 2 Премия за лазерные инструменты. Российская академия наук Л.Белопухов Математический институт 10 Прямоугольник из квадратов. Ф.Шаров им. В.А.Стеклова РАН ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН 15 Задачи М2550–М2553, Ф2557–Ф2560 16 Решения задач М2538–М2541, Ф2545–Ф2548 ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ А.А.Гайфуллин 23 О длине траектории баллистического РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ движения. Ф.Григорьев Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов, М.Н.Бондаров, Ю.М.Брук, «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ А.А.Варламов, С.Д.Варламов, 25 Задачи А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, 26 Левая, правая – где сторона? С.Дворянинов Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко, КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА В.Н.Дубровский, А.А.Заславский, А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников 28 Задачи 25–28 (заместитель главного редактора), С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.В.Произволов, В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский, 29 Еще раз о полуправильных многогранниках. Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, С.Кузнецов А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, К А Л Е Й Д О С К О П «КВАНТА » А.В.Устинов, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора) 32 Физика+техника (материалы) РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник, 34 Исследуем сферу ЭКСПО-2017. Б.Мукушев, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, В.В.Козлов, А.Турдин Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, А.Л.Семенов, ОЛИМПИАДЫ С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов 40 Региональный этап XLV Всероссийской РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА олимпиады школьников по математике ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР 42 Региональный этап LIII Всероссийской И.К.Кикоин олимпиады школьников по физике ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА 48 Олимпиада «Ломоносов». Физика А.Н.Колмогоров 54 Ответы, указания, решения Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, Нам пишут (53) В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Вниманию наших читателей (14, 28) Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, НА ОБЛОЖКЕ Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, I Иллюстрация к статье Л.Белопухова И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, II Коллекция головоломок III Шахматная страничка Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер IV Прогулки с физикой

Премия за лазерные инструменты Л.БЕЛОПУХОВ НОБЕЛЕВСКАЯ ПРЕМИЯ ПО ФИЗИКЕ стижением науки ХХ века. Оно блиста- 2018 года – это уже пятая премия, тельно утвердило квантовые представле- присужденная за изобретение и усовер- ния об излучении, перевернувшие класси- шенствование лазеров и их применение в ческую физику. Недаром теоретическое разных областях науки. обоснование лазеров было сделано вели- ким Эйнштейном еще в 1917 году – только Первая премия была присуждена «за что миновало столетие этого события. Сло- фундаментальные исследования в области ва «лазер» и «мазер» еще не родились квантовой электроники, которые привели тогда. Но то, что установил Эйнштейн, к созданию генераторов и усилителей но- «сидит» в этих названиях – это третья и вого типа – мазеров и лазеров». Лауреата- четвертая буквы з и е. А в латинице это s ми этой премии стали российские (советс- и e, первые буквы термина stimulated кие) физики А.М.Прохоров и Н.Г.Басов, emission, введенного в квантовую физику разделившие ее с американским физиком Эйнштейном. Ч.Таунсом. С тех пор слово «лазер» стало общеупотребительным названием очень Им было установлено, что коллективы узенького светового луча самого различно- возбужденных частиц (прежде всего, ато- го цвета. А само устройство источника мов и молекул), стремясь перейти в нор- этого луча уже мало кому интересно. Точ- мальное (с минимально возможной энер- но так же почти всем пользователям ком- гией) состояние, излучают двумя способа- пьютеров и всевозможных гаджетов со- ми. Один из них – когда возбужденная всем неинтересно, что там у них внутри и частица излучает независимо от наличия как они работают. таких же соседних частиц. Научно выра- жаясь, плотность вероятности возвраще- А между тем изобретение лазеров (и ния ее в нормальное состояние (т.е. веро- мазеров) стало не только эпохальным до- ятность в единицу времени) зависит толь- ко от свойств самой частицы (ее электрон- DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190301

ПРЕМИЯ ЗА ЛАЗЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ 3 Артур Эшкин, Жерар Муру и Донна Стрикленд числа «нормальных» частиц, такое состояние называется инверсным, ной оболочки). Такое излучение Эйнш- то главным становится вынужден- тейн назвал спонтанным (самопроизволь- ное излучение. ным). Колебания электрического и маг- нитного поля в каждом кванте этого излу- Можно проиллюстрировать эту чения совершенно не согласованы у раз- ситуацию таким «житейским» при- ных частиц ни по фазе, ни по направле- мером. Когда в большой ярусной нию. Физики называют такие источники аудитории число студентов меньше излучения некогерентными. числа мест, то характер заполне- ния этой аудитории может быть Но для того чтобы объяснить планковс- различным. Нормальное заполне- кий закон теплового излучения и его гипо- ние (распределение по ярусам) – тезу о квантованности энергии колеблю- это большая плотность студентов в щихся частиц вещества, необходимо пред- нижних ярусах и меньшая в верхних. Но положить, как заявил Эйнштейн, наличие допустим, что прошел слух о замене при- еще одного вида излучения, плотность вычного студентам профессора, хорошо вероятности которого пропорциональна читающего лекции и при этом обращающе- плотности энергии уже имеющегося излу- го внимание на усердие студентов, неизве- чения такой же частоты, как бы заставля- стным ассистентом. И студенты тогда друж- ющего, вынуждающего частицу излучить. но занимают верхние ряды в аудитории, Эту часть излучения Эйнштейн назвал собираясь готовиться к очередной конт- стимулированным (вынужденным) излу- рольной работе или просто отдохнуть со чением. У всех квантов такого излучения своим смартфоном. Это – инверсное, не характер колебания полей совершенно нормальное распределение студентов. Но одинаков – оно согласованное, когерент- вдруг слух не оправдался, и в аудиторию ное. входит их профессор. Тогда студенты на- чинают быстро перемещаться вниз. Это В обычном (равновесном) состоянии перемещение стимулировано первыми пе- вещества доля такого согласованного из- ремещающимися студентами и, глядя друг лучения мала, основное излучение – само- на друга (согласованно), они восстанавли- произвольное. При этом большое число вают нормальное распределение по рядам. возбужденных частиц успевает вернуться Эйнштейн не развивал идею о том, как в нормальное состояние и число частиц в можно получить инверсное состояние ве- возбужденном состоянии всегда меньше щества. В то время его больше всего инте- числа «нормальных» частиц. Такое рас- ресовала теория тяготения (общая теория пределение частиц по энергиям было уста- относительности), и он готовился к ее новлено еще Больцманом как следствие экспериментальному подтверждению. законов термодинамики в применении к В 1939 году советский физик В.А.Фаб- системам частиц и поэтому носит его имя. рикант на опыте показал наличие неболь- Но если число возбужденных частиц по шой примеси вынужденного излучения при каким-то причинам становится больше обычном равновесном состоянии вещества. В 1951 году он разработал принцип усиле- ния вынужденного излучения средой с инверсной заселенностью энергетических состояний (уровней). Это был принцип двух параллельных зеркал, между кото- рыми вынужденное излучение лавинно усиливается в направлении, перпендику- лярном плоскостям этих зеркал. В этом и заключается смысл слова «усилитель» в названиях лазера и мазера (вторая буква а

4 КВАНT $ 2019/№3 названий соответствует английскому 103  104 МПа . Для решения технологи- acceleration). Лазерный луч вырывается ческих задач этого было уже достаточно. из среды между зеркалами за счет полу- Появилось много лабораторий и фирм, прозрачности одного из зеркал или с помо- создающих промышленные лазеры. Для щью других устройств. применения лазеров в исследовании сверх- быстрых процессов, протекающих в ато- Заслуга Таунса, Басова и Прохорова мах, молекулах, твердых телах и биологи- состоит в том, что они разработали методы ческих объектах, более важным, чем мощ- создания среды с инверсной заселеннос- ность луча, была как можно меньшая тью уровней. Басов и Прохоров осуще- временнбя длительность (и, соответствен- ствили способ усиления микроволнового но, малая протяженность в пространстве) радио-излучения и назвали эти устройства лазерного импульса. Но это неизбежно мазерами (первая буква м названия – от приводило к увеличению мощности до microwave). Только с помощью мазеров разрушающих значений. Казалось, что стало возможным осуществление связи выхода нет. между земными и искусственно созданны- ми космическими источниками и приемни- Но в 1985 году произошел прорыв. Же- ками остронаправленного излучения. Та- рар Муру (Gйrard Mourou) и его ученица унс и его коллеги сосредоточили свои Донна Стрикленд (Donna Strickland) изоб- усилия на разработке усилителей (генера- рели технологию создания чирпированно- торов) излучения в оптическом диапазоне го импульса (chirped pulse amplification). (первая буква л в слове «лазер» соответ- ствует английскому light). Был создан так Усиление чирпированных импульсов называемый рубиновый трехуровневый лазер, в котором инверсное состояние за- Проще всего переводить слово «чирпиро- селенности достигалось за счет безизлуча- вание» как чириканье, что-то напоминаю- тельных переходов между возбужденны- щее птичий щебет. Чирпом еще в 1960 году ми атомами алюминия и примеси к нему – назвали частотную модуляцию радиоволн, хрома. Необходимая поддержка возбуж- примененную для усиления мощности ра- денных состояний атомов производилась даров. Однако перенос этой идеи от радио- за счет облучения прозрачного кристалла волн на оптический диапазон с частотами, рубина достаточно мощной спиральной в десятки тысяч раз большими, требовал лампой с широким диапазоном излучения. совсем другого решения и в теоретическом Такой лазер мог работать непрерывно. плане и в практическом. Очень быстро стало ясно, что лазер Вначале импульс вынужденного лазер- может стать исключительно мощным и ного излучения растягивается в тысячи раз точным техническим инструментом. Кон- по длине и во времени. Соответственно, центрация энергии в узком лазерном луче мощность излучения уменьшается в тыся- создает сильное световое давление. Преж- чи раз. Такой импульс можно впустить в де всего это могло быть использовано в лазер, где его мощность будет увеличена прецизионной обработке металлов – рез- до предельно допустимых конструкцией ке, сварке и тому подобное. Но для этого лазера пределов. После этого луч должен нужно было повышать мощность луча. поступить в специальное устройство, где Препятствиями этому у непрерывных ла- зеров стали перегрев излучающей среды и разрушение световым давлением отража- ющих зеркал. Поэтому мощные лазеры принципиально могли быть только им- пульсными. В импульсных лазерах пределом их мощ- ности стало 103 Вт, что давало давление, оказываемое лучом на преграду, порядка

ПРЕМИЯ ЗА ЛАЗЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ 5 частота будет увеличена до прежних высо- не допускало их применения в научных ких (световых) значений. Это устройство лабораториях. И Муру и Стрикленд, уже называется компрессором, поскольку им- после опубликования своей статьи в 1985 пульс в нем сжимается. При этом, есте- году, заменяют дисперсию дифракцией. ственно, мощность в импульсе возрастет. Обычно дифракционная решетка расши- Но это уже не будет опасно, поскольку в ряет импульс, а особым способом изготов- устройстве импульс будет находиться очень ленная решетка может, наоборот, сужать короткое время и не успеет произвести его, служить компрессором. Сжатие им- нагревательное и разрушительное действие. пульса во времени удалось сделать до величины 1018 c (аттосекунды). Вот только как растягивать и сжимать импульс? Первой идеей было использо- Так родилась «аттосекундная физика» вать дисперсию. Ведь это только прибли- изучения поведения отдельных электро- женно можно считать лазерный луч моно- нов в атомах, молекулах и в твердом теле. хроматическим. На самом деле даже при Высокая мощность излучения и, соответ- вынужденном излучении всегда существу- ственно, сверхвысокое световое давление ет некий набор длин волн (естественная сделали такие лазеры инструментом со- ширина спектральной линии). В кванто- здания (пока в микромасштабах) экстре- вом представлении это означает, что кван- мальных плазменных состояний вещества ты вынужденного излучения все-таки чуть- огромной плотности, когда, например, чуть разные по энергии. Следовательно, диэлектрики становятся проводниками. дисперсия должна иметь место. В веще- Такая плазма осуществляется во Вселен- стве импульс излучения будет расширять- ной внутри звезд и других космических ся по длине и во времени. объектов. Появилась возможность воспро- В качестве дисперсионных устройств изводить космические состояния в земной Муру и Стрикленд вначале использовали лаборатории. оптические волокна как с нормальной, так «Космическое» значение таких лазеров и с аномальной дисперсией, которые мог- проявилось и в задаче очистки околозем- ли как удлинять, так и укорачивать им- ных спутниковых орбит от космического пульс. Но длина этого волокна, способно- мусора. Мощный лазер может сбить мусор го на необходимые растяжения и сжатия, с орбиты и заставить его двигаться к в первых опытах достигала полутора ки- земной поверхности, где он будет благопо- лометров. Получить такой оптический «пу- лучно сгорать. тепровод» как раз стало возможным бла- Мощные лазеры используются и для годаря замечательным работам англо-аме- создания ускорителей заряженных частиц рикано-китайского инженера- физика Чарльза Као (1/2 Но- белевской премии по физике 2009 года «за новаторские дос- тижения в области передачи света по волокнам для оптичес- кой связи»), в прошлом году скончавшегося в 85-летнем воз- расте. Результатом его работ стало появление оптических волокон, способных передавать информацию почти без затуха- ния на десятки километров. Хотя принципиально задача чирпирования световых импуль- Жерар Муру, Александр Сергеев и Тоси Эбисудзаки на сов была решена, использова- фоне спутника с мощным лазером для уборки космическо- ние приборов таких габаритов го мусора

6 КВАНT $ 2019/№3 нового типа – так называемых драйверных приближении можно считать электричес- ускорителей. Мощный короткий лазер- кими диполями, действует боковая (гради- ный импульс дифференцирует плазму на ентная) сила, перемещающая их к оси более легкую (электронную) и более тяже- луча. Она прижимает частицы к оси, где лую (ионную) части. Между ними возни- они находятся в равновесном положении. кает электрическое поле с огромной напря- Особенно устойчиво это положение, когда женностью ∼ 1021 В м , даже большей, чем луч лазера в этом месте сужается, фокуси- внутри атома. Это поле представляет со- руется сильной линзой. Отрезок луча пред- бой как бы хвост, кильватер самого им- ставляется уже не цилиндром, а усечен- пульса. Уже созданы ускорители электро- ным конусом. В этом случае равнодейству- нов до энергии 4,2 ГэВ длиной всего лишь ющая градиентных сил имеет осевое на- в 15 см, работающие по этому принципу. правление и может уравновесить давление А в качестве режущего инструмента как в света, оказываемое лучом на поверхность технологиях, так и в медицине (хирургии) микрообъекта. Возникает идеальная ла- сегодня применяются только аттосекунд- зерная ловушка с устойчивым положени- ные лазеры. Понятно и оборонное значе- ем объекта в одной точке. ние такого лазера. Имея в распоряжении самые первые Теперь стало ясно огромное значение маломощные лазеры, Эшкин исследовал изобретения Муру и Стрикленд, увенчан- поведение объектов, где легко можно было ное Нобелевской премией 2018 года «за осуществить ловушки. Это были пласт- метод генерации высокоинтенсивных ульт- массовые шарики микронных размеров. ракоротких оптических импульсов». Точ- С увеличением мощности лазеров он ис- нее, это была только половина Нобелевс- следовал поведение все более мелких ча- кой премии. Другая половина была при- стиц. Вначале он совсем не думал об суждена Артуру Эшкину (Arthur Ashkin) исследовании биологических объектов. Пе- «за изобретение оптических пинцетов и их рейти к ним помог случай. В лаборато- применение в биологических системах». рии росли комнатные цветы, листья ко- Она стала второй премией, присужденной торых были поражены мозаичным виру- за необычное применение давления света, сом. Он часто поражает листья и в под- оказываемого лазерным лучом. московных садах, особенно листья чер- ной смородины и флоксов. На листьях После создания лазеров Эшкин стал за- появляется как бы налет мельчайшей пуд- ниматься воздействием лазерного луча на ры различных цветов. Эшкин изучил этот микроскопические объекты, где не нужно порошок под микроскопом и убедился, большой мощности излучения. Вскоре он что вирусные шарики имели размер все- обнаружил необычное на первый взгляд го лишь несколько нанометров. Возмож- явление – давление света смещало микро- но, это были самые маленькие микрообъ- частицы не по направлению луча, а в екты, которые Эшкин мог иметь в это боковом направлении к середине этого время. Но они были настолько малы, что луча. Каким бы узким с макроскопических микроскопы не могли заметить их пере- позиций ни был лазерный луч, дифракция движение в лазерном луче. В какой-то обязательно приводит к перераспределе- момент времени на вирусы стали напа- нию интенсивности излучения по ширине дать более крупные биологические объек- луча. По его оси образуется нечто вроде ты – бактерии, питавшиеся этими виру- центрального максимума, а интенсивность сами. Вот их перемещение Эшкин и стал по краям луча в несколько десятков раз изучать. Правда для этого ему пришлось меньше. Это немного напоминает картину заменить лазер с зеленой длиной волны дифракции света на щели. Возникает гра- на инфракрасный лазер. Зеленый свет диент напряженности электрического поля, губительно действовал на бактерии, а вот направленный от боковой поверхности луча в инфракрасном освещении они превос- к его оси. На частицы вещества или даже ходно себя чувствовали и, находясь дли- на отдельные молекулы, которые в первом

ПРЕМИЯ ЗА ЛАЗЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ 7 жение двух атомов щелоч- ных металлов и их превра- щение в молекулу. Это была, так сказать, докумен- тальная киносъемка ин- тимнейшего атомно-молеку- лярного процесса перерож- дения электронных атомных орбиталей в молекулярную орбиталь. Получило распростране- Использование оптического пинцета для изучения структуры ние и голографическое при- РНК-полимеразы менение пинцета. Одновре- тельное время в ловушках, даже были менно используя тысячи лазерных лову- способны к размножению. шек, в медицине стало возможным создать Лазерная ловушка Эшкина скоро стала 3d-зображение группы клеток и отделить называться оптическим пинцетом (optical здоровые клетки от инфицированных, на- twizers), поскольку микрообъекты можно пример для получения более эффектив- было перемещать в пространстве вместе с ных и безопасных лекарств. перемещением лазерного луча. В 1986 году И в заключение несколько слов о лауре- пинцет был окончательно сконструирован атах 2018 года. как установка, включающая лазер и мик- Артур Эшкин родился в 1922 году в роскопы. Сегодня трудно представить се- Нью-Йорке в семье одесского эмигранта рьезную биологическую лабораторию без Исидора Ашкенази, дантиста по профес- оптического пинцета. За прошедшие 30 сии, покинувшего Россию в 1909 году. лет он стал, конечно, более усовершен- Артур Эшкин, как и его старший брат, ствованным, удобным в работе и более хотел стать физиком. Война прервала его дешевым. Использованием лазерной ло- учебу. Он служил в инженерных войсках, вушки в атомной физике сам Эшкин не занимался совершенствованием радаров. занимался. Это стало предметом исследо- А брат его, уже ставший физиком, работал ваний группы его учеников, выделивших- в Лос-Аламосе, ядерном центре США. ся в самостоятельную лабораторию. В 1997 После окончания учебы и защиты доктор- году Стивен Чу, Клод Коэн-Таннуджи и ской диссертации Артур Эшкин стал рабо- Уильям Филипс стали нобелевскими лау- тать в Лаборатории Белла, американском реатами «за создание методов охлаждения центре радиоэлектроники, где как раз в и улавливания атомов лазерным лучом». это время и появились первые квантовые Создателя лазерного пинцета среди них не генераторы. Вскоре он возглавил лазер- было. ный отдел лаборатории. После создания И вот в прошлом году Нобелевский лазерных ловушек (лазерного пинцета) он комитет осуществил похвальную справед- руководил усовершенствованием этого сво- ливость, и нобелевским лауреатом «за его изобретения. Выйдя на пенсию в 70 пинцет» стал, наконец, его первооткрыва- лет, он продолжал работу, создав в подва- тель. При этом он стал и самым «возраст- ле своего дома собственную лабораторию. ным» лауреатом – ему исполнилось 96 лет. Фактически Артур Эшкин был неофици- Именно биологическая направленность альным шефом работ, развивавших и само открытия Эшкина отмечается в обоснова- изобретение и его внедрение в биологичес- нии этой премии. кие исследования. И когда ему исполни- А применение пинцета в атомной физике лось 96 лет, он все-таки получил заслу- дало замечательные результаты. В 2017 женную награду и стал самым возрастным году с помощью микроскопа с сильным нобелевским лауреатом. Пожелаем ему разрешением удалось зафиксировать сбли- доброго здоровья!

8 КВАНT $ 2019/№3 Жерар Альбер Муру считается амери- ки ПЕРЛ. Первые две буквы названия канским и французским физиком. Он ро- этой установки расшифровываются как дился во Франции в 1944 году, в 1967 году петаваттная мощность лазера закончил университет в Гренобле, а в 1973 (1 ПВт 1015 Вт). И это в 300 раз боль- году стал доктором философии (по физи- ше, чем мощность всех мировых электро- ке) в Парижском университете имени станций! (При этом не следует, конечно, Марии и Пьера Кюри. Интересы француз- забывать, что эта мощность осуществля- ских физиков в то время были сосредото- ется в очень короткое время порядка 1018 с. Так что энергия в импульсе – чены на ядерной физике, на мирном ис- пользовании ядерной энергии. Франция всего лишь миллиджоули.) переходила от электростанций, работав- В 1908 году Муру был избран иностран- ших на немецком каменном угле, к урано- ным членом Российской академии наук. И вым ядерным электростанциям, сегодня когда в 2010 году Нижегородский универ- почти 80% электростанций Франции – это ситет при участии Института прикладной ядерные реакторы. И не случайно именно физики РАН получил мегагрант российс- Франция определена местом осуществле- кого правительства на создание лаборато- ния крупнейшего международного проек- рии международного уровня «Экстремаль- та – созданием экспериментального термо- ные световые поля и их приложения» ядерного реактора. (ELSALab), Муру в течение 5 лет был ее Но Муру хотел заниматься лазерами. И научным руководителем. Каждый год он он уехал в США, где работал сначала в четыре месяца проводил в Нижнем Новго- Рочестерском, а потом в Мичиганском роде и успешно справился с поставленной университете, где возглавил работы по задачей – лаборатория была создана и сверхмощным и сверхбыстрым импульс- продолжает успешно работать. В настоя- ным квантовым генераторам. В 1980-е годы щее время на базе этой лаборатории осу- он со своими учениками воплотил в жизнь ществляется масштабный проект Между- идею чирпирования лазерных импульсов, народного центра исследования экстре- принесшую ему через 30 лет нобелевскую мальных световых полей на базе сверх- награду. мощного лазера XCELS. Муру стал пред- В 2004 году во Франции развернулись седателем международного консультатив- лазерные исследования и была создана ного совета этого проекта. В 2011 году лаборатория прикладной оптики в нацио- Правительственная комиссия РФ по высо- нальной высшей школе пе- редовых технологий. Муру был приглашен возглавить лабораторию. В России это направление лазерной физи- ки развивалось в нижегород- ском академическом Инсти- туте прикладной физики. И когда в 2001 году институт организовал международную конференцию по лазерной те- матике, Муру был пригла- шен на эту конференцию и стал ее деятельным участни- ком. А после конференции активно работал вместе с со- трудниками института над созданием самой мощной тог- да в мире лазерной установ- Велосипедные прогулки Жерара Муру по Нижнему Новгороду

ПРЕМИЯ ЗА ЛАЗЕРНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ 9 ким технологиям и инновациям включила четную награду. Первой была Мария проект в список из шести проектов типа Склодовская-Кюри (1903 г.), второй – мегасайенс, которые должны быть реали- физик-теоретик Мария Гёпперт-Майер зованы к 2022 году. (1963 г.). В повседневной жизни Муру очень доб- Донна Стрикленд родилась в 1959 году рожелательный и общительный человек. в Канаде и стала физиком после оконча- В Нижнем Новгороде он поразил всех ния канадского университета Макнесте- тем, что первым делом приобрел себе и ра. Она хотела заниматься мощными ла- своей жене хорошие велосипеды и стал зерами и поехала в США, в Мичиганский совершать длинные велопрогулки по го- университет, в лабораторию Жерара роду и его живописным окрестностям. Он Муру, где стала его аспиранткой. Муру хороший пловец и в свои 70 лет переплы- поручил ей важнейший участок экспери- вает Оку, где она перед впадением в Вол- ментальных работ по чирпированию ла- гу становится довольно широкой. Его ува- зерных импульсов, и уже в 1985 году, на жают и любят не только молодые колле- втором году ее аспирантуры, была опуб- ги, но и их подрастающие дети. Дружес- ликована совместная статья Муру и Стрик- кие отношения вот уже почти 20 лет свя- ленд, ставшая основополагающей для всех зывают Жерара Муру с одним из россий- лазерщиков и давшая основание для при- ских ведущих «лазерщиков» Александ- суждения Нобелевской премии 2018 года ром Михайловичем Сергеевым, ныне пре- именно им, авторам этой работы. Саму зидентом РАН, который своим другом и диссертацию на эту тему Стрикленд за- коллегой был приглашен на церемониаль- щитила в 1989 году. Тем самым она уста- ные Нобелевские торжества в Стокгольм новила своеобразный «нобелевский ре- в декабре 2018 года. Одно из самых яр- корд» присуждения премии за работу, ких воспоминаний А.М.Сергеева об этих выполненную в аспирантуре. днях – это традиционные нобелевские лек- ции всех лауреатов. В своем интервью Донна Стрикленд успешно продолжала корреспонденту газеты «Московский ком- работать над увеличением мощности им- сомолец» от 10 января 2019 года прези- пульсных лазеров в канадском универси- дент РАН отмечает, что для него был тете Ватерлоо, где она стала президентом неожиданным огромный интерес к физи- Оптического общества. В момент присуж- ке: «Идет череда лекций, три из них в дения премии ее должность в университете один день – физика, химия, экономика. соответствовала должности доцента (адъ- Часть аудитории в Стокгольмском уни- юнкт-профессор). Но уже на другой день верситете занята приглашенными со всего она стала полным профессором. «Я счаст- мира людьми – коллегами, родственника- лива и польщена, – сказала она, – что ми лауреатов, а вторая часть – это шведс- стала одной из трех великих женщин». кая публика, для которой вход в зал был свободным. И что я вижу? На физике с Необычайно моложавая и стройная, на утра – аншлаг, на химии народу помень- церемонии получении знаков нобелевской ше, а на экономике существенно меньше. награды, вручаемых шведским королем Вы понимаете, о чем это говорит? Как Карлом ХIV Густавом, она была в стро- нация заинтересована в естественных на- гом, но очень изящном красном платье с уках! У нас же в России мы, к сожале- одной ниткой жемчуга. Прибывшая в Сток- нию, констатируем переполненность за- гольм и приглашенная на церемонию вру- лов на различных экономических фору- чения наград делегация преподавателей и мах и заметное снижение интереса к есте- студентов ее родного университета горячо ственным дисциплинам». приветствовала своего нобелевского лау- реата, ставшего гордостью и своего уни- Третий Нобелевский лауреат по физике верситета, и всей Канады. Донна Стрик- 2018 года Донна Стрикленд стала третьей ленд стала десятым Нобелевским лауреа- женщиной-физиком, получившей эту по- том Канады и вторым канадским лауреа- том-физиком.

Прямоугольник из квадратов Ф.ШАРОВ СДАВНИХ ВРЕМЕН ЛЮДИ ЗАНИМАЛИСЬ вы a, b, c, d и эти же буквы с индексами задачами на разрезания. Можно ли будут означать рациональные числа, а все разрезать определенную фигуру на какие- числа вида a + b 2 будем называть хоро- то другие (например, на квадраты)? Мож- шими. но ли из некоторого набора фигур соста- вить другую заданную фигуру (например, Теорема Дена для хороших чисел правильный треугольник)? В этой статье мы докажем один из классических резуль- Сначала докажем теорему для частного татов в этой области математики – теорему случая, когда стороны разрезаемого пря- Дена. моугольника и стороны всех квадратов являются хорошими числами. Теорeма 1 (М.Ден, 1903). Если прямо- угольник разрезан на квадраты (не обя- Прежде всего рассмотрим пример: пря- зательно равные), то отношение длин моугольник 1 ¥ 2. Решим следующую за- его сторон рационально. дачу. Читатель, конечно, без труда сможет Задача 1. Можно ли прямоугольник догадаться, как разрезать прямоугольник 1 ¥ 2 разрезать на квадраты с рациональ- с рациональным отношением длин сторон ными сторонами? А со сторонами, которые на квадраты (рис.1). Содержательным либо рациональны, либо имеют вид b 2 ? А со сторонами, которые являются произ- Рис. 1 вольными хорошими числами? является лишь вопрос невозможности раз- Решение.1 Ответ на первые два вопро- резаний в остальных случаях. са: нет. Решение для третьего вопроса приведено в конце журнала. Например, у прямоугольника вида Ответим на первый вопрос. Предполо- ( ) ( )a + b 2 ¥ c + d 2 , где a, b, c, d рацио- жим, что прямоугольник 1 ¥ 2 разрезан на квадраты с рациональными сторонами. нальны, длины сторон и их отношения уже Рассмотрим сторону, равную 2 . Сумма могут быть иррациональны. На этом про- примыкающих к ней сторон квадратов стейшем частном случае уже можно проде- должна равняться 2 . Сумма рациональ- монстрировать все основные идеи, лежа- ных чисел не может быть равна иррацио- щие в основе доказательства теоремы 1. В нальному, следовательно, такое разреза- дальнейшем для удобства латинские бук- ние невозможно. DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190302 Ответим на второй вопрос. Предполо- жим, что прямоугольник 1 ¥ 2 разрезан на квадраты со сторонами вида a или b 2. Его площадь равна 2 . Площади квадратов имеют вид либо a2, либо 2b2. 1 Решение задачи 1, а также приведенное ниже доказательство невозможности разреза- ( )ния прямоугольника 1 ¥ 1 + 2 на квадраты и решение задачи 3 (приведенное в конце журна- ла) написаны Е.Алиевой.

ПРЯМОУГОЛЬНИК ИЗ КВАДРАТОВ 11 Площадь прямоугольника равна сумме резать на квадраты с хорошими сторо- площадей квадратов. Получаем противо- нами. речие, так как иррациональное число не может быть равно сумме рациональных. Заметим, что, например, сопряженное к Здесь мы опирались на аддитивность числу 2 + 2 положительно. Поэтому толь- площади: площадь целого равна сумме ко что использованный метод доказатель- площадей частей. ства невозможности разрезания прямоу- Покажем теперь, что прямоугольник ( )гольника 1 ¥ 1 + 2 неприменим для до- ( )1 ¥ 1 + 2 нельзя разрезать на квадраты казательства невозможности разрезания с хорошими сторонами. Для этого нам ( )прямоугольника 1 ¥ 2 + 2 , а его, со- понадобится определение сопряженного числа. гласно теореме Дена, тоже нельзя разре- зать на квадраты с хорошими сторонами. Определение 1. Число s = a - b 2 на- Обойти это препятствие можно при помо- зывается сопряженным к числу s = a + щи следующего обобщения понятия пло- щади. +b 2. Задача 2. Докажите, что сопряженное к Определение 2. Пусть x – некоторое действительное число. Назовем x-площа- сумме хороших чисел равно сумме сопря- женных, а сопряженное к произведению – ( ) ( )дью прямоугольника a + b 2 ¥ c + d 2 произведению сопряженных. число (a + bx) (c + dx) . Итак, предположим, что прямоугольник Например, 2 -площадь – это обычная ( )1 ¥ 1 + 2 разрезан на n квадратов со ( )площадь такого прямоугольника, а - 2 - сторонами a1 + b1 2, a2 + b2 2, …, an + + bn 2 . Площадь данного прямоугольни- площадь – сопряженное к ней число. ка равна сумме площадей рассматривае- Задача 3. Найдите все прямоугольники мых n квадратов, т.е. ( ) ( )вида a + b 2 ¥ c + d 2 , x-площади ко- ( )1 + 2 = a1 + b1 2 2 + торых неотрицательны при всех x. 2 2 2. Лемма 1 (аддитивность x-площади). +…+ Если прямоугольник разрезан на конеч- ( ) ( )+ a2 + b2 2 ное число прямоугольников, стороны ко- an + bn торых – хорошие числа, то для любого действительного числа x x-площадь раз- Найдем сопряженные к обеим частям по- резаемого прямоугольника равна сумме лученного равенства. Сопряженным к чис- x-площадей прямоугольников, на кото- рые он разрезан. лу 1 + 2 является число 1 - 2 . По ут- верждению задачи 2 получаем, что сопря- Доказательство. Нетрудно убедиться, женным к числу что сумма x-площадей двух прямоуголь- 2 2 22 ников со сторонами вида a + b 2 , имею- щих общую сторону, равна x-площади их + +…+ объединения. 2( ) ( ) ( )a1 + b1 2 a2 + b2 an + bn Действительно, пусть имеется прямоу- гольник с x-площадью S, который состоит является число из двух прямоугольников с x-площадями 2 2 2 +…+ 2 2. ( ) ( ) ( )a1 - b12 + a2 - b2 an - bn Получаем, что ( )1 - 2 = a1 - b1 2 2 + 2 2 2. 2 …     a2  b2 an  bn Число 1 - 2 – отрицательное, а правая Рис. 2 часть тождества – сумма неотрицатель- ных. Получаем противоречие. Значит,  прямоугольник 1u 1  2 нельзя раз-

12 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 S1 и S2 (рис.2). Тогда ко тогда, когда отношение его сторон S1 + S2 = рационально. = (a + bx) (c1 + d1x) + (a + bx) (c2 + d2x) = Доказательство. Предположим, что от- ношение сторон иррационально, а разре- = (a + bx) ((c1 + c2 ) + (d1 + d2 ) x) = S . зание существует. Поделим стороны пря- моугольника и всех квадратов на меньшую Пусть теперь количество прямоугольни- сторону прямоугольника. По задаче 4 все ков в разрезании больше двух. Продол- стороны останутся хорошими. В частно- жим каждый разрез, как показано на ри- сти, полученный прямоугольник будет сунке 3. Тогда каждый прямоугольник ( )иметь вид 1 ¥ c + d 2 . Его x-площадь Рис. 3 равна c + dx. Так как отношение сторон нового разрезания будет также иметь сто- иррационально, то d π 0 . Значит, x-пло- роны вида a + b 2 . Рассмотрим горизон- щадь отрицательна при некотором x. В то тальные слои из последовательно прило- же время x-площадь любого квадрата со женных друг к другу по общей стороне прямоугольников (I, II, III на рисунке 3). стороной a + b 2 равна (a + bx)2 , что Используя уже доказанное свойство адди- тивности x-площади двух прямоугольни- неотрицательно для любого x. Получили ков с общей стороной, методом математи- противоречие с леммой 1: сумма неотрица- ческой индукции легко доказывается, что тельных чисел не может равняться отрица- x-площадь любого такого слоя равна сум- тельному. ме x-площадей прямоугольников, состав- ляющих этот слой. Теперь уже эти слои Задача 5. Пусть z – произвольное ирра- приложим друг к другу и применим только циональное число. Можно ли прямоуголь- что доказанное утверждение об аддитив- ник 1 ¥ z разрезать на квадраты со сторо- ности x-площади ряда прямоугольников. нами вида a + bz? Получим, что x-площадь разрезаемого пря- моугольника равна сумме x-площадей го- Подсказка: попробуйте модифицировать ризонтальных слоев. Эта сумма равна сум- понятие x-площади так, чтобы оно стало ме x-площадей всех прямоугольников но- определено для прямоугольника и квадра- вого разрезания. С другой стороны, каж- тов, рассматриваемых в задаче. дый прямоугольник старого разрезания (так же, как и большой прямоугольник) Доказательство теоремы Дена составлен из прямоугольников нового раз- резания, в один или несколько слоев. в общем случае Таким образом, сумма x-площадей прямо- угольников старого разрезания равна x- Для доказательства теоремы Дена в об- площади исходного прямоугольника. щем случае определение x-площади нам уже не годится: ведь она определена толь- Задача 4. Докажите, что отношение двух ко для хороших чисел, а теперь у нас в хороших чисел – хорошее число. разрезании могут присутствовать квадра- ты с какими угодно сторонами (например, Теорема 2 (частный случай теоремы Дена). Прямоугольник с хорошими длина- 3, S, 3 2 и так далее). ми сторон можно разрезать на квадраты Далее в этом разделе мы считаем, что с хорошими длинами сторон тогда и толь- прямоугольник s0 ¥ t0 разрезан на прямо- угольники s1 ¥ t1 , s2 ¥ t2 , …, sN ¥ tN , при- чем s0 и t0 несоизмеримы, т.е. их отноше- ние иррационально. Лемма 2. Обозначим P = {s0,t0, s1,t1,…, sN,tN } . Тогда можно выбрать такие числа e1,e2,…,en Œ P , чтобы любое число p Œ P единственным образом представлялось в виде p = as0 + bt0 + a1e1 + a2e2 + … + anen .

ПРЯМОУГОЛЬНИК ИЗ КВАДРАТОВ 13 Например, для разрезания на рисунке 4, представление из другого, мы видим, что где s0 = 1 и t0 = 2 + 2 , необходимо выб- сумма неких подчеркнутых чисел с раци- рать лишь одно число (либо e1 = 3 , либо ональными коэффициентами равна 0. Но e1 = 2 + 2 - 3 ). это позволяет выразить, опять-таки в виде суммы с рациональными коэффициента- Рис. 4 ми, одно из подчеркнутых чисел через Доказательство. Выпишем в строку предыдущие подчеркнутые числа, а зна- длины сторон прямоугольников разреза- чит, мы зря его подчеркнули. ния, начиная с s0 и t0 . Так, для разреза- ния на рисунке 4 получится такая строка: Все подчеркнутые числа, начиная с третьего, и будут искомым набором s0 = 1, t0 = 2 + 2, s1 = 1 3, t1 = 3, e1,e2,…,en . s2 = 2 3, t2 = 3, s3 = 1, t3 = 2 + 2 - 3. Зафиксируем набор чисел s0,t0,e1,e2,…,en Теперь2 подчеркнем в этом списке те чис- из леммы 2. Он называется базисом. ла, которые не представляются в виде суммы предыдущих с рациональными ко- Определение 3. Пусть y – некоторое эффициентами (сейчас поясним, что это действительное число. Назовем y-площа- значит). Например, s0 мы подчеркнем дью прямоугольника со сторонами (предыдущих чисел вовсе нет). Число t0 мы тоже подчеркнем, так как оно несоиз- as0 + bt0 + a1e1 + a2e2 + … + anen меримо с s0 и, следовательно, не предста- вимо в виде a0s0 . Далее, если s1 представ- и cs0 + dt0 + c1e1 + c2e2 + … + cnen ляется в виде a0s0 + b0t0 , то s1 не подчер- киваем, а если не представляется, то под- число (a + by) (c + dy) . черкиваем. Аналогично, если t1 представ- ляется в виде a0s0 + b0t0 + a1s1 , то t1 не Например, y-площадь разрезаемого пря- подчеркиваем, а если не представляется, моугольника s0 ¥ t0 равна y. то подчеркиваем. И так далее. В нашем случае получится такое: Обратите внимание, что это определе- ние не эквивалентно определению x-пло- 1, 2 + 2, 1 3, 3, 2 3, 3, 1, 2 + 2 - 3. щади выше! Скажем, для прямоугольни- ка на рисунке 4 x-площадь равна 2 + x, а Докажем теперь, что всякое число из y-площадь равна y. Если подставить в этого списка единственным образом пред- качестве x и y одинаковые числа, то могут ставляется как сумма подчеркнутых чисел получиться разные результаты. с рациональными коэффициентами. Ясно, что неподчеркнутое число представляется Лемма 3. Любой квадрат в разрезании нужным образом через подчеркнутые. прямоугольника s0 ¥ t0 имеет неотрица- Подчеркнутое тоже представляется: оно тельную y-площадь. равно само себе. Если же такое представ- ление не единственно, то, вычитая одно Доказательство. Сторона любого квад- рата в разрезании прямоугольника s0 ¥ t0 2 Дальнейший текст доказательства леммы 2 записывается в виде as0 + bt0 + a1e1 + с незначительными изменениями заимствован + a2e2 + … + anen . Тогда его y-площадь рав- из статьи Д.Фукса «Можно ли из тетраэдра сделать куб?» [4]. на (a + by)2 , что неотрицательно при лю- бом действительном y. Лемма 4. Для любого y y-площадь раз- резаемого прямоугольника s0 ¥ t0 равна сумме y-площадей прямоугольников, на которые он разрезан. Доказательство леммы 4 дословно повто- ряет доказательство леммы 1 с той лишь разницей, что нужно заменить в нем x- площадь на y-площадь, а также заменить все числа вида a + b 2 на соответствую- щие числа вида as0 + bt0 + a1e1 + a2e2 +... … + anen (в том числе и на рисунке 2).

14 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 Доказательство теоремы 1. Пусть пря- термин «заряд». Вот примером заряда и является y-площадь. моугольник s0 ¥ t0 разрезан на квадраты, причем s0 и t0 несоизмеримы. По опре- Литература делению его y-площадь равна y. Это чис- ло отрицательно при y < 0. В то же время 1. М.Скопенков, О.Малиновская, С.Дори- y-площадь любого квадрата неотрицатель- ченко, Ф.Шаров. Собери квадрат. В сборнике: на по лемме 3. Получили противоречие с Элементы математики в задачах: через олим- пиады и кружки — к профессии. – М.: леммой 4: сумма неотрицательных чисел МЦНМО, 2018. не может равняться отрицательному. 2. М.Скопенков, О.Малиновская, С.Дори- ченко. Собери квадрат. – «Квант», 2015, №2. В заключение отметим, что y-площадь – это не просто олимпиадный трюк. В мате- 3. М.Скопенков, М.Прасолов, С.Доричен- ко. Разрезания металлического прямоугольни- матике есть важное понятие меры. Мера- ка. – «Квант», 2011, №3. ми являются, например длина отрезков 4. Д.Фукс. Можно ли из тетраэдра сделать на прямой; площадь (обыкновенная, а не куб? – «Квант», 1990, №11. y-площадь) фигур на плоскости; объем 5. Ф.Шаров. Разрезания прямоугольника на тел в пространстве. Из двух основных прямоугольники с заданными отношениями сторон. – Математическое просвещение, сер. 3, свойств меры – аддитивности и неотрица- вып. 20 (2016), с.200–216. тельности – наша y-площадь обладает 6. И.М.Яглом. Как разрезать квадрат? – М.: только первым. Наука, 1968. Если свойство неотрицательности не тре- буется, вместо слова «мера» используется Вниманию наших читателей! В предыдущем номере журнала в статье «Объять необъятное ...» было допущено несколько опечаток. Необходимо сделать следующие исправления.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи по математике и физике Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон- ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2551, М2552 предлагались на региональном этапе XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике, задача М2553 предлагалась на XXII Кубке памяти А.Н.Колмогорова. Задачи М2550–М2553, Ф2557–Ф2560 ее касания со сторонами BC, CA и AB соответственно, через K и L – центры M2550. Для положительных чисел a, b, c окружностей, вписанных в четырехуголь- докажите неравенство ники AB1IC1 и BA1IC1 соответственно, a+b + b+с + с+a ≥ через H – основание высоты, опущенной из точки C (рис.1). Биссектриса угла AHC b+c с+a a+b ≥ 2a + 2b + 2c. Рис. 1 пересекает прямую A1C1 в точке P, а Б.Кайрат (Казахстан), А.Храбров биссектриса угла BHC пересекает прямую M2551. На доске нарисован выпуклый n- B1C1 в точке Q. Докажите, что Q – орто- угольник ( n ≥ 4 ). Каждую его вершину центр треугольника KLP. надо окрасить либо в черный, либо в белый цвет. Назовем диагональ разно- А.Заславский цветной, если ее концы окрашены в раз- Ф2557. На горизонтальной плоскости на- ные цвета. Раскраску вершин назовем хо- ходятся два одинаковых однородных брус- рошей, если n-угольник можно разбить на ка массой M, один из них – «лежачий», а треугольники разноцветными диагоналя- другой – «стоячий» (рис.2). На брусках ми, не имеющими общих точек (кроме закреплены невесомые блоки без трения в вершин). Найдите количество хороших осях, через которые перекинута невесомая раскрасок. С.Берлов M2552. Последовательность ( an ) нату- ральных чисел задана условиями a1 = 1, an+1 = an + aÈÎ n ˘˚ n ≥ 1. Докажите, при всех натуральных что для каждого нату- рального k в этой последовательности най- дется член, делящийся на k. А.Голованов M2553*. Обозначим через I центр окруж- ности, вписанной в остроугольный тре- угольник ABC, через A1 , B1 и C1 – точки

16 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 Рис. 2 Рис. 3 и нерастяжимая нить, соединяющая два Ф2560. Имеется бесконечная сетка, сде- одинаковых шара массой m. У нити име- ланная из проволоки постоянного сечения, ются вертикальные и горизонтальный уча- стки. Шары касаются брусков. Вначале Рис. 4 эти бруски удерживались внешними сила- показанная на рисунке 4. Длина отрезка ми в неподвижном состоянии. Затем брус- АВ равна а. Сопротивление единицы дли- ки отпустили, и они стали двигаться посту- ны проводника равно U . Найдите сопро- пательно. С какими начальными ускоре- ниями двигались бруски? Трения в систе- тивление RAB между точками А и В. ме нигде нет. А.Бычков М.Ромашка Решения задач М2538–М2541, Ф2545–Ф2548 Ф2558. Шаровая льдинка радиусом R0 , имеющая температуру 0 ∞C, в условиях М2538. Петя расставляет 500 королей невесомости начинает таять (плавиться) на клетках доски 100 u 50 так, чтобы при постоянной «невысокой» температуре они не били друг друга. А Вася расстав- окружающей среды T0 (T0 ∼ 2 - 5 ∞C). ляет 500 королей на белых клетках (в Пренебрегая испарением, определите вре- шахматной раскраске) доски 100 u100 мя таяния льдинки. Во сколько раз возра- так, чтобы они не били друг друга. У кого стает время таяния льдинки при увеличе- больше способов это сделать? нии ее радиуса в два раза? Удельная Ответ. Больше способов у Васи. теплота плавления льда O , коэффициент Идея решения – сопоставить каждой Пе- теплопроводности воды K . Считайте, что тиной расстановке некоторую Васину рас- при плавлении льдинка сохраняет форму становку так, чтобы разным расстановкам шара и симметрично окружена водой, об- были сопоставлены разные, а кроме того, разовавшейся при ее таянии, поскольку указать Васину расстановку, не сопостав- вода хорошо смачивает лед. Температура леную никакой Петиной расстановке. на внешней поверхности воды, которая Приведем два способа сделать нужное со- представляет собой сферу, всегда равна поставление. температуре окружающей среды T0 . А.Власов Ф2559. В точке А, расположенной на расстоянии r от центра О незаряженной проводящей сферы радиусом R, находит- ся точечный заряд q (рис.3). Сферу зазем- ляют длинным тонким проводником. На сколько после заземления изменится по- тенциал M точки В, являющейся верши- ной равностороннего треугольника АВО? Каким будет изменение вектора напря- женности электрического поля в этой же точке? С.Крюков

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 17 Первый способ. Совместим Петину доску Второй способ. Разобьем каждую гори- с левой половиной Васиной доски. Рас- зонталь Васиной доски на доминошки 1u 2 . смотрим любую расстановку Пети. Оста- Пусть Вася дублирует Петину расстанов- вим всех королей, стоящих на белых по- ку на своей «доске» 100 u 50 из домино- лях, на месте, а всех королей, стоящих на шек, а затем поместит каждого короля, черных полях, отразим относительно вер- стоящего в доминошке, в белую клетку тикальной оси симметрии Васиной доски этой доминошки (рис. 2). Очевидно, из (рис.1). В итоге получим какую-то расста- разных Петиных расстановок получаются разные Васины. Покажем, что после ука- Рис. 1 занной процедуры короли на доске новку 500 королей на белых клетках доски 100 u 100 не бьют друг друга. Если, напро- 100 u 100 . По этой расстановке легко вос- тив, какие-то два короля будут бить друг становить исходную расстановку на доске друга, то они будут находиться в соседних 100 u 50, «перегибая» доску. Покажем, что по стороне или по вершине доминошках, после отражения короли на доске 100 u 100 поэтому соответствующие короли били друг не бьют друг друга. Действительно, коро- друга и в исходной Петиной расстановке – ли на одной половине доски не будут бить противоречие. друг друга, потому что не били до отраже- Легко видеть, что Васина расстановка ко- ния. А из разных половин друг друга ролей из первого способа опять-таки не может бить только пара королей, стоящих сопоставлена ни одной Петиной расста- в двух клетках, имеющих общую вершину новке. на оси симметрии. Но тогда эти короли находились в соседних по стороне клетках Е.Бакаев до отражения – противоречие. Далее, расставим 500 королей на доске М2539. а) Докажите, что любое число 100 u 100 в белые клетки 1-го, 3-го, 5-го, вида 3k – 2, где k – целое, может быть 7-го, 9-го столбцов слева, а также в белые представлено в виде суммы одного квад- клетки 1-го, 3-го, 5-го, 7-го, 9-го столбцов рата и двух кубов целых чисел. справа. После перегиба доски короли зай- б) Докажите, что любое целое число мут весь первый столбец, значит, описан- может быть представлено в виде суммы ная выше Васина расстановка не сопостав- одного квадрата и трех кубов целых лена ни одной Петиной. чисел. Рис. 2 a) Достаточно заметить, что k3  k  33  3k  52 3k  2 . (Подобрать это разложение можно, рас- сматривая разности между кубами близ- ких чисел. В данном случае нам приго- дилась разность кубов чисел, отстоящих на 3.) б) Пусть нам нужно представить целое число N в виде суммы трех точных кубов и одного точного квадрата. Выч- тем из числа N число t3, равное 0, 1 или –1, чтобы разность N  t3 имела вид 3k – 2. Теперь доста- точно к этой разности применить пункт а). Н.Седракян М2540. В остроугольном треу- гольнике ABC проведены высо- ты AHa , BHb , CHc . Пусть

18 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 Hab – проекция точки Ha на прямую AC Из прямоугольного треугольника (рис.1). Аналогично определим точки Hac , HcHcaHa видим, что треугольник HaYHca Hba , Hbc , Hca , Hcb . Докажите, что равнобедренный и ‘HcaYHc 2‘BHaHc . Далее, Рис. 1 ‘HcYX ‘HcHaHb шесть точек Hab , Hac , Hba , Hbc , Hca , Hcb лежат на одной окружности, центр = 180q  ‘BHaHc  ‘CHaHb которой совпадает с центром масс тре- угольного контура HaHbHc , сделанного = 180q  2‘BHaHc . из однородной проволоки. В решении мы многократно будем пользо- Получаем, что ‘HcaYHc  ‘HcYX 180q , ваться следующим свойством ортотре- следовательно, точка Y лежит на отрезке угольника: ‘HcHaB ‘HbHaC ‘BAC HcaHcb . Аналогично получаем, что сторо- и аналогичными равенствами углов. Oт- ны треугольника XYZ лежат на отрезках сюда, в частности, следует, что высота HcaHcb , HabHac , HbcHba . В частности, Ha A является биссектрисой угла в орто- треугольнике HaHbHc . HcaHcb HaHb , HabHac HbHc , Пусть X, Y, Z – середины отрезков HbHc , HcHa , HaHb соответственно (рис.2). HbcHba HcHa . Так как ‘HcaHcbC ‘HaHbC ‘HcHb A ‘HacHab A , то HacHcaHabHcb – равнобокая трапеция, она вписана в некоторую окружность Z . Далее, так как Рис. 2 ‘HcaHcbC ‘ABC ‘AHbcHcb , Имеем (из подобных треугольников то четырехугольник HcaHcbHbcHac впи- санный, т.е. точка Hbc также лежит на BHaHc и BAC с проведенными в них окружности Z. Аналогично, и точка Hba высотами): лежит на Z. ‘BHacHca ‘BHaHc Далее построим центр масс U для треу- ‘BAC . Отсюда следует, что гольного контура HaHbHc . Как известно, центр масс треугольного контура ' (сде- HacHca AC . Аналогично, HcbHbc CB ланного из однородной проволоки) совпа- дает с точкой пересечения биссектрис тре- и HbaHab BA . угольника с вершинами в серединах сто- рон ' (см., например, статью И.Даценко, Ю.Минаева, О.Орлянского «Нахождение центра масс проволочного треугольника» в «Кванте» №1 за 2018 г.). Поскольку YU – биссектриса угла XYZ, а XY HaHb , ZY HcHb , то UY HbB , или UY A AC . Прямая UY тогда является средней лини- ей прямоугольной трапеции HcbHcHaHab и серединным перпендикуляром к хорде HabHcb окружности Z . Аналогично, U лежит на серединных перпендикулярах к хордам HbcHba и HcaHba окружности Z . Значит, U является центром Z . Задача решена. Замечания. Задача имеет следующее «аф- финное» обобщение. Пусть в треугольни-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 19 ке ABC на прямых BC, CA, AB взяты пересекает не менее миллиарда из этих точки Ka , Kb , Kc соответственно так, что семиугольников. (Диаметр многоугольни- прямые AKa , BKb , CKc пересекаются в ка – это максимум среди расстояний одной точке. Определим точку Kab как между парами его вершин.) точку пересечения прямой AC и прямой, параллельной BKb , проходящей через Обозначим через O центр данного круга, и точку Ka . Аналогичным образом опреде- лим Kac , Kba , Kbc , Kca , Kcb . Тогда пусть KR – это круг радиуса R с центром шесть точек Kab , Kac , Kba , Kbc , Kca , в O. Пусть C – множество углов всех Kcb лежат на одной конике. В случае, когда точки Ka , Kb , Kc лежат на сторо- данных семиугольников, а CR  C – под- нах BC, CA, AB (а не на их продолжени- множество тех углов, у которых вершина ях), конструкция аффинным преобразо- ванием может быть сведена к условию принадлежит кругу KR . Для решения данной задачи М2540. задачи достаточно доказать, что Отметим еще несколько свойств данной C200 t 7 ˜ 109 (как обычно, |X| обозначает конструкции (читатель может попробо- количество элементов в множестве X). В вать вывести их самостоятельно): самом деле, тогда количество семиуголь- 1) HcaHcb HabHac HbcHba (фактичес- ки, мы видели это при доказательстве); ников, пересекающихся с кругом K200 , не 2) треугольники HabHbcHca и HacHbaHcb менее C200 7 t 109 . равны между собой и подобны треугольни- Покажем, что среднее значение угла из ку ABC; 3) U является центром симметрии, перево- множества CR не превосходит 2S 3 . Дей- дящей треугольник HaHbHc в треуголь- ствительно, в «тройной развилке» среднее ник с вершинами в ортоцентрах треуголь- ников AHbHc , HaBHc , HaHbC ; значение угла равно 2S 3 (рис.1), а в 4) U является серединой отрезка, соединя- более чем тройной развилке оно еще мень- ющего O (центр описанной окружности треугольника ABC) и ортоцентр треуголь- ше. Если же вершина лежит на стороне ника HaHbHc . Окружность Z , существование которой Рис. 1 Рис. 2 доказано нами, известна как окружность Тэйлора. Это одна из окружностей, при- некоторого семиугольника (рис.2), то сред- надлежащих семейству так называемых нее значение угла в такой вершине не окружностей Таккера, которые можно больше S 2 . определить, например, таким образом. С другой стороны, рассмотрим множество Рассмотрим треугольники XYZ » ABC углов TR всех семиугольников, имеющих такие, что X лежит на прямой AB, Y – на непустое пересечение с кругом KR . По- BC, а Z – на CA. Окружности Таккера – скольку диаметр каждого семиугольника описанные окружности таких треугольни- не превосходит 1, TR  CR1 . Для каждого ков XYZ. Другие описания и интересные многоугольника среднее значение угла при свойства окружностей Таккера можно най- вершине равно 5S 7 , поэтому среднее зна- ти, например, в книге: R.Honsberger чение угла в множестве TR также равно «Episodes in Nineteenth and Twentieth 5S 7 . Century Euclidean Geometry». Пусть k CR , m TR , так что И.Вайнштейн TR \\ CR m  k . С учетом того, что каж- М2541*. Плоскость разбита на выпуклые дый угол из множества TR \\ CR меньше S (это верно для любого угла выпуклого семиугольники единичного диаметра. До- многоугольника), баланс средних дает кажите, что любой круг радиуса 200 m  k ˜ S  k ˜ 2S 3 ! m ˜ 5S 7 . Отсюда

20 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 m ! 7k 6 .Следовательно, вращения системы. Так как центры шари- ков равномерно движутся по окружностям CR1 ! 7 CR . ( ) вокруг общей оси, то уравнения их движе- 6 ния в проекции на линию, соединяющую центры, имеют вид Поскольку § 7 ·6 ©§¨1  1 ·6 !2 и 210 ! 103 , m1r1Z2 = G m1m2 , m2r2Z2 = G m1m2 . ©¨ 6 ¹¸ 6 ¸¹ При этом (r1 + r2 )2 (r1 + r2 )2 из оценки ( ) последовательно выводим: CR6 ! § 7 ·6 CR ! 2 CR , m1r1 = m2r2 . ©¨ 6 ¸¹ Отсюда находим CR60 ! 210 CR ! 103 CR . Z2 = G m1 + m2 . Так как C2 t 1 , имеем (r1 + r2 )3 C200 C2666606060 ! Пусть R1 и R2 – радиусы каждого из шариков. Тогда ! 2 ˜ 2 ˜ 2 ˜ 103 ˜ 103 ˜ 103 ! 7 ˜ 109 . m1 = UV1 = 4 SUR13 , m2 = UV2 = 4 SUR23 Задача решена. 3 3 Из приведенных оценок видно, что n = 7 – в некотором смысле критическое количе- и величину угловой скорости вращения ство вершин: при разрезании плоскости на не менее чем n-угольники ограниченного можно оценить как диаметра функция f R CR растет эк- Z2 = 4 SUG R13 + R23 £ 3 споненциально. Шестиугольные соты – (r1 + r2 )3 пример, показывающий, что при n = 6 функция CR может расти гораздо мед- £ 4 SUG ( R13 + R23 £ 4 SUG. леннее (рост квадратичной функции). 3 R1 3 В заключение упомянем идейно близкий к + R2 )3 нашей задаче известный факт: плоскость нельзя разрезать на выпуклые семиуголь- В условии задан период Т обращения ники, если их диаметр (или периметр) шариков вокруг общего центра масс. Ему ограничен сверху, а площадь ограничена снизу. соответствует угловая частота А.Канель-Белов Z 2S d 4 SUG . T 3 Ф2545. Два сплошных шарика разных Самая большая (возможная) угловая ско- размеров из одного химически чистого рость будет в том случае, когда один вещества находятся в космосе вдали от шарик имеет размер, значительно мень- других массивных тел и взаимодейству- ший, чем размер другого шарика, и шари- ют друг с другом только гравитацион- ки движутся, почти касаясь друг друга. ным способом. Они вращаются вокруг При этом плотность материала шариков не общего центра масс, делая один оборот может быть меньше величины за время одного урока Т = 45 мин. Какой может быть минимальная плотность Umin 3S | 19300 кг м3. материала, из которого сделаны шари- GT2 ки? Какому металлу такая плотность соответствует? Этой плотности соответствует золото. А.Буров, Е.Шалимова Пусть r1 и r2 – расстояния от центров Ф2546. Имеется «четверть бесконеч- шариков до оси вращения, m1 и m2 – их ная» решетка с квадратными ячейками, массы, Z – величина угловой скорости состоящая из одинаковых резисторов сопротивлением r, как показано на рисун- ке 1. Известно, что если в узел А втека- ет, а из узла В вытекает ток I, то

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 21 (см. рис.2). Очевидно, что в этом случае по двум ближайшим резисторам сетки бу- дпуртовтоедчньиктаохкиток2Iи,неа во всех остальных текут. Теперь созда- ем такие потенциалы, чтобы в один узел, ближайший к угловой точке, втекал ток р2Iи,с.а3и)з. другого вытекал такой же ток (см. Тогда легко заметить, что в сим- метричных относительно диагонали про- водниках текут одинаковые токи. Напри- Рис. 1 мер, на рисунке 3 изображены два таких идеальный вольтметр, подключенный к тока I1 и I2 , которые равны друг другу по узлам С и D, показывает напряжение U. модулю. Определите по этим данным сопротивле- ние RAB данной решетки. Но наша задача является ничем иным, как наложением этих двух картин. Сила тока Рассмотрим два подключения имеющейся на каждом участке исходной схемы нахо- решетки, при которых наблюдаются сим- дится как суперпозиция токов на этих метричные распределения токов относи- участках в каждой упрощенной схеме. тельно диагонали (пунктирная линия на Также из приведенных рассуждений сле- рисунках 2 и 3). дует, что узлы, которые лежат на диагона- Сначала создадим такие потенциалы в ли, можно разрывать вдоль нее. системе, что в угловую точку втекает ток I, Найдем ток Ix (см. рис.3), протекающий I через АВ. Так как узел Е можно разорвать 2 вдоль диагонали, то ICAB ICEB Ix. Из а из двух соседних узлов вытекают токи принципа суперпозиции следует, что токи через CD в исходной схеме и в схеме, изображенной на рисунке 3, равны (так как в исходной схеме ток через CD не течет). Значит, I 2Ix  U , или Ix I  U . 2 r 4 2r Тогда из принципа суперпозиции следует, что ток через резистор АВ в исходной схеме равен IAB Ix  I 3I  U . 2 4 2r Рис. 2 Следовательно, общее напряжение между узлами А и В равно UAB IABr 3I r  U . 4 2 Тогда окончательно получаем RAB UAB 3 r  U . I 4 2I А.Бычков Рис. 3 Ф2547. Профессор Электра Шар прово- дит эксперименты с проводящими шари- ками. В ходе каждого эксперимента она

22 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 медленно сближает три уединенных ша- 2) Рассмотрим случай б. Полная энергия рика радиусом R каждый так, что в системы проводников в начальном состоя- конечном состоянии центры этих шари- ков находятся в вершинах правильного нии равна треугольника со стороной 3R, и записы- вает в лабораторный журнал значение W0 1 § qk q  q § k q · · k q2 . работы, которая была ею совершена. 2 ¨© R ©¨ R ¹¸ ¸¹ R При этом шарики в начальном состоянии могут быть как заряженными, так и Из симметрии следует, что плоскость OOc незаряженными. В случаях, показанных на рисунках 1 а, б, она записала значения (рис. 3)) является эквипотенциальной: M 0 . Значит, потенциал незаряженного шарика равен нулю. Пусть M3 – потенциал положительно заряженного шарика после сближения, тогда M3 – потенциал отри- цательно заряженного шарика. Конечная энергия системы равна W1 1 qM3  q  M3  qM3 . 2 Из закона сохранения энергии получаем Рис. 1 W0  A2 W1 , или M3 k q  A2 . Rq работ A1 и A2 соответственно. Найди- те: 1) потенциал заряженного шарика в 3) В случае в задача является наложени- случае а; 2) потенциалы всех шариков в ем трех распределений (каждое из кото- случае б; 3) значение работы в случае в. рых дает нулевое поле в проводящих ша- риках, а значит, по теореме единственно- 1) Рассмотрим случай а. Полная энергия сти других распределений быть не мо- жет) из случая а (рис.4). Тогда по прин- системы проводников в начальном состоя- нии равна W0 1 qk q 1 k q2 . 2R 2R Пусть M1 – потенциал заряженного шари- ка после сближения. Из симметрии (пово- рот на 180q относительно OOc (рис.2)) следует, что потенциалы двух других ша- риков одинаковы, обозначим их M2 . Тогда конечная энергия системы равна W1 1 qM1  0 ˜ M2  0 ˜ M2  1 qM1 . 2 2 Из закона сохранения энергии получаем W0  A1 W1 , или M1 k q  2A1 . Rq Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 ципу суперпозиции в случае в у шариков потенциалы равны M1  2M2 . Найдем по- тенциал M2 . Заметим, что случай б явля- ется наложением двух распределений (каждое из которых дает нулевое поле в проводящих шариках, а значит, по теоре- ме единственности других распределений быть не может) из случая а (рис.5). Сле-

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 23 Конечная энергия системы равна W1 1 ˜ 3 q M1  2M2  2 3 q § k q  2 A1  2 2A1  A2 · 2 ¨ R q q ¸ © ¹ Рис. 5 3 q § k q  6 A1  2 A2 ¸·. довательно, 2 ¨ R q ¹ © M3 M1  M2 , или Из закона сохранения энергии получаем q 2 A1 § q A2 · M2 M1  M3 k R  q  ¨© k R  q ¸¹ W0  A3 W1 , или 2A1  A2 A3 3 q § k q  6 A1  2 A2 ·  3 k q2 q 2 ¨ R q ¸ 2 R = . © ¹ Полная энергия системы проводников в 9 A1  3A2 . начальном состоянии равна А.Бычков W0 1 ˜ 3qk q 3 k q2 . (Продолжение см. на с. 24) 2 R 2 R ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ О длине Также по длине траектории можно выпол- траектории нить приблизительный расчет работы силы баллистического сопротивления движению летящего тела. движения Выражение для длины траектории парабо- Ф.ГРИГОРЬЕВ лического движения можно найти, напри- мер, в интернете (см. http:// ПОСЛЕ ТОГО, КАК ГАЛИЛЕЙ УСТАНО- sch1561uz.mskobr.ru/files/didactika2.pdf). вил, что траектория баллистического Здесь же кратко воспроизведем этот ре- движения вблизи поверхности Земли без зультат. учета сопротивления воздуха является пара- болой, естественно встал вопрос, как найти Чтобы вычислить длину траектории, разо- длину траектории этого движения. С прак- бьем ее на малые участки, каждый из кото- тической точки зрения знать длину траекто- рых можно считать прямым. Длина малого рии полета полезно, например, в случае ее участка равна визуализации – в фейерверках, оставляю- щих след, при показательных выступлениях ds dx2  dy2 vx2  vy2 dt . летательных аппаратов и т.д., так как при фиксированном расходе активного вещества Тогда искомая длина будет равна яркость следа зависит от длины траектории. T DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190303 ³L vx2  vy2 dt 0 T = ³ v0 cos D2  v0 sin D  gt2 dt , 0 где T 2v0 sin D g – время полета. Замена- ми a v0 cos D и x v0 sin D  gt интеграл можно свести к табличному: ³ x2  a2 dx  x a2 2 2 x2  a2  ln x x2  a2 .

24 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 После взятия нашего интеграла получаем ³ vx2  vy2 dt  1 u g u § v0 sin D  gt v0 cos D2  v0 sin D  gt2  ©¨ 2  v0 cos D 2 ln §©¨ v0 sin D  gt  2  v0 cos D 2  v0 sin D  gt 2 ¸·¹ · . ¸¹ Подставив верхний и нижний пределы ин- Зависимость безразмерной длины траектории l от угла броска D (рад) тегрирования и упростив, находим искомую длину траектории: Уравнение для угла D0 не имеет аналити- ческого решения. Построим график зависи- L v02 § 2 sin D  cos2 D ˜ ln 1  sin D · . 2g ©¨ 1  sin D ¹¸ мости безразмерной длины траектории Интересно определить, при каком угле l L Lг от угла броска D в пределах от 0 до S 2 (см. рисунок). Из графика видно, что броска D0 при фиксированной скорости v0 величина угла D0 , соответствующего lmax , длина траектории максимальна, чему она близка к 1 рад | 57,3q . Численное решение равна и во сколько раз больше максималь- уравнения дает D0 | 0,985 рад | 56,4q . Мак- симальная дальность броска по горизонтали ной дальности броска. Возьмем производ- ную от L по D , приравняем ее к нулю и v02 .Тог- получим уравнение для D0 : g достигается при D S и равна Lг 1  sin D0 4 2 sin D0 ˜ ln 1  sin D0 . да Lmax | 1,2Lг . Так как D0 ! S 4 , траекто- Выразив отсюда множитель, содержащий рия, имеющая максимальную длину, идет логарифм, и подставив в уравнение для L, несколько круче траектории, которой отве- получим простое выражение для максималь- чает максимальная дальность броска. Мак- ной длины траектории тела: симальная высота, достигаемая при D0 , мень- v02 ше дальности броска при том же угле. g sin D0 Lmax = . (Начало см. на с. 16) располагающиеся с той же стороны, что и глаза зрителей, совпадают с фокусами Ф2548. В простейшем «театральном» собирающих линз, т.е. объективов, распо- бинокле расстояние между окуляром и лагающихся по эту же сторону бинокля. объективом равно 10 см, и оно не регули- Поскольку коэффициент увеличения ра- руется. Бинокль обеспечивает увеличе- вен 2, рассеивающая линза находится от ние u2 при рассматривании далеких пред- собирающей на расстоянии, равном поло- метов. Каковы оптические силы (или вине фокусного расстояния собирающей фокусные расстояния) объектива и оку- линзы. Расстояние между линзами задано ляра? – это 10 см. Поэтому оптическая сила объектива равна +5 дптр, а оптическая «Театральный» бинокль представляет со- сила окуляра равна –10 дптр. Эти опти- бой трубу Галилея, поскольку наблюда- ческие силы соответствуют таким фокус- тель видит через такой бинокль сцену и ным расстояниям линз: 20 см для объек- актеров, расположенными «правильно», тива и 10 см для окуляра. т.е. головами вверх, а ногами вниз. Фоку- сы рассеивающих линз, т.е. окуляров, Д.Александров

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 25 Задачи 1. Саша выписала числа от одного до ста, а Миша часть из них стер. Среди оставшихся у 20 чисел есть в записи единица, у 19 чисел есть в записи двойка, а у 30 чисел нет ни единицы, ни двойки. Сколько чисел стер Миша? А.Шаповалов 2. Разрежьте фигуру, показанную на слове ТЕТРАЭДР он сделал бы пять ошибок, в слове ДОДЕКАЭДР – шесть, рисунке, на четыре одинаковые части. в слове ИКОСАЭДР – семь. А сколько М.Волчкевич ошибок он сделает в слове ОКТАЭДР? 4. Е.Бакаев Семь городов соединены по кругу семью односторонними авиарейсами (см. рисунок). Назначьте (нарисуйте стрелочками) еще несколько одно- Иллюстрации Д.Гришуковой 3. Сеня не умеет писать некоторые сторонних рейсов так, чтобы от любо- го города до любого другого можно буквы и всегда в них ошибается. В было добраться, совершив не более двух пересадок. Постарайтесь сделать Эти задачи предназначены прежде всего уча- число дополнительных рейсов как щимся 6–8 классов. можно меньше. Эти задачи предлагались на XXX Математи- В.Клепцын ческом празднике.

26 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 Левая, правая – где сторона? С.ДВОРЯНИНОВ ЖИЛ В XIX ВЕКЕ РУССКИЙ ПОЭТ ВА- Рис. 2 силий Иванович Сиротин. Большая часть его творчества безвозвратно утра- идут в разном порядке? С какой стороны чена. Самое известное его стихотворение, к Лубянке подходил мой поезд в случае дошедшее до наших дней, называется рисунка 1? Какая станция была преды- «Улица». Опубликовано оно было в 1859 дущей: Чистые Пруды или Охотный ряд? году. Вот его первые строки: А в случае рисунка 2? Раз возвращаюсь домой я к себе, Советуем читателям сейчас прервать чте- Улица странною кажется мне. ние, включить пространственное вообра- Левая, правая где сторона? жение и подумать над этими вопросами. Улица, улица, ты, брат, пьяна. На всякий случай напомним, что если на А теперь объясню, почему я это вспом- вагоне пассажирского поезда висит таб- нил. личка «Москва–Самара», то этот поезд Еду по Сокольнической линии москов- идет из Москвы в Самару. А на обрат- ского метро домой. Выходить мне на стан- ном пути на том же вагоне будет другая ции Лубянка. Над выходом из вагона – табличка «Самара–Москва». Да, еще. На схема с указанием станций этой линии Сокольнической линии движение поездов (рис.1). Хорошо, очень удобно. метро правостороннее. На каждой стан- ции выход на платформу слева (с учетом Рис. 1 направления движения поезда). На другой день то же самое. Вечер, А мы продолжаем наш рассказ. Раз- метро, подъезжаю к Лубянке. Стою у мышляя о сказанном, следует учитывать двери, приготовился выходить. Над две- психологию пассажира, находящегося в рью привычные названия, но теперь на вагоне метро. Пассажир этот хочет, ко- схеме станции указаны почему-то в дру- нечно, как можно скорее добраться до гом порядке (рис.2). Оглянулся, посмот- нужной станции. Он время от времени рел назад. Над противоположной дверью посматривает на схему движения, мыс- схема, как на рисунке 1. Здесь названия ленно отмечая на ней свое передвижение. станций – словно отражение в зеркале Естественно, станции следует перечислять рисунка 2. Но тут поезд остановился, слева направо – так мы читаем и пишем. двери распахнулись, и я вышел на плат- Схема А – Б – В означает, что станцию форму. А проехали, подъезжаем к Б, потом бу- дет В. При этом приятнее, если на схеме А теперь – вопросы. Почему на разных схемах в одном вагоне названия станций

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 27 направление расположения станций со- вагона на станции Баррикадная через гласовано с их расположением на пути дверь, показанную на рисунке 3. Глядя поезда. При этом пассажир смотрит и на на схему, скажите: куда при этом дви- дверь – не будут ли ему мешать выйти жется поезд – влево или вправо? Отве- другие люди в вагоне или же ему следует тить на этот вопрос нельзя! Электронные стать к двери поближе. Значит, нужная табло в вагоне метро (возможно, из эко- ему схема должна располагаться над две- номии изготовления) только одного типа, рью, через которую пассажиру выходить. огоньки на них бегут справа налево. Та- кие табло расположены на обеих сторо- Теперь становится понятно, почему нах вагона. При этом направление дви- внутри одного и того же вагона мы ви- жения огоньков совпадает с направлени- дим две разные схемы одной и той же ем движения поезда только на одной сто- линии метро. Обе схемы соответствуют роне вагона. В случае их несовпадения у реальному расположению станций вдоль человека возникает состояние, называе- линии метро. Когда мы переводим взор с мое когнитивным диссонансом. Явление одной схемы на другую, то поворачива- резонанса вам известно, диссонанс, мож- емся на 180∞. Рисунок 1 соответствует но сказать, – ему противоположное. Дис- случаю когда поезд подходит к Лубянке сонанс в музыке – это нарушение гармо- от Чистых прудов, а рисунок 2 – когда нии, неправильное сочетание тонов, ко- со стороны Охотного Ряда. торое производит неприятное впечатле- ние на слушателей. Вообще, диссонанс В новых поездах метро вместо бумаж- – это то, что вносит разлад во что- ных схем появились электронные, на ко- либо, вступает в противоречие с чем-ни- торых движение поезда отображают бе- будь. гущие огоньки. Они дают повод вспом- нить другие строки того же стихотворе- Мы надеемся, что наши читатели – бу- ния «Улица»: дущие инженеры и конструкторы – бу- дут в своей работе учитывать все обстоя- И фонари так неясно горят, тельства, и всё, что они создадут, ни Смирно на месте никак не стоят. к каким диссонансам приводить не Так и мелькают туда и сюда... будет. Предположим, что вам надо выйти из Рис. 3

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчи- таны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: [email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский про- спект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха! 25. Можно ли расставить по окружности приведен на рисунке). Петя расставляет на числа 1, 2, 3, …, 100 так, чтобы любые два этой доске несколько кораблей в форме соседних числа различались не более чем прямоугольников, у которых одна из сторон на 2? равна 1. Никакие два корабля не могут иметь общих точек (даже вершин). Какое наиболь- П.Кожевников шее количество клеток может покрывать такой «флот»? 26. Дан треугольник ABC. Верно ли, что на его сторонах обязательно найдутся четы- П.Кожевников ре точки, являющиеся вершинами равнобо- кой трапеции, основания которой парал- лельны AB? С.Дворянинов 27. По кругу выкладывают 30 одинаковых на вид таблеток, из них 20 хороших и 10 плохих. Два мудреца по очереди берут по одной таблетке. Первый мудрец будет знать, где лежат плохие таблетки, а второй – нет, но они хотят до выкладывания таблеток договориться, как после каждого хода пер- вого второй найдет хорошую таблетку. Пос- ле 20 ходов на столе должны остаться 10 плохих таблеток. Предложите алгоритм дей- ствий для мудрецов. (Беря таблетки, мудре- цы не общаются и не подают никаких знаков. Каждый видит, какую таблетку взял парт- нер.) А.Ковальджи 28. Дана клетчатая доска в форме квадра- та 2n ¥ 2n с вырезанными угловыми «лесен- ками» высоты n – 1 (пример для n = 4

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Еще раз о тны еще древним грекам. В отличие от полуправильных других полуправильных, этот многогранник многогранниках не обладает глобальной симметрией, или свойством транзитивности: хоть любые две С.КУЗНЕЦОВ его вершины и устроены одинаковым обра- зом, не всегда их можно совместить движе- В«КАЛЕЙДОСКОПЕ «КВАНТА» В №11 ЗА нием, переводящим многогранник в себя. 2018 год мы рассказывали о полупра- Из-за этого псевдоромбокубооктаэдр не все- вильных многогранниках, т.е. выпуклых мно- гда относят к архимедовым телам, и тогда гогранниках, грани которых суть правиль- последних остается 13. ные многоугольники и все вершины устрое- ны одинаковым образом. Была приведена Наш постоянный читатель О.Лазутченко полная классификация таких многогранни- задал следующий интересный вопрос. Псев- ков: две бесконечные серии – призмы и доромбокубооктаэдр получается из обычно- антипризмы, пять правильных многогран- ников (платоновых тел: икосаэдр, куб, окта- Рис. 1 эдр, додекаэдр и икосаэдр) и еще 14 много- го ромбокубооктаэдра поворотом «шапоч- гранников, традиционно называемых архи- ки» (рис.1). Эта «шапочка» называется n- медовыми. Полуправильный многогранник скатным куполом, где n – число сторон ее определяется типом вершины: информаци- верхней грани. А что будет, если повернуть ей, какие многоугольники сходятся к ней и «шапочку» у другого полуправильного мно- гогранника – ромбоикосододекаэдра (рис.2)? в каком порядке. Например, 3,4,4 , т.е. Результат немного разочаровывает: полу- чившийся многогранник еще дальше от «пра- «треугольник–квадрат–квадрат» – это тре- вильности», чем полуправильные. У него угольная призма. При этом одному из типов по-прежнему к каждой вершине сходятся четыре правильных многоугольника – тре- вершин, а именно 3,4,4,4 , отвечают сразу угольник, два квадрата и пятиугольник, но в разном порядке. У некоторых вершин два многогранника: ромбокубооктаэдр и псев- доромбокубооктаэдр. порядок остался 3,4,5,4 , а у других стал 3,4,4,5 . Однако почему бы не рассмотреть Псевдоромбокубооктаэдр стоит среди по- луправильных многогранников особняком – полуправильные многогранники в слабом и дело не только в том, что его открыли в XX смысле: потребовать, чтобы к каждой вер- веке, в то время как остальные были извес- DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190304 Рис. 2

30 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 шине сходился одинаковый набор много- Наш перебор дает 6 новых правильногран- угольников, но в произвольном порядке? ных многогранников, у которых в каждой Давайте попробуем перечислить все мно- гогранники, полуправильные в слабом смыс- вершине сходятся те же многоугольники, но ле. Воодушевляет на такое исследование в разном порядке. Интересно, что все они следующий более общий факт. Отбросим любые условия на вершины и потребуем получаются из архимедовых многогранни- только, чтобы у многогранника все грани были правильными многоугольниками – все ков с помощью операции «поворота шапоч- равно, кроме призм и антипризм, получится конечное число разных многогранников! ки», описанной в начале статьи. Перечислим Такие многогранники называются правиль- эти шесть многогранников. ногранными. Полная классификация пра- вильногранных многогранников приведена Во-первых, поворотом купола у ромбоико- в статье В.А.Залгаллера «Выпуклые много- гранники с правильными гранями» (Запис- сододекаэдра, как предложил нам О.Лазут- ки научных семинаров ЛОМИ, №2, 1967, ченко, можно получить целых четыре много- с.5–221). Статья Залгаллера доступна по гранника (у Джонсона они имеют номера 72– адресу http://mi.mathnet.ru/znsl1408 – не- 75). Многогранников получилось несколь- смотря на ее большой объем и сложность, мы очень советуем читателю ознакомиться с ко, потому что можно повернуть не один, а ней. два или даже три купола. Надобно только Семейство правильногранных многогран- следить, чтобы эти купола не имели общих ников включает в себя пять платоновых тел, 13 архимедовых плюс псевдоромбокубоок- граней: при повороте купол «ломает» все таэдр, бесконечные серии призм и анти- призм, а также еще 91 многогранник. Эти смежные с ним купола. Если повернуть один последние многогранники называются джон- соновыми телами по имени автора статьи, в купол, то получится скрученный ромбоико- которой они впервые все были перечислены: сододекаэдр (рис.3). Два купола можно по- N.W.Johnson. Convex polyhedra with regular вернуть двумя способами – либо один напро- faces (Canadian Journal of Mathematics, vol.18, 1966, p.169–200, https://doi.org/ тив другого, и тогда получится дважды 10.4153/CJM-1966-021-8). Псевдоромбоку- противоположно скрученный ромбоикосо- бооктаэдр также относится к джонсоновым додекаэдр (рис.4); либо два непротиволежа- щих, что дает дважды косо скрученный телам, если его не причислять к архимедо- ромбоикосододекаэдр (рис.5). Наконец, три вым; тогда джонсоновых тел становится 92. непересекающихся купола можно выбрать В своей работе Н.Джонсон приводит пере- только одним способом; повернув их, полу- чень всех джонсоновых тел, но не доказыва- ет, что других не бывает (это сделал в чим трижды скрученный ромбоикосододе- упомянутой выше статье В.А.Залгаллер). каэдр (рис.6). По Залгаллеру, скрученные версии ромбоикосододекаэдра обозначаются Нас интересуют полуправильные в слабом смысле многогранники, не являющиеся та- так: 06  014  06 или 06  013  206 ; ковыми в сильном смысле. Ясно, что все они 06  014  06 ; 206  013  06 ; 306  013 . суть джонсоновы тела. Значит, нам доста- точно перебрать все джонсоновы тела и Рис. 3 Рис. 4 отобрать среди них те, у которых в каждой Рис. 5 Рис. 6 вершине сходятся одни и те же многогранни- ки. Особенно удобно делать это по статье Джонсона, где для каждого многогранника указаны типы его вершин, т.е. какие много- угольники и в каком количестве сходятся в каждую вершину.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 31 (Через 0i Залгаллер обозначает простые правильногранные многогранники, которые нельзя составить из нескольких правильно- гранных многогранников; остальные пра- вильногранные многогранники получаются в виде «сумм» простых, при этом черта озна- Рис. 10 чает перекручивание. Видно, что 06 – это как Рис. 11 раз и есть «шапочка», пятискатный купол.) 209 ). Сам икосододекаэдр можно назвать пятискатной гиробиротондой. Во-вторых, заме- Наконец, не считая псевдоромбокубоокта- тим, что кубоокта- эдр полноправным архимедовым телом, Джонсон и Залгаллер также приводят его в эдр (рис.7) скла- числе джонсоновых (№37 у Джонсона, 05  38  05 у Залгаллера) под именем дывается из двух удлиненный четырехскатный повернутый бикупол («удлиненный» – потому что в трехскатных купо- середине между двумя куполами вставлена призма). лов, причем повер- Таким образом, мы получили следующую нутых друг отно- классификацию правильногранных много- гранников по мере их «удаления от правиль- сительно друга так, ности»: что треугольные i все грани и все вершины одинаковые – 5 платоновых тел (правильных многогран- Рис. 7 грани верхнего ку- ников); пола смежны с i все вершины одинаковы и совмещаются квадратными гранями нижнего и наоборот. симметрией многогранника – добавляется еще 13 архимедовых тел и две бесконечные Это объясняет другое название кубооктаэд- серии призм и антипризм; ра –трехскатный повернутый бикупол (или i все вершины одинаковы, но не обяза- тельно совмещаются симметрией – добавля- трехскатный гиробикупол: приставка ется еще псевдоромбокубооктаэдр; «гиро», греческого происхождения, означа- i в каждой вершине сходится тот же набор многоугольников, но не обязательно в том ет «повернутый»). же порядке – добавляются еще 6 многогран- ников, полученных из полуправильных по- Если развернуть средством перекручивания; один из куполов i нет условий на вершины – добавляются оставшиеся 85 джонсоновых тел. так, что квадраты Всего правильногранных многогранников, будут смежны с не считая призм и антипризм, получается 5 + 13 + 1 + 6 + 85 = 110 видов. квадратами, а треу- гольники с треу- гольниками, полу- чится еще одно по- Рис. 8 луправильное в сла- бом смысле тело – трехскатный прямой бикупол (рис. 8; №27 по Джонсону, по Залгаллеру 204 ). В-третьих, еще один многогранник можно получить поворотом из икосододекаэдра (рис.9), повернув одну его половину. В отличие от пре- дыдущих случаев, здесь поворачива- ется не купол, а более сложная кон- струкция, называ- емая ротондой Рис. 9 (рис.10). Получа- ется полуправиль- ный в слабом смысле многогранник, называ- емый пятискатной прямой биротондой (рис.11, №34 по Джонсону, по Залгаллеру

…во всяком бруске, опирающемся на опоры, …при закалке более твердое вещество сильно но имеющем возможность свободно изгибать- закаливается, а другое остается слабо закален- ся, при неизменности поперечного сечения и ным… получается материал, обладающий одно- однородности материала та его часть, которая временно и большой твердостью, и большой находится на наибольшем расстоянии от опор, вязкостью… изгибается больше всего. Дмитрий Чернов Леонардо да Винчи Есть… материалы, которые ведут себя очень Модуль упругости равен отношению нагруз- странным и сложным образом. Чем сложнее ки, приходящейся на единицу площади попе- материал, тем причудливей его поведение. речного сечения, к произведенному ею относи- тельному удлинению. Ричард Фейнман Анри Навье А так ли хорошо знакомы вам ?физика+техника Сегодня мы сфокусируем ваше внимание нием – еще одним плодотворным союзом на употребляемых в технике МАТЕРИА- физики и техники. ЛАХ. История их освоения – это история цивилизации. С первых же попыток при- Вопросы и задачи способить – для постройки жилищ либо охо- ты, для сражений или бытовых нужд – ок- 1. По камушку и теннисному мячу ударяют ружающие его камни и деревяшки человек, доской. Почему мяч при прочих равных сначала неосознанно, наталкивался на необ- условиях летит дальше? ходимость разобраться с их свойствами. Твердые и мягкие, прочные и рассыпчатые, 2. Если выпуклый «звездчатый» много- упругие и хрупкие, они задавали неокреп- гранник, вылепленный из пластилина, с си- шему разуму порой нелегкие загадки. А вот лой бросать вертикально вниз, то он будет раздумья над ними подталкивали к поиску отскакивать от пола, как упругий резиновый закономерностей, объясняющих эти свойства. мячик, практически не сминаясь. В то же Потребность не только в прикладном, пере- время пластилин легко мнется руками. Как даваемом из поколения в поколение опыте, это объяснить? но и в его осмыслении росла по мере овла- дения все новыми предоставляемыми при- 3. Пружина растянута под действием под- родой естественными материалами. Эта по- вешенного груза. Как будет изменяться по- требность особенно возросла, когда человек тенциальная энергия пружины, если ее: посягнул на создание материалов искусст- а) нагревать; б) охлаждать? венных. И здесь без науки, неотъемлемо включающей в себя физику, уже было не 4. Стальной стержень зажат между двумя обойтись. стойками. Как деформируется стержень при нагревании? Конечно, сейчас мы сможем бросить лишь беглый взгляд на крохотную долю неисчис- 5. Почему в бетонных конструкциях в лимого множества обступающих нас матери- качестве арматуры – усиливающего элемента алов и их разнообразных характеристик. Но – используется только железо, а не другие даже те из них, которых касается школьный металлы? курс, могут дать представление об огромной области знаний, называемой материаловеде- 6. Чтобы железобетонную балку сделать прочнее, при ее изготовлении стальные стер- жни растягивают и заливают жидким бето- ном. После его затвердевания стержни осво- бождают. Каково преимущество такой конст- рукции?

7. Почему при кладке кирпичных печей тое до сих пор его определение (см. эпиг- используют глиняный раствор, а не, напри- раф). мер, цементный (хотя он более твердый)? …кость, с древности используемая для из- 8. Одинаковые кубики из стекла и моно- готовления самых разных инструментов, об- кристалла кварца опускают в горячую воду. ладает высокой устойчивостью к внешним Сохранится ли форма кубиков? воздействиям. Причина в том, что кость – это пример природного композиционного мате- 9. Древесина по-разному колется и пилится риала, сочетающего свойства входящих в вдоль и поперек; бревна проводят тепло в него компонентов. Известнейший искусст- поперечном направлении в два с лишним венный композит – железобетон. раза хуже, чем в продольном. Почему? …французский математик и инженер Жан- 10. Отчего при резких изменениях темпе- Виктор Понселе, ведший «Курс индустри- ратуры металл обычно не дает трещин, а альной механики, читанный мастерам и рабо- камень растрескивается? чим», ввел в науку и технику термин «уста- лость», обнаружив снижение прочности сталь- 11. При склепке толстых листов металла в ных конструкций при воздействии цикличес- отверстия листов вставляют раскаленные док- ких напряжений. расна заклепки. Какое значение имеет приме- нение именно горячих заклепок? …превосходные прочностные качества же- лезобетона позволяют строить высотные дома 12. Чтобы приварить один кусок железа к с толщиной стен всего лишь 20 сантиметров. другому, оба куска раскаляют, накладывают Однако весьма низкие его теплоизолирую- друг на друга и сильно бьют по ним кузнеч- щие свойства требуют дополнительного по- ным молотом. Почему при этом получается крытия стен пористыми материалами, обес- прочное соединение? печивающими преграду для передачи тепла. 13. Отчего алюминий нельзя паять оловян- …исследования устойчивости колонн в на- ным припоем? чале XX века легли в основу теории пластич- ности, кардинально развитой в 30-х годах 14. Если в сварочном станке давление элек- теорией дислокаций – изъянов кристалличес- тродов на деталь оказывается меньше, то кой решетки. Произошедший благодаря это- напряжение между ними должно быть боль- му переворот в физике твердого тела непос- ше и наоборот. Чем это можно объяснить? редственно приблизил ее к материаловеде- нию и наметил новые пути и возможности Микроопыт техники. Вам необходимо сломать руками не очень …замечательные электрические свойства тонкий (диаметром 3–4 миллиметра) медный «нобелевского лауреата» графена обусловле- провод. Скорее всего, вы начнете его сгибать- ны тем, что он имеет вид листиков толщиной разгибать в нужном месте. Добились своего? всего лишь в один атом углерода. Но эта Если да, то почему? двухмерность технически очень неудобна, что заставляет физиков искать и, похоже, Любопытно, что… успешно, его трехмерные подобия. ...первые исследования по сопротивлению Что читать в «Кванте» о материалах материалов, прочности арок, балок и других элементов механических конструкций были (публикации последних лет) проведены гениальным художником, инже- нером и ученым эпохи Возрождения Леонар- 1. «Закон Гука и коэффициент Пуассона…» до да Винчи. – 2016, №3, с.30; …английский ученый Томас Юнг ввел по- 2. «Поверхность и что на ней происходит» – нятие модуля упругости, ставшее важней- 2017, №8, с.7; шим в новой отрасли механики – теории упругости. Позже воспитанник парижской 3. «Рекордные механические параметры» – Политехнической школы Анри Навье ука- 2018, №2, с.7; зал, что для полного описания свойств ма- териалов нужно знать не только величину 4. «Механика невидимого» – 2018, №11, предела прочности, но и этот самый мо- с.10. дуль, получивший имя Юнга, и дал приня- Материал подготовил А.Леонович

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Исследуем грамм (ППП) MathCAD для наглядного сферу представления траекторий движения тел при преодоления ими сферического сооружения. ЭКСПО-2017 Рисунки, которые представлены в статье, являются результатами компьютерных экс- Б.МУКУШЕВ, А.ТУРДИН периментов. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ОДНОРОДНОМ ГРА- Вот несколько конкретных задач. витационном поле в случае преодоления Задача 1. Мячик был брошен с земли с им какой-либо преграды является одним из минимальной скоростью так, чтобы он заманчивых явлений в механике. Преграды перелетел через сферическое сооружение могут быть различными, например забором, ЭКСПО-2017, касаясь только вершины зда- домом, пирамидой или конусообразным жи- ния (рис.2). Найдите: значение скорости лищем (чум) и тому подобное. и угол броска; уравнение траектории, ко- После проведения выставки ЭКСПО-2017 Рис. 2 в городе Астане (Казахстан) нас заинтересо- вало огромное сферическое сооружение, ординаты точек броска и приземления, а построенное в центре района выставки и также время полета мячика. представляющее собой архитектурный сим- вол выставки (рис.1). Это самое большое На основе закона сохранения энергии за- сферическое здание в мире имеет диаметр 80 пишем метров. Величие рукотворного объекта под- mv2 mvx2  2mgR . Рис. 1 22 толкнуло нас исследовать сферическое зда- ние с позиции науки, в частности механики. В самой верхней точке нормальное (центро- Были проведены компьютерные экспери- менты с помощью пакета прикладных про- стремительное) ускорение обусловлено си- DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190305 лой тяжести, поэтому vx2 g , или vx2 gR . R Таким образом, скорость броска мячика рав- на v 5gR | 44,3 м с , а угол броска мячика равен D arccos vx arccos gR | 64q . v 5gR Рассмотрим движение мячика с момента, как он достиг вершины сферы. Дальнейший этап движения мячика равносилен тому, что он был брошен горизонтально со скоростью vx с высоты 2R. Уравнение траектории такого движения имеет вид y 2R  gx2 , или y 80  x2 . 2vx2 80

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА 35 Следовательно, точки броска и приземления сти мячика v на уровне земли: имеют координаты A 80;0 и Ac 80;0 , а mv2 mv2A  mgR cos M  1 , или 2 2 время полета мячика равно v2 2gR § 2 1 M  cos M  1¹·¸ . t AcA 8,1 c . ©¨ cos vx Экстремальное значение последнего выра- Задача 2. Чтобы осуществить перелет мячика через сферическое сооружение ЭКС- жения в скобках определит искомую мини- ПО-2017, он был брошен с земли с мини- мальной скоростью. При полете мячик кос- мальную скорость. На основе неравенства нулся двух точек сферы. Найдите: ско- рость мячика в точках касания со зданием Буняковского–Коши, и координаты этих точек; координаты максимальной точки траектории мячика и 1 M  cos M t 2 cos M , его скорость в этой точке; значение мини- 2 cos 2 cos M мальной скорости мячика, сообщенной на уровне земли, при которой он перелетит причем равенство определяет минимальное сферическое сооружение без отскоков, а также угол броска; уравнение траектории значение: мячика и координаты точек броска и при- земления, а также время полета мячика. § 2 1 M  cos M · 2 , cos M 2 , ¨© cos ¸ 2 При перелете через здание мячик действи- ¹min тельно может иметь со сферой две точки касания (рис.3). Радиусы, проведенные в иM S. 4 Итак, скорость мячика в точках касания со зданием равна vA gR 2gR | 23,6 м с . cos M Поскольку AB R sin M | 28,2 м и OB R cos M  1 | 68,2 м , то точки каса- ния имеют следующие координаты: A 28,2; 68,2 и Ac 28,2; 68,2 . Теперь займемся максимальной точкой тра- ектории мячика. Так как vy2 CO CB  BO 2g  R cos M  1 Рис. 3 = v2A sin2 M  R cos M  1 2g точки касаний Ac и А, образуют с вертика- §3  1¸¹· R | 82,4 м , лью угол M . Из соображений симметрии и ¨© 2 2 обратимости траектории достаточно рассмот- реть движение мячика только на участке то максимальная точка С траектории мячика CAF. Пусть скорость в точке касания vA , а время движения от вершины до этой точки имеет координаты 0;82,4 . Скорость в этой W . При этом точке равна vx vA cos M , vy vA sin M gW , vx vA cos M gR cos M gR | 16,7 м с. 2 AB R sin M vA cos M ˜ W . Далее, известно, что Из последних двух равенств находим v2 2gR § 1  cos M  1¹¸·  2gR 2  1 , gR ¨© 2 cos M v2A cos M . С помощью закона сохранения энергии за- откуда находим пишем выражение для минимальной скоро- v | 43,5 м с ,

36 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 cos D vx  1 | 0,39 , и D | 68q . v 2 2 2 Таким образом, мячик брошен с земли с минимальной скоростью 43,5 м с под углом к горизонту 68q . Осталось написать уравнение траектории мячика: y OC  gx2 82,4  x2 | 82,4  0,018x,2 2vx2 40 2 найти координаты точек броска и приземле- ния: Рис. 5 Fc 67,6; 0 , F 67,6; 0 и определить время полета мячика: (пролетел бесконечно близко к нему) при падении на землю (рис.5). Нам нужно найти t FFc 2 ˜ 67,6 м | 8,1 c . точку касания окружности и оптимальной vx 16,7 м c траектории мячика. Запишем уравнения ок- ружности: Задача 3. Необходимо поразить самую верхнюю точку сферического здания, изоб- x2  y  R2 R2 раженного на рисунке 4, бросив мячик с и траектории мячика: y x tg D  gx2 D  2R , или 2v02 cos2 gx2  y 2v02 x tg D  1  tg2 D  2R . С помощью последнего уравнения невоз- можно найти координаты точки пересечения траектории с осью х, поскольку оно содер- Рис. 4 жит четыре неизвестных: x, y, v0 и D . Поэтому мы сначала исследуем уравнение наименьшей возможной скоростью. До по- ражения цели отскоки мячика от здания не поверхности границы простреливаемой об- допускаются. Радиус сферического соору- жения R = 40 м. Сопротивлением воздуха ласти в условиях, когда из верхней точки пренебречь. Нужно найти следующие пара- метры: скорость мячика v0 в момент пора- сферы были брошены со скоростью v0 оди- жения цели и наименьшую скорость v, с наковые мячики под различными углами. которой мячик был брошен с земли; коорди- наты точки касания траектории мячика со Это уравнение известно (см., например, ста- сферой и расстояние между точкой каса- ния и самой верхней точкой; угол падения тью «Движение тел в гравитационном поле» мячика D в самой верхней точке сферы; координаты точки броска мячика и угол в «Кванте» №9 за 2018 г.) и в нашем случае броска; время полета мячика, уравнение траектории мячика и координаты макси- имеет такой вид: мальной точки траектории. y v02  gx2  2R . Оптимальная траектория мячика касается 2g 2v02 поверхности сферы в какой-то боковой точке С здания, как показано на рисунке 4. Из График данного уравнения (коричневая ли- соображений обратимости траектории рас- смотрим ситуацию, когда мячик брошен с ния на рисунке 5) проходит через точку верхней точки здания с минимальной скоро- стью v0 так, чтобы он не задел здание пересечения окружности и траектории мячи- ка. Неизвестных кинематических парамет- ров стало три: x, y и v0 . Точка пересечения определяется следующей системой уравне- ний: x2  y  R2 R2 , y v02  gx2  2R . 2g 2v02 Подставив у в первое уравнение, получаем

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА 37 биквадратное уравнение относительно х: Используя уравнение траектории мячика, x4 § g ·2 x2 § 1 gR · § v02 R ¹¸¸· v02 находим точку на нулевом уровне, из кото- ¨ 2v02 ¸ ¨ 2 v02 ¸ ¨¨© 4g g © ¹  ©  ¹   0. рой был брошен мячик с наименьшей скоро- стью v: gx02 2v02 Его решение – это уравнение с двумя неиз-  y0 x0 tg D  1  tg2D  2R вестными x и v0 :  § 1  gR · r D Подставив y0 0 , tg D 1 и v02 gR , ¨ 2 v02 ¸ . получим уравнение 3 2 © ¹ x2 g2 4 1 3R 3 2v04 x02  x0  2R 0 Если дискриминант D равен нулю, то суще- и найдем ствует только одна траектория, обеспечива- x0 | 1,46R 58,4 м . Теперь находим угол броска мячика с земли: ющая прохождения мячика через точку С: §1  gR ·2  §1  gR · 0. arccos vx arccos v0 cos D ¨ ¸ ¨ ¸ E v v © 2 v02 ¹ © 4 v02 ¹ Теперь приступим к ответам на поставлен- arccos 12,12 м с | 73 . 42 м с ные в задаче вопросы. Из последнего равен- ства найдем Время полета мячика равно v02 gR , или v0 | 14,0 м с. t x0 | 58,4 м | 4,8 c . 2 vx 12,12 м c В соответствии с законом сохранения энер- Уравнение траектории мячика имеет вид гии, на нулевом уровне (на земле) скорость x x2 мячика равна y 80  3  30 . v v02  4gR 3 gR | 42,0 м с. Исследуемм его на экстремум: 2 1 x Таким образом, мы нашли значение наи- yc 3  15 0 меньшей возможной скорости, необходимой для поражения самой верхней точки сфери- и найдем координаты максимальной точки траектории мячика: 8,7; 82,5. ческого здания, и скорость в момент пораже- Задача 4. Пластмассовая шайба была ния цели. брошена с земли с минимальной скоростью Далее, используя уравнение для x2 , най- в направлении сферы так, чтобы она пре- одолела верхнюю точку сферического со- дем координаты точки С: оружения. Часть траектории движения шайбы без отскока лежит на поверхности x2 3R2 , x 3 R | 34,6 м , сферы. Пренебрегая сопротивлением воз- 4 2 духа и считая поверхность сферы гладкой, найдите: координаты шайбы в момент плав- y v02  gx2  2R 3R 60 м . ного перехода из состояния свободного па- 2g 2v02 2 раболического движения в состояние круго- вого движения по поверхности сферы, ее Из теоремы Пифагора скорость в этой точке и угол к горизонту; значение минимальной скорости шайбы, AC AD2  DC2 § R ·2  § 3R ·2 R. сообщенной на уровне земли, угол броска ¨© 2 ¹¸ ¨¨© 2 ¸¸¹ шайбы и координаты точки броска; урав- нения параболических траекторий шайбы. Из соображений симметрии BC = R. Таким Из соображений обратимости траектории образом, АВС – равносторонний треуголь- будем считать, что шайба спущена с верхней ник. точки сферы без начальной скорости. В Подставляя координаты точки С в уравне- ние траектории мячика, получим tg D 1 , и D S . 3 6

38 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 v cos E v0 cos D . Отсюда находим cos D v cos E 2 | 0,27 , и D | 73q . v0 27 Далее, xA OA OB  BA , BA vt cos E , v0 sin D  v sin E gt , sin D 1  cos2 D 5 | 0,96 , 33 sin E 1  cos2 E 5 | 0,74 , 3 Рис. 6 tg D sin D 5 | 3,55 , cos D 2 точке отрыва С (рис.6) центростремитель- v2 R  t v0 sin D  vsinE g ное (нормальное) ускорение шайбы an 10  10 Rg | 2,65 c , является составляющей ускорения свобод- 3 3g ного падения: 2 2R 27  BA | 28,57 м , v2 g R  h , или v2 10  10 R R g cos E R  hg . Применяем закон сохранения механической xA OB  BA энергии для движения шайбы по поверхно- сти сферы:  §5  22 10  10 · R | 58, 38 м ,yA 0. 3 27 ¹¸¸ mgh mv2 , или v2 2gh . ¨©¨ 2 Из соображений симметрии xD xA . Из двух уравнений для v2 находим h 1 R . Если шайба брошена со скоростью v0 под 3 углом к горизонту D из точки 0, то уравне- ние ее траектории пишут в виде Тогда координаты точки С будут такими:  y gx2 2v02 yC 2R  h 66,67 м , x tg D  1  tg2 D . xC xB OB Поскольку наша шайба брошена из точки R2  R  h2 5 R | 29,81 м . D xA; 0, то уравнение траектории пара- 3 болического движения шайбы с левой сторо- Скорость шайбы в точке отрыва С равна ны будет таким: g x  xD 2 2v02  y1 v 2gR | 16,2 м с . x  xD  tg D  1  tg2 D . 3 Найдем точки пересечения траектории с осью Rh 2 Из формулы cos E R 3 находим х, которые соответствуют точкам D и Е. Для E | 48q . этого выражение для y1 приравниваем к Используя закон сохранения механичес- нулю и получим кой энергии для состояния параболического xD | 58,38 ; xE | 25,83 . движения шайбы, находим ее скорость при- Аналогично, уравнение траектории парабо- земления (или скорость броска с земли): лического движения шайбы с правой сторо- v0 v2  2g 2R  h 4gR | 39,6 м с . ны будет иметь вид g x  xF 2 2v02  y2 С момента отрыва шайбы от поверхности x  xF  tg D  1  tg2 D . сферы горизонтальная составляющая ее ско- рости остается постоянной и равной Задача 5. Мячик был отпущен без на- чальной скорости с верхней точки сферы.

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА 39 Трение скольжения между мячиком и сфе- Скорость мячика в точке отрыва равна рой велико. Сопротивлением воздуха и v R  h g 0,59gR | 15,2 м с . трением качения можно пренебречь. Мячик считайте однородным сплошным шаром, Из формулы cos E R h | 0,59 находим 2 E | 54q . R его момент инерции I 5 mr 2 , где m – масса мячика, r – его радиус. Найдите: Используя закон сохранения механичес- координаты мячика в момент отрыва от кой энергии для параболического движения сферы, его скорость в этой точке и угол ее наклона к горизонту; скорость приземле- мячика, находим его скорость приземления: ния мячика и ее угол с горизонтом в этой v0 v2  2g 2R  h | 38,4 м с . точке, а также координату точки призем- В момент отрыва мячика от поверхности ления; уравнение параболической траекто- сферы горизонтальная составляющая скоро- рии мячика. сти мячика остается постоянной и равной В точке отрыва С (рис.7) центростреми- v cos E v0 cos D . Отсюда получаем тельное (нормальное) ускорение мячика cos D v cos E | 0,23 , v0 D | 76,6q , tg D 1  cos2 D | 4,23 , cos D sin D | 0,97 , sin E | 0,81. Далее, OD OB  BD , BD vt cos E , v0 sin D  v sin E gt , t v0 sin D  v sin E | 2,5 c , BD 22,4 м , g Рис. 7 OD 54,7 м , xD 54,7 м , yD 0 . an v2 является составляющей ускорения Из принципа обратимости параболической сво R ого пад ения: v2 g cos E , где од траектории считаем, что мячик был брошен б н из точки D со скоростью v0 под углом D к cos E R  h . Отсюда R горизонту. Тогда уравнение траектории па- R раболического движения мячика запишется v2 R  h g . так: g x  xD 2 2v02  y Применим закон сохранения механической x  xD  tg D  1  tg2 D , энергии для движения мячика по поверхнос- или ти сферы: y x  54,7 ˜ 4,23  0,062 x  54,72 . mgh mv2  IZ2 , где Z v, Заметим, что если мячик бросить из точки 2 2 r D со скоростью, равной скорости приземле- или mgh mv2  mv2 7mv2 . ния ( 38,4 м с ), и под углом падения ( 76,6q ), 2 5 10 то выполняется принцип обратимости пара- Подставляя сюда v2 R  h g , находим болического движения тела, т.е. мячик мо- жет доходить до точки С за 2,5 с и иметь в h 7 R | 0,41R . Тогда координаты точки этой точке скорость 15,5 м с . Однако даль- 17 С будут такими: ше принцип обратимости движения не рабо- yC 2R  h 63,6 м , тает, мячик не доходит до самой вершины xC  OB  R2  R  h2 32,3 м . сферы – ему не хватает энергии.

ОЛИМПИАДЫ Региональный этап XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ 5. Каждая грань куба 1000 u 1000 u 1000 разбита на 10002 квадратных клеток со сто- 9 класс роной 1. Какое наибольшее количество этих клеток можно закрасить так, чтобы никакие 1. Два приведенных квадратных трехчле- две закрашенные клетки не имели общей стороны? на f x и g x таковы, что каждый из них С.Долгих имеет по два корня и выполняются равенства 6. Даны четыре последовательных нату- f 1 g 2 и g 1 f 2. Найдите сумму ральных числа, больших 100. Докажите, что из них можно выбрать три числа, сумма всех четырех корней этих трехчленов. которых представляется в виде произведе- Н.Агаханов ния трех различных натуральных чисел, больших 1. 2. Каждый из 10 человек – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, Н.Агаханов который всегда лжет. Каждый из них заду- мал какое-то целое число. Затем первый 7. На прямоугольном столе лежат несколь- сказал: «Мое число больше 1», второй ска- ко картонных прямоугольников. Их сторо- зал: «Мое число больше 2», …, десятый ны параллельны сторонам стола. Размеры сказал: «Мое число больше 10». После этого прямоугольников могут различаться, они все десять, выступая в некотором порядке, могут перекрываться, но никакие два прямо- сказали: «Мое число меньше 1», «Мое число угольника не могут иметь четырех общих меньше 2», …, «Мое число меньше 10» вершин. Может ли оказаться, что каждая (каждый сказал ровно одну из этих десяти точка, являющаяся вершиной прямоуголь- фраз). Какое максимальное число рыцарей ника, является вершиной ровно трех прямо- могло быть среди этих 10 человек? угольников? О. Подлипский И.Богданов 3. По кругу расставлены 100 различных 8. Дан треугольник ABC. На внешней натуральных чисел. Вася разделил каждое биссектрисе угла ABC отмечена точка D, из них с остатком на следующее по часовой лежащая внутри угла BAC, такая, что стрелке; при этом оказалось, что остатки, ‘BCD 60q . Известно, что CD = 2AB. полученные Васей, принимают всего два Точка M – середина отрезка BD. Докажите, различных значения. Петя разделил каждое что треугольник AMC – равнобедренный. из чисел с остатком на следующее против часовой стрелки. Докажите, что все остатки, А.Кузнецов полученные Петей, различны. 9. См. задачу М2551 «Задачника «Кван- Н.Агаханов, С.Берлов та». 4. Высоты остроугольного треугольника 10. Петя и Вася играют в следующую игру. ABC пересекаются в точке H. На отрезках Петя выбирает 100 (не обязательно различ- BH и CH отмечены точки B1 и C1 соответ- ных) неотрицательных чисел x1,x2,…,x100 , ственно так, что B1C1 BC . Оказалось, что сумма которых равна 1. Вася разбивает их на центр окружности Z , описанной около тре- 50 пар по своему усмотрению, считает произ- угольника B1HC1 , лежит на прямой BC. ведение чисел в каждой паре и выписывает Докажите, что окружность * , описанная на доску наибольшее из 50 полученных около треугольника ABC, касается окруж- произведений. Петя хочет, чтобы число на ности Z . А.Кузнецов

ОЛИМПИАДЫ 41 доске оказалось как можно больше, а Вася – 6. См. задачу 6 для 9 класса. чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной 7. Даны действительные числа a и b, игре? причем b ! a ! 1 . Пусть А.Храбров  xn 2n 2n b  2n a . 10 класс Докажите, что последовательность x1,x2,… убывает. 1. См. задачу 2 для 9 класса. Только теперь каждый из 10 человек задумал какое-то А.Храбров число (не обязательно целое). 8. В остроугольном треугольнике ABC 2. Дан выпуклый четырехугольник пери- проведена высота BH. Точки M и N – метра 10100, у которого длины всех сторон – середины отрезков AH и CH соответственно. натуральные числа, а сумма длин любых В окружности : , описанной около тре- трех сторон делится на длину оставшейся угольника BMN, проведен диаметр BBc . четвертой стороны. Докажите, что этот четы- Докажите, что ABc CBc . рехугольник – ромб. А.Кузнецов П.Кожевников 9. См. задачу М2551 «Задачника «Кван- 3. Клетки таблицы 2 u 2019 надо запол- та». нить числами (в каждую клетку вписать ровно одно число) по следующим правилам. 10. См. задачу М2552 «Задачника «Кван- В верхней строке должны стоять 2019 дей- та». ствительных чисел, среди которых нет двух равных, а в нижней строке должны стоять те 11 класс же 2019 чисел, но в другом порядке. В каждом из 2019 столбцов должны быть запи- 1. См. задачу 2 для 9 класса. саны два разных числа, причем сумма этих двух чисел должна быть рациональным чис- 2. Известно, что каждый из трехчленов лом. Какое наибольшее количество ирраци- x2  ax  b и x2  ax  b  1 имеет хотя бы ональных чисел могло быть в первой строке по одному корню и все корни этих трехчле- таблицы? нов целые. Докажите, что трехчлен x2  ax  b  2 корней не имеет. С.Кудря Н.Агаханов 4. Бесконечная последовательность нену- левых чисел a1,a2,a3,… такова, что при всех 3. Назовем расстоянием между двумя натуральных n t 2018 число an1 является клетками клетчатой доски наименьшее ко- наименьшим корнем многочлена личество ходов, за которое шахматный ко- роль может добраться от одной из них до Pn x x2n  a1x2n2  a2x2n4  …  an . другой. Найдите наибольшее количество клеток, которое можно отметить на доске Докажите, что существует такое N, что 100 u 100 так, чтобы среди них не нашлось в бесконечной последовательности двух клеток, расстояние между которыми aN,aN1,aN2,… каждый член меньше пре- равно 15. дыдущего. И.Богданов И.Богданов 4. См. задачу 4 для 10 класса. 5. В неравнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Продолжение 5. В тетраэдре ABCD проведены высоты медианы, проведенной из вершины B, пере- BE и CF. Плоскость D перпендикулярна секает окружность Z , описанную около тре- ребру AD и проходит через его середину. угольника ABC, в точке D. Через центр Известно, что точки A, C, D и E лежат на окружности, описанной около треугольника одной окружности и точки A, B, D и F также BDL, проведена прямая l, параллельная лежат на одной окружности. Докажите, что прямой AC. Докажите, что окружность Z расстояния от точек E и F до плоскости D касается прямой l. равны. А.Кузнецов А.Кузнецов

42 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 6. См. задачу 6 для 9 класса. них был в бассейне, а второй – нет, и день, когда, наоборот, второй из них был в бассей- 7. Дано положительное число a z 1 . Дока- не, а первый – нет. Найдите наибольшее возможное значение m. (В сентябре 30 дней.)  жите, что последовательность x1,x2,…, где Д.Храмцов xn 2n 2n a  1 , убывает. А.Храбров 10. Дано натуральное число n t 2. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выби- 8. На сторонах AB и AC треугольника ABC рает 2n (не обязательно различных) неотри- нашлись точки D и E соответственно такие, цательных чисел x1,x2,…,x2n, сумма кото- что DB = BC = CE. Отрезки BE и CD рых равна 1. Вася расставляет эти числа по пересекаются в точке P. Докажите, что ок- кругу в некотором порядке по своему усмот- ружности, описанные около треугольников рению. После этого он вычисляет произведе- BDP и CEP, пересекаются в центре окруж- ния пар соседних чисел и выписывает на доску ности, вписанной в треугольник ABC. наибольшее из всех 2n полученных произве- дений. Петя хочет, чтобы число на доске Р.Женодаров оказалось как можно больше, а Вася – чтобы оно было как можно меньше. Какое число 9. В классе m учеников. В течение сентября окажется на доске при правильной игре? каждый из них несколько раз ходил в бас- сейн; никто не ходил дважды в один день. А.Храбров Первого октября выяснилось, что все коли- чества посещений бассейна у учеников раз- Публикацию подготовили Н.Агаханов, личны. Более того, для любых двух учени- И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский ков обязательно был день, когда первый из Региональный этап LIII Всероссийской олимпиады школьников по физике ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ что температура жидкости изменялась на 7 класс одинаковую величину за равные промежут- ки времени. Длины шкал L = 10 см, а весь Задача 1. Термоареометр Однажды экспериментатору Глюку пона- эксперимент длился добилось одновременно измерять температу- 'W  = 5 мин. Постройте ру и плотность исследуемой жидкости. Он график полученной зави- разработал универсальный прибор, в кото- ром указатель неподвижен, а шкалы переме- симости U T и определи- щаются независимо (рис.1). Глюк снял по- казания, которые занес в таблицу. Известно, те, с какой максимальной скоростью перемещались Рис. 1 шкалы друг относительно друга в ходе эксперимен- та. М.Замятнин

ОЛИМПИАДЫ 43 Задача 2. Каникулы в Простоквашино ний объем стакана в 5 раз больше объема кубика. (1) М.Замятнин От станции Простоквашино до дома, в 8 класс котором живет кот Матроскин, расстояние Задача 1. Каникулы в Простоквашино s = 1,2 км. Дядя Федор с Шариком при- (2) ехал на станцию Простоквашино и пошел См. задачу 2 для 7 класса. Только теперь Шарик бежал домой вниз по склону со домой со скоростью vФ 4 км ч , а Шарик скоростью vШ1 12 км ч , а обратно бежал побежал со скоростью vШ 12 км ч . Добе- вверх по склону со скоростью vШ2 8 км ч . жав до дома, Шарик повернул обратно, Задача 2. Качаем пресс навстречу дяде Федору, и так бегал вперед и На полозьях, которые могут скользить по гладкому полу, установлен гидравлический назад между дядей Федором и домом вплоть пресс, заполненный несжимаемым маслом. Шток поршня большего диаметра прикреп- до момента прибытия мальчика домой. Ка- лен к стене (рис.3,а). При движении поршня кой путь больше: суммарный путь s1 , кото- рый Шарик пробежал, перемещаясь в сторо- ну дома, или s2 , который он пробежал, перемещаясь в обратном направлении? На сколько один путь длиннее другого? Опре- делите s1 и s2 . А.Лукьянов Задача 3. Усреднение На рисунке 2 приведены графики зависи- мости от времени координат двух машин, Рис. 3 между ним и стенкой пресса возникает сила трения F (одинаковая для обоих поршней). Чтобы сдвинуть пресс с места, к меньшему поршню необходимо приложить силу не Рис. 2 меньшую, чем F1  = 500 Н. Определите ве- личину силы трения F, если площади порш- ехавших по одной прямой дороге. Определи- те среднюю путевую скорость v10 второй ней отличаются в 4 раза. Какую минималь- машины за 10 минут движения с точки зре- ния наблюдателя, находящегося в первой. В ную горизонтальную силу F2 необходимо какие моменты времени движения, кроме приложить к поршню большего диаметра, конечного, средняя скорость второй машины относительно первой также была равна v10 ? чтобы отодвинуть пресс от стены, если уста- Какого максимального значения достигала средняя путевая скорость второй машины в новить его так, чтобы шток меньшего порш- процессе движения? ня был прикреплен к стене (рис.3,б)? В М.Замятнин какую сторону в этом случае должна быть Задача 4. Кубический коктейль Если в стакан, доверху заполненный жид- направлена сила F2 ? костью плотностью U 1,2 г см3, погрузить кубик, то средняя плотность содержимого М.Замятнин станет U1 1,4 г см3; если вместо этого ку- бика поместить другой кубик такого же Задача 3. Пластичность объема, то средняя плотность содержимого Цилиндрический столбик из пластилина станет U2 1,6 г см3. Какой окажется сред- высотой H и площадью основания s плотно няя плотность U3 содержимого, если в ста- прилепили к гладкому дну сосуда, в который кан поместить сразу оба кубика? Внутрен- налили жидкость плотностью U0 до верха столбика (рис.4,а). Вода под столбик плас- Рис. 4

44 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 тилина не подтекает. Не изменяя площади контакта пластилина с дном и не отделяя его от дна, столбик превратили в цилиндр высо- той h, стоящий на очень короткой ножке (рис.4,б). Определите, в какую сторону на- правлена и чему равна результирующая сила, действующая со стороны жидкости на де- формированный пластилин. Атмосферное давление равно p0 . М.Замятнин Рис. 6 Задача 4. Нелинейное плавление 's = 16 см. Определите пути s1 и s2, прой- В калориметре со встроенным нагревате- денные частицами, и время W их движения. лем расплавили некоторое вещество. На К.Кутелев Задача 2. «Наморозили» На весах установлен калориметр с водой при температуре t0 0 qC . Весы показыва- ют при этом m1 = 100 г. В воду опускают стальной шарик, закрепленный на нити, с намерзшим на нем толстым слоем льда, кото- рый полностью погружен в воду (рис.7). Показания весов увеличиваются до значения m2 = 201,3 г. После установления теп- Рис. 7 лового равновесия в кало- риметре (на этом этапе теплообменом с окру- жающей средой можно пренебречь) показа- Рис. 5 ния весов еще немного возрастают до m3 = = 204,45 г. Через большой промежуток вре- рисунке 5 приведены графики зависимости мощности N нагревателя от времени W его мени, когда содержимое калориметра нагре- работы и температуры t вещества от передан- ного ему количества теплоты Q. Найдите лось до комнатной температуры, весы пока- отношение теплоемкостей вещества в твер- дом и жидком состоянии. Определите, сколь- зали m4  = 191,3 г. Определите массу mc ко времени Wп длился процесс плавления, стального шарика, массу mл льда на нем считая известным время W0 . Постройте гра- перед опусканием в калориметр, их темпера- фик зависимости температуры вещества от времени, указав на нем величины W и t в туру t перед погружением в воду. Удельная характерных точках. теплоемкость стали cc 450 Дж к㠘 qС , М.Замятнин удельная теплоемкость льда cл 9 класс 2100 Дж к㠘 qС , удельная теплота плав- Задача 1. До остановки ления льда O 3,4 ˜ 105 Дж кг , плотности Две частицы движутся вдоль оси х. Зави- симости их ускорений ax от времени оказа- стали Uc 7800 кг м3, льда Uл 900 кг м3, лись одинаковыми (рис.6). За все время воды Uв 1000 кг м3. Фольклор наблюдений проекция скорости vx каждой из частиц ровно один раз обращалась в ноль, Задача 3. Пропавшие приборы а пройденные ими пути отличались на Миша собрал электрическую цепь, состо- ящую из идеального источника, двух резис- торов, двух амперметров и одного вольтмет- ра (рис.8). Но второпях он забыл расставить на схеме обозначения приборов, зато точно

ОЛИМПИАДЫ 45 запомнил, что расположена горизонтально или вертикаль- но. Все вертикальные перегородки парал- один из ампер- лельны одной и той же стенке сосуда. Через верхнее отверстие в сосуд медленно залива- метров показы- ют воду, снимая при этом зависимость пока- заний датчика давления от объема налитой вал силу тока воды. Полученная зависимость представле- на на графике (рис.10). Проанализируйте ее I = 1,0 мА, а и нарисуйте возможную схему расположе- ния перегородок в сосуде, соответствующую вольтметр – на- данному графику (достаточно любой одной схемы из множества возможных). На схеме Рис. 8 пряжение U = укажите масштаб и все характерные разме- ры. Поясните, каким образом вы получили = 1,2 В. Восста- эти размеры и определили характерные осо- бенности расположения перегородок. Счи- новите обозначения приборов. Дайте обосно- тайте g 10 м с2 , плотность воды U 1000 кг м3 , атмосферное давление p0 = вание. Определите показания второго ам- = 100 кПа. перметра, сопротивления резисторов и на- М.Карманов пряжение источника U0 . Все приборы мож- Задача 5. Тетрагон но считать идеальными. Основание стеклянной призмы имеет фор- му четырехугольника OAO1D (рис.11). Угол М.Замятнин Задача 4. Гидростатический «черный ящик» Имеется прямоугольный сосуд размером 1 u 1 u 4 м (рис.9). В верхней крышке сосуда Рис. 9 Рис. 11 есть отверстие. В нижней части сосуда вплот- ную ко дну смонтирован миниатюрный дат- AOD – прямой. Призма симметрична отно- чик давления. Внутри сосуда может быть расположено произвольное число перегоро- сительно плоскости, содержащей OO1 и док и закрытых ими полостей. Каждая пере- перпендикулярной основанию. Луч L1 нор- городка имеет пренебрежимо малый объем и мально падает на грань OA и после отраже- Рис. 10 ний на гранях DO1 и AO1 выходит через грань OD также под прямым углом к ней. Луч L2 падает на грань OA под углом D . Под каким углом E относительно нормали к грани OD он выйдет из призмы после отра- жений на гранях DO1 и AO1 ? Все лучи перпендикуляры к граням призмы и лежат в плоскости OAO1D . В.Слободянин 10 класс Задача 1. Воднолыжник Катер едет посередине прямого длинного канала фиксированной ширины с постоян- ной скоростью v (рис.12). За катером на

46 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 натянутом все вре- противления трех резисторов Rx , Ry и Rz неизвестны, сопротивления остальных та- мя тросе длиной L кие: R1 = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R3 = 3 кОм. При подключении к точкам А и В источника курсирует от од- с постоянным напряжением U0  = 10 В воль- тметр показывает U1 = 4 В, при подключе- ного берега кана- нии того же источника к точкам А и С показания вольтметра U2 = 5 В. Опреде- ла до другого вод- лите: нолыжник. В мо- 1) значения сопротивлений Rx , Ry и Rz ; 2) значения силы тока через источник при Рис. 12 мент времени, ког- подключении его к точкам А и В ( IAB ) и к да расстояние меж- точкам А и С ( IAC ). ду лыжником и правым берегом увеличива- Фольклор Задача 4. На планете R19 лось со скоростью u, а трос составлял с В далеком космосе астронавты исследова- ли атмосферу планеты R19. Оказалось, что направлением движения катера угол D0 , она очень похожа на атмосферу Земли: со- спортсмен оторвался от воды. Пренебрегая стоит из идеального газа с молярной массой 0 28 г моль и имеет схожую зависимость вертикальной составляющей скорости, най- температуры от высоты (рис.15). И даже дите модуль скорости u0 спортсмена в этот Рис. 15 момент. Какова в этот же момент сила натя- ускорение свободного падения у поверхнос- жения троса T, если масса спортсмена m? На ти R19 равно g 9,9 м с2 . Однако атмос- ферное давление на уровне моря отличается рисунке в качестве иллюстрации показан от земного. Оно равно p0 = 500 кПа. Опре- делите по этим данным, пренебрегая измене- вид сверху в некоторый момент движения нием g с высотой, давление p1 и плотность U1 на высоте h1 = 1,0 км. Универсальная воднолыжника. газовая постоянная R 8,31 Дж моль ˜ К . С.Варламов И.Иоголевич Задача 2. Шайбу! Задача 5. Бусинка на кольце На тонкое проволочное кольцо радиусом R Шайба летит в сторону движущейся посту- свободно надета бусинка массой m (рис.16). Кольцо неподвижно и расположено горизон- пательно тяжелой плиты так, что их плоско- тально в поле тяжести g. Коэффициент тре- ния скольжения между бусинкой и кольцом сти параллельны. Вектор скорости шай- бы составляет угол M 30q с нормалью к поверхности плиты. Происходит столкно- Рис. 13 вение. Векторы ско- рости шайбы до и пос- ле столкновения одинаковы по модулю и перпендикулярны друг другу (рис.13). Кро- ме того, они лежат в одной плоскости с вектором скорости плиты. Определите ми- нимальное и максимальное значения коэф- фициента трения P , при которых возможно такое столкновение. А.Аполонский Задача 3. Девять резисторов Электрическая цепь состоит из 9 резисто- ров и идеального вольтметра (рис.14). Со- Рис. 14

ОЛИМПИАДЫ 47 равен P . В началь- Задача 2. Кубическая планета На планете в форме куба из однородного ный момент време- материала вдоль большой диагонали выс- верлили узкий прямой гладкий канал ни бусинка движет- (рис.18). Если маленький шарик отпустить ся со скоростью v0 . Рис. 18 1) Найдите мо- без начальной скорости из точки A (вершина дуль силы трения, куба), его скорость в момент прохождения центра куба (точка O) будет равна v1 . действующей на бу- Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить шарику при запуске в космос из Рис. 16 синку в начальный точки A, чтобы он мог покинуть поле тяготе- момент времени. ния планеты? Атмосферы у планеты нет. 2) Найдите модуль полного ускорения Фольклор бусинки в этот же момент. Задача 3. Сосуд с поршнем Теплоизолированный цилиндрический со- 3) Запишите выражение, позволяющее с суд разделен на две части не проводящим тепло поршнем, который может перемещать- погрешностью не более 2% найти путь бусин- ся без трения (рис.19). В начальный момент в левой и пра- ки за время, в течение которого ее скорость вой частях со- суда находит- уменьшилась на 1%. ся по одному молю гелия Фольклор при одинако- вой температу- Рис. 19 11 класс ре. В левую часть сосуда подвели тепло с помощью на- Задача 1. Испытания автомобиля гревателя. При этом температура гелия в ней увеличилась на малую величину 'T . Опре- Плоский горизонтальный полигон для ис- делите изменение температуры 'T2 в правой части сосуда и количество теплоты Q, пере- пытаний гоночных автомобилей имеет два данное нагревателем. участка с разным покрытием. По условиям И.Воробьев испытаний автомобиль должен проехать по Задача 4. Айс Вертикальный цилиндрический сосуд с прямой расстоя- водой, равномерно вращающийся вокруг своей оси с периодом T0 , быстро охлаждают, ние L от линии так что на поверхности появляется тонкая гладкая ледяная корка. На корку вблизи оси старта до линии сосуда без начальной скорости помещают маленькую бусинку, которая может без тре- границы между участками в од- ном направлении, стартуя с нуле- вой начальной скоростью (рис. 17). После пере- сечения линии границы автомо- биль должен ос- тановиться. Ко- Рис. 17 эффициент тре- ния на первом участке равен P , а на втором 2P . За какое минимальное время tи автомобиль может выполнить это испыта- ние (от старта до полной остановки)? Какая при этом будет скорость v0 у автомобиля при пересечении им линии границы участ- ков? Нарисуйте график зависимости скоро- сти автомобиля от времени, соответствую- щий вашему решению, и отметьте на нем момент прохождения автомобилем линии границы. Автомобиль полноприводный с нео- граниченной мощностью двигателя. Разме- рами машины по сравнению с L пренебречь. С.Кармазин

48 К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 3 ния скользить по поверхности. Найдите пе- кулярно линиям индукции. Вектор переме- риод T ее малых колебаний. щения частицы к моменту, когда скорость частицы впервые оказалась противонаправ- Л.Мельниковский ленной начальной скорости, составляет ост- рый угол M с вектором p0 . Задача 5. Остановка частицы в магнит- ном поле 1) Какой путь прошла частица до оста- новки? Маленькая частица с положительным за- рядом q движется в однородном магнитном 2) Чему равен модуль перемещения части- поле с индукцией B в вязкой среде. Сила цы до остановки? сопротивления среды, действующая на час- тицу, прямо пропорциональна ее скорости. Силой тяжести пренебречь. В начальный момент времени импульс части- А.Аполонский цы равнялся p0 и был направлен перпенди- Публикацию подготовил В.Слободянин ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ Олимпиада «Ломоносов». Физика В 2018/19 учебном году олимпиада «Ломо- единица г м2. Какое давление p оказывает носов» по физике в МГУ проводилась в два на стол лист бумаги плотностью V ? этапа – отборочный и заключительный. 2. Мальчик переплывает реку, двигаясь по ОТБОРОЧНЫЙ ЭТАП прямой из точки A, находящейся на одном берегу реки, в точку B, находящуюся ниже Отборочный этап проходил в форме заоч- по течению на противоположном берегу реки, ного испытания. На этом этапе каждый ученик за время W . Скорость течения реки u. Най- 7–11 классов мог участвовать по собственно- дите ширину реки L, если известно, что му выбору в одном или двух турах, проводи- модуль скорости мальчика относительно воды мых по единой форме. Задания каждого из v, а вектор этой скорости перпендикулярен туров были равноценными по сложности и прямой AB. составлялись раздельно для учащихся млад- ших (7–9) и старших (10–11) классов. Эти 3. Из медной проволоки площадью попе- задания были размещены в личных кабинетах речного сечения s изготовлен контур, имею- участников на сайте http://olymp.msu.ru. Дос- щий форму квадрата ABCD туп к условиям заданий был открыт для учас- со стороной a, а из алюми- тников дважды: с 13 по 17 ноября 2018 года ниевой проволоки того же (первый тур) и с 6 по 10 декабря 2018 года сечения изготовлены его (второй тур). Прием решений и ответов по диагонали AC и BD, соеди- каждому из туров прекращался одновремен- ненные в точке O (рис.1). но с их завершением. Вершины A и C подключе- ны к источнику постоянно- Рис. 1 Победители и призеры отборочного этапа го напряжения U. Найдите были приглашены для участия в заключитель- мощность N, выделяющуюся в рассматрива- ном этапе олимпиады. емой цепи, если сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало. Удельное со- 7–9 классы противление меди Uм , удельное сопротивле- ние алюминия Ua . Первый тур 4. С какой минимальной скоростью vmin 1. Одной из характеристик писчей бумаги должен влететь в атмосферу Земли метео- является ее плотность V, для измерения рит, состоящий из железа, чтобы полностью которой обычно используется внесистемная расплавиться в воздухе, если на нагрев ме-