การวัดค่ากลางของข้อมูล

สื่อการเรียนการสอน เรื่อง การวดั ค่ากลางของข้อมูล โดย...นางสาววราภรณ์ อุ่นกลม

รายวชิ า คณิตศาสตร์และสถิติเพอื่ งานอาชีพ รหสั วชิ า 3000-1404

การวดั ค่ากลางของข้อมูล 1. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ( x) 2. มธั ยฐาน ( Median ) 3. ฐานนิยม ( Mode ) 4. ค่าเฉลยี่ ฮาร์โมนิก 5. ค่าเฉลยี่ เรขาคณติ 6. ค่ากงึ่ กลางพสิ ัย

1. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ( x) กรณที ่ี 1 ถ้าข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถ่ี x  x1  x2  x3  ...  xn nn  xi x  i1 n x  x n

ตวั อย่างที่ 1 จากการสอบถามอายุของนิสิตช้ันปี ท่ี 2 ของมหาวทิ ยาลยั แห่งหน่ึง จานวน 5 คน ปรากฏว่ามอี ายุดงั นี้ 20 , 19 , 20 , 22 , 27 ปี จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของนิสิตกลุ่มนี้ วธิ ีทา x   x n  20 19  20  22  27 5  21.6 ดงั น้ัน อายุเฉลย่ี ( ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ) ของนิสิตกลุ่มนี้ คอื 21.6 ปี

1. ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( x) กรณีท่ี 2 ถ้าข้อมูลมีการแจกแจงความถี่ วธิ ีตรง x  f1x1  f 2 x2  f3 x3  ...  f n xn n n  fi xi x  i1 n x   fx n

ตัวอย่างท่ี 2 ในการสอบวชิ าสถติ ขิ องนักเรียนกลุ่มหน่ึง 30 คน ปรากฏผลดงั นี้ คะแนน 19 18 17 16 15 จานวนนักเรียน 2 4 13 8 3 วธิ ีทา จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ ( คะแนนเฉลย่ี ) ของคะแนนสอบ คะแนน ( x ) จานวนนักเรียน ( f ) fx x   fx 19 2 38 n 18 4 72  504 17 13 221 30 16 8 128  16.8 15 3 45 รวม N = 30  fx  504 ดงั น้ัน คะแนนเฉลย่ี ในการสอบ คอื 16.8 คะแนน

1. ค่าเฉลยี่ เลขคณิต ( x) กรณที ี่ 2 ถ้าข้อมูลมกี ารแจกแจงความถี่ วธิ ีลดั   fd    x  a   N  I a = ค่ากลางสมมติ โดยค่านีใ้ ห้เลอื กจากจุดกง่ึ กลางของช้ันใดช้ันหนึ่งกไ็ ด้ แต่นิยม ใช้จุดกงึ่ กลางของช้ันทมี่ คี วามถส่ี ูงสุด หรือ จุดกง่ึ กลางของช้ันทอี่ ยู่ตรงกลางของอนั ตรภาคช้ันท้งั หมด

ตวั อย่างที่ 2 ในการสอบวชิ าสถติ ขิ องนักเรียนกลุ่มหน่ึง 30 คน ปรากฏผลดงั นี้ คะแนน 19 18 17 16 15 จานวนนักเรียน 2 4 13 8 3 วธิ ีทา จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( คะแนนเฉลยี่ ) ของคะแนนสอบ x fd fd x a   fd  I 15 3 -2 -6    N  16 8 -1 -8  17   6  (1) 17 13 0 0  30  18 4 1 4 19 2 2 4  17  (0.2) รวม N = 30  fd  6  16.8

1. ค่าเฉลย่ี เลขคณิต ( )x การหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวมหลาย ๆ กล่มุ x  n1 x1  n2 x 2  ...  nk x k n1  n2  ...  nk เมื่อ ni คือ จำนวนขอ้ มลู ของแต่ละกลุ่ม xi คือ ค่ำเฉล่ียเลขคณิตของแต่ละกลุ่ม

ตัวอย่างท่ี 3 นักเรียนห้องหน่ึงเป็ นชาย 10 คน หญงิ 10 คน นักเรียนชาย มสี ่วนสูงเฉลยี่ 160 ซม. นักเรียนหญงิ มสี ่วนสูงเฉลย่ี 150 ซม. จงหาส่วนสูงเฉลย่ี ของนักเรียนท้งั ห้อง วธิ ีทา จากโจจาทนย์วจนะไดน้ ร. ช = 10  x  n1 x1  n2 x2  ...  nk xk n1 คนจานวน นร. ญ = 10 n1  n2  ...  nk n2 คน  10(160) 10(150 ) ส่วนสูงเฉลยี่ นร. ช = 160 10 10 x1  ส่วนสูงเฉลย่ี นร. ญ = 150 x2  = 155 ดงั น้ัน ส่วนสูงเฉลย่ี ของนักเรียนท้งั ห้อง คอื 155 ซม.

1. ค่าเฉลย่ี เลขคณติ ( x ) การหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ แบบถ่วงนา้ หนัก x  w1x1  w2 x2  ...  wn xn w1  w2  ...  wn เม่ือ wi คอื นา้ หนักของข้อมูล xi

ตวั อย่างที่ 4 ผลการสอบคร้ังหน่ึงของนักเรียนคนหน่ึง เป็ นดงั นี้ รายวชิ า หน่วยการเรียน ระดบั คะแนนทสี่ อบได้ ภาษาไทย 23 ภาษาองั กฤษ 32 คณติ ศาสตร์ 44 จงหาระดบั คะนนเฉลยี่ ของนักเรียนคนนี้ วธิ ีทา x  w1x1  w2 x2  ...  wn xn w1  w2  ...  wn  2(3)  3(2)  4(4) 234  28  3.11 9

2. มธั ยฐาน ( Median ) กรณที ี่ 1 ถ้าข้อมูลไม่เป็ นอนั ตรภาคช้ัน ตาแหน่งมัธยฐาน คอื ตาแหน่งที่ n 1 2 ( ข้อมูลต้องเรียงจากมากไปหาน้อย หรือน้อยไปหามาก ) ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง n + ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง n + 1 กรณที ่ี n เป็ น คู่ Me = 2 2 2 กรณที ่ี n เป็ น ค่ี Me = ข้อมูลทอ่ี ยู่ตาแหน่ง n 1 2

ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดข้อมูลเป็ น 7 , 4 , 8 , 3 , 2 จงหามัธยฐาน 5 8 วธิ ีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากจะได้ ( n = 5 ) ตาแหน่งท่ี 1 2 3 4 ข้อมูล 2 3 4 7 กรณที ่ี n เป็ น ค่ี Me = ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง n 1 2 = ข้อมูลทอ่ี ยู่ตาแหน่ง5 1  3 2 Me = 4

ตวั อย่างที่ 6 กาหนดข้อมูลเป็ น 5 , 9 , 4 , 7 , 10 , 2 จงหามัธยฐาน วธิ ีทา เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากจะได้ ( n = 6 ) 6 10 ตาแหน่งท่ี 1 2 3 4 5 ข้อมูล 2 4 5 7 9

ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง n + ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง n + 1 กรณที ี่ n เป็ น คู่ Me = 2 2 2 ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง 6 + ข้อมูลทอี่ ยู่ตาแหน่ง 6 + 1 Me = 2 2 2 Me = ข้อมูลทอ่ี ยู่ตาแหน่ง 3 + ข้อมูลทอ่ี ยู่ตาแหน่ง 4 2 Me = 5  7 2 ดงั น้ัน Me = 6

2. มธั ยฐาน ( Median ) กรณที ี่ 2 ถ้าข้อมูลอยู่ในรูปอนั ตรภาคช้ัน Me   N  fL  I L 2   f M 

เมือ่ L = ขอบล่างของอนั ภาคช้ันทมี่ มี ัธยฐานอยู่ N = จานวนข้อมูล N = ตาแหน่งของมัธยฐาน 2  fL = ผลรวมของความถ่ีของอนั ตรภาคช้ันทม่ี ีค่าต่ากว่า อนั ตรภาคช้ันทมี่ ีมัธยฐานอยู่ fM = ความถี่ของอนั ตรภาคช้ันที่ Me อยู่ I = ความกว้างของอนั ตรภาคช้ันที่ Me อยู่

ตัวอย่างท่ี 7 จากตารางแจกแจงความถ่ีของคะแนนสอบของนกั เรียน 40 คน จงหามัธยฐาน คะแนน จานวนนักเรียน ( f ) ความถีส่ ะสม 11 – 20 5 5 21 – 30 7 12 31 – 40 12 24 41 – 50 11 35 51 – 60 5 40 วธิ ีทา ตาแหน่งมัธยฐาน = n 2 = 40  20 2 ดงั น้ัน มธั ยฐานจะอยู่ในอนั ตรภาคช้ัน 31 – 40

จากสูตร Me   N  fL  I L 2   f M  L = 30.5  30.5   20 12 10  12  I = 10 fM = 12  30.5   8 10 12   fL = 5 + 7 = 12  30.5  6.67  37.17

3. ฐานนิยม ( Mode ) ฐานนิยม คอื ค่าสังเกตทม่ี ีความถสี่ ูงสุด กรณที ี่ 1 กรณขี ้อมูลไม่ได้จดั เป็ นอนั ตรภาคช้ัน ตัวอย่างที่ 8 คะแนนสอบรายจุดประสงค์ของนักเรียน 40 คน เป็ นดงั นี้ คะแนน 0 1 2 3 4 5 จานวนนักเรียน 3 2 10 20 3 2 ฐานนิยมคะแนนสอบ คอื 3

ข้อสังเกต 1. ถ้าแต่ละค่าสังเกตมคี วามถี่เท่ากนั ท้งั หมด ถอื ว่าไม่มีฐานนิยม เช่น ข้อมูล 4 9 12 8 ไม่มฐี านนิยม ข้อมูล 8 7 7 10 10 8 ไม่มฐี านนิยม 2. ฐานนิยมอาจมคี ่ามากกว่าหนึ่งจานวนกไ็ ด้ เช่น ข้อมูล 7 2 4 6 4 8 7 ฐานนิยมคอื 7 และ 4

กรณที ่ี 2 กรณที ขี่ ้อมูลถูกจดั เป็ นอนั ตรภาคช้ัน เลอื กอนั ตรภาคช้ันทม่ี ีความถส่ี ูงสุด แล้วจงึ ใช้สูตร Mo  L   d1 d1  I  d2 เม่ือ L คอื ขอบล่างของอนั ตรภาคช้ันทมี่ ีความถสี่ ูงสุด ( ช้ันที่ Mode ตกอยู่ ) d1 คอื ผลต่างของความถ่ขี องอนั ตรภาคช้ันที่ Mode ตกอยู่ และอนั ตรภาคช้ันทตี่ า่ กว่าซึ่งอยู่ตดิ กนั d2 คอื ผลต่างของความถ่ีของอนั ตรภาคช้ันที่ Mode ตกอยู่ และอนั ตรภาคช้ันทสี่ ูงกว่าซึ่งอยู่ตดิ กนั

ตวั อย่างท่ี 9 จากตารางแจกแจงความถต่ี ่อไปนี้ จงหาฐานนิยม อนั ตรภาคช้ัน ความถ่ี ( f ) 5–9 3 10 – 14 7 15 – 19 10 20 – 24 8 25 – 29 2 ( 1 ) ตารางนี้ มคี วามกว้างเท่ากนั ( 2 ) ช้ันท่ี 3 ( ช่วงคะแนน 15 – 19 ) มคี วามถสี่ ูงสุด ดงั น้ัน ฐานนิยมจะอยู่ในช้ันนี้

( 2 ) ซ่ึงถ้าหาค่าอย่างคร่าว ๆ ( ค่าฐานนิยมโดยประมาณ ) แล้ว Mode = จุดกงึ่ กลางของช้ันนี้ = 15 19 2 = 17 ( ค่าประมาณ ) ( 3 ) ถ้าต้องการหาค่าทถี่ ูกต้อง ต้องหาจากสูตร Mo  L   d1 d1  I  d2

อนั ตรภาคช้ัน ความถ่ี ( f ) d1  10  7  3 5–9 3 d2  10  8  2 10 – 14 7 15 – 19 10 20 – 24 8 25 – 29 2 L = ขอบล่างของช้ันที่ 3 = 14.5 d1  f3  f2  10  7  3 f3 = ความถขี่ องช้ันที่ 3 d2  f3  f4  10  8  2 f2 = ความถขี่ องช้ันที่ 3 I = ความกว้างของช้ันที่ 3 = 19.5 - 14.5 = 5

ดงั น้ัน Mo  L   d1 d1  I  d2  14.5   3 3 2  5     17.5

4. ค่าเฉลยี่ ฮาร์มอนิก ให้ x1, x2 ,... , xn เป็ นข้อมูลทมี่ คี ่าเป็ นบวก H.M. = N 1  1  1  ...  1 x1 x2 x3 xn = N  1 x

ตวั อย่างที่ 10 ขบั รถด้วยความเร็ว 80 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง ข ขบั รถด้วยความเร็ว 100 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง และ ค ขบั รถด้วยความเร็ว 120 กโิ ลเมตร ต่อชั่วโมง ถ้า H.M. คอื ค่าเฉลย่ี ฮาร์มอนิกของข้อมูลชุดนี้ วธิ ีทา จะได้ H.M. = 3 1 1  1 80 100 120 = 97.30 กโิ ลเมตร / ชั่วโมง

5. ค่าเฉลยี่ เรขาคณติ ให้ x1, x2 ,... , xn เป็ นข้อมูลทมี่ คี ่าเป็ นบวก G.M. = n x1x2 x3...xn log 1 N G.M .  N log xi i 1

ตวั อย่างที่ 11 ถ้าครอบครัวหนึ่งมีบดิ ามอี ายุ 60 ปี ภรรยาอายุ 30 ปี บุตร 4 คน มีอายุ 12 , 10 , 8 , 1 ปี ตามลาดบั ถ้า G.M. คอื ค่าเฉลย่ี เรขาคณติ ของอายุของบุคคลในครอบครัวนี้ วธิ ีทา ข้อมูล 60 , 30 , 12 , 10 , 8 , 1 จากสูตร log 1 n  log G.M .  n log xi G.M .  1 6 6 i 1 log xi i 1  log 60  log 30  log12  log10  log 8  log1 6  1.7782 1.47711.0792 1 0.9031 0 6 log G.M.  1.0396 G.M .  101.0396 ดงั น้ัน G.M. = 11.45 ปี

6. ค่ากง่ึ กลางพสิ ัย ค่ากงึ่ กลางพสิ ัย = xmax  xmin 2

ตวั อย่างท่ี 12 จากข้อมูลจงหาค่ากง่ึ กลางพสิ ัย 2 , 4 , 6 , 8 , 10 วธิ ีทา ค่ากง่ึ กลางพสิ ัย = 10  2 2 ค่ากง่ึ กลางพสิ ัย = 6

x