ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัส

โครงงานเรอื่ ง ความสมั พันธ์ระหว่างลำดบั ฟโี บนัชชแี ละลำดบั ลคู ัส พรชนก วงศ์วิภูษณะ โครงงานนีเ้ ป็นสว่ นหนึง่ ของการศกึ ษาตามหลกั สูตร ปรญิ ญาวิทยาศาสตรบณั ฑิต สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภฏั นครศรธี รรมราช ปีการศกึ ษา 2562 ก

PROJECT RELATION BETWEEN FIBONACCI SEQUENCE AND LUCAS SEQUENCE PORNCHANOK WONGWIPOOSANA A PROJECT IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF BACHELOR OF SCIENCE IN MATHEMATICS SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY NAKHON SI THAMMARAT RAJABHAT UNIVERSITY ACADEMIC YEAR 2019 ข

หวั ข้อโครงงานพิเศษ ความสัมพันธร์ ะหวา่ งลำดบั ฟีโบนชั ชีและลำดับลคู ัส ช่อื นกั ศึกษา นางสาวพรชนก วงศว์ ิภษู ณะ รหัสนักศึกษา 5911427024 ปริญญา วทิ ยาศาสตรบณั ฑิต (คณติ ศาสตร์) ปกี ารศึกษา 2562 อาจารยท์ ปี่ รกึ ษา อาจารย์ณัฎฐณิ ีย์ คงนวล คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช อนุมัติให้โครงงานนี้ เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิตสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ประจำปกี ารศึกษา 2562 คณะกรรมการสอบ ลายมือช่อื อาจารย์ณฎั ฐณิ ีย์ คงนวล ประธานกรรมการ อาจารยอ์ รอุมา รักษาชล กรรมการ อาจารยร์ ตั ติยา ฤทธิช่วย ประธานหลักสตู ร วท.บ. สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ รศ.ดร.ปานจติ มสุ กิ คณบดี ค

หัวข้อโครงงานพิเศษ ความสัมพันธร์ ะหวา่ งลำดับฟีโบนชั ชีและลำดบั ลูคัส ช่ือนักศึกษา นางสาวพรชนก วงศ์วิภษู ณะ รหสั นกั ศึกษา 5911427024 ปริญญา วิทยาศาสตรบณั ฑิต (คณิตศาสตร)์ ภาควิชา คณติ ศาสตร์ ปีการศกึ ษา 2562 อาจารยท์ ่ปี รกึ ษา อาจารยณ์ ฎั ฐิณยี ์ คงนวล บทคดั ย่อ การวิจัยนี้ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัส โดยใช้สูตรไบเนต ในการพิสูจนค์ วามสัมพันธ์ ซึ่งนิยามสูตรไบเน็ตสำหรับลำดับฟฟีโบนัชชี คือ Fn = αn−βn และนิยาม √5 สูตรไบเน็ตสำหรับลำดับลูคัส คือ Ln = αn + βn เมื่อ α และ β เป็นรากของสมการ x2 − x −1 = 0 ผลการศึกษาพบว่าลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัสมีความสัมพันธ์กันในหลากหลาย รูปแบบและจากรูปแบบความสัมพันธ์ที่ได้ จะช่วยทำให้การคำนวณเกี่ยวกับลำดับฟีโบนัชชีและ ลำดบั ลูคสั งา่ ยข้ึน คำสำคญั : ลำดับฟโี บนัชชี, ลำดับลูคสั ก

Title Relation between Fibonacci Sequence and Lucas Sequence Students Miss. Pornchanok Womgwipoosana ID : 5911427024 Degree Bachelor of Science (Mathematics) Department Mathematics Academic Year 2019 Co-advisor(if any) Miss. Nattinee Khongnual Abstract In this paper we present the relation between Fibonacci Sequence and Lucas Sequence. The proof of these relation can be obtained by Binet’s fomula such that Fibonacci Sequence defined by Fn = αn−βn and Lucas Sequence defined by √5 Ln = αn + βn, where α and β is root of x2 − x −1 = 0 . The results find that both sequence has various and we can compute about Fibonacci Sequence and Lucas Sequence easier. Keywords: Fibonacci Sequence, Lucas Sequence ข

ค กิตตกิ รรมประกาศ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและ ลำดับลูคัส สามารถสำเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดี เนื่องจากได้รับความช่วยเหลือและคำแนะนำต่าง ๆ จากบุคคลต่อไปนี้ ขอกราบพระคุณอาจารย์ประจำหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณพิต สาขาคณิตศาสตร์ทุกท่านท่ี คอยให้คำปรึกษารวมทั้งให้คำแนะนำเกี่ยวกับรูปแบบการนำเสนอข้อมูลเล่มโครงงาน ฉบับนี้จน เสร็จสมบูรณ์ย่ิงข้ึน และตรวจความถูกต้องของเนื้อหาท่ีเกี่ยวข้องอ่ืน ๆ อาจารย์ณัฎฐิณีย์ คงนวล ท่ีกรุณารับเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาโครงงาน ให้คำปรึกษา แนวคิด ในการเลือกหัวข้อโครงงาน คอนให้ความช่วยเหลือและคำแนะนำต่าง ๆ และคอยเป็นผู้ตรวจสอบ แก้ไขข้อผิดพลาดมาโดยตลอดจนโครงงานเล่มน้ีเสร็จสมบูรณ์ ผู้จัดทำขอขอบพระคุณทุกท่านท่ีกล่าวมา ณ ท่ีนี้ด้วย นางสาวพรชนก วงศว์ ิภูษณะ พฤศจิกายน 2562 ค

ง สารบญั หน้า บทคดั ย่อภาษาไทย..................................................................................................................... ก บทคัดย่อภาษาองั กฤษ................................................................................................................ ข กิตติกรรมประกาศ...................................................................................................................... ค สารบญั ....................................................................................................................................... ง บทท่ี 1 บทนำ............................................................................................................................ 1 1.1 ทม่ี าและความสำคัญของโครงงาน.......................................................................... 1 1.2 วัตถุประสงค์ของโครงงาน ...................................................................................... 1 1.3 ประโยชนท์ ี่คาดวา่ จะไดร้ ับ..................................................................................... 1 1.4 ขอบเขตของเน้ือหา ................................................................................................ 1 บทท่ี 2 เอกสารและงานวิจัยทีเ่ กย่ี วข้อง................................................................................... 2 2.1 ความสัมพันธ์เวียนเกดิ ............................................................................................ 2 2.2 ลำดบั ฟโี บนชั ชี ....................................................................................................... 3 2.3 ลำดับลูคัส ............................................................................................................. 6 2.4 เลขยกกำลงั .......................................................................................................... 7 2.5 ความสัมพันธร์ ะหวา่ งลำดบั ลูคัสและลำดับคล้ายฟีโบนัชชี..................................... 9 บทท่ี 3 วธิ ีการดำเนินโครงงาน ................................................................................................. 11 3.1 วธิ ีการศกึ ษา ........................................................................................................... 11 3.2 ข้นั ตอนการศึกษา ................................................................................................... 11 บทที่ 4 ผลการศึกษา................................................................................................................. 12 บทที่ 5 สรปุ อภปิ รายผลและขอ้ เสนอแนะ............................................................................... 17 เอกสารอา้ งอิง ............................................................................................................................ 18 ภาคผนวก................................................................................................................................... 19 ง

1 บทที่ 1 บทนำ 1.1 ทม่ี าและความสำคัญของโครงงาน ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดมีผู้สนใจศึกษาเกี่ยวกับ คณุ สมบัติและการประยุกตใ์ ช้ในเกือบทุกสาขาวิชาทางวิทยาศาสตร์ ความสัมพนั ธ์เวยี นเกิด คือสมการ ทีแ่ สดงความสมั พันธข์ องพจน์ ������n กับพจนท์ ี่มากอ่ น ������0, ������1, ������2, ������3, … , ������n−1 ในรูปสมการที่แน่นอน เป็นการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น แล้วจะมีเงื่อนไขถัดไปที่มีการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นในการกำหนด เช่น ลำดบั ฟีโบนชั ชี ลำดับจาคอป ลำดบั ลคู สั (วัชรี กาญจนก์ ิต, 2558) ลำดับฟีโบนัชชี คือ ลำดับที่มีความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสอง จำนวน ก่อนหน้า ซึ่งสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ หากเขียนให้อยู่ในรูปของสญั ลักษณ์ {Fn} n≥0 ของลำดับฟโี บนชั ชนี ยิ ามดว้ ยความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ ดังน้ี Fn = Fn−1 + Fn−2 เมอ่ื n ≥ 2 , F0 = 0 , F1 = 1 จากบทนิยามดังกล่าวจะได้ ลำดับฟีโบนัชชี คือ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (เกง่ วิบูลย์ธญั ญ์, 2560) ลำดบั ลูคัส คือ {Ln} n≥0 ผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้าบวกกนั ซึ่งนยิ ามคลา้ ยกับ ลำดบั ฟโี บนชั ชี เขียนด้วยสญั ลักษณ์ {Ln} n≥0 นยิ ามดว้ ยความสัมพนั ธ์เวียนเกดิ ดงั น้ี Ln = Ln−1 + Ln−2 เมื่อ n ≥ 2, L0 = 2, L1 = 1 จากบทนยิ ามดังกลา่ วจะได้ ลำดับลูคัส คือ 2,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, … (ทิพยน์ ภา สร้อยทอง, 2559) จากการไดศ้ ึกษาสัมมนาเรือ่ ง ความสัมพันธร์ ะหวา่ งลำดับลูคสั และลำดับคลา้ ยฟโี บนชั ชี ซง่ึ บทความนีไ้ ดศ้ ึกษาความสัมพันธ์ในรูปแบบการคูณระหว่างลำดบั ลคู สั และลำดบั คล้ายฟโี บนัชชี ดงั นนั้ ผศู้ กึ ษาจงึ สนใจศึกษาความสมั พันธใ์ นรูปการคูณ ระหว่างลำดับลคู ัสและลำดบั ฟโี บนชั ชี 1.2 วัตถุประสงคข์ องโครงงาน เพือ่ ศึกษาความสมั พันธร์ ะหว่างลำดบั ฟีโบนัชชแี ละลำดับลูคัส 1.3 ประโยชน์ท่ีคาดวา่ จะไดร้ ับ ไดค้ วามสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟโี บนัชชแี ละลำดับลคู สั 1.4 ขอบเขตของเนื้อหา ศกึ ษาความสมั พนั ธร์ ะหว่างลำดับฟโี บนชั ชีและลำดับลคู สั ท่ีอย่ใู นรปู การคณู 1

2 บทท่ี 2 เอกสารและงานวิจยั ทีเ่ กีย่ วขอ้ ง การทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลู คัส โดยใช้ความสัมพันธ์ในรูปแบบการคูณ ผู้จัดทำได้ศึกษาเอกสารและบทความวิจัยที่เกี่ยวขอ้ ง เพื่อเป็นพื้นฐานในการศึกษาประกอบการศึกษาประกอบการวิเคราะห์และอภิปรายโครงงานมีสาระ หวั ขอ้ ดังต่อไปน้ี 2.1 ความสมั พันธ์เวียนเกิด 2.2 ลำดับลูคัส 2.3 ลำดับฟีโบนัชชี 2.4 เลขยกกำลงั 2.5 ความสัมพนั ธ์ระหว่างลำดบั ลูคสั และลำดับคลา้ ยฟโี บนัชชี 2.1 ความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ (Recurence Relation) บทนิยาม ความสัมพันธ์เวียนเกิด คือ สมการที่แสดงความสัมพันธ์ของพจน์ ������n กับพจน์ท่ีมาก่อนอยู่ ในรปู ������0, ������1, ������2, ������3, … , ������n−1 เป็นสมการท่ีแนน่ อน ตวั อยา่ งที่ 2.1 ให้ {an} n≥0 เปน็ ลำดับที่สอดคล้องกับความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ ������n = ������n−1 + ������n−2 เม่ือ n ≥ 2 ถ้า ������0 = 3 , ������1 = 7 จงหา ������2 วิธที ำ เน่อื งจาก ������n = ������n−1 + ������n−2 ������2 = ������2−1 + ������2−2 จะได้ ������2 = ������1 + ������0 แทนค่า ������2 = 7 + 3 ������2 = 10 ดงั นน้ั ������2 = 10 ตวั อย่างที่ 2.2 ให้ {an} n≥0 เปน็ ลำดับที่สอดคล้องกับความสมั พนั ธ์เวยี นเกิด ������n = ������n−1 + ������n−2 เมอ่ื n ≥ 2 ถ้า ������0 = 4 , ������1 = 9 จงหา ������2 , ������3 2

วิธีทำ เน่ืองจาก ������n = ������n−1 + ������n−2 3 ������2 = ������2−1 + ������2−2 (วชั รี กาญจน์กติ , 2558) จะได้ ������2 = ������1 + ������0 แทนค่า ������2 = 9 + 4 ������2 = 13 พิจารณา ������3 = ������3−1 + ������3−2 จะได้ ������3 = ������2 + ������1 แทนค่า ������3 = 13 + 9 ������3 = 21 ดังนัน้ ������2 = 13, ������3 = 21 2.2 ลำดบั ฟีโบนัชชี (Fibonacci sequence) บทนิยาม ลำดับฟีโบนชั ชี {Fn} n≥0 นยิ ามโดย Fn = Fn−1 + Fn−2 เม่ือ F0 = 0, F1 = 1 และ n ≥ 2 จากบทนิยามนจ้ี ะได้ลำดบั ฟีโบนชั ชี คอื 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … ตัวอยา่ งที่ 2.3 จงหาลำดับฟีโบนชั ชี F2 วิธีทำ เน่อื งจาก F2 = F2−1 + F2−2 จะได้วา่ F2 = F1 + F0 แทนคา่ F0 = 0, F1 = 1 จะได้ F2 = 1 + 0 ดังน้นั F2 = 1 ตวั อย่างที่ 2.4 จงหาลำดับฟโี บนัชชี F3 วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก F3 = F3−1 + F3−2 จะได้ว่า F3 = F2 + F1 3

4 แทนคา่ F2 = 1, F1 = 1 F3 = 1 + 1 ดงั นน้ั F3 = 2 ตวั อย่างท่ี 2.5 จงหาลำดับฟโี บนชั ชี F4 วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก F4 = F4−1 + F4−2 จะได้ว่า F4 = F3 + F2 แทนคา่ F3 = 2, F1 = 1 จะได้ F4 = 2 + 1 ดงั นั้น F4 = 3 สูตร Binet ของลำดบั ฟีโบนัชชี สตู รของ Binet สำหรบั ลำดบั ฟโี บนชั ชี {Fn} n≥0 เป็นดงั นยิ ามตอ่ ไปน้ี αn − βn Fn = √5 โดยท่ี α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1 , α − β = √5 2 2 พิจารณาสูตรของ Binet เป็นสูตรที่ใช้เพื่อค้นหาลำดับที่ n ของลำดับฟีโบนัชชี เริ่มต้นด้วย การสังเกตรากของสมการกำลังสอง คือ x2 − x − 1 = 0 ซึ่งค่ารากของสมการ คือ x = 1±√5 จาก 2 สมการกำลงั สองสามารถเขียนเปน็ x2 = x + 1 ดังนน้ั เริ่มการคำนวณการกระจาย xn จะได้ x = x x2 = x + 1 x3 = x ∙ x2 = x ∙ (x + 1) = x2 + x = (x + 1) + x = 2x + 1 x4 = x ∙ x3 = x ∙ (2x + 1) 4

5 = 2x2 + x = 2(x + 1) + x = 3x + 2 x5 = 5x + 3 x6 = 8x + 5 ⋮ xn = fnx + fn−1 ใหค้ ่ารากของสมการเป็น α = 1+√5 และ β = 1−√5 เน่อื งจากทั้งสองคา่ เป็นรากของ xn = fnx + 2 2 fn−1 ได้ว่า αn = fnα + fn−1 และ βn = fnβ + fn−1 พจิ ารณา αn − βn = (fnα + fn−1) − (fnβ + fn−1) αn − βn = fnα + fn−1 − fnβ − fn−1 αn − βn = (fnα − fnβ) + (fn−1 − fn−1) αn − βn = fn(α − β) + fn−1 − fn−1 (1+√5)n − (1−√5)n = fn (1+√5 − 1−√5) 2 2 2 2 αn − βn = fn(√5) αn − βn fn = √5 ดงั นัน้ รูปแบบทัว่ ไปสำหรบั ลำดับฟีโบนชั ชี คือ Fn = αn−βn √5 ตัวอยา่ งที่ 2.6 จงหาลำดบั ฟีโบนัชชี F2 ด้วยสูตร Binet วธิ ีทำ เน่ืองจาก Fn = αn−βn √5 จะไดว้ า่ F2 = ������2−������2 √5 แทนค่า F = (1+2√5)2− (1−2√5)2 2 √5 3+√5−3+√5 F2 = 2 √5 2√5 F2 = 2 √5 5

6 จะได้ F2 = 1 ดงั นน้ั F2 = 1 ตัวอยา่ งที่ 2.7 จงหาลำดับฟโี บนัชชี F3 ดว้ ยสูตร Binet วธิ ที ำ เนอื่ งจาก Fn = ������������−������������ √5 จะได้วา่ F3 = ������3−������3 √5 แทนคา่ F = (1+2√5)3− (1−2√5)3 3 √5 F = 1+3√5+15+5√5 − 1−3√5+15−5√5 8 8 3 √5 F = 16+8√5 − 16−8√5 8 8 3 √5 F3 = 2+√5−2+√5 √5 จะได้ F3 = 2 ดงั นัน้ F3 = 2 (สำนกั งานพฒั นาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยแี หง่ ชาติ. 2012:ออนไลน)์ 2.3 ลำดับลูคัส (Lucas sequence) บทนิยาม ลำดบั ลูคสั {Ln} n≥0 นยิ ามโดย Ln = Ln−1 + Ln−2 เมอื่ L0 = 2, L1 = 1 และ n ≥ 2 จากบทนิยามนจ้ี ะได้ลำดับลคู ัส คอื 2,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … ตัวอยา่ งท่ี 2.8 จงหาลำดบั ลูคัส L2 วธิ ที ำ เนอื่ งจาก L2 = L2−1 + L2−2 จะไดว้ า่ L2 = L1 + L0 แทนคา่ L0 = 2, L1 = 1 จะได้ L2 = 1 + 2 6

7 ดงั นน้ั L2 = 3 ตัวอยา่ งท่ี 2.9 จงหาลำดบั ลูคสั L3 วิธีทำ เนื่องจาก L3 = L3−1 + L3−2 จะได้วา่ L3 = L2 + L1 แทนคา่ L2 = 3, L1 = 1 จะได้ L3 = 3 + 1 ดังนนั้ L3 = 4 สตู ร Binet ของลำดบั ลคู สั สูตร Binet ของลำดบั ลูคสั {Ln} n≥0 ตามนิยามดงั น้ี Ln = αn + βn โดยที่ α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1, α − β = √5 2 2 ตวั อย่างที่ 2.10 จงหาลำดับลคู สั L2 ดว้ ยสตู ร Binet วิธีทำ เนือ่ งจาก Ln = αn + βn จะได้ว่า L2 = α2 + β2 L2 = (1+√5)2 + (1−√5)2 2 2 แทนคา่ L2 = 6+2√5+6−2√5 4 L2 = 3+√5+3−√5 2 จะได้ L2 = 6 2 ดังนน้ั L2 = 3 (กญั ญานาถ จสิ วัสดิ์, 2558) 2.4 เลขยกกำลงั (Exponentiation) บทนิยาม ถา้ ������ เปน็ จำนวนใด ๆ และแทน n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ������ ยกกำลัง n หรอื กำลงั ������ 7

จะได้ว่า ������������ = (⏟������ × ������ × ������ × … × ������) 8 สมบตั เิ ลขยกกำลัง n ตัว (ภัคนนั ท์ สุขาวรรณ, 2560) 1 .������m × ������n = ������m+n 2. ������m ÷ ������n = ������m−n 3. ������0 = 1 เมอ่ื ������ ∈ R แต่ ������ ≠ 0 4. ������−n = 1 เมื่อ ������ ≠ 0 ������n 5. (������������)n = ������n������n 6. (������)n = ������n เมอื่ b ≠ 0 ������n ������ 7. (������m)n = ������mn 8. 1 = n√������ ������n 9. m = n√������m ������ n ตัวอย่างท่ี 2.11 จงเขียน(2524∙1∙2053 2 ใหอ้ ยูใ่ นรปู อย่างงา่ ย ) วธิ ที ำ (2524∙1∙2053 2 = (225∙(42∙2∙55)3)2 ) = (225∙42∙32∙553)2 = (22+3−5 ∙ 53−4)2 = (20 ∙ 5−1)2 12 = (1 ∙ 5) 12 = (5) ดงั นั้น (2524∙1∙2053)2 2 = (1) 5 ตวั อย่างท่ี 2.12 จงเขยี น (������ 3 (������2������)4 ให้อยู่ในรปู อย่างง่าย ) ������ ������ 8

9 วิธที ำ (������)3 (������2������)4 = (������������33) (���������8������4���4) ������ ������ ������3+4������8−3 = ������4 ������7������5 = ������4 ดังนนั้ (������)3 (������2������)4 = ������7������5 ������ ������ ������4 ตวั อยา่ งที่ 2.13 จงเขยี น (22n−1+32n) (22n−1 − 32n) ใหอ้ ย่ใู นรูปอย่างงา่ ย √3 วธิ ีทำ (22n−1+32n) (22n−1 − 32n) = 1 (22n−1 + 32n)(22n−1 − 32n) √3 √3 = 1 (24n−2 − 22n−132n + 22n−132n − 34n) √3 = 1 (24n−2 − 34n) − 1 (22n−132n − 22n−132n) √3 √3 = 1 (24n−2 − 34n) − 1 (0) √3 √3 = 1 (24n−2 − 34n) √3 ดงั น้ัน (22n−1+32n) (22n−1 − 32n) = 1 (24n−2 − 34n) √3 √3 2.5 ความสมั พันธ์ระหว่างลำดับลคู ัสและลำดบั คล้ายฟีโบนชั ชี ในบทความเรื่องความสัมพันธ์ระหว่างลำดับลูคัสและลำดับคล้ายฟีโบนัชชี ได้ศึกษา ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งลำดบั ลคู ัสและลำดับฟีโบนชั ชี มีนิยามดงั ต่อไปน้ี 1. สตู รของ Binet สำหรับฟโี บนัชชี {Fn} n≥0 ตามนยิ ามดังน้ี αn − βn Fn = √5 2. สตู ร Binet ของลำดับลูคสั {Ln} n≥0 ตามนยิ ามดงั น้ี Ln = αn + βn โดยท่ี α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1, α − β = √5 22 9

10 ทฤษฎบี ทที่ 2.1 สำหรับจำนวนเต็ม n และ k ไดว้ า่ TknLkn = T2kn + (−1)knp , k ≥ 0, n ≥ 0 ตวั อยา่ งที่ 2.14 จงแสดงวา่ T2L2 = T4 + (−1)2p เมื่อ n = 2 และ k = 1 วิธีทำ เนอ่ื งจาก T2 = 2p, L2 = 3 จะได้ T2L2 = 2p ∙ 3 T2L2 = 6p เนื่องจาก T4 = 5p จะได้ T4 + (−1)2p = 5p + p T4 + (−1)2p = 6p ดังนั้น T2L2 = T4 + p(−1)2 ทฤษฎีบทท่ี 2.2 สำหรับจำนวนเตม็ n และ k จะได้ T2n−kL2n−k = T2(2n−k) + (−1)−kp, 0 ≤ k ≤ n ตัวอยา่ งที่ 2.15 จงแสดงว่า T3L3 = T6 + p(−1)−1เมือ่ n = 2 และ k = 1 วิธที ำ เนือ่ งจาก T3 = 3p, L3 = 4 จะได้ T3L3 = 3p ∙ 4 T3L3 = 12p เนือ่ งจาก T6 = 13p จะได้ T6 + p(−1)−1 = 13p − p T6 + p(−1)−1 = 12p ดังนัน้ T3L3 = T6 + p(−1)−1 ( Arfat Ahmad Wani and G.P.S. Rathore, 2017) 10

11 บทท่ี 3 วิธีการดำเนินโครงงาน การทำโครงงานเรื่อง ความสมั พนั ธร์ ะหว่างลำดบั ลูคัสและลำดับฟีโบนัชชี ซ่ึงผู้ศึกษาได้จัดทำ โครงงานและศึกษาเนื้อหาต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับลำดับลูคัสและลำดับฟีโบนัชชี เพื่อนำไปสู่ ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับลูคัสและลำดบั ฟีโบนชั ชี โดยมีวิธกี ารศึกษาและขน้ั ตอนการศกึ ษา ดงั นี้ 3.1 วธิ กี ารศึกษา ผจู้ ัดทำสนใจศึกษาความสมั พันธร์ ะหวา่ งลำดับลูคสั และลำดบั ฟโี บนัชชีในรูปแบบการคูณ ซงึ่ ใช้สมบตั ทิ างคณติ ศาสตร์ทเ่ี ก่ียวกับการหาความสัมพนั ธ์ของลำดับ ได้แก่ 1. ความสมั พันธเ์ วียนเกิด 2. ลำดบั ฟีโบนัชชี 3. ลำดบั ลคู สั 4. เลขยกกำลงั 3.2 ข้นั ตอนการศึกษา 1. ศกึ ษาเน้อื หาเก่ียวกบั สมบัติทางคณติ ศาสตร์ที่เก่ยี วกับบทความเรื่อง Relation between Lucas Sequence and Fibonacci-Like Sequence ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับลูคัสและลำดับ คลา้ ยฟโี บนัชชีทอ่ี ยู่ในรปู การคณู 2. ศึกษาเนื้อหาเกี่ยวกับนิยามและความสัมพันธ์ของลำดับ ได้แก่ ลำดับลูคัสและลำดับฟี โบนัชชี 3. ศกึ ษาสมบัติเลขยกกำลงั 4. พิจารณาตัวอย่างของความสัมพันธ์ระหว่างลำดับลูคัสและลำดับฟีโบนัชชีในรูปแบบการ คูณ ทฤษฎบี ทท่ี 1 FnLn = F2n เมอ่ื n เป็นจำนวนเต็มบวก บทแทรกที่ 1 FknLkn = F2kn เม่ือ n และ k เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎบี ทที่ 2 FnLn+1 = F2n+1 − (−1)n เม่อื n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทท่ี 3 F2n−2L2n−1 = F4n−3 − 1 เมอ่ื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ทฤษฎบี ทท่ี 4 F2n+1L2n = F4n+1 + เมอ่ื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ทฤษฎบี ทที่ 5 FnLk+1 = Fn+k+1 − Fn(−1)k+1 เม่อื n และ k เปน็ จำนวนเต็ม บวก ทฤษฎบี ทที่ 6 F2n+2L2n = F4n+2 + F2 เมอ่ื n เปน็ จำนวนเต็มบวก 11

12 ทฤษฎีบทท่ี 7 F2n−k+mL2n−k−m = F4n−2k + Fm(−1)2n−k−m เมื่อ n, k และ m เปน็ จำนวนต็มบวก 12

13 บทที่ 4 ผลการศกึ ษา จากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างลำดัฟีโบนัชชีและลำดับลูคัสในรูปแบบการคูณ ซึ่งจะใช้ คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของลำดับ ได้แก่ ลำดับฟีโบนัชชี ลำดับลูคัส และ คุณสมบัติเลขยกกำลัง สามารถหาความสัมพันธ์ของลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัสได้จากทฤษฎีบท ดังนี้ สตู ร Binet ของลำดบั ฟโี บนชั ชี Fnและลำดับลคู ัส Ln นิยามโดย (4.1) (4.2) αn − βn Fn = √5 Ln = αn + βn โดยท่ี α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1, α − β = √5 22 ทฤษฎบี ทที่ 1 FnLn = F2n เม่อื n เป็นจำนวนเต็มบวก พสิ จู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) Fn = [αn−βn] √5 Ln = [αn + βn] พิจำรณำ FnLn = [αn−βn] [αn + βn] √5 =√15 [αn − βn][αn + βn] = 1 [α2n + αnβn − αnβn − β2n] √5 =√15 [α2n − β2n] =F2n ดงั นนั้ FnLn = F2n บทแทรกท่ี 1 FknLkn = F2kn เม่อื n และ k เป็นจำนวนเต็มบวก พิสจู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) Fkn = [αkn−βkn] √5 Lkn = [αkn + βkn] พจิ ำรณำ FknLkn=[αkn√−5βkn] [αkn + βkn] 13

14 =√15 [αkn − βkn][αkn + βkn] =√15 [α2kn + αknβkn − αknβkn − β2kn] = 1 [α2kn − β2kn] + 1 [αknβkn − αknβkn] √5 √5 =F2kn + 1 [(αβ)kn − (αβ)kn] √5 =F2kn + 1 (0) √5 =F2kn ดงั นนั้ FknLkn = F2kn ทฤษฎบี ทที่ 2 FnLn+1 = F2n+1 − (−1)n เม่อื n เป็นจำนวนเต็มบวก พิสจู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) Fn = [αn−βn] √5 Ln+1 = [αn+1 + βn+1] พิจำรณำ FnLn+1=[αn√−5βn] [αn+1 + βn+1] =√15 [αn − βn][αn+1 + βn+1] = 1 [α2n+1 + αnβn+1 − αn+1βn − β2n+1] √5 =√15 [α2n+1 − β2n+1] + 1 [αnβn+1 − αn+1βn] √5 =F2n+1 + 1 [(αβ)n(β − α)] √5 =F2n+1 + 1 (−1)n(−√5) √5 =F2n+1 − (−1)n ดงั นนั้ FnLn+1 = F2n+1 − (−1)n ทฤษฎบี ทที่ 3 F2n−2L2n−1 = F4n−3 − 1 เม่อื n เป็นจำนวนเตม็ บวก พิสจู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) F2n−2 = [α2n−2−β2n−2] √5 L2n−1 = [α2n−1 + β2n−1] พิจำรณำ F2n−2L2n−1=[α2n−2√−5β2n−2] [α2n−1 + β2n−1] =√15 [α2n−2 − β2n−2][α2n−1 + β2n−1] 14

15 =√15 [α4n−3 + α2n−2β2n−1 − α2n−1β2n−2 − β4n−3] =√15 [α4n−3 − β4n−3] + 1 [α2n−2β2n−1 − α2n−1β2n−2] √5 =F4n−3 + 1 [(αβ)2n−1(α−1 − β−1)] √5 =F4n−3 + 1 (αβ)2n−1(√5) √5 =F4n−3 + (−1)2n−1 F4n−3 − 1 ดงั นนั้ F2n−2L2n−1 = F4n−3 − 1 ทฤษฎีบทท่ี 4 F2n+1L2n = F4n+1 + 1 เม่อื n เป็นจำนวนเตม็ บวก พสิ จู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) F2n+1=[α2n+1√−5β2n+1] L2n=[α2n + β2n] พิจำรณำ F2n+1L2n=[α2n+1√−5β2n+1] [α2n + β2n] =√15 [α2n+1 − β2n+1][α2n + β2n] =√15 [α4n+1 + α2n+1β2n − α2nβ2n+1 − β4n+1] =√15 [α4n+1 − β4n+1] + 1 [α2n+1β2n − α2nβ2n+1] √5 =F4n+1 + 1 [(αβ)2n(α − β)] √5 =F4n+1 + 1 (−1)2n(√5) √5 =F4n+1 + (−1)2n =F4n+1 + 1 ดงั นนั้ F2n+1L2n = F4n+1 + 1 ทฤษฎีบทท่ี 5 FnLk+1 = Fn+k+1 − Fn(−1)k+1 เม่อื n และ k เป็นจำนวนเต็มบวก พิสจู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) Fn = [αn−βn] √5 Lk+1 = [αk+1 + βk+1] พิจำรณำ FnLk+1=[αn√−5βn] [αk+1 + βk+1] 15

16 =√15 [αn − βn][αk+1 + βk+1] =√15 [αn+k+1 + αnβk+1 − αk+1βn − βn+k+1] = 1 [αn+k+1 − βn+k+1] + 1 [αnβk+1 − αk+1βn] √5 √5 =Fn+k+1 + 1 [(αβ)k+1(αn − βn)] √5 =Fn+k+1 + 1 (−1)k+1(αn − βn) √5 =Fn+k+1 + Fn(−1)k+1 ดงั นนั้ FnLk+1 = Fn+k+1 + Fn(−1)k+1 ทฤษฎบี ทท่ี 6 F2n+2L2n = F4n+2 + F2 เม่อื n เป็นจำนวนเตม็ บวก พสิ จู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) F2n+2 =[α2n+2−β2n+2] √5 L2n=[α2n + β2n] พิจำรณำ F2n+2L2n=[α2n+2√−5β2n+2] [α2n + β2n] =√15 [α2n+2 − β2n+2][α2n + β2n] =√15 [α4n+2 + α2n+2β2n − α2nβ2n+2 − β4n+2] = 1 [α4n+2 − β4n+2] + 1 [α2n+2β2n − α2nβ2n+2] √5 √5 =F4n+2 + 1 [(αβ)2n(α2 − β2)] √5 =F4n+2 + 1 (−1)2n(α2 − β2) √5 =F4n+2 + F2(−1)2n ดงั นนั้ = F4n+2 + F2 F2n+2L2n = F4n+2 + F2 ทฤษฎีบทที่ 7 F2n−k+mL2n−k−m = F4n−2k + Fm(−1)2n−k−m เม่อื n, k และ m เป็น จำนวนเตม็ บวก พสิ จู น์ จำกสมกำร (4.1) และ (4.2) F2n−k+m = [ ]α2n−k+m−β2n−k+m √5 L2n−k−m = [α2n−k−m + β2n−k−m] 16

17 พิจำรณำ F2n−k+mL2n−k−m=[α2n−k+m√−5β2n−k+m] [α2n−k−m + β2n−k−m] =√15 [α2n−k+m − β2n−k+m][α2n−k−m + β2n−k−m] =√15 [α4n−2k + α2n−k+mβ2n−k−m − α2n−k−mβ2n−k+m − β4n−2k] =√15 [α4n−2k − β4n−2k] + 1 [α2n−k+mβ2n−k−m − α2n−k−mβ2n−k+m] √5 =F4n−2k + 1 [(αβ)2n−k−m(αm − βm)] √5 =F4n−2k + 1 (−1)2n−k−m(αm − βm) √5 =F4n−2k + Fm(−1)2n−k−m ดงั นนั้ F2n−k+mL2n−k−m = F4n−2k + Fm(−1)2n−k−m 17

18 บทท่ี 5 สรุป อภปิ รายผลและข้อเสนอแนะ ผลการศึกษาลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัสมีความสัมพันธ์กันในหลากหลายรูปแบบและจาก รูปแบบความสมั พันธ์ท่ีได้จะช่วยให้การคำนวณเกี่ยวกับลำดับฟีโบนัชชีและดำดับลูคัสง่ายข้ึน สามารถ สรปุ ผลการศกึ ษา อภปิ รายผลการศกึ ษาและขอ้ เสนอแนะ ดงั นี้ 5.1 สรปุ ผลการศกึ ษา จากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัส โดยใช้สมบัติทาง คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการหาความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัส ได้แก่ ลำดับลู คัส ลำดับฟีโบนัชชี และสมบัติเลขยกกำลัง สามารถหาความสัมพันธ์ของลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลู คสั ได้ 7 ทฤษฎบี ท 1 บทแทรกดงั นี้ ทฤษฎบี ทที่ 1 FnLn = F2n เมือ่ n เป็นจำนวนเต็มบวก บทแทรกที่ 1 FknLkn = F2kn เมอ่ื n และ k เป็นจำนวนเต็มบวก ทฤษฎีบทท่ี 2 FnLn+1 = F2n+1 − (−1)n เม่อื n เป็นจำนวนเต็มบวก ทฤษฎบี ทท่ี 3 F2n−2L2n−1 = F4n−3 − 1 เมื่อ n เปน็ จำนวนเต็มบวก ทฤษฎบี ทท่ี 4 F2n+1L2n = F4n+1 − 1เมอ่ื n เป็นจำนวนเตม็ บวก ทฤษฎีบทท่ี 5 FnLk+1 = Fn+k+1 − Fn(−1)k+1 เมื่อ n และ k เป็นจำนวนเต็ม บวก ทฤษฎีบทท่ี 6 F2n+2L2n = F4n+2 + F2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก ทฤษฎบี ทที่ 7 F2n−k+mL2n−k−m = F4n−2k + Fm(−1)2n−k−m เมอ่ื n, k และ m เปน็ จำนวนต็มบวก 5.2 อภปิ รายผล ผลการศึกษาพบว่า ลำดับลูคัสและลำดับฟีโบนัชชีมีความสัมพันธ์กันในหลากหลายรูปแบบ โดยความสัมพนั ธ์ในรูปแบบต่าง ๆ สามารถพสิ จู นไ์ ดโ้ ดยใช้สตู รของไบเนต ซ่งึ ความสมั พนั ธท์ ่ไี ดจ้ ะช่วย ในการคำนวณเกี่ยวกับลำดบั ลูคัสและลำดับฟโี บนชั ชีให้งา่ ยและสะดวกมากข้นึ 18

19 5.3 ขอ้ เสนอแนะ ผู้สนใจสามารถศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างลำดับลูคัสและลำดับฟีโบนัชชีในรูปแบบอื่นได้ เช่น การดำเนนิ การบวก การลบ หรอื การหาร และสามารถศกึ ษาความสมั พันธร์ ะหว่างลำดับอื่นได้ เชน่ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างลำดับคล้ายฟโี บนัชชี และลำดบั จาคอปส์ทอล 19

20 เอกสารอา้ งองิ กญั ญานาถ จิสวัสดิ์. (2558). ลำดับลคู ัส.เขา้ ถึงได้จาก : https://www.tci-thaijo.org (วันทคี่ น้ ขอ้ มลู : 23 กรกฎาคม 2562). เก่ง วิบูลยธ์ ัญญ์. (2560). ลำดับฟโี บนัชช.ี เข้าถึงไดจ้ าก : https://scimath.org/article- athematics/item (วนั ที่คน้ ข้อมูล : 25 กรกฎาคม, 2562). ทพิ ยน์ ภา สร้อยทอง. (2559). ลำดับลูคัส. เข้าถึงได้จาก : http://urbana.cpe.ku48.ac.th (วันท่ีค้น ข้อมลู : 21 มกราคม 2562). วัชรี กาญจนก์ ติ . (2558).ความสัมพันธ์เวียนเกิด. เขา้ ถงึ ได้จาก http://sci.pbru.ac.th/sci52/dmdocuments /Recurrence (วันทีค่ น้ ข้อมูล : 25 กรกฎาคม 2562). Arfat Ahmad Wani and G.P.S. Rathore. (2017). Relation between Lucas Sequence and Fibonacci-Like Sequence. MAYFEB Journal of Materials Science. Vol 1(2017); 22-27 เข้าถึงไดจ้ าก : file:///C:/Users/NEXT%20Speed.pdf (สบื ค้นเมอ่ื : 25 กรกฎาคม, 2562). 20

21 ภาคผนวก 21

22 ความสัมพนั ธร์ ะหว่างลำดับฟีโบนชั ชีและลำดบั ลคู สั Relation between Fibonacci Sequence and Lucas Sequence พรชนก วงศว์ ิภษู ณะ1, ณฎั ฐิณยี ์ คงนวล1* Pornchanok Wongwipoosana1, Nattinee Khongnual1* คณะวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครศรธี รรมราช ต.ทา่ งว้ิ อ.เมอื ง จ.นครศรธี รรมราช 80280 email: [email protected], email: [email protected] บทคดั ยอ่ บทความวิจัยนี้ศึกษาความสมั พันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัส โดยใช้สูตรไบเนตในการพิสูจน์ความสัมพันธ์ ซึ่ง นิยามสตู รไบเนต็ สำหรบั ลำดบั ฟฟโี บนัชชี คอื Fn = αn−βn และนิยามสูตรไบเน็ตสำหรบั ลำดับลูคสั คือ Ln = αn + βn เม่ือ √5 α และ β เป็นรากของสมการ x2 − x −1 = 0 ผลการศึกษาพบว่าลำดับฟีโบนัชชีและลำดับลูคัสมีความสัมพันธ์กันใน หลากหลายรูปแบบและจากรูปแบบความสัมพนั ธท์ ไ่ี ด้ จะช่วยให้การคำนวณเก่ียวกับลำดบั ฟโี บนชั ชแี ละลำดบั ลคู สั งา่ ยข้ึน คำสำคัญ: ลำดบั ฟีโบนัชชี, ลำดบั ลูคสั Abstract In this paper we present the relation between Fibonacci Sequence and Lucas Sequence. The proof of these relation can be obtained by Binet’s fomula such that Fibonacci Sequence defined by Fn = αn−βn and √5 Lucas Sequence defined by Ln = αn + βn , where α and β is root of x2 − x −1 = 0 . The results find that both sequence has various and we can compute about Fibonacci Sequence and Lucas Sequence easier. Keywords: Fibonacci Sequence, Lucas Sequence บทนำ ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดมีผู้สนใจศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติ และการประยุกต์ใช้ใน เกือบทุกสาขาวิชาทางวิทยาศาสตร์ ความสัมพันธ์เวียนเกิด คือสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของพจน์ ������n กับพจน์ที่มาก่อน ������0, ������1, ������2, ������3, … , ������n−1 ในรปู สมการทแ่ี น่นอนเป็นการกำหนดเงอ่ื นไขเริ่มตน้ แลว้ จะมเี งอ่ื นไขถดั ไปท่ีมกี ารใช้เงื่อนไขเร่ิมต้นใน การกำหนด เช่น ลำดบั ฟโี บนัชชี ลำดับจาคอปส์ทอล ลำดับลูคัส (วชั รี กาญจน์กติ , 2558) ลำดบั ฟีโบนัชชี คอื ลำดับทีม่ คี วามสมั พันธว์ ่า จำนวนถัดไปเทา่ กบั ผลบวกของจำนวนสองจำนวน กอ่ นหน้า ซึ่งสองจำนวน แรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ หากเขียนให้อยูใ่ นรูปของสัญลักษณ์ {Fn} n≥0 ของลำดับฟีโบนัชชีนิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด ดังน้ี 22

23 Fn = Fn−1 + Fn−2 เมื่อ n ≥ 2 , F0 = 0 , F1 = 1 จากบทนยิ ามดังกล่าวจะได้ ลำดบั ฟีโบนชั ชี คอื 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (เกง่ วิบลู ยธ์ ัญญ์, 2560) ลำดับลูคัส คือ {Ln} n≥0 ผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้าบวกกันซึ่งนิยามคล้ายกับ ลำดับฟีโบนัชชี เขียนด้วย สญั ลกั ษณ์ {Ln} n≥0 นยิ ามดว้ ยความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ ดงั นี้ Ln = Ln−1 + Ln−2 เมือ่ n ≥ 2, L0 = 2, L1 = 1 จากบทนยิ ามดงั กลา่ วจะได้ ลำดบั ลคู สั คือ 2,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, … (ทิพย์นภา สรอ้ ยทอง, 2559) สูตร Binet ของลำดบั ฟโี บนชั ชี สูตรของ Binet สำหรบั ลำดบั ฟโี บนัชชี {Fn} n≥0 ตามนยิ ามดงั นี้ Fn = αn−βn (1) √5 โดยท่ี α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1 , α − β = √5 2 2 สตู ร Binet ของลำดับลคู ัส สตู ร Binet ของลำดบั ลูคสั {Ln} n≥0 ตามนยิ ามดงั นี้ Ln = αn + βn (2) โดยท่ี α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1, α − β = √5 2 2 ผลการวิจัย จากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างลำดัฟีโบนัชชีและลำดับลูคัสในรูปแบบการคูณ ซึ่งจะใช้คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ เกยี่ วกับความสัมพันธข์ องลำดับ ไดแ้ ก่ ลำดับฟโี บนชั ชี ลำดับลูคัส และคุณสมบัติเลขยกกำลัง สามารถหาความสัมพันธ์ของลำดับฟโี บนชั ชีและลำดับลคู สั ไดจ้ ากทฤษฎบี ทดังนี้ สตู ร Binet ของลำดับฟโี บนัชชี Fnและลำดับลคู สั Ln นิยามโดย αn − βn (3) Fn = √5 (4) Ln = αn + βn โดยท่ี α = 1+√5 , β = 1−√5 , αβ = −1, α − β = √5 2 2 ทฤษฎีบทที่ 1 FnLn = F2n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก 23

24 พสิ จู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) Fn = [αn−βn] √5 Ln = [αn + βn] พิจำรณำ FnLn = [αn−βn] [αn + βn] √5 =√15 [αn − βn][αn + βn] =√15 [α2n + αnβn − αnβn − β2n] =√15 [α2n − β2n] =F2n ดงั นนั้ FnLn = F2n บทแทรกท่ี 1 FknLkn = F2kn เม่อื n และ k เป็นจำนวนเต็มบวก พสิ จู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) Fkn = [αkn−βkn] √5 Lkn = [αkn + βkn] พิจำรณำ FknLkn=[αkn√−5βkn] [αkn + βkn] =√15 [αkn − βkn][αkn + βkn] =√15 [α2kn + αknβkn − αknβkn − β2kn] =√15 [α2kn − β2kn] + 1 [αknβkn − αknβkn] √5 =F2kn + 1 [(αβ)kn − (αβ)kn] √5 =F2kn + 1 (0) √5 =F2kn ดงั นนั้ FknLkn = F2kn ทฤษฎบี ทท่ี 2 FnLn+1 = F2n+1 − (−1)n เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มบวก พิสจู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) Fn = [αn−βn] √5 Ln+1 = [αn+1 + βn+1] พจิ ำรณำ FnLn+1=[αn√−5βn] [αn+1 + βn+1] =√15 [αn − βn][αn+1 + βn+1] 24

25 =√15 [α2n+1 + αnβn+1 − αn+1βn − β2n+1] =√15 [α2n+1 − β2n+1] + 1 [αnβn+1 − αn+1βn] √5 =F2n+1 + 1 [(αβ)n(β − α)] √5 =F2n+1 + 1 (−1)n(−√5) √5 =F2n+1 − (−1)n ดงั นนั้ FnLn+1 = F2n+1 − (−1)n ทฤษฎีบทท่ี 3 F2n−2L2n−1 = F4n−3 − 1 เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ บวก พิสจู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) F2n−2 = [α2n−2−β2n−2] √5 L2n−1 = [α2n−1 + β2n−1] พิจำรณำ F2n−2L2n−1=[α2n−2√−5β2n−2] [α2n−1 + β2n−1] =√15 [α2n−2 − β2n−2][α2n−1 + β2n−1] =√15 [α4n−3 + α2n−2β2n−1 − α2n−1β2n−2 − β4n−3] =√15 [α4n−3 − β4n−3] + 1 [α2n−2β2n−1 − α2n−1β2n−2] √5 =F4n−3 + 1 [(αβ)2n−1(α−1 − β−1)] √5 =F4n−3 + 1 (αβ)2n−1(√5) √5 =F4n−3 + (−1)2n−1 ดงั นนั้ F2n−2L2n−1 = F4n−3 − 1 ทฤษฎบี ทท่ี 4 F2n+1L2n = F4n+1 + 1 เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มบวก พิสจู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) F2n+1= [α2n+1−β2n+1] √5 L2n= [α2n + β2n] พจิ ำรณำ F2n+1L2n=[α2n+1√−5β2n+1] [α2n + β2n] =√15 [α2n+1 − β2n+1][α2n + β2n] =√15 [α4n+1 + α2n+1β2n − α2nβ2n+1 − β4n+1] =√15 [α4n+1 − β4n+1] + 1 [α2n+1β2n − α2nβ2n+1] √5 25

26 =F4n+1 + 1 [(αβ)2n(α − β)] √5 =F4n+1 + 1 (−1)2n(√5) √5 =F4n+1 + (−1)2n =F4n+1 + 1 ดงั นนั้ F2n+1L2n = F4n+1 + 1 ทฤษฎีบทท่ี 5 FnLk+1 = Fn+k+1 − Fn(−1)k+1 เมอ่ื n และ k เป็นจำนวนเต็มบวก พิสจู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) Fn = [αn−βn] √5 Lk+1 = [αk+1 + βk+1] พจิ ำรณำ FnLk+1=[αn√−5βn] [αk+1 + βk+1] =√15 [αn − βn][αk+1 + βk+1] =√15 [αn+k+1 + αnβk+1 − αk+1βn − βn+k+1] =√15 [αn+k+1 − βn+k+1] + 1 [αnβk+1 − αk+1βn] √5 =Fn+k+1 + 1 [(αβ)k+1(αn − βn)] √5 =Fn+k+1 + 1 (−1)k+1(αn − βn) √5 =Fn+k+1 + Fn(−1)k+1 ดงั นนั้ FnLk+1 = Fn+k+1 + Fn(−1)k+1 ทฤษฎบี ทที่ 6 F2n+2L2n = F4n+2 + F2 เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ บวก พิสจู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) F2n+2=[α2n+2√−5β2n+2] L2n=[α2n + β2n] พิจำรณำ F2n+2L2n=[α2n+2√−5β2n+2] [α2n + β2n] =√15 [α2n+2 − β2n+2][α2n + β2n] =√15 [α4n+2 + α2n+2β2n − α2nβ2n+2 − β4n+2] =√15 [α4n+2 − β4n+2] + 1 [α2n+2β2n − α2nβ2n+2] √5 =F4n+2 + 1 [(αβ)2n(α2 − β2)] √5 26

27 =F4n+2 + 1 (−1)2n(α2 − β2) √5 =F4n+2 + F2(−1)2n =F4n+2 + F2 ดงั นนั้ F2n+2L2n = F4n+2 + F2 ทฤษฎบี ทท่ี 7 F2n−k+mL2n−k−m = F4n−2k + F2m(−1)2n−k−m เมือ่ n, k และ m เป็นจำนวนเต็มบวก พสิ จู น์ จำกสมกำร (3) และ (4) F2n−k+m = [α2n−k+m√−5β2n−k+m] L2n−k−m = [α2n−k−m + β2n−k−m] พิจำรณำ F2n−k+mL2n−k−m=[α2n−k+m√−5β2n−k+m] [α2n−k−m + β2n−k−m] =√15 [α2n−k+m − β2n−k+m][α2n−k−m + β2n−k−m] =√15 [α4n−2k + α2n−k+mβ2n−k−m − α2n−k−mβ2n−k+m − β4n−2k] =√15 [α4n−2k − β4n−2k] + 1 [α2n−k+mβ2n−k−m − α2n−k−mβ2n−k+m] √5 =F4n−2k + 1 [(αβ)2n−k−m(α2m − β2m)] √5 =F4n−2k + 1 (−1)2n−k−m(α2m − β2m) √5 =F4n−2k + F2m(−1)2n−k−m ดงั นนั้ F2n−k+mL2n−k−m = F4n−2k + F2m(−1)2n−k−m สรุปผลการวจิ ยั ผลการศึกษาพบว่า ลำดับลูคัสและลำดับฟีโบนัชชีมีความสัมพันธ์กันในหลากหลายรูปแบบ โดยความสัมพันธ์ ในรปู แบบต่าง ๆ สามารถพสิ ูจนไ์ ด้โดยใช้สตู รของไบเนต ซ่ึงความสัมพนั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะช่วยในการคำนวณเกีย่ วกบั ลำดับลคู สั และลำดบั ฟโี บนชั ชใี หง้ ่ายและสะดวกมากขึน้ กิตติกรรมประกาศ ผู้วิจัยขอขอบคุณสาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช สำหรับความชว่ ยเหลอื และคำแนะนำตา่ งๆในการทำวิจยั ครัง้ นี้ เอกสารอา้ งองิ กัญญานาถ จสิ วสั ดิ์. (2558). ลำดบั ลคู สั .เข้าถงึ ไดจ้ าก : https://www.tci-thaijo.org (วันท่คี น้ ขอ้ มูล : 23 กรกฎาคม 2562). เก่ง วบิ ูลยธ์ ญั ญ์. (2560). ลำดบั ฟีโบนัชชี. เขา้ ถึงได้จาก : https://scimath.org/article-athematics/item (วนั ท่ีค้นข้อมลู : 25 27

28 กรกฎาคม, 2562). ทพิ ย์นภา สร้อยทอง. (2559). ลำดบั ลูคสั . เขา้ ถงึ ไดจ้ าก : http://urbana.cpe.ku48.ac.th (วันทีค่ น้ ขอ้ มูล : 21 มกราคม 2562). วัชรี กาญจนก์ ติ . (2558). ความสัมพนั ธเ์ วียนเกิด. เข้าถึงไดจ้ าก : http://sci.pbru.ac.th/sci52/dmdocuments /Recurrence (วันทค่ี ้นขอ้ มูล : 25 กรกฎาคม 2562). Arfat Ahmad Wani and G.P.S. Rathore. (2017). Relation between Lucas Sequence and Fibonacci-Like Sequence. MAYFEB Journal of Materials Science. Vol 1(2017); 22-27 เขา้ ถึงได้จาก : (สืบคน้ เมื่อ : 25 กรกฎาคม, 2562). 28

29 ประวตั ผิ ้จู ัดทำโครงงาน ช่ือ-สกุล(ภาษาไทย) นางสาวพรชนก วงศ์วิภูษณะ ช่ือ-สกุล(ภาษาอังกฤษ) Miss. Pornchanok wongwipoosana วนั เดือน ปเี กิด 25 สงิ หาคม 2540 ท่ีอยู่ท่ีสามารถติดต่อได้ 22/74 หม่ทู ี่ 1 ตำบลโพธิ์เสดจ็ อำเภอเมือง จังหวัด นครศรีธรรมราช 80000 Facebook Bow Pornchanok เบอร์โทร 065-0405752 ประวตั ิการศกึ ษา ปีท่ีสำเร็จการศึกษา ระดบั การศกึ ษา แผนการเรียน ชือ่ สถาบัน 2553 ประถมศึกษา - โรงเรยี นอนบุ าลจงั หวดั นครศรธี รรมราช ณ นครอุทิศ 2556 มธั ยมศึกษาตอนต้น - โรงเรยี นศรีธรรมราชศกึ ษา 2559 มธั ยมศึกษาตอนปลาย วทิ ย์-คณติ โรงเรียนศรีธรรมราชศึกษา 29