ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็ น โดย ครูวราภรณ์ อุ่นกลม MATHNTP

กฎข้อที่ 1 กฎข้อท่ี 7 กฎข้อท่ี 2 กฎข้อท่ี 6 กฎเกณฑ์เบอื้ งต้น แฟกทอเรียล เกย่ี วกบั การนับ กฎข้อท่ี 5 กฎข้อท่ี 3 กฎข้อที่ 4

กฎข้อที่ 1 ถา้ ตอ้ งการทางานสองอยา่ งโดยท่ีงานอยา่ งแรกทาได้ n1 วธิ ี และในแต่ละวธิ ีท่ีเลือกสามารถเลือกอยา่ งแรกน้ี มีวธิ ีที่จะ ทางานอยา่ งที่สองได้ n2 วธิ ี จานวนวธิ ีท่ีจะเลือกทางานท้งั สองอยา่ งเท่ากบั n1•n2 วธิ ี

ตวั อย่าง นายบุญเสริมตอ้ งการขา้ มแม่น้าปิ งไปหาเพอ่ื นเพ่ือทาแบบฝึ กหดั คณิตศาสตร์มีเรือ ยนตข์ า้ มฟากแลน่ อยู่ 3 ลาจงหาจานวนวธิ ีท้งั หมดที่นายบุญเสริมจะขา้ มฟากโดยที่ เที่ยวไปและเท่ียวกลบั ลงเรือไม่ซ้ากนั วธิ ีทา เที่ยวไปเขามีวธิ ีลงเรือได้ 3 วิธี n1. = 3 เที่ยวกลบั เขามีวิธีลงเรือได้ 2 วธิ ี (หา้ มลงลาเดิม) n2. = 2  จานวนวธิ ีท้งั หมดที่นายบุญเสริมจะขา้ มฟากท่ีเที่ยวไปและ เที่ยวกลบั ลงเรือไม่ซ้าลากนั เท่ากบั n1.n2 = 3 x 2 วธิ ี = 6 วธิ ี

กฎข้อท่ี 2 ถา้ งานอยา่ งแรกมีวธิ ีทาได้ n1 วธิ ี ในแต่ละวธิ ีเลือก ทางานอยา่ งแรกมีวธิ ีท่ีจะทางานอยา่ งที่สองได้ n2 วธิ ี และในแต่ละวธิ ีเลือกทางานอยา่ งแรกและงาน อยา่ งท่ีสอง มีวธิ ีที่จะทางานอยา่ งท่ีสามได้ n3 วธิ ี ฯลฯ จานวนวธิ ีท้งั หมดท่ีจะเลือกทางาน k อยา่ ง เท่ากบั n1•n2•n3•…•nk

ตวั อย่าง นายแดงแต่งตวั โดยมีเส้ือ 2 ตวั กางเกง 4 ตวั และเนคไท 3 เสน้ นายแดงมีวธิ ีการแต่งกายไดก้ ่ีวธิ ี วิธีทา n1. = 2 , n2. = 4 , n3…= 3  จานวนวธิ ีแต่งกายท้งั หมด = n1.n2.n3 = 2x 4x 3 = 24 วิธี

แฟกทอเรียล เน้ือหาเรื่องแฟกทอเรียล นกั เรียนไดเ้ รียนรู้เน้ือหาโดยแบ่งออกเป็น 4 หวั ขอ้ คือ 1. ความหมายของแฟกทอเรียล นิยาม เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล หมายถึง ผลคณู ของจานวน เตม็ บวกต้งั แต่ 1 ถึง n เรียกวา่ แฟกทอเรียล n เขียนแทนดว้ ย n! n! = 1•2•3 … (n - 2) (n - 1) หรือ n! = n(n - 1) (n - 2) … 3•2•1 หมายเหตุ n! = n(n - 1) ! และกาหนดให้ 0! = 1 = 1! 2. การเขียนจานวนที่อยใู่ นรูปแฟกทอเรียล ใหอ้ ยใู่ นรูปไม่มีแฟกทอเรียล 3. การเขียนจานวนที่กาหนดให้ ใหอ้ ยใู่ นรูปแฟกทอเรียล 4. สมการแฟกทอเรียล

ตวั อย่าง ถา้ (n+3)! = 30 จงหา n (n+1)! (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)! (n+1)! (n+1)! = (n+3)(n+2) = n2+ 5n + 6 นนั่ คือ n2+ 5n + 6 = 30 n2+ 5n - 24 = 0 (n-3)(n+8) = 0 จะได้ n = 3 หรือ n = -8 แต่ถา้ n = -8 แลว้ n+3 และ n+1 เป็นจานวนเตม็ ลบซ่ึงเป้ นไปไม่ไดเ้ พราะ เราไม่ไดน้ ิยาม n! เม่ือ เป็นจานวนเตม็ ลบ ดงั น้นั n = 3

กฎข้อที่ 3 จานวนวธิ ีสบั เปลี่ยนของ n ส่ิง ท่ีแตกต่างกนั ท้งั หมดเท่ากบั n!

ตัวอย่าง  ถ้าถนอมสิทธ์ิ ปลูกต้นไม้ 5 ชนิด ๆ ละ 1 ต้น เรียงเป็ นแนวตรง จะมีวธิ ีจดั ได้ท้งั หมดกวี่ ธิ ี วธิ ีทา ตาแหน่งท่ี 1 มวี ธิ ีวางต้นไม้ 5 วธิ ี ตาแหน่งท่ี 2 มวี ธิ ีวางต้นไม้ 4 วธิ ี ตาแหน่งท่ี 3 มีวธิ ีวางต้นไม้ 3 วธิ ี ตาแหน่งที่ 4 มีวธิ ีวางต้นไม้ 3 วธิ ี ตาแหน่งที่ 5 มีวธิ ีวางต้นไม้ 1 วธิ ี จานวนวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นท้งั หมดเท่ากบั 5! =120 วธิ ี

กฎข้อท่ี 4 จานวนวธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนของส่ิงของ n ส่ิงซ่ึงแตกต่าง กนั ท้งั หมดโดยจดั ทีละ r สิ่ง , (r<n) Pn,r = n (n-r)

ตวั อยา่ ง ในการแขง่ ขนั วง่ิ ระยะทาง 100 เมตร มีผแู้ ข่งขนั 8 คน จะมีก่ีวธิ ีท่ีผู้ แขง่ ขนั ไดร้ ับเหรียญ ทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง ถา้ ผแู้ ขง่ ขนั มี โอกาสที่จะชนะเท่า ๆกนั ทุกคน วิธีทา จานวน 3 คนท่ีสุ่มมาไดน้ ้นั ถือวา่ แตกตา่ งกนั จะสลบั การใหเ้ หรียญกนั ไม่ได้ ดงั น้นั จานวนวธิ ีที่เกิดข้ึนคือ คือ Pn,r = n (n-r) Pn,r = 8 = 8 = 8 x 7 x 6 = 336 วธิ ี (8-3) 5

กฎข้อที่ 5 จานวนวธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n ส่ิง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด เท่ากบั (n-1)! วธิ ี

ตวั อย่าง  มีวิธีจดั ใหผ้ รู้ ับเชิญ 6 คน ใหน้ ง่ั รับประทานอาหารรอบโตะ๊ กลมซ่ึงมี 6 ที่นง่ั ได้ ท้งั หมดกี่วธิ ี วธิ ีทา จานวนวิธีท่ีจะจดั ผรู้ ับเชิญ 6 คน นง่ั รอบโตะ๊ กลม = (6-1)! = 5! = 120 วิธี

กฎข้อท่ี 6 ถา้ มีส่ิงของอยู่ n ส่ิงในจานวนน้ีมี n1 ส่ิงที่เหมือนกนั เป็นกลุ่มที่ 1 มี n2 ส่ิงท่ีเหมือนกนั เป็นกลุ่มท่ีสอง… และมี nk ส่ิงที่เหมือนกนั เป็น กลุ่มที่ k โดยที่ n1+ n2+ … + nk = n จานวนวิธี มีวธิ ีการจดั เรียงไดท้ ้งั หมด = n วธิ ี n1n2n3…..nk

ตัวอย่าง จะมีวิธีการเรียงตวั อกั ษรในคาวา่ MISSISSIPPI มาเรียง สบั เปลี่ยนกนั ใหม่ท้งั หมดไดก้ ี่วิธี วิธีทา มีตวั S ซ้า 4 ตวั มีตวั I ซ้า 4 ตวั มีตวั P ซ้า 2 ตวั มีตวั M ซ้า 1 ตวั  มีวธิ ีการเรียงสบั เปลี่ยน = 11 4421 = 11 x 10 x 9 x7 x5 = 34,650 วิธี

กฎข้อที่ 7 ถา้ มีของ n ส่ิงต่าง ๆ กนั เราเลือกมา r ส่ิง แบบจดั หมู่ จานวนวิธีท่ี เลือกไดค้ ือ Cn,r = n = n r (n-r)r r ท่ีสุ่มมาไดม้ ีลกั ษณะคลา้ ยคลึงกนั

ตวั อยา่ ง มีหนงั สือท่ีแตกต่างกนั 5 เล่ม ถา้ อนุญาตใหเ้ ดก็ ยมื ได้ 3 เล่ม เดก็ คน หน่ึงจะมีวิธีเลือกไดก้ ี่วิธี วิธีทา หนงั สือ 3 เล่มท่ียมื มาไดถ้ ือวา่ มีลกั ษณะไม่แตกต่างกนั สลบั ท่ีกนั ไม่มีผลดงั น้นั ใช้ C 5,2 = 5 = 10 วธิ ี 32

สวสั ดปี ี ใหม่ อยา่ เท่ียว งานตากสินฯ เพลินจนลืมดูหนงั สือสอบล่ะ ดว้ ยความปารถนาดี จาก.......... ครู..นุตพล