70 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนังสือเรยี นรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 การสรา้ งทางเรขาคณิต 2.1 รปู เรขาคณติ พน้ื ฐาน 2.2 การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ 2.3 การสรา้ งรปู เรขาคณติ 2 ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้บทที่ สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายจุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรยี นจบบทนแ้ี ล้ว นกั เรียนจะสามารถ 1. ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรอื ซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวัต ในการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณติ ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า2. ใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ สงวนสิทธิโ์ ดยดสัดสแวปทล.ง หรอื จ้าหน่ายนำ�ไปใชแ้ กป้ ัญหาในชีวิตจรงิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 71 บทที่ 2 การสร้างทางเรขาคณติ ส“งวนสิทธ์ิโดยดสัดสแวปทลส.งงวหหน้ารสมือิทเจผธ้ายิโ์หดแนพย่าดรยสดั่ สทแวา้ ปทซล.า้ ง หห้ารมือเจผ้ายหแนพ่ารย่ ทา้ ซ้า การเขียนแบบเพื่อสร้างสรรค์ช้ินงานของบุคคลในหลายอาชีพ เช่น วิศวกร สถาปนิก “ นักออกแบบผลติ ภัณฑ์ จำ�เป็นตอ้ งใช้ จุด เส้นตรง สว่ นของเส้นตรง รังสี และมุม เปน็ สว่ นประกอบ ในการออกแบบชนิ้ งาน เพอ่ื ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจทต่ี รงกนั และสะดวกตอ่ การปฏบิ ตั ขิ องผซู้ งึ่ น�ำ แบบที่ เขียนแลว้ ไปดำ�เนนิ งานตามขัน้ ตอนอยา่ งถูกตอ้ งเหมาะสมตอ่ ไป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
72 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ทบทวนความรกู้ อ่ นเรียน ✤ มมุ ที่มขี นาดมากกวา่ 0o แต่นอ้ ยกว่า 90o เรียกวา่ มมุ แหลม ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า✤ มุมท่ีมีขนาดมากกว่า 90o แต่น้อยกว่า 180o เรยี กว่า มุมปา้ น ✤ มุมภายในของรูปสามเหล่ียมและรูปสีเ่ หลี่ยม สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย ◆ ขนาดของมมุ ภายในท้ังสามมุมของรูปสามเหลย่ี มรวมกันเท่ากบั 180 องศา ◆ ขนาดของมมุ ภายในทง้ั ส่ีมมุ ของรปู สีเ่ หล่ียมรวมกนั เท่ากบั 360 องศา ✤ เสน้ ขนาน ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า ◆ เส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเส้นขนานคูห่ นึ่ง มุมแยง้ ทเี่ กิดขน้ึ จะมขี นาดเทา่ กนั ◆ เสน้ ตรงเส้นหน่งึ ตดั เส้นตรงคู่หน่งึ และท�ำ ให้มุมแย้งมีขนาดเทา่ กัน แลว้ เสน้ ตรงคนู่ นั้ จะขนานกนั ◆ เสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ตดั เสน้ ขนานคู่หนง่ึ ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยู่บนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัด รวมกันได้ 180o ◆ เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นง่ึ และท�ำ ใหข้ นาดของมมุ ภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกนั ได้ 180o แลว้ เสน้ ตรงคู่นั้นจะขนานกนั สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยA 56 ดดั แปลง1 2 34 78 จากรูป �AB เรียกว่า เสน้ ตดั AB เรียก 1̂ , 2̂ , 3̂ และ 4̂ ว่าเปน็ มมุ ภายใน และ 5̂ , 6̂ , 7̂ และ 8̂ ว่าเป็นมมุ ภายนอก เรยี ก 1̂ และ 3̂ ว่าเป็นมุมภายในท่อี ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของเส้นตัด 2̂ และ 4̂ ว่าเปน็ มุมภายในท่ีอยู่บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั เรียก 1̂ และ 4 ̂ วา่ เปน็ มมุ แยง้ ภายใน และ B 2̂ และ 3̂ ว่าเปน็ มมุ แยง้ ภายใน นกั เรยี นสามารถท�ำ แบบทดสอบความรพู้ น้ื ฐานกอ่ นเรยี นไดท้ ่ี goo.gl/dT4Jej สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 73 2.1 รูปเรขาคณิตพืน้ ฐาน เกร็ดนา่ รู้ จุด และเสน้ ตรง จุด และเส้นตรง เป็นคำ�อนิยาม กล่าวคือเป็นคำ�พื้นฐานในการสื่อ หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ความหมาย โดยไม่ตอ้ งใหน้ ยิ าม ✤ จดุ (point) ยุคลิดแหง่ อะเล็กซานเดรีย ในทางเรขาคณิต จะใช้จุดเพ่ือแสดงตำ�แหน่ง โดยไม่คำ�นึงถึงขนาดและ เ ร ข า ค ณิ ต ท่ี เ ร า ศึ ก ษ า อ ยู่ น้ี เ ป็ น สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายรปู รา่ งของจุด เรขาคณิตท่ีมีชื่อเรียกอย่างเป็นทางการ ว่า เรขาคณิตแบบยุคลิด (Euclidean เรานิยมใช้ ● เขยี นแทนจดุ และเขยี นตัวอักษรกำ�กบั ไวเ้ มื่อตอ้ งการระบุ geometry) ซึ่งพัฒนาจากเรขาคณิตใน ชอื่ จุด ถา้ ใชต้ ัวอกั ษรภาษาอังกฤษจะเขียนด้วยตวั พมิ พ์ใหญ่ เชน่ หนังสือเอลเลเมนตส์ (Elements) ของ ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ ● แทน จุด A ● แทน จุด Y ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid Y of Alexandria ประมาณ 325–265 ปี A ก่อนคริสต์ศักราช) ยุคลิดเป็นอาจารย์ ✤ เสน้ ตรง (line หรอื straight line) คณิตศาสตร์ ณ มหาวิทยาลัยแห่ง ในทางเรขาคณิตถือว่าเส้นตรงมีความยาวไม่จำ�กัด และไม่คำ�นึงถึง อะเล็กซานเดรีย มีหลักฐานว่าท่านเคย ศึกษาคณิตศาสตร์จากสำ�นักของเพลโต สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยความกวา้ งของเสน้ ตรง เมอ่ื ต้องการเขียนรูปแทนเส้นตรง AB เขียนไดด้ งั นี้(Platonic School) ที่มีช่ือเสียงทาง AB วิชาการในสมัยกรีกโบราณ ยุคลิดมี เสน้ ตรง AB เขยี นแทนด้วย �AB ผลงานท้ังด้านคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และ ดาราศาสตร์ ดัดแปลงเสน้ ตรง AB อาจเรยี กวา่ เส้นตรง BA และเขียนแทนเสน้ ตรง BA ดว้ ย�BA หนังสือเอลเลเมนตส์ เป็นตำ�รา เมอ่ื สงั เกตรปู แทนเสน้ ตรง จะเหน็ วา่ มหี วั ลกู ศรทง้ั สองขา้ ง หวั ลกู ศรนแี้ สดง ทางคณิตศาสตร์ชุดแรกที่มีการนำ�เสนอ เน้ือหาสาระอย่างเป็นระบบ ถือเป็น ว่าเราสามารถต่อเส้นตรงออกไปในทิศทางของหัวลูกศรท้ังสองข้างโดยไม่มีที่ ตน้ แบบของการเขยี นหนงั สอื คณติ ศาสตร์ ในปัจจุบัน และเป็นมรดกทางปัญญา ที่มีคุณค่าอย่างย่ิง เน้ือหาส่วนใหญ่ของ หนงั สอื เล่มน้เี ป็นเนื้อหาทางเรขาคณติ ขอ้ สงั เกต สิ้นสุด และถอื ว่าเส้นตรงมคี วามยาวไมจ่ ำ�กดั เสน้ ตรงสามารถเขียนในทิศทางใดกไ็ ด้ ในทางปฏบิ ัติ อาจเขยี นรปู แทนเส้นตรงโดยไม่จ�ำ เปน็ ต้องเขยี น ● บนเสน้ ตรง ดงั น้ี AB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
74 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนงั สอื เรียนรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 สมบตั ขิ องจุดและเส้นตรงมีดังนี้ 1. มเี ส้นตรงเพียงเสน้ เดยี วเทา่ น้นั ที่ลากผ่านจดุ สองจุดท่ีก�ำ หนดให้ X Y ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า 2. ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกันแล้วจะมีจุดตัดเพยี งจุดเดยี วเท่านน้ัD A B O สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายC ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้ามมุ คณิต การให้บทนิยามของคำ�ใด เป็นการให้ สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายคำ�อธิบายท่ีบอกความหมายของคำ�น้ัน ดัดแปลงอย่างชดั เจนและรดั กมุ ส่วนของเสน้ ตรง และรังสี เราใช้ จดุ และเสน้ ตรง ซง่ึ เปน็ ค�ำ อนยิ าม มาใหค้ วามหมายหรอื ใหบ้ ทนยิ าม ของส่วนของเสน้ ตรงและรังสี ดงั ต่อไปน้ี ✤ สว่ นของเสน้ ตรง (line segment) บทนยิ าม สว่ นของเสน้ ตรง คือ สว่ นหน่ึงของเส้นตรงทีม่ จี ุดปลายสองจุด การเขยี นส่วนของเสน้ ตรง จะมีจุดปลายสองจดุ เช่น AB สว่ นของเสน้ ตรง AB เขยี นแทนด้วย A—B จุด A และจุด B เปน็ จุดปลายของ A—B ส่วนของเส้นตรง AB อาจเรียกวา่ สว่ นของเสน้ ตรง BA และเขยี นแทนส่วนของเสน้ ตรง BA ดว้ ย —BA สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 75 ในทางปฏบิ ตั ิ อาจเขยี นรปู แทนสว่ นของเสน้ ตรงโดยไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งเขยี น ● ที่ปลายของสว่ นของเสน้ ตรง เช่น AB ขอ้ สงั เกต หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง AB หรอื ความยาวของ A—B เขยี นแทนดว้ ย การท่ีส่วนของเส้นตรงมีจุดปลาย ท้ั ง ส อ ง ข้ า ง ทำ � ใ ห้ ส่ ว น ข อ ง เ ส้ น ต ร ง m(A—B) หรือ AB เชน่ ความยาวของส่วนของเสน้ ตรง AB เทา่ กับ 5 เซนติเมตร มีความยาวจำ�กัด จึงสามารถวัดความยาว เขยี นแทนด้วย m(A—B) = 5 เซนติเมตร หรือ AB = 5 เซนตเิ มตร ของส่วนของเสน้ ตรงได้ เม่ือกล่าวถงึ ระยะห่างจากจดุ A ถึงจุด B จะหมายถึงความยาวของ A—B สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่าย บางคร้ังเราสามารถใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กในภาษาอังกฤษเขียนแทน ความยาวของส่วนของเสน้ ตรงท่กี �ำ หนดให้ เชน่ ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าa หมายถงึ ส่วนของเส้นตรงท่กี �ำ หนดให้มคี วามยาว a หน่วย การเปรียบเทียบความยาวของส่วนของเส้นตรงสองเส้น อาจทำ�ได้โดยกางวงเวียนให้มีรัศมียาวเท่ากับความยาวของ ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่ง แล้วนำ�ไปเปรียบเทียบกับความยาวของส่วนของเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง เช่น ถ้าต้องการเปรียบเทียบ สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยความยาวของ A—B และความยาวของ CD ท�ำ ไดด้ ังนี้ ดัดแปลงA B C D 1. กางวงเวยี นให้ปลายเหล็กแหลมอยู่ที่จดุ A และให้ปลายดินสออยู่ท่ีจดุ B จะได้รศั มียาวเทา่ กับ AB 2. ใชจ้ ุด C เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รศั มียาวเทา่ กบั AB เขียนส่วนโคง้ ใหต้ ัด CD ถา้ ส่วนโค้งตัด CD ทจี่ ุด D พอดี แสดงวา่ AB = CD ถา้ สว่ นโค้งตดั CD ทจ่ี ุดอนื่ ๆ ที่ไม่ใชจ่ ดุ D แสดงวา่ AB < CD ถา้ ส่วนโคง้ ไมต่ ัด CD แสดงว่า AB > CD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
76 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนังสือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ✤ รงั สี (ray) ขอ้ สังเกต บทนยิ าม รงั สี คอื ส่วนหนึ่งของเส้นตรงทีม่ จี ดุ ปลายเพียงจุดเดยี ว สงวนสทิ ธ์ิโดยดสดั สแวปทล.ง หห้ารมอื เจผา้ ยหแนพา่ รย่ ทา้ ซ้า ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้ รังสสี ามารถเขยี นในทิศทางใดกไ็ ด้ ในการเรยี กชอ่ื รงั สี เราตอ้ งก�ำ หนดจดุ ปลายหนง่ึ จดุ และจดุ อกี หนง่ึ จดุ ทอี่ ยู่ บนรังสีน้นั เชน่ A รงั สี AB เขยี นแทนด้วย �AB B จากรปู ข้างต้น จะเห็นว่ารงั สนี ้ี มจี ดุ A เปน็ จุดปลาย และมีจุด B เปน็ จุด อีกหนงึ่ จดุ อยู่บนรงั สี AB สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย จากรูปเป็น รงั สี BA ท่มี ีจุด B เป็นจุดปลาย และมจี ดุ A เปน็ จุดอกี หนึ่งจดุ อยูบ่ นรังสี เขยี นแทนด้วย �BA สังเกตไดว้ า่ รังสี AB และรงั สี BA ไม่ใชร่ ังสเี ดียวกนั หรืออาจเรียกได้วา่ �BA เป็นรงั สที ม่ี ีทิศทางตรงข้ามกับ �AB เมื่อสังเกตรูปแทนรังสี จะเห็นว่ามีหัวลูกศรเพียงข้างเดียว หัวลูกศรน้ีแสดงว่าเราสามารถต่อรังสีออกไปในทิศทางของ ดัดแปลงหวั ลกู ศรโดยไมม่ ีทส่ี นิ้ สุด และถอื วา่ รังสมี คี วามยาวไม่จำ�กดั ในทางปฏิบตั ิ อาจเขียนรูปแทนรังสโี ดยไมจ่ ำ�เป็นตอ้ งเขียน ● แทนจุดปลายและอกี จุดหนงึ่ บนรงั สี เชน่ A B หมายถงึ A B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 77 มมุ มมุ คณิต ✤ มมุ (angle) B บทนยิ าม A C BÂ C มมุ BAC นอกจากเขียนแทนด้วย ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า มมุ คอื รงั สสี องเสน้ ทม่ี จี ดุ ปลายเปน็ จดุ เดยี วกนั เรยี กรงั สสี องเสน้ แลว้ ยงั สามารถเขยี นแทนด้วย ∠BAC หรอื น้ีวา่ แขนของมมุ และเรยี กจดุ ปลายทเ่ี ป็นจุดเดียวกนั นว้ี า่ จดุ ยอดมมุ B Â หรอื ∠A D สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายA C B ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า จากรูป มมุ ทมี่ ี �AB และ �AC เปน็ แขนของมมุ และมจี ดุ A เปน็ 2 จดุ ยอดมมุ (vertex of an angle) เรียกว่า มุม BAC หรอื มุม CAB 1 AC เขยี นแทน มมุ BAC ดว้ ย BˆAC ในบางครง้ั เพอ่ื ความสะดวก เรานยิ มเขยี น เขยี นแทน มุม CAB ด้วย CˆAB เสน้ โคง้ ทม่ี มุ และใชต้ วั เลขก�ำ กบั มมุ ทต่ี อ้ งการ สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจ้าหน่าย ในทางปฏบิ ตั ิ อาจเขยี นรปู แทนมมุ โดยใชส้ ว่ นของเสน้ ตรงแทนแขนของมมุนน้ั เชน่ ˆ1 แทน CÂ B และ ˆ2 แทน BÂ D และไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งเขยี น ● แทนจดุ ปลายของสว่ นของเสน้ ตรง หรอื จดุ ยอดมมุ เชน่ ชวนคดิ 2.1 B ถา้ นาฬกิ าทห่ี อนาฬกิ าแหง่ หนง่ึ บอกเวลา ดัดแปลงA C 10:38 น. ขณะเดียวกัน นักเรียนกม้ ดูเวลาที่ นาฬิกาข้อมือของตนเอง นักเรียนคิดว่า มุมระหว่างเข็มส้ันและเข็มยาวของนาฬิกา ที่หอนาฬิกาน้ัน มีขนาดใหญ่กว่ามุมระหว่าง เข็มสั้นและเข็มยาวของนาฬิกาข้อมือของ ตนเองหรือไม่ ขนาดของมุม BAC นยิ มเขียนแทนด้วย m(BˆAC) เชน่ BˆAC มีขนาด 30 องศา เขียนแทนด้วย m(BˆAC) = 30o เพ่ือความสะดวกในการนำ�ไปใช้เกี่ยวกับขนาดของมุม ต่อไปจะใช้ AˆBC = XˆYZ แทน m(AˆBC) = m(XˆYZ) และเม่อื กลา่ ววา่ BˆAC มขี นาด 30 องศา จะเขียนแทนด้วย BˆAC = 30o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
78 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 การเปรียบเทียบขนาดของมุมสองมมุ อาจท�ำ ได้โดยใช้วงเวียน เช่น ถ้าตอ้ งการเปรียบเทียบขนาดของ AˆBC กับขนาด ของ PˆQR อาจท�ำ ได้ดังน้ี AP หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้B E C FY R XQ 1. ใชจ้ ดุ B เป็นจดุ ศนู ย์กลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนส่วนโคง้ ให้ตัด �BC และ �BA ใหจ้ ดุ ตดั คือ จดุ E และจดุ F สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยตามล�ำ ดบั 2. ใช้จดุ Q เป็นจุดศนู ย์กลาง รศั มียาวเทา่ กับ BE เขยี นส่วนโค้งให้ตัด �QR และ �QP ให้จุดตัดคือ จุด X และจดุ Y ตามล�ำ ดับ 3. ใชจ้ ดุ X เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รศั มยี าวเทา่ กบั EF เขียนสว่ นโค้งให้ตดั ส่วนโคง้ XY ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า ถา้ สว่ นโคง้ ตดั สว่ นโค้ง XY ที่จดุ Y พอดี แสดงวา่ AˆBC = PˆQR ถา้ สว่ นโคง้ ตัดส่วนโคง้ XY ท่จี ุดภายใน PˆQR แสดงวา่ AˆBC < PˆQR ถ้าส่วนโคง้ ตดั ส่วนโคง้ XY ทีจ่ ุดภายนอก PˆQR แสดงวา่ AˆB C > PˆQR สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หน่ายมมุ คณติ รูปมมุ แตล่ ะรูปจะแสดงมุมสองมุม ดังน้ี A นอกจากมุมแหลม มุมฉาก มุมป้าน 21 C B ดัดแปลงมมุ ตรง และมุมกลับแล้ว ยงั มมี มุ ขนาดอ่นื ๆ ไดแ้ ก่ มมุ ทีม่ ขี นาด 0o มมุ ท่มี ีขนาด 0o และมมุ ทม่ี ีขนาด 360o สำ�หรับมุมท่ีมีขนาด มมุ ABC จะหมายถึง ˆ1 และมมุ กลบั ABC จะหมายถึง ˆ2 360o เรยี กวา่ มมุ รอบจดุ มุมท่มี ขี นาด 360o โดยทั่วไปเม่ือกล่าวถึงมุม ABC จะหมายถึงมุมท่ีมีขนาดมากกว่า 0o แต่น้อยกว่า 180o นน่ั คือ กลา่ วถงึ ˆ1 น่นั เอง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 79 แบบฝึกหดั 2.1 1. ก�ำ หนดจุด A ดงั รปู ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า เราบอกได้หรือไม่ว่ามีรงั สีกเ่ี สน้ ทม่ี ีจุด A เป็นจุดปลาย เพราะเหตใุ ดA● 2. เม่ือกำ�หนดจุดให้สองจุด เราสามารถเขียนเส้นตรง เส้นโค้ง หรือเส้นหยักผ่านจุดสองจุดน้ีได้ จงหาว่าส่วนของเส้น ที่มีจดุ ทั้งสองนเี้ ป็นจดุ ปลาย สว่ นของเสน้ ชนิดใดสน้ั ทสี่ ุด สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย3. จงบอกชอ่ื มุมทกุ มมุ ในรูปทก่ี �ำ หนดให้ C D มุมคณิต ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าB สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย4. ก�ำ หนดรปู ดงั น้ีA E ก า ร ส ร้ า ง มุ ม แ ล ะ วั ด ข น า ด ข อ ง มุ ม สามารถใช้เครื่องมือได้หลายประเภท เช่น P AQ B โพรแทรกเตอร์ วงเวียน ไม้ฉาก เป็นต้น ดดั แปลงC S การเลือกใช้เครื่องมือใดน้ัน ข้ึนอยู่กับ T ความเหมาะสม เช่น การใช้โพรแทรกเตอร์ X เพื่อวัดขนาดของมุมท่ีต้องการความถูกต้อง Y แม่นยำ� เพราะมีรอยขีดแบ่งระยะให้เท่ากัน หน่วยเป็นองศา ชัดเจน หรือการใช้ไม้ฉาก ท�ำ ใหก้ ารสรา้ งหรอื การวดั มมุ ฉากเปน็ ไปดว้ ย ความรวดเร็ว โพรแทรกเตอร์ จงบอกชื่อมุมตอ่ ไปนี้ วงเวียน 1) มุมตรงท่ีมีจดุ A เปน็ จดุ ยอดมมุ 2) มุมภายในของรูปสามเหลีย่ ม ABC 3) มุมทุกมุมทมี่ จี ุด A เปน็ จดุ ยอดมุม แตไ่ ม่ใช่มมุ ตรง ไมฉ้ าก สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
80 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 5. จงใช้วงเวียนตรวจสอบดูวา่ ความยาวของส่วนของเสน้ ตรงใดบา้ งเท่ากัน ab de ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า6. เราสามารถจำ�แนกชนิดของรูปสามเหล่ียมโดยพิจารณาความยาวของด้าน จงใช้วงเวียนตรวจสอบดูว่ารูปสามเหล่ียมc แตล่ ะรูปเปน็ รปู สามเหล่ียมชนิดใด สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายC F E R ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าA B P D Q 7. แผนท่แี สดงเส้นทางจากหมบู่ ้านเนรมิตไปยงั หมบู่ ้านอย่เู ยน็ เปน็ ดังรปู สงวนสทิ ธิโ์ ดยดสัดสแวปทล.ง หรอื จา้ หน่ายหมบู่ ้านอยเู่ ยน็ หมูบ่ า้ นเนรมิต มาตราสว่ น 1 ซม. : 1,000 ม. จงหาว่า 1) ระยะทางตามเส้นทางในแผนทจ่ี ากหม่บู า้ นเนรมิตถึงหมู่บ้านอยเู่ ย็นเปน็ เท่าไร 2) ระยะห่างระหวา่ งสองหมู่บา้ นน้เี ปน็ เท่าไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 81 8. นักบินใช้หน้าปัดนาฬิกาเป็นเครื่องมือในการบอกทิศทาง ให้คิดว่าตัวเรา อยทู่ จ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางของหนา้ ปัดนาฬิกา หนั หน้าไปทางตัวเลข 12 ถา้ มวี ตั ถุ หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้นาฬิกา) กับแนว 12 นาฬิกา ดงั รปู จงหาขนาดของมมุ ทว่ี ตั ถุ ณ แต่ละ ณ ตำ�แหน่ง 3 นาฬิกา แสดงว่าวัตถุน้ันทำ�มุมขนาด 90o (วัดตามเข็ม ต�ำ แหนง่ ต่อไปน้ที ำ�กบั แนว 12 นาฬิกา 1) 1 นาฬกิ า 2) 4 นาฬกิ า 3) 6 นาฬิกา 4) 7 นาฬกิ า สงวนสิทธ์ิโดยดสดั สแวปทล.ง หรอื จา้ หน่าย หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า9. จงสำ�รวจการเดินของเข็มนาฬิกาทั้งเข็มส้ันและเข็มยาวบน หน้าปัด และพิจารณาว่าเราสามารถสร้างเข็มส้ันและเข็มยาว 5) 9 นาฬิกา 6) 10 นาฬกิ า ทำ�มุมขนาด 90o นอกจากเวลา 3 นาฬิกา หรือ 15 นาฬิกา สงวนสิทธิ์โดยดสัดสแวปทล.ง หรือจ้าหนา่ ยได้หรอื ไม่ ถา้ ได้จงสร้างเขม็ นาฬิกาท่ีทำ�มุม 90o เพ่มิ เตมิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
82 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนงั สือเรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2.2 การสร้างพืน้ ฐานทางเรขาคณติ เกร็ดน่ารู้ การเขียนรูปเรขาคณิตสามารถใช้เคร่ืองมือช่วยเขียนได้หลากหลาย เช่น วงเวยี น สนั ตรง ไมบ้ รรทดั โพรแทรกเตอร์ ไมฉ้ าก กระดาษลอกลาย หรอื โปรแกรม สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หห้ารมือเจผ้ายหแนพา่ รย่ ท้าซ้า เคร่ืองต้ังระดับเลเซอร์ เป็นเคร่ืองมือส�ำ เร็จรปู บางโปรแกรม หน่ึงท่ีนำ�มาใช้สร้างแนวเส้นตรง โดยมี ในการเขียนรูปเรขาคณิตโดยใช้เครื่องมือท่ีสำ�คัญเพียงสองชนิด ได้แก่ หลกั การท�ำ งานรว่ มกนั ระหวา่ งระดบั น�้ำ กบั วงเวยี นและสนั ตรง เรยี กวา่ การสรา้ ง สนั ตรงในทนี่ หี้ มายถงึ เครอื่ งมอื ทม่ี ลี กั ษณะ การปลอ่ ยแสงเลเซอรเ์ พอื่ สรา้ งแนวเสน้ ตรง เหมอื นไมบ้ รรทดั แตไ่ มม่ ขี ดี วดั ความยาวก�ำ กบั อยู่ ในกรณที ตี่ อ้ งใชไ้ มบ้ รรทดั แทน ไดท้ ง้ั ในแนวดง่ิ และแนวราบ เปน็ ประโยชน์ สันตรง จะใช้เพ่ือลากเส้นเท่านั้น ท้ังน้ีรูปที่ได้จากการสร้างจะต้องมีร่องรอย การสร้างให้เหน็ อย่างชัดเจน ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าในวงการกอ่ สรา้ ง โรงงานอตุ สาหกรรมและ ในสมยั กรกี การสรา้ งรปู เรขาคณติ โดยใชเ้ ครอ่ื งมอื อยา่ งจ�ำ กดั เพยี งวงเวยี น งานตกแต่งภายใน เป็นต้น และสันตรงน้ัน เปรียบเสมือนการเล่นเกมที่ท้าทายภายใต้กติกาที่กำ�หนดให้ เรา ถือว่าการสร้างดังกล่าวเป็นมรดกทางปัญญาอันเป็นวิธีการดั้งเดิมที่มนุษย์ใช้มา เกรด็ นา่ รู้ ต้ังแตส่ มัยโบราณและสามารถน�ำ มาใชป้ ระโยชน์ได้ในปัจจุบัน สงวนสิทธโ์ิ ดยดสดั สแวปทล.ง หรอื จา้ หนา่ ยเพลโต(Plato) การสรา้ งรปู เรขาคณติ ตอ้ งอาศยั ความรใู้ นการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ (basic geometric construction) 6 ขอ้ ต่อไปน้ี เพลโต (Plato ประมาณ 427–347 ปี 1. การสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงใหย้ าวเทา่ กบั ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง ก่อนครสิ ต์ศกั ราช) นกั ปรชั ญาชาวกรกี ได้ กล่าวถึงกฎของเกมเกี่ยวกับการสร้างทาง ทีก่ �ำ หนดให้ 2. การแบง่ ครึง่ ส่วนของเส้นตรงทกี่ �ำ หนดให้ 3. การสรา้ งมมุ ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของมมุ ท่กี �ำ หนดให้ 4. การแบง่ ครง่ึ มุมทกี่ �ำ หนดให้ 5. การสรา้ งเสน้ ตั้งฉากจากจุดภายนอกมายงั เส้นตรงทีก่ �ำ หนดให้ 6. การสรา้ งเส้นตงั้ ฉากที่จุดจุดหนง่ึ ทอี่ ย่บู นเสน้ ตรงที่ก�ำ หนดให้ เมื่อพิจารณาการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิต 6 ข้อ สามารถจัดกลุ่ม การสร้างได้ 3 กลุ่มดงั น้ี 1. การสร้างเกยี่ วกบั ส่วนของเส้นตรง ไดแ้ ก่ การสร้างสว่ นของเสน้ ตรงให้ ยาวเทา่ กบั ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงทก่ี �ำ หนดให้ และการแบง่ ครงึ่ ส่วนของเสน้ ตรงทก่ี �ำ หนดให้ เ ร ข า ค ณิ ต โ ด ย ใ ช้ สั น ต ร ง เ พ่ื อ ส ร้ า ง 2. การสรา้ งเกยี่ วกบั มมุ ไดแ้ ก่ การสรา้ งมมุ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ ส่วนของเส้นตรง (ไม่ได้นำ�มาวัดความยาว) ท่ีก�ำ หนดให้ และการแบ่งครง่ึ มุมทีก่ ำ�หนดให้ และใช้วงเวียนเพ่ือสร้างวงกลมเมื่อกำ�หนด 3. การสรา้ งเกยี่ วกบั เสน้ ตง้ั ฉาก ไดแ้ ก่ การสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอก จุดศูนย์กลางและรัศมีที่มาจากการวัดจาก จดุ ศูนยก์ ลาง มายงั เสน้ ตรงทก่ี �ำ หนดให้ และการสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากทจ่ี ดุ จดุ หนงึ่ ทอ่ี ยบู่ น เส้นตรงท่กี �ำ หนดให้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 83 1. การสรา้ งเกยี่ วกับสว่ นของเสน้ ตรง ชวนคดิ 2.2 กิจกรรมในชีวิตประจำ�วันหลายอย่าง เราต้องอาศัยแนวคิดการสร้าง ส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำ�หนดให้ ถ้ า กำ � ห น ด ค ว า ม ย า ว ข อ ง ด้ า น ข อ ง เช่น การตัดไม้ให้ยาวเท่ากับความยาวท่ีกำ�หนดให้ และการตัดเส้ือผ้าตามขนาด รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวเป็น p และ q ดังรูป โดยใหด้ า้ นทยี่ าว q เปน็ ฐาน นกั เรยี นสามารถ หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ที่วัดไว้ ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึงการสร้างพื้นฐานเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรง ได้แก่ ส ร้ า ง รู ป ส า ม เ ห ล่ี ย ม ห น้ า จั่ ว น้ี ไ ด้ ห รื อ ไ ม่ เพราะเหตุใด การสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงใหย้ าวเทา่ กบั ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงทก่ี �ำ หนดให้ และการแบ่งคร่งึ ส่วนของเส้นตรงทกี่ �ำ หนดให้ p สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย✤ การสร้างส่วนของเสน้ ตรงให้ยาวเท่ากับความยาว การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 1 q ของส่วนของเส้นตรงท่กี �ำ หนดให้ มุมเทคโนโลยี ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ การสรา้ ง XY ใหย้ าวเท่ากับความยาวของ AB ทำ�ได้ดงั น้ี ก�ำ หนด AB ใหด้ ังรูป A B นักเรียนสามารถดาวน์โหลดไฟล์ GSP เพ่ือศึกษาข้ันตอนการสร้างพ้ืนฐานทาง 1. ลาก �XZ เรขาคณิตข้อท่ี 1 โดยใช้เทคโนโลยี ได้ท่ี XZ goo.gl/rm5aD7 สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย2. กางวงเวียนให้มรี ัศมยี าว เท่ากบั AB ดดั แปลง3. ใชจ้ ดุ X เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางA B และรัศมียาวเท่ากับ AB เขียนส่วนโค้งให้ตัด �XZ ให้จดุ ตัดคอื จุด Y จะได้ XY ยาวเท่ากับ X YZ ความยาวของ AB ตามต้องการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
84 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนังสอื เรยี นรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ชวนคดิ 2.3 การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 2 ✤ การแบง่ คร่ึงส่วนของเสน้ ตรงทีก่ ำ�หนดให้ การแบ่งคร่ึงส่วนของเส้นตรง ทำ�ได้โดยการหาจุดก่ึงกลางของส่วนของ เสน้ ตรงทกี่ �ำ หนดให้ กำ�หนด AB ให้ดงั รูป นกั เรยี นมวี ธิ กี ารแบง่ ครงึ่ สว่ นของเสน้ ตรง ทกี่ �ำ หนดให้ โดยไมต่ อ้ งใชเ้ ครอ่ื งมอื วงเวยี นได้ AB ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้หรอื ไม่ อย่างไร สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย วิธีหาจุดกึง่ กลางของ AB ท�ำ ไดด้ งั นี้ 1. ใช้จุด A และจุด B เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รศั มยี าวเทา่ กัน C และคะเนให้ยาวเกินกว่าคร่งึ หนึง่ ของความยาวของ AB เขียนส่วนโค้งให้ตัดกนั ใหจ้ ุดตดั คือ จดุ C และจุด D ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้A B สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหน่าย2. ลาก CD ตัด AB D C ให้จุดตัด คอื จุด O ดดั แปลง จะได้ AO = OB เราสามารถตรวจสอบว่า AO AO B ยาวเทา่ กบั ความยาวของ OB โดยใชว้ งเวียน ดังน้ัน จดุ O เป็นจดุ กึ่งกลางของ AB ตามตอ้ งการ D นั่นคือ จุด O แบง่ ครงึ่ AB ทีก่ �ำ หนดให้ มุมเทคโนโลยี นกั เรยี นสามารถดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพอ่ื ศกึ ษาขน้ั ตอนการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 2 โดยใชเ้ ทคโนโลยี ไดท้ ่ี goo.gl/NtwjPd สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรยี นรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 85 ตวั อยา่ ง จงสรา้ งรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ABC ใหด้ า้ นแตล่ ะดา้ นยาว a หนว่ ย เมอ่ื ก�ำ หนด a แทนความยาวของสว่ นของ เสน้ ตรง ดงั รูป a วธิ สี รา้ ง การสร้างท�ำ ไดด้ งั น้ี A a BX C ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้1. ลาก A�X ใช้จุด A เป็นจดุ ศนู ย์กลาง รัศมียาว a หน่วย เขียนสว่ นโค้งให้ตัด �AX ให้จุดตดั คอื จดุ B 2. ใชจ้ ุด A และจดุ B เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รัศมียาว a หน่วย เขียนส่วนโค้งให้ตดั กันหน่ึงจดุ ให้จุดตัดคอื จุด C สงวนสทิ ธโ์ิ ดยดสดั สแวปทล.ง หรอื จ้าหน่าย หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า3. ลาก AC และ BC A a BX จะได้ รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า C ซงึ่ มีดา้ นแต่ละด้านยาว a หนว่ ย ตามตอ้ งการ aa สงวนสิทธิโ์ ดยดสดั สแวปทล.ง หรอื จา้ หนา่ ยแบบฝึกหัด 2.2 ก A a BX 1. ก�ำ หนด a แทนความยาวของส่วนของเสน้ ตรง ดงั รูป a จงสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาว 2a หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
86 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 2. ก�ำ หนด a และ b แทนความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ ดังรปู ab หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า3. กำ�หนด a, b และ c แทนความยาวของส่วนของเส้นตรงสามเสน้ ดังรูป ab จงสร้างรปู สามเหลีย่ ม ABC ใหม้ ดี ้านทั้งสามยาว a, b และ c หน่วย จงสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ให้ยาว a + b หนว่ ย และอีกเส้นหนึ่งให้ยาว a – b หน่วย c สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย4. ให้ a และ b แทนความยาวของสว่ นของเส้นตรงทก่ี �ำ หนด ดงั รูป ab ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ จงสร้างรปู สามเหลย่ี ม ABC ที่ BC = a หนว่ ย และ AB = AC = b หน่วย รูปที่ได้เปน็ รูปสามเหลย่ี มชนิดใด 5. ใชค้ วามยาว a และ b หน่วย ทก่ี ำ�หนดให้ในข้อ 4 สรา้ งรูปสามเหลี่ยมหนา้ จั่ว ABC ให้ BC = b2– หน่วย และ AB = AC = a หน่วย สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจ้าหน่าย6. ก�ำ หนดส่วนของเสน้ ตรงใหย้ าว a หนว่ ย ตามใจชอบ 1) จงสร้างรปู สามเหล่ยี มใหด้ า้ นทั้งสามยาว 2a, 3a และ 4a หน่วย 2) เราสามารถสร้างรปู สามเหล่ยี มให้ดา้ นทั้งสามยาว a, 2a และ 3a หนว่ ย ไดห้ รือไม่ เพราะเหตุใด 3) เราสามารถสร้างรปู สามเหล่ยี มใหด้ า้ นทงั้ สามยาว a, 2a และ 4a หน่วย ไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตใุ ด ดดั แปลง7. จงแบง่ AB ทีก่ ำ�หนดใหอ้ อกเป็นสส่ี ว่ นท่แี ต่ละสว่ นยาวเท่ากัน AB 8. ถ้าเราตอ้ งการแบ่งส่วนของเสน้ ตรงเส้นหนึ่งเปน็ สว่ น ๆ ใหแ้ ต่ละส่วนมีความยาวเทา่ กัน โดยการแบง่ ครึ่ง สว่ นของเส้นตรงซ�ำ้ หลาย ๆ คร้งั 1) เราสามารถแบง่ เปน็ สว่ นที่ยาวเท่ากันไดก้ สี่ ่วนบา้ ง 2) เราสามารถแบ่งเปน็ 10 ส่วน ทย่ี าวเทา่ กันไดห้ รือไม่ เพราะเหตุใด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 87 9. เสรแี ละสันตมิ บี ้านอยใู่ กล้กนั ดงั แสดงในแผนผงั ด้วยจุด A และจุด B ตามล�ำ ดบั ทงั้ สองคนตกลงกนั วา่ จะช่วยกันขดุ บอ่ น�ำ้ ในต�ำ แหนง่ ทอ่ี ยหู่ า่ งจากบา้ นทง้ั สองหลงั เปน็ ระยะเทา่ กนั และอยใู่ กลบ้ า้ นทส่ี ดุ เขาควรขดุ บอ่ น�ำ้ ทต่ี �ำ แหนง่ ใด จงเขยี นต�ำ แหน่งของบอ่ น�ำ้ ในแผนผัง และหาระยะห่างจากบา้ นของเสรีถงึ บ่อน�้ำ วา่ ห่างกันกี่เมตร เกรสาาจงระวมสวีนริธีแา้สบงทิ่งเคกธรย่ีึ่ง์ิโสวดบ่วกนา้ ยนขบั อขดมงสอดัเมุงสสเน้สแรวตปีรทงลทส.ีย่ งAงาววหมหนาา้ กรสมอืๆทิเจไผดธา้อ้ ยยิ์โหา่ดแงนไพยร่าดรยสัด่Tสทiแbวา้iปaมทซาลต.้างราหสหบ่ว้าน้ารนม1อืขเอ:จผ5งส้า0ยัน0หตแBินพา่ รย่ ท้าซา้ 10. 2. Os calsis การสร้างมุมใหม้ ขี นาดตรงกับความตอ้ งการ มปี ระโยชน์อย่างมากในหลายอาชพี เชน่ วศิ วกรรมการกอ่ สร้าง การแพทย์ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการสร้างพื้นฐานเกี่ยวกับมุม ได้แก่ การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมท่ีกำ�หนดให้ และการแบ่ง ครึ่งมมุ ทีก่ ำ�หนดให้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
88 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต หนังสือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 การสรา้ งพ้นื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ที่ 3 ✤ การสรา้ งมมุ ให้มีขนาดเทา่ กับขนาดของมมุ ทีก่ �ำ หนดให้ ก�ำ หนด AˆBC ให้ดงั รปู A หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าชวนคิด 2.4 นักเรยี นมวี ิธสี รา้ งมมุ กลบั ไดอ้ ยา่ งไร สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายB C ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า1. ลาก �YZ Z 2. ใชจ้ ดุ B เปน็ จุดศูนย์กลาง รัศมียาวพอสมควร A เขยี นส่วนโคง้ ใหต้ ดั �BC และ�BA ใหจ้ ดุ ตัดคอื จดุ N M สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ยและจดุ M ตามลำ�ดบั NC การสรา้ ง XˆYZ ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ AˆBC ทำ�ไดด้ งั นี้ Y ใช้จุด Y เป็นจุดศูนย์กลาง กำ�หนดรศั มียาวเท่ากับ B ดดั แปลงBM เขยี นสว่ นโคง้ QL ตัด�YZ ให้จดุ ตัดคอื จดุ P L Y QP Z สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรียนรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 89 3. ใช้จดุ P เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมียาวเทา่ กับ NM LX เขียนส่วนโค้งให้ตดั ส่วนโค้ง QL ใหจ้ ดุ ตัดคือ จดุ X ลาก �YX จะได้ XˆYZ มขี นาดเทา่ กับขนาดของ AˆBC Y QP Z หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าตามต้องการ มมุ เทคโนโลยี สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหน่าย นกั เรยี นสามารถดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพอ่ื ศกึ ษาขน้ั ตอนการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 3 โดยใชเ้ ทคโนโลยี ไดท้ ่ี goo.gl/seMfpz การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ที่ 4 ชวนคิด 2.5 ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า✤ การแบง่ ครึ่งมมุ ท่กี �ำ หนดให้ ถา้ ตอ้ งการสรา้ งรปู สามเหลย่ี ม โดยก�ำ หนด การแบง่ ครึ่งมุม ทำ�ไดโ้ ดยการ A ฐานยาว a หน่วย และมุมที่ฐานท้ังสองมุม สร้างเส้นแบง่ ครงึ่ มุมทก่ี �ำ หนดให้ มขี นาดเทา่ กบั ขนาดของ XˆYZ รปู สามเหลย่ี ม สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย ก�ำ หนด AˆBC ให้ดังรูป ดัดแปลงB ทีไ่ ด้เปน็ รูปสามเหลยี่ มชนิดใด วิธีสรา้ งเส้นแบ่งครึ่ง AˆBC ทำ�ไดด้ ังน้ี a Z 1. ใช้จดุ B เปน็ จุดศูนย์กลาง รศั มียาวพอสมควร เขียนสว่ นโค้งให้ตดั �BC และ�BA ใหจ้ ุดตัดคอื C Y X A จุด E และจดุ D ตามลำ�ดับ D B EC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
90 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2. ใชจ้ ุด D เปน็ จุดศนู ยก์ ลาง รัศมียาวพอสมควร A เขยี นสว่ นโค้งภายในมุม ABC หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า3. ใช้จดุ E เปน็ จุดศนู ย์กลาง รศั มยี าวเทา่ กบั ความยาว D สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายของรศั มีในข้อ 2 เขียนส่วนโคง้ ให้ตดั สว่ นโค้งในข้อ 2 B EC ให้จุดตัดคือ จดุ F A ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้4. ลาก�BF จะได้ สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย AˆBF = FˆBCเราสามารถตรวจสอบว่าขนาด DF B EC ของ AˆBF เท่ากับขนาดของ FˆBC โดยใชว้ งเวียน A ดดั แปลง ดงั น้ัน �BF เป็นเส้นแบ่งครึง่ AˆBC ตามต้องการ DF B EC มุมเทคโนโลยี นักเรียนสามารถดาวน์โหลดไฟล์ GSP เพ่ือศึกษาข้ันตอนการสร้างพ้ืนฐานทาง เรขาคณิตข้อท่ี 4 โดยใช้เทคโนโลยี ได้ท่ี goo.gl/2emkii สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 91 แบบฝกึ หัด 2.2 ข 1. จงสรา้ ง AˆBC ใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของมุมที่ก�ำ หนดให้ สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หหา้ รมอื เจผา้ ยหแนพ่ารย่ ทา้ ซ้า2. จงสรา้ ง XˆYZ ใหม้ ีขนาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ กลบั ทกี่ �ำ หนดให้ ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้3. จงสรา้ งมมุ ให้มีขนาดเป็นสองเทา่ ของขนาดของ AˆBC ทกี่ ำ�หนดให้ สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยA ดดั แปลงB C 4. จงสรา้ งมุมใหม้ ีขนาดเท่ากับ PˆQR – MˆON PM Q RO N สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
92 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ หนังสอื เรียนรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 มมุ คณิต 5. สรา้ ง AˆBC ใหม้ ีขนาดน้อยกวา่ 180 องศา แล้ว 1) สรา้ งเสน้ แบ่งครง่ึ มุม ABC และเส้นแบ่งครง่ึ มุมกลับ ABC 2) เขียนข้อความคาดการณเ์ กย่ี วกบั เส้นแบง่ ครึ่งมมุ ในข้อ 1) ข้ อ ส รุ ป ท่ี ไ ด้ จ า ก ก า ร สั ง เ ก ต ห รื อ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้การทดลองหลาย ๆ คร้ัง ซึ่งเชื่อว่ามี ความเป็นไปได้มากท่ีสุด แต่ยังไม่ได้ พิสูจน์ว่าเป็นจริง เรียกข้อสรุปน้ันว่า ข้อความคาดการณ์ (conjecture) 6. กำ�หนด XˆYZ ดังรูป จงสร้างมุมให้มขี นาดเทา่ กับขนาดของ XˆYZ แล้วแบง่ มุมทีส่ ร้างขนึ้ ออกเปน็ มุมท่มี ีขนาดเท่ากันทงั้ สีม่ มุ X สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หน่าย Y Z ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ จากการสร้างขา้ งตน้ จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ 1) เราสามารถแบ่ง XˆYZ ออกเป็น 3 มมุ 5 มมุ หรอื 6 มุม ทแ่ี ต่ละมุมมีขนาดเท่ากันโดยใช้วิธีการแบ่งครึง่ มุมไดห้ รอื ไม่ 2) เราสามารถแบ่ง XˆYZ โดยใช้วิธีการแบ่งครึ่งมุมออกเป็นมุมท่ี แต่ละมุมมขี นาดเท่ากันได้กีม่ ุมบ้าง สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย7. จงสรา้ งรูปสามเหล่ยี ม ABC ท่มี ี AB = a หนว่ ย AˆBC = PˆQR และ BˆAC = XˆYZ a ดัดแปลงR Z PQ YX สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 93 8. จากรูป ให้จดุ Q อยบู่ น �PS R หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าP Q S สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หน่าย จงสร้าง �QX ให้แบง่ คร่ึง PQˆR และสร้าง �QY ใหแ้ บง่ ครง่ึ RˆQS แลว้ ตอบคำ�ถามต่อไปน้ี 1) ผลบวกของ PˆQR กับ RˆQS เทา่ กับเทา่ ใด 2) ผลบวกระหวา่ งครงึ่ หนงึ่ ของ PˆQR กับครึง่ หนง่ึ ของ RˆQS เท่ากับเท่าใด 3) XˆQY มขี นาดเท่าไร เพราะเหตใุ ด ดัดแปลสงงวนสทิ ธ์โิ ดยดสัดสแวปทล.ง หหา้ รมือเจผ้ายหแนพา่ รย่ ท้าซ้า 3. การสรา้ งเก่ียวกบั เส้นตง้ั ฉาก รอบตวั เรามตี วั อยา่ งของการใช้เส้นตง้ั ฉากมากมาย เชน่ ขั้นบนั ได โครงสรา้ งอาคาร การแบง่ พ้ืนสนามแขง่ ขัน แกนว่าว การสร้างเส้นต้ังฉากเป็นการสร้างพื้นฐานที่สำ�คัญของการสร้างรูปเรขาคณิตและรูปอ่ืน ๆ ท่ีเกี่ยวข้อง ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง การสร้างเสน้ ตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเส้นตรงทก่ี ำ�หนดให้ และการสรา้ งเส้นตั้งฉากทีจ่ ุดจุดหนึ่งทอ่ี ยู่บนเส้นตรงทก่ี �ำ หนดให้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
94 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตข้อท่ี 5 ✤ การสร้างเส้นตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอกมายงั เสน้ ตรงที่ก�ำ หนดให้ หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าชวนคิด 2.6 การสร้างเส้นต้ังฉาก ทำ�ได้โดยการสร้างเส้นตรงให้ทำ�มุมฉากกับเส้นตรงท่ี ก�ำ หนดให้ เราสามารถสรา้ งเสน้ ตรงจากจดุ ภายนอก ให้จดุ P เป็นจุดท่อี ยภู่ ายนอก �AB ดงั รปู ให้ตั้งฉากกับสว่ นของเสน้ ตรงที่กำ�หนดให้ได้ P สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยเสมอไปหรอื ไม่ ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าA B P การสร้างสว่ นของเสน้ ตรงจากจุด P ให้ตั้งฉากกับ �AB ทำ�ไดด้ ังนี้ 1. ใชจ้ ดุ P เปน็ จุดศนู ย์กลาง รศั มียาวพอสมควรดัดแปลงCD A B สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายเขยี นสว่ นโคง้ ให้ตดั �AB ใหจ้ ุดตัดคอื จดุ C และจุด D สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสือเรียนรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 95 2. ใชจ้ ดุ C และจุด D เป็นจุดศูนยก์ ลาง รัศมียาวเทา่ กัน P เขียนสว่ นโค้งใหต้ ดั กันหนงึ่ จุด ใหจ้ ุดตัดคือ จุด E หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า C D A B สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย3. ลาก P—E ตัด �AB ให้จดุ ตัดคอื จดุ Q E P จะได้ AˆQP = BˆQP = 90o C Q D A B ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าเราสามารถตรวจสอบว่าขนาดของ AˆQP เท่ากบั ขนาดของ BˆQP และเทา่ กบั ครง่ึ หนึ่งของขนาด ของมมุ ตรง โดยใชว้ งเวียน สงวนสทิ ธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย ดังน้ัน P—E ต้งั ฉากกบั �AB ที่จดุ Q ตามต้องการ E ดดั แปลง เนือ่ งจาก P—Q เป็นส่วนหนึง่ ของ P—E จะได้ P—Q ตง้ั ฉากกบั �AB ที่จดุ Q ดว้ ย มุมเทคโนโลยี และจะกล่าวว่า PQ เปน็ ระยะหา่ งระหว่างจดุ P กบั �AB มุมคณิต ระยะห่างระหว่างจุดใดๆ กับเส้นตรง นักเรียนสามารถดาวน์โหลดไฟล์ GSP เท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงจาก เพ่ือศึกษาข้ันตอนการสร้างพ้ืนฐานทาง จดุ ดงั กลา่ วถงึ เส้นตรงนั้นในแนวต้ังฉาก เรขาคณิตข้อท่ี 5 โดยใช้เทคโนโลยี ได้ท่ี goo.gl/STW9Ai สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
96 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนังสือเรยี นรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ที่ 6 ✤ การสรา้ งเสน้ ต้งั ฉากท่ีจดุ จุดหน่งึ ทอ่ี ยบู่ นเสน้ ตรงที่ก�ำ หนดให้ ให้จุด P เป็นจดุ บน �AB ดังรปู ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าA P B การสรา้ งเส้นตั้งฉากกบั �AB ท่จี ดุ P ท�ำ ไดโ้ ดยสรา้ งสว่ นของเส้นตรงหรอื เส้นตรงให้ท�ำ มุมฉากกับ �AB ทจ่ี ดุ P ซ่ึงกค็ อื การสร้างเสน้ แบง่ คร่ึงมุมตรง APB ดงั น้ี สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย1. ใช้จุด P เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มยี าวพอสมควร เขียนสว่ นโค้งใหต้ ัด �AB ใหจ้ ดุ ตัดคือ จดุ C และจดุ DA CPD B ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า2. ใชจ้ ุด C และจุด D เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รัศมียาวเทา่ กันE เขียนส่วนโค้งใหต้ ัดกนั หนง่ึ จดุ ให้จดุ ตัดคอื จดุ E สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่าย3. ลาก —PE A CPD B จะได้ AˆPE = BˆPE = 90o E ดัดแปลงเราสามารถตรวจสอบวา่ ขนาดของ A CPD B AˆPE เทา่ กบั ขนาดของ BˆPE และ เท่ากับครงึ่ หนง่ึ ของขนาดของ มุมตรง โดยใชว้ งเวยี น ดงั น้ัน —PE ตั้งฉากกบั �AB ท่จี ดุ P ตามตอ้ งการ เน่อื งจาก —PE เปน็ ส่วนหน่งึ ของ �PE จะได้ �PE เปน็ เส้นตัง้ ฉากท่ีจดุ P บน �AB ท่ีกำ�หนดให้ มุมเทคโนโลยี นกั เรยี นสามารถดาวนโ์ หลดไฟล์ GSP เพอ่ื ศกึ ษาขน้ั ตอนการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 6 โดยใชเ้ ทคโนโลยี ไดท้ ่ี goo.gl/8yR2FE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 97 แบบฝกึ หดั 2.2 ค 1. ก�ำ หนด A—B เปน็ สว่ นของเสน้ ตรงใด ๆ 1) จงสรา้ ง C—D ให้แบง่ ครงึ่ A—B 2) ถ้าจุดตัดที่ได้จากการสร้างในข้อ 1) คือจุด O แล้ว C—D ต้ังฉากกับ A—B ที่จุด O หรือไม่ ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าเพราะเหตใุ ด 2. ก�ำ หนด A—B เป็นสว่ นของเส้นตรงใด ๆ 1) จงสร้าง �CD ให้แบ่งคร่งึ และต้งั ฉากกบั A—B สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย 2) ก�ำ หนดให้จดุ P เป็นจดุ ใด ๆ บน�CD PA และ PB เกยี่ วข้องกนั อย่างไร 3. กำ�หนดจุด P เป็นจุดทอ่ี ยภู่ ายในรปู สามเหล่ยี ม ABC จงสรา้ งเสน้ ตงั้ ฉากจากจดุ P ไปยงั ดา้ นแต่ละด้าน ของรปู สามเหลย่ี ม ABC ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าA P สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายB C จากการสร้างขา้ งตน้ ใหน้ กั เรยี นส�ำ รวจโดยการลากจดุ P นักเรียนได้ขอ้ สงั เกตอะไรบ้าง ดัดแปลง4. ก�ำ หนดรูปสามเหล่ยี ม DEF จงสร้างเสน้ แบง่ ครงึ่ และต้งั ฉากกับดา้ นแตล่ ะดา้ นของรูปสามเหล่ียม DEF D EF สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
98 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนังสือเรยี นรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2.3 การสรา้ งรปู เรขาคณติ ในหวั ขอ้ นจี้ ะกลา่ วถงึ การน�ำ ความรเู้ กยี่ วกบั การสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ ไปใชใ้ นการสรา้ งมมุ ทม่ี ขี นาดตา่ ง ๆ การสรา้ ง และส�ำ รวจเกย่ี วกับรูปสามเหล่ยี ม การสรา้ งเสน้ ขนาน และการสรา้ งรปู สีเ่ หลย่ี ม ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า การสรา้ งมุมท่ีมีขนาดต่าง ๆ เราสามารถสร้างมุมที่มีขนาด 0o, 180o และ 360o โดยใช้เพียงสนั ตรงเท่านนั้ ส�ำ หรับการสร้างมุมท่ีมีขนาดอ่ืน ๆ เชน่ มมุ ท่มี ีขนาด 90o และ 60o เราสามารถอาศยั ความรูเ้ ก่ียวกบั การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ได้แก่ การสรา้ งมุมให้มีขนาดเทา่ กบั สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยมมุ ที่ก�ำ หนดให้ การแบ่งครึง่ มุม และความรู้เกีย่ วกับสมบตั ขิ องรูปเรขาคณิต ตอ่ ไปนีจ้ ะกล่าวถึงการสรา้ งมุมท่มี ขี นาด 90o, 60o และ 75o เพือ่ เปน็ แนวทางในการสร้างมมุ ท่ีมีขนาดอื่น ๆ ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า✤ การสร้างมมุ ท่มี ีขนาด 90o การสร้างมุมท่ีมีขนาด 90o อาศัยการแบ่งครึ่งมุมตรง หรือการสร้างเส้นตั้งฉากท่ีจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นตรงท่ีกำ�หนดให้ ซ่ึงจะไดม้ มุ ฉาก ดงั นี้ สงวนสทิ ธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยE ดัดแปลงจากการสรา้ งพน้ื ฐาน ทางเรขาคณิตข้อที่ 6 P CAD Q 1. ลาก �PQ และให้จดุ A เป็นจดุ จุดหน่งึ บน �PQ 2. ทจ่ี ดุ A สร้าง �AE ให้ตง้ั ฉากกับ �PQ จะได้ PˆAE = QˆAE = 90o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 99 ✤ การสรา้ งมมุ ทม่ี ขี นาด 60o การสรา้ งมุมทม่ี ขี นาด 60o อาศัยแนวคดิ ในการสร้างรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า ดังนี้ 60๐ ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า60๐ 60๐ รูปสามเหลย่ี มด้านเทา่ มขี นาดของ มุมภายในแต่ละมมุ เท่ากับ 60˚ C สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายA X O Y B ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าYˆOC เปน็ มมุ หน่ึงของ สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายรูปสามเหลี่ยม YOC 1. ลาก �AB และให้จุด O เปน็ จุดจุดหน่งึ บน �AB 2. ให้จดุ O เปน็ จุดศูนย์กลาง รัศมียาวพอสมควร เขยี นสว่ นโคง้ ใหต้ ัด �AB ให้จุดตัดคอื จดุ X และจุด Y 3. ใช้จุด Y เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมยี าว OY เขียนส่วนโคง้ ใหต้ ดั สว่ นโค้ง XY ให้จุดตัดคอื จดุ C 4. ลาก �OC จะได้ YOˆC มีขนาด 60o ตามต้องการ ✤ การสรา้ งมมุ ทม่ี ขี นาด 75o ดัดแปลง การสร้างมุมที่มีขนาด 75o อาจอาศัยแนวคิดในการสร้างมุมที่มีขนาด 60o, 90o และการสร้างมุมที่มีขนาด 15o ซง่ึ ไดจ้ ากการแบ่งครึง่ มุมที่มีขนาด 30o ดงั น้ี 75 = 60 + 15 = 60 + 3—20 หรือ 75 = 90 – 15 = 90 – 3—20 ชวนคดิ 2.7 นกั เรยี นมแี นวคดิ ในการสรา้ งมมุ ทม่ี ขี นาด 30o และ 45o อย่างไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
102 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนงั สอื เรยี นรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 จากการสร้างพ้ืนฐาน 1. สร้าง P―Q ยาว a หน่วย ทางเรขาคณติ ข้อที่ 1 2. สร้าง QˆPX ใหม้ ีขนาด 75 องศา โดยอาศยั แนวคดิ 75 = 60 + 15 3. ใชจ้ ุด P เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มียาว b หน่วย เขียนส่วนโคง้ ให้ตัด �PX ใหจ้ ดุ ตัดคอื จุด R 4. ลาก Q—R จะได้ รปู สามเหล่ียม PQR เป็นรปู สามเหล่ยี มท่ี QˆPR = 75o PQ = a หน่วย และ PR = b หนว่ ย ตามต้องการ จากการสรา้ งพน้ื ฐาน ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ทางเรขาคณิตข้อที่ 6 และ 4 สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย✤ การส�ำ รวจเกย่ี วกับรปู สามเหล่ยี ม ในหัวข้อนี้ จะสำ�รวจเก่ียวกับรูปสามเหลี่ยมท่ีมีเส้นแบ่งครึ่งด้าน เส้นแบ่งคร่ึงมุมภายใน หรือเส้นท่ีตั้งฉากกับด้านของ รูปสามเหล่ียม ดงั ต่อไปน้ี 1. ส่วนของเส้นตรงทเ่ี ชื่อมระหว่างจุดยอดของรปู สามเหล่ียมกับจดุ กง่ึ กลางของดา้ นตรงข้ามกบั จดุ ยอดนน้ั ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้า 2. เส้นแบง่ คร่ึงมมุ ของรูปสามเหลย่ี ม 3. ส่วนของเส้นตรงท่ีลากจากจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมาตั้งฉากกับด้านตรงข้ามหรือส่วนต่อของด้านตรงข้ามกับ จุดยอดนน้ั 4. เส้นตรงที่แบง่ ครึ่งและตงั้ ฉากกบั ดา้ นของรูปสามเหลีย่ ม สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจ้าหน่ายตวั อยา่ งท ่ี 3 ก�ำ หนดรูปสามเหล่ยี ม PQR จงสร้างส่วนของเส้นตรงทีเ่ ชอื่ มระหว่างจดุ ยอด P กับจุดกึง่ กลางของดา้ น QR P ดัดแปลงQ R วธิ สี รา้ ง การสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงทีเ่ ชอ่ื มระหว่างจุดยอด P กับจดุ กง่ึ กลางของดา้ น QR ท�ำ ได้โดยแบ่งครึ่ง Q—R โดยใช้ การสรา้ งพ้นื ฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ที่ 2 ซ่ึงจะไดจ้ ดุ O เป็นจุดก่งึ กลางของ Q—R และลากส่วนของเสน้ ตรงเช่ือมระหวา่ งจดุ ยอด P กบั จุด O ดงั รูป สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 103 P ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้Q O R จะได้ PO เป็นส่วนของเสน้ ตรงตามต้องการ สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย เราเรียกส่วนของเส้นตรงที่เช่ือมระหว่างจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามกับจุดยอดน้ันว่า เสน้ มัธยฐาน (median) ของรูปสามเหล่ยี ม และจากตวั อยา่ งท่ี 3 PO เป็นเสน้ มธั ยฐานเส้นหน่ึงของรปู สามเหลีย่ ม PQR ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้กิจกรรม : ส�ำ รวจเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สงวนสทิ ธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยขน้ั ตอนการทำ�กิจกรรม ชวนคิด 2.10 1. สรา้ งรปู สามเหล่ียม ABC ถ้านักเรียนสร้างเส้นมัธยฐาน ในรูป 2. สร้างเสน้ มัธยฐานของรูปสามเหลยี่ ม ABC ใหค้ รบทัง้ สามเสน้ สามเหลย่ี มรปู หนงึ่ เพยี งสองเสน้ เมอื่ นกั เรยี น 3. สงั เกตผลทีไ่ ด้จากการสรา้ งในข้อ 2 สร้างรังสีจากจุดยอดที่เหลือผ่านจุดตัดของ เส้นมัธยฐานทั้งสองเส้นแล้ว นักเรียนคาดว่า ดัดแปลง 4. เปรยี บเทยี บและอภปิ รายผลทไี่ ดจ้ ากการสงั เกตกบั เพอื่ นในหอ้ งรงั สนี จี้ ะตดั กับดา้ นทเ่ี หลอื ของรปู สามเหล่ียม ในลักษณะใด 5. สรุปข้อคน้ พบที่ได้จากข้อ 4 6. สรุปสมบตั ิของเส้นมธั ยฐานของรปู สามเหล่ียม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
104 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต หนังสือเรยี นรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กจิ กรรม : สำ�รวจเส้นแบ่งครึง่ มมุ ของรูปสามเหล่ียม หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าL M N เส�นแบ�งครง่ึ มุมของรปู สามเหล่ยี ม สงวนสิทธิโ์ ดยดสัดสแวปทล.ง หรือจ้าหนา่ ย ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าชวนคิด 2.11 ถ้านักเรียนสร้างเส้นแบ่งคร่ึงมุมของ รปู สามเหลย่ี มรปู หนง่ึ เพยี งสองเสน้ เมอ่ื นกั เรยี น สร้างรังสีจากจุดยอดที่เหลือผ่านจุดตัดของ สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยเส้นแบ่งครึ่งมุมท้ังสองเส้นแล้ว นักเรียน ดดั แปลงคาดวา่ รงั สนี จี้ ะเกยี่ วขอ้ งกบั มมุ ทเ่ี หลอื อยา่ งไร ขน้ั ตอนการท�ำ กจิ กรรม 1. สร้างรปู สามเหล่ยี ม LMN 2. สรา้ งเสน้ แบง่ ครึ่งมุมของรปู สามเหลี่ยม LMN ให้ครบท้งั สามเส้น 3. สังเกตผลทไ่ี ดจ้ ากการสรา้ งในข้อ 2 4. เปรียบเทยี บและอภิปรายผลท่ีได้จากการสังเกตกบั เพือ่ นในหอ้ ง 5. สรปุ ข้อค้นพบทไี่ ด้จากข้อ 4 6. สรุปสมบัติของเสน้ แบ่งครงึ่ มมุ ของรปู สามเหลีย่ ม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 105 กิจกรรม : ส�ำ รวจสว่ นของเสน้ ตรงท่ีลากจากจดุ ยอดของรูปสามเหล่ยี ม มาตงั้ ฉากกับดา้ นตรงขา้ มหรอื ส่วนตอ่ ของด้านตรงขา้ มกับจุดยอดนั้น หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าM P QR สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจา้ หน่ายขนั้ ตอนการทำ�กจิ กรรม ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซา้ 1. สร้างรปู สามเหลยี่ ม PQR ชวนคดิ 2.12 2. สรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ยอดของรปู สามเหลยี่ ม ถ้านักเรียนสร้างส่วนของเส้นตรงท่ีลาก มาตงั้ ฉากกบั ดา้ นตรงขา้ มหรอื สว่ นตอ่ ของดา้ นตรงขา้ มกบั จากจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมาต้ังฉากกับ จุดยอดนนั้ ของรูปสามเหล่ยี ม PQR ใหค้ รบทงั้ สามเส้น ดา้ นตรงขา้ มหรอื สว่ นตอ่ ของดา้ นตรงขา้ มกบั จุดยอดนั้นในรูปสามเหล่ียมรูปหน่ึงเพียง 3. สังเกตผลท่ีไดจ้ ากการสรา้ งในขอ้ 2 สองเส้น เมื่อนักเรียนสร้างรังสีจากจุดยอด ที่เหลือผ่านจุดตัดของเส้นต้ังฉากท้ังสองเส้น สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หน่าย 4. เปรยี บเทียบและอภิปรายผลที่ไดจ้ ากการสังเกตกบั เพอื่ นแล้ว นักเรียนคาดว่ารังสีน้ีจะตัดกับด้านที่ ในหอ้ ง เหลือของรูปสามเหล่ียมในลกั ษณะใด 5. สรุปขอ้ ค้นพบท่ไี ดจ้ ากข้อ 4 ดดั แปลง ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมา ตง้ั ฉากกบั ดา้ นตรงขา้ มหรอื สว่ นตอ่ ของดา้ นตรงขา้ มกบั จดุ ยอดนนั้ เรียกว่า สว่ นสงู (altitude) ของรูปสามเหล่ียม เราสามารถใช้ ค ว า ม รู้ เ ก่ี ย ว กั บ ก า ร ส ร้ า ง เ ส้ น ต้ั ง ฉ า ก จ า ก จุ ด ภ า ย น อ ก ม า ยั ง เส้นตรงท่ีกำ�หนดให้เพื่อสรา้ งส่วนสงู ของรูปสามเหล่ยี ม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
106 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนังสอื เรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรม : ส�ำ รวจเสน้ ตรงทแ่ี บง่ ครง่ึ และตง้ั ฉากกบั ดา้ นของรปู สามเหลย่ี ม ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้าT สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายR S ดดั แปลสงงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หหา้รมอื เจผา้ ยหแนพา่ รย่ ท้าซา้ชวนคิด 2.13 ถ้านักเรียนสร้างเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและ ตั้งฉากกับด้านของรูปสามเหลี่ยมเพียง ดดั แปลงสองเสน้ และใหต้ ัดกันทีจ่ ดุ O 1. เมื่อนักเรียนสร้างเส้นตรงผ่านจุดตัด O และจดุ กง่ึ กลางของดา้ นทเ่ี หลอื นกั เรยี น คาดว่าเส้นตรงนี้จะเก่ียวข้องกับด้านท่ี เหลืออย่างไร ขั้นตอนการท�ำ กิจกรรม 1. สรา้ งรปู สามเหล่ยี ม RST 2. สร้างเส้นตรงท่ีแบ่งคร่ึงและตั้งฉากกับด้านของรูปสามเหล่ียม RST ใหค้ รบทง้ั สามเส้น 3. สังเกตผลท่ีได้จากการสร้างในขอ้ 2 4. เปรียบเทียบและอภปิ รายผลทไี่ ด้จากการสังเกตกับเพ่ือนในหอ้ ง 5. สรุปข้อคน้ พบท่ไี ดจ้ ากขอ้ 4 6. สรุปสมบตั ขิ องเสน้ ตรงที่แบง่ คร่งึ และต้งั ฉากกับด้านของ 2. เม่ือนักเรียนสร้างเส้นตรงผ่านจุดตัด O รูปสามเหลย่ี ม และต้ังฉากกับด้านที่เหลือ นักเรียน คาดว่าเส้นตรงนี้จะเกี่ยวข้องกับด้านที่ เหลืออย่างไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 107 แบบฝึกหัด 2.3 ก 1. จงสร้างมมุ ทม่ี ีขนาดต่อไปนี้ ชวนคดิ 2.14 1) 22 21–o 2) 135o 3) 240o ถ้าพิจารณาเส้นแบ่งครึ่งมุม ส่วนสูง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า2. พจิ ารณาวธิ สี รา้ งเสน้ ตงั้ ฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรงทจี่ ดุ ปลายจดุ หนงึ่ ตอ่ ไปนี้ และเส้นแบ่งครึ่งและต้ังฉากกับด้านของ F รปู สามเหลยี่ มรปู หนง่ึ เสน้ เหลา่ นจี้ ะมโี อกาส ท่ีมีจุดตัดร่วมกันเพียงจุดเดียวหรือไม่ ถ้ามี สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายE D รูปสามเหล่ียมรูปน้ันจะเป็นรูปสามเหล่ียม ชนดิ ใด ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ 1) ลากสว่ นของเสน้ ตรง AB ใหย้ าวพอสมควรACB 2) ใช้จดุ A เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รัศมยี าวพอสมควร เขียนส่วนโคง้ ให้ตัด A—B ใหจ้ ุดตัดคือ จดุ C 3) ใชจ้ ดุ C เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มยี าวเทา่ กบั รศั มใี นขอ้ 2) เขยี นสว่ นโคง้ ใหต้ ดั สว่ นโคง้ ในขอ้ 2) ใหจ้ ดุ ตดั คอื จดุ D 4) ใชจ้ ุด D เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รัศมยี าวเทา่ เดิม เขยี นส่วนโคง้ ให้ตดั ส่วนโค้งในข้อ 2) ให้จดุ ตดั คอื จุด E สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย 5) ใชจ้ ุด D และจดุ E เป็นจดุ ศนู ย์กลาง รัศมยี าวเท่ากัน เขยี นส่วนโค้งตดั กันหน่ึงจุด ใหจ้ ุดตัดคือ จดุ F 6) ลากส่วนของเส้นตรง AF จะได้ FˆAB = 90o ดงั นั้น A—F ตง้ั ฉากกบั A—B ท่ีจุด A ตามตอ้ งการ ใหน้ ักเรียนอธิบายวา่ FˆAB = 90o เพราะเหตุใด ดัดแปลง3. จงสรา้ งรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใหม้ ดี า้ นประกอบมมุ ฉากดา้ นหนง่ึ ยาว a หนว่ ย และดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาว b หนว่ ย ab สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
108 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ หนังสือเรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 4. กำ�หนดรปู สเ่ี หล่ยี มผืนผ้า ABCD ดงั รปู DC สงวนสทิ ธโ์ิ ดย สสวท. หห้ารมือเจผ้ายหแนพ่ารย่ ทา้ ซา้A B จงสรา้ งเส้นแบ่งครงึ่ AˆBC และเสน้ แบง่ ครงึ่ BˆAD ให้จุดตดั ของเสน้ แบง่ ครงึ่ มมุ ท้ังสองคอื จุด O ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ นักเรยี นคิดวา่ รูปสามเหลย่ี ม ABO เป็นรูปสามเหล่ยี มชนิดใด เพราะเหตุใด 5. จงสร้างรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั รูปหนง่ึ ใหม้ ฐี านยาว a หนว่ ย และมมุ ยอดมขี นาด 90o a สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย6. ก�ำ หนดรปู สามเหล่ียม ABC จงสร้างสว่ นสงู ของรูปสามเหล่ยี ม ABC ทง้ั สามเสน้ ดดั แปลงA BC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 109 การสร้างเส้นขนาน หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ ในชีวิตประจำ�วันเราเห็นตัวอย่างของเส้นขนาน เช่น ทางม้าลาย กรอบ มุมคณติ ประตหู นา้ ตา่ ง และขอบกระดานด�ำ เราทราบมาแลว้ วา่ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั ส่วนของเส้นตรง หรือรังสี จะขนานกัน เมือ่ เส้นดงั กลา่ วอยบู่ นเส้นตรงทขี่ นานกัน สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรอื จา้ หน่ายก็ตอ่ เมอ่ื เสน้ ตรงสองเส้นนัน้ มีระยะหา่ งเท่ากันเสมอ CD ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ จากรปู สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ย AB �AB ขนานกบั �CD เขยี นแทนดว้ ย �AB // �CD AC และ BD เปน็ ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ขนาน โดยที่ AC = BD เราทราบมาแลว้ วา่ เส้นขนานมีสมบัติที่สำ�คัญ 2 ประการ ซึง่ จะน�ำ ไปใช้ในการสร้างเส้นขนาน คอื 1. ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนงึ่ ตัดเส้นตรงค่หู นง่ึ ท�ำ ใหม้ ุมแย้งมีขนาดเทา่ กัน แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ้ันจะขนานกนั ดดั แปลงY D C2 1 B AX จากรปู ถ้า �XY ตดั �AB และ �CD ทำ�ให้ ˆ1 = ˆ2 แล้วจะได้วา่ A�B และ �CD ขนานกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
110 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนังสอื เรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2. ถ้าเส้นตรงเสน้ หนึ่งตัดเสน้ ตรงคู่หน่ึง ท�ำ ใหข้ นาดของมุมภายในท่ีอยู่บนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตดั รวมกนั ได้ 180o แล้ว เสน้ ตรงคูน่ ั้นจะขนานกนั Y D B ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าC 2 3 AX สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย จากรูป ถา้ �XY ตดั �AB และ�CD ทำ�ให้ ˆ2 + ˆ3 = 180o แล้วจะไดว้ า่ �AB และ�CD ขนานกนั ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า✤ การสรา้ งเส้นตรงให้ขนานกบั เสน้ ตรงท่กี �ำ หนดใหแ้ ละผา่ นจดุ ภายนอกทก่ี �ำ หนดให้ ก�ำ หนดจดุ P และ �AB ดงั รูป P สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจา้ หน่ายA ดัดแปลง การสร้างเสน้ ตรงให้ผา่ นจดุ P และขนานกบั �AB ทำ�ไดด้ ังนี้B CP AQ B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 111 1. ก�ำ หนดจดุ Q เปน็ จุดจดุ หน่งึ บน �AB ลาก P—Q 2. สรา้ ง CˆPQ ให้มีขนาดเท่ากับขนาดของ PˆQB โดยให้ CˆPQ และ จากการสรา้ งพื้นฐาน PˆQB เป็นมมุ แยง้ ทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 3 3. ลาก �CP หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าจะได้ �CP //�AB ตามตอ้ งการ ✤ การสร้างเสน้ ตรงให้ขนานกบั เส้นตรงทกี่ �ำ หนดให้และมรี ะยะหา่ งตามทก่ี �ำ หนดให้ ก�ำ หนด �AB และสว่ นของเสน้ ตรงท่ียาว a หน่วย ดังรปู สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรือจ้าหนา่ ยA B a การสรา้ งเส้นตรงเสน้ หนง่ึ ใหข้ นานกบั �AB และมีระยะหา่ งเท่ากับ a หน่วย สามารถท�ำ ไดด้ งั นี้ ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซ้าP CD a สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ยA จากการสรา้ งพื้นฐาน ดัดแปลงทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 6 จากการสร้างพ้นื ฐาน ทางเรขาคณติ ขอ้ ที่ 1 ชวนคิด 2.15 B นกั เรยี นจะอธบิ ายวา่ C�D ขนานกบั A�B ได้อยา่ งไร 1. ท่จี ุด A สรา้ ง �AP ใหต้ ้ังฉากกบั �AB 2. บน �AP สร้าง A—C ให้ยาว a หน่วย 3. ที่จดุ C สรา้ ง �CD ใหต้ ้งั ฉากกับ A�P จากการสรา้ งพ้นื ฐาน ทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 6 จะได้ �CD ขนานกบั �AB และมีระยะหา่ งเท่ากับ a หนว่ ย ตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
112 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ หนังสอื เรียนรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ตวั อยา่ งท ่ี 4 กำ�หนดรปู สามเหลย่ี ม ABC ดงั รูป C AB หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า จงสรา้ งรปู สามเหล่ยี มที่มีลักษณะเป็นการขยายรูปสามเหลยี่ ม ABC โดยให้ด้านแตล่ ะด้านมีความยาวเป็นสองเทา่ ของ ความยาวของด้านของรูปสามเหลย่ี ม ABC วธิ สี รา้ ง สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยE C D F ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า A B จากการสรา้ งพ้ืนฐาน ทางเรขาคณติ ข้อท่ี 1 สงวนสิทธ์ิโดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยจากแนวคดิ การสรา้ งเสน้ ขนาน และการสร้างพ้ืนฐาน ทางเรขาคณิตข้อท่ี 3 และ 1 ดดั แปลงเราสามารถตรวจสอบวา่ DE ยาวเป็นสองเทา่ ของ BC โดยใชว้ งเวียน 1. จากรูปสามเหลี่ยม ABC ท่ีก�ำ หนดให้ สรา้ ง �AB 2. บน �AB สร้าง B—D ให้ยาวเปน็ สองเทา่ ของ AB 3. ทจ่ี ดุ B สร้าง�BF ใหข้ นานกับ A—C และสร้าง B—E ให้ยาวเป็น สองเท่าของ AC 4. ลาก D—E จะได้ DE = 2(BC) ดงั นนั้ รูปสามเหลีย่ ม BDE เปน็ รูปสามเหล่ียม ตามต้องการ ชวนคิด 2.16 จากการสร้างในตัวอย่างที่ 4 นักเรียน คิดวา่ มวี ธิ ีการสร้างแบบอ่นื ได้อกี หรอื ไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 113 การสร้างรปู สเ่ี หลย่ี ม การสร้างรูปส่ีเหล่ียมประเภทต่าง ๆ ด้วยวงเวียนและสันตรง หรอื ใชซ้ อฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวตั จ�ำ เปน็ ตอ้ งทราบ สมบตั ิตา่ ง ๆ ของรูปเรขาคณติ และตอ้ งอาศยั แนวคิดของการสรา้ งพืน้ ฐานทางเรขาคณติ ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้ ใหน้ กั เรียนพิจารณาตัวอยา่ งการสรา้ งรปู สเี่ หลีย่ มต่อไปนี้ ตวั อยา่ งท ่ี 5 จงสร้างรปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรสั ใหแ้ ต่ละด้านยาว a หนว่ ย พร้อมทัง้ เขียนวิธสี รา้ ง สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ยวธิ สี รา้ ง การสรา้ งท�ำ ไดด้ ังน้ีa มุมเทคโนโลยี P ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าDQ นักเรียนสามารถดาวน์โหลดไฟล์ GSP C เพ่ือศึกษาเก่ียวกับรูปส่ีเหล่ียมเพ่ิมเติมได้ท่ี goo.gl/qWmtCk a a สงวนสทิ ธิโ์ ดย สสวท. หรือจา้ หน่ายA a B ดัดแปลงจากการสร้างพนื้ ฐาน ทางเรขาคณติ ขอ้ ที่ 1 จากการสรา้ งพืน้ ฐาน ทางเรขาคณิตขอ้ ที่ 6 และ 1 1. สร้าง A—B ยาว a หนว่ ย 2. ทจี่ ดุ A สรา้ ง �AP ใหต้ ้ังฉากกบั A—B และสร้าง A—D ยาว a หนว่ ย 3. ท่ีจุด B สร้าง �BQ ใหต้ ัง้ ฉากกบั A—B และสรา้ ง B—C ยาว a หน่วย 4. ลาก C—D จะได้ C—D ยาว a หน่วย เราสามารถตรวจสอบว่า CD จะได้ รูปส่ีเหล่ยี ม ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มจตั รุ ัส ตามตอ้ งการ ยาว a หน่วย โดยใช้วงเวยี น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
114 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ตวั อยา่ งท ่ี 6 จงสรา้ งรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานใหม้ คี วามยาวของดา้ นเปน็ a และ b หนว่ ย ตามทก่ี �ำ หนดให้ โดยทม่ี มุ หนง่ึ มขี นาด 45o พร้อมทง้ั เขียนวิธีสรา้ ง ab ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าวธิ สี รา้ ง การสร้างท�ำ ได้ดงั นี้ HJ D C สงวนสทิ ธิ์โดยดสัดสแวปทล.ง หรอื จา้ หนา่ ย ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้จากการสร้างพน้ื ฐานb ทางเรขาคณติ ข้อท่ี 1 b จากการสร้างพืน้ ฐาน 45 ํ a 135 ํ ทางเรขาคณติ ข้อท่ี 6, 4 และ 1 A B สงวนสทิ ธิโ์ ดยดสดั สแวปทล.ง หรอื จา้ หนา่ ยมุมเทคโนโลยี 1. สร้าง AB ยาว a หนว่ ย 2. ท่จี ดุ A สร้าง A�H ใหท้ ำ�มมุ 45o กบั �AB และสรา้ ง AD ยาว b หนว่ ย 3. ทจ่ี ุด B สรา้ ง �BJ ใหท้ ำ�มุม 135o กับ �BA (โดยอาศยั แนวคดิ 135 = 90 + 45) และสร้าง BC ยาว b หนว่ ย 4. ลาก CD จะได้ CD ยาว a หน่วย ดังนนั้ รูปสี่เหลีย่ ม ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน ตามตอ้ งการ จากจดุ A, B, C, D, E, F, G ทก่ี �ำ หนดให้ ในรูป จะสร้างรูปหลายเหล่ียมท่ีแตกต่างกัน ชนดิ ใดไดบ้ า้ ง ใหเ้ ขยี นรปู เหลา่ นน้ั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 115 แบบฝึกหดั 2.3 ข 1. ก�ำ หนด �BC เป็นแนวคลองชลประทาน ใหน้ กั เรียนสรา้ งแนวถนนใหต้ รงโดยผ่านหนา้ โรงเรียน (จุด A) และขนาน กบั แนวคลองชลประทาน พร้อมท้งั อธบิ ายข้ันตอนการสรา้ ง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้าA B สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ยC ดดั แปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า2. ก�ำ หนดส่วนของเสน้ ตรงให้ยาว a และ b หนว่ ย ดงั รูป ab จงสรา้ ง สงวนสิทธิโ์ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย 1) เสน้ ขนานคหู่ น่งึ ให้มีระยะห่างระหวา่ งเส้นขนานเป็น a หนว่ ย 2) รปู สเ่ี หล่ียมดา้ นขนานท่ีมดี ้านดา้ นหน่งึ ยาว a หน่วย อีกดา้ นหน่ึงยาว b หนว่ ย และมมุ มุมหนงึ่ มีขนาด 60 องศา 3) รูปสี่เหลย่ี มขนมเปียกปนู ท่ีแตล่ ะด้านยาวเป็นครึง่ หน่งึ ของ b และมุมมุมหน่ึงมีขนาด 135 องศา ดัดแปลง 4) รูปสเ่ี หลี่ยมผนื ผ้าท่มี ีความกวา้ งและความยาวเป็น a หน่วย และ 2a หน่วย ตามล�ำ ดบั 3. ก�ำ หนด �EF เป็นเสน้ ตรงใด ๆ 1) จงสร้าง �AB ให้ขนานกับ�EF 2) จงสร้าง �CD ให้ต่างจาก �AB และ �CD ขนานกบั �EF 3) �AB และ �CD เกี่ยวขอ้ งกันอย่างไร จงอธิบาย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
116 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนงั สือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ตรวจสอบความเข้าใจ หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้รายการ สบายมาก ขอทบทวนอกี นดิ 1. การใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวัต ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ สงวนสิทธ์โิ ดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย 2) การแบง่ ครึ่งสว่ นของเสน้ ตรงที่ก�ำ หนดให้ 1) การสรา้ งสว่ นของเส้นตรงใหย้ าวเทา่ กบั ความยาวของ ส่วนของเสน้ ตรงท่ีกำ�หนดให้ ดดั แปลง หา้ มเผยแพร่ ท้าซ้า 4) การแบง่ ครึง่ มมุ ท่กี �ำ หนดให้ 3) การสรา้ งมมุ ใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของมุมที่ก�ำ หนดให้ 5) การสร้างเส้นต้งั ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเส้นตรงท่ีกำ�หนดให้ สงวนสิทธโ์ิ ดย สสวท. หรือจา้ หนา่ ย 6) การสรา้ งเสน้ ตัง้ ฉากท่ีจุดจดุ หนึ่งที่อยู่บนเส้นตรงที่ก�ำ หนดให้ 2. การสร้างมุมทีม่ ขี นาดตา่ ง ๆ โดยใช้วงเวียนและสนั ตรง เช่น 30o, 45o, 60o, 75o, 90o, 120o และ 135o ดดั แปลง 3. การใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตตา่ ง ๆ 1) การสร้างรูปสามเหล่ยี ม 2) การสรา้ งรปู ส่เี หล่ยี ม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สือเรียนรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 117 สรุปทา้ ยบท ✤ การสร้างมุมท่ีมีขนาดต่าง ๆ การสร้างเส้นขนาน และการสร้างอื่น ๆ ในทางเรขาคณิต อาศัยความรู้ ในการสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิต ต่อไปนคี้ ือ 1. การสร้างสว่ นของเส้นตรงให้ยาวเท่ากบั ความยาวของส่วนของเสน้ ตรงท่ีก�ำ หนดให้หา้ มเผยแพร่ ท้าซา้ 2. การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงท่ีก�ำ หนดให้ 3. การสร้างมุมให้มขี นาดเท่ากบั ขนาดของมมุ ท่กี �ำ หนดให้ 4. การแบ่งคร่งึ มุมทีก่ �ำ หนดให้ 5. การสรา้ งเสน้ ตงั้ ฉากจากจดุ ภายนอกมายงั เส้นตรงที่ก�ำ หนดให้ 6. การสร้างเส้นตง้ั ฉากที่จุดจุดหน่ึงที่อย่บู นเส้นตรงทก่ี �ำ หนดให้ สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จ้าหนา่ ย ✤ การสรา้ งมุมที่มขี นาดต่าง ๆ เช่น 30o, 45o, 75o, 90o และ 120o อาจอาศยั แนวคิด 2 ประการ คือ 1. การแบง่ คร่ึงมมุ หรือการสรา้ งมุมให้มีขนาดเป็นสองเทา่ ของขนาดของมุมใดมุมหนงึ่ หรอื ดัดแปลง หา้ มเผยแพร่ ทา้ ซา้ 2. การประกอบกันหรอื การหักออกจากกนั ของมุม ✤ การสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ สามารถน�ำ ไปสรา้ งรปู เรขาคณติ ตา่ ง ๆ รวมทง้ั สามารถน�ำ ความรไู้ ปประยกุ ตใ์ ช้ เพือ่ แกป้ ญั หา ท้งั น้ีสามารถใชส้ ่อื เทคโนโลยมี าร่วมเรยี นรู้และแก้ปัญหา เพื่อความสะดวก รวดเร็ว และถูกต้อง สงวนสิทธิโ์ ดยดสดั สแวปทล.ง หรือจ้าหนา่ ย ได้เช่นกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
118 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ หนังสือเรียนรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กิจกรรมท้ายบท : แผนทย่ี อ่ –ขยาย ชวพงษ์และเพื่อน ๆ เตรียมจัดกิจกรรมค่ายคณิตศาสตร์ ชื่อฐานว่า “ย่อก็พบ ขยายก็เจอ...ขุมทรัพย์ ล่ารางวลั !” โดยปฏบิ ัติภารกจิ เปน็ กลมุ่ กล่มุ ละ 4 คน ใหต้ วั แทนสมาชิกในกลุ่มรบั แผนทางเดนิ เพอ่ื ปฏิบัตภิ ารกจิ ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้า2 ภารกิจดงั น้ี ภารกิจท่ี 1 : ให้สมาชิกในกลุ่มร่วมกันขยายเส้นทางเดินแต่ละเส้นให้ยาวเป็นสองเท่าของความยาวเดิม โดยใชเ้ พยี งเครอื่ งมอื วงเวยี นและสนั ตรงเทา่ นนั้ เมอ่ื ขยายเสน้ ทางเดนิ แลว้ ใหส้ ง่ ผลมาตรวจสอบ ถา้ ถกู ตอ้ งสมาชกิ ในกลมุ่ จะได้รบั จ�ำ นวนก้าว (a) เพ่ือเดินหาขุมทรัพยต์ ่อไป สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย ภารกิจท่ี 2 : ให้สมาชิกในกลุ่มร่วมกันย่อเส้นทางเดินแต่ละเส้นให้ยาวเป็นครึ่งหน่ึงของความยาวเดิม โดยใช้เพียงเครือ่ งมือวงเวยี นและสนั ตรงเท่านั้น เม่อื ย่อเส้นทางเดินแลว้ ให้สง่ ผลมาตรวจสอบ ถ้าถกู ต้องสมาชิก ในกลุ่มจะไดร้ บั จ�ำ นวนกา้ ว (a) เพ่ือเดนิ หาขมุ ทรัพยต์ ่อไป ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ท้าซา้a a 105º สงวนสิทธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หน่าย2a 2 a 105º 2 60º a 2 ดดั แปลง30º 120º a a 2 120º a สมมุติว่านักเรียนเป็นหน่ึงในผู้ร่วมรับผิดชอบฐาน จงสร้างเส้นทางเดินของท้ังสองภารกิจด้วยเครื่องมือ วงเวยี นและสนั ตรง เพ่ือใชต้ รวจสอบความถูกตอ้ งของเสน้ ทางเดนิ แตล่ ะเสน้ ทีเ่ กิดจากการย่อและขยายดังกล่าว ข้างตน้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
หนงั สอื เรียนรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 119 แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท 1. จงสร้างรูปสี่เหลย่ี ม ABCD ให้ AB ยาว a หน่วย DˆAB และ AˆBC มขี นาด 105o BC ยาว b หน่วย และ DˆCB มขี นาด 90o ห้ามเผยแพร่ ท้าซ้าa b 2. ก�ำ หนดจดุ O เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลม ดงั รปู สงวนสิทธโิ์ ดย สสวท. หรอื จ้าหน่ายO ดัดแปลง ห้ามเผยแพร่ ทา้ ซ้า 1) จงสร้างเส้นแบง่ มุมรอบจุด O ออกเป็นมุมท่มี ีขนาดเท่ากัน 4 มมุ และจงหาว่ามมุ แต่ละมุมมขี นาดเทา่ ไร 2) ถ้าลากส่วนของเสน้ ตรงเชอ่ื มตอ่ จุดทงั้ ส่จี ุดที่เกิดจากเส้นแบง่ มุมทง้ั ส่ตี ัดเส้นรอบวง รปู สี่เหลย่ี มท่ไี ด้ เปน็ รูปส่เี หลี่ยมชนดิ ใด จงอธบิ าย สงวนสทิ ธิ์โดย สสวท. หรอื จา้ หนา่ ย3. จงสร้างรูปหกเหลี่ยมดา้ นเท่ามมุ เท่า ดดั แปลง5. ก�ำ หนดรปู ดังนี้ S 4. จงสร้างรปู แปดเหล่ยี มด้านเทา่ มมุ เทา่ จงสรา้ ง 1) รูปท่ีขยายจากรปู ทีก่ �ำ หนดให้ โดยให้แตล่ ะด้านมคี วามยาวเปน็ R สองเท่าของความยาวของด้านของรูปท่กี �ำ หนดให้นัน้ 2) รูปที่ย่อจากรูปท่ีกำ�หนดให้ โดยให้แต่ละด้านมีความยาวเป็น ครงึ่ หนงึ่ ของความยาวของดา้ นของรูปทก่ี �ำ หนดใหน้ ้นั PQ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
Search
