ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก

39 2.1เสถียรภาพของจดุ สมดุลท่ีไมม่ ีโรค โดยการตรวจสอบว่าคา่ ลกั ษณะเฉพาะของจาโคเบียน เมทริกซ์ ณ สภาวะไม่มีโรค (E0 ) ซึ่งจะได้สมการลักษณะเฉพาะและได้ค่าลักษณะเฉพาะของจาโคเบียน เมทริกซ์สอดคล้องกับเงื่อนไขของ Routh − Hurwitz Criteria โดยลักษณะเฉพาะทุกค่าต้องเป็นลบจึง สอดคล้องตามเงอื่ นไข R0  1 ซงึ่ สามารถคำนวณได้จากโปรแกรมสำเร็จรูป Maple18 2.2เสถียรภาพของจุดสมดุลที่มีโรค โดยการตรวจสอบว่าค่าลักษณะเฉพาะของจาโคเบียน เมทริกซ์ ณ สภาวะที่มีโรค (E0 ) จะได้สมการลักษณะเฉพาะจาก det ( J − I ) = 0 ซึ่งค่าสัมประสิทธ์ิ ของสมการลักษณะเฉพาะเป็นลบและสอดคล้องตามเงื่อนไขของ Routh − Hurwitz Criteria สำหรับ ค่าทไี่ ดต้ ามเกณฑ์ R0  1สามารถคำนวนได้จากโปรแกรมสำเร็จรูป Maple18 3.3.3การวิเคราะห์เชิงตัวเลขของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของผลกระทบของปริมาณ นำ้ ฝนทมี่ ีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมอื เทา้ ปาก การศึกษาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ของ ของผลกระทบของ ปรมิ าณนำ้ ฝนที่มีผลต่อตวั แบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก มดี ังน้ี 1. การหาค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่ทำให้จุดสมดุลที่ไม่มีโรค (Disease Free Equilibrium point : E0) และจุดสมดุลที่มีโรค (Endemic Free Equilibrium Point:E1) ทำให้ ระบบเปน็ Local asymptotically stable ของจุดสมดลุ ซง่ึ เป็นการหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จา โคเบียน ต้องมีค่าลักษณะเฉพาะทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขของ Routh − Hurwitz Criteria 2. การใช้โปรแกรม Maple18 เพื่อนำค่าพารามิเตอร์มาหาคำตอบเชิงตัวเลขของระบบ สมการเชิงอนพุ ันธ์ 3. นำผลการคิดคำนวณและนำเสนอในรปู ของกราฟจากโปรแกรม Maple18 4. นำผลกราฟมาแปลความหมายพร้อมสรปุ ผลอภปิ ลายผล รวมทั้งจดั ทำรปู เลม่ รายงาน

40 บทที่ 4 ผลการวิเคราะห์ขอ้ มูล ในบทนี้เป็นการแสดงผลการวิเคราะห์ข้อมูลของตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ผลกระทบของปริมาณ น้ำฝนที่มผี ลต่อตัวแบบสำหรบั โรคมอื เทา้ ปาก โดยหาคำตอบจากการวิเคราะหต์ ัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์จา การศึกษาจุดสมดลุ ของระบบ (Equilibrium Point) ระบบเสถยี รภาพของจดสมดุล ท้งั จดุ สมดุลท่ีไม่มีโรค (Disease Free Equilibrium Point : E0) และจดุ สมดุลท่มี ีโรค (Endemic Free Equilibrium Point :E1 ) และหาคำตอบจากการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อสนับสนุน คำตอบของสมการ 4.1. การสรา้ งตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มผี ลต่อตวั แบบสำหรับโรค มอื เท้า ปาก ในการกำหนดปัญหาซึ่งสมมติให้ N แทนจำนวนประชากรทั้งหมด ซึ่งแบ่งประชากรออกเป็น 4 กลุ่มคือ กลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ (S ) กลุ่มประชากรที่ติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ (E) กลุ่มประชากรที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อได้ (I ) และกลุ่มประชากรที่หายจากการติดเชื้อ (R) ดังภาพท่ี 4.1 ภาพท่ี 4. 1 แผนภาพแสดงผลกระทบของปริมาณนำ้ ฝนท่ีมีผลตอ่ ตัวแบบสำหรบั โรคมือ เท้า ปาก

41 ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก เป็นตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ SEIR (Model :Sudceptible − Exposed − Infectious − Re covered) ทมี่ ีสมการดงั นี้ dS = bN − g (T )  SI − S +  R (1) (2) dt (3) (4) dE = g (T )  SI − E − E dt dI =  E − I −  I dt dR =  I − R −  R dt โดยที่ N = S + E + I + R เมื่อ S (t) แทน ประชากรท่เี สย่ี งต่อการตดิ เช้ือ ณ เวลา t ใด ๆ E (t) แทน ประชากรท่ีตดิ เชอ้ื แต่ไม่สามารถแพรเ่ ชอ้ื ได้ ณ เวลา t ใด ๆ I (t) แทน ประชากรทตี่ ดิ เชอื้ และแพร่เช้ือได้ ณ เวลา t ใด ๆ R(t) แทน ประชากรทหี่ ายจากการตดิ เช้ือ ณ เวลา t ใด ๆ b แทน อัตราการเกดิ ของประชากร N แทน จำนวนประชากรทัง้ หมด  แทน อตั ราการแพร่เช้ือ  แทน อตั ราการฟักตวั ของโรคมอื เทา้ ปาก  แทน อตั ราการฟนื้ ตวั ของประชากร  แทน อตั ราการฟ้นื ตัวของประชากรทส่ี ามารถกลับมาเป็นประชากรที่เสย่ี งต่อการตดิ เช้ือ  แทน อตั ราการตายโดยธรรมชาตขิ องประชากร g (T ) แทน ปริมาณน้ำฝน

42 สมมตใิ หจ้ ำนวนประชากรทัง้ หมดคงท่ี นัน่ คือ dN = 0 และ N = S + E + I + R dt N =S+E+I+R dN = dS + dE + dI + dR dt dt dt dt dt 0 = (bN − g (T )  SI − S +  R) + ( g (T )  SI − E − E ) + ( E − I −  I ) + ( I − R −  R) 0 = bN − g (T )  SI − S +  R + g (T )  SI − E − E +  E − I −  I +  I − R −  R 0 = bN − S − E − I − R 0 = bN −  (S + E + I + R) bN =  (S + E + I + R) bN =  N b= 4.2. การวเิ คราะห์ตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ 4.2.1.คุณสมบัตพิ ้นื ฐานของแบบจำลอง สำหรบั จุดสมดลุ (S,E, I, R) สามารถหาไดจ้ ากการจัดสมการ (1) − (4)ให้เทา่ กับศนู ย์ จากสมการ (1) จะได้ bN − g (T )  SI − S +  R = 0 −g (T )  SI − S = −bN −  R g (T )  SI + S = bN +  R ( g (T )  I +  ) S = bN +  R S = bN +  R  g (T )  I +

43 จากสมการ (2) จะได้ g (T )  SI − E − E = 0 − E − E = −g (T )  SI E + E = g (T )  SI ( + ) E = g (T )  SI (  +  ) E = g (T )   g bN +  R   I   I +  (T ) ( + ) E = g (T )  I (b + R) g (T )  I +  E = 1  g (T )  I (bN +  R )  +  g (T )  I +   (   ) E = ( g (T )  I (bN +R) ) g (T )  +)( I + จากสมการ (3) จะได้ E −I − I = 0 − I −  I = − E I + I =E ( + )I =E ( +  ) I =   g (T )  I (bN +  R) )    ( + )(g (T )  I +  ( + )I =   g (T )  I (bN + R)   1 I  ( +   I  )(g (T )  I +) (  +  ) = (  g (T )  (bN +  R) )  + (T )  I +  )(g g (T )  I +  =  g (T )  (bN +  R ) )( + ) (  + g (T )  I =  g (T )  (bN +  R) −  ( +)( + ) I =  1   g (T )  (bN +  R) −      ( +)( + )  g (T ) 

44 จากสมการ (4) จะได้  I −R−R = 0 − R −  R = − I R+R = I ( +)R =I R = ( I )  + ดังนัน้ S = bN +  R , E = ( g (T )  I (b +  R) ) , g (T )  I +   + )(g (T )  I +  I  1    g (T ) (b + R ) −   , R= I =    ( + ) ( +  g (T )  ) ( +) ซึ่งสามารถนำคา่ S, E, I และ R ไปหาจดุ สมดุลของโรคนี้ได้ดังน้ี 1. จดุ สมดุล 1.1. จุดสมดุลทไี่ ม่มีโรค (E0 ) จดุ สมดลุ ท่ไี ม่มโี รค จะเป็นกรณีท่ีไมม่ โี รค น่นั คือ E = 0, I = 0 จาก S = bN +  R  แทนค่า R = ( I ) จะได้ S =  g (T ) 1 I +    +   ( I )    +     bN   +   g (T )  I + แทนค่า I = 0 จะได้ S =  g (T ) 1 +   +    (0)  =  1  ( b ) = bN    bN  +)       (0) ( แทนค่า b =  จะได้ S = bN = N  จาก R = I ) แทนคา่ I = 0 จะได้ R = (  (0) ) = 0  ( + + ดงั นน้ั จดุ สมดุลที่ไมม่ โี รค ( E0 ) คอื E0 (S, E, I, R) = E0 (N,0,0,0)

45 1.2. จดุ สมดลุ ที่มีโรค (E1) จดุ สมดลุ ท่ีมโี รค จะเปน็ กรณีท่ีมโี รค น่นั คอื E*  0, I*  0 จะได้ S* = bN +  R* g (T )  I* +  bN  I* )I* g (T )  I* +  ( )S*= (T + g +  ( +)  I* ( ) ( )S* = bN ( + ) + g (T )  I* +  ( +  ) g (T )  I* +  ( +  ) ( )S* = bN ( +  ) +  I* g (T )  I* +  ( +  ) ( )g (T )  I* bN +  R* E* = ( )( + ) g (T )  I* +  ( )g (T )  I* bN ( +  ) +  I* E* = ( )( + ) g (T )  I* +  ( +  ) ( )I*  R*     g (T )  bN +   1 ( + + )  = g   )( −  (T )    I* =  1    g (T )   bN ( +  ) +  I*  −      )( +  ( +)   g (T )   ( +  )      ( )I*      g (T ) bN ( +  ) +  I*   1 ( )( + )( +)  = g   + −  (T )    R* = (  I* )  +

46 จาก I* =  1    g (T )  (bN + R* ) −   แทนค่า R* =  I*    ( +  +  g (T )   )( )  ( +) จะได้   g (T )   +   I*      bN     I * =  1    (  +  )  −       g (T )   ( +)( + )    I* =  g (T ) bN + g (T )  I * ) − g   g (T )  ( + )( + )( + (T ) I* = g (T )   g (T ) bN )( + ) + g (T )  g (T )  I * + ) − g  +)( + ( +)( + )( ( (T ) I * −  g (T )  I * =  g (T ) bN −  ( + )( + +)( + g (T )  )( +  ) g (T )  ( )( +  ) g (T )  I* (g (T ) ( + )( + )( + )) − g (T )  * =  g (T ) bN −  ( +)( + g (T ) ( + )( + )( + ) I (T ) g (T ) )( + ) g I* (g (T )  ( +)( + )( + ) − g (T )  ) =  g (T ) bN −  g (T )  ( + )( +  )( +) ( +)( + g (T ) )( + ) g (T ) I * =   g (T ) bN −    g (T )  (  +)( + )( +)    + )( +    ( +  ) ( + )( + ) − g (T  g (T )  ( ) (  +  ) g (T )  ( g (T ) )  )   g (T ) bN ( g (T )  ( + )( +  )( +  ))    I * =  g (T ) ( + )( + )( + )(g (T ) ( + )( + )(  +  ) −  g (T )  )   − g (T )   ( g (T ) ( + )( + )( + )  )   g (T )  ( + )( + )( + ) − g (T )  I* = g  g (T ) bN −  ( +)( + )( +) (T )  ( + )( + )( +  ) − g (T )  ดงั น้ันจุดสมดลุ ทม่ี โี รค ( E1 ) คอื E1 (S*, E*, I*, R*) = (S*, E*, I*, R*)

47 4.2.2. ค่าระดบั การตดิ เชอื้ R0 การหาคา่ ระดับการตดิ เช้อื จะใชว้ ธิ ี next generation โดยการเขียนสมการ (5) − (7) ในรูปเมทริกซ์ จะได้ dX = F (X ) −V (X ) dt เมือ่ F(X )เป็นเมทรกิ ซ์ทีแ่ ต่ละสมาชิกไม่มีคา่ เปน็ ลบซ่ึงแสดงถึงผ้ปู ่วยรายใหม่ และ V(X ) เป็นเมทรกิ ซ์ ทเ่ี หลือจากการแยก F(X ) จะได้ S   0  −bN + g (T )  SI + S −  R       dX  E   g (T ) SI   E +E  dt =  I  , F ( X ) =   , V ( X ) =  − E + I +  I  0        R   0   − I + R +  R  หา Jacobian Matrix จาก F(X ) และV (X ) แสดงโดย DF(X ) = F และ DV (X ) =V จะได้  0  0  0  0   0   0 F =  g (T )  I  , F = 0 , F =  g (T )  S  , F = 0 S   E I  R  0  0  0     0 0  0  จะได้  0 0 0 0  0 F ( X ) =  g (T )  I 0 g (T ) S 0  0  0 0 0  0 0 0 และ g (T )  I +  0 g (T )  S   −          V  0  V +   V  0  V = 0  S =  0  , E = , I =   +  , R −0   −          0  0   −  +  

48 จะได้ g (T )  I +  0 g (T )  S −    +   0 − 0 0  V ( X ) =  0  + 0 − 0   0  +   หาค่า F ( E0 ) และ V ( E0 ) จาก E0 (S, E, I, R) = E0 ( N,0, 0, 0) จะได้ 0 0 0 0  0 g (T )  N −    F(X ) = 0 0 g (T )  N 0 และ V ( X ) =  0  + 0 0   0 −  + 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0  −  +   หาV −1 จะได้ พจิ ารณา det(V (E0)) =  ( +  )( +  )( +  ) และ ( + )( +  )( +  ) − (( +  ) g(T ) N −  ) − ( +  )(( +  ) g(T ) N −  ) ( +  ) ( +  )   ( + )( + )  0  ( +  ) 0 0  adj (V (E )) =  0   ( + )( + ) 0 0  ( +  )   ( +  )( +  ) 0

49 จะได้  1  (( +  ) g(T )N  −  ) − ( + ) g(T )N −     +)   −  ( +  )( +  )( +  )  ( ( + )  ( +  )   1  0  + 0  0    V −1 ( E0 ) = 1  ( +  )( +  )  + 0 0        ( +  )( +  )( +  ) ( + )( + ) 1   0  +   หา FV −1 ( E0 ) จะได้ 0 0 0 0  g(T )N  g(T )N   0 FV −1 ( E0 ) =  ( +  )( +  )  + 0   0 0 0 0 0 0 0 0 หารศั มสี เปกตรัมของ FV −1 (E0 ) แทนดว้ ย  (FV −1 (E0 )) พิจารณา 0 0 0 0  g(T )N  g(T )N   1 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 FV −1(E0 ) −I =  ( +  )( +  )  +  −  1 0  0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 − 0 0 0 g(T )N   g(T )N   0  + 0 = ( +  )( +  ) −  −  0  0 0 0     0 −  0

50 ( ) ( )3 g(T ) N − − − 2 ( )det FV −1 ( E0 ) − I = − ( +  )( +  ) จะได้สมการลกั ษณะเฉพาะ คือ 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 2 g(T )N  +  +  +  พจิ ารณา (FV −1(E0 )) = max 1 , 2 , 3 , 4   g(T )N   = max  0 , 0 , 0 , 2 +  +  +     = max 0, 0, 0,  2 g(T ) N     +  + +   = g(T )N   2 +  +  +  จะได้  ( FV −1(E0 )) = R0 = 2 g(T )N  เปน็ ค่าระดับการตดิ เช้ือ +  + +

51 4.2.3. จดุ เสถียรภาพ (Local Stability) 1. ความเสถยี รภาพท่ีจดุ สมดุลทไี่ มม่ โี รค พจิ ารณาความเสถียรภาพของระบบ (Stability of systems) ทจี่ ดุ E0 ( N,0,0,0) จากระบบสมการ (1) − (4)ซึ่งสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์จาโคเบยี น J0 ไดด้ งั นี้ จาก dS = bN − g (T )  SI − S +  R (1) (2) dt (3) (4) dE = g (T )  SI − E − E dt dI =  E − I −  I dt dR =  I − R −  R dt เขยี นเปน็ เมทริกซ์ จะได้ b − g (T )  SI − S +  R    g (T )  SI − E − E  J 0 ( x ) =   E −I −I     I −R−R  หาจาโคเบยี นเมทริกซ์ จะได้ −g (T )  I −  0 −g (T )  S      −      J  g (T )  I  , J −   , J  g (T )  S  J  0  S =   E = I =   , R =  0  0   − −      −  0  0     −   จะได้ −g (T )  I −  0 −g (T )  S   − − g (T )  S   g (T )  I 0  J ( x ) =   − − 0 0 0 0   − −   0 

52 พิจารณาท่จี ุด E0 (N,0,0,0) จะได้ − 0 −g (T )  N   − − g (T )  N  J0 ( E0 ) =  0 0   0  − −  0 0 0   − −   คา่ ลกั ษณะเฉพาะของ J0 สามารถหาจาก J0 − I = 0 โดยพจิ ารณา − 0 −g (T )  N   1 0 0 0   0 0  0 − − g (T )  N 0  0 1 0 0 J0 −I =  0  0  −  0 1 1 − −   0 0 0 0 0  − −   − −  0 −g (T )  N   − − −  g (T )  N   0 0  =  0  − − −  0 0    0 − −  −   จะได้ ( )det J0(E0) − I = ( −  − )−3 − (3 +  +  +  )2 − (2 + 2 + 2 +  −g(T) N + +  ) − 3 − 32 −  2 −  2 − 2 − − −  − + ( +  )g(T) N  พิจารณาสมการลักษณะเฉพาะ det(J0(E0 )− I ) = 0 จะได้ ( −  − )− 3 − (3 +  +  + )2 − (2 + 2 + 2 +  + + −g(T) N ) −(3 +32 +2 +2 +2 ++++ − ( +  )g(T) N ) = 0 ( +  )− 3 − (3 +  +  + )2 − (2 + 2 + 2 +  + + −g(T) N ) −(3 +32 +2 +2 +2 ++++ − ( +  )g(T) N ) = 0 ดงั นั้น ( + ) = 0 หรือ −3 − (3 +  +  + )2 − (2 + 2 + 2 +  + + −g(T) N ) −(3 +32 +2 +2 +2 ++++ − ( +  )g(T) N ) = 0

53 จากสมการลกั ษณะเฉพาะจะเห็นวา่ 1 = −  0 และค่าลักษณะเฉพาะทีเ่ หลือจะตรวจสอบ ความสเถียรภาพโดยการทดสอบรากลบของสมการลักษณะเฉพาะ 1 = − , 2 = − −  , 3 = − 1 − 1 −  + 1 4N g(T ) + 4N +  2 − 2 +  2 , 2 2 2 4 = − 1 − 1 −  − 1 4N g(T ) + 4N +  2 − 2 +  2 2 2 2 ดังน้ันคา่ ลักษณะเฉพาะท้ังหมดไดม้ าจากระบบสมการ (1) − (4)จะมสี ่วนจรงิ เป็นลบ 2. ความเสถยี รภาพทีจ่ ุดสมดลุ ทไี่ มม่ ีโรค พจิ ารณาความเสถียรภาพของระบบ (Stability of systems) ทีจ่ ุด E1 (S*, E*, I*, R*) = (S*, E*, I*, R*) จากระบบสมการ (1) − (4) ซง่ึ สามารถเขยี นเป็นเมทริกซ์จาโคเบียน J1 ได้ ดังน้ี จาก dS = bN − g (T )  SI − S +  R (1) (2) dt (3) (4) dE = g (T )  SI − E − E dt dI =  E − I −  I dt dR =  I − R −  R dt เขียนเป็นเมทริกซ์ จะได้ bN − g (T )  SI − S +  R    g (T )  SI − E − E  J1 ( x ) =   E −I −I     I −R−R 

54 หาจาโคเบยี นเมทรกิ ซ์ จะได้ −g (T )  I −  0 −g (T )  S      −      J  g (T )  I  , J −   , J  g (T )  S  , J = 0  S =   E = I =   0   − − R  0       −  0  0     −   จะได้ −g (T )  I −  0 −g (T )  S   − − g (T )  S   g (T )  I 0  J1 ( x ) =   − − 0 0 0    0 − −   พจิ ารณาทจ่ี ุด E1 (S*, E*, I*, R*) = (S*, E*, I*, R*) จะได้ −g (T )  I* −  0 −g (T )  S*   − − g (T )  S*   g (T )  I* 0  J1 ( E1 ) =   − − 0 0 0    0 − −   ค่าลกั ษณะเฉพาะของ J1 สามารถหาจาก J1 − I = 0 โดยพจิ ารณา −g (T )  I* −  0 −g (T )  S*   1 0 0   0 1 0  g (T )  I* − − g (T )  S* 0  0 0 1 J1 − I =   0  −  0 0 − − − −   0     −g (T )  I* −  −  0 −g (T )  S*   − − −  g (T )  S*   g (T )  I* 0  =   − − −  0 0 0    0 − −  −  

55 จะได้ ( )det ( J1(E1) − I ) = 4 +  + + +4+g(T) I * 3+ 6 2 + + +3+ +3+3 + ( + + +3 ) g(T) I * − g(T) S*   2 + 43 +3 2 +3 2 +3 2 ( )+2+2+2+ + 3 2 + +2+2+ + +2 g(T) I* ( )− ( + 2 ) g(T) S*  +   2 + 2 + 2 +3 +++ g(T) I * ( )−  +  2 g(T) S* + 4 +3 +3 +3 + 2 + 2 + 2 +  พิจารณาสมการลักษณะเฉพาะ det(J1(E1)− I)= 0 จะได้ 4 + a3 + b2 + c + d เม่อื a =  + + +4 + g(T) I * b = 6 2 + + +3+ +3+3+ ( + + +3 ) g(T) I * − g(T) S* c = 43 +3 2 +3 2 +3 2 +2 +2 +2 + ( )+ 32 + +2+2+ + +2 g(T) I * − ( + 2 )g(T) S* ( ) ( )d = 3 + 2 + 2 + 2 +++ g(T) I * −  +  2 g(T) S* + 4 +3 +3 +3 + 2 + 2 + 2 + ซึ่งค่าลกั ษณะเฉพาะเหล่านั้นจะเป็นค่าลบเม่ือสมั ประสทิ ธ์ิ a,b,c,d สอดคล้องกับ Routh − Hurwitz criteria น่ันคือ 1) a  0 2) b  0 3) a (bc + ad ) − c2  0 ( )4) d −c2 + abc − a2d  0

56 สำหรับข้อ 1. จะเหน็ ว่า a =+ + +4 + g(T) I*  0 ต่อไปพิจารณาเง่ือนไขข้อ 2. จะเห็น ได้วา่ b จะเป็นจำนวนเตม็ บวกเมื่อ b = 62 + + +3+ +3+3+ ( + + +3 )g(T) I * − g(T) S*  0 ต่อไปพิจารณาเงือ่ นไขข้อ 3. a (bc + ad ) − c2  0 จะถูกต้องเม่ือ c = 43 + 32 + 32 + 2 + 32 + 2 + 2 +  + ( + 2 ) g(T ) S* ( )+  +  + 2 + + 2 + 2 + 32 g(T ) I*  0 และสำหรบั ข้อ 4. (d −c2 )+ abc − a2d  0 จะถกู ตอ้ งเม่ือ ( ) ( )d = 2 +2 +2 +3 +++ g(T) I* −  + 2 g(T) S* +4 +3 +3 +3 + 2 + 2 +2 + น่ันคอื ถ้าเงอ่ื นไขท้งั สามข้อเป็นดังทีก่ ลา่ วไว้ข้างต้นแสดงว่าสอดคล้อง Routh − Hurwitz criteria

57 4.3. การวเิ คราะหเ์ ชงิ ตวั เลข กำหนดค่าพารามเิ ตอรท์ ี่ใชใ้ นการจำลองเชงิ ตวั เลข ตารางท่ี 4.1 ค่าพารามเิ ตอร์ทีใ่ ช้จำลองเชิงตวั เลข พารามิเตอร์ คำอธบิ าย คา่ พารามเิ ตอร์ อา้ งอิง ระบบสถิตทิ างการทะเบียน b อัตราการเกิดของประชากรมนษุ ย์ 1 365 12.0613 สำนกั ระบาดวทิ ยาและ N จำวนประชากรทั้งหมด กรมวทิ ยาศาสตร์การแพทย์  อตั ราการแพรเ่ ช้ือ ต่อวัน (2561) 1,000 สำนกั ระบาดวิทยาและ  อตั ราการฟกั ตัวของโรคมอื เท้า กรมวิทยาศาสตร์การแพทย์ ปาก 1 (2561) 365 0.9827 สำนกั ระบาดวทิ ยาและ  อตั ราการฟนื้ ตวั ของประชากร กรมวิทยาศาสตร์การแพทย์ ต่อวนั (2561)  อัตราการเปล่ยี นแปลงจากกลุ่มท่ี chutima karaket, ฟื้นจากการติดเช้ือเปน็ กลุ่มเส่ียง 1 ตอ่ วัน Piyada Wongwiwat และ Surapol Naowarat(2558) ตอ่ การติดเช้ือ 4 เรอื่ งตัวแบบของโรคมือ เท้า ปาก ท่มี ีผลกระทบของการ  อตั ราการตายโดยธรรมชาติ 1 ตอ่ วัน รณรงค์การล้างมือ g (T ) ปริมาณน้ำฝน ระบบสถติ ิทางการทะเบยี น 10 กรมอุตนุ ิยมวทิ ยา 0.07 ต่อวัน  =b 0.01 ตอ่ วัน

58 4.3.1 ความเสถียรภาพของจดุ สมดุลท่ไี ม่มโี รค จากคา่ พารามเิ ตอร์ในตารางที่ 4.1 สามารถหาค่าลักษณะเฉพาะได้ จากสมการ ( −  − )− 3 − (3 +  +  + )2 − (2 + 2 + 2 +  + + −g(T) N ) −(3 +32 +2 +2 +2 ++++ − ( +  )g(T) N ) = 0 ซึง่ จะได้ 1 = −0.22715 , 2 = −0.63000 , 3 = −0.70227, 4 = −0.28745 และสามารถหาค่าระดับการติดเชือ้ R0 ได้โดย R0 = 2 g(T )N  +  + + = 0.04823 ดงั น้นั ค่าลกั ษณะเฉพาะ คือ 1 = −0.22715 , 2 = −0.63000 , 3 = −0.70227, 4 = −0.28745 และคา่ ระดับการตดิ เช้ือคอื R0 = 0.04823 1 เนอ่ื งจากคา่ ลักษณะเฉพาะมเี ป็นลบและคา่ ระดับการติดเชื้อมคี า่ น้อยกวา่ 1 ดังนน้ั จุดสมดุลท่ีไม่มี โรค(E0 ) มีความเสถียรภาพเฉพาะท่เี ชงิ เสน้ กำกับ ดังภาพท่ี 4.2

59 (a) (b) (c) (d) ภาพที่ 4.2 คำตอบเชิงตัวเลขแสดงความสัมพันธข์ อง (a) กลุม่ ประชากรที่เสย่ี งตอ่ การตดิ เชื้อ (b) กลุ่ม ประชากรที่ติดเช้ือแต่ไม่สามารถแพรเ่ ชือ้ ได้ (c) ประชากรที่ติดเช้อื และสามารถแพรเ่ ชอ้ื ได้ (d) กลุ่ม ประชากรท่หี ายจากการติดเชือ้ เทยี บกบั เวลา (t) ในสภาวะท่ีไม่มโี รค

60 4.3.2 ความเสถยี รภาพของจุดสมดุลท่ีมีโรค จากคา่ พารามเิ ตอรใ์ นตารางท่ี 4.1 จะมีการเปลย่ี นคา่ พารามเิ ตอรโ์ ดยให้ปรมิ าณน้ำฝน g (T ) = 0.33 สว่ นค่าพารามิเตอร์อื่น ๆ จะเหมือนดงั ตาราง 4.1 ซงึ่ สามารถหาคา่ ลักษณะเฉพาะได้จาก สมการ 4 + a3 + b2 + c + d = 0 เมื่อ a =  + + +4 + g(T) I * b = 6 2 + + +3+ +3+3+ ( + + +3 ) g(T) I * − g(T) S* c = 43 +3 2 +3 2 +3 2 +2 +2 +2 + ( )+ 32 + +2+2+ + +2 g(T) I * − ( + 2 )g(T) S* ( ) ( )d = 3 + 2 + 2 + 2 +++ g(T) I * −  +  2 g(T) S* + 4 +3 +3 +3 + 2 + 2 + 2 + พจิ ารณา S* = g bN +  R*  (T )  I* + = 109.03845 ( Nb g (T ) − −2 − 2 − 3 )( +  )( +  ) E* =  g (T )( + + +  +  +  +  2 ) = 126.44670 I* = E*  + = 315.40033 R* =  I *  + = 449.11452

61 ดงั นั้นจะได้ a =  + + +4 + g(T) I * = 0.25 + 0.07 + 0.1+ (4 0.00023) + (0.33 0.00279 315.40033) = 0.71109 b = 62 + + +3+ +3+3+ ( + + +3 )g(T) I* − g(T) S* ( )= 6 0.000232 +(0.25 0.07)+ (0.250.1)+ (30.250.00023)+ (0.07 0.00023) +(3 0.07 0.00023)+ (30.10.00023) + (( 0.25+0.07+0.1+3  0.00023)  0.33  0.00279  315.40033) − (0.33 0.00279 0.25109.03845) = 0.14678 c = 43 +3 2 +3 2 +3 2 +2+2+2+ ( )+ 32 + +2+2+ + +2 g(T) I * − ( + 2 )g(T) S* ( ) ( ) ( ) ( )= 4 0.000233 + 3 0.25 0.000232 + 3 0.07 0.000232 + 3 0.1 0.000232 + (2 0.25 0.07  0.00023) + (2 0.25 0.1 0.00023) + (2 0.07  0.1 0.00023) (( )+  ( 0.25  0.07  0.1) +  3 0.000232 + (0.07 0.1) + (2 0.07 0.00023) + (0.25 0.07) + (2 0.1 0.00023) + (0.25 0.1) + (2  0.00023)) 0.33 0.00279 315.40033 − (0.07 + 2 0.00023) 0.33 0.25 0.00279109.03845 = 0.01442 ( ) ( )d = 3+2 +2 +2 +++ g(T) I* −  + 2 g(T) S* +4 +3 +3 +3 + 2 +2 +2 + ( ( ) ( ) ( )=  0.000233 + 0.25 0.000232 + 0.070.000232 + 0.10.000232 +(0.25 0.07 0.00023) +(0.25 0.1 0.00023) +(0.070.10.00023))0.330.00279315.40033 ( )−  0.07 0.00023 + 0.000232  0.33 0.25 0.00279109.03845 ( ) ( ) ( ) ( )+0.000234 + 0.250.000233 + 0.07 0.000233 + 0.10.000233 + 0.25 0.07 0.000232 ( ) ( )+ 0.25 0.1 0.000232 +0 .070.10.000232 + (0.250.07 0.1 0.00023) = 0.3269010−5

62 พจิ ารณาสมั ประสิทธิ์ a,b,c,d พบว่า 1. a = 0.71109  0 2. b = 0.14678  0 3. a (bc + ad ) − c2 = 0.00131  0 ( )4. d −c2 + abc − a2d = 4.2349310−9  0 ดังนั้น เงอื่ นไขทงั้ ส่ีขอ้ สอดคล้อง Routh-Hurwitz criteria พจิ ารณา 4 + a3 + b2 + c + d = 0 4 + (0.71109)3 + (0.14678)2 + (0.01442) + (0.3269010−5 ) = 0 ซ่ึงจะได้ 1 = −0.12532+0.12477I , 2 = −0.00023 , 3 = −0.46023, 4 = −0.12532 − 0.12477I และสามารถหาค่าระดบั การติดเช้ือ R0 = 2 g(T )N  +  + + = 1.591830117 ดังน้นั คา่ ลกั ษณะเฉพาะ คือ 1 = −0.12532, 2 = −0.00023, 3 = −0.46023, 4 = −0.12532 และคา่ ระดับการตดิ เชื้อคือ R0 =1.591830117 1

63 เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะมเี ปน็ ลบและคา่ ระดบั การติดเชอ้ื มีคา่ มากกว่า 1 ดงั นั้นจุดสมดุลทม่ี ี โรค(E1) มคี วามเสถียรภาพเฉพาะที่เชงิ เสน้ กำกับ ดงั ภาพที่ 4.3 (e) (f) (g) (h) ภาพที่ 4.3 คำตอบเชิงตัวเลขแสดงความสัมพันธ์ของ (e) กลุ่มประชากรที่เสี่ยงต่อการติดเชื้อ (f) กลุ่ม ประชากรที่ติดเชื้อแต่ไม่สามารถแพร่เชื้อได้ (g) ประชากรที่ติดเชื้อและสามารถแพร่เชื้อได้ (h) กลุ่ม ประชากรทห่ี ายจากการติดเชอ้ื เทียบกับเวลา (t) ในสภาวะที่มโี รค ดังกราฟ จะเหน็ ได้วา่ คำตอบเชิงตวั เลข ของระบบจะลูเ่ ข้าส่จู ุดสมดุลทม่ี ีโรค E1 (109.03845,126.40370,315.42533,449.11452) ดงั ปรากฏ

64 บทที่ 5 สรปุ ผลและขอ้ เสนอแนะ การจัดการโครงงานครั้งนี้เป็นการศึกษาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์การระบาดโรคมือ เท้า ปาก ที่ ไดร้ ับผลกระทบจากปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อการแพรร่ ะบาด สามารถสรปุ สาระสำคัญและผลการศึกษา ได้ ดงั นี้ 5.1. สรุปผลการศกึ ษา การศึกษาตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์การระบาดโรคมอื เทา้ ปาก โดยการรณรงค์ให้ความรู้ สามารถ แบ่งกลุ่มประชากรออกเปน็ 4 กลุ่ม ได้แก่ กลุ่มประชากรที่เสีย่ งต่อการติดเช้ือ กลุ่มประชากรท่ีติดเชื้อแต่ ไม่สามารถแพรเ่ ช้อื ได้ กลุ่มประชากรทต่ี ิดเชอ้ื และสามารถแพรเ่ ชื้อได้ และกลมุ่ ประชากรทีห่ ายจากการติด เชื้อ ตามลำดับ ซึ่งผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบทางคณิตศาสตร์สำหรับโรคมือ เท้า ปาก ทไ่ี ด้สร้างขึ้นมรี ะบบสมการ ดังน้ี dS = bN − g (T )  SI − S +  R (1) dt dE = g (T )  SI − E −  E (2) dt dI =  E − I −  I (3) dt dR =  I − R −  R (4) dt โดยที่ N = S + E + I + R จากการวิเคราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์เชิงตัวเลขได้มีการทดสอบจุดสมดุล 2 จดุ คือ จุดสมดุลท่ไี ม่มีโรคและจุดสมดุลที่มีโรค ให้เป็นไปตามเง่ือนไขของ Routh – Hurwitz Criteria ซ่ึงมีผลการศึกษา ดงั นี้

65 1. จุดสมดุลท่ีไม่มโี รค (Disease Free Equilibrium point : (E0 )) จุดสมดุลที่ไม่มีโรค E0 (N,0,0,0) พบว่าค่าลักษณะเฉพาะทุกค่ามีส่วนจริงเป็นลบซึ่งสอดคล้อง กับ โดยเงื่อนไขของ Routh – Hurwitz Criteria และค่าระดับการติดเชื้อ R0 = 0.04823 1 ดังนั้นจุด สมดลุ ทีไ่ ม่มีโรค (E0 ) มีความเสถยี รภาพเฉพาะทเ่ี ชงิ เสน้ กำกบั 2. จุดสมดุลทมี่ โี รค (Endemic Free Equilibrium point : (E1)) จุดสมดุลที่มีโรค E1 (S, E, I, R) พบว่าสอดคล้องกับเงื่อนไขของ Routh – Hurwitz Criteria ซง่ึ จากการวเิ คราะหเ์ ชิงตัวเลข เมื่อพิจารณาอตั ราการถา่ ยทอดเชื้อ จะได้ E1 (109.03845,126.40370,315.42533, 449.11452) และค่าระดับการติดเชื้อ R0 = 1.591830117  1 ดังน้นั จดุ สมดุลท่ีมโี รค(E1) มีความเสถยี รภาพเฉพาะทเ่ี ชิงเสน้ กำกับซงึ่ สอดคล้องผลลพั ธเ์ ชิงทฤษฎี 5.2. อภปิ รายผล จากการศึกษาผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก มี วัตถุประสงค์เพื่อพัฒนาตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งมีการคำนวณค่าระดับการติดเชื้อโดยใช้วิธี Next Generation ซึ่งค่าระดับการติดเชื้อคือ R0 = 2 g(T )N  โดย R0 จะเป็นเงื่อนไขสำหรับการ +  +  +  ตรวจสอบความเสถียรภาพของตวั แบบผลการจำลองแสดงใหเ้ หน็ ว่าเม่ือปรมิ าณนำ้ ฝนเพม่ิ ขน้ึ คา่ ระดับการ ต ิ ด เ ช ื ้ อ จ ะ เ พ ิ ่ ม ข ึ ้ น เ ม ื ่ อ ม ี ป ร ิ ม า ณ น ้ ำ ฝ น เ ป ็ น 0.01, 0.16, 0.21แ ล ะ 0.33 ค ่ า R0 คื อ 0.04823, 0.77179, 1.01298 และ 1.59183 ตามลำดับ จะได้วา่ เม่ือ R0 1จะมคี วามเสถียรภาพที่จุดสมดุล ไม่มโี รค (E0 ) และในทางกลับกันเมื่อ R0 1 จะมีความเสถยี รภาพทจ่ี ุดสมดุลมีโรค (E1) ดังนนั้ หากสามารถคำนวณหาค่าปรมิ าณน้ำฝนที่มีความเหมาะสมกับช่วงเวลาใดเวลาหน่ึงได้ ก็ สามารถที่จะทำการพยากรณ์หาจำนวนผู้ป่วยที่คาดว่าจะเกิดขึ้นในอนาคตได้ ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในการ วางแผนการปอ้ งกันและควบคุมโรคเพ่อื ลดจำนวนผปู้ ว่ ยก่อนท่เี หตุการณ์จะเกดิ ขน้ึ จริงในอนาคต

66 5.3. ข้อเสนอแนะ 1. ผ้สู นใจสามารถนำตัวแบบ SEIR ไปปรับใช้กับประเด็นท่สี นใจหรือโรคตดิ ต่ออืน่ ๆ ได้ 2. ผู้ที่สนใจสามารถศึกษาองค์ประกอบอนื่ ๆ ทม่ี ีผลต่อการแพรร่ ะบาดของโรคมือ เทา้ ปาก โดย สามารถเพิ่มคา่ พารามิเตอร์อ่ืน ๆ ได้ เช่น อุณหภมู ิ การฉีดวคั ซนี ป้องกันโรค เป็นต้น

1 เอกสารอา้ งองิ กรมควบคุมโรค. (2562). โรคมอื เทา้ ปาก. ค้นเมือ่ 20 สงิ หาคม 2562. จาก https://ddc.moph .go.th/th/site/office_news view/view/9134. กรมอตุ ุนยิ มวิทยา. (2562). ปริมาณน้ำฝน. ค้นเม่ือ 15 สงิ หาคม 2562. สืบคน้ จาก. https://www. tmd.go.th/3month_forecast.php. ปิยะมาศ หนรู อด และ วลษิ า อิทรภักดิ์. (2016). แบบจำลองเชงิ คณิตศาสตร์ของการระบาดโรคมือ เทา้ ปาก. มหาวิทยาลยั ราชภัฏนครศรีธรรมราช. โรงพยาบาลบำรุงราษฎร์ อินเตอร์เนชนั่ แนล. (2562). มือ เทา้ ปาก โรคยอดฮติ ในเด็กวัยใส. ค้นเม่ือ25 กรกฎาคม 2562. จาก https://www.bumrungrad.com/th/conditions/hand-foot- mouth. สำนักงานกองทนุ สนบั สนุนการสร้างเสรมิ สุขภาพ. (2556). ค้นเม่ือ 25 กรกฎาคม 2562. จาก thaihealth.or.th สำนกั บริหารการทะเบียน กรมการปกครอง. (2562). ระบบสถติ ทิ างการทะเบียน. ค้นเมอ่ื 10 สิงหาคม 2562. จาก http://stat.bora.dopa.go.th. สรุ พล เนาวรตั น.์ (2561). ตวั แบบคณติ ศาสตรก์ บั การระบาดของโรค. มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสุราษฎรธ์ าน.ี เอมอร สิทธิรกั ษ.์ (2549). พีชคณิตเชงิ เส้น. มหาวทิ ยาลัยราชภฏั นครศรีธรรมราช. Jantraporn Suksawat and Surapol Naowarat. (2014). Effect of Rainfall on the Transmission Model of Conjunctivitis. Advances in Environmental Biology, 99- 104. Piyada Wongwiwat and Surapol Naowarat Chutima Karaket. (2015). Dynamics Model of Hand-Foot-Mouth Disease with Effect of Hand Washing Campaign. Australian Journal of Basic and Applied Sciences. 175-181 Thanyada Phutthichayanon and Surapol Naowarat. (2015). Effects of Hand Washing Campaign on Dynamical Model of Hand Foot Mouth Disease. International Journal of Modeling and Optimization. 104-108

1 ภาคผนวก

2 ภาคผนวก ก

1 ผลกระทบของปรมิ าณน้ำฝนที่มีผลตอ่ ตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์สำหรบั โรคมือ เทา้ ปาก อรอมุ า รกั ษาชล1 รตั ตยิ า ฤทธิช่วย2 ณัฎฐิณยี ์ คงนวล3 และ กติ ติภัทร พลเดช4 1 สาขาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครศรธี รรมราช email: [email protected] 2 สาขาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครศรธี รรมราช email: [email protected] 3 สาขาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครศรีธรรมราช email: [email protected] 4 สาขาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั นครศรธี รรมราช email: [email protected] บทคดั ย่อ การทำวิจัยครั้งนี้เพื่อพัฒนาและวิเคราะห์เสถียรภาพผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบทาง คณิตศาสตร์สำหรับโรคมือ เท้า ปาก โดยได้ใช้วิธีการมาตรฐานในการวิเคราะห์ตัวแบบ ทำการหาจุดสมดุลที่ทำให้เกิด เสถียรภาพ ซึ่งมี 2 จุด คือ จุดสมดุลที่ไม่มีโรคและจุดสมดุลที่มีโรค ซึ่งจะขึ้นอยู่กับค่าระดับการติดเชื้อ ( R0 ) ถ้า R0  1 แล้วจุดสมดุลที่ไม่มีโรคจะเสถียร แต่ถ้า R0  1 แล้วจุดสมดุลที่มีโรคจะเสถียร ผลการวิเคราะห์พบว่า ณ จุด สมดุลที่ไม่มีโรค เมื่อปริมาณน้ำฝน g (T ) = 0.01 มีค่าระดับการติดเชื้อ R0 = 0.04823 และ ณ จุดสมดุลที่มีโรค เมื่อปริมาณน้ำฝน g (T ) = 0.33 มีค่าระดับการติดเชื้อ R0 =1.59183 สรุปได้ว่าปริมาณน้ำฝนมีผลต่อการแพร่ ระบาดของโรคมอื เท้า ปาก ถ้าปรมิ าณน้ำฝนเพ่มิ ขึ้นส่งผลใหก้ ารแพรร่ ะบาดของโรคมือ เทา้ ปาก เพม่ิ ข้ึน คำสำคญั : ปริมาณนำ้ ฝน, ตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์, โรคมอื เท้า ปาก

2 Effect of Rainfall on the Transmission Model of Hand Foot Mouth Disease Onuma Ruksachol1 Rattiya Rittichuai2 Nattinee khongnual3 and Kittipat Pondach4 1 Faculty of Science and Technology Nakhon Si Thammarat Rajabhat University ; [email protected] 2 Faculty of Science and Technology Nakhon Si Thammarat Rajabhat University ; [email protected] 3 Faculty of Science and Technology Nakhon Si Thammarat Rajabhat University ; [email protected] 4 Faculty of Science and Technology Nakhon Si Thammarat Rajabhat University ; [email protected] Abstract This research were to develop and evaluate stability of effect of rainfall on the transmission model of Hand Foot Mouth disease by using standard method to analyze this model. We found that there were two equilibrium points; disease free equilibrium and endemic equilibrium point where depend on the basic reproductive number ( R0 ) . If R0  1, then the disease free equilibrium point is local asymptotically stable, but if R0  1 , then the endemic equilibrium point, is local asymptotically stable. The results showed that at the disease free equilibrium point, we have the rainfall at g (T ) = 0.01 and basic reproductive number at R0 = 0.04823 and at the disease equilibrium point we have the rainfall at g (T ) = 0.33 and basic reproductive number at R0 =1.59183. We concluded that the rainfall has effect on the transmission model of Hand Foot Mouth Disease. If the amount of rainfall increases, the spread of HFMD will increase. Keyword : Rainfall, Mathematical model, Hand Foot Mouth Disease

3 บทนำ โรคมือ เท้า ปาก เป็นโรคทีเ่ กิดจากเช้ือไวรสั ในกลุ่ม enterovirus ซึ่งมักเป็น coxsackievirus A16 และยังอาจ เกิดจากเชื้อไวรัสตัวอื่น ๆ ในกลุ่มนีไ้ ด้ เช่น enterovirus 71 พบบ่อยในเดก็ เล็ก จนถึงเดก็ อายุ 10 ปี เป็นโรคที่ติดต่อได้ ง่ายจากการสัมผัส ทำให้เป็นไข้และมีตุ่มพองเกิดขึ้นที่ มือ เท้า และในปาก หลังจากติดเชื้อแล้วจะเกิดภูมิคุ้มกันต่อเชอ้ื สายพันธุ์นั้น แต่ยังมีโอกาสเป็น ได้อีกจากเชื้อไวรัสสายพันธุ์อื่นในกลุ่มเดียวกัน เชื้อไวรัสพบในอุจจาระ สารคัดหลั่ง รวมท้ังในตุ่มพองของผูป้ ่วย และหลงั จากสมั ผัสเชอ้ื 3 – 6 วนั เดก็ จะมไี ข้ อ่อนเพลยี เจ็บคอ หลังจากนน้ั 1 – 2 วัน เด็ก มักจะมีอาการเจ็บในปาก ทำให้ไม่ยอมรับประทานอาหารตามปกติ ทั้งนี้เนื่องจากมีตุ่มพองและแผลเกิดขึ้นในปาก นอกจากนี้ยังพบตุ่มพองที่มอื และเท้าดว้ ย พบมีผู้ปว่ ยตลอดท้ังปี แต่ช่วงที่พบมีผู้ป่วยโรค มือ เท้า ปาก มากที่สุดคือช่วง ฤดูฝน(โรงพยาบาลบำรุงราษฎร์, 2562 และ สำนักงานกองทุนสนับสนุนการสร้างเสริมสุขภาพ, 2562) ประชาชนทาง ภาคใต้มีจงึ ความเสี่ยงทจี่ ะปว่ ยเป็นโรคนี้มากกวา่ ภาคอื่น ๆ เนือ่ งจากลกั ษณะภมู อิ ากาศเป็นแบบรอ้ นชืน้ แถบมรสุม (Am) คือมีฝนตกชุกสลับกับฤดูแล้งสั้น ๆ ภาคใต้ไม่มีฤดูหนาว เนื่องจากภาคใต้อยู่ใกล้เส้นศูนย์สูตร และได้รับอิทธิพลจากลม มรสุมตะวันออกเฉยี งใตแ้ ละลมมรสุมตะวนั ออกเฉียงเหนอื ทำให้ฝนตกชุกตลอดทง้ั ปี(กรมอตุ ุนิยมวิทยา, 2562) ในการศึกษาการระบาดของโรคน้ี เครื่องมือ หนึ่งที่ได้รับความสนใจเป็นอย่างมากคือการใช้ตัวแบบเชิง คณติ ศาสตร์เปน็ เครื่องมอื ในจำลองสถานการณ์ เพื่อหาคา่ พารามเิ ตอรท์ ่ีเหมาะสมเพือ่ ควบคุมการแพร่ระบาดของโรค ใน ปี พ.ศ. 2559 ปิยะมาศ หนูรอด และ วลิษา อิทรภักด์ิ (2559) ได้ศึกษาแบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ของการระบาดโรค มือ เท้า ปากโดยได้ใช้ตัวแบบ SEIR พบวา่ มจี ุดสมดุล 2 จุด คือ จุดสมดุลในสภาวะท่ไี ม่มโี รคและจดุ สมดุลในสภาวะท่ี มีการระบาดของโรค ซึง่ เสถียรภาพของจุดสมดลุ จะถกู ควบคุมโดยค่าระดบั การติดเชือ้ ในตัวแบบนจ้ี ดุ สมดลุ ในสภาวะที่ไม่ มีโรคจะมีเสถยี รภาพเมอ่ื R0 1 และจดุ สมดลุ ในสภาวะทมี่ ีการระบาดของโรคจะมีเสถยี รภาพเมื่อ R0 1 ในการวิจัยครั้งนี้ ผู้วิจัยได้พัฒนาและวิเคราะห์ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์การระบาดของโรคมือ เท้า ปาก โดย เลอื กใชต้ ัวแบบ SEIR และเพ่มิ พารามิเตอร์ ที่สนใจคือปรมิ าณนำ้ ฝนเพือ่ ตรวจสอบเสถยี รภาพและใช้เป็นข้อมูลเบอื้ งตน้ ใน การป้องกนั โรคท่ีเฝา้ ระวงั ของสำนกั ระบาดวทิ ยากระทรวงสาธารณสุขตอ่ ไป วัตถุประสงคข์ องการวจิ ยั 3. เพ่อื สรา้ งตัวแบบเชงิ คณติ ศาสตรข์ องผลกระทบต่อปริมาณน้ำฝนทีม่ ผี ลต่อตวั แบบของโรคมอื เท้า ปาก 4. เพอื่ วเิ คราะหเ์ สถียรภาพของตัวแบบเชงิ คณิตศาสตรข์ องการแพร่ระบาดโรคมอื เท้า ปาก วธิ ีการและขน้ั ตอนการวิเคราะห์ขอ้ มูล 1. พัฒนาตัวแบบเชงิ คณิตศาสตร์ ผ้วู ิจยั ไดพ้ ฒั นาตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์การระบาดของโรคมอื เทา้ ปาก โดยแบง่ ประชากรออกเปน็ 4 กลมุ่ คอื กลุ่มประชากรท่เี ส่ยี งตอ่ การตดิ เชอ้ื (S) กลมุ่ ประชากรทต่ี ิดเช้ือแตไ่ มส่ ามารถแพรเ่ ชอื้ ได้ (E) กล่มุ ประชากรทีต่ ดิ เชอื้ และสามารถแพรเ่ ชอ้ื ได้ (I ) กลมุ่ ประชากรทฟ่ี น้ื จากการตดิ เชอ้ื (R) ตามลำดับ

4 2. วิเคราะหต์ ัวแบบเชงิ คณติ ศาสตร์ 2.1 จุดสมดลุ (Equilibrium point) ในการหาจดุ สมดลุ ทำได้โดยจัดสมการเชงิ อนพุ นั ธ์ทีไ่ ด้จากการแปลงสมการ ของตัวแบบใหม่ ให้เทา่ กบั ศนู ย์ คอื dS = 0, dE = 0, dI = 0, dR = 0 โดยจดุ สมดลุ มี 2 จุด คอื จุดสมดลุ ไมม่ โี รค dt dt dt dt (Disease Free Equilibrium point : E0 ) และจดุ สมดุลทีม่ โี รค (Endemic Free Equilibrium Point:E1) 2.2 ค่าระดับการตดิ เช้อื (BasicRe productivenumber:R0) เปน็ ค่าเฉลยี่ ทีผ่ ู้ป่วยหนึ่งคนจะสามารถทำให้คน กลุ่มเส่ียงปว่ ยเป็นจำนวนกี่คนในชว่ งของเวลาท่เี ขายงั ปว่ ยอยโู่ ดยใชว้ ธิ กี าร Next Generation Method โดยจัดสมการ เชงิ อนุพันธ์ไม่เชงิ เส้นในรปู เพื่อหาค่า R0 จากเมทริกซ์ (FV −1) ซึ่ง F(X ) คอื เมทรกิ ซข์ องผปู้ ่วยที่เพม่ิ ขน้ึ และ V(X ) คอื เมทรกิ ซข์ องผู้ปว่ ยที่เปลย่ี นสถานะจากกลมุ่ หนึ่งไปอีกกลมุ่ หนึ่ง 2.3 เสถียรภาพ (Stability) โดยการหาค่าลักษณะเฉพาะจากสมการลักษณะเฉพาะของจาโคเบยี นเมทรกิ ซ์ det(J − I ) = 0 ใชอ้ ธิบายคำตอบของสมการเก่ยี วกบั คา่ ความสมดลุ เพือ่ ตรวจสอบวา่ มคี วามเสถยี รภาพเฉพาะทเี่ ชงิ เสน้ กำกับ โดยค่าลักษณะเฉพาะจะสอดคลอ้ งกับเงอ่ื นไขของ Routh − Hurwitz Criteria ซึง่ สามารถแบง่ ไดเ้ ปน็ 2 กรณี ดงั น้ี 2.3.1 เสถียรภาพของจดุ สมดลุ ท่ีไม่มีโรค โดยการตรวจสอบวา่ คา่ ลักษณะเฉพาะของจาโคเบยี นเมทริกซ์ ณ สภาวะไมม่ โี รค (E0 ) สอดคลอ้ งกบั เงือ่ นไขของ Routh − Hurwitz Criteria โดยคา่ ลักษณะเฉพาะทุกคา่ ตอ้ งมีสว่ นจรงิ เป็นลบจงึ สอดคล้องตามเงอ่ื นไข R0 1 2.3.2 เสถยี รภาพของจดุ สมดลุ ทีม่ โี รค โดยการตรวจสอบวา่ ค่าลักษณะเฉพาะของจาโคเบยี นเมทริกซ์ ณ สภาวะทมี่ โี รค (E1 ) สอดคล้องตามเงื่อนไขของ Routh − Hurwitz Criteria โดยคา่ ลักษณะเฉพาะทกุ ค่าต้องมสี ่วนจริง เป็นลบจงึ สอดคลอ้ งตามเงื่อนไข R0 1 3. การวิเคราะห์เชงิ ตวั เลข การหาค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสมทท่ี ำให้จดุ สมดุลทไี่ ม่มโี รค (Disease Free Equilibrium point : E0 ) และจดุ สมดลุ ทม่ี โี รค (Endemic Free EquilibriumPoint:E1) ซ่ึงเปน็ การหาค่าลกั ษณะเฉพาะของเมทรกิ ซ์จาโคเบียน ตอ้ งมี คา่ ลกั ษณะเฉพาะทกุ คา่ มีสว่ นจรงิ เปน็ ลบซงึ่ สอดคล้องกบั เง่อื นไขของ Routh − Hurwitz Criteria (สุรพล เนาวรัตน์, 2561) ผลการดำเนนิ งานของการวจิ ัย 1. สรา้ งตัวแบบทางคณติ ศาสตรข์ องโรคมือ เท้า ปาก โดยพิจารณาจากปริมาณนำ้ ฝน ไดด้ งั น้ี

5 ภาพท่ี 1 ตัวแบบทางคณติ ศาสตรส์ ำหรับโรคมอื เท้า ปาก โดยพจิ ารณาจากปรมิ าณน้ำฝน เม่อื S แทน ประชากรทเี่ ส่ยี งต่อการตดิ เชอื้ E แทน ประชากรท่ตี ิดเชอื้ แตไ่ มส่ ามารถแพร่เชอ้ื ได้ I แทน ประชากรทต่ี ดิ เชอ้ื และแพรเ่ ช้อื ได้ R แทน ประชากรท่ีหายจากการตดิ เช้ือ b แทน อัตราการเกิดของประชากร N แทน จำนวนประชากรทงั้ หมด  แทน อัตราการแพรเ่ ช้อื  แทน อตั ราการฟักตวั ของโรคมอื เทา้ ปาก  แทน อตั ราการฟ้ืนตวั ของประชากร  แทน อตั ราการตายโดยธรรมชาตขิ องประชากร  แทน อัตราการฟ้นื ตวั ของประชากรทส่ี ามารถกลบั มาเป็นประชากรทเ่ี สีย่ งตอ่ การตดิ เชอ้ื g (T ) แทน ปริมาณน้ำฝน จากภาพที่ 1 สามารถเขยี นเปน็ ระบบสมการเชงิ อนพุ ันธ์ไดด้ งั นี้ dS = bN − g (T )  SI − S +  R (1) (2) dt (3) (4) dE = g (T )  SI − E −  E dt dI =  E − I −  I dt dR =  I −  R −  R dt โดยท่ี N = S + E + I + R 2. วเิ คราะหต์ วั แบบเชงิ คณิตศาสตร์ 2.1 วิเคราะหห์ าจดุ สมดลุ สำหรบั จุดสมดุล (S,E, I, R) สามารถหาไดจ้ ากการจดั สมการ (1) − (4) ให้เท่ากบั ศูนย์ จะได้ S = bN +  R , g (T )  I (bN +  R) , I =  1   g (T ) (bN +  R) −   , R= I E = ( +  )(g (T ) I +  )   ( + )( + )   + g (T ) I +   g (T )   2.1.1 ณ จดุ สมดุลทไ่ี ม่มโี รคจะเปน็ กรณีทไ่ี มม่ โี รค นั่นคือ E = 0 และ I = 0 จะได้ E0 (N,0,0,0) 2.1.2 ณ จุดสมดลุ ทม่ี โี รคจะเป็นกรณีทีม่ โี รค นั่นคอื E  0 และ I  0 จะได้ E ( )= S*, E*, I*, R* เมอ่ื 1 ( )S* = bN ( + )+ I* ( )g(T ) I* bN ( + )+ I* g(T ) I*+ ( + ) E* = ( )I*  *      g (T ) bN ( + )+ I  ( )( + ) g(T ) I*+ ( + )  1   ( + )(+ )(+ )  = )  −  R* =  I* g(T  +  

6 2.2 หาคา่ ระดบั การตดิ เชื้อ โดยใชว้ ธิ ี next generation โดยการเขยี นสมการ (1) – (4) ในรปู เมทริกซ์ จะได้ dX = F(X) −V(X) dt  S   0  −bN + g (T )  SI + S −  R  E      นัน่ คือ dX =  , F ( X ) =  g (T )  SI  , V(X) =  E +E  − E +  I +  I  dt  I  0  R  0   − I + R +  R  หาค่า F (E0 ) และ V (E0 ) จาก E0 (S, E, I, R) = E0 (N,0,0,0) จะได้ 0 0 0 0  0 g (T ) N −  0 0   +  F ( E0 ) = 0 0 g (T ) N 0 และ V ( E0 ) =  0 0 0  0  0 −  + 0  0 0 0 0 0 0 0 −   +   หาคา่ ลักษณะเฉพาะจากสมการลกั ษณะเฉพาะ คอื det (( ) )FV −1 (E0 ) − I = 0 ( )จะได้ 3 g(T ) N −  −  −  −  2 − ( +  )( +  ) = 0 ซง่ึ มคี า่ คา่ ลกั ษณะเฉพาะ คือ  = 0,  = 0,  = 0,  = 2 g(T )N  1 2 3 4 +  +  +  พิจารณา (FV −1(E0 )) = max  1 , 2 , 3 , 4  จะได้  (FV −1(E0 )) = R0 = 2 g(T )N  เปน็ ค่าระดับการติดเช้อื +  +  +  2.3 วิเคราะห์เสถียรภาพของจดุ สมดลุ 2.3.1 เสถยี รภาพของระบบทีจ่ ดุ สมดุลไม่มโี รค E0 (N,0,0,0) โดยพจิ ารณาคา่ ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ จาโคเบยี นจากระบบสมการ (1) – (4) จะได้ − 0 −g (T ) N   − − g (T ) N  J (E 0 0  )=  − −  0 0 0 0  0  0 − −   หาคา่ ลักษณะเฉพาะจากสมการลกั ษณะเฉพาะ det ( J0 ( E 0 ) − I ) = 0 จะได้  = − ,  = − −  ,  = − 1 − 1 −  + 1 4N g(T ) + 4N +  2 − 2 +  2 , 1 2 3 2 2 2  = − 1 − 1  −  − 1 4N g(T ) + 4N +  2 − 2 +  2 4 2 2 2

7 ดงั น้นั ค่าลกั ษณะเฉพาะท้ังหมดทไี่ ด้มาจากระบบสมการ (1) − (4)จะมสี ว่ นจรงิ เปน็ ลบทั้งหมด 2.3.2 ความเสถยี รภาพของระบบทจ่ี ุดสมดลุ มีโรค ( )E1 S*, E*, I*, R* โดยพิจารณาค่าลักษณะเฉพาะของเมท รกิ ซจ์ าโคเบยี นจากระบบสมการ(1) − (4) จะได้ −g (T )  I* −  0 −g (T )  S*   − − g (T )  S*  g (T )  I* J (E ) =   − −  0 11  0  0 0   0 − −   หาค่าลกั ษณะเฉพาะจากสมการลกั ษณะเฉพาะ det ( J1 ( E 1 ) − I ) = 0 จะได้ 4 + a3 + b2 + c + d = 0 เมอ่ื a =  + + +4 + g(T) I* b = 62 + + +3+ +3+3+( + + +3 )g(T) I* − g(T) S* c = 43+32 +32 +32 +2+2+2+ ( )+ 32 + +2+2+ + +2 g(T) I* − ( + 2 )g(T) S* ( ) ( )d = 3 +2 +2 +2 +++ g(T) I* −  + 2 g(T) S* +4 +3 +3 +3 +2 +2 +2 + ซึง่ คา่ ลักษณะเฉพาะจะมสี ว่ นจรงิ เป็นค่าลบเมอ่ื สมั ประสทิ ธิ์ a,b,c, d สอดคลอ้ ง Routh − Hurwitz Criteria นนั่ คอื 1) a  0 2) b  0 3) a (bc + ad ) − c2  0 ( )และ 4) d −c2 + abc − a2d  0 2.4 การวเิ คราะหเ์ ชงิ ตวั เลข ตารางท่ี 1 คา่ พารามเิ ตอรท์ ่ีใชใ้ นการวเิ คราะหเ์ ชิงตวั เลข พารามิเตอร์ คำอธิบาย คา่ พารามิเตอร์ b อัตราการเกดิ ของประชากรมนษุ ย์ 1 ตอ่ วนั N จำวนประชากรทั้งหมด  อตั ราการแพรเ่ ช้อื 365 12.0613  อตั ราการฟกั ตวั ของโรคมือ เทา้ ปาก 1,000  อัตราการฟื้นตัวของประชากร 1 ต่อวัน  อตั ราการเปลี่ยนแปลงจากกลุม่ ทฟี่ น้ื จากการติดเชือ้ เป็นกลุ่มเสยี่ งตอ่ การตดิ เช้ือ  อตั ราการตายโดยธรรมชาติ 365 0.9827 g (T ) ปริมาณนำ้ ฝน 1 ตอ่ วัน 4 0.1 ต่อวนั 0.07 ตอ่ วัน  =b 0.01 ตอ่ วนั

8 จากตารางท่ี 1 สามารถนำค่าพารามเิ ตอรห์ าความเสถียรภาพเชงิ เสน้ กำกับเฉพาะทไ่ี ดด้ ังนี้ 2.4.1 เสถียรภาพ ณ จดุ สมดลุ ทไ่ี ม่มีโรค สามารถหาค่าลกั ษณะเฉพาะได้ จากสมการ ( −  − ) −3 − (3 +  +  + )2 − (2 + 2 + 2 +  −g(T) N + + ) ( )−  3 +32 + 2 + 2 + 2 +  +  +  +  − ( +  )g(T) N  = 0 ซ่ึงจะได้  = −0.22715 ,  = −0.63000 ,  = −0.70227,  = −0.28745 และสามารถหาค่า 12 34 ระดับ การติดเชอื้ R0 = 0.04823  1 เนื่องจากค่าลกั ษณะเฉพาะมคี ่าเปน็ ลบและค่าระดบั การติดเชื้อมีค่าน้อยกวา่ 1 ดังน้นั จดุ สมดลุ ทไี่ มม่ ีโรค ( E0 ) มีความเสถยี รภาพเชงิ เส้นกำกับเฉพาะท่ี ดงั ภาพท่ี 2 (a) (b) (c) (d) ภาพที่ 2 คำตอบเชงิ ตวั เลขแสดงความสัมพนั ธข์ อง (a) กลุ่มประชากรที่เส่ียงต่อการตดิ เชือ้ (b) กลมุ่ ประชากรทตี่ ดิ เชื้อแต่ ไมส่ ามารถแพรเ่ ช้อื ได้ (c) ประชากรทต่ี ิดเชือ้ และสามารถแพรเ่ ชอ้ื ได้ (d) กลุ่มประชากรที่หายจากการตดิ เชือ้ เทียบกบั เวลา (t) ในสภาวะทไ่ี มม่ ีโรค 2.4.2 เสถยี รภาพ ณ จุดสมดลุ ทีม่ โี รค จากคา่ พารามิเตอร์ในตารางที่ 1 จะมีการเปลี่ยนคา่ พารามิเตอรโ์ ดยใหป้ รมิ าณนำ้ ฝน g (T ) = 0.33 ส่วนคา่ พารามเิ ตอร์อืน่ ๆ จะเหมอื นดงั ตาราง 1 ซึ่งสามารถหาค่าลกั ษณะเฉพาะไดจ้ ากสมการ 4 + a3 + b2 + c + d = 0 เม่ือ a =  + + +4 + g(T) I* = 0.71109 b = 62 + + +3+ +3+3+( + + +3 )g(T) I* − g(T) S* = 0.14678 c = 43+32 +32 +32 +2+2+2+ ( )+ 32 + +2+2+ + +2 g(T) I* − ( + 2)g(T) S* = 0.01442

9 ( ) ( )d = 3+2 +2 +2 +++ g(T) I* −  + 2 g(T) S* +4 +3+3+3+2 +2 +2 + = 0.3269010−5 พจิ ารณา 4 + a3 + b2 + c + d = 0 4 + (0.71109)3 + (0.14678)2 + (0.01442) + (0.3269010−5) = 0 ซง่ึ จะได้ 1 = −0.12532+0.12477I , 2 = −0.00023 , 3 = −0.46023, 4 = −0.12532 − 0.12477I และคา่ ระดับการตดิ เชอื้ คอื R = 1.59183  1 0 เน่อื งจากค่าลักษณะเฉพาะมเี ปน็ ลบและค่าระดับการตดิ เชอ้ื มีค่ามากกวา่ 1 ดังน้นั จุดสมดลุ ทมี่ ีโรค ( E1 ) มีความเสถยี รภาพเชิงเสน้ กำกบั เฉพาะท่ี ดังภาพท่ี 3 (e) (f) (g) (h) ภาพท่ี 3 คำตอบเชงิ ตวั เลขแสดงความสัมพันธ์ของ (e) กลุม่ ประชากรทีเ่ ส่ียงตอ่ การตดิ เชอ้ื (f) กลุม่ ประชากรทต่ี ดิ เช้ือแต่ ไมส่ ามารถแพร่เชือ้ ได้ (g) ประชากรที่ติดเช้อื และสามารถแพรเ่ ชอ้ื ได้ (h) กลุ่มประชากรทห่ี ายจากการตดิ เชอื้ เทยี บกบั เวลา (t) ในสภาวะท่ีไมม่ โี รค ดงั กราฟ จะเห็นได้วา่ คำตอบเชงิ ตวั เลขของระบบจะลเู่ ขา้ สจู่ ดุ สมดลุ ท่ีไมม่ ีโรค E1 (109.03845,126.40370,315.42533, 449.11452) ดงั ปรากฏ การอภปิ รายผลของวิจัย จากการศึกษาผลกระทบของปริมาณน้ำฝนที่มีผลต่อตัวแบบสำหรับโรคมือ เท้า ปาก มีวัตถุประสงค์เพื่อพัฒนาตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งมีการคำนวณค่าระดับการติดเชื้อโดยใช้วิธี Next Generation ซึ่งค่าระดับการติดเชื้อคือ g(T )N  โดย R0 จะเป็นเงื่อนไขสำหรับการตรวจสอบความเสถียรภาพของตัวแบบผลการจำลอง R0 =  2 +  +  +  แสดงให้เหน็ ว่าเมือ่ ปริมาณนำ้ ฝนเพม่ิ ขึ้นค่าระดับการติดเช้ือจะเพ่มิ ขนึ้ เมื่อมปี ริมาณน้ำฝนเป็น 0.01, 0.16, 0.21และ

10 0.33 ค่า R0 คือ 0.04823, 0.77179, 1.01298 และ 1.59183 ตามลำดับ จะไดว้ ่าเมื่อ R0  1จะมีความเสถียรภาพที่ จดุ สมดลุ ไม่มีโรค (E0 ) และในทางกลบั กันเมือ่ R0 1 จะมคี วามเสถยี รภาพที่จุดสมดุลมโี รค (E1 ) ดงั นั้น หากสามารถคำนวณหาคา่ ปริมาณนำ้ ฝนทีม่ คี วามเหมาะสมกับชว่ งเวลาใดเวลาหนง่ึ ได้ กส็ ามารถที่จะทำการ พยากรณ์หาจำนวนผู้ป่วยที่คาดว่าจะเกิดข้ึนในอนาคตได้ ซึ่งจะเป็นประโยชนใ์ นการวางแผนการปอ้ งกันและควบคมุ โรค เพอื่ ลดจำนวนผูป้ ่วยก่อนที่เหตุการณจ์ ะเกิดข้นึ จริงในอนาคต เอกสารอา้ งองิ กรมควบคุมโรค (ออนไลน์). (2562). สบื คน้ จากhttps://ddc.moph.go.th/th/site/office_newsview/view/9134. [20 สิงหาคม 2562]. กรมอุตุนิยมวิทยา (ออนไลน)์ . (2562). สืบค้นจาก. https://www.tmd.go.th/3month_forecast.php. [15 สงิ หาคม 2562]. ปิยะมาศ หนรู อด และ วลิษา อิทรภกั ดิ.์ (2559). แบบจำลองเชิงคณติ ศาสตรข์ องการระบาดโรคมอื เท้า ปาก. มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครศรธี รรมราช. โรงพยาบาลบำรุงราษฎร์ อินเตอรเ์ นชั่นแนล (ออนไลน์). (2562). สืบคน้ จาก https://www.bumrungrad.com/th/conditions/hand-foot-mouth. [25 กรกฎาคม 2562]. สำนกั งานกองทุนสนบั สนุนการสรา้ งเสรมิ สุขภาพ (ออนไลน)์ . (2556). สบื ค้นจาก thaihealth.or.th [25 กรกฎาคม 2562]. สำนกั บรหิ ารการทะเบยี น กรมการปกครอง (ออนไลน์). (2562). สืบคน้ จาก http://stat.bora.dopa.go.th. [10 สิงหาคม 2562]. สุรพล เนาวรัตน์. (2561). ตัวแบบคณิตศาสตร์กบั การระบาดของโรค. มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สรุ าษฎรธ์ านี. เอมอร สิทธิรกั ษ์. (2549). พชี คณิตเชิงเสน้ . มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั นครศรธี รรมราช. Jantraporn Suksawat and Surapol Naowarat. (2014). Effect of Rainfall on the Transmission Model of Conjunctivitis. Advances in Environmental Biology, 99-104. Piyada Wongwiwat and Surapol Naowarat Chutima Karaket. (2015). Dynamics Model of Hand-Foot- Mouth Disease with Effect of Hand Washing Campaign . Australian Journal of Basic and Applied Sciences. Thanyada Phutthichayanon and Surapol Naowarat. (2015). Effects of Hand Washing Campaign on Dynamical Model of Hand Foot Mouth Disease . International Journal of Modeling and Optimization.

80 ภาคผนวก ข

81 1.1 จุดสมดลุ ท่ีไม่มโี รคและจดุ สมดลุ ทมี่ โี รค

82 1.2 ค่าระดับการตดิ เช้อื

83

84

85

86 1.3 ความเสถยี รภาพท่จี ดุ สมดุลทไี่ ม่มโี รค

87

88