matemáticas-unidad 4

Guía para el examen global de conocimientos 271 Unidad 1 Aritmética Unidad 2 Álgebra Unidad 3 Geometría y trigonometría Unidad 4 Geometría analítica Unidad 5 Probabilidad y estadística Objetivo: al término de la unidad, el estudiante conocerá los conceptos básicos de la geometría analítica e identificará los lugares geométricos. Distancia entre 2 puntos Y P2(x2, y2) P1(x1, y1) X La distancia entre 2 puntos del plano está dada por la fórmula: P1P2  x2  x1 2  y 2  y1 2 Ejemplos 1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos P(2, –3) y Q (–4, – 11)? a) 50 u b) 100 u c) 10 u d ) 10 u Solución: Al sustituir (x1, y1) = (2, –3) y (x2, y2) = (–4, – 11) en la fórmula, se obtiene: PQ  x2  x1 2  y2  y1 2 n P Q  4  2 2  11 3 2 n PQ  4  2 2  11 3 2 PQ  6 2  8 2 = 36  64 n PQ  100 = 10 unidades Por tanto, la opción correcta es el inciso d.

272 Colegio Nacional de Matemáticas 2. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A (3, 4) y B (– 6, 7)? a) 90 u b) 90 u c) 45 u d) 9 u Solución: Al sustituir (x1, y1) = (3, 4) y (x2, y2) = (– 6, 7) en la fórmula de la distancia se obtiene: n A B  6  3 2  7  4 2 n A B  9 2  3 2 AB  x2  x1 2  y2  y1 2 A B = 81 9 n
A B  90 unidades Por tanto, la opción correcta es el inciso a. Punto medio de un segmento W Punto medio Es el punto P(x, y) que divide al segmento formado por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en 2 segmentos iguales. Sus coordenadas están dadas por las fórmulas: x  x1  x2 y  y1  y2 2 2 Ejemplos 1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos P1( 5 , – 3) y P2(1, 7)? a) ( – 3, – 2) b) (3, 2) c) (2, 3) d ) (2, – 3) Solución: Al sustituir en las fórmulas (x1, y1) = ( 5, – 3) y (x2, y2) = (1, 7). x  x1  x2  5 1  6  3 ; y  y1  y2  3  7  4  2 2 2 2 2 2 2 Las coordenadas del punto medio son: (3, 2). Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

Guía para el examen global de conocimientos 273 Pendiente de una recta W Pendiente Se define como la tangente del ángulo de inclinación θ de una recta. Y P2(x2, y2) P1(x1, y1) X R La pendiente m de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 se obtiene con la fórmula: m  y2  y1 x2  x1 Ejemplos 1. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (5, 8) y B (– 1, 6)? a) 1 b) 3 c) – 3 d)  1 3 3 Solución: Al sustituir en la fórmula (x1, y1) = (5, 8); (x2, y2) = (– 1, 6) se obtiene: m  y 2  y1  6  8  2  1 x2  x1 1 5 6 3 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 2. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P ¦ 2 , 1 µ y Q ¦ 5 ,  3 µ ? § 3 4 ¶ § 2 2 ¶ ¨ · ¨ · a) 22 b)  22 c)  21 d) 21 21 21 22 22 Solución: Al sustituir (x1, y1) = ¦ 2 , 1 µ ; (x2, y2) = ¦ 5 ,  3 µ en la fórmula se obtiene: § 3 4 ¶ § 2 2 ¶ ¨ · ¨ ·  3  1  3  1 6 1 7 42 21 2 4 2  4 4 4 44 22 m  ¦ 2µ  5 2   11   5 § 3 ·¶ 2 3 15  4 6  2  ¨  6 Por tanto, la opción correcta es el inciso d.

274 Colegio Nacional de Matemáticas Línea recta W Definición Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que si se toman 2 cualesquiera, el valor de la pendiente es constante. W Fórmulas para obtener la ecuación de la recta Punto-pendiente. Para hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m, se utiliza la siguiente fórmula: y – y1 = m (x – x1) Dos puntos. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se utiliza la siguiente fórmula: y – y1 = y2  y1 (x – x1) x2  x1 W Formas de representar la ecuación de la recta A continuación se presentan algunas formas de representar la ecuación de una línea recta, cada una de ellas tiene ciertas características, las cuales determinan su uso. General. Es la forma más común de representar la ecuación de una recta y se obtiene al igualar a cero. Ax + By + C = 0 Ordinaria (pendiente ordenada al origen). Con esta forma se determina la pendiente de la recta, así como la intersección de la misma en el eje Y, se obtiene despejando la variable y de la ecuación general. y = mx + b con m =  A y b =  C BB Donde, m: pendiente b: Intersección con el eje Y, representa el punto (0, b) Ejemplos 1. La ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente 1 es: 4 a) 3x – 4y + 6 = 0 b) x – 4y + 10 = 0 c) x + y – 5 = 0 d ) 2x – y – 1 = 0 Solución: Al utilizar la fórmula y – y1 = m(x – x1), se obtiene: y–3= 1 (x – 2) 4

Guía para el examen global de conocimientos 275 Se simplifica y se iguala a cero para llegar a la forma general: 4(y – 3) = 1(x – 2) n 4y – 12 = x – 2 n x – 2 – 4y + 12 = 0 x – 4y + 10 = 0 Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 2. ¿Cuál es la ecuación de la recta en su forma general, que pasa por los puntos (1, 5) y (6, 2)? a) 3x – y + 2 = 0 b) x – 4y + 2 = 0 c) 3x + 5y – 28 = 0 d ) x + y – 6 = 0 Solución: fórmula y – y1 = y2 -y1 (x – x1), donde P1(1, 5) y P2(6, 2) Se aplica la x2 - x1 y – 5 = 2  5 (x – 1) 6 1 Se simplifica y se iguala a cero para llegar a la forma general: y – 5 = 3 (x – 1) n
5(y – 5) = – 3(x – 1) n
5y – 25 = – 3x + 3 5 5y – 25 + 3x – 3 = 0 3x + 5y – 28 = 0 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 3. Halla la ecuación de la recta en su forma general con pendiente 3 que interseca al eje Y en – 4 a) 3x – y – 4 = 0 b) 4x – 2y + 5 = 0 c) x – y + 1 = 0 d ) x – 3y + 4 = 0 Solución: De acuerdo con los datos m = 3 y b = – 4, al utilizar la forma y = mx + b, se tiene: y = 3x + (– 4) n

y = 3x – 4 Para llegar a la forma general, se iguala a cero la ecuación, entonces: 3x – y – 4 = 0 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 4. ¿Cuál de las siguientes rectas se encuentra en su forma ordinaria? a) x = 2y + 1 b) 3y = x – 5 c) x + y = 0 d) y = – x + 2 Solución: La respuesta correcta es el inciso d, puesto que tiene la forma y = mx + b. W Gráfica de una recta Para obtener la gráfica de una recta existen diversos métodos, en este caso utilizaremos la forma ordi- naria de la recta.

276 Colegio Nacional de Matemáticas y  mx  b Movimiento m  movimiento vertical movimiento horizontal b vertical Movimiento b: intersección con el eje Y, (0, b) horizontal Ejemplos 1. La gráfica de la recta y = 3x + 2, es: Solución: La ecuación y = 3x + 2, tiene la forma ordinaria y = mx + b, entonces m = 3 y b = 2, es nece- sario que la pendiente sea una fracción, por tanto la pendiente se puede expresar como m = 3 = movimiento vertical 1 movimiento horizontal Gráfica Se ubica la intersección con el eje Y, el punto (0, b) = (0, 2) Y (0, 2) 5b = 2 X Se grafica la pendiente a partir de la intersección realizando un movimiento horizontal y tres verticales, como lo muestra la figura. Y 3 (0, 2) 1 X Por último, la gráfica de la recta es aquella que pasa por los puntos indicados. Y y  3x  2 3 (0, 2) 1 X

Guía para el examen global de conocimientos 277 2. ¿Cuál de las siguientes figuras representa la gráfica de la ecuación y =  2 x  3? 5 a) b) c) d ) XY X Y Y XY X Solución: De acuerdo con la recta el punto de intersección con el eje Y es (0, 3) y la pendiente m= 2  movimiento vertical 5 movimiento  horizontal Y 5 (0, 3) –2 X Por tanto, la opción correcta es el inciso b. Circunferencia W Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Y P(x, y) r k C(h, k) h X Circunferencia con centro en el origen y radio r: x2 + y2 = r2

278 Colegio Nacional de Matemáticas Circunferencia con centro fuera del origen y radio r: Ecuación ordinaria (x – h )2 + (y – k )2 = r 2 Ecuación general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplos 1. ¿Cuál es el radio de la circunferencia x 2 + y 2 = 36? a) 36 b) 18 c) 6 d ) 16 Solución: La ecuación tiene la forma x 2 + y 2 = r 2 de donde r 2 = 36, por tanto, r = 36 ; r = 6 Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. ¿Qué lugar geométrico es la ecuación x 2 + y 2 = 25? a) parábola b) línea recta c) elipse d ) circunferencia Solución: La ecuación tiene la forma x 2 + y 2 = r 2, por tanto x 2 + y 2 = 25 representa una circunferencia, la respuesta correcta es el inciso d. 3. Determina la ecuación de la circunferencia que muestra está gráfica. Y 4 –4 4 X –4 a) x 2 + y 2 = 16 b) x 2 + y 2 = 4 c) x 2 + y 2 = 8 d) x2 + y2 = 2 Solución: La circunferencia tiene su centro en el origen y su radio es de 4 unidades, entonces su ecuación es de la forma: x2 + y2 = r2 Al sustituir r = 4, se obtiene: x 2 + y 2 = (4)2 n
x 2 + y 2 = 16 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 4. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (– 6, 4) y radio 10 unidades? a) x 2 + y 2 + 12x – 8y – 48 = 0 b) x 2 + y 2 – 12x + 8y + 48 = 0 c) x 2 + y 2 – 100 = 0 d ) x 2 + y 2 – 10 = 0

Guía para el examen global de conocimientos 279 Solución: Se sustituye (h, k) = (– 6, 4) y r = 10 en la ecuación (x – h)2 + (y – k)2 = r 2, y éste es el resultado: (x – (– 6))2+ (y – 4)2 = (10)2 n (x + 6)2 + (y – 4)2 = 100 x 2 + 12x + 36 + y 2 – 8y + 16 – 100 = 0 x 2 + y 2 + 12x – 8y – 48 = 0 Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 5. Es el lugar geométrico que describen los puntos del plano que equidistan 6 unidades del punto (5, 3). a) cuadrado de 6 unidades por lado b) circunferencia de radio 6 unidades c) cuadrado de 12 unidades por lado d ) circunferencia de radio 12 unidades Solución: Por la definición se trata de una circunferencia de radio 6 unidades. Por tanto, la opción correcta es el inciso b. 6. El área de la circunferencia cuya ecuación es x 2 + y 2 = 25 está representada por: a) 25 b) 5 c) 5p d ) 25p Solución: La ecuación tiene la forma x 2 + y 2 = r 2 de donde r 2 = 25, entonces: r = 25 n
r = 5 El área de un círculo es A = pr 2, siendo p = Q, sustituyendo r = 5 se obtiene: A = p (5)2 = p (25) = 25p unidades cuadradas Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 7. Determina la superficie limitada por la circunferencia cuya gráfica es la siguiente: Y 6 –6 6 X a) 18.84 b) 36 –6 d ) 113.04 Solución: c) 81.92 La superficie se define como: S = pr2

280 Colegio Nacional de Matemáticas En la gráfica se observa que la circunferencia tiene un radio de 6 unidades, entonces al sustituir resulta que: S = p (6)2 = (3.14)(36) = 113.04 u 2 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 8. ¿Qué opción representa el perímetro de la circunferencia (x – 3)2 + (y – 4)2 = 49? a) 43.9 b) 21.9 c) 153.9 d ) 6.2 Solución: La ecuación tiene la forma (x – h)2 + (y – k)2 = r 2 de donde r 2 = 49, entonces: r = 49 n
r = 7 El perímetro de una circunferencia es P = 2 pr, al sustituir r = 7 se obtiene: P = 2p (7) = 14 p = 14(3.1416) = 43.9 unidades Por tanto, la opción correcta es el inciso a. 9. ¿Cuál de las siguientes graficas representa a la ecuación x 2 + y 2 = 4? a) b) Y Y XX c) d) Y Y X X Solución: La ecuación x 2 + y 2 = 4, representa una circunferencia con centro en el origen y radio 2 unida- des Por tanto, la opción correcta es el inciso b.

Guía para el examen global de conocimientos 281 10. ¿Cuál de las siguientes graficas representa a una ecuación con centro en el origen y de diá- metro 4? a) Y b) Y X 4 X 2 4 2 d) –4 –4 Y c) 8 Y 2 –2 2 X –8 8 X –2 –8 Solución: El inciso a es una circunferencia con centro en el origen y radio 4, entonces su diámetro es 8; el inciso b es una circunferencia fuera del origen y radio 2, entonces el diámetro es 4; el inciso c es una circunferencia con centro en el origen y radio 2, entonces tiene de diámetro 4 y el inciso d es una circunferencia de radio 8 y de diámetro 16 Por tanto, la opción correcta es el inciso c.

282 Colegio Nacional de Matemáticas Parábola Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, es la misma distancia que existe a una recta fija llamada directriz. DY P (x, y ) L Elementos V : vértice V F F : foco pp D : directriz X LR : lado recto, LR = 4p p : parámetro (distancia del vértice al foco o a la directriz) R La concavidad de la parábola se determina de acuerdo con el signo del parámetro: Horizontal Vertical p es positivo p es negativo W Fórmulas Parábola vertical con vértice en el origen Parábola horizontal con vértice en el origen — Su eje focal coincide con el eje Y (x = 0). — Su eje focal coincide con el eje X (y = 0). — Su ecuación canónica es: x 2 = 4py. — Su ecuación canónica es: y 2 = 4px. — Foco: F (0, p). — Foco: F (p, 0). — Directriz: y + p = 0. — Directriz: x + p = 0. Parábola horizontal con vértice fuera del origen Parábola horizontal con vértice fuera del origen — Su eje focal es paralelo al eje Y. — Su eje focal es paralelo al eje X. — Su ecuación ordinaria es: (x – h )2 = 4p (y – k). — Su ecuación ordinaria es: (y – k )2 = 4p (x – h). — Vértice: (h, k). — Vértice: (h, k). — Foco: F (h, k + p). — Foco: F (h + p, k). — Directriz: y – k + p = 0. — Directriz: x – h + p = 0.

Guía para el examen global de conocimientos 283 W Ecuación general de la parábola Horizontal: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Vertical: Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplos 1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una parábola? a) 5x 2 + 9y 2 – 90 = 0 b) 4x 2 – 2y 2 = 16 c) y 2 – 4x = 0 d ) x 2 + y 2 – 4x – 2y + 3 = 0 Solución: Si la ecuación tiene un solo término cuadrático ya sea en x o en y, la ecuación representa una parábola, por tanto, la opción correcta es el inciso c. 2. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto (0, – 5). a) y 2 = 5x b) x 2 = 10y c) x 2 = – 20y d ) y 2 = – 10x Solución: El foco tiene la forma (0, p), que pertenece a una parábola vertical que abre hacia abajo ya que p = – 5, su ecuación es: x 2 = 4py Al sustituir p = – 5 en la ecuación se obtiene: x 2 = 4py n
x 2 = 4(–5)y n
x 2 = –20y Por tanto, la opción correcta es el inciso c. 3. La ecuación y 2 = 12x corresponde a la gráfica: d) a) b) c) Solución: La ecuación y 2 = 12x, tiene la forma y 2 = 4px la cual representa una parábola horizontal con vértice en el origen, de las 2 ecuaciones se tiene que: 4p = 12 n
p= 12 =3 4 Como p es positivo, entonces la parábola abre a la derecha y, por tanto, la opción correcta es el inciso a.

284 Colegio Nacional de Matemáticas 4. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que se muestra a continuación? Y 2 X a) y 2 = 12x b) x 2 = 8y c) x 2 = 4y d ) y 2 = 8x Solución: La distancia del vértice al foco es de 2 unidades, además la parábola tiene su vértice en el origen y abre hacia arriba, entonces p = 2 y su ecuación es de la forma x 2 = 4 py, por lo que al sustituir en la ecuación se obtiene: x 2 = 4py n x 2 = 4(2)y n x 2 = 8y Por tanto, la opción correcta es el inciso b. Elipse Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. Y C: centro L2 B1 P(x, y) V1 y V2: vértices L1 F1 y F2: focos V2 F2 B1 y B2: extremos del eje menor R2 C F1 V1 R1 V1V2: 2 a (eje mayor) B2 F1F2: 2 c (eje focal) X B1B2: 2 b (eje menor) Condición: a2  b2 c2; a  b, a  c Excentricidad: e  c (e  1) a LR  2b2 (lado recto) a

Guía para el examen global de conocimientos 285 W Fórmulas Elipse horizontal con centro en el origen Elipse vertical con centro en el origen — Su eje focal coincide con el eje X. — Su eje focal coincide con el eje Y. — Su ecuación canónica es: x2  y2 1 — Su ecuación canónica es: x2  y2 1 a2 b2 b2 a2 — Vértices: V1(a, 0), V2(– a, 0). — Vértices: V1(0, a), V2(0, – a). — Focos: F1(c, 0), F2(– c, 0). — Focos: F1(0, c), F2(0, – c). — Extremos del eje menor: B1(0, b), B2(0, – b). — Extremos del eje menor: B1(b, 0), B2(– b, 0). Elipse horizontal con centro en el punto (h, k) Elipse vertical con centro en el punto (h, k) — Su eje focal es paralelo al eje X. — Su eje focal es paralelo al eje Y. x  h 2 y  k 2 x  h 2 y  k 2 — Su ecuación ordinaria es: a2  b2  1 — Su ecuación ordinaria es: b2  a2  1 — Vértices: V1(h + a, k ), V2(h – a, k). — Vértices: V1(h, k + a), V2(h, k – a). — Focos: F1(h + c, k), F2(h – c, k). — Focos: F1(h, k + c), F2(h, k – c). — Extremos del eje menor: B1(h, k + b), — Extremos del eje menor: B1(h + b, k), B2(h, k – b). B2(h – b, k). W Ecuación general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 con A ≠ C y de igual signo. Ejemplos 1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una elipse? a) 4x 2 + 9y 2 – 36 = 0 b) 4x 2 – y 2 = 4 c) x 2 – 8y = 0 d ) 3x 2 + 3y 2 – 6x – 4 = 0 Solución: Para que una ecuación represente una elipse, los coeficientes de los términos cuadráticos de- berán ser diferentes y del mismo signo, por consiguiente la única ecuación que cumple con esas características es el inciso a. 2. Determina la ecuación de la elipse que se muestra a continuación: Y 3 –4 4X a) x 2  y 2  1 b) x 2  y 2  1 –3 d) x2  y2 1 43 34 16 9 c) x 2  y 2  1 86

286 Colegio Nacional de Matemáticas Solución: De la gráfica se tiene que a = 4 y b = 3, además la elipse tiene centro en el origen y es horizontal, por tanto, su ecuación es de la forma: x2  y2 1 a2 b2 Al sustituir los valores de a y b se obtiene:  x2y21n
x2  y2 1 n
x 2  y 2  1 b2 42 32 16 9 a2 Por tanto, la opción correcta es el inciso d. 3. La gráfica de la elipse cuya ecuación es x2  y2 1, aparece en la opción: 16 25 a) b) Y Y 5 4 –3 3 X –5 5 X –5 –4 c) d) Y Y 5 3 –4 4 X –5 5 X –5 –3 Solución: Con la ecuación se busca el denominador más grande, en este caso es 25 y se encuentra debajo de y 2, lo cual indica que la elipse es vertical y tiene la forma: x2  y2 1 b2 a2 Luego, a 2 = 25 y b 2 = 16, de lo que resulta a = 5 y b = 4, por tanto, la gráfica que corresponde a dicha ecuación es el inciso c.

Guía para el examen global de conocimientos 287 Hipérbola Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuyo valor absoluto de la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. Y I1 C: centro V1 y V2: vértices B1 P(x, y) F1 y F2: focos L2 L1 B1 y B2: extremos del eje conjugado V1V2: 2 a (eje transverso o real) F1F2: 2 c (eje focal) F2 V2 C V1 F1 X B1B2: 2 b (eje conjugado o imaginario) R2 R1 Condición: c2  a2 b2; c  b, c  a B2 Excentricidad: e  c (e  1) a LR  2b2 (lado recto) a I2 I1 y I2: Asíntotas W Fórmulas Hipérbola horizontal con centro en el origen Hipérbola vertical con centro en el origen — Su eje focal coincide con el eje X. — Su eje focal coincide con el eje Y. — Su ecuación canónica es: x2  y2 1 — Su ecuación canónica es: y2  x2 1 a2 b2 a2 b2 — Vértices: V1(a, 0), V2(– a, 0). — Vértices: V1(0, a ), V2(0, – a ). — Focos: F1(c, 0), F2(– c, 0). — Focos: F1(0, c ), F2(0, – c ). — Extremos del eje conjugado: B1(0, b), — Extremos del eje conjugado: B1(b, 0), B2(0, – b). B2(– b, 0). — Asíntotas: y = q b x . — Asíntotas: y = q a x. a b Hipérbola horizontal con centro en (h, k) Hipérbola vertical con centro en (h, k) — Su eje focal es paralelo al eje X. — Su eje focal es paralelo al eje Y. x  h 2 y  k 2 y  k 2 x  h 2 — Su ecuación ordinaria es a2  b2  1 — Su ecuación ordinaria es a2  b2  1 — Vértices: V1(h + a, k ), V2(h – a, k). — Vértices: V1(h, k + a ), V2(h, k – a ). — Focos: F1(h + c, k ), F2(h – c, k). — Focos: F1(h, k + c ), F2(h, k – c ). — Extremos del eje conjugado: B1(h, k + b), — Extremos del eje conjugado: B1(h + b, k), B2(h, k – b). B2(h – b, k). — Asíntotas: y – k = q b (x – h). — Asíntotas: y – k = q a (x – h). a b

288 Colegio Nacional de Matemáticas W Ecuación general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, con A y C de signo diferente. Ejemplos 1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una hipérbola? a) x 2 + 5y 2 – 10 = 0 b) 9x 2 – 4y 2 = 36 c) 4y 2 – x = 0 d ) 3x 2 + 3y 2 – 12 = 0 Solución: Para que una ecuación represente una hipérbola, los signos de los términos cuadráticos debe- rán ser diferentes, la única ecuación que cumple con esas características es el inciso b, por tanto, es la respuesta correcta. 2. Determina la ecuación de la hipérbola que se muestra a continuación: Y 3 –2 2 X –3 a) x 2  y 2  1 b) x 2  y 2  1 c) y 2  x 2  1 d) x2  y2 1 49 94 32 23 Solución: En la gráfica se observa que a = 2 y b = 3, además la hipérbola tiene centro en el origen y es horizontal, entonces su ecuación es de la forma: x2  y2 1 a2 b2 Al sustituir los valores de a y b se obtiene: x2y2 1 n
x2  y2 1 n
x 2  y 2  1 b2 22 32 49 a2 Por tanto, la opción correcta es el inciso a.

Guía para el examen global de conocimientos 289 3. La gráfica de la hipérbola cuya ecuación es y 2  x 2 1, aparece en la opción: 4 16 a) b) YY 43 –2 2 X –4 4X –3 4X –4 d) Y c) 2 –4 Y –2 4 –3 3X –4 Solución: La ecuación tiene la forma canónica y el término en y 2 es positivo, lo cual indica que la hipér- bola es vertical: y2  x2 1 a2 b2 Luego, a2 = 4 y b2 = 16, de lo que resulta a = 2 y b = 4, eso demuestra que la gráfica correspon- diente a dicha ecuación es el inciso d. Ecuación general de segundo grado La ecuación Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, representa a una: W Circunferencia Si los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales, es decir, A = C. Ejemplos: a) x 2 + y 2 – 8x + 10y + 34 = 0 b) 3x 2 + 3y 2 – 6x – 9y + 3 = 0 c) x 2 + y 2 – 16 = 0

290 Colegio Nacional de Matemáticas W Parábola Si sólo hay un término cuadrático, es decir, A = 0 o C = 0. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, es la misma distancia que existe a una recta fija llamada directriz. Ejemplos: b) 3x 2 – 6x – 12y + 6 = 0 c) y 2 – 20y = 0 d) 4x 2 + 3y = 0 a) y 2 – 12x – 6y + 45 = 0 W Elipse Si los coeficientes de los términos cuadráticos son diferentes y del mismo signo, es decir, A y B y A —B  0. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. Ejemplos: b) 25x 2 + 9y 2 – 100x – 72y + 19 = 0 a) 9x 2 + 16y 2 – 144 = 0 W Hipérbola Si los coeficientes de los términos cuadráticos son de diferente signo, es decir, A y B y A —B  0. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuyo valor absoluto de la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. Ejemplos: b) 9x 2 – 16y 2 – 18x – 64y – 199 = 0 a) 25x 2 – 16y 2 – 400 = 0 Ejemplos 1. De la ecuación Ax 2 + Cy 2 + Dx +Ey + F = 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La ecuación representa una parábola. Si A = 1 y C = 2. b) La ecuación representa una elipse. Si los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales. c) La ecuación representa una circunferencia. Si los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales. d ) La ecuación representa una hipérbola. Si los coeficientes de los términos cuadráticos son diferen- tes y del mismo signo. Solución: La opción correcta es el inciso c.

Guía para el examen global de conocimientos 291 2. La elipse se define como: a) El lugar geométrico de los puntos del plano, cuyo valor absoluto de la diferencia de sus distan- cias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. b) El lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. c) El lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, es la misma distancia que existe a una recta fija llamada directriz. d ) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Solución: El inciso b es la respuesta correcta. 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta? a) La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a 2 puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. b) La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a un punto fijo, llama- do foco, es la misma distancia que existe a una recta fija llamada directriz. c) La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es distinta. d ) La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuyo valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, siempre es constante. Solución: La opción correcta es el inciso c.