ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์เบอื้ งต้น บทนิยาม ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ท่ีเป็นจริงหรือเทจ็ อยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเท่าน้นั ตัวอย่างประพจน์ ดาวพธุ เป็นดาวเคราะห์ 3 + 4 1=0 เซตวา่ งเป็นสบั เซตทุกเซต ตวั อย่างทไี่ ม่เป็ นประพจน์ ประโยคไม่อยู่ในรูปบอกเล่า ฝนตกหรือเปลา่ (คาถาม) หรือปฏเิ สธไม่ทราบค่าความจริง อยา่ คุยกนั (หา้ ม) ไม่เป็ นประพจน์ ออกไปใหพ้ น้ (คาสงั่ ) ขอใหโ้ ชคดี (อวยพร) ยงุ ร้ายกวา่ เสือ (สุภาษิต)

ตารางค่าความจริงประพจน์ทเี่ ช่ือมด้วย “ หรือ (V) ” p q pVq TTT TFT เทจ็ กรณีเดียว คือ ( F ท้ังคู่ ) FTT FF F

ตวั อย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 q, แทน 6 - 5 = 1 (มีคา่ ความจริงเป็น เทจ็ ) (มีคา่ ความจริงเป็นจริง ) จะไดป้ ระพจน์ p q แทน 2 + 3 = 9 หรือ 6 -5 (=เป1็นจริง) F T โดยตารางค่าความจริง T จะไดป้ ระพจน์ 0 เป็นจานวนนบั หรือ 4 + 6 = 6 - 4(เป็นเทจ็ ) F F F

ตารางค่าความจริงประพจน์ที่เช่ือมด้วย “ และ  ” p q pq จริงกรณีเดียว คือ ( T ท้ังคู่ ) TTT TFF FTF FFF

ตัวอย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 q, แทน 6 - 5 = 1 (มีค่าความจริงเป็น เทจ็ ) (มีคา่ ความจริงเป็นจริง ) จะไดป้ ระพจน์ p q แทน 2 + 3 = 9 และ 6 -5 (=เป1็นเทจ็ ) F T โดยตารางค่าความจริง F จะไดป้ ระพจน์ 0 เป็นจานวนคู่ และ 4 + 6 = 6 + 4(เป็นจริง) T T T

ตารางค่าความจริงประพจน์ท่เี ช่ือมด้วย “ถ้า…แล้ว”  p q p q T T Tเทจ็ กรณีเดียว คือ ( T แล้ว F ) TFF FTT FFT

ตัวอย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 q, แทน 6 + 5 = 1 (มีค่าความจริงเป็น เทจ็ ) (มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ) จะไดป้ ระพจน์ p q แทน ถา้ 2 + 3 = 9 แลว้ 6 + 5(เป็น=จร1ิง) F F โดยตารางค่าความจริง T จะไดป้ ระพจน์ ถา้ 0 เป็นจานวนคู่ แลว้ 4 + 6 = 5(เป็นเทจ็ ) T F F

ตารางค่าความจริงประพจน์ทเี่ ชื่อมด้วย “…กต็ ่อเมอ่ื ...” p q p q TTT TFF F T F เหมือนกนั เป็น จริง FFT

ตวั อย่าง ให้ p แทน 2 + 3 = 9 q, แทน 6 + 5 = 1 (มีค่าความจริงเป็น เทจ็ ) (มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ) จะไดป้ ระพจน์ p q แทน 2 + 3 = 9 กต็ ่อเม่ือ 6 + 5(เป=็น1จริง) F F โดยตารางค่าความจริง T จะไดป้ ระพจน์ 0 เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเม่ือ 4 + 6 = (5เป็นเทจ็ ) T F F

นิเสธของประพจน์ นิเสธ ของประพจน์ 2 + 3 = 5 คือ 2 + 3 5 นิเสธ ของประพจน์ 2 < 3 คือ 2  (32ไม่นอ้ ยกวา่ 3 ) นิเสธ ของประพจน์ p เขียนแทนดว้ ย ~ p ดงั ตารางคา่ ความจริง p ~p TF FT

การหาค่าความจริงของประพจน์ ตวั อย่าง จงหาค่าความจริงของ ~ (A ~ B) เม่ือ A , B เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง วธิ ีทา ~ ( A ~ B ) T FT F T ดงั น้นั ประพจน์ ~ (A ~ B ) มีค่าความจริ งเป็ นจริง

ตวั อย่าง กาหนด p เป็ นจริง q เป็ นเทจ็ r เป็ นเท็จ และ s เป็ นจริง จงหาค่าความจริงของ [ (p  q )  r ]  (p  s ) วธิ ีทา [ (p  q )  r ]  (p  s ) TF TT FF FT T ดงั น้นั ประพจน์ [ (p  q )  r ]  (p  s ) มีคา่ ความจริงเป็ นจริง

ตัวอย่าง ถ้า (r t )  ~ (s  t ) มีค่าความจริงเป็ นจริงแล้ว จงหา ค่าความจริงของ r , s และ t วธิ ีทา (r  t )  ~ (s  t ) FF FF F T TT ดงั น้นั r มีค่าความจริงเป็น เทจ็ s มีคา่ ความจริงเป็น เทจ็ t มีคา่ ความจริงเป็น เทจ็

การสร้างตารางค่าความจริง พจิ ารณากรณีค่าความจริงของ ประพจน์ p , q และ r pq r pq r T TT T TF TT F T TF T ถ้ามี n ประพจน์ F T TF F จะมีจานวนกรณี F FT T ท้งั หมด 2n กรณี FT F TT FF T FF FF F FT F

ตวั อย่าง จงสร้างตารางคา่ ความจริงของ (p  q ) (~ p q ) วธิ ีทา ตวั เชื่อมหลกั (p  q )  (~ p  q ) TTT F F F T T FF T F F F FTT T T T T FTF F T F F ค่าความจริงของประพจน์ ท้งั 4 กรณี

ตวั อย่าง จงสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ r (~ p q ) วธิ ีทา r  (~ p  q ) T F F FT F T F FT T F F FF F T F FF T T T TT F T T TT T F T FF F T T FF ค่าความจริงของประพจน์ ท้งั 8 กรณี

ประพจน์ทสี่ มมูลกนั ประพจน์ทส่ี มมูลกนั คือ ประพจนท์ ่ีมีค่าความจริงเหมือนกนั กรณีต่อกรณี ตวั อย่าง p q p q ~ p ~ p q TT T F T TF F F F FT T T T FF T T T จะเห็นวา่ ประพจน์ p  q และ ~ p  q มีคา่ ความจริงเหมือนกนั ทุกกรณี ดงั น้นั p  q สมมูลกบั ~ p  q

ตัวอย่าง จงตรวจสอบวา่ ~ (p  q ) สมมลู กบั ~ p  ~ q หรือไม่ วธิ ีทา ~ ( p  q ) ~ p  ~q F T TT F T TF F FF F FT F F TT T FF T F FF T TT จะเห็นวา่ คา่ ความจริง ~ (p  q ) และ ~ p  ~ q เหมือนกนั ทุกกรณี ดงั น้นั ~ (p  q )  (สมมูล) ~ p  ~ q

รูปแบบประพจน์สมมูล ทส่ี าคญั 1. p  p p สำคัญมำก 2. p  p p 3. p q  ~ p q  ~ q ~ p 4. p q  (p q )  (q  p ) 5. ~ (~ p )  p

6. ~ (p  q )  ~ p  ~ q 7. ~ (p  q )  ~ p  ~ q 8. p  (q  r )  (p q )  (p  r ) 9. p  (q  r )  (p q )  (p  r ) 10. (p  q ) r  p  ( q  r )

ประพจน์ทน่ี ิเสธกนั ประพจน์ที่นิเสธกนั คือ ประพจนท์ ี่มีคา่ ความจริงต่างกนั กรณีต่อกรณี ตวั อย่าง p q p q ~ q p~ q TT T F F TF F T T FT T F F FF T T F จะเห็นวา่ ประพจน์ p  q และ p  ~ q มีคา่ ความจริงต่างกนั ทุกกรณี ดงั น้นั p  q เป็นนิเสธกบั p  ~ q

ตวั อย่าง จงตรวจสอบวา่ ~ (p  q ) เป็นนิเสธกบั ~ q  p หรือไม่ วธิ ีทา ~ ( p  q ) ~q  p F T TT F T TF F TT T TT F F TT F TF T F FF T FF จะเห็นวา่ คา่ ความจริง ~ (p  q ) และ ~ q  p ต่างกนั ทุกกรณี ดงั น้นั ~ (p  q ) เป็ นนิเสธกบั ~ q  p

สัจนิรันดร์ บทนิยาม สัจนิรันดร์(tautology) คอื รูปแบบประพจน์ ทมี่ คี ่าความจริง เป็ นจริงทุกกรณี ตัวอย่าง p  (p  q ) T T T TT T T T TF F T F TT F T F FF จะเห็นวา่ ประพจน์ p  (p  q ) มีคา่ ความจริงเป็นจริงทุกกรณี ดงั น้นั p  (p  q ) เป็ นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง จงตรวจสอบวา่ (p  q ) q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วธิ ีทา พิจารณาวา่ มีกรณีเทจ็ หรือไม่ (p  q)  q F FF F ใหป้ ระพจนม์ ีค่าความจริงเป็นเทจ็ แลว้ ขดั แยง้ ดงั น้นั ไม่มีกรณีเป็นเทจ็ จึงเป็นสัจนิรันดร์

ประโยคเปิ ด บทนิยาม ประโยคเปิ ด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธท่ีมีตวั แปรไม่เป็น ประพจนแ์ ต่เม่ือแทนตวั แปรดว้ ยสมาชิกในเอกภาสมั พทั ธ์แลว้ ไดป้ ระพจน์ เช่น 2x + 1 = 3 เพราะว่า ถ้า แทน x = 1 ได้ 2 + 1 = 3 ได้ประพจน์ที่เป็ น จริง เพราะว่า ถ้า แทน x = 0 ได้ 0 + 1 = 3 ได้ประพจน์ทเ่ี ป็ น เท็จ เขาเป็ นนักคณติ ศาสตร์ เพราะว่า ถ้าแทน เขา ด้วย ยุคลดิ ได้ประพจน์ท่ีเป็ นจริง

ตัวบ่งปริมาณ ใช้สัญลกั ษณ์  แทน สาหรับ … ทุกตัว ใช้สัญลกั ษณ์  แทน สาหรับ … บางตัว เช่น x แทน สาหรับ x ทุกตวั x แทน สาหรับ x บางตวั ตวั อย่าง สาหรับ x ทุกตวั x + x = 2x เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ได้ x [ x + x = 2x ] , U = R มจี านวนจริง x ซ่ึง x + 0 = 2x เขียนเป็นสัญลกั ษณ์ได้ x [ x + 0 = 2x ] , U = R

ตวั อย่าง จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสัญลกั ษณ์ yx [x 2 y 2  8 ] จะเขยี นได้ สาหรับจานวนจริง y ทุกตวั จะมีจานวนจริง x บางตวั ซ่ึง x2 + y2 = 8 จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ yx [x 2  y 2  8 ] จะเขยี นได้ มีจานวนจริง y บางจานวน ซ่ึงสาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน x2 + y2 = 8 จงเขียนขอ้ ความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ xy [x y  R ] จะเขียนได้ จานวนจริง x , y ทุกจานวนบวกกนั ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นจานวนจริง

บทนิยาม ประโยค x [P(x )] มีค่าความจริงเป็นจริง กต็ ่อเม่ือแทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกแต่ละตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจนท์ ่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริงท้งั หมด ประโยค x [P(x )] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ กต็ ่อเมื่อแทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ ไดป้ ระพจน์ท่ีมีคา่ ความจริ งเป็ นเทจ็

บทนิยาม ประโยค x [P(x )] มีค่าความจริงเป็นจริง กต็ ่อเม่ือแทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์แลว้ ไดป้ ระพจน์ ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง ประโยค x [P(x )] มีค่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ ่อเมื่อแทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิกแต่ละตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์แลว้ ไดป้ ระพจนท์ ี่มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ท้งั หมด

ตวั อย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ x [ x  5 ] , U = { 1 , 2 ,3 } วธิ ีทา ให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ P (1) แทน1 <1 5 ซ่ึงเป็นจริง P (2) แทน2 < 5 ซ่ึงเป็นจริง P (3) แทน3 < 5 ซ่ึงเป็นจริง จะเห็นวา่ เม่ือแทน x ดว้ ยสมาชิกแต่ละตวั ใน U ในประโยค x < 5 แลว้ ไดป้ ระพจน์เป็นจริงท้งั หมด ดงั น้นั ประโยคน้ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ x [ x  5 ] , U = I วธิ ีทา ให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ P (6) แทน6 < 5 ซ่ึงเป็นเทจ็ จะเห็นวา่ มีสมาชิกใน I อยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั คือ 6 เมื่อนาไปแทน x ใน P(x) แลว้ ไดป้ ระพจน์ที่ เป็นเทจ็ ดังน้ัน ประโยคนีม้ คี ่าความจริงเป็ น เทจ็

ตัวอย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณ x [ x  5 ] , U = I วธิ ีทา ให้ P(x) แทน x < 5 จะได้ P (4) แทน4 < 5 ซ่ึงเป็นจริง จะเห็นวา่ มีสมาชิกใน I บางตวั เช่น 4 เม่ือนาไปแทน x ใน P(x) แลว้ ไดป้ ระพจน์ท่ี เป็นจริง ดังน้ัน ประโยคนีม้ ีค่าความจริงเป็ น จริง

ตวั อย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคทมี่ ตี ัวบ่งปริมาณ x [ x  5 ] , U = { 6, 7, 8 } วธิ ีทา ให้ P(x) แทน x < 5 จะเห็นว่า ไม่ว่าจะแทน x ด้วย 6 หรือ 7 หรือ 8 ใน x < 5 จะได้ประพจน์ที่ เป็ นเท็จท้งั หมด ดงั น้ัน ประโยคนีม้ ีค่าความจริงเป็ น เทจ็

ตวั อย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ x [ x  0  x 2  0 ] , U = { -1 , 0 , 1 } วธิ ีทา พจิ ารณา ประโยคเปิ ด x [ x  0  x 2 0 ] แทนค่า x = -1 จะได้ -1 < 0 (-1) 2 > 0 ซ่ึงเป็นจริง แทนค่า x = 0 จะได้ 0 < 0 (0) 2 > 0 ซ่ึงเป็นจริง แทนคา่ x = 1 จะได้ 1 < 0 (1) 2 > 0 ซ่ึงเป็นจริง ดงั น้นั x [ x  0  x 2  0 ] เป็ นจริง

ตวั อย่าง จงหาคา่ ความจริงของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] , U = { -1 , 0 ,1 } วธิ ีทา พจิ ารณาประโยค x [ x  0 ] แทนคา่ x = -1 จะได้ - 1 < 0 เป็นจริง ดงั น้นั x [ x  0 ] มีค่าความจริงเป็น จริง พิจารณาประโยค x [ x 2  0] แทนคา่ x = 0 จะได้ 02 > 0 เทจ็ ดงั น้นั x [ x 2  0] มีค่าความจริงเป็ น เทจ็ ดงั น้นั x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็

สมมูลและนิเสธของประโยคทม่ี ตี วั บ่งปริมาณ รูปแบบที่ 1 ~ x [P(x ) ] ÊÁÁÙšѺx [~ P(x ) ] หรือ นิเสธของ x [P (x ) ] ¤×Í x [~ P (x ) ] รูปแบบที่ 2 ~ x [P(x ) ] ÊÁÁÙšѺx [~ P(x ) ] หรือ นิเสธของ x [P (x ) ] ¤×Í x [~ P (x ) ]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของข้อความ x [x  3  5 ] ตอบ x [~ (x  3  5)] หรือ x [x  3  5] ตวั อย่าง จงหานิเสธของข้อความ จานวนจริงทุก จานวนเป็ น จานวนค่ี ตอบ มี จานวนจริงบางจานวนไม่เป็ นจานวนคี่ ตวั อย่าง จงหานิเสธของข้อความ จานวนจริงบาง จานวนเป็ น จานวนคู่ ตอบ จานวนจริงทุก จานวนไม่เป็ นจานวนคู่

ตัวอย่าง จงหานิเสธของข้อความ ) x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] เขียนแทนดว้ ย ~ ( x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ]  ~ x [ x  0]  ~ x [ x 2  0 ]  x [ x  0]  x [x 2  0] ดงั น้นั นิเสธของ x [ x  0 ]  x [ x 2  0 ] คอื x [ x  0]  x [x 2  0]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของข้อความ เขียนแทนดว้ ย x [ P (x )  Q(x ) ] ~ x [ P (x )  Q(x ) ]  x [ ~ (P (x )  Q(x ) ) ]  x [ ~ ( ~ P (x )  Q(x ) ) ]  x [ P (x )  ~ Q(x ) ] ดงั น้นั นิเสธของ x [ P(x )  Q(x ) ] คอื x [ P (x )  ~ Q(x ) ]

ตวั อย่าง จงหานิเสธของข้อความ xy [xy  0  (x  0  y  0 ) ] นิเสธคือ xy [ ~ (xy  0  (x  0  y  0 ) ) ]  xy [ ~ (xy  0  (x  0  y  0 ) ) ]  xy [ xy  0  (x  0  y  0 ) ] ดงั น้นั นิเสธของ xy [xy  0  (x  0  y  0 ) ] คือ xy [ xy  0  (x  0  y  0 ) ]

การอ้างเหตุผล ถ้า P1 , P2 P3 , . . . , Pn เป็ นเหตุ และ C เป็ นผล แล้ว ( P1  p2  P3  . . . Pn )  C เป็ นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล (valid) ไม่เป็ นสัจนิรันดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล (invalid)

ตวั อย่าง จงพจิ ารณาว่าการอ้างเหตุผลนีส้ มเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q ผล 2. p q วธิ ีทา ตรวจสอบรูปแบบประพจน์ [ (p  q )  p ]  q เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่ [(p q)  p ]  q FFF F เป็นสจั นิรันดร์ TF T ดงั น้ัน สมเหตุสมผล

ตวั อย่าง จงพจิ ารณาวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถา้ ฝนตก แลว้ หลงั คาบา้ นเปี ยก 2. หลงั คาบา้ นไม่เปี ยก ผล ฝนไม่ตก วธิ ีทา ให้ p แทน ฝนตก q แทน หลงั คาบา้ นเปี ยก จะไดป้ ระโยคสญั ลกั ษณ์ เหตุ 1. p  q 2. ~ q ผล ~ p พิจารณารูปแบบประพจน์ (p q )  ~ q ]  ~ p จะได้ เป็นสจั นิรันดร์ ดังน้ันสมเหตุสมผล

รูปแบบประพจน์ทส่ี มเหตุสมผล รูปแบบท่ี 1 เหตุ 1. p q รูปแบบท่ี 2 เหตุ 1. p q 2. p ผล 2. ~ q ~p ผล q รูปแบบที่ 3 เหตุ 1. p q รูปแบบท่ี 4 เหตุ p q 2. q r ผล ~ q ~ p หรือ ผล ~ p q ผล p  r

รูปแบบประพจน์ทส่ี มเหตุสมผล รูปแบบท่ี 5 เหตุ 1. p q รูปแบบที่ 6 เหตุ 1. p r 2. ~ p 2. q s ผล q 3. p q ผล ~ p รูปแบบที่ 7 เหตุ p q รูปแบบท่ี 8 เหตุ p ผล p q ผล p หรือ ผล q

ตวั อย่าง จงพจิ ารณาวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p q 2. q s 3. ~ t ~ s ผล t เขียนเส้นโยงเหตุและผลสมั พนั ธ์ตอ่ เนื่องกนั ไดด้ งั น้ี à˵Ø1. p q q s à˵Ø2. q s t ผล à˵Ø3. ~ t ~ s s t ดังน้ัน สมเหตุสมผล