แบบเรียนจำนวนจริง

Learn Education หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 2 จ�ำนวนจรงิ

สาระการเรยี นรู้ จ�ำนวนจรงิ 1. ทบทวนจ�ำ นวนตรรกยะ 2. จำ�นวนอตรรกยะ 3. จำ�นวนจรงิ 4. รากทีส่ องของจำ�นวนจริง 5. รากทส่ี ามของจำ�นวนจริง 6. การนำ�ความร้เู ก่ียวกบั จำ�นวนจริงไปใช้ ตวั ชีว้ ดั ค 1.1 ม. 2/2 เขา้ ใจจำ� นวนจรงิ และความสัมพันธ์ของจำ� นวนจริง และใช้สมบัตขิ องจ�ำนวนจรงิ ในการแกป้ ัญหา คณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชีวิตจริง จดุ ป••••ร ะสงนนนนค์กกัักกักั าเเเเรรรรรยีียียยี เรนนนนียเเสเขขขนา้้าาา้ มรใใใู้าจจจรแโคถคลวใราะชงมส้สสหามรมม้าบางาัตรขยขิถอขอรงอะงจงรบ�ำรานุจากก�ำวทนทนสี่วส่ีจอนรองงิตงแแรลรละกะรยราาะกกแททลีส่ ะส่ี าจามมำ� ในขนวอกนงาจอร�ำตแนรกวรป้ นกัญตยหะรรไาดกค้ยณะติ ศาสตร์ Learn Education

Learn Educationน เขกั ียเนรยีไดนท้ใสนผี่ าร่ามูปนามรถabานใชเักมจ้ เ�ำือ่รนียaนวนแไดเลห้เะรลียbา่ นนเรอป้ี ู้มธ็นาบิ จแาำ�ลยนว้ ถววงึน่าสจเง่ิตำ�ตม็จนา่ ว�ำงbนๆนไมเใวชน่เน่ปนช็นวี-จ6ศติ ร,นูป0งิยร,ะ์ โ3จด,�ำ ยว0เนั.ร8ียเ,ชกน่29จ�ำ มนแฟั ลวฟนะนิเห-ร1ลา73คา่ นาเชว้ีปน้ิา่ ็นลจจะำ��ำ น2น0ววนนบตทารทสี่ ราอกมายากะราถศ ที่กรุงมอสโก ประเทศรัสเซียมีอุณหภูมิ -4 องศาเซลเซียส และแพทย์อ่านอุณหภูมิร่างกายของคนไข้จาก เทอร์มอมิเตอรไ์ ด้ 36.2 องศาเซลเซยี ส [1] [2] ถงึ แม้ว่าจำ�นวนท่ีกลา่ วมาข้างต้นสามารถนำ�ไปใชป้ ระโยชน์ได้อยา่ งกวา้ งขวาง แตย่ งั มปี ญั หาหรอื สถานการณ์บางอย่างทีไ่ ม่สามารถใช้จ�ำ นวนตรรกยะแทนปรมิ าณทต่ี อ้ งการจะสือ่ ได้ ในหน่วยการเรียนรู้นี้ นกั เรียนจะได้เรยี นร้เู พ่มิ เตมิ เกี่ยวกบั จำ�นวนทไ่ี มใ่ ช่จำ�นวนตรรกยะ 39

จำ� นวนจรงิ ·´Êͺ¤ÇÒÁ¾ÃÍŒ Á 3) 738265#'43152 4) 1. จงหาผลลพั ธต์ ่อไปนี้ 1) 0.4 × 10 2) 0.567 × 100 2. จงเขียนเศษส่วนในรูปทศนยิ ม 1) 5 Learn Education 3) 9 2) 12 4) 56 3 30 3. จงเขยี นทศนิยมซํา้ ศนู ยใ์ นรปู เศษสว่ น 3) 2.7 1) 0.3 4) 15.31 2) 0.45 40

1. ทบทวนจำ� นวนตรรกยะ จำ� นวนท่ีสามารถเขียนได้ในรปู เม่ือ เป็น นักเรยี นทราบมาแลว้ ว่า จำ� นวนตรรกยะ คอื a และ b b a จำ� นวนเตม็ b ไม่เป็นศนู ย์ และสามารถเขยี นให้อยใู่ นรูปทศนยิ มได้ โดยการนำ� ตวั ส่วนไปหารตัวเศษ ดัง ตัวอย่างต่อไปน้ี 1) 85 5g158.-.60 2) 73 3g726..-030303 ... 33 00- 1 09- Learn Education 109- 190- 0 1 h ดังนั้น 85 = 1.60... ดังน้นั 37 = 2.333... ทศนยิ มท่ีไดจ้ ากข้อ 1) และ 2) เรียกว่าทศนิยมซ้ํา แบง่ ออกเป็น 2 กลุ่ม ได้แก่ 1) ทศนิยมซ้ําศูนย์ เชน่ 1.5000... เขยี นแทนด้วย 1.50: แตโ่ ดยทวั่ ไปนิยมเขียนเป็น 1.5 2) ทศนิยมซ้ําทไ่ี ม่ใชท่ ศนยิ มซ้ําศนู ย์ เชน่ 2.4333... เขียนแทนดว้ ย 2.43: 17.898989... เขยี นแทนดว้ ย 17.8: 9: 1.501501501... เขียนแทนดว้ ย 1.5: 01: ในชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1 นักเรียนได้เรียนรู้การเขียนและการอ่านทศนิยมซํ้า การเขียนเศษส่วนในรปู ทศนิยมซํา้ และการเขียนทศนยิ มซ้ําศูนยใ์ นรปู เศษสว่ น ในหนว่ ยการเรยี นรนู้ จ้ี ะกลา่ วถงึ การเขยี นทศนิยมซำ้� ทไ่ี มเ่ ปน็ ทศนยิ มซํ้าศนู ย์ในรูปเศษส่วน ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี 41

จ�ำนวนจรงิ ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี น 0.6o ในรูปเศษสว่ น วธิ ที ำ� ให้ N = 0.6o N = 0.666... ---------- (1) (1) × 10 จะได้ (1) × 10 หมายถึง น�ำ 10 ไป 10N = 6.666… ---------- (2) คณู กบั จ�ำ นวนท่อี ยทู่ ัง้ สองขา้ งของ เคร่ืองหมายเทา่ กบั ของสมการ (1) (2) - (1) จะได้ (2) - (1) หมายถึง น�ำ จำ�นวนทอ่ี ยู่ 10N - N = (6.666…) - (0.666…) ข้างเดยี วกนั ของเครอ่ื งหมายเท่ากบั 9N = 6 ของสมการ (2) ลบด้วยสมการ (1) N = 096.6oหรือ 32 แต่ Learn Education N = ดงั นน้ั 0.6o = 32 ตอบ จงเขียน 0.7o ให้อยู่ในรูปเศษสว่ น ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขยี น 2.4o 51o ในรูปเศษส่วน วิธีทำ� ให้ N = 2.4o 51o N = 2.451451451... --------- (1) (1) × 1000 จะได้ 1000N = 2451.451451451... --------- (2) (2) - (1) จะได้ 1000N - N = (2451.451451451...) - (2.451451451...) 999N = 2449 N = 2949499 หรอื 2 949591 แต่ = 2 949591 N = 2.4o 51o ตอบ ด ังน้ัน 2.4o 51o 42

จงเขยี น 5.1o 07o ใหอ้ ยใู่ นรูปเศษสว่ น ตัวอย่างที่ 3 จงเขียน 0.56o 7o ในรปู เศษสว่ น วธิ ีทำ� ให ้ N = 0.56o 7o N = 0.5676767... --------- (1) (1) × 10 จะได้ Learn Education10N = 5.676767... --------- (2) (1) × 1000 จะได้ 1000N = 567.676767… --------- (3) (3) - (2) จะได้ 1000N - 10N = (567.676767…) - (5.676767…) 990NN == 595696202 หรอื 429851 แต่ = 429851 N = 0.56o 7o ตอบ ด งั นนั้ 0.56o 7o จงเขยี น 0.38o 4o ให้อย่ใู นรูปเศษสว่ น 43

จ�ำนวนจรงิ จากทก่ี ล่าวข้างต้น นกั เรยี นจะเหน็ ว่า ทศนยิ มซํ้าสามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู เศษสว่ นได้ โดยทต่ี วั เศษ เปน็ จำ� นวนเตม็ และตวั สว่ นเปน็ จำ� นวนเตม็ ทไ่ี มเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ ดงั น้ัน จงึ กลา่ วได้อีกอยา่ งว่า จำ� นวนตรรกยะ คอื จำ� นวนท่ีเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซา้ํ น่นั คือ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนตรรกยะ คอื จ�ำนวนท่ีเขียนแทนได้ดว้ ยทศนิยมซา้ํ หรอื เศษสว่ น a b เมือ่ a และ b เป็นจำ� นวนเตม็ b ไม่เป็นศูนย์ นกั เรียนสามารถพิจารณาไดจ้ ากแผนผังต่อไปนี้Learn Education จ�ำนวนตรรกยะ จำ� นวนตรรกยะที่ไม่ใช่จ�ำนวนเตม็ จ�ำนวนเต็ม จ�ำนวนเต็มลบ ศูนย์ จ�ำนวนเต็มบวก (จ�ำนวนนับ) แบบฝกึ หดั 1 (*) จงเขียนทศนิยมซ้�ำตอ่ ไปน้ใี นรูปเศษส่วน 1) 0.2$ 2) 0.8$ 6) 0.537o 7) 0.1o 04o 3) 0.3o 5o 8) 0.9o 4) 0.76$ 9) 2.5o 5) 0.21o 9o 10) 3.58o 44

2. จำ� นวนอตรรกยะ นกั เรยี นไดพ้ บเหน็ จำ� นวนเตม็ เศษสว่ นและทศนยิ มซา้ํ และสามารถนำ� ไปใชไ้ ดใ้ นชวี ติ ประจำ� วนั แตย่ งั มี สถานการณบ์ างอยา่ งทไ่ี มส่ ามารถใชจ้ ำ� นวนดงั กลา่ วแทนหรอื อธบิ ายปรมิ าณทต่ี อ้ งการได้ ดงั เชน่ สถานการณ์ ตอ่ ไปน้ี คุณพ่อต้องการสร้างสนาม เด็กเล่นให้ลูก ๆ 4 คนเป็น รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส โดยให้มี พน้ื ท่ี 5 ตารางเมตร สนาม เดก็ เลน่ นจ้ี ะมดี า้ นแตล่ ะดา้ น Learn Education [2] ยาวเท่าใด รูปท่ี 2 สนามเด็กเลน่ จากสถานการณข์ า้ งตน้ นกั เรยี นสามารถอธบิ ายการแกป้ ญั หาดงั กลา่ วดว้ ยจำ� นวนตรรกยะไดห้ รอื ไม่ ให้ a แทนความยาวของดา้ น จะไดว้ ่า พน้ื ที่ของรูปส่เี หลีย่ มจัตรุ ัส = ความยาวของดา้ น × ความยาวของด้าน 5 = a × a 5 = a2 ดังนั้น การหาค่าของ a จึงเป็นการหาจ�ำนวนที่ยกก�ำลังสองแล้วได้ 5 นักเรียนอาจพจิ ารณาโดยการแทนค่า a ด้วยจำ� นวนเตม็ บวก ดงั นี้ a 1 23 a2 1 4 9 จากตาราง จะไดว้ ่า a มีค่าอยู่ระหว่าง 2 กับ 3 เพ่อื หาค่า a เปน็ ทศนยิ มหนง่ึ ตำ� แหน่ง จึงแบง่ ช่วงระหวา่ ง 2 กบั 3 ออกเป็นสิบสว่ นเทา่ ๆ กัน แล้ว พิจารณาวา่ a ควรมีคา่ เท่าใด โดยลองแทนค่า a ดว้ ยทศนยิ มหนึง่ ต�ำแหน่งที่อย่รู ะหวา่ ง 2 กับ 3 ดงั นี้ a 2.1 2.2 2.3 a2 4.41 4.84 5.29 จากตาราง จะได้วา่ a มีค่าอยูร่ ะหว่าง 2.2 กับ 2.3 45

จ�ำนวนจริง เพ่อื หาค่า a เปน็ ทศนิยมสองตำ� แหนง่ จงึ แบง่ ชว่ งระหว่าง 2.2 กับ 2.3 ออกเปน็ สบิ สว่ นเทา่ ๆ กนั แล้วพิจารณาว่า a ควรมีค่าเท่าใด โดยลองแทนคา่ a ดว้ ยทศนิยมสองต�ำแหน่งทอ่ี ยูร่ ะหวา่ ง 2.2 กับ 2.3 ดงั นี้ a 2.21 2.22 2.23 2.24 a2 4.8841 4.9284 4.9729 5.0176 จากตาราง จะได้ว่า a มคี ่าอยรู่ ะหว่าง 2.23 กับ 2.24 เพื่อหาคา่ a เป็นทศนยิ มตำ� แหน่งถดั ๆ ไป จึงทำ� ในทำ� นองเดยี วกนั ดังตารางตอ่ ไปน้ี a 2.231 2.232 2.233 2.234 2.235 2.236 2.237 a2 4.977361 4.981824 4.986289 4.990756 4.995225 4.999696 5.004169 จากตาราง จะได้ว่า a มีคา่ อยู่ระหว่าง 2.236 กบั 2.237 Learn Education เมอื่ แทนค่า a เปน็ ทศนยิ มสามตำ� แหนง่ ทศนยิ มสตี่ ำ� แหนง่ ทศนยิ มหา้ ตำ� แหนง่ ไปเรอื่ ย ๆ จะพบว่า คา่ ของ a2 เขา้ ใกล้ 5 มากขนึ้ ดงั น้ี a ≈ 2.23606797749979… ซงึ่ ทศนยิ มในลกั ษณะนไ้ี มส่ ามารถจดั ชดุ ตวั เลขหลงั จดุ ทศนยิ มใหเ้ ปน็ ชดุ ตวั เลขทซ่ี า้ํ กนั ได้ จงึ ไมส่ ามารถ เขยี นแทนดว้ ยทศนิยมซ้�ำได้ หรือกล่าวได้วา่ ไม่สามารถเขยี นแทนดว้ ยจำ� นวนตรรกยะได้ จากสถานการณ์ดังกลา่ วจะเหน็ ไดว้ า่ ไมส่ ามารถหาความยาวของด้านแต่ละดา้ นของสนามเดก็ เลน่ เปน็ จ�ำนวนตรรกยะได้ จึงจำ� เป็นต้องแทนค่า a ด้วยจำ� นวนชนดิ ใหม่ โดยใช้เครือ่ งหมายกรณฑ์ ( ) เขยี นสญั ลักษณ์ 5 แทนจำ� นวนบวกทยี่ กก�ำลงั สองแลว้ ได้ 5 จะได้คำ� ตอบว่าสนามเด็กเลน่ มีดา้ นแตล่ ะ ด้านยาว 5 เมตร 5 เป็นตวั อยา่ งของจ�ำนวนท่ีไมส่ ามารถเขยี นไดใ้ นรูปทศนิยมซำ้� ดงั น้นั 5 ไมใ่ ช่จำ� นวนตรรกยะ แต่เป็นตวั อยา่ งของ จ�ำนวนอตรรกยะ ตวั อยา่ งของจำ� นวนอตรรกยะ เช่น 1.234567891011..., 84.37377377737777..., -0.7693253... จากตวั อย่างขา้ งต้น เรยี กทศนยิ มในลกั ษณะน้วี ่า ทศนยิ มไม่ร้จู บไมซ่ ํา้ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนอตรรกยะ เปน็ จำ� นวนทเี่ ขียนไดใ้ นรูปทศนิยมไมร่ ูจ้ บไม่ซ�้ำ ซ่ึงไมส่ ามารถเขยี นได้ ในรูปทศนิยมซํา้ หรือเศษสว่ น a เมอ่ื a และ b เปน็ จำ� นวนเตม็ b ไมเ่ ปน็ ศูนย์ b 46

21ต))ัว7อ25ยา่ ง จงบอกวา่ จ�ำนวนตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จ�ำนวนตรรกยะหรอื จ�ำนวนอตรรกยะ พรอ้ มให้เหตผุ ล 3) 6 4) 0.67676767... 5) 0.232233222333... ตอบ 1) ต25วั สเ่วปน็นไจมำ� เ่ นทวา่ นกตบั ร0รกยะ เพราะอยู่ในรปู เศษส่วนทตี่ ัวเศษและตวั สว่ นเปน็ จ�ำนวนเตม็ ซึง่ 2) 7 เปน็ จ�ำนวนตรรกยะ เพราะสามารถเขยี นในรปู เศษส่วนท่ีมีตัวเศษและตัวส่วนเป็น จ�ำนวนเต็มซงึ่ ตวั สว่ นไมเ่ ท่ากับ 0 ไดเ้ ป็น 17 3) 6 เปน็ จำ� นวนอตรรกยะ เพราะจำ� นวนทยี่ กกำ� ลงั สองแลว้ ได้ 6 มคี า่ 2.4494897... ซง่ึ เปน็ ทศนยิ มไมร่ จู้ บไมซ่ ำ�้Learn Education 4) 0.67676767... เป็นจำ� นวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้�ำได้เปน็ 0.6o 7o 5) 0.232233222333... เป็นจำ� นวนอตรรกยะ เพราะเป็นทศนยิ มไม่รู้จบไมซ่ ํา้ 1จ2))งบ-23อ72กวา่ จ�ำนวนตอ่ ไปน้เี ปน็ จ�ำนวนตรรกยะหรอื จ�ำนวนอตรรกยะ พร้อมให้เหตุผล 3) 3 4) 0.88888... 5) 1.919119111... ใหน้ ักเรียนยกตวั อยา่ งจำ� นวนอตรรกยะทมี่ ีคา่ อยู่ระหวา่ ง 0 และ 10 มา 10 จำ� นวน 0 10 47

จำ� นวนจรงิ แบบฝกึ หดั 2 (*) จงบอกว่าจ�ำนวนต่อไปน้เี ปน็ จำ� นวนตรรกยะหรือจ�ำนวนอตรรกยะ พร้อมให้เหตผุ ล 1) 2,556 9) 0.515115111... 2) 023 10) 0-1.1.4213$44$ 56789 3) 11) 4) r11 1 12) 18.181181118... 5) 13) 01- ..72979329... 6) -5 14) 7) 35..12$43$2 15) 8) Learn Education 16) 2,013 3จ �ำ.นจว�ำนนอจวตากนรรหจกัวรยขงิ ะ้อ สทาแ่ี มลาว้ รถนเกัขเียรนียไนดไใ้ดน้ทรรปู าทบศวน่าจยิ ำ�มนไมวน่รูจ้ตบรรไมก่ซยาํ้ะสามารถเขียนไดใ้ นรปู ทศนิยมซำ�้ และ เรียกจำ� นวนตรรกยะหรือจำ� นวนอตรรกยะว่า จำ� นวนจรงิ ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠จ�ำนวนจริงประกอบด้วยจ�ำนวนตรรกยะและจำ� นวนอตรรกยะ ดังแผนผังต่อไปนี้ จ�ำนวนจริง จ�ำนวนอตรรกยะ จำ� นวนตรรกยะ จ�ำนวนตรรกยะที่ไม่ใชจ่ �ำนวนเต็ม จ�ำนวนเตม็ จำ� นวนเต็มลบ ศูนย์ จำ� นวนเตม็ บวก (จ�ำนวนนับ) 48

อกี ตวั อยา่ งหนง่ึ ของจำ� นวนอตรรกยะคอื r ค่า r คือ อัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้ r= ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม ความยาวของเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง Learn Education นักเรยี นสามารถคำ� นวณหาพนื้ ทขี่ องวงกลมโดยใชส้ ูตรพ้นื ท่ขี องวงกลม = rr2 เมื่อ r แทนรศั มีของวงกลม และ ค�ำนวณหาความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมโดยใช้สูตรความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม = 2rr เมอื่ r แทน รัศมีของวงกลม ในการหาค่าของ r ในอดีตมีวิธีการมากมาย หนึ่งในน้ันคือการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบใน วงกลมและลอ้ มรอบวงกลมแลว้ หาความยาวรอบรปู หลายเหลยี่ มทงั้ สองรปู เพอ่ื หาขอบเขตของคา่ r ยง่ิ รปู หลายเหลยี่ ม ด้านเท่ามุมเท่าที่สร้างมีจ�ำนวนด้านมาก ความยาวรอบรูปหลายเหลี่ยมก็จะย่ิงใกล้เคียงกับความยาวของเส้นรอบวง ของวงกลมมาก ดงั รปู กำ� หนดให้ วงกลมแต่ละรูปดา้ นลา่ งมีเส้นผ่านศนู ยก์ ลางยาว 1 หนว่ ย รูปสีเ่ หลย่ี มแนบในวงกลม รปู หกเหล่ยี มแนบในวงกลม รูปสิบเหลยี่ มแนบในวงกลม และล้อมรอบวงกลม และลอ้ มรอบวงกลม และลอ้ มรอบวงกลม อารค์ ิมดี สี (Archimedes : 287-212 ปกี อ่ นคริสต์ศักราช) นักคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตร์ชาวกรีก ไดแ้ สดง การหาคา่ ของ r โดยอาศยั การสรา้ งรปู เกา้ สบิ หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ แนบในวงกลมและลอ้ มรอบวงกลม และพบวา่ ค ่าขอหงมาrยเอหยต่รู ุ ะ: หrวา่ เงปน็ 27จ21�ำ3นวแนลอะตร27ร2กยซะงึ่ มแคีตา่่ ป27ร2ะมแาลณะ 3.14 ซ่งึ เปน็ คา่ ประมาณของ r นัน้ เปน็ จ�ำนวนตรรกยะ 3.14 49

จำ� นวนจรงิ คา่ r เปน็ ค่าคงที่ ไม่ว่าวงกลมจะเล็กหรือใหญ่ อตั ราส่วนระหว่างความยาวของเสน้ รอบวงตอ่ ความยาวของ เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลมจะมีคา่ เท่ากนั เสมอ Learn Education คา่ r [3] ค่า r โดยประมาณ 50 ต�ำแหน่ง คอื 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 แบบฝกึ หดั 3 (*) จงบอกว่าจำ� นวนตอ่ ไปนเี้ ป็นจ�ำนวนตรรกยะหรือจำ� นวนอตรรกยะ พรอ้ มใหเ้ หตุผล 1) 40 9) 25 2) -19 10) 9.23488 3) -135 11) 4 + 160 4) r7 12) 3 + 8 5) 0.75 13) 6 - 5.5 6) 3,189 14) 12..2586 7) 0.001 15) 4 8) 24 16) 0.9o 5o 50

4. รากทส่ี องของจ�ำนวนจรงิ ให้นกั เรยี นพจิ ารณา 9 = 3 × 3 = 32 3 เป็นจำ� นวนจริงทยี่ กก�ำลังสองแล้วมีค่าเท่ากบั 9 จงึ กล่าวว่า 3 เป็นรากทส่ี องของ 9 นอกจากนี้ 9 = (-3) × (-3) = (-3)2 -3 เปน็ จำ� นวนจรงิ ที่ยกกำ� ลงั สองแล้วมีค่าเท่ากับ 9 จึงกล่าวไดว้ า่ -3 เปน็ รากท่สี องของ 9 ดังน้นั รากทส่ี องของ 9 คอื 3 และ -3 ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠ให้ a แทนจำ� นวนจรงิ บวกใด ๆ หรือศนู ย์ รากท่ีสองของ a คอื จ�ำนวนจริง ทยี่ กกำ� ลังสองแลว้ มคี ่าเทา่ กับ a รากทีส่ องท่เี ปน็ บวกของ a เขยี นแทนด้วย a และรากทส่ี องทเ่ี ป็นลบ ของ a เขยี นแทนดว้ ย - a Learn Education ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหารากที่สองของจำ� นวนตอ่ ไปน้ี ตอบ 1) 100 2) 324 ตอบ วิธที �ำ 1) รากท่สี องของ 100 คือ จ�ำนวนจริงท่ยี กก�ำลังสองแลว้ เทา่ กับ 100 จะได้ รากทสี่ องที่เป็นบวกของ 100 คือ 100 และ รากทส่ี องที่เป็นลบของ 100 คอื - 100 เนอื่ งจาก 102 = 100 และ (-10)2 = 100 ดังน้นั รากท่สี องของ 100 คือ 10 และ -10 2) รากทีส่ องของ 324 คอื จ�ำนวนจรงิ ที่ยกก�ำลงั สองแลว้ เทา่ กบั 324 จะได ้ รากท่สี องที่เปน็ บวกของ 324 คือ 324 และ รากท่สี องท่ีเปน็ ลบของ 324 คอื - 324 เนอ่ื งจาก 182 = 324 และ (-18)2 = 324 ดงั นัน้ รากทีส่ องของ 324 คือ 18 และ -18 51

จำ� นวนจริง จงหารากทส่ี องของจำ� นวนตอ่ ไปน้ี 2) 576 1) 36 สำ� หรับจ�ำนวนตรรกยะท่ไี มใ่ ชจ่ ำ� นวนเต็ม สามารถหารากทีส่ องไดด้ ้วยวธิ ีการเชน่ เดยี วกับจำ� นวนเต็ม โดยหาจ�ำนวนจรงิ ท่ยี กก�ำลงั สองแลว้ เทา่ กับจำ� นวนตรรกยะท่กี ำ� หนด ดังตวั อยา่ งต่อไปน้ี ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากทส่ี องของจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี 1) 0.16 2) 215 Learn Education วธิ ที �ำ 1) รากท่สี องของ 0.16 คือ จ�ำนวนจรงิ ทีย่ กกำ� ลงั สองแล้วเทา่ กับ 0.16 จะได้ รากที่สองที่เป็นบวกของ 0.16 คอื 0.16 และ รากท่ีสองท่ีเป็นลบของ 0.16 คอื - 0.16 เนื่องจาก 0.42 = 0.16 และ (-0.4)2 = 0.16 ดงั นน้ั รากทส่ี องของ 0.16 คือ 0.4 และ -0.4 ตอบ ด ังน ้ัน ร2า)ก ทรเแแจนาส่ีะลล่ือกอไะะดงทง จ้ ข่สี าออกรรงง าาขกก`2อ1`ทท-5ง่ีส่สี1155ออ2ค1jj5งงอื 22ทท คี่เ่ีเ15ปปือ==็นน็ แ จบลลำ� บวะน22กข11ว55ขอ-นอง15จงร 21งิ 25ท1 5่ยี คกคอื กอื -ำ� ลังสอ 221ง155แล้วเทา่ กับ 21 5 ตอบ จงหารากทสี่ องของจำ� นวนตอ่ ไปน้ี 2) 245 1) 0.81 52

สมบตั ิของรากท่ีสองของจำ� นวนจรงิ กำ� หนดให้ a, b เปน็ จ�ำนวนจรงิ บวกหรือศูนย์ และ m, n เปน็ จำ� นวนจรงิ ใด ๆ 1) ab = a b a b = a # b m a = m × a 2) a = a เม่ือ b ≠ 0 b b 3) m a + n a = (m + n) a 4) m a - n a = (m - n) a จากสมบัติดังกล่าว สามารถน�ำไปประยุกต์ใช้ได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตวั อย่างท่ี 3 จงเขียนจ�ำนวนตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ยู่ในรูปอยา่ งง่ายLearn Education 1) 12 + 75 2) 50 # 12 27 วิธที ำ� 1) 12 + 75 = 4 # 3 + 25 # 3 = 4 3 + 25 3 = 2 3 + 5 3 = (2 + 5) 3 = 7 3 ตอบ ตอบ 2) 50 # 12 = 25 # 2# 4 # 3 9# 27 3 = 25 # 2 # 4 # 3 9# 3 = 5# 2 #2# 3 3# 3 = 10 3 2 53

จำ� นวนจริง จงเขียนจำ� นวนต่อไปนใี้ หอ้ ย่ใู นรปู อย่างงา่ ย 75 # 98 48 1) 48 + 12 2) 500 + 20 - 80 3) การหาค่าของรากที่สอง นกั เรยี นสามารถหาคา่ ของรากทสี่ องได้ ดงั นี้ 1) การหารากทส่ี องโดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู ทำ� ไดโ้ ดยเขยี นจำ� นวนที่ตอ้ งการหารากท่ีสองในรปู การคณู ของจำ� นวน แลว้ จดั ใหอ้ ย่ใู นรูปกำ� ลังสอง ของจำ� นวนจำ� นวนหนึ่ง Learn Education ตัวอยา่ งที่ 4 จงหารากทสี่ องของ 900 โดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู วิธีท�ำ 900 = 9 × 100 = 3 × 3 × 10 × 10 = 3 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 = 2#2#3#3#5#5 = (2 # 3 # 5) # (2 # 3 # 5) = 30 # 30 = 302 และ 900 = (-30)2 ดังน้นั รากทส่ี องของ 900 คอื 30 และ -30 ตอบ จงหารากทส่ี องของ 1,521 โดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู 54

2) การหารากทสี่ องโดยการประมาณค่า ในการหารากที่สองของจำ� นวนเตม็ บวก เมอ่ื รากทส่ี องของจำ� นวนเตม็ บวกนน้ั ไมเ่ ปน็ จำ� นวนเตม็ คา่ ทไ่ี ดจ้ ะเปน็ จำ� นวนอตรรกยะ หากตอ้ งการจะนำ� รากทส่ี องของจำ� นวนนนั้ ไปใช้ จะตอ้ งหาคา่ ประมาณ ของรากทสี่ องน้นั เพอ่ื ความสะดวก ใหน้ กั เรยี นศึกษาจากตัวอย่างตอ่ ไปน้ี ตัวอย่างที่ 5 จงประมาณค่าของ 8 เปน็ ทศนยิ มสองตำ� แหนง่ วิธที �ำ หาจ�ำนวนที่ยกก�ำลงั สองแลว้ มคี า่ ใกล้เคยี ง 8 ตามขัน้ ตอนไดด้ งั น้ี 1) 8 เป็นจำ� นวนอตรรกยะ ซ่งึ อยรู่ ะหวา่ งจำ� นวนเต็มบวกสองจำ� นวนคอื 2 และ 3 ดังนี้ Learn Education n 2 8 3 n 4 89 2) จากตาราง 8 มคี ่าใกลเ้ คยี ง 9 มากกวา่ 4 แสดงว่า 8 มคี ่าใกล้เคียง 3 มากกวา่ 2 จึงประมาณ 8 เป็นทศนิยมหนึง่ ตำ� แหน่ง โดยเริ่มจาก 2.5 ดังนี้ n 2.5 2.6 2.7 2.8 8 2.9 n 6.25 6.76 7.29 7.84 8 8.41 3) จากตาราง 8 มีคา่ ใกล้เคียง 7.84 มากกวา่ 8.41 แสดงวา่ 8 มีคา่ ใกลเ้ คียง 2.8 มากกวา่ 2.9 จึงประมาณ 8 เปน็ ทศนิยมสองต�ำแหน่ง โดยเริ่มจาก 2.80 ดังนี้ n 2.80 2.81 2.82 8 2.83 n 7.84 7.8961 7.9524 8 8.0089 4) จากตาราง 8 มคี า่ ใกลเ้ คยี ง 8.0089 มากกวา่ 7.9524 แสดงวา่ 8 มคี า่ ใกลเ้ คยี ง 2.83 มากกว่า 2.82 จึงประมาณ 8 เปน็ ทศนิยมสามตำ� แหน่ง โดยเรมิ่ จาก 2.825 ดงั น้ี n 2.825 2.826 2.827 2.828 8 2.829 n 7.980625 7.986276 7.991929 7.997584 8 8.003241 5) จากตาราง 8 มคี ่าใกลเ้ คียง 7.997584 มากกวา่ 8.003241 ตอบ จึงประมาณค่าของ 8 เปน็ 2.828 ดงั นั้น คา่ ประมาณของ 8 เป็นทศนยิ มสองต�ำแหน่งคือ 2.83 55

จ�ำนวนจรงิ จงประมาณคา่ ของ 10 เป็นทศนิยมหนึ่งต�ำแหน่ง 3) การเปิดตาราง จ�ำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 100 สามารถหารากที่สองได้โดยเปิดตาราง ในหน้า 73-74 ให้นักเรียนศึกษาวิธีเปิดตารางจากตัวอย่างต่อไปนี้ n n2 n 11 1 Learn Education 2 4 1.4142 2 3 3 9 1.7321 5 4 16 2 5 25 2.2361 จากตาราง จะได้ว่า คา่ ประมาณของ 2 เทา่ กบั 1.4142 คา่ ประมาณของ 3 เทา่ กบั 1.7321 คา่ ประมาณของ 5 เทา่ กบั 2.2361 ตัวอย่างที่ 6 จงประมาณค่า 10 + 8 โดยใช้วิธีเปิดตารางในหน้า 73-74 ตอบ วิธีท�ำ 10 + 8 ≈ 3.1623 + 2.8284 = 5.9907 ดงั นน้ั 10 + 8 มคี า่ ประมาณ 5.9907 จงประมาณค่าจำ� นวนตอ่ ไปน้ี โดยใชว้ ิธเี ปดิ ตาราง 1) 42 2) 53 + 37 3) 13 - 3 56

แบบฝกึ หดั 4 1. (*) จงหารากทสี่ องของจำ� นวนตอ่ ไปนี้ 1) 49 9) 1.69 2) 81 10) 1.44 3) 196 11) 6.25 4) 625 12) 3.24 5) 121 Learn Education 13) 13 6) 832246618549 14) 17 7) 8) 15) 21 16) 1125 2. (*) จงพิจารณาวา่ จำ� นวนตอ่ ไปน้เี ป็นรากทส่ี องของจำ� นวนใด 1) 3 8) - 17 2) 4 9) 24 3) 12 10) - 3.14 4) -5 11) 9 5) -8 6) 5 12) -2712 7) 12 13) 14) 0.81 57

จ�ำนวนจรงิ 3. (**) จงหาผลลัพธ์ของจ�ำนวนต่อไปน้ใี นรปู อยา่ งงา่ ย 1) 72 6) 32 + 18 - 8 2) 75 7) 75 - 300 + 243 3) 80 + 20 4) 50 - 18 + 32 8) 300 # 200 5) 63 + 28 - 175 72 72 # 125 9) 1000 10) 500 # 625 800 # 250 Learn Education 4. (*) จงหารากทส่ี องของจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี โดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู 1) 676 5) 2,916 2) 784 6) 3,136 3) 1,024 7) 5,929 4) 1,225 8) 9,216 5. (*) จงหาค่าประมาณของจ�ำนวนตอ่ ไปนี้เปน็ ทศนยิ มหนง่ึ ตำ� แหนง่ 1) 7 2) 11 3) 23 6. (*) จงประมาณค่าจำ� นวนตอ่ ไปน้ี โดยใชว้ ิธเี ปดิ ตาราง 1) 59 6) 35 - 28 2) 73 7) 62 - 21 3) - 70 8) 60 + 70 + 80 4) - 84 9) 46 + 56 - 15 5) 3 + 5 10) 9 + 16 - 7 58

5. รากท่ีสามของจ�ำนวนจรงิ การหารากท่ีสามมหี ลักในการพิจารณาคลา้ ยกับการหารากที่สอง แตต่ า่ งกันตรงที่นกั เรียนต้องหา จ�ำนวนจ�ำนวนหน่งึ ซ่งึ ยกก�ำลงั สามแล้วมีค่าเท่ากับจำ� นวนที่กำ� หนด ¡ÅÍ‹ §¤ÇÒÁÌ٠ให้ a แทนจ�ำนวนจรงิ ใด ๆ รากท่สี ามของ a คอื จำ� นวนจรงิ ทย่ี กก�ำลังสามแลว้ มีค่าเทา่ กบั a รากทส่ี ามของจำ� นวนจรงิ a ใด ๆ เขียนแทนดว้ ย 3 a Learn Education ตัวอยา่ งที่ 1 จงหารากทสี่ ามของจ�ำนวนต่อไปน้ี ตอบ 1) 8 2) -8 ตอบ วิธีท�ำ 1) รากทส่ี ามของ 8 คอื จำ� นวนจรงิ ทย่ี กกำ� ลงั สามแลว้ เทา่ กบั 8 จะได้ รากที่สามของ 8 คอื 3 8 เนอื่ งจาก 23 = 8 ดงั นัน้ รากที่สามของ 8 คือ 2 2) รากทส่ี ามของ -8 คอื จำ� นวนจรงิ ทย่ี กกำ� ลงั สามแลว้ เทา่ กบั -8 จะได้ รากท่สี ามของ -8 คอื 3 -8 เน่ืองจาก (-2)3 = -8 ดงั น้ัน รากที่สามของ -8 คือ -2 จงหารากทส่ี ามของจำ� นวนต่อไปนี้ 2) -343 1) 343 59

จำ� นวนจรงิ สำ� หรับจำ� นวนตรรกยะท่ีไม่ใช่จ�ำนวนเตม็ สามารถหารากทสี่ ามได้ด้วยวธิ กี ารเชน่ เดยี วกบั จ�ำนวนเต็ม โดยหาจำ� นวนจริงทย่ี กก�ำลังสามแล้วเท่ากบั จ�ำนวนตรรกยะท่ีกำ� หนด ดังตัวอย่างต่อไปน้ี ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากท่สี ามของจำ� นวนต่อไปนี้ 2) 217 1) 0.125 วธิ ที �ำ 1) รากทสี่ ามของ 0.125 คอื จำ� นวนจรงิ ทย่ี กกำ� ลงั สามแลว้ เทา่ กบั 0.125 จะได้ รากท่ีสามของ 0.125 คอื 3 0.125 เน่ืองจาก (0.5)3 = 0.125 ดงั นน้ั รากทสี่ ามของ 0.125 คอื 0.5 ตอบ Learn Education ตอบ ดังนั้น รา2ก)ท ี่สจเรนาาะม่ือกไขดทงจอ้ส่ี รางาากมก2ข1ทb7อ13ีส่ งาคlม3ือ21ข=7อ13งค217อื 217จำ� คนอืวน3จรงิ ท217ยี่ กก ำ� ลงั ส ามแล ว้ เทา่ ก บั 217 จงหารากทีส่ ามของจ�ำนวนต่อไปนี้ 2) - 18 1) 0.001 60

สมบตั ขิ องรากท่ีสามของจ�ำนวนจรงิ ให้ a, b, p, q เปน็ จ�ำนวนจริงใด ๆ แล้ว 1) 3 ab = 3 a 3 b 3 a 3 b = 3 a #3 b 3 2) 3 a = 3 a เมอื่ b ≠ 0 p3 a = p × 3 a 3) b (p + q) 3 a =b p 3 a + q 3 a 4) p 3 a - q 3 a = (p - q) 3 a จากสมบัติดังกล่าว สามารถน�ำไปประยุกต์ใช้ได้ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้ ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนจ�ำนวนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งง่ายLearn Education 48 1) 3 3 + 3 24 2) 3 3 3 วธิ ีท�ำ 1) 3 3 + 3 24 = 3 3 + 3 8 # 3 = 3 3 + 3 8 3 3 = 3 3 + 23 3 = (1 + 2)3 3 2 ) 33 4 38 == 33 = 33 3 ตอบ 14638 ตอบ = 3 8 # 2 = 3 8 3 2 = 23 2 จงเขยี นจำ� นวนต่อไปนใ้ี หอ้ ย่ใู นรปู อยา่ งง่าย 3 32 3 16 1) 3 16 + 3 54 2) 3 3 - 3 24 + 3 81 3) 61

จำ� นวนจรงิ ตอบ ตัวอยา่ งที่ 4 จงเขียน 3 216x3y6 ให้อย่ใู นรปู อยา่ งง่าย วธิ ที �ำ 3 216x3y6 = 3 (6 # 6 # 6)x3(y2)3 = 3 63x3(y2)3 = 3 (6xy2)3 = 6xy2 จงเขยี น 3 729a9b12 ให้อยู่ในรูปอย่างงา่ ย Learn Education การหาคา่ ของรากทีส่ าม นกั เรยี นสามารถหาคา่ ของรากทสี่ ามได้ ดงั นี้ 1) การหารากทส่ี ามโดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู ทำ� ไดโ้ ดยเขยี นจำ� นวนทตี่ อ้ งการหารากทส่ี ามในรปู การคณู ของจำ� นวน แลว้ จดั ให้อยู่ในรูปก�ำลังสาม ของจ�ำนวนจ�ำนวนหน่ึง ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหารากทส่ี ามของ 2,744 โดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู วิธที �ำ เนอ่ื งจาก 2,744 = 1372 × 2 = 686 × 2 × 2 = 343 × 2 × 2 × 2 = 49 × 7 × 2 × 2 × 2 = 7 × 7 × 7 × 2 × 2 × 2 = (2 × 7) × (2 × 7) × (2 × 7) = 14 × 14 × 14 = 143 ดงั นนั้ รากท่ีสามของ 2,744 คอื 14 ตอบ จงหารากทส่ี ามของจ�ำนวนที่กำ� หนดให้ต่อไปนี้ โดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู 1) 1,728 2) -0.008 3) 1285 4) - 217 62

2) การหารากทสี่ ามโดยการเปิดตาราง การเปิดตาราง นักเรียนสามารถหารากที่สามโดยเปิดตารางในหน้า 73-74 ซ่ึงสามารถใชไ้ ดก้ บั จำ� นวนเต็มบวกตง้ั แต่ 1 ถงึ 100 ใหน้ กั เรียนศกึ ษาวธิ ีเปดิ ตารางจากตัวอย่างดังตอ่ ไปน้ี n n3 3n 11 1 2 8 1.2599 32 33 3 27 1.4422 34 4 64 1.5874 Learn Education 5 125 1.7100 จากตาราง จะไดว้ า่ ค่าประมาณของ 3 2 เทา่ กับ 1.2599 คา่ ประมาณของ 3 3 เทา่ กับ 1.4422 คา่ ประมาณของ 3 4 เทา่ กับ 1.5874 ตัวอยา่ งท่ี 6 จงประมาณค่า 3 4 - 3 2 โดยใชว้ ิธีเปดิ ตารางในหน้า 73-74 ตอบ วิธีทำ� 3 4 - 3 2 ≈ 1.5874 - 1.2599 = 0.3275 ดังนัน้ 3 4 - 3 2 มีค่าประมาณ 0.3275 จงประมาณคา่ จำ� นวนตอ่ ไปนี้ โดยใช้วิธเี ปิดตาราง 1) 3 99 2) 3 15 - 3 10 3) 3 11 - 3 21 + 3 31 63

จำ� นวนจรงิ แบบฝกึ หดั 5 1. (*) จงหารากที่สามของจำ� นวนต่อไปน้ี 4) 216 1) 27 5) 01.210501 2) -1 6) 3) -64 2. (*) จงเขียนจ�ำนวนตอ่ ไปนใี้ ห้อยู่ในรปู อย่างงา่ ย 1) 3 512 6) 3 125a3b6 7) 3 642a79b6 2) 3 -216 8) 3 0.008a6b9c12 3) 3 76249 9) 3 64a83b6 4) 3 0.216 10) 3 6255aab7b4 เมือ่ a ≠ 0 และ b ≠ 0 Learn Education 5) 3 27a3b6c9 3. (*) จงหารากทีส่ ามของจ�ำนวนตอ่ ไปนี้ โดยเขยี นอยใู่ นรปู การคณู 1) 216 3) 5,832 4) 10,648 2) 2,744 4. (*) จงหาค่าประมาณของจ�ำนวนตอ่ ไปนี้ โดยใชว้ ิธเี ปิดตาราง 1) 3 15 7) 3 12 - 3 8 2) 3 -22 8) 3 25 - 3 18 3) 3 37 9) 3 1 + 3 3 + 3 5 4) -3 44 10) 3 4 + 3 17 - 3 3 5) -3 52 11) 3 7 - 3 2 + 3 10 6) 3 7 + 3 11 12) 3 15 - 3 10 - 3 5 64

5. (**) จงทำ� ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย 5) 3 320 - 3 40 - 3 135 1) 3 24 - 3 81 2) 3 2 × 3 4 6) 3 81 # 3 24 3) 3 16 - 3 54 + 3 128 3 16 4) 3 81 + 3 192 + 3 24 7) 3 54 # 3 12 3 32 8) 3 135 # 3 625 3 250 Learn Education 6. การนำ� ความรเู้ กี่ยวกบั จ�ำนวนจริงไปใช้ ในการค�ำนวณบางปัญหาจ�ำเป็นต้องน�ำความรู้เรื่องรากที่สองและรากที่สามมาประยุกต์ใช้ สามารถ ศกึ ษาได้จากตัวอยา่ งต่อไปน้ี ตวั อย่างที่ 1 วงกลมวงหนงึ่ มพี ้นื ท่ี 1,962.5 ตารางเซนติเมตร จงหารศั มขี องวงกลมรปู นี้ (ก�ำหนดให้ r ≈ 3.14) วธิ ที �ำ ให้วงกลมนมี้ ีรัศมีเทา่ กบั r เซนตเิ มตร จากสตู ร พ้นื ทข่ี องวงกลม = rr2 จะได้ rr2 = 1,962.5 r r2 = 1, 962.5 r ≈ 1,39.6124.5 = 625 จะได้ r = 25 หรือ -25 เน่ืองจาก r เปน็ ความยาวของรัศมขี องวงกลม จึงเป็นจำ� นวนลบไม่ได้ ดงั นน้ั วงกลมรูปน้มี รี ัศมีประมาณ 25 เซนติเมตร ตอบ 65

จำ� นวนจริง วงกลมรูปหน่ึงมพี ื้นท่ี 706.5 ตารางเซนตเิ มตร จงหารศั มขี องวงกลมรูปน้ี (ก�ำหนดให้ r ≈ 3.14) ตวั อย่างที่ 2 ลกู บาศกล์ กู หนงึ่ มปี รมิ าตร 4,913 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร จงหาความยาวของดา้ นของ ลกู บาศกล์ กู น้ี วธิ ที �ำ ให้ลูกบาศกม์ ีความยาวของด้านเท่ากบั a เซนติเมตร จากสตู ร ปรมิ าตรของลกู บาศก ์ = ด้าน3 a จะได้ 4,913 = a3 Learn Education a = 3 4,913 a = 3 17 # 17 # 17 a a = 3 173 a จะได้ a = 17 ดงั นนั้ ลกู บาศก์ลูกนมี้ ีความยาวของดา้ นเทา่ กับ 17 เซนติเมตร ตอบ ปริมาตรของลูกบาศก์ลกู หนง่ึ เปน็ 3,375 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร จงหาความยาวของดา้ นของลูกบาศกน์ ี้ 66

Learn Educationแบบฝกึ หดั 6 1. (*) สระนำ้� รูปวงกลมมีพืน้ ที่ 1,256 ตารางเมตร จงหารศั มขี องสระนำ้� แห่งน้ี (ก�ำหนดให้ r ≈ 3.14) 2. (*) กระดานแผ่นหนึ่งเปน็ รูปสเ่ี หลีย่ มจัตุรสั มีพน้ื ที่ 529 ตารางเมตร จงหาความยาวของดา้ นของ กระดานแผ่นน้ี 3. (*) ลูกเต๋าทีม่ ปี รมิ าตร 3.375 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะมีความยาวของดา้ นเท่ากบั เท่าใด 4. (**) สนามหญ้ารปู วงกลมมพี ้นื ที่ 3,850 ตารางเมตร จงหาความยาวรอบสนามหญ้าแห่งน้ี (กำ� หนดให้ r . 272 ) 5. (**) นำ� ลวดเส้นหน่ึงมาดัดเพอื่ ลอ้ มรอบรูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรัสท่มี พี ื้นท่เี ทา่ กบั 289 ตารางเซนติเมตร พบว่าใชล้ วดหมดเส้นพอดี ลวดเส้นนม้ี ีความยาวเท่ากบั เทา่ ใด 6. (**) ถังน้�ำทรงลูกบาศก์ใบใหญ่มีน้�ำบรรจุอยู่เต็ม ถ้าถ่ายน�้ำทั้งหมดลงในถังน้�ำทรงลูกบาศก์ ขนาดเล็ก 3 ใบ ทมี่ ี ความยาวของดา้ น 3 เมตร 4 เมตร และ 5 เมตร ได้พอดี ถังน�้ำทรงลกู บาศก์ ใบใหญม่ ดี ้านแตล่ ะดา้ นยาวเทา่ ใด 67

Learn Education จ�ำนวนจริง ·บ·Ç¹µÇั àͧTESCTHECKLIST • จงอธิบายลกั ษณะของจำ� นวนตรรกยะ จำ� นวนอตรรกยะ และจ�ำนวนจริง • จงอธิบายการเปล่ยี นทศนิยมซำ้� ทไี่ ม่เปน็ ทศนยิ มซำ้� ศนู ยใ์ หเ้ ป็นเศษสว่ น • จงอธบิ ายสมบัติของรากท่ีสองของจ�ำนวนจรงิ และการหารากที่สองของจ�ำนวนตรรกยะดว้ ยวิธีต่าง ๆ • จงอธิบายสมบัตขิ องรากทสี่ ามของจ�ำนวนจริงและการหารากทีส่ ามของจ�ำนวนตรรกยะดว้ ยวิธีตา่ ง ๆ ห้องรับแขกรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ใช้สอย 37 ตารางเมตร ห้องรับแขกกว้างประมาณก่ีเมตร (ตอบเป็นทศนิยม 2 ต�ำแหน่ง) 68

·ดÊÍบ·ÒŒ Âห¹Ç‹ ÂกÒÃàÃÂÕ ¹ÃŒÙ จงเลือกคำ�ตอบทถี่ กู ตอ้ ง 1. เขยี น 0.1$8$ ในรูปเศษสว่ นไดด้ ังข้อใดต่อไปนี้ ก. 111121431111 ข. ค. ง. Learn Education 2. กเข.ยี 0น.1$519$ 59 ในรปู ทศนยิ มซำ�้ ได้ดังข้อใดต่อไปนี้ ข. 0.15$ ค. 0.15$ 0$ ง. 0.15$ 9$ 3. ขอ้ ใดเป็นจ�ำนวนตรรกยะ ก. r ข. 3 -27 ค. 3 10 ง. 20 4. ข้อใดเปน็ จำ� นวนอตรรกยะท้ังหมด 13 ก. r, , 0, 3 ข. 272 3.14 , ค. 3 , 4 , 5 ง. 2 , r, 1.2343443444344443... 69

จำ� นวนจริง 5. ข้อใดเป็นจำ� นวนอตรรกยะ ก. 3 × 3 ข. 3 ' 3 ค. 3 + 3 ง. 3 - 3 6. ขอ้ ใดเปน็ จำ� นวนตรรกยะ ก. 7 ข. 12 ค. 25 ง. 50 Learn Education 7. 12 + 27 + 48 มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด ก. 6 3 ข. 7 3 ค. 8 3 ง. 9 3 8. 81 - 3 -512 มีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด ก. 15 ข. 16 ค. 17 ง. 18 9. จงหาคา่ ของ 3 8a2 × 3 8a2 × 3 8a2 ก. 8a ข. 2a ค. 8a2 ง. 2a2 70

10. ถ้า x3 = -343 แลว้ x2 - 1 เท่ากบั เทา่ ใด Learn Education ก. 48 ข. -50 ค. -48 ง. 50 11. ข้อความใดถกู ตอ้ ง ก. จำ� นวนตรรกยะสามารถเขยี นเปน็ ทศนิยมซ้ำ� ได ้ ข. จำ� นวนจรงิ ประกอบดว้ ยเศษส่วนและจ�ำนวนเตม็ เทา่ น้ัน ค. จำ� นวนทเ่ี ขียนในรปู ทศนิยมซำ้� เป็นจ�ำนวนอตรรกยะ ง. มีจำ� นวนเต็มทเี่ ปน็ จำ� นวนอตรรกยะ 12. ขอ้ ความใดเป็นจรงิ ก. 0.454545... เป็นจำ� นวนอตรรกยะ ข. มจี ำ� นวนจริง a ท่ีทำ� ให้ a - 5 = -2 ค. 0.3232232223... เปน็ จำ� นวนตรรกยะ ง. จำ� นวนจริงประกอบดว้ ยจ�ำนวนตรรกยะและจำ� นวนอตรรกยะ 13. ขอ้ ใดกลา่ วได้ถกู ตอ้ ง ก. จำ� นวนเตม็ บางจ�ำนวนเป็นจ�ำนวนอตรรกยะ ข. จำ� นวนอตรรกยะทุกจำ� นวนเปน็ จำ� นวนจริง ค. จำ� นวนตรรกยะบางจำ� นวนเป็นจำ� นวนอตรรกยะ ง. จำ� นวนจรงิ ทกุ จำ� นวนเป็นจำ� นวนตรรกยะ 71

จ�ำนวนจรงิ 14. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี a) รากที่สองของ 169 มี 2 คา่ คือ 13 และ -13 b) รากทสี่ ามของ -64 มี 2 ค่า คอื 4 และ -4 c) รากที่สองของ 16 มี 1 ค่า คอื -4 d) รากที่สามของ -27 มี 1 ค่า คอื -3 มีข้อความทเ่ี ป็นจริงก่ขี อ้ ก. 1 ขอ้ ข. 2 ขอ้ ค. 3 ขอ้ ง. 4 ขอ้ 6 7 a b c d d ¢ÍŒ Êͺ»ÃÐÅÍ§Â·Ø ¸ 1 6a a b b c c d d 8 aa bb cc d 9 d 1 2233445 5 7 8 9a 10 dc cc d d a ab bc d a b b cc Learn Educationd c bd d a b d a ba c b d d aa bb d c a cc d c a ab c d a bac b c d d ab c 6 6 10a a b b c d (แนวขอ้ สอบ O-NET) 1. ( 147 - 108 + 48)2 มีคา่ เทา่ ใด (แนวข้อสอบ O-NET) 2. จงหาคา่ ของ 6(2 # 12) + (3 # 27)@- 6(4 # 48) - (5 # 75)@ 72

ตารางแสดงกำ� ลังสอง ก�ำลังสาม รากทีส่ อง และรากที่สามของจำ� นวนเตม็ บวกต้งั แต่ 1 ถงึ 100 n n2 n n3 3 n n n2 n n3 3 n 1 1 1 1 1 26 676 5.0990 17,576 2.9625 2 4 1.4142 8 1.2599 27 729 5.1962 19,683 3 3 9 1.7321 27 1.4422 28 784 5.2915 21,952 3.0366 4 16 2 64 1.5874 29 841 5.3852 24,389 3.0723 5 25 2.2361 125 1.7100 30 900 5.4772 27,000 3.1072 6 36 2.4495 216 1.8171 31 961 5.5678 29,791 3.1414 Learn Education 7 49 2.6458 343 1.9129 32 1,024 5.6569 32,768 3.1748 8 64 2.8284 512 2 33 1,089 5.7446 35,937 3.2075 9 81 3 729 2.0801 34 1,156 5.8310 39,304 3.2396 10 100 3.1623 1,000 2.1544 35 1,225 5.9161 42,875 3.2711 11 121 3.3166 1,331 2.2240 36 1,296 6 46,656 3.3019 12 144 3.4641 1,728 2.2894 37 1,369 6.0828 50,653 3.3322 13 169 3.6056 2,197 2.3513 38 1,444 6.1644 54,872 3.3620 14 196 3.7417 2,744 2.4101 39 1,521 6.2450 59,319 3.3912 15 225 3.8730 3,375 2.4662 40 1,600 6.3246 64,000 3.4200 16 256 4 4,096 2.5198 41 1,681 6.4031 68,921 3.4482 17 289 4.1231 4,913 2.5713 42 1,764 6.4807 74,088 3.4760 18 324 4.2426 5,832 2.6207 43 1,849 6.5574 79,507 3.5034 19 361 4.3589 6,859 2.6684 44 1,936 6.6332 85,184 3.5303 20 400 4.4721 8,000 2.7144 45 2,025 6.7082 91,125 3.5569 21 441 4.5826 9,261 2.7589 46 2,116 6.7823 97,336 3.5830 22 484 4.6904 10,648 2.8020 47 2,209 6.8557 103,823 3.6088 23 529 4.7958 12,167 2.8439 48 2,304 6.9282 110,592 3.6342 24 576 4.8990 13,824 2.8845 49 2,401 7 117,649 3.6593 25 625 5 15,625 2.9240 50 2,500 7.0711 125,000 3.6840 73

จำ� นวนจรงิ n n2 n n3 3 n n n2 n n3 3 n 51 2,601 7.1414 132,651 3.7084 76 5,776 8.7178 438,976 4.2358 52 2,704 7.2111 140,608 3.7325 77 5,929 8.7750 456,533 4.2543 53 2,809 7.2801 148,877 3.7563 78 6,084 8.8318 474,552 4.2727 54 2,916 7.3485 157,464 3.7798 79 6,241 8.8882 493,039 4.2908 55 3,025 7.4162 166,375 3.8030 80 6,400 8.9443 512,000 4.3089 56 3,136 7.4833 175,616 3.8259 81 6,561 9 531,441 4.3267 57 3,249 7.5498 185,193 3.8485 82 6,724 9.0554 551,368 4.3445 58 3,364 7.6158 195,112 3.8709 83 6,889 9.1104 571,787 4.3621 Learn Education 59 3,481 7.6811 205,379 3.8930 84 7,056 9.1652 592,704 4.3795 60 3,600 7.7460 216,000 3.9149 85 7,225 9.2195 614,125 4.3968 61 3,721 7.8102 226,981 3.9365 86 7,396 9.2736 636,056 4.4140 62 3,844 7.8740 238,328 3.9579 87 7,569 9.3274 658,503 4.4310 63 3,969 7.9373 250,047 3.9791 88 7,744 9.3808 681,472 4.4480 64 4,096 8 262,144 4 89 7,921 9.4340 704,969 4.4647 65 4,225 8.0623 274,625 4.0207 90 8,100 9.4868 729,000 4.4814 66 4,356 8.1240 287,496 4.0412 91 8,281 9.5394 753,571 4.4979 67 4,489 8.1854 300,763 4.0615 92 8,464 9.5917 778,688 4.5144 68 4,624 8.2462 314,432 4.0817 93 8,649 9.6437 804,357 4.5307 69 4,761 8.3066 328,509 4.1016 94 8,836 9.6954 830,584 4.5468 70 4,900 8.3666 343,000 4.1213 95 9,025 9.7468 857,375 4.5629 71 5,041 8.4261 357,911 4.1408 96 9,216 9.7980 884,736 4.5789 72 5,184 8.4853 373,248 4.1602 97 9,409 9.8489 912,673 4.5947 73 5,329 8.5440 389,017 4.1793 98 9,604 9.8995 941,192 4.6104 74 5,476 8.6023 405,224 4.1983 99 9,801 9.9499 970,299 4.6261 75 5,625 8.6603 421,875 4.2172 100 10,000 10 1,000,000 4.6416 74