การวัดและปริมาณเวกเตอร์

การวดั (Measurement) วลิ เลยี่ ม ทอมสัน (William Thomson ค.ศ. 1858) นักวทิ ยาศาสตร์ชาวองั กฤษ ได้กล่าวไว้ว่า การวดั หมายถงึ การเลือกใช้เคร่ืองมือหาปริมาณส่ิงของออกมาเป็ นเลข โดยมหี น่วยกากบั ที่ ถูกต้องการวดั เป็ นสิ่งสาคญั ในวชิ าฟิ สิกส์ทจี่ ะบ่งบอกถงึ ความสาเร็จหรือล้มเหลวของงาน ถ้าการวดั ไม่ถูกต้องหรือไม่ดพี อจะทาให้เกดิ ความล้มเหลวขึน้ ส่ิงท่ีมอี ทิ ธิพลต่อการวดั ประกอบไปด้วย 4

ปริมาณของสิ่งท่จี ะวดั 5

เคร่ืองมือที่ใช้ในการวดั 6

หน่วยของการวดั ในการประชุมทางวทิ ยาศาสตร์ท่กี รุงปารีส เมื่อ พ.ศ. 2503 นกั วทิ ยาศาสตร์ได้ตกลงให้ มาตรฐานในการวดั ทางวทิ ยาศาสตร์เหมือนกนั องค์การระหว่างชาตเิ พื่อการมาตรฐาน (International Organization for Standardization หรือ ISO) โดยกาหนดระบบใหม่ขึน้ มา เรียกว่า “ระบบหน่วยระหว่างชาต”ิ (International System of Units หรือ SI) โดยกาหนดหน่วยในการวดั ในระบบหน่วยระหว่างชาติ แบ่งหน่วยต่างๆ ออกเป็ น 3 ประเภทคือ 7

1. หน่วยฐาน (Base Units) เป็ นหน่วยเบื้องต้นของปริมาณต่างๆ ท่ใี ช้ในการวดั สิ่งต่างๆ ซ่ึงควรจะทราบ 8

2. หน่วยเสริม (Supplementary Units) เป็ นหน่วยท่ีใช้ในการวดั มุม ในการวดั มมุ โดยท่ัวๆ ไปจะวดั มมุ โดยเทียบกบั เส้นระดบั ใน แนวราบ แล้วหมนุ ไปในลกั ษณะสวนทศิ กบั การหมุนของเข็มนาฬิกา โดยแบ่งออกเป็ น 2 หน่วย 2.1 เรเดยี น (Radian) ใช้สัญลกั ษณ์ rad เป็ นหน่วยทใ่ี ช้ในการวดั มุมทเี่ กดิ จากการหมนุ บน ระนาบใดระนาบหนึ่ง (2 มติ )ิ โดยมนี ิยามของมุม 9

10

2.2 สตเี รเดยี น (Steradian) ใช้สัญลกั ษณ์ sr หรือบางทีเรียกว่า “มมุ ตนั ” (Solid Angle) เป็ น มมุ ของกรวย ซ่ึงเป็ น 3 มติ ิ โดยมนี ยิ ามของมมุ ว่า 11

3. หน่วยอนุพนั ธ์ (Derived Units) เป็ นหน่วยทเ่ี กดิ ขึน้ จากการท่นี าหน่วยฐานมาสร้าง ซ่ึงการสร้างหน่วยอนุพทั ธ์จะเป็ นไป ตามนยิ ามของปริมาณต่างๆ เช่น 12

13

บางคร้ังเราอาจจะต้งั ชื่อหน่วยอนุพทั ธ์ขึน้ ใหม่เพ่ือสะดวกในการศึกษา และเป็ นการให้ เกยี รตแิ ก่นกั วทิ ยาศาสตร์ทศ่ี ึกษาเร่ืองน้นั ตวั อย่างเช่น แรงจะมหี น่วยเป็ น นวิ ตนั (N) นอกจากนยี้ งั สะดวกในการใส่คานาหน้าหน่วย 14

4. คานาหน้าหน่วย (Prefix) ในการเขยี นตวั เลขในทางวทิ ยาศาสตร์ตวั เลขท่มี คี ่ามากๆ หรือน้อยมากๆ จะเขียนอย่ใู น รูปของสัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์ (Scientific Notation) เป็ นการเขยี นตวั เลขอยู่ในรูปของเลขยกกาลงั ท่มี ฐี านเป็ นสิบและเลขยกกาลงั เป็ นจานวนเตม็ ในรูป A x 10n (0 < A < 10) เช่น 3,500,000,000 = 3.5 x 109 0.000000062 = 6.2 x 10-8 ตวั เลข 10 ยกกาลงั จะใช้สัญลกั ษณ์แทน เพ่ือใช้นาหน้าหน่วยต่างๆ ทาให้หน่วยน้นั มี ขนาดใหญ่ขึน้ หรือเลก็ ลงตามค่าของเลข 10 ยกกาลงั น้นั ตวั อย่างเช่น ถ้าเรากาหนดให้ M (mega) แทนเลข 106 เม่ือมรี ะยะทางซึ่งมคี ่า 8,250,000 m เรากจ็ ะเขียนค่าของระยะทางได้ใหม่ โดยใช้คา นาหน้าหน่วยที่เราต้งั ขนึ้ ไปไว้หน้าหน่วย ระยะทาง 8,250,000 m = 8.25 x 106 m = 8.25 Mm 15

16

ตวั อย่าง 17

ปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ เป็ นปริมาณทจี่ ะต้องมขี นาดและทศิ ทางเป็ นส่วนประกอบเพื่อทาให้เกดิ ความเข้าใจในปริมาณน้นั ชัดเจน เช่น รถยนต์วง่ิ ไปทางทศิ เหนือ 200 เมตร ปริมาณสเกลาร์ เป็ นปริมาณทม่ี ขี นาดเพยี งอย่างเดยี วแล้วเข้าใจชัดเจน เช่น ให้เวลาใน การสอบ 2 ช่ัวโมง ความแตกต่างของปริมาณท้งั สองอย่ตู รงท่ี ปริมาณเวกเตอร์ไม่สามารถนาขนาด (ตวั เลข) มา บวก ลบ คูณ หาร ได้ทันทีเหมือนปริมาณสเกลาร์ 18

การเขียนปริมาณเวกเตอร์ 19

การเขียนปริมาณเวกเตอร์ต้องอธิบายให้ชัดเจนว่าปริมาณเวกเตอร์มขี นาดเท่าใด และทิศทาง ไปทางไหน ในการอธิบายความหมายของปริมาณเวกเตอร์แบ่งออกเป็ น 2 แบบ คือ 1. แบบบรรยาย เป็ นการเขยี นโดยการใช้คาอธิบายขยายความของปริมาณเวกเตอร์ท้ังขนาดและทศิ ทาง 20

2. การเขียนแบบใช้ลูกศร การเขยี นปริมาณเวกเตอร์โดยใช้ลกู ศรแทนปริมาณเวกเตอร์ 21

22

การหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ในระบบแกน 2 มติ ิ การแยกเวกเตอร์ไปในแนวแกน x และ y จะเหมือนกบั การบอกพกิ ดั ของจุดใดจุดหน่ึง บนแกน x และ y 23

24

25

26

การบวกเวกเตอร์ 27

28

29

การหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ของการบวกเวกเตอร์ 1. การบวกเวกเตอร์โดยการวาดรูป การหาผลลพั ธ์ของการบวกแบบนีจ้ ะใช้วธิ ีการวาดรูปโดยใช้ลกู ศรแทนปริมาณเวกเตอร์ แต่ละเวกเตอร์จะใช้สเกลเดยี วกนั จากน้นั นาเวกเตอร์ท่โี จทย์กาหนดมาบวกกนั โดยเอาหางของ เวกเตอร์ท่ี 2 ไปต่อกบั หัวเวกเตอร์แรก และต่อเรียงกนั ไป ผลลพั ธ์ของการบวกจะเป็ นเวกเตอร์ ทลี่ ากจากหางเวกเตอร์แรกไปยงั หัวเวกเตอร์สุดท้าย เรียกว่า เวกเตอร์ลพั ธ์ ขนาดและทศิ ทาง จะได้จากการวดั ตวั อย่างเช่น จากเวกเตอร์ทีก่ าหนดให้ จงหาผลบวกเวกเตอร์ท้งั หมด 30

31

2. การบวกเวกเตอร์โดยการคานวณ ในการคานวณจะต้องคานวณหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์และทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ ซ่ึงเราจะแบ่งลกั ษณะของการคานวณออกเป็ น 2 ลกั ษณะ คือ 32

33

34

35

36

37

การคานวณการบวกเวกเตอร์จะนาไปใช้ในเร่ืองของการรวมแรงและการหาผลรวม ของโมเมนตมั ต่อไป ตวั อย่าง 38

2.2 การบวกเวกเตอร์โดยการหาผลบวกขององค์ประกอบเวกเตอร์ ในกรณที ี่มเี วกเตอร์ มากกว่า 2 เวกเตอร์ขึน้ ไปการคานวณหาเวกเตอร์ลพั ธ์จะใช้วธิ ีการหาองค์ประกอบ ในแนวแกน x และ y ของเวกเตอร์แต่ละตวั จากน้นั นาองค์ประกอบในแกน x และ y ของแต่ละเวกเตอร์มารวมกนั ซ่ึงจะรวมกนั ได้เหมือนกบั การบวกตวั เลข เพราะมที ิศทาง แนวเดยี วกนั จะได้ 39

ตวั อย่าง 40

41

42

43

44