E-book เรื่อง ค่ากลางของข้มูล

การวดั แนวโนม้ เข้าสสู่ ว่ นกลาง (measures of central tendency) การวัดแนวโน้มเข้าส่สู ่วนกลางเป็นระเบยี บวิธีทางสถติ ิในการหาค่าเพียงคา่ เดยี วท่ีจะใช้เปน็ ตัวแทนของขอ้ มูล ท้งั ชดุ ค่าทห่ี าได้น้ีจะทำใหส้ ามารถทราบถึงลักษณะของขอ้ มูลทง้ั หมดทเี่ กบ็ รวบรวมมาได้ ค่าที่หาได้น้ีจะเปน็ คา่ กลาง ๆ เรียกวา่ ค่ากลาง ประเภทของการวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ่วนกลาง การวดั แนวโนม้ เขา้ ส่สู ว่ นกลางมอี ยู่หลายวธิ ดี ว้ ยกนั ท่นี ิยมกัน มาก ไดแ้ ก่ 1. ค่าเฉล่ยี เลขคณติ (Arithmetic Mean) 2. มธั ยฐาน (Median) 3. ฐานนยิ ม (Mode) คา่ เฉลีย่ เลขคณติ (Arithmetic Mean) หมายถงึ การหารผลรวมของข้อมลู ทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลทัง้ หมด การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ สามารถหาได้ 2 วธิ ี 1. คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของข้อมูลท่ีไมไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ สามารถคำนวณไดจ้ ากสูตร = เมือ่ (เอก็ ซ์บาร)์ คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณติ คอื ผลบวกของขอ้ มูลทกุ ค่า คือ จำนวนขอ้ มลู ท้ังหมด ตวั อย่าง จากการสอบถามอายขุ องนกั เรยี นกลุ่มหนง่ึ เปน็ ดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงหา คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของอายุนกั เรียนกลมุ่ นี้ วธิ ที ำ = = = = 15.75 ดังนั้นค่าเฉลี่ย อายขุ องนกั เรยี นกลมุ่ น้ี = 15.75 ปี

2. คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของข้อมลู ทีแ่ จกแจงความถี่ สามารถคำนวณได้จากสตู ร = เมอื่ (เอก็ ซ์บาร)์ คอื คา่ เฉลย่ี เลขคณิต คอื ความถข่ี องข้อมลู คอื ค่าของขอ้ มลู (ในกรณกี ารแจกแจงความถไี่ ม่เปน็ อนั ตรภาคชน้ั ) หรือ จดุ กงึ่ กลางของอนั ตรภาคช้ัน (ในกรณีการแจกแจงความถเ่ี ปน็ อนั ตรภาคชน้ั ) หาได้จาก คอื ผลรวมความถ่ที ง้ั หมด หรอื จำนวนขอ้ มูลท้ังหมด 2.1 การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตขอ้ มูลทแ่ี จกแจงความถีใ่ นกรณที ข่ี อ้ มลู ไมเ่ ปน็ อนั ตรภาคชนั้ ตวั อยา่ ง จากการสอบถามอายุของนักเรยี นกล่มุ หนึง่ เป็นดงั นี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงหา คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของอายุนกั เรยี นกลุ่มนี้ วธิ ีทำ สรา้ งตารางแจกแจกความถขี่ อ้ มลู คา่ ขอ้ มูล( ) ความถ(ี่ ) 14 3 42 16 2 32 17 2 34 18 1 18 . = 8 = 126

แทนคา่ สูตร = = = 15.75 ดังนั้นค่าเฉล่ียเลขคณติ อายขุ องนกั เรยี นกลมุ่ น้ี = 15.75 ปี 2.2 การหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถใี่ นกรณที ี่ขอ้ มลู เปน็ อนั ตรภาคช้นั (Class Interval) หรือเรียก สนั้ ๆ ว่า ช้นั หมายถึง ชว่ งของคะแนนในแต่ละพวกท่แี บง่ ตัวอย่าง จากการสอบถามอายขุ องนักเรียนกล่มุ หน่งึ เป็นดงั นี้ จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิตของอายุนกั เรียนกลุ่มนี้ คะแนน ความถี่ 5-9 3 10-14 4 15-19 3 20-24 7 25-29 6 30-34 4 35-39 2 40-44 3 . N=32

วธิ ที ำ ความถี่( ) จดุ กงึ่ กลางอันตรภาคชั้น( ) 21 คะแนน 37 48 5-9 4 12 51 10-14 3 17 154 15-19 7 22 162 20-24 6 27 128 25-29 4 32 74 30-34 2 37 126 35-39 3 42 = 764 40-44 N=32 . . แทนคา่ สูตร = = = 23.86 ปี ดังน้นั ค่าเฉล่ียเลขคณิต อายขุ องนกั เรยี นกลมุ่ น้ี = 23.86 ปี

มธั ยฐาน (Median) มธั ยฐาน หมายถงึ ค่ากึ่งกลางของขอ้ มูลชดุ นน้ั หรือคา่ ทอ่ี ยใู่ นตำแหน่งก่ึงกลางของขอ้ มลู ชดุ นั้น เม่อื ได้ จัดเรยี งค่าของข้อมลู จากน้อยทีส่ ุด ไปหามากทสี่ ุดหรอื จาหมากที่สุกไปหาน้อยทสี่ ุด คา่ กงึ่ กลางจะเปน็ ตวั แทนที่ แสดงวา่ มีข้อมูลท่มี ากกว่าและน้อยกว่านอ้ี ยู่ 50 % การหารค่ามัธยฐาน สามารถหาได้ 2 วธิ ี 1. การหามธั ยฐานของขอ้ มูลทีไ่ มแ่ จกแจงความถี่ ซึ่งมีวธิ หี าได้ดังน้ี 1.1 เรยี งข้อมลู จากน้อยไปมาก หรอื จากมากไปนอ้ ย 1.2 หาตำแหนง่ ของมธั ยฐาน จาก เมื่อ = จำนวนขอ้ มลู ทั้งหมด ตัวอย่าง จงหามัธยฐานของขอ้ มูลต่อไปน้ี 9,10,5,11,14,6,16,17,13 วธิ ีทำ เรยี งขอ้ มลู ที่มคี ่านอ้ ยทีส่ ุดไปหาขอ้ มูลทม่ี ีค่ามากทีส่ ุดคือ 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 16,17 หาตำแหน่งมัธยฐาน = มธั ยฐานของขอ้ มลู =5 = 11 ตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของข้อมูลตอ่ ไปน้ี 40, 35, 24, 28, 26, 29, 36, 31, 42, 20, 23, 32 วิธที ำ เรียงขอ้ มูลจากขอ้ มูลทม่ี ีคา่ นอ้ ยที่สุดไปหาข้อมูลทีมคี ่ามากทส่ี ดุ คือ 20, 23, 24, 26, 28, 29, 31, 32, 35, 36, 40, 42, ซ่งึ n = 12 ตำแหนง่ มัธยฐาน = = = 6.5 มัธยฐานอยู่ในตำแหนง่ ท่ี 6.5 อยรู่ ะหวา่ ง 29 กับ 31 มธั ยฐานเทา่ กบั = 29+31 2 มัธยฐานคือ = 30

2. การหามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถ่ี คำนวณไดจ้่ ากสตู ร เมือ่ Mdn = มัธยฐาน ( Median ) L = ขีดจำกดั ลา่ งทีแ่ ท้จรงิ ของช้นั ที่มมี ธั ยฐานอยู่ i = ความกว้างของอนั ตรภาคช้ัน fm = ความถสี่ ะสมชน้ั ที่อยูก่ ่อนชนั้ ทีม่ มี ัธยฐานไปหาคะแนนนอ้ ย = ความถ่ีของคะแนนในช้ันทมี่ มี ัธยฐาน คอื ตำแหนง่ มัธยฐาน ตวั อย่าง จากขอ้ มลู ในตารางแจกแจงความถ่ี จงหาคา่ มัธยฐาน ความถี่ คะแนน 3 5-9 4 10-14 3 15-19 7 20-24 6 25-29 4 30-34 2 35-39 3 40-44 n=32 .

วธิ ที ำ ความถ่ี ความถีส่ ะสม - หาความถสี่ ะสม 3 3 คะแนน 4 7 5-9 3 10 10-14 7 17 15-19 6 23 20-24 4 27 25-29 2 29 30-34 3 32 35-39 40-44 n=32 . . - หาตำแหนง่ มธั ยฐานจาก = = 16 คา่ มธั ยฐานที่อยูใ่ นชั้น 20 - 24 จากสูตร L = 20 - 0.5 = 19.5 i =5 = 10 fm = 7 แทนค่าในสตู ร = 19.5 - 4.2 = 23.7 มัธยฐาน คอื 23.7

ฐานนิยม(Mode) ฐานนยิ ม หมายถึง คา่ ของคะแนนท่ซี ำ้ กนั มากทสี่ ดุ หรือ ค่าคะแนนท่ีมคี วามถีส่ งู ที่สดุ ในขอ้ มูลชุดน้นั การหารค่าฐานนิยม สามารถหาได้ 2 วธิ ี 1. ฐานนยิ มของข้อมลู ที่ไม่แจกแจงความถี่ **พิจารณาคา่ ของข้อมูลที่ซ้ำกนั มากทสี่ ุด คอื ฐานนยิ ม ตวั อยา่ ง จงหาฐานนยิ มของข้อมูลต่อไปน้ี 3, 2, 4, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 10 ข้อมูลท่ซี ้ำกนั มากท่สี ุดคือ 4 ฐานนยิ มคือ 4 *ข้อมูลบางชดุ อาจมฐี านนยิ ม 2 ค่า เช่น 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10 ข้อมูลทซ่ี ำ้ กันมากทีส่ ุดคือ 10 กบั 12 ฐานนิยม คอื 10 กบั 12 *ข้อมูลบางชดุ อาจจะไม่มฐี านนิยม เช่น 8, 9, 10, 11, 13, 15 ไมม่ ีข้อมูลทีซ่ ำ้ กันมากที่สดุ ฐานนิยม คือ ไม่มีฐานนยิ ม 2. ฐานนยิ มของขอ้ มลู ท่แี จกแจงความถ่ี คำนวณได้จากสตู ร Mo = L + i [ d1 ] d1+d2 เม่อื Mo = ฐานนยิ ม (Mode) L = ขดี จำกัดล่างของคะแนนในช้นั ทีม่ ีความถี่สูงสุด i = ความกวา้ งอนั ตรภาคช้ัน d1 = ผลต่างของความถมี่ ากทส่ี ดุ กบั ความถ่ขี องชน้ั กอ่ นหนา้ d2 = ผลตา่ งของความถ่มี ากที่สดุ กบั ความถี่ของชั้นท่ถี ดั ไปทางคะแนนมาก

ตวั อยา่ ง จากข้อมูลในตารางแจกแจงความถ่ี จงหาค่าฐานนยิ ม คะแนน ความถี่ 5-9 3 10-14 4 15-19 3 20-24 7 25-29 6 30-34 4 35-39 2 40-44 3 . N=32 วธิ ที ำ คา่ ฐานนยิ มอยใู่ นอนั ตรภาคชน้ั 20 -24 (คา่ ที่มีความถี่มากท่ีสดุ ) จากสตู ร Mo = L + i [ d1 ] d1+d2 เมอื่ 1. L = 20 - 0.5 = 19.5 2. i = 5 3. d1= 7 - 3 = 4 4. d2= 7 - 6 = 1 แทนคา่ ในสตู ร = 19.5 + 4 = 23.5 ดังน้นั ฐานนิยมของขอ้ มลู ในตารางนีค้ ือ 23.5