หนังสืออิลิเมนต์เล่มที่ 1 ของยุคลิดทฤษฏีบทที่ 47 และ ทฤษฎีบทที่ 48

หนังสอื อลิ ิเมนต์เลม่ ที่ 1 ของยคุ ลดิ ทฤษฏบี ทท่ี 47 และ ทฤษฎบี ทท่ี 48 จัดทำโดย นำยสุรยทุ ธ พงษเ์ กำะ รหัส 62003120001

ขอ้ ตกลงเบือ้ งตน้ ทเี่ กี่ยวข้องกับการพสิ จู น์ สจั พจนท์ ี่ 1 ลำกเส้นตรงเส้นหนึ่งจำกจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหน่ึงไปยังอกี จดุ หน่งึ ได้ คอมมอนโนชนั ท่ี 1 ส่งิ ท้ังหลำยท่ีเทำ่ กับส่งิ เดยี วกัน ส่งิ เหลำ่ น้ันย่อมเทำ่ กัน คอมมอนโนชันท่ี 2 ส่ิงท่ีเทำ่ กัน เมื่อเพิม่ เข้ำกับสง่ิ ท่เี ทำ่ กัน ผลยอ่ มเท่ำกนั ทฤษฎบี ทท่ี 3 กำหนดเสน้ ตรงสองเสน้ ท่ียำวไมเ่ ท่ำกนั จงตัดเส้นที่ยำวกว่ำให้ยำวเท่ำกับเส้น สั้น ทฤษฎีบทที่ 4 ถำ้ รูปสำมเหล่ยี มสองรปู มดี ำ้ นทเี่ ทำ่ กนั สองคู่ดำ้ นตอ่ ด้ำน และมมี มุ ระหวำ่ ง ด้ำนเทำ่ เท่ำกันแลว้ รปู สำมเหลี่ยมสองรปู น้นั จะมฐี ำนเทำ่ กนั และมีมุมทเ่ี หลือเทำ่ กันมมุ ต่อ มุม ซง่ึ หมำยถึงรปู สำมเหลี่ยมสองรูปเท่ำกนั ทกุ ประกำร

ขอ้ ตกลงเบอ้ื งต้นทเี่ กย่ี วข้องกบั การพสิ จู น์(ต่อ) ทฤษฎีบทที่ 8 รปู สำมเหล่ยี มสองรปู มดี ้ำนยำวเท่ำกัน ด้ำนต่อด้ำน ย่อมทำให้มุมภำยในทัง้ สำมเทำ่ กนั มมุ ต่อมมุ ซึง่ หมำยถงึ สำมเหลย่ี มสองรปู เท่ำกันทุกประกำร ทฤษฎีบทท่ี 11 จงลำกเส้นตรงเส้นหน่ึง ต้งั ฉำกกับเส้นตรงอกี เสน้ หน่งึ ทกี่ ำหนดให้ ณ จดุ ที่ กำหนดให้บนเส้นตรงน้นั ทฤษฎีบทท่ี 14 จำกจดุ หนงึ่ บนเส้นตรงใด ๆ ถ้ำมเี สน้ ตรงสองเสน้ ตั้งอยูบ่ นเส้นตรงท่ี กำหนดใหท้ จี่ ุดกำหนด โดยที่เสน้ ตรงทงั้ สองอยู่คนละข้ำง แลว้ ทำใหเ้ กดิ มมุ ประชิดรวมกนั เทำ่ กับสองมมุ ฉำก เสน้ ตรงทัง้ สองเส้นดังกล่ำวจะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ทฤษฎีบทท่ี 31 จำกจดุ ทก่ี ำหนดให้ จงลำกเสน้ ตรงให้ผ่ำนจุดนี้ และขนำนกบั เสน้ ตรงท่ี กำหนดให้

ข้อตกลงเบื้องต้นท่ีเก่ียวขอ้ งกบั การพสิ จู น์(ต่อ) ทฤษฎบี ทที่ 41 ถำ้ รูปสเ่ี หลี่ยมด้ำนขนำนมฐี ำนเดยี วกนั กับรูปสำมเหลยี่ มและอยู่ในคขู่ นำน เดยี วกนั รูปส่เี หลยี่ มด้ำนขนำนจะมีพ้ืนท่ีเป็นสองเท่ำของรูปสำมเหลย่ี มนนั้ ทฤษฎบี ทที่ 46 บนเส้นตรงท่ีกำหนดให้ จงสรำ้ งรปู สี่เหลยี่ มจตั รุ สั ทฤษฎีบทที่ 47 รูปสำมเหลย่ี มมุมฉำกใด ๆ พืน้ ทรี่ ปู สีเ่ หลีย่ มจัตุรัสบนดำ้ นตรงขำ้ มมมุ ฉำก ย่อมเท่ำกับผลบวกของพ้ืนที่รปู ส่เี หลีย่ มจตั ุรสั บนดำ้ นประกอบมุมฉำก

ทฤษฎีบทที่ 47 รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกใด ๆ พนื้ ที่รปู ส่เี หล่ยี มจตั รุ สั บนด้ำนตรงข้ำมมมุ ฉำก ย่อมเทำ่ กบั ผลบวกของพน้ื ทร่ี ูปสี่เหล่ียมจตั ุรสั บนดำ้ นประกอบมุมฉำก ส่งิ ท่ีกำหนดให้ ∆ABC มมี ุม A เปน็ มุมฉำก (ภำพ) สิ่งท่ตี ้องพสิ ูจน์ BC2 = BA2 + AC2

พสิ จู น์ กำรสรำ้ งรูปส่เี หล่ยี มจัตุรัสบนดำ้ นท้ังสำมของสำมเหลย่ี ม [ทฤษฎีบทท่ี 46] ลำก AL ขนำนกับ BD [ทฤษฎบี ทที่ 31] ลำก AD,BK,FC เพรำะว่ำ ∠BAC = ∠BAG เทำ่ กับ 1 มุมฉำก จะได้ ∠BAC + ∠BAG เท่ำกับสองมุมฉำก ดงั น้นั CA เป็นเส้นตรงเดยี วกนั กบั AG [ทฤษฎีบทท่ี 14} ในทำนองเดียวกนั จะไดว้ ำ่ BA เปน็ เสน้ ตรงเดียวกนั กบั AH เนอื่ งจำก ∠DBC = ∠FBA จะได้ ∠DBC + ∠ABC = ∠FBA + ∠ABC [คอมมอนโนชนั ท2่ี ] ดงั นั้น ∠DBA = ∠FBC และเนื่องจำก DB = BC และ FB = BA

ดงั น้ัน รปู สำมเหลย่ี ม ABD กับ FBC เทำ่ กนั ทกุ ประกำร [ทฤษฎบี ทที่ 4 ] □BMED = 2∆ABD และ □ABFG = 2∆FBC [ทฤษฎบี ทที่ 41 ] ดงั น้ัน จะได้ □BMLD = □ABFG พสิ จู น์ในทำนองเดียวกันจะได้ □MLEC = □AHKC □BMLD + □MLEC = □ABFG + □AHKC [คอมมอนโนชนั ท2่ี ] จะได้ □BDEC = □ABFG + □AHKC นั่นคือ พนื้ ทีข่ องรปู สเ่ี หลี่ยมจตั ุรัสบนดำ้ นตรงข้ำมมมุ ฉำกของรปู สำมเหลีย่ มมมุ ฉำกเท่ำกบั ผลบวกของพืน้ ทข่ี องรูปสี่เหล่ยี มจตั ุรัสบนดำ้ นประกอบมุมฉำก ซ.ต.ม

ดังนัน้ จงึ สรปุ ไดว้ ำ่ รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกใด ๆ พน้ื ทีร่ ปู สเ่ี หลี่ยมจตั ุรัสบนด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก ย่อมเทำ่ กับผลบวกของพน้ื ทร่ี ูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั บนด้ำนประกอบมมุ ฉำก ซง่ึ ตรงตำมทฤษฎบี ทท่ี 47

ทฤษฎีบทที่ 48 ถำ้ ในรปู สำมเหล่ียม มพี ื้นที่รปู สีเ่ หลีย่ มจัตุรัสบนดำ้ นหนึ่ง เท่ำกบั ผลบวก ของพื้นที่รูปส่เี หลย่ี มจัตรุ สั บนดำ้ นอีกสองด้ำนแล้ว มมุ ท่อี ยรู่ ะหวำ่ งด้ำนทง้ั สองจะ เป็นมุมฉำก สง่ิ ทก่ี ำหนดให้ ∆ABC ที่มี BC2 = BA2 + AC2 (ภำพ) ส่ิงท่ีต้องพิสจู น์ ∠BAC เปน็ มมุ ฉำก

พสิ จู น์ ลำก AE ต้งั ฉำกกับ AC ทีจ่ ดุ A [ทฤษฎีบทที่ 11 ] สรำ้ ง AD = AB และลำก CD [ทฤษฎีบทที่ 3 และ สจั พจนท์ ่ี 1 ] เนอื่ งจำก AD = AB ดงั นัน้ AD2 = AB2 AD2 + AC2 = AB2 + AC2 [คอมมอนโนชันท่ี 2 ] ∠DAC เปน็ มมุ ฉำก ดังน้นั AD2 + AC2 = DC2 [ทฤษฎีบทที่ 47 ] จะได้ DC2 = AB2 + AC2 [คอมมอนโนชันที่ 1 ] แต่ BC2 = BA2 + AC2 [กำหนดให้] ดงั น้นั BC2 = DC2 นั่นคือ BC = DC [คอมมอนโนชนั ท่ี 1 ] ใน ∆BAC และ ∆ADC มี AB = AD , AC = AC และ BC = DC ดังนน้ั ∆BAC และ ∆DAC เท่ำกันทกุ ประกำร และ ∠BAC = ∠DAC [ทฤษฎีบทท่ี 8 ] ∠DAC เป็นมุมฉำก ดังนัน้ ∠BAC เปน็ มุมฉำก [คอมมอนโนชันท่ี 1 ] ซ.ต.ม

ดงั น้ันจึงสรุปไดว้ ำ่ ถำ้ ในรปู สำมเหลย่ี ม มพี นื้ ท่รี ูปสเี่ หล่ยี มจตั ุรสั บนดำ้ นหนึ่ง เท่ำกับผลบวกของ พื้นทรี่ ูปสเี่ หล่ยี มจัตรุ สั บนดำ้ นอีกสองดำ้ นแลว้ มมุ ท่อี ยรู่ ะหวำ่ งดำ้ นท้งั สองจะเปน็ มมุ ฉำก ซึง่ ตรงตำม ทฤษฎีบทท่ี 48