คณิต ม.ปลาย

หนงั สือเรียนสาระความรู้พ้นื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร์ พค31001 ระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) หลกั สูตรการศึกษานอกระบบระดบั การศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551 สานกั งานส่งเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอธั ยาศยั สานกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธิการ กระทรวงศกึ ษาธิการ ห้ามจาหน่าย หนงั สือเรียนเล่มน้ีจดั พมิ พด์ ว้ ยเงินงบประมาณแผน่ ดินเพ่ือการศึกษาตลอดชีวติ สาหรับประชาชน ลิขสิทธ์ิเป็น ของ สานกั งาน กศน. สานกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวชิ าการลาดบั ท่ี 8/2555

หนงั สือเรียนสาระความรู้พ้นื ฐาน รายวชิ า คณิตศาสตร์ พค31001 ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560 ลิขสิทธ์ิเป็นของ สานกั งาน กศน. สานกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวชิ าการลาดบั ท่ี 8/2555

คาํ นํา กระทรวงศึกษาธิการไดประกาศใชหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้น พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 เมื่อวันที่ 18 กนั ยายน พ.ศ. 2551 แทนหลกั เกณฑแ ละวิธกี ารจดั การศึกษา นอกโรงเรียนตามหลกั สตู รการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2544 ซ่งึ เปน หลักสูตรทพ่ี ัฒนาขึน้ ตาม หลักปรชั ญาและความเชื่อพ้นื ฐานในการจัดการศึกษานอกโรงเรียนที่มีกลุมเปาหมายเปนผูใหญมี การเรยี นรแู ละส่งั สมความรแู ละประสบการณอ ยา งตอ เนอ่ื ง ในปงบประมาณ 2554 กระทรวงศึกษาธิการไดกําหนดแผนยุทธศาสตรในการขับเคลื่อน นโยบายทางการศกึ ษาเพ่ือเพ่มิ ศักยภาพและขดี ความสามารถในการแขง ขันใหประชาชนไดมีอาชีพ ท่ีสามารถสรา งรายไดทีม่ ง่ั คงั่ และม่นั คง เปน บุคลากรท่ีมีวินัย เปยมไปดวยคุณธรรมและจริยธรรม และมีจิตสํานึกรับผิดชอบตอตนเองและผูอื่น สํานักงาน กศน. จึงไดพิจารณาทบทวนหลักการ จุดหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง และเนื้อหาสาระ ท้ัง 5 กลุมสาระการเรียนรู ของ หลักสตู รการศกึ ษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 ใหมีความสอดคลอง ตอบสนองนโยบายกระทรวงศึกษาธิการ ซึ่งสงผลใหตองปรับปรุงหนังสือเรียน โดยการเพิ่มและ สอดแทรกเนอ้ื หาสาระเกี่ยวกับอาชพี คุณธรรม จรยิ ธรรมและการเตรียมพรอม เพื่อเขาสูประชาคม อาเซียน ในรายวิชาที่มีความเก่ียวของสัมพันธกัน แตยังคงหลักการและวิธีการเดิมในการพัฒนา หนังสือที่ใหผูเรียนศึกษาคนควาความรูดวยตนเอง ปฏิบัติกิจกรรม ทําแบบฝกหัด เพื่อทดสอบ ความรูค วามเขาใจ มีการอภปิ รายแลกเปลีย่ นเรียนรกู ับกลุม หรือศึกษาเพิ่มเติมจากภมู ปิ ญญาทองถนิ่ แหลงการเรียนรูแ ละส่ืออ่นื การปรบั ปรุงหนงั สอื เรยี นในครงั้ นี้ ไดรบั ความรวมมืออยางดียิ่งจากผูทรงคุณวุฒิในแตละ สาขาวชิ า และผเู กี่ยวขอ งในการจัดการเรียนการสอนทีศ่ กึ ษาคนควา รวบรวมขอ มลู องคความรจู าก สอ่ื ตา ง ๆ มาเรยี บเรียงเน้อื หาใหครบถวนสอดคลองกับมาตรฐาน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ตัวช้ีวัด และกรอบเนื้อหาสาระของรายวิชา สํานักงาน กศน.ขอขอบคุณผูมีสวนเก่ียวของทุกทานไว ณ โอกาสน้ี และหวังวา หนังสอื เรยี น ชุดนจ้ี ะเปน ประโยชนแกผ ูเรยี น ครู ผูสอน และผูเ กย่ี วของใน ทุกระดบั หากมขี อ เสนอแนะประการใด สาํ นักงาน กศน. ขอนอ มรับดวยความขอบคณุ ย่ิง

สารบญั หนา คาํ นํา 1 สารบญั 15 คาํ แนะนาํ การใชห นงั สือ 29 โครงสรางวิชาคณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 53 บทที่ 1 จาํ นวนและการดําเนนิ การ 65 บทที่ 2 เลขยกกาํ ลังท่ีมเี ลขชก้ี าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ 89 บทท่ี 3 เซต 114 บทท่ี 4 การใหเ หตผุ ล 145 บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมติ แิ ละการนําไปใช 164 บทท6่ี การใชเ ครอ่ื งมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ บทท่ี 7 สถิติเบอ้ื งตน บทที่ 8 ความนา จะเปน บทท่ี 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ

คาํ แนะนําการใชแ บบเรียน หนงั สอื เรยี นสาระความรพู น้ื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร (พค 31001) ระดับมธั ยมศกึ ษา ตอนปลาย เปนหนังสือเรยี นที่จดั ทําขึน้ สําหรับผเู รียนทเ่ี ปน นักศกึ ษานอกระบบ ในการศึกษาหนังสอื เรียนสาระความรพู น้ื ฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร ผเู รยี นควร ปฏิบตั ดิ ังน้ี 1. ศกึ ษาโครงสรา งรายวชิ าใหเขา ใจในหวั ขอสาระสําคญั ผลการเรยี นรทู ี่คาดหวังและ ขอบขา ยเนื้อหา 2. ศกึ ษารายละเอียดเน้อื หาของแตล ะบทอยา งละเอยี ด และทาํ กจิ กรรมตามทกี่ าํ หนด แลวตรวจสอบกบั แนวตอบกจิ กรรมท่กี ําหนด ถาผูเ รยี นตอบผิดควรกลบั ไปศึกษา และทาํ ความเขาใจในเน้ือหาน้ันใหมใ หเ ขา ใจกอ นทีจ่ ะศกึ ษาเรอ่ื งตอไป 3. ปฏิบตั ิกิจกรรมทายเรอื่ งของแตล ะเรอ่ื ง เพ่ือเปน การสรุปความรคู วามเขา ใจของ เน้ือหาในเรือ่ งนัน้ ๆ อกี ครงั้ และการปฏบิ ตั กิ จิ กรรมของแตล ะเนอื้ หาในแตละเร่อื ง ผูเรยี นสามารถนาํ ไปตรวจสอบกบั ครูและเพอ่ื น ๆ ท่ีรวมเรยี นในรายวิชาและระดบั เดยี วกนั ได แบบเรยี นเลม น้ีมี 9 บท คือ บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ บทท่ี 2 เลขยกกําลังที่มเี ลขชกี้ าํ ลังเปน จํานวนตรรกยะ บทท่ี 3 เซต บทท่ี 4 การใหเหตุผล บทท่ี 5 อัตราสว นตรโี กนมติ แิ ละการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ บทท่ี 7 สถติ ิเบ้อื งตน บทที่ 8 ความนาจะเปน บทท่ี 9 การใชทกั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ

โครงสรางรายวชิ าคณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย สาระสําคัญ มคี วามรคู วามเขาใจเกยี่ วกับจาํ นวนและตวั เลข เศษสว น ทศนยิ มและรอ ยละ การวดั เรขาคณติ สถิติ และความนา จะเปน เบือ้ งตน ผลการเรยี นรทู ่คี าดหวงั 1. ระบหุ รอื ยกตวั อยา งเก่ียวกบั จาํ นวนและตวั เลข เศษสวน ทศนิยมและรอ ยละ การวดั เรขาคณติ สถติ ิ และความนาจะเปนเบ้ืองตน ได 2. สามารถคิดคาํ นวณและแกโจทยปญหาเกยี่ วกับจาํ นวนนับเศษสว น ทศนยิ ม รอ ยละ การวดั เรขาคณติ ได ขอบขา ยเนอื้ หา บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ บทที่ 2 เลขยกกาํ ลงั ทม่ี เี ลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การใหเ หตุผล บทท่ี 5 อตั ราสว นตรีโกนมติ ิและการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลติ ภณั ฑ บทที่ 7 สถติ เิ บื้องตน บทท่ี 8 ความนา จะเปน บทท่ี 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรในงานอาชีพ สอื่ การเรยี นรู 1. ใบงาน 2. หนงั สือเรียน

1 บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนินการ สาระสําคญั 1. โครงสรางของจํานวนจริงประกอบไปดว ย จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ และ จาํ นวนเต็ม 2. สมบัตขิ องจํานวนจริงท่เี กี่ยวกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดว ยสมบัตปิ ด สมบตั ิการเปลย่ี นกลมุ สมบัตกิ ารสลบั ที่ การมีอินเวอรส การมเี อกลักษณแ ละสมบตั ิ การแจกแจง 3. สมบตั ิการเทากนั จะใชเคร่อื งหมาย “=” แทนการมคี าเทากนั 4. สมบตั กิ ารไมเทา กนั จะใชเครือ่ งหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คาสมั บูรณใ ชสัญลกั ษณ “ | |” แทนคาสมั บูรณซึ่ง x ถา x >0 x  0 ถา x = 0 - x ถา x < 0 ผลการเรียนรูท่ีคาดหวงั 1. แสดงความสัมพนั ธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจรงิ ได 2. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคณู การหารจาํ นวน จริงได 3. อธิบายสมบัตขิ องจาํ นวนจริงท่ีเกีย่ วกบั การบวก การคณู การเทากนั การไมเทากนั และนาํ ไปใชได 4. อธิบายเกยี่ วกบั คา สมั บูรณข องจํานวนจริงและหาคาสมบรู ณของจํานวนจรงิ ได ขอบขายเนือ้ หา เร่อื งที่ 1 ความสัมพนั ธของระบบจํานวนจริง เรอ่ื งท่ี 2 สมบตั ขิ องการบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนจรงิ เรอ่ื งท่ี 3 สมบัตกิ ารไมเทากนั เรอ่ื งที่ 4 คา สัมบรู ณ

2 เรอ่ื งที่ 1 ความสมั พนั ธของระบบจํานวนจริง 1.1. โครงสรา งของจํานวนจรงิ จาํ นวนจริง จาํ นวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนทเี่ ขียนใน ทศนยิ ม จํานวนเต็ม ทศนิยมซํ้า เศษสวน รูปของกรณฑ ไมร ูจ บไมซาํ้ หรอื เรียกวา รากหรอื รูต จาํ นวนนับหรอื ศนู ย จาํ นวน จาํ นวนเตม็ บวก เตม็ ลบ จาํ นวนจรงิ ( Real number ) ประกอบดว ยจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ 1. จํานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จาํ นวนเต็ม ทศนิยมซํ้า และเศษสวน 1. จํานวนเตม็ ซ่ึงแบง เปน 3 ชนดิ คอื 1.1 จํานวนเต็มบวก (I+) หรอื จํานวนนับ (N)  I+ = N = {1, 2, 3, …} 1.2 จาํ นวนเต็มศนู ย มีจาํ นวนเดยี ว คือ {0} 1.3 จํานวนเตม็ ลบ (I-)  I- = {-1, -2, -3, …} 2. เศษสว น เชน 3 , 3 3 , - 5 เปน ตน 4 47 3. ทศนยิ มซา้ํ เชน 0.6 , 0.12 , 0.532 2. จาํ นวนอตรรกยะ ( Irrational Number ) คอื จํานวนทไ่ี มใ ชจ าํ นวนตรรกยะ เขียนไดในรูป ทศนิยมไมซ้ํา เชน 2 มีคาเทา กับ 1.414213… 3 มคี าเทา กบั 1.7320508…  มีคาเทา กบั 3.14159265… 0.1010010001… มีคาประมาณ 1.101

3 แบบฝก หดั ท่ี 1 1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนี้จาํ นวนใดเปน จํานวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือ จาํ นวนอตรรกยะ ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ 1)  9, 7 ,5 2 , 2,0,1 23 2) 5,7 7 ,3,12, 5 34 3) 2.01,0.666...,-13 , 4) 2.3030030003..., 5)   , 1 , 6 , 2 ,7.5 33 2 6) 25,17, 12 , 9,3,12, 1  52 2. จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้เปน จริงหรอื เท็จ 1) 0.001001001001…เปน จาํ นวนตรรกยะ 2) 0.110110110110… เปน จาํ นวนตรรกยะ 3) 0.767667666766667… เปน จาํ นวนตรรกยะ 4) 0.59999…. เปน จํานวนตรรกยะ 5) 0 เปนจํานวนจรงิ 6) จาํ นวนทเี่ ขียนไดใ นรปู ทศนยิ มซ้าํ ไมเ ปน จาํ นวนตรรกยะ

4 2. สมบตั กิ ารบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนจรงิ สมบตั ิของจาํ นวนจริง คอื การนาํ จํานวนจรงิ ใด ๆ มากระทําตอ กนั ในลักษณะ เชน การบวก การลบ การคณู การหาร หรือกระทาํ ดว ยลกั ษณะพิเศษทกี่ าํ หนดขนึ้ แลวมีผลลพั ธที่ เกดิ ขนึ้ ในลกั ษณะหรือทาํ นองเดียวกัน สมบัตทิ ใ่ี ชใ นการบวก การลบ การคูณ และการหาร มดี ังน้ี 2.1 สมบตั กิ ารเทากันของจํานวนจริง กาํ หนด a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ สมบัติการสะทอ น a=a สมบตั กิ ารสมมาตร ถา a = b แลว b = a สมบตั กิ ารถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c สมบัตกิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่เี ทากันทงั้ สองขา ง ถา a = b แลว a + c = b + c สมบัตกิ ารคณู ดว ยจํานวนท่ีเทา กนั ทัง้ สองขา ง ถา a = b แลว ac  bc 2.2 สมบตั กิ ารบวกและการคณู ในระบบจาํ นวนจริง เม่อื กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ 2.2.1 สมบัตกิ ารบวก สมบัตปิ ด ถา a R และ b R แลว a  b  R สมบัตกิ ารสลบั ที่ ab= ba สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลมุ a  (b  c) = (a  b)  c สมบัตกิ ารมเี อกลกั ษณก ารบวก คอื 0 0a a0a สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส การบวก a มอี นิ เวอรส การบวก คอื  a และ  a มีอินเวอรส การบวก คือ a จะได a  (a)  (a)  a  0 นั่นคือจํานวนจรงิ a จะมี  a เปน อนิ เวอรสของการบวก 2.2.2 สมบัติการคณู ถา a R และ b R แลว ab  R สมบัตปิ ด ab = ba สมบัติการสลับท่ี a(bc) = (ab)c สมบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ 1. a = a .1 = a สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณก ารบวก คอื 1 สมบัตกิ ารมอี นิ เวอรส การคณู a มอี นิ เวอรส การคณู คอื 1 และ (ยกเวน 0 เพราะ 1 ไมม คี วามหมาย) a 0 1 มีอินเวอรส การคณู คอื a a

5 สมบตั ิการแจกแจง จะได a  1    1 a  1 ; a  0 a a นั่นคอื จํานวนจริง a จะมี 1 เปน a อินเวอรส การคณู a(b  c)  ab  ac (b  c)a  ba  ca จากสมบัตขิ องจาํ นวนจริงสามารถใชพิสจู นท ฤษฎีบทตอ ไปนไี้ ด ทฤษฎบี ทท่ี 1 กฎการตดั ออกสําหรับการบวก เมอื่ a, b, c เปน จํานวนจริงใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 2 กฎการตดั ออกสาํ หรับการคณู เม่ือ a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 3 เม่ือ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎบี ทท่ี 4 เม่อื a เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎบี ทที่ 5 เมือ่ a, b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎบี ทที่ 6 เม่อื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

6 การลบและการหารจาํ นวนจรงิ • การลบจํานวนจริง บทนยิ าม เมอื่ a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ a - b = a + (-b) นั่นคือ a - b คอื ผลบวกของ a กับอนิ เวอรสการบวกของ b • การหารจํานวนจรงิ บทนิยาม เม่อื a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ เม่ือ b ≠ 0 a = a(b1 ) b น่นั คอื a คือ ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคณู ของ b b

7 แบบฝก หดั ที่ 2 1. ใหผ เู รียนเติมชอ งวา งโดยใชส มบัตกิ ารเทา กนั 1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..…………… 2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..… 3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….………… 4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..……… 5. ถา x2  2x 1  x 12 แลว x 12  .…………………………………………… 6. ถา x  3 y แลว 2x = ………………………………………………………….………… 2 7. ถา x2 1  2x แลว x 12 = ……………………………………………….….……… 8. ถา ab  a  b แลว 1 ab= ……………………………………………….…………. 2 2. กําหนดให a , b และ c เปน จํานวนจริงใด ๆ จงบอกวาขอ ความในแตล ะขอ ตอ ไปนเ้ี ปนจรงิ ตาม สมบัตใิ ด 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) 4) (8 X 9) เปนจาํ นวนจริง 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc 3 . เซตทีก่ าํ หนดใหในแตล ะขอตอ ไปนี้ มหี รอื ไมม ีสมบัตปิ ดของการบวกหรอื สมบัตปิ ด ของการคณู 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } 3) เซตของจาํ นวนจรงิ 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ 5) เซตของจํานวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั

8 4. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนจริงในแตล ะขอ ตอ ไปน้ี 1) อนิ เวอรส การบวกของ 8 2) อินเวอรส การบวกของ - 5 3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 4) อนิ เวอรส การคูณของ 3  2 5) อนิ เวอรส การคณู ของ 1 5 3

9 3. สมบัติการไมเทากนั ใหผ เู รียนทบทวนเรือ่ งสมบตั กิ ารเทา กันในเรอื่ งทีผ่ านมาเพอื่ เปนความรูเ พิ่มเติม สว นใน เร่อื งนีจ้ ะเนน เร่อื งสมบัตกิ ารไมเทา กันเทาน้นั ประโยคคณิตศาสตรจะใชสัญลักษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทา กนั เรยี กการไมเ ทากนั วา “อสมการ” (Inequalities) บทนยิ าม a < b หมายถึง a นอ ยกวา b a > b หมายถงึ a มากกวา b กําหนดให a, b, c เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ 1. สมบัติการถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตั กิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่ีเทา กัน ถา a > b แลว a + c > b+ c 3. จาํ นวนจรงิ บวกและจํานวนจรงิ ลบ a เปนจาํ นวนจริงบวก กต็ อเม่อื a > 0 a เปน จํานวนจรงิ ลบ กต็ อ เมอ่ื a < 0 4. สมบตั กิ ารคณู ดว ยจํานวนเทา กนั ท่ีไมเทากบั ศนู ย กรณที ี่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 6. สมบตั ิการตัดออกสาํ หรับการคูณ กรณีที่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีท่ี 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b บทนยิ าม a≤b หมายถงึ a นอยกวาหรอื เทากบั b a≥b หมายถงึ a มากกวาหรอื เทากับ b a<b<c หมายถงึ a < b และ b < c a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

10 ชวง (Interval) ชว ง หมายถึง เซตของจํานวนจริงทเ่ี ปนสว นใดสวนหนึง่ ของเสน จาํ นวน 3.1 ชวงของจาํ นวนจรงิ กําหนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ a < b 1. ชว งเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ชว งปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ชวงครึง่ เปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ชวงครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} 5. ชว ง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ชว ง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ชว ง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

11 แบบฝกหดั ที่ 3 1. ใหผ ูเรียนบอกสมบตั กิ ารไมเ ทากนั (เม่อื ตวั แปรเปน จาํ นวนจริงใดๆ) 1. ถา x  3 แลว 2x 6 ……………………………………………………………….. 2. ถา y7 แลว -2y < 14 ……………………………………………………………….. 3. ถา x+1  6 แลว x+2  7 ………………………………………………………….. 4. ถา y+3  5 แลว y 2 ……………………………………………………………… 5. ถา x 7 และ 7 y แลว xy ………………………………………………………. 6. ถา a  0 แลว a+1  0 +1 …………………………………………………………. 7. ถา b 0 แลว b + (-2)  0+(-2) …………………………………………………… 8. ถา c -2 แลว (-1)c  (-1)(-2) ……………………………………………………. 2. จงใชเ สน จาํ นวนแสดงลักษณะของชว งของจํานวนจริงตอ ไปนี้ 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]

12 5) (2, ) 6) (- ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

13 4. คา สมบูรณ คา สมั บรู ณข องจาํ นวนจริง หมายถงึ ระยะหา งจากจดุ ศนู ยบ นเสน จํานวน พิจารณาคา สมั บรู ณของ 4 และ -4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสัมบูรณข อง 4 คอื 4 -4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสัมบูรณของ -4 คือ 4 น่ันคือ คา สัมบรู ณข องจาํ นวนจริงใด ๆ ตอ งมีคามากกวา หรือเทา กบั ศนู ยเสมอ สัญลักษณแ ทนคาสัมบูรณค ือ | | เชน คา สมั บรู ณข อง 4 คอื |4| คาสมั บูรณของ – 4 คือ |-4| บทนิยาม กําหนดให a เปนจํานวนจริง 4.1 สมบตั ขิ องคา สัมบูรณ 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. x = x yy 4. | x - y | = | y - x | 5. | x |2 = x2 6. | x + y | ≤ | x | +| y | 6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y | 7. เมอื่ a เปน จาํ นวนจริงบวก | x | < a หมายถงึ -a < x < a | x | ≤ a หมายถงึ -a ≤ x ≤ a 8. เม่อื a เปนจาํ นวนจริงบวก | x | > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | x | ≥ a หมายถงึ x ≤ -a หรอื x ≥ a

14 แบบฝกหดั ที่ 4 1) X  2 x  -2 หรือ x  -2 เซตคําตอบของอสมการ คือ ........................................................................................................... 2) X < 3 -3 < X < 3 เซตคําตอบของอสมการ คือ............................................................................................................. 3) X - 4 < 3 จะได -3 < X – 4 < 3 -3+4<X<3+4 1<X<7 เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ............................................................................................................ 4) 2 - X  3 จะได 2 – X  - 3 หรอื 2 – X  3 - X  -3 -2 หรือ - X  - 3 -2 - X  -5 หรอื –X  1 - X  5 หรอื X  -1 เซตคําตอบของอสมการ คือ............................................................................................................

15 บทท่ี 2 เลขยกกําลังทม่ี ีเลขชก้ี ําลงั เปนจํานวนตรรกยะ สาระสําคัญ 1. อา นวา a ยกกําลัง n โดยมี a เปน ฐาน และ n เปน เลขชก้ี ําลงั 2. อานวา กรณฑที่ n ของ a หรืออา นวา รากท่ี n ของ a 3. จํานวนจรงิ ทอี่ ยูใ นรปู เลขยกกาํ ลังทมี่ เี ลขชก้ี าํ ลงั เปนจํานวนตรรกยะจะมคี วามสมั พันธก บั จาํ นวนจริงท่อี ยูในรูปของกรณฑหรอื ราก ( root ) ตามความสมั พันธดงั ตอไปนี้ และ 4. การบวก ลบ คณู หาร จาํ นวนที่มีเลขช้ีกําลงั เปนจํานวนตรรกยะโดยใชบทนยิ ามการบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกําลงั ของจาํ นวนเต็ม ผลการเรยี นรทู ่คี าดหวงั 1. อธบิ ายความหมายและบอกความแตกตางของจาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะได 2. อธบิ ายเก่ียวกับจาํ นวนจรงิ ท่ีอยใู นรปู เลขยกกําลงั ที่มีเลขชก้ี าํ ลงั เปนจํานวนตรรกยะ และ จาํ นวนจริงในรูปกรณฑได 3. อธบิ ายความหมายและหาผลลัพธท ่ีเกดิ จากการบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนจริงท่ี อยใู นรปู เลขยกกาํ ลังทม่ี ีเลขชกี้ าํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะ และจํานวนจริงในรูปกรณฑไ ด ขอบขา ยเนอ้ื หา เร่อื งท่ี 1 จาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะ เรอ่ื งที่ 2 จาํ นวนจริงในรูปกรณฑ เรือ่ งที่ 3 การบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนท่ีมเี ลขชี้กาํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะและ จาํ นวนจรงิ ในรูปกรณฑ

16 เรอ่ื งท่ี 1 จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ 1.1 จํานวนตรรกยะ หมายถงึ จํานวนทเ่ี ขียนแทนในรปู เศษสวน a เมื่อ a และ b เปน จาํ นวนเตม็ b และ b  0 ตัวอยาง จาํ นวนทเ่ี ปน จาํ นวนตรรกยะ เชน จํานวนเต็ม , เศษสว น , ทศนยิ มซาํ้ เปนตน 1.2 จาํ นวนอตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทไ่ี มส ามารถเขียนใหอยูใ นรูปของเศษสว น a เมื่อ a และ b b เปน จาํ นวนเตม็ และ b  0 จาํ นวนอตรรกยะประกอบดว ยจาํ นวนตอ ไปน้ี เปนทศนิยมแบบไมซ ้ํา เชน 1.235478936... 5.223322233322223333... ความแตกตา งระหวางจาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ จํานวน จํานวนเต็ม เศษสวน ความแตกตาง คา ทางพีชคณติ ตรรกยะ มี มี ทศนิยม - คา ทางพชี คณิตท่หี าคาได อตรรกยะ ลงตวั หรือไดคาํ ตอบเปน ไมม ี ไมม ี - ทศนิยมรจู บ เศษสว น - ทศนิยมรจู บแบบซ้าํ - คาทางพชี คณิตทม่ี คี า เฉพาะ เชน - ทศนยิ มไมร จู บ 2, 3, 5, ,e เปน ตน 1.3 เลขยกกําลังทีม่ เี ลขชี้กําลงั เปน จาํ นวนเต็ม นิยามเลขยกกําลัง an หมายถึง a  a  a a……………..  a n ตวั เม่อื a เปนจาํ นวนใด ๆ และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก เรยี ก an วาเลขยกกําลงั ทมี่ ี a เปน ฐาน และ n เปนเลขชีก้ ําลงั เชน 54 = 5  5  5  5 = 625 ถา a,b เปนจาํ นวนจริงใด m และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก จะไดก ฎของการยกกาํ ลงั ดังน้ี กฎขอ ที่ 1 =a m  b n a mn กฎขอท่ี 2 (ab)n = a nbn กฎขอ ท่ี 3   =am n a mn

17 กฎขอที่ 4 เมอ่ื x  0 am = 1 ถา m  n bn = amn ถา m  n =1 ถา n  m กฎขอ ท่ี 5 a nm เมือ่ y  0  x n = xn y  yn นิยาม a0  1 เม่อื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ทีไ่ มเ ทา กับศนู ย นยิ าม an  1 เม่อื a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเ ทากบั ศนู ยแ ละ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก an

18 แบบฝก หดั ที่ 1 1. จงบอกฐานและเลขช้กี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปนี้ 1) 63 ฐานคอื .....................................เลขชก้ี าํ ลังคือ................................. 2) 1.25 ฐานคอื .................................เลขชีก้ าํ ลังคอื ................................. 3)  50 ฐานคอื .................................เลขชี้กาํ ลงั คอื ................................... 4)  1 3 ฐานคือ.....................................เลขช้กี าํ ลังคอื ................................. 2 2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลงั ตอไปนี้ 1)  45 = ………………………. 2)  1 4 = ………………………..…. 5   3) 1.23 = …………………………. 4)  36 = …………………………. 3. จงทาํ ใหอยใู นรูปอยางงา ยและเลขชี้กาํ ลงั เปน จาํ นวนเตม็ 1) a2 4 = ………………………….  2)  5 3 4 = …………………………. = …………………………. 3)   2  4 5 = ………………………….   3       4)  1.15 3  5) x2 5 = ………………………….

19 เรอ่ื งท่ี 2 จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑ การเขียนเลขยกกาํ ลังเม่ือเลขชี้กาํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะสามารถทําไดโดยอาศัยความรเู รื่อง รากที่ n ของจํานวนจรงิ a ( ซึ่งเขยี นแทนดว ยสญั ลกั ษณ a ) และมีบทนยิ ามดังนี้ นยิ าม ให n เปน จํานวนเต็มบวกทีม่ ากกวา 1 a และ b เปนจาํ นวนจริง a เปนรากที่ n ของ b กต็ อ เม่ือ an  b ตัวอยาง an b ก็ตอ เม่อื an  b 23 8 กต็ อ เม่ือ 23  8  3  5  243 ก็ตอ เม่ือ  35  243 ลองทําดู 9 = 33 3 เปน รากที่ 2 ของ 9 3 8 = ………….……………………….. 4 81 = …………………………………… 5 32 = ……………………………………. สมบตั ิของรากท่ี n ของจํานวนจริง เมอ่ื n เปน จาํ นวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา 1 1 n a  an  1. a เมือ่ a  0  เม่อื a  0 และ n เปน จํานวนค่ี 2.) n an =  a 3) n ab เมอื่ a  0 และ n เปนจาํ นวนคู | a | = n a n b 4). n a = n a ,b0 b nb

20 ตวั อยาง 1 24 = 16 และ (-2)4 = 16 2 เปนรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16 -2 เปน รากที่ 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16 รากที่ 4 ของ 16 คือ 2 และ -2 ตัวอยา ง 2 23 = 8 2 เปน รากท่ี 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8 แต -2 ไมใชเปนรากท่ี 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8 รากที่ 3 ของ 8 คือ 2 นิยาม ให a เปนจาํ นวนจริง และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวกท่มี ากกวา 1 จะเรียก n a วา รากท่ี n ของ a หรอื กรณฑอันดับที่ n ของ a โดยที่ 1. ถา n เปนจํานวนคูแลว a ตอง  0 2. ถา n เปน จาํ นวนคแี่ ลว a เปนจาํ นวนจรงิ หมายเหตุ 1. เคร่อื งหมาย “ ” เรยี กวา เครือ่ งหมาย กรณฑ เขยี น “n” วาเปน อันดบั ท่ี 2. เมอ่ื a เปน จาํ นวนจริงใด ๆ จํานวนจริงที่เขยี นในรูป n a เรียก กรณฑ เชน 5, 3 25, 3  64

21 แบบฝกหัดท่ี 2 1. จงหาคาของรากท่ี n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 25 = ………………………. 2) 64 = ………………………. 3) 5 243 = ………………………. 4) 3 125 = ………………………. 5) 8 = ………………………. 3 27 6) 4 16 = ………………………. 7) 3 125 = ………………………. 8) 64 = ………………………. 9) 3 8 = ………………………. 10) 4 16 = ………………………. 2. จงเขียนจํานวนตอไปนใี้ หอยใู นรปู อยางงาย โดยใชส มบัติของ รากท่ี n 1) 52 = ……………………..………… 2) 3 23 = ………………….……….. 3) 3 (2)3 = ……………………………. 4) 5 (2)5 =……………….……….. 5) (3)2 = ………………..…………… 6) 4 (2)4 =……………………….. 7) 200 = …………………………… 8) 75 = …………………..………. 9) 3 240 = …………………………… 10) 45 = …………………..………. 11) 5 15 = …………….……………. 12) 3 81 3 32 = ……………………. 13) 4 = 4 = ……………………. 14) 3 5 = ………………………….. 99 8

22 เร่อื งท่ี 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จาํ นวนทมี่ เี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะและ จาํ นวนจรงิ ในรปู กรณฑ 3.1 การบวก และการลบจาํ นวนทีอ่ ยใู นรปู กรณฑ สมบตั ิของการบวกจํานวนจริง ขอ หนงึ่ ทสี่ ําคญั และมกี ารใชม าก คอื สมบตั ิการแจกแจงในการ บวก พจนค ลา ย ดังตัวอยา ง 1) 3x  5x  3  5x  8x สมบัตขิ องการแจกแจง 2) 8a  3a  8  3a  5a ดวยวิธกี ารเชน น้ีเราสามารถนํามาใชใ นเรอื่ งการบวก การลบ ของจาํ นวนท่ีอยใู นรูปกรณฑท ี่ เรยี กวา “พจนค ลา ย” ซึง่ เปนกรณฑอ นั ดบั เดียวกนั จาํ นวนท่อี ยภู ายในเครือ่ งหมายกรณฑเ ปน จํานวน เดยี วกนั เราทราบวา 3 2  3 2 และ 5 2  5  2    ดงั นั้น 3 2  5 2  3 2  5  2  3  5 2 (สมบัตกิ ารแจกแจง) 8 2 ตัวอยา งที่ 1 จงหาคา ของ 12  27  3 วธิ ที ํา 12  27  3 = 4  3  9  3  3 = 2 33 3 3 = 2  3  1 3 = 43 ตัวอยา งท่ี 2 จงหาคาของ 20  45  125 วธิ ีทาํ 20  45  125 = 4 5  9 5  25 5 = 2 53 55 5 = 2  3  5 5 =0 5 =0 ตวั อยางท่ี 3 จงหาคา ของ 3 20  2 18  45  8 วธิ ีทํา 3 20  2 18  45  8 = 32 5  23 2  3 5  2 2 = 6 56 23 52 2 = 6 53 56 22 2 = 3 58 2

23 3.2 การคณู และการหารจํานวนทอ่ี ยใู นรูปกรณฑ การคูณ จากสมบัติขอท่ี 3 ของรากท่ี n ทก่ี ลาววา n ab  n a  n b เมอ่ื n a และ n b เปน จาํ นวนจริง  ตวั อยา งที่ 2 (3 8)(5 2) = 3 8  5 2

24 การหาร ใชสมบตั ิขอ 4 ของรากที่ n ท่ีกลา ววา na a เมื่อ b  0 n nb b หรอื ใชสมบตั ขิ อ 3 ของรากที่ n ท่กี ลา ววา =2 หรือใชส มบัติทวี่ า ดว ยการคณู ตัวเศษและตวั สว นดวยจํานวนเดียวกัน = 20  5 = 100 = 10 5 55 =2

25 แบบฝกหัดที่ 3 จงทาํ จาํ นวนตอ ไปนี้ใหอ ยใู นรูปอยางงา ย 1) 8x2 2) 4 256 3) 3 8 y6 4) 5  32 5) 3 8  2  32 6) 3 5 10  2 5 7) 3 2a 2  3 4a 8) 3 54  3 4

26 3.2 เลขยกกําลงั ทมี่ ีกําลงั เปน จํานวนตรรกยะ บทนิยาม เมอื่ a เปน จํานวนจรงิ n เปน จาํ นวนเตม็ ท่มี ากกวา 1 และ a มีรากท่ี n จะไดว า 1 an  n a ตวั อยา งท่ี 1 1 1 93  3 9 32  3 1 1 73  3 7 82  8 บทนิยาม ให a เปน จาํ นวนเตม็ ท่ี n > 0 และ m เปน เศษสว นอยา งต่ําจะไดว า n

27 แบบฝก หดั ท่ี 4 1. จงทาํ จาํ นวนตอ ไปนใี้ หอยใู นรปู อยา งงาย 1) 8x2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 2) 3 3  27 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 3) ( 2  8  18  32)2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. 4) 5 32  26 3 27 3 (64) 2 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

28 21 5) 8 3 18 2  4 144 6 …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

29 บทท่ี 3 เซต สาระสาํ คัญ 1. เซต โดยท่วั ไปหมายถงึ กลมุ คน สัตว สง่ิ ของ ทร่ี วมกนั เปนกลมุ โดยมสี มบตั บิ างอยา ง รว มกนั และบรรดาสิ่งท้ังหลายท่อี ยใู นเซตเราเรยี กวา “ สมาชกิ ” ในการศกึ ษาเรือ่ งเซตจะ ประกอบไปดว ย เซต เอกภพสมั พัทธ สบั เซตและเพาเวอรเ ซต 2. การดาํ เนนิ การบนเซต คอื การนําเซตตาง ๆ มากระทํารวมกนั เพอื่ ใหเ กดิ เปน เซตใหม ซ่ึง ทาํ ได 4 วิธคี ือ การยูเน่ยี น การอนิ เตอรเซคชัน่ ผลตางระหวางเซต และการคอมพลเี มนต 3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชว ยใหก ารพจิ ารณาเกี่ยวกบั เซตไดง า ยข้นึ โดยใชหลกั การคือ 3.1 ใชรูปสเ่ี หล่ียมผืนผาแทนเอกภพสัมพทั ธ “U” 3.2 ใชว งกลมหรอื วงรแี ทนเซตตา ง ๆ ทเ่ี ปนสมาชกิ ของ “U” และเขียนภายในสเี่ หลยี่ มผนื ผา ผลการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1. อธบิ ายความหมายเก่ียวกับเซตได 2. สามารถหายเู นี่ยน อนิ เตอรเ ซกช่ัน ผลตางของเซต และคอมพลีเมนต ได 3. เขยี นแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแ กป ญ หาท่เี กย่ี วกบั การหาสมาชกิ ของเซตได ขอบขา ยเน้อื หา เรอ่ื งที่ 1 เซต เร่อื งท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต เรอื่ งที่ 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญ หา

30 เรอื่ งที่ 1 เซต (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลมุ สงิ่ ของตาง ๆ ไมว าจะเปน คน สัตว ส่งิ ของหรือนิพจนท างคณติ ศาสตร ซึ่งระบุสมาชิกในกลุม ได ยกตวั อยา ง เซต เชน 1) เซตของวิทยาลยั เทคนิคในประเทศไทย 2) เซตของพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) เซตของจาํ นวนเต็ม 4) เซตของโรงเรียนระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร เรยี กส่ิงตา ง ๆ ท่ีอยูใ นเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตน้นั เชน 1) วทิ ยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวทิ ยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) “ร” เปน สมาชิกเซตพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) 5 เปนสมาชกิ ของจํานวนเตม็ 4) โรงเรยี นดงมะไฟวทิ ยาเปนสมาชกิ เซตโรงเรยี นระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร 1.2 วิธกี ารเขยี นเซต การเขียนเซตเขยี นได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขยี นสมาชกิ ทกุ ตัวของเซตลงในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ปกกาและใชเครื่องหมายจุลภาค (,) ค่นั ระหวา งสมาชกิ แตล ะตวั น้นั ตวั อยา งเชน A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต โดยใชต วั แปรแทนสมาชิกของเซต และบอก สมบตั ขิ องสมาชิกในรปู ของตวั แปร ตัวอยา งเชน A = { x | x เปน จาํ นวนเต็มบวกท่ีมคี านอยกวาหรอื เทา กับ 5} B = { x | x เปนสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เปน จาํ นวนเต็ม} สญั ลกั ษณเซต โดยท่วั ๆ ไป การเขยี นเซตหรอื การเรยี กชอ่ื ของเซตจะใชอ ักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพ ใหญไ ดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปน ตน ทงั้ นเ้ี พ่ือความสะดวกในการอางองิ เมื่อเขียนหรือกลาวถงึ เซต นัน้ ๆ ตอ ไป สาํ หรบั สมาชิกในเซตจะเขียนโดยใชอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพเล็ก

31 มสี ัญลักษณอ กี อยา งหนงึ่ ทีใ่ ชอยเู สมอ ๆในเร่ืองเซต คือสญั ลกั ษณ  ( Epsilon) แทนความหมายวา อยูใน หรอื เปน สมาชิก เชน กาํ หนดให เซต A มสี มาชกิ คอื 2 , 3 , 4 , 8 , 10 ดงั นั้น 2 เปน สมาชิกของ A หรืออยูใ น A เขยี นแทนดวย 2  A 10 เปน สมาชิกของ A หรืออยใู น A เขยี นแทนดวย 10  A ใชส ญั ลกั ษณ  แทนความหมาย “ไมอ ยู หรอื ไมเ ปนสมาชกิ ของเซต เชน 5 ไมเ ปน สมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 5  A 7 ไมเ ปน สมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว ย 7  A ขอ สงั เกต 1. การเรยี งลาํ ดับของแตละสมาชกิ ไมถ ือเปนสิ่งสําคญั เชน A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถอื วาเซต A และเซต B เปน เซตเดยี วกัน 2. การนับจาํ นวนสมาชกิ ของเซต จํานวนสมาชกิ ทเ่ี หมือนกนั จะนับเพยี งคร้ังเดยี ว ถงึ แมจ ะเขียนซํา้ ๆ กนั หลาย ๆ คร้ัง เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจาํ นวนสมาชกิ 4 ตัว คอื 0 , 1 , 2 , 3 เปนตน 1.3 ชนดิ ของเซต 1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set ) บทนิยาม แทนเซตวาง เซตวาง คือ เซตทีไ่ มมีสมาชิก ใชสญั ลกั ษณ  หรือ { } ( เปนอกั ษรกรกี อา นวา phi) ตวั อยา ง เชน A = { x | x เปนชอื่ ทะเลทรายในประเทศไทย } ดังนั้น A เปนเซตวา ง เนือ่ งจากประเทศไทยไมมที ะเลทราย B = { x | x  I+ และ x + 2 = x } ดังนนั้ B เปน เซตวาง เนอื่ งจากไมมจี าํ นวนเต็มบวกทนี่ าํ มาบวกกบั 2 แลว ได ตวั มนั เอง เซต B จึงไมม ีสมาชิก ขอสงั เกต 1. เซตวา งมจี ํานวนสมาชิก เทากบั ศนู ย ( ไมมสี มาชิกเลย ) 2. 0  Ø 3. { 0 } ไมเ ปน เซตวาง เพราะมจี ํานวนสมาชิก 1 ตัว

32 1.3.2 เซตจาํ กดั ( Finite Set ) บทนยิ าม เซตจาํ กดั คือ เซตทสี่ ามารถระบจุ าํ นวนสมาชิกในเซตได ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจาํ นวนสมาชกิ 3 ตวั หรือ n(A) = 3 B = { x | x เปน จาํ นวนเตม็ และ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชกิ 100 ตัว หรอื n(B) = 100 C = { x | x เปนจํานวนเต็มที่อยูระหวา ง 0 กบั 1 } ดงั นนั้ C เปนเซตวา ง มจี าํ นวนสมาชกิ 0 ตัว หรือ n(C) = 0 D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชกิ 99 ตวั หรอื n(D) = 99 E = { x | x เปน วนั ในหนึง่ สปั ดาห } มจี ํานวนสมาชิก 7 ตัว หรือ n(E) = 7 หมายเหตุ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย n(A) 1.3.3 เซตอนนั ต ( Infinite Set ) บทนิยาม เซตอนันต คอื เซตทไ่ี มใชเซตจาํ กดั ( หรือเซตทีม่ ีจาํ นวนสมาชิกไมจาํ กดั น่นั คอื ไมส ามารถนับจาํ นวนสมาชกิ ไดแ นน อน ) ตัวอยา งเชน A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมอื่ n เปนจํานวนนับ } C = { x | x เปนจาํ นวนจรงิ } T = { x | x เปน จํานวนนับ } ตวั อยา ง จงพจิ ารณาเซตตอ ไปน้ี เซตใดเปน เซตวาง เซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต เซต เซตวา ง เซตจํากดั เซตอนันต 1. เซตของผทู ี่เรยี นการศกึ ษานอกโรงเรียน / / / ปก ารศึกษา 2552 2. เซตของจาํ นวนเตม็ บวกค่ี 3. เซตของสระในภาษาไทย / 4. เซตของจํานวนเตม็ ท่ีหารดว ย 10 ลงตวั 5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

33 1.3.4 เซตท่ีเทากัน ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเทากนั กต็ อ เมื่อท้งั สองเซตมสี มาชิกอยางเดยี วกนั และจํานวนเทากัน บทนิยาม เซต A เทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A = B หมายความวา สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เปนสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชกิ ทุกตัวของเซต A ถา สมาชิกตัวใดตัวหน่งึ ของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรอื สมาชกิ บางตวั ของเซต B ไมเ ปน สมาชิกของเซต A เซต A ไมเทากับเซต B เขยี นแทนดว ย A ≠ B ตัวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } } B = { { 2 ,1 } , 0 } ดังนน้ั A = B ตัวอยา ง กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เปน จํานวนเต็มบวกเลขคทู ่ีนอยกวา 10 } วิธีทาํ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เปนจํานวนเตม็ บวกคูท ่ีนอ ยกวา 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดงั น้นั A = B ตัวอยาง กาํ หนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } วิธีทํา พจิ ารณา x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3,5 C = {3,5} ดงั นนั้ A = B แต A ≠ C เพราะ 2  A แต 2  C B  C เพราะ 2  B แต 2  C

34 1.3.5 เซตท่เี ทียบเทา กนั ( Equivalentl Sets ) เซตทีเ่ ทยี บเทา กัน คอื เซตทมี่ ีจํานวนสมาชิกเทา กันและสมาชิกของเชตจับคกู นั ไดพอดี แบบหน่ึงตอ แบบหน่ึง สญั ลักษณ เชต A เทียบเทา กับเชต B แทนดวย A ↔ B บทนิยาม เซต A เทยี บเทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A ~ B หรือ A ↔ B หมายความวา สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจบั คูห นง่ึ ตอหนง่ึ ไดพอดี ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , 3 } B = {4,5,6} จะเหน็ วา จํานวนสมาชกิ ของเซต A เทากับจาํ นวนสมาชิกของ B ดังนน้ั A ↔ B C = { xy , ab } D = {0,1} ดังนั้น C ~ D เพราะจํานวนสมาชกิ เทา กนั ตวั อยาง จงพิจารณาเซตแตละคูตอ ไปนวี้ า เซตคใู ดเทากนั หรือเซตคใู ดเทยี บเทา กนั 1) A = { x / x เปนจํานวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 } B = {1,9} 2) C = { a , { b, c } , d } D = {1,2,{3}} 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = {4,1,7} วิธที าํ 1) A = B และ A  B เพราะมีจาํ นวนสมาชิกเทา กัน และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตวั 2) C  D แต C  D เพราะมีจาํ นวนสมาชกิ เทา กนั แตส มาชิกแตละคูไมเหมือนกนั ทุกตวั 3) E = F และ E  F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทา กนั และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตัว ขอ สงั เกต 1.312...6 เถถอาากภAAพส=ัมพBBทั แธแลลว ว A B B A ไมจ ําเปน ตอ งเทา กบั

35 บทนิยาม เอกภพสมั พัทธ คอื เซตท่กี ําหนดขน้ึ โดยมีขอ ตกลงกันวาจะไมกลาวถึง สิง่ อนื่ ใด นอกเหนือไปจากสมาชกิ ของเซตทีก่ ําหนด ใชส ัญลกั ษณ U แทน เอกภพสัมพทั ธ ตวั อยา งเชน กําหนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A = x | x2  4  จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = 2 กําหนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A เปนจาํ นวนคู ตอบ A = 2,4,6,8,10 ขอสังเกต ถาไมมกี ารกําหนดเอกภพสมั พัทธ ใหถอื วา เอกภพสัมพทั ธนั้นเปนเซตของจํานวนจรงิ

36 แบบฝก หดั ที่ 1 1. จงเขยี นเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ 1) เซตของจังหวดั ในประเทศไทยท่มี ีช่ือขน้ึ ตนดวยพยญั ชนะ “ส” 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ 3) เซตของจํานวนเต็มบวกทมี่ ีสามหลัก 4) เซตของจาํ นวนคูบ วกทีม่ ีคา นอยกวา 20 5) เซตของจํานวนเตม็ ลบทมี่ คี า นอยกวา – 120 6) { x|x เปน จาํ นวนเตม็ ทีม่ ากกวา 5 และนอยกวา 15 } 7) { x|x เปนจาํ นวนเตม็ ท่ีอยูระหวาง 0 กบั 0 } 2. จงบอกจาํ นวนสมาชิกของเซตตอไปน้ี 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 3) C = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกที่อยรู ะหวาง 10 ถึง 35 } 4) D = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกทน่ี อ ยกวา 9 } 3. จงเขียนเซตตอไปน้แี บบบอกเง่อื นไข 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...} 4. จงพจิ ารณาเซตตอไปน้ี เปนเซตวางหรือเซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต 1) เซตของสระในภาษาไทย 2) เซตของจาํ นวนเต็มท่ีอยรู ะหวาง 21 และ 300 3) A = { x | x เปนจาํ นวนเตม็ และ x  0 } 4) B = { x | x เปนจาํ นวนเต็มคทู ่นี อ ยกวา 2 } 5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 } 6) A = { x | x เปน จํานวนนับทน่ี อยกวา 1 } 7) E = { x | x เปน จาํ นวนเฉพาะ 1  x  3 } 8) F = { x | x เปนจํานวนเตม็ 4  x  5 } 9) B = { x | x เปน จํานวนนับ x2 + 3x + 2 = 0 } 10) D = { x | x เปน จํานวนเต็มทีห่ ารดวย 5 ลงตัว }

37 5. เซตตอไปนี้เซตใดบางท่เี ปนเซตทเ่ี ทากนั 1) A = { 2,4,6,8,10 } B = {x| x เปนจาํ นวนคูบ วก 2 ถึง 10 } 2) D = { 7,14,21,28,......343} E = {x|x = 7r และ r เปน จาํ นวนนบั ทม่ี ีคา นอ ยกวา 50 } 3) F = { x|x =3n และ n และ n } G = { 3,6,9} 4) Q = {4} H = { x|x เปน จาํ นวนเต็มและ x2 16 }

38 เรื่องท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต การดําเนนิ การที่สาํ คญั ของเซตท่จี าํ เปนตอ งรูแ ละทาํ ความเขา ใจใหถ อ งแทม ี 4 ชนดิ ไดแ ก 1. การยเู นียนของเซต 2. การอินเตอรเ ซคชน่ั ของเซต 3. คอมพลเี มน ทข องเซต 4. ผลตางของเซต 2.1 การยูเนยี นของเซต ใชส ญั ลกั ษณ “ ” บทนิยาม A  B = { x | x  A  x  B } เรียกวา ผลบวก หรอื ผลรวม (union) ของ A และ B ตัวอยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A  B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M  L = M ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W  Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตวั อยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} จะได A  B = {1,2,3,4,5} 2.2 การอนิ เตอรเซคชนั ใชสัญลักษณ “ ” บทนยิ าม A  B = { x|x A  xB } เรยี กวา ผลตดั หรือผลทเี่ หมอื นกัน (Intersection) ของ A และ B ตวั อยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A  B = {1 , 3} ตัวอยา ง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M  L = L

39 ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W Z = { } 2.3 คอมพลเี มน ตข องเซต ใชสัญลักษณ “ / ” บทนยิ าม ถา U เปนเอกภพสัมพทั ธ คอมพลีเมนตของ A คอื เซตทีป่ ระกอบดวยสมาชกิ ทอี่ ยูใน  แตไ มอยูใน A เขยี น A แทนคอมพลีเมน ทของ A ดงั น้ัน A = { x | x  A } ตัวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนค}ู จะได = { x |x U และ x เปนจาํ นวนค่ี } 2.4 ผลตางของเซต ใชส ญั ลักษณ “ – ” บทนยิ าม ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดว ยสมาชกิ ของเซต A ซงึ่ ไมเปนสมาชกิ ของเซต B ผลตางระหวา งเซต A และ B เขียนแทนดวย A – B ซง่ึ A - B = { x | x  A xB} ตวั อยา ง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

40 ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนคบู วก} จะได U – C = {x|x เปนจํานวนคบ่ี วก} สมบัติของเซตทค่ี วรทราบ ให A,B และ C เปน สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ U สมบัตติ อ ไปน้เี ปน จรงิ 1) กฎการสลับท่ี AB  B A AB  B A 2) กฎการเปลยี่ นกลมุ A  B  C  A  B C A  B  C  A  B C 3) กฎการแจงแจง A  B  C  A  B A  C A  B  C  A  B A  C 4) กฎเอกลักษณ   A  A  A U  A  AU  A 5) A  A  U 6)   U และ U    7) A  A 8) A  A  A และ A  A  A 9) A  B  A  B 10) A    และ A   A

41 แบบฝก หดั ท่ี 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A  B ……………………………. 2). B  A …………………………..…… 3). A  B ............................................. 4). B  A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….…. 2). กาํ หนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A  B ……………………………………………………………………………………… 2. B  C ……………………………………………………………………………………… 3. B  C …………………………………………………………………………………….… 4. A  C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C ..………………………………………………………………………………..…………. 6. C  A ………………………………………………………………………………..…….. 7. C  B ..………………………………………………………………………………..…… 8. (A ……………………………………………….…………………………………

42 เร่อื งท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกป ญ หา 3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร การเขียนแผนภาพแทนเซตชว ยใหเขาใจเก่ียวกับความสัมพนั ธระหวา งเซตชดั เจนยงิ่ ขึน้ เรยี ก แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน- ออยเลอร เพื่อเปน เกียรติแกน กั คณติ ศาสตรชาวองั กฤษ จอหน เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนักคณติ ศาสตรชาวสวสิ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซง่ึ เปนผูคดิ แผนภาพเพอื่ แสดงความสัมพนั ธร ะหวา งเซต การเขยี นแผนภาพของเวนน- ออยเลอร (Venn-Euler) เพือ่ แสดงความสัมพนั ธระหวางเซตนิยม เขยี นรูปสีเ่ หลย่ี มมุมฉากแทนเอกภพสมั พทั ธ (U) และใชรปู วงกลม วงรี หรอื รูปปดใด ๆ แทนเซต ตา ง ๆ ซ่ึงเปนสบั เซตของ U ลักษณะตาง ๆ ของการเขยี นแผนภาพ มดี งั น้ี ซ่ึงแผนภาพเวนน- ออยเลอร เมอ่ื นํามาใชก บั การดาํ เนินการบนเซตแลว นน้ั จะทาํ ใหผ ูเรยี นเขา ใจ ในเรอ่ื งการดาํ เนินการบนเซตมากขนึ้ ดังตวั อยา งตอ ไปนี้ ยเู นียน (Union) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท เ่ี กิด จาก ไดจากสว นที่แรเงา ดังน้ี (ระบายพื้นทข่ี องท้งั สองเซตไมวา จะมพี ้ืนทซี่ ้ํากันหรอื ไมซ ้ํากนั )

43 อนิ เตอรเซกชนั (intersection) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเหน็ กรณีตา ง ๆ ของเซตใหมท ีเ่ กิดจาก ไดจ ากสวนท่ีแรเงา ดงั นี้ คอมพลเี มนต (Complement) กําหนดให เซต A เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U คอมพลเี มนตของ A คือ เซตทีป่ ระกอบดว ย สมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไ มเปน สมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย (อา นวา เอไพรม) และ เพอ่ื ใหม องภาพไดช ดั ข้นึ อาจใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอรแสดงการคอมพลเี มนตข องเซต A ได ดังน้ี A คือ สวนท่ีแรเงา ผลตาง (Relative Complement or Difference) สามารถใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท ่ีเกดิ จาก A - B ไดจากสว นที่แรเงา ดังน้ี (ระบายสีเฉพาะพน้ื ท่ีของเซต A ท่ไี มใ ชพื้นทข่ี องเซต B)