3 Διανυσματα για βιβλιο

Οι Κβαντικοί Υπολογιστές στη Μέση Εκπαίδευση KYMA 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 3.1. Μεγέθη αριθμητικά και διανυσματικά (scalars and vectors) 3.2. Γεωμετρική θεώρηση διανυσμάτων 3.3. Πράξεις διανυσμάτων 3.4. Αριθμητικό γινόμενο διανυσμάτων 3.5. Αναλυτική θεώρηση διανυσμάτων Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε Άδεια Χρήσης Creative Commons

3.1. Μεγέθη αριθμητικά και διανυσματικά (scalars and vectors) ΣΧΟΛΙΟ Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού µε προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα άρχισε στα τέλη του 18ου αιώνα, για να δοθεί µια γεωμετρική ερμηνεία στους αρνητικούς αριθμούς και για να βρεθεί ένας τρόπος αναλυτικής έκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθυγράμμων τμημάτων. Προς την κατεύθυνση αυτή καθοριστικό υπήρξε το έργο των C. Wessel (1791) και R.Argand (1806). O J.W. Gibbs έγραψε το πρώτο βιβλίο Διανυσματικού Λογισμού το 1901, εισήγαγε το Αριθμητικό Γινόμενο Διανυσμάτων και το Διανυσματικό Γινόμενο Διανυσμάτων Wilson E. 1901, Vector Analysis. A text-book for the use of students of mathematics and physics. Founded upon the lectures of J. W. Gibbs, Ph.D., LL.D., Yale University Press, New Haven, 7editions, Dover Reprint 1960, New York. Θα διαπραγματευτούμε τις έννοιες: • Έννοια διανύσματος στην Φυσική • Αριθμητικά ή Βαθμωτά μεγέθη • Διανυσματικά μεγέθη • Απόσταση και μετατόπιση. Διαφορά αριθμητικών μεγεθών από διανυσματικά μεγέθη. ΣΧΟΛΙΟ Έννοια του διανύσματος στην Φυσική Παρατηρώντας τα φαινόμενα διακρίνουμε τα μεγέθη σε δυο μεγάλες κατηγορίες: αριθμητικά ή βαθμωτά μεγέθη και διανυσματικά μεγέθη. Αριθμητικά ή βαθμωτά μεγέθη. Όταν μετράμε ένα μέγεθος, όπως π.χ. το χρόνο που θα διαρκέσει κάθε φορά η συνάντηση μας στον Όμιλο Qubit-team, καταχωρούμε τη μέτρηση με έναν αριθμό που σημασιοδοτείται από την μονάδα μέτρησης. Για παράδειγμα, κάθε συνάντηση του ομίλου διαρκεί 2 ώρες ή 120 λεπτά. Χρησιμοποιώντας το σύμβολο t για το χρόνο, γράφουμε: t = 120min. Τα μεγέθη που προσδιορίζονται πλήρως από έναν αριθμό λέγονται αριθμητικά ή βαθμωτά μεγέθη. Για παράδειγμα: ο χρόνος, που εκφράζεται σε ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα κ.τ.λ., η θερμοκρασία που εκφράζεται σε βαθμούς Κελσίου, Φαρενάιτ κ.τ.λ., η μάζα που εκφράζεται σε χιλιόγραμμα, γραμμάρια κ.τ.λ.

Διανυσματικά μεγέθη Όμως, παρατηρούμε μεγέθη που ένας αριθμός δεν αρκεί για να τα προσδιορίσει, όπως στα αριθμητικά μεγέθη. Παραδείγματα τέτοιων μεγεθών είναι η ταχύτητα και η δύναμη. 1. Η ταχύτητα (velocity) Ο Γιάννης συζητά με τον Κώστα, βρίσκονται σταματημένοι σε ένα σταυροδρόμι λίγο πριν φτάσουν στο σχολείο. Ένα κόκκινο αυτοκίνητο πέρασε από μπροστά τους. -Γιάννης: Κώστα, κυκλοφορούν πολλοί επικίνδυνοι οδηγοί στην πόλη! Πόσο ανεύθυνο οδήγημα! Κυκλοφορούν μικρά παιδιά! Πρέπει να έτρεχε τουλάχιστον με 100 χιλιόμετρα την ώρα. -Κώστας: Καλά, προς τα πού πήγαινε τόσο γρήγορα; Μπορείτε να περιγράψετε την κίνηση του αυτοκινήτου; Γιατί ρωτά ο Κώστας; Δεν έχει όλες τις πληροφορίες με αυτά που του είπε ο φίλος του; Απάντηση ενδεικτική: Δεν έχει ο Γιάννης δώσει όλες τις πληροφορίες για να ξέρει ο Κώστας προς τα πού πήγαινε το αυτοκίνητο. Δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο της ταχύτητας (100 km/h). Για να καταλάβουμε προς τα πού κινείται το αυτοκίνητο, χρειάζεται η κατεύθυνσή του. 2. Δύναμη (force) Σε κάθε μία από τις παραπάνω 3 εικόνες εφαρμόζονται δυνάμεις. Η τρίτη εικόνα παριστάνει ένα σύστημα ηλεκτρικών διπόλων. Τα άκρα κάθε διπόλου έχουν θετικά και αρνητικά φορτία. Τα φορτία αυτά αλληλοεπιδρούν με ηλεκτρικές δυνάμεις Coulomb και ισορροπούν. Μπορείτε να συμπληρώσετε τις δυνάμεις πάνω στα σώματα; Δεδομένου ότι τα σώματα είναι ακίνητα τι συμπέρασμα βγάζετε για αυτές σε κάθε περίπτωση; Απόσταση-μετατόπιση. (Distance-Displacement). Διάκριση διανυσματικών από αριθμητικά μεγέθη. Ένα αυτοκίνητο κινείται από το σημείο A στο σημείο B ακολουθώντας τη διαδρομή που παριστάνεται με τη διακεκομμένη γραμμή. Το μήκος της διακεκομμένης γραμμής είναι αριθμητικό μέγεθος, ενώ η μετατόπιση είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με κατεύθυνση από το A στο B. Στη μετατόπιση μας ενδιαφέρει η αρχή Α, το τέλος Β της κίνησης και η κατεύθυνση (η κίνηση από το Α προς το Β είναι διαφορετική της κίνησης από το Β προς το Α).

3.2. Γεωμετρική θεώρηση διανυσμάτων ΣΧΟΛΙΟ Θα αναλύσουμε τις έννοιες: • Ορισμός διανύσματος • Μήκος ή Μέτρο διανύσματος • Ίσα και αντίθετα διανύσματα. Παράλληλη μεταφορά διανύσματος • Αντίθετα, ομόρροπα, αντίρροπα, παράλληλα διανύσματα • Μοναδιαίο διάνυσμα Ορισμός Διανυσματικά Μεγέθη Μεγέθη, όπως η ταχύτητα, που ορίζονται από έναν αριθμό που λέγεται μέτρο, από μια ευθεία που λέγεται φορέας ή διεύθυνση και από τη φορά επί της ευθείας, ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη και παριστάνονται με διανύσματα. Διάνυσμα (vector): Από το ρήμα \"διανύω\" που παράγεται από τις λέξεις «δια» και «ανύω» και σημαίνει φέρω εις πέρας, επιτελώ, κινούμαι, διατρέχω διαδρομή από την αρχή ως το τέλος. Ξεν.Απομν.2,4,7 «οι οφθαλμοί ποορώσι..και οι πόδες διανύουσι». Καινή Διαθήκη Πράξ. 21, 7 «Τον πλουν διανύσαντες από Τύρου κατηντήσαμεν εις Πτολεμαΐδα» Πολύβ. 9,14,8 «...Πορείας και διανύσματος ημερήσιου». Ορισμός Διάνυσμα Διάνυσμα είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα (directed line segment). Διάνυσμα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ είναι το διατεταγμένο ζεύγος σημείων (Α,Β) καθώς και τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ Το διάνυσμα ⃗A⃗⃗⃗B⃗ σημαίνει, μετάβαση από το Α στο Β. Το διάνυσμα ⃗B⃗⃗⃗A⃗ σημαίνει, μετάβαση από το Β στο Α. Τα διανύσματα συμβολίζονται ως: ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ , ⃗α, α, ψ⃗⃗ , ψ. Στη βιβλιογραφία το βέλος άνω παραλείπεται αν δεν προκαλείται σύγχυση . Τα σημεία Α και Β καλούνται άκρα (edges) του διανύσματος ⃗A⃗⃗⃗B⃗ . Το πρώτο σημείο Α καλείται αρχή και το δεύτερο σημείο Β καλείται πέρας (τέλος) του διανύσματος ⃗A⃗⃗⃗B⃗ . Ορισμός Φορέας Διανύσματος (carrier) Καλείται η ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα Α, Β Ορισμός Διεύθυνση Διανύσματος (direction) ορίζεται από τον φορέα του και κάθε ευθεία παράλληλη προς τον φορέα του. Ορισμός Φορά και Κατεύθυνση Διανύσματος

Η φορά του διανύσματος ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ορίζεται από την διάταξη Α→Β. Η φορά του διανύσματος ⃗A⃗⃗⃗B⃗ από αριστερά προς δεξιά ορίζει την θετική φορά στον φορέα ε. Η φορά του Γ⃗⃗⃗Δ⃗ από δεξιά προς αριστερά ορίζει την αρνητική φορά στον φορέα ε. Η διεύθυνση και η φορά αποτελούν την κατεύθυνση του διανύσματος. Ορισμός Προσανατολισμένη Ευθεία ή Άξονας ή Ακτίνα (Ray) Κάθε ευθεία στην οποία έχει οριστεί η θετική φορά συνήθως μέσω ενός διανύσματος. Ορισμός Μήκος ή Μέτρο Διανύσματος To Μήκος (length) ή Μέτρο (magnitude) του διανύσματος ⃗⃗A⃗⃗⃗B⃗ είναι το μηκος του αντιστοιχου ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ και συμβολιζεται: ‖⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ‖ = |⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ | = ΑΒ. Θα κρατήσουμε για το μέτρο τον συμβολισμό ‖⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ‖ γιατί χρησιμοποιειται στην βιβλιογραφία της κβαντικής πληροφορίας. Το μέτρο διανύσματος είναι αριθμός θετικός ή μηδέν, όπως είναι το μηκος του αντιστοιχου ευθυγραμμου τμηματος. Πρόταση Ιδιότητες Μέτρου Διανυσμάτων Αν ⃗α = β⃗ , τότε ‖⃗α‖ = ‖⃗β‖ Αν ‖⃗α‖ = ‖⃗β‖ , τότε δεν ισχύει κατ’ ανάγκη ⃗α = ⃗β ΧΟΛΙΟ Μηκος Ευθυγραμμου Τμηματος. Μετρηση Μεγεθων To μηκος ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ είναι ο λογος του ΑΒ προς ένα ευθυγραμμο τμημα ΟΙ που εκλαμβανεται ως μοναδα μετρησης [Ευκλειδεια Γεωμετρια, ΥΠΕΘ, τευχος Β, Παραγραφος 7.5]. Η μετρηση μεγεθων (πχ μηκος ευθυγραμμου τμηματος) διατυπωνεται για πρωτη φορα από τον Ευδοξο ως Αξιωμα: «Αν το μεγεθος η είναι μικροτερο από το μεγεθος α, τοτε υπαρχει αριθμος ν=2,3,… ώστε: α< νη». Από το Αξιωμα του Ευδοξου συναγεται ότι υπαρχει ενας και μονον ενας αριθμος Ν=2,3,…, ωστε: ������������ ≤ ������ < (������ + 1)������ Πραγματι, εστω ���̃��� ο μικροτερος αριθμος για τον οποιο ισχυει το αξιωμα του Ευδοξου: α< ���̃���η και δεν μπορει να ισχυει: ������ < (���̃��� − 1)������. Συνεπως: (���̃��� − 1)������ ≤ ������. Θετοντας ������ = (������∗ − 1): ������������ ≤ ������ < (������ + 1)������

Ο αριθμος Ν είναι το αποτελεσμα της μετρησης του μεγεθους α με μοναδα μετρησης (ακριβεια) το μεγεθος η. Αυτή είναι η εννοια της μετρησης μεγεθων ως σημερα. Το Αξιωμα του Ευδοξου αναφερεται από τον Ευκλειδη [Στοιχεια 5] και τον Αρχιμηδη [Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου]. Ο Hilbert το αναφερει ως Αξιωμα Αρχιμηδους, στο εργο του για την θεμελιωση της Γεωμετριας: Hilbert D. 1902, The Foundations of Geometry, La Salle, Open Court Publishing ΣΧΟΛΙΟ Το Μηκος Ευθυγραμμου Τμηματος είναι πραγματικος αριθμός θετικός ή μηδέν Αν τα ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ και ΟΙ είναι συμμετρα, τοτε το μηκος του ΑΒ είναι ρητος αριθμος, ενώ αν είναι ασυμμετρα, τοτε το μηκος του ΑΒ είναι είναι αρρητος αριθμος. [Ευκλειδεια Γεωμετρια, ΥΠΕΘ, τευχος Β, Παραγραφος 7.3]. Η αποδειξη για τα ασυμμετρα ευθυγραμμα τμηματα δεν είναι εφικτη στο πλαισιο των Αξιωματων του Ευκλειδη. Απαιτειται επιπλεον η θεμελιωση των Πραγματικων αριθμων, εργο που ολοκληρωθηκε πολύ αργοτερα, στα τελη του 19ου αιωνα. Για ευρεια συζητηση της θεμελιωσης των Πραγματικων αριθμων προτεινεται το προσφατο αρθρο: Weiss I. 2015, The Real Numbers. A Survey of Constructions, Rocky Mountain Journal of Mathematics 45, 737-762. Ορισμός Μοναδιαίο διάνυσμα (unit vector) Μοναδιαίο είναι κάθε Διάνυσμα x⃗ Μήκους 1: ‖⃗x‖ = 1. Τα Μοναδιαία Διανύσματα συνήθως συμβολίζονται ως: i, ⃑j, ⃗k , υ⃗ , ⃗u , e⃗ . ‖i‖ = ‖⃑j‖ = ‖⃗k‖ = 1 ή ‖u⃗ ‖ = ‖⃗v‖ = ‖e⃗ ‖ = 1 Ορισμός Μηδενικό διάνυσμα (zero vector) Πότε το μέτρο ενός διανύσματος είναι μηδέν; Όταν η αρχή και το τέλος του διανύσματος συμπίπτουν (οπότε και το μέτρο του θα είναι μηδέν). Τα διανύσματα μέτρου μηδέν καλούνται μηδενικά διανύσματα, θεωρούνται μεταξύ τους ίσα και όλα συμβολίζονται με ο⃗ . ‖⃗α‖ = 0 ⇔ ⃗α = ⃗ο ‖⃗α‖ > 0 ⇔ ⃗α ≠ ο⃗

Ορισμός Παράλληλα διανύσματα (parallel vectors) Δύο μη μηδενικά διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ , που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα διανύσματα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ // Γ⃗⃗⃗Δ⃗ . Το μηδενικό διάνυσμα μπορούμε να το θεωρήσουμε παράλληλο ή κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα. Ορισμός Ομόρροπα και Αντίρροπα διανύσματα Τα παράλληλα διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Δύο μη μηδενικά διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ λέγονται ομόρροπα αν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ. Τα ομόρροπα διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ έχουν την αυτή κατεύθυνση (την αυτή διεύθυνση και φορά). Συμβολισμός: ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ↑↑ Γ⃗⃗⃗Δ⃗ . Δύο μη μηδενικά διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ λέγονται αντίρροπα, αν είναι παράλληλα και δεν είναι ομόρροπα. Τα αντίρροπα διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (την αυτή διεύθυνση και αντίθετη φορά). Συμβολισμός: ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ↑↓ Γ⃗⃗⃗Δ⃗ . Ομόρροπα Διανύσματα Αντίρροπα διανύσματα ΣΧΟΛΙΟ Γιατί το σχοινί μένει ακίνητο; Ορισμός Ίσα (equal) και Αντίθετα (opposite) διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι ίσα, αν έχουν ίσα μέτρα και είναι ομόρροπα. Για να συμβολίσουμε ότι δύο διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και Γ⃗⃗⃗Δ⃗ είναι ίσα, γράφουμε ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = Γ⃗⃗⃗Δ⃗ . . Δηλαδή ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = Γ⃗⃗⃗Δ⃗ (⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ↑↑ Γ⃗⃗⃗Δ⃗ και ‖⃗A⃗⃗⃗B⃗ ‖ = ‖ΓΔ⃗ ‖). ⇔ Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα, αν έχουν ίσα μέτρα και είναι αντίρροπα. Τα διανύσματα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ και ⃗Β⃗⃗⃗Α⃗ είναι αντίθετα. Συμβολίζουμε: ⃗Β⃗⃗⃗Α⃗ = −⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ . Ένα διάνυσμα μεταφέρεται σε άλλη θέση μένοντας παράλληλο στον εαυτό του. Ο μετασχηματισμός (αυτός ονομάζεται παράλληλη μεταφορά. Όλα τα διανύσματα της εικόνας είναι ίσα, διότι καθένα είναι παράλληλη μεταφορά του άλλου.

Άσκηση Οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι ίσα διανύσματα. Απάντηση: Αν ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = Δ⃗⃗⃗⃗Γ τότε ⃗Β⃗⃗⃗Α⃗ = Γ⃗⃗⃗Δ⃗ ή Α⃗⃗⃗⃗Δ⃗ = Β⃗⃗⃗⃗Γ ή ⃗Γ⃗⃗Β⃗ = ⃗Δ⃗⃗⃗Α⃗ , ενώ ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ≠ Γ⃗⃗⃗Δ⃗ Άσκηση Μελέτησε την εικόνα. Ποια διανύσματα είναι ίσα; Ποια διανύσματα είναι αντίθετα; Ποια διανύσματα είναι ομόρροπα; Ποια διανύσματα είναι αντίρροπα; Ορισμός Γωνία δύο διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα ⃗α και ⃗β . Με αρχή ένα σημείο Ο κατασκευάζουμε τα διανύσματα ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α και ⃗Ο⃗⃗⃗Β⃗ = β⃗ . Γωνία των διανυσμάτων ⃗α και ⃗β καλειται η κυρτή μη προσανατολισμένη γωνία ΑΟΒ , που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ Συμβολισμός Γωνίας: (⃗α⃗⃗, β⃗ ) ή γωνία(⃗α⃗⃗, ⃗β) ή angle(α⃗⃗⃗, ⃗β) αν δεν προκαλείται σύγχυση, με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα φ, θ, ω. Η γωνία των διανυσμάτων ⃗α και β⃗ , είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Οι τιμές της γωνίας δύο διανυσμάτων ⃗α και β⃗ είναι 0° ≤ θ ≤ 180° ή σε ακτίνια 0 ≤ θ ≤ π. ΣΧΟΛΙΟ Κυρτοτης (Convexity) Οι ημιευθειες Οx, Oy οριζουν μια κυρτη γωνια (≤180������) και μια μη κυρτη γωνια (>180������). Στα κυρτα σχηματα η ευθεια που οριζουν 2 οποιαδηποτε σημεια ευρισκεται στο εσωτερικο του σχηματος. Αλλως, το σχημα καλειται μη κυρτο ή κοιλο (concave). Το πενταγωνο εινα κυρτο σχημα, ενώ ο αστερας είναι μη κυρτο σχημα. O H. Minkowski, o οποιος ανεπτυξε την Κυρτη Γεωμετρια καθως και την Γεωμετρια της Ειδικης Σχετικοτητας, δηλωσε: «I am interested in everything that is Convex»

Πρόταση Ιδιότητες Γωνιών 1) ⃗α ↑↑ β⃗ ⇔ θ = 0 ή σε ακτίνια θ = 0. 2) ⃗α ⊥ β⃗ ⇔ θ = 90 ή σε ακτίνια θ = π, 2 σε αυτή την περίπτωση τα διανύσματα λέγονται κάθετα ή ορθογώνια). 3) ⃗α ↑↓ β⃗ ⇔ θ = 180 ή σε ακτίνια θ = π. Παρατηρήσεις 1. ⃗α ↑↑ ⃗β ⇒ ⃗α//β⃗ και ⃗α ↑↓ β⃗ ⇒ ⃗α//β⃗ 2. Αν ⃗α// β⃗ ,τότε δεν ισχύει κατ’ ανάγκη ⃗α ↑↑ β⃗ 3. Αν ⃗α και ⃗β δεν είναι παράλληλα, τότε δεν ισχύει κατ’ ανάγκη ⃗α ↑↓ ⃗β. Ερωτήσεις “Σωστό” ή “Λάθος” Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). 1. ⃗α ↑↓ −(−⃗α).  2. Αν ‖⃗α‖ = ‖β⃗ ‖, τότε ⃗α = ⃗β.  3. Αν Α→Β = →ΒΑ, τότε →ΑΒ =→ο .  4. Αν ⃗α ↑↑ ⃗β και ⃗α ↑↑ ⃗γ ,τότε γ⃗ ↑↑ β⃗ .  5. Αν ⃗α ↑↓ β⃗ και ⃗β ↑↓ γ⃗ , τότε ⃗α ↑↑ γ⃗ .  6. Αν ⃗α ↑↑ β⃗ και −⃗⃗⃗⃗⃗β ↑↑ ⃗γ τότε -⃗α ↑↑ γ⃗ .  7. Αν ΑΒΓΔ τετράγωνο, τότε 7a. ||⃗A⃗⃗⃗Δ⃗ || = ||Β⃗⃗⃗⃗Γ||.  7b. ||⃗A⃗⃗⃗B⃗ || = ||Γ⃗⃗⃗Δ⃗ ||.  7c. || A⃗⃗⃗⃗⃗Γ|| = ||⃗Δ⃗⃗⃗Β⃗⃗ ||.  7d. ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = Γ⃗⃗⃗Δ⃗  7e. A⃗⃗⃗⃗⃗Γ = Δ⃗⃗⃗⃗Β⃗⃗  7f. ⃗A⃗⃗⃗Δ⃗ = ⃗Β⃗⃗⃗Γ  8. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι σχέσεις: 8a. || ⃗A⃗⃗⃗B⃗ || = || ⃗A⃗⃗⃗⃗Γ|| = ||⃗Β⃗⃗⃗Γ ||.  8b. ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = ⃗A⃗⃗⃗⃗Γ = Β⃗⃗⃗⃗Γ 

3.3. Πράξεις διανυσμάτων ΣΧΟΛΙΟ • Γινόμενο πραγματικού αριθμού επί διάνυσμα • Πρόσθεση και Αφαίρεση διανυσμάτων • Το σύνολο των Διανυσμάτων (Διανυσματικός Χώρος). • Γραμμικη Ανεξαρτησια Διανυσματων Ορισμός Γινόμενο πραγματικού αριθμού επί διάνυσμα (scalar multiplication) Γινόμενο πραγματικού αριθμού ζ επί το διάνυσμα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ καλείται το διάνυσμα ζ∙ ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ με διεύθυνση: τον φορέα του ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ , με φορά: την φορά του ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ αν ζ>0, την αντίθετη φορά του ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ αν ζ<0, και με μήκος: τον θετικό αριθμό |ζ|∙‖⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ‖. Αν ζ=0, το διάνυσμα 0∙ ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ορίζεται ως το Μηδενικό Διάνυσμα, το οποιο συμβολίζεται ως ο⃗ και σημαίνει σύμπτωση των σημείων Α, Β. Παραδειγμα 1 ∙ ⃗α + 1 ∙ β⃗ = ⃗α + β⃗ = 1 ∙ (⃗α + ⃗β) 2 2 2 2 11 1 1 1 3 ∙ 2 ∙ ⃗α = 3 ∙ (2 ∙ ⃗α) = 6 ∙ ⃗α Λημμα Κατασκευη του ευθυγραμμου τμηματος ζ∙ΑΒ, ζ>0 Αν ο αριθμος ζ ειναι ρητος, η κατασκευη με κανονα και διαβητη είναι εφικτη [Ευκλειδεια Γεωμετρια, ΥΠΕΘ, τευχος Β, Παραγραφος 7.3]. Αν ο αριθμος ζ ειναι αρρητος, η κατασκευη δεν είναι εφικτη με κανονα και διαβητη. Επειδη κάθε αρρητος αριθμος ζ είναι οριο ακολουθιας Cauchy ρητων αριθμων (������������), το ευθυγραμμο τμημα ζ∙ΑΒ οριζεται ως οριο της ακολουθιας ευθυγραμμων τμηματων (������������ ∙ ������������ ) Η κατασκευη των αρρητων ως ορια ακολουθιων Caychy ρητων προταθηκε από τον Cantor to 1883. Για ευρεια συζητηση της θεμελιωσης των Πραγματικων αριθμων προτεινεται το προσφατο αρθρο: Weiss I. 2015, The Real Numbers. A Survey of Constructions, Rocky Mountain Journal of Mathematics 45, 737-762 Ορισμός Πρόσθεση Διανυσμάτων. Το αποτελεσμα της Προσθεσης δυο Διανυσματων καλειται Αθροισμα (sum) των διανυσμάτων. Το Αθροισμα διανυσματων κατασκευαζεται με την μεθοδο του πολυγώνου ειτε με την μεθοδο του παραλληλογράμμου

Πρόσθεση διαδοχικών διανυσμάτων. Μέθοδος του πολυγώνου. Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα τους είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου. Έστω τα διανύσματα ⃗α , ⃗β. Με αρχή ένα σημείο Ο κατασκευαζεται διάνυσμα ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α Στη συνέχεια με αρχή το Α κατασκευαζεται διάνυσμα ⃗Α⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = ⃗β. Το διάνυσμα Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ , λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων ⃗α και ⃗β και συμβολίζεται με ⃗α + β⃗ . Πρόσθεση διανυσμάτων με κοινή αρχή. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου. Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο με πλευρές τα διανύσματα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα των διανυσμάτων. Με αρχή ένα σημείο Ο κατασκευαζονται τα διανύσματα ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α και ⃗Ο⃗⃗⃗Β⃗ = ⃗β. Η διαγώνιος ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ του παραλληλόγραμμου, με προσκείμενες πλευρές , ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ και ⃗Ο⃗⃗⃗Β⃗ είναι το το άθροισμα ⃗α + ⃗β Θεώρημα Υπολογισμός του Αθροίσματος Διανυσμάτων Θα υπολογίσουμε το μήκος και την κατεύθυνση του αθροίσματος ψ⃗⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2 των διανυσμάτων ψ⃗⃗ 1, ⃗ψ⃗ 2.\\ 1. Το μήκος του αθροίσματος ⃗ψ⃗ 1 + ψ⃗⃗ 2 των διανυσμάτων ψ⃗⃗ 1, ⃗ψ⃗ 2 είναι: ‖ψ⃗⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2‖ = √‖ψ⃗⃗ 1‖2 + ‖ψ⃗⃗ 2‖2 + 2‖ψ⃗⃗ 1‖ ∙ ‖ψ⃗⃗ 2‖συν(φ) Όπου φ η γωνία των διανυσμάτων ⃗ψ⃗ 1, ⃗ψ⃗ 2. Η ανωτέρω σχέση ονομάζεται Νόμος συνημιτόνων. 2. Το ημίτονο της γωνίας α του αθροίσματος ψ⃗⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2 με το διανυσμα ψ⃗⃗ 1 είναι: ημ(α) = ‖⃗ψ⃗ 2‖ ημ(φ) ‖ψ⃗⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2‖ Η ανωτέρω σχέση ονομάζεται Νόμος ημιτόνων. Απόδειξη Έστω ότι η γωνία α του αθροίσματος ⃗ψ⃗ 1 + ψ⃗⃗ 2 με το διάνυσμα ⃗ψ⃗ 1 είναι οξεία (μικρότερη της ορθής). ΑΓ1 ΑΓ1 ΓΓ1 ‖Γ⃗ψ⃗⃗Γ21‖, Στο τρίγωνο ΑΓΓ1 η γωνία ΓΑΓ1=φ, οπότε συν(φ) = ΑΓ = ‖⃗ψ⃗⃗ 2‖ και ημ(φ) = ΑΓ = δηλαδή AΓ1 = ‖⃗ψ⃗ 2‖συν(φ) και ΓΓ1 = ‖⃗ψ⃗ 2‖ημ(φ). Είναι: ‖⃗ψ⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2‖ = ΟΓ (ΟΓ)2 = (OΓ1)2 + (ΓΓ1)2 = (ΟΑ + AΓ1)2 + (ΓΓ1)2 = (‖ψ⃗⃗ 1‖ + ‖ψ⃗⃗ 2‖συν(φ))2 + (‖⃗ψ⃗ 2‖ημ(φ))2 =‖⃗ψ⃗ 1 2 + ‖ψ⃗⃗ 2 ‖2συν2 (φ) + 2‖ψ⃗⃗ 1‖ ∙ ‖⃗ψ⃗ 2‖συνφ + ‖⃗ψ⃗ 2‖2ημ2(φ) ‖ = ‖⃗ψ⃗ 1‖2 + ‖ψ⃗⃗ 2‖2 + 2‖ψ⃗⃗ 1‖ ∙ ‖ψ⃗⃗ 2‖συν(φ).

Έστω ότι η γωνία α του αθροίσματος ⃗ψ⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2 με το διάνυσμα ψ⃗⃗ 1 είναι αμβλεία (μεγαλύτερη της ορθής γωνίας) ‖⃗ψ⃗ 1 + ⃗ψ⃗ 2‖ = ΟΓ (ΟΓ)2 = (OΓ1)2 + (ΓΓ1)2 = (ΟΑ − AΓ1)2 + (ΓΓ1)2 (‖ψ⃗⃗ 2‖ημ(φ))2 = (‖⃗ψ⃗ 1‖ − ‖ψ⃗⃗ 2‖συν(π − 2 + φ)) = (‖ψ⃗⃗ 1‖ + ‖⃗ψ⃗ 2‖συν(φ))2 + (‖ψ⃗⃗ 2‖ημ(φ))2 =‖ψ⃗⃗ 1‖2 + ‖⃗ψ⃗ 2‖2συν2(φ) + 2‖⃗ψ⃗ 1‖ ∙ ‖ψ⃗⃗ 2‖συν(φ) + ‖ψ⃗⃗ 2‖2ημ2(φ) ‖⃗ψ⃗ 1‖2 2 = + ‖⃗ψ⃗ 2 + 2‖ψ⃗⃗ 1‖ ∙ ‖⃗ψ⃗ 2‖συν(φ) ‖ Πορισμα Ειδικές περιπτώσεις Αθροισματος διανυσματων 1. Πρόσθεση κάθετων (perpendicular) (Ορθογωνίων) διανυσμάτων Αν ⃗α ⊥ ⃗β, τότε συν(α⃗⃗⃗, ⃗β) = 0 και ‖⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ‖2 = ‖⃗α‖2 + ‖β⃗ ‖2(Πυθαγόρειο Θεώρημα) 2. Πρόσθεση ομόρροπων διανυσμάτων Αν ⃗α ↑↑ ⃗β , τότε συν(⃗α⃗⃗, β⃗ ) = 1 και ‖O⃗⃗⃗⃗M⃗⃗ ‖ = ‖⃗α‖ + ‖β⃗ ‖ 3. Πρόσθεση αντίρροπων διανυσμάτων Αν ⃗α ↑↓ β⃗ , τότε συν(α⃗⃗⃗, ⃗β) = −1 και ‖O⃗M⃗⃗ ‖ = |‖������‖ − ‖⃗β‖|. Ορισμός Αφαίρεση- διαφορά διανυσμάτων (subtraction) Η διαφορά ⃗α − β⃗ , του διανύσματος ⃗α από το διάνυσμα ⃗β ορίζεται ως το άθροισμα των διανυσμάτων ⃗α και −⃗β: ⃗α − β⃗ = ⃗α + (−⃗β) Δηλαδή η διαφορά του διανύσματος ⃗α από το διάνυσμα ⃗β, είναι το διάνυσμα ⃗α − β⃗ , το οποίο προστιθέμενο στο β⃗ , μας δίνει το ⃗α: β⃗ + (⃗α − ⃗β) = ⃗α. Αν έχουμε δύο διανύσματα ⃗α και ⃗β , τότε υπάρχει μοναδικό διάνυσμα ⃗x, τέτοιο ώστε: ⃗β + x⃗ = ⃗α και ισχύει: ⃗β + x⃗ = ⃗α ⇔ x⃗ = ⃗α − β⃗ . Ορισμός Ευκλειδεια Αποσταση (Euclidean Distance) Διανυσμάτων Η (Ευκλειδεια) Αποσταση του διανύσματος ⃗α από το διάνυσμα β⃗ ορίζεται ως το μηκος της διαφορας του διανύσματος ⃗α από το διάνυσμα β⃗ : d(⃗α, ⃗β) = ‖⃗α − β⃗ ‖

Πρόταση Ιδιοτητες Αποστασης Διανυσμάτων. Η (Ευκλειδεια) Αποσταση Διανυσμάτων όπως οριστηκε ως το μηκος της Διαφορας των Διανυσμάτων ικανοποιει τις πεντε ιδιοτητες της Αποστασης, ητοι: D1. Θετικοτης (Positivity): d(���⃗���, ⃗������) ≧ ������ D2. Ισα Διανυσματα δεν Διακρινονται (Indiscernability): ⃗������ = ���⃗��� ⟹ ������(���⃗���, ⃗������) = ������ δηλαδη τα Διανυσματα που Διακρινονται δεν είναι Ισοδυναμα: ������(⃗������, ⃗������) > ������ ⟹ ���⃗��� ≠ ���⃗��� D3. Μη Διακρισιμα Διανυσματα είναι Ισοδύναμα (Identity of Indiscernibles): ������(⃗������, ���⃗���) = ������ ⟹ ���⃗��� = ⃗������ D4. Tριγωνικη Ανισοτης (Triangle Ιnequality): ������(⃗������, ⃗������) ≦ ������(⃗������, ⃗������) + ������(⃗������, ���⃗���) D5. Συμμετρια (Symmetry): ������(���⃗���, ���⃗���) = ������(���⃗���, ���⃗���) ΣΧΟΛΙΟ Η εννοια Αποσταση επισημανθηκε από τον Frechet το 1906 στην διδακτορικη διατριβη του ως γενικευση τις Ευκλειδιας Αποστασης σημειων. Fr������́ chet M. 1906, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Thesis, Paris, 1905. Rendiconti Circolo Mat. Palermo, 22,1–74. Παράδειγμα Διαγώνιοι παραλληλογράμμου Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου με πλευρές διανύσματα είναι το άθροισμα (sum) και η διαφορά (difference) τους. Αν ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α , ⃗Ο⃗⃗⃗Β⃗ = β⃗ τότε Ο⃗⃗⃗⃗⃗Γ = ⃗α + β⃗ και ⃗Β⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α − β⃗ . Δηλαδή ‖Ο⃗⃗⃗⃗⃗Γ‖ = ‖⃗α + β⃗ ‖ και ‖⃗B⃗⃗⃗A⃗ ‖ = ‖⃗α − β⃗ ‖. Ορισμός Διάνυσμα θέσης (position vector) Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ ορίζεται το διάνυσμα ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ , το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, λαμβάνεται κατά σύμβαση ως η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων λέγεται σημείο αναφοράς. Αν Ο είναι το σημείο αναφοράς, για οποιοδήποτε διάνυσμα ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ , έχουμε: ⃗0⃗⃗⃗Α⃗ + ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = 0⃗⃗⃗⃗Β⃗ ⇔ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = ⃗0⃗⃗⃗Β⃗ − ⃗0⃗⃗⃗Α⃗ . ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = (διανυσματική ακτίνα πέρατος) – (διανυσματική ακτίνα αρχής)

Πρόταση Μέτρο αθροίσματος και διαφοράς διανυσμάτων. Τριγωνική ανισότητα. Για όλα τα διανύσματα ⃗α και ⃗β ισχύει : |‖⃗α‖ − ‖⃗β‖| ≤ ‖⃗α + β⃗ ‖ ≤ ‖⃗α‖ + ‖β⃗ ‖ |‖⃗α‖ − ‖β⃗ ‖| ≤ ‖⃗α − ⃗β‖ ≤ ‖⃗α‖ + ‖β⃗ ‖ Για τις ισότητες των παραπάνω σχέσεων ισχυουν: ‖⃗α + ⃗β‖ = ‖⃗α‖ + ‖⃗β‖ ⇔ ⃗α ↑↑ ⃗β |‖⃗α‖ − ‖⃗β‖| = ‖⃗α − ⃗β‖ ⇔ ⃗α ↑↓ ⃗β. ΣΧΟΛΙΑ 1. Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι πολύ διαφορετική από την πρόσθεση αριθμών, διότι όταν προσθέτουμε διανύσματα λαμβάνουμε υπόψη την κατεύθυνσή τους. 2. Ένα διαδραστικό λογισμικό αναπαράστασης του αθροίσματος διανυσμάτων, της διαφοράς διανυσμάτων και της μεταβολής του μέτρου τους, υπάρχει στο φωτόδεντρο: http://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/5331 Θεώρημα Βασικές Ιδιότητες Διανυσμάτων Ιδιότητες Πρόσθεσης διανυσμάτων V1 Προσεταιριστικότητα: ������ + (���⃗��� + ζ) = (������ + ���⃗���) + ζ, ∀ διανύσματα ������, ���⃗���, ζ . V2  μηδενικό Διάνυσμα ⃗ο : ο⃗ + ������ = ������ + ⃗ο = ������, ∀ διάνυσμα ������. V3  αντίθετο Διάνυσμα (−������): (−������) + ������ = ������ + (−������) = ⃗ο, ∀ διάνυσμα ������ . V4 Μεταθετικότητα∶ ������ + ���⃗��� = ���⃗��� + ������ , ∀ διανύσματα ������, ���⃗���. Στην πρόσθεση δύο διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τη σειρά της άθροισης. Στην πρόσθεση τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ομαδοποίησης των επιμέρους διανυσμάτων. Αριθμητικός Πολλαπλασιασμός Διανύσματος: V5 α(β������) = (αβ)������ , ∀ διάνυσμα ������, ∀ αριθμούς α, β. V6 1χ⃗ = ������, ∀ διάνυσμα ������. H Πρόσθεση και ο Αριθμητικός Πολλαπλασιασμός συνδέονται με τις ιδιότητες: V7 α(������ + ���⃗���) = α������ + α���⃗��� , ∀ διανύσματα ������, ���⃗���, ∀ αριθμό α. V8 (α + β)������ = α������ + β������ , ∀ διάνυσμα ������, ∀ αριθμούς α, β. Απόδειξη Απευθείας από τον ορισμό.

Ορισμός Διανυσματικός Χώρος (vector space) Ένα σύνολο με τις 8 ιδιότητες ονομάζεται διανυσματικός χώρος (vector space). Ορισμός Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων (linear combination) ή Γραμμική Υπέρθεση Διανυσμάτων ή Γραμμική Επαλληλία Διανυσμάτων (superposition) Το διάνυσμα γ⃗ =κ⃗α+λβ⃗ , όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί λέγεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ⃗α και ⃗β. Ομοίως , αν ⃗α, ⃗β και γ⃗ , είναι τρία διανύσματα, τότε το διάνυσμα δ⃗ = κ⃗α + λβ⃗ + μ⃗γ, κ, λ, μ ∈ ℝ, λέγεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων αν ⃗α , β⃗ και ⃗γ. Γενικά κάθε διάνυσμα ψ⃗⃗ = ψ1u⃗ 1 + ψ2u⃗ 2 + ⋯ + ψν⃗uν , όπου ψ1, ψ2, … , ψν ∈ ℝ, λέγεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ⃗u1, u⃗ 2, … , ⃗uν. Ορισμός Ο Διανυσματικος Χωρος που παραγει ένα συνολο Διανυσματων (vector subspace of spanned by the Set οf vectors ή το Γραμμικο Περιβλημα (linear span) των διανυσμάτων Το συνολο ολων των γραμμικων συνδυασμων ψ⃗⃗ = ψ1⃗u1 + ψ2⃗u2 + ⋯ + ψν⃗uν , όπου ψ1, ψ2, … , ψν ∈ ℝ των διανυσμάτων u⃗ 1, u⃗ 2, … , u⃗ ν καλειται ο Διανυσματικος Χωρος που παραγουν τα διανυσματα u⃗ 1, ⃗u2, … , ⃗uν ή το (Γραμμικο) Περιβλημα των διανυσμάτων ⃗u1, ⃗u2, … , u⃗ ν και συμβολιζεται: 〈⃗u1, ⃗u2, … , u⃗ ν〉: 〈⃗u1, ⃗u2, … , ⃗uν〉 = {⃗ψ⃗ = ψ1⃗u1 + ψ2u⃗ 2 + ⋯ + ψνu⃗ ν , όπου ψ1, ψ2, … , ψν ∈ ℝ } ΣΧΟΛΙΟ Οι οροι υπερθεση, επαλληλια προερχονται από την φυσικη των ταλαντωσεων και των κυματων. Διαπιστωθηκε στο πρωτο τεταρτο του 20ου αιωνα ότι η υλη στο μικροσκοπικο επιπεδο συμπεριφερεται ως κυμα. Αυτή είναι μια από τις παρατηρησεις που μας οδηγησαν στην κβαντικη θεωρια. Λήμμα Βασικές Ιδιότητες Γραμμικού Συνδυασμού διανυσμάτων Έστω δύο μη παράλληλα διανύσματα ⃗α και β⃗ και κ, λ, μ, ν ∈ ℝ . Τότε: 1. κ⃗α + λβ⃗ = ο⃗ ⟺ κ = 0 και λ = 0. 2. κ⃗α + λ⃗β = μ⃗α + ν⃗β ⟺ κ = μ και λ = ν. Απόδειξη 1. Προφανής εκ του ορισμού του μηδενικού διανύσματος. 2. κ⃗α + λβ⃗ = μ⃗α + ν⃗β ⟺. (κ − μ)⃗α + (λ − ν)⃗β = ⃗ο ⟺ (κ − μ) = 0 και (λ − ν) = 0. Ορισμός Γραμμικως Ανεξαρτητα Διανύσματα (Linearly Independent Vectors) Τα Διανυσματα ⃗α1, ⃗α2, … αΝ καλουνται Γραμμικως Ανεξαρτητα, αν και μονον αν κανενα εξ αυτων δεν δυναται να γραφει ως γραμμικος συνδυασμος των υπολοίπων. Αλλως, τα Διανυσματα καλουνται Γραμμικως Εξαρτημενα

Παραδειγμα 2 διανυσματα είναι Γραμμικως Ανεξαρτητα, αν και μονον αν δεν είναι συνευθειακα (δεν κεινται στην ιδια ευθεια) 3 διανυσματα είναι Γραμμικως Ανεξαρτητα, αν και μονον δεν είναι συνεπιπεδα (δεν κεινται στο ιδιο επιπεδο) Άσκηση. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = ⃗α και ⃗Α⃗⃗⃗Λ⃗ = ⃗β. Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των ⃗α και β⃗ τα διανύσματα: 1) Α⃗⃗⃗⃗⃗Γ, ⃗Α⃗⃗⃗Ε⃗ , ⃗Ι⃗⃗Η⃗ , Ο⃗⃗⃗⃗Λ⃗ , 2) Α⃗⃗⃗⃗Υ⃗ , ⃗Ν⃗⃗⃗⃗Γ, ⃗Π⃗⃗⃗Ε⃗ , Ρ⃗⃗⃗Ξ⃗ , 3) ⃗Α⃗⃗⃗Μ⃗⃗ , ⃗Α⃗⃗⃗Ξ⃗ , ⃗Ε⃗⃗⃗Ν⃗ , Υ⃗⃗⃗⃗Ε⃗ . Λύση 1) Α⃗⃗⃗⃗⃗Γ = ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = 2⃗α, ⃗Α⃗⃗⃗Ε⃗ =4⃗⃗⃗⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ =4⃗α, ⃗Ι⃗⃗Η⃗ = 2⃗Ι⃗⃗Θ⃗ = 2⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = 2⃗α, ⃗Ο⃗⃗⃗Λ⃗ = −Λ⃗⃗⃗⃗Ο⃗ = −4⃗Λ⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = −4⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ = −4⃗α. 2) Α⃗⃗⃗⃗Υ⃗ = ⃗Α⃗⃗⃗Λ⃗ + Λ⃗⃗⃗⃗Υ⃗ = β⃗ + 1 β⃗ = 3 ⃗β, ⃗Ν⃗⃗⃗⃗Γ = Λ⃗⃗⃗⃗Α⃗ = −⃗β, ⃗Π⃗⃗⃗Ε⃗ = ⃗Υ⃗⃗⃗Α⃗ = − 3 ⃗β, Ρ⃗⃗⃗Ξ⃗ = Υ⃗⃗⃗⃗Λ⃗ = 1 Λ⃗⃗⃗⃗Α⃗ = − 1 β⃗ . 22 2 22 3) ⃗Α⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ + ⃗Α⃗⃗⃗Λ⃗ = ⃗α + β⃗ , ⃗Α⃗⃗⃗⃗Ξ = Α⃗⃗⃗⃗Δ⃗ + ⃗Α⃗⃗⃗Λ⃗ = 3⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ + ⃗Α⃗⃗⃗Λ⃗⃗ = 3⃗α + ⃗β, ⃗Ε⃗⃗⃗Ν⃗ = Ε⃗⃗⃗⃗Γ + Ε⃗⃗⃗⃗Ο⃗ = −Γ⃗⃗⃗Ε⃗ + ⃗Ε⃗⃗⃗Ο⃗ = −2⃗α + ⃗β, Υ⃗⃗⃗⃗Ε⃗ = Υ⃗⃗⃗⃗Α⃗ + Υ⃗⃗⃗⃗Π⃗ = 3Υ⃗⃗⃗⃗Λ⃗ + 4Υ⃗⃗⃗⃗Τ⃗ = 3(− 1 ⃗β) + 4⃗α. 2 Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο παραλληλόγραμμο ΚΛΜΝ είναι: →ΚΛ =���⃗���, →������������ =���⃗���. α) Το διάνυσμα Ν→Λ ισούται με Α. ⃗������ − ⃗������ Β. ���⃗��� − ���⃗��� Γ. ⃗������+������ Δ. ⃗������ + ⃗������ Ε. ���⃗���−���⃗��� β) Το διάνυσμα →ΚΜ ισούται με ������ ������ Α. ⃗������ + ���⃗��� Β. ���⃗���+⃗������ Γ. ���⃗���−���⃗��� Δ. ⃗������−���⃗��� Ε. ���⃗��� − ���⃗��� ������ ������ ������ 2. Για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ γνωρίζουμε ότι ���→��������� =⃗������ και →ΔΓ =⃗������. Αν ���→���������=������ →ΑΒ, τότε: ������ α) Με →ΑΒ + →ΒΓ ισούται το διάνυσμα Α. Α→Β Β. Β→Δ Γ. →ΔΒ Δ. Γ→Α Ε. Α→Γ β) Με ���⃗��� − ⃗������ ισούται το διάνυσμα Α. Α→Γ Β. Γ→Α Γ. →ΒΑ Δ. →ΔΒ Ε. →ΒΔ γ) α) Το διάνυσμα Δ→Μ ισούται με Α. ⃗������+���⃗��� Β. ⃗������−⃗������ Γ. - ���⃗��� + ������ ���⃗��� Δ. ⃗������ + ������ ⃗������ Ε. ������ ⃗������ + ���⃗��� ������ ������ Μ→ Γ ������ ������ ������ Το ισούται δ) διάνυσμα με Α. ���⃗��� − ������ ⃗������ Β. ������ ⃗������ + ���⃗��� Γ. ������ ���⃗��� − ⃗������ Δ. ⃗������ + ������ ⃗������ Ε. ⃗������+⃗������ ������ ������ ������ ������ ������ 3. Αν ⃗���⃗���⃗⃗���⃗���, ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� ομόρροπα διανύσματα, κ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του  1 και ������⃗���⃗���⃗⃗���⃗��� + ���������⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗���, τότε: Α. κ, λ θετικοί Β. κ, λ αρνητικοί Γ. κ, λ αντίστροφοι Δ. κ, λ ετερόσημοι

Ε. κανένα από τα προηγούμενα Ερωτήσεις “Σωστό” ή “Λάθος” Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). 1. Αν →ΑΒ + →ΒΓ + Γ→Δ =→ο , τότε τα σημεία Α και Δ συμπίπτουν.  2. Αν ‖⃗α‖ = λ‖β⃗ ‖, τότε ⃗α//β⃗ .  3. Αν →ΑΒ + →ΒΓ = →ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.  4. Το διάνυσμα ⃗x ισούται με ⃗α + ⃗β − ⃗γ − ⃗δ  5. Έστω 4 τυχαία σημεία Α, Β, Γ, Δ. Τότε: 5α) →ΑΔ + →ΑΓ= Β→Γ+ →ΒΔ  5β) →ΑΔ+ →ΒΓ= Α→Γ  5γ) Α→Δ+ →ΒΔ= Α→Γ+ →ΒΓ  5δ) →ΑΔ+ Β→Γ= →ΑΓ+ Β→Δ  5ε) Α→Δ − →ΑΓ= Β→Γ+ →ΒΔ  Ασκήσεις 1. Σχεδίασε ένα διάνυσμα ⃗α και τα διανύσματα ⃗β = 2⃗α, και γ⃗ = −3⃗α . 2. Αν ⃗α , β⃗ ομόρροπα και ‖⃗α‖ = 5, ‖⃗α + ⃗β‖ = 9, να βρείτε το ‖β⃗ ‖. 3. Να βρεθεί διάνυσμα x⃗ ώστε: 1 (2⃗α − 5x⃗ ) = 3(3⃗x + β⃗ ). 2 4. Δίνονται τα διανύσματα ⃗α = 3u⃗ − 2ν⃗ , ⃗β = −3ν⃗ + 2u⃗ και γ⃗ = 2⃗α − 3β⃗ , όπου ν⃗ είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα . Να αποδειχτεί ότι γ⃗ // ⃗ν , να εξεταστεί αν τα διανύσματα ⃗u και ν⃗ είναι ομόρροπα ή αντίρροπα και να βρεθεί το ‖γ⃗ ‖. 5. Αν ισχύει η σχέση Α⃗⃗⃗⃗Ν⃗ − Γ⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = Μ⃗⃗⃗⃗⃗Β⃗ + Γ⃗⃗⃗⃗Ν⃗ , να δείξετε ότι το σημείο Γ είναι το μέσον του ΑΒ 6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να βρεθεί σημείο Μ ώστε Μ⃗⃗⃗⃗⃗Α⃗ + Μ⃗⃗⃗⃗⃗Β⃗ + Μ⃗⃗⃗⃗⃗⃗Γ + Μ⃗⃗⃗⃗⃗Δ⃗ = ⃗ο 7. Σε κάθε κανονικό εξάγωνο οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και ίσες. Στο σχήμα δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ και τυχαίο εσωτερικό σημείο του Ο. Αν ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α , Ο⃗⃗⃗⃗Β⃗ = β⃗ και ⃗Ο⃗⃗⃗⃗Γ = ⃗γ , να υπολογιστούν τα διανύσματα Ο⃗⃗⃗⃗Δ⃗ , Ο⃗⃗⃗⃗Ε⃗ και ⃗Ο⃗⃗⃗⃗Ζ, συναρτήσει των διανυσμάτων ⃗α , β⃗ και γ⃗ .

3.4. Αριθμητικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουμε ότι κατά την μετατόπιση x⃗ μιας δύναμης ⃗F, μόνο η συνιστώσα F⃗ x της δύναμης ⃗F στην κατεύθυνση της μετατόπισης ⃗x, παράγει έργο. Οι κάθετες δυνάμεις ������������������������ ������������������������ύ������������������������������ ������������������ ������������������������������ό������������������������������ x⃗ δεν παράγουν έργο. Το έργο της ⃗F⃗⃗⃗x κατά την μετατόπιση ⃗x είναι το γινόμενο {−‖‖F⃗⃗⃗F⃗⃗⃗x⃗⃗x‖‖∙ ‖⃗x‖, αν τα διανύσματα είναι F⃗⃗⃗⃗x, ⃗x ομόρροπα ∙ ‖⃗x‖, αν τα διανύσματα είναι ⃗F⃗⃗⃗x, x⃗ αντίρροπα Από την παρατήρηση αυτή οδηγούμαστε στον ορισμό του αριθμητικού γινομένου διανυσμάτων. Ορισμός Αριθμητικό Γινόμενο Διανυσμάτων (ή εσωτερικό ή βαθμωτό Γινόμενο) (Scalar product, dot product) ⟨x⃗ |y⃗ ⟩ = ||x⃗ || ∙ ||⃗y||mh ∙ συν(x⃗ , ⃗y) Όπου: ||x⃗ || το μήκος του Διανύσματος x⃗ , ||y⃗ || το μήκος του Διανύσματος y⃗ και συν(⃗x, ⃗y) = cos(x⃗ , y⃗ ) το συνημίτονο της γωνίας των Διανυσμάτων x⃗ , y⃗ (⃗x, y⃗ ) συμβολίζει την μη προσανατολισμενη κυρτή Γωνία των Διανυσμάτων x⃗ , ⃗y η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0,π]: 0 ≤ (������, ������) ≤ ������. Το αριθμητικό γινόμενο διανυσμάτων συμβολίζεται επίσης: ⃗x · ⃗y = ⟨⃗x|y⃗ ⟩. Εφαρμογή Tο έργο κατά την μετατόπιση x⃗ μιας δύναμης ⃗F ορίζεται ως το αριθμητικό γινόμενο του διανύσματος ⃗F επί το διάνυσμα ⃗x: F⃗ · ⃗x = ⟨⃗F|x⃗ ⟩ = ||x⃗ || ∙ ||⃗F|| ∙ συν(x⃗ , ⃗F)

Θεώρημα Βασικές Ιδιότητες Αριθμητικού Γινομένου 1. Διγραμμικότης ⟨cx⃗ |⃗y⟩ = c⟨x⃗ |y⃗ ⟩, ∀ διανύσματα ⃗x, y⃗ , ∀ πραγματικό αριθμό c. ⟨x⃗ |cy⃗ ⟩ = c⟨⃗x |y⃗ ⟩, ∀ διανύσματα x⃗ , ⃗y, ∀ πραγματικό αριθμό c. ⟨x⃗ 1 + x⃗ 2 |⃗y⟩ = ⟨x⃗ 1 |y⃗ ⟩ + ⟨x⃗ 2|⃗y⟩, ∀ διανύσματα ⃗x1, ⃗x2 , ⃗y. ⟨⃗x|⃗y1 + y⃗ 2 ⟩ = ⟨⃗x |y⃗ 1⟩ + ⟨⃗x |y⃗ 2⟩, ∀ διανύσματα ⃗y1, y⃗ 2 , ⃗x. Ισοδύναμα (πιο συνεπτυγμένα) ⟨c1⃗x1 + c2⃗x2 |⃗y⟩ = c1⟨x⃗ 1 |y⃗ ⟩ + c2⟨⃗x2|⃗y⟩, ∀ διανύσματα ⃗y, x⃗ 1, ⃗x2, ∀ πραγματικούς αριθμούς c1, c2 και ⟨x⃗ |c1y⃗ 1 + c2y⃗ 2 ⟩ = c1⟨x⃗ |⃗y1⟩ + c2⟨x⃗ |y⃗ 2⟩, ∀ διανύσματα ⃗y1, y⃗ 2, ⃗x, ∀ πραγματικούς αριθμούς c1, c2. 2. Συμμετρία ⟨⃗x|⃗y⟩ = ⟨⃗y|⃗x⟩, ∀ διανύσματα x⃗ , y⃗ 3. Θετικότης ⟨⃗x|x⃗ ⟩ ≥ 0 , ∀ διάνυσμα ⃗x ⟨⃗x|x⃗ ⟩ = 0 ⟺ ⃗x = ⃗ο , ∀ διάνυσμα ⃗x. 1. Απόδειξη Διγραμμικότητος ⟨c⃗x |⃗y⟩ = ‖cx⃗ ‖ ∙ ‖y⃗ ‖ ∙ συν(c⃗x, ⃗y) = (|c|‖⃗x‖) ∙ ‖⃗y‖ ∙ συν(cx⃗ , ⃗y) = |c| ∙ ‖x⃗ ‖ ∙ ‖⃗y‖ ∙ συν(c⃗x, y⃗ ) ������ = |c| ∙ ‖x⃗ ‖ ∙ ‖⃗y‖ ∙ |c| ∙ συν(⃗x, ⃗y) , από το παρακάτω Λήμμα 1 = c⟨⃗x|⃗y⟩. Η ⟨x⃗ |cy⃗ ⟩ = c⟨x⃗ |⃗y⟩ , αποδεικνύεται ομοίως. ⟨x⃗ |y⃗ 1 + y⃗ 2 ⟩ = ‖⃗x‖ ∙ ‖⃗y1 + ⃗y2‖ ∙ συν(⃗x, ⃗y1 + y⃗ 2) = ‖x⃗ ‖ ∙ (‖y⃗ 1‖ ∙ συν(⃗x, y⃗ 1) + ‖⃗y2‖ ∙ συν(x⃗ , y⃗ 2)) , από το παρακάτω Λήμμα 2 = ‖x⃗ ‖ ∙ ‖y⃗ 1‖ ∙ συν(⃗x, y⃗ 1) + ‖⃗x‖ ∙ ‖y⃗ 2‖ ∙ συν(⃗x, y⃗ 2) = ⟨⃗x |y⃗ 1⟩ + ⟨⃗x |⃗y2⟩. Η ⟨⃗x1 + ⃗x2 |y⃗ ⟩ = ⟨⃗x1 |y⃗ ⟩ + ⟨x⃗ 2|⃗y⟩ , αποδεικνύεται ομοίως. 2. Απόδειξη Συμμετρίας: ������ά������������ = ‖⃗x‖ ∙ ‖⃗y‖ ∙ συν(⃗x, y⃗ ) = ‖y⃗ ‖ ∙ ‖x⃗ ‖ ∙ συν(y⃗ , x⃗ ) = ⟨⃗y|⃗x⟩ 3. Απόδειξη Θετικότητας ⟨⃗x|x⃗ ⟩ = ‖x⃗ ‖ ∙ ‖x⃗ ‖ ∙ συν(x⃗ , ⃗x) = ‖x⃗ ‖2 ∙ 1 = ‖x⃗ ‖2 ≥ 0. ⟨⃗x|⃗x⟩ = 0 ⟺ ‖⃗x‖2 = 0 ⟺ ⃗x = ⃗ο.

Λήμμα 1 συν(cx⃗ , ⃗y) = συν(⃗x, ⃗y), αν c ≥ 0 συν(c⃗x, ⃗y) = − συν(x⃗ , ⃗y), αν c < 0 ������ Συνοπτικά: συν(cx⃗ , ⃗y) = |c| συν(⃗x, y⃗ ) Απόδειξη Λήμματος 1 Αν c ≥ 0 , η γωνία (cx⃗ , ⃗y), συμπίπτει με την γωνία (⃗x, y⃗ ), άρα συν(c⃗x, ⃗y) = συν(x⃗ , ⃗y) Αν c ≥ 0 , η γωνία (cx⃗ , ⃗y), c < 0 είναι παραπληρωματική της γωνίας (x⃗ , y⃗ ), άρα συν(c⃗x, y⃗ ) = συν(π − (⃗x, ⃗y)) = − συν(⃗x, y⃗ ) Λήμμα 2 Η προβολή του Αθροίσματος y⃗ 1 + ⃗y2 των διανυσμάτων ⃗y1, y⃗ 2 στον άξονα του διανύσματος ⃗x ισούται με το Άθροισμα των προβολών των διανυσμάτων y⃗ 1, y⃗ 2 στον άξονα του διανύσματος x⃗ . Δηλαδή ‖y⃗ 1 + ⃗y2‖ ∙ συν(x⃗ , y⃗ 1 + y⃗ 2) = ‖⃗y1‖ ∙ συν(x⃗ , ⃗y1) + ‖⃗y2‖ ∙ συν(x⃗ , y⃗ 2) Απόδειξη Λήμματος 2 ‖⃗y1 + y⃗ 2‖ ∙ συν(x⃗ , ⃗y1 + y⃗ 2) = ‖y⃗ 1 + ⃗y2‖ ∙ συν(φ) = ΟΓ1 = ΟΑ1 + Α1Γ1 Υπολογίζουμε τα μήκη των ΟΑ1, Α1Γ1 Α1Γ1 = ΑΔ = ΟΒ1 διότι τα τρίγωνα ΟΒΒ1, ΑΓΔ είναι ίσα ΟΑ1 = ‖y⃗ 1‖ ∙ συν(φ1) = ‖⃗y1‖ ∙ συν(⃗x, ⃗y1) ΟΒ1 = ‖⃗y2‖ ∙ συν(φ2) = ‖⃗y2‖ ∙ συν(x⃗ , y⃗ 2) ⟹‖y⃗ 1 + ⃗y2‖ ∙ συν(⃗x, ⃗y1 + y⃗ 2) = ‖y⃗ 1‖ ∙ συν(x⃗ , y⃗ 1) + ‖y⃗ 2‖ ∙ συν(x⃗ , y⃗ 2). Ορισμός Αριθμητικό Γινόμενο σε αφηρημένο Διανυσματικό Χώρο Η Διγραμμικότης, η Συμμετρία και η Θετικότης ορίζουν το Αριθμητικό Γινόμενο σε κάθε αφηρημένο Διανυσματικό Χώρο.

Πορισμα Άμεσες συνέπειες του ορισμού του αριθμητικού γινομένου ⟨⃗x|y⃗ ⟩ 1. Γωνία Διανυσμάτων από το Αριθμητικό Γινόμενο: συν(⃗x, ⃗y) = ‖x⃗ ‖‖y⃗ ‖ 2. Είναι: ‖⃗x‖ = √⟨x⃗ |x⃗ ⟩ η γωνία των ⃗x, y⃗ οξεία ⟺ 0 < συν(⃗x, ⃗y) < 1 ⟺ ⟨⃗α|⃗β⟩ > 0 3. { η γωνία των x⃗ , y⃗ αμβλεία ⟺ −1 < συν(⃗x, ⃗y) < 0 ⟺ ⟨⃗α|β⃗ ⟩ < 0 4. Συνθήκη καθετότητας (ορθογωνιότητας) διανυσμάτων: ⃗x, ⃗y κάθετα ⇔ ⃗α ⊥ ⃗β ⇔ συν(x⃗ , y⃗ ) = 0 ⇔ ⟨⃗α|β⃗ ⟩ = 0 5. Συνθήκη για ομόρροπα διανύσματα: ⃗x, y⃗ ομόρροπα⇔ ⃗α ↑↑ β⃗ ⇔ συν(⃗x, ⃗y) = 1 ⟺ ⟨⃗α|β⃗ ⟩ = ‖⃗α‖ ∙ ‖β⃗ ‖ 6. Συνθήκη για αντίρροπα διανύσματα: x⃗ , y⃗ αντίρροπα ⇔ α⃗ ↑↓ ⃗β ⇔ συν(x⃗ , ⃗y) = −1 ⟺ ⟨⃗α|⃗β⟩ = −‖⃗α‖ ∙ ‖⃗β‖ Ερωτήσεις “Σωστό ή Λάθος” Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). (Δικαιολογήστε) 1. Τα ζεύγη ⃗α, ⃗β⃗ και −⃗α, ⃗β⃗ των διανυσμάτων έχουν ίσα αριθμητικά γινόμενα.  2. Τα ζεύγη ⃗α, β⃗⃗ και −⃗α, −⃗β⃗ των διανυσμάτων έχουν ίσα αριθμητικά γινόμενα.  3. Αν είναι γωνία (⃗α, β⃗ ) > ������ , τότε ⟨⃗α|β⃗ ⟩ < 0.   2 4. Αν ⟨⃗α|⃗β⟩= ⟨⃗α|⃗γ⟩ τότε είναι ⃗β = γ⃗ . Ερώτηση αντιστοίχισης Δίνεται ότι ‖κ⃗ ‖ = ‖λ⃗ ‖ = ‖μ⃗ ‖ = 1 και γωνία(κ⃗ , λ⃗ ) = ������, γωνία(κ⃗ , ⃗μ) = π. 6 Να αντιστοιχίσετε κάθε αριθμητικό γινόμενο που βρίσκεται στη στήλη Α με την τιμή του που βρίσκεται στη στήλη Β. αριθμητικό γινόμενο τιμή αριθμητικού γινομένου 1. ⟨⃗κ|⃗λ⟩ α. – 1 β. 0 γ. √������ δ. − √������ ε. ������ 2. ⟨κ⃗ |⃗μ⟩ 3. ⟨μ⃗ |⃗λ⟩ ������ ������ ������

Ασκήσεις 1. Για τα διανύσματα του σχήματος, αν ‖u⃗ ‖ = 4 , ‖v⃗ ‖ = 2 και ω = 120 , να υπολογιστεί το αριθμητικό γινόμενο ⟨u⃗ |v⃗ ⟩ . 2. Να αποδειχτεί διανυσματικά ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος προς τη βάση είναι και ύψος. 3. Δίνονται τα διανύσματα x⃗ και ψ⃗⃗ με ‖⃗x‖ = ‖ψ⃗⃗ ‖και x⃗ ⊥ ψ⃗⃗ . Να αποδειχτεί ότι (x⃗ − 2⃗ψ⃗ ) ⊥ (2⃗x + ⃗ψ⃗ ) και ‖x⃗ − 2⃗ψ⃗ ‖ = ‖⃗2⃗⃗⃗x + ψ⃗⃗ ‖. 4. Δίνονται τα διανύσματα z και ψ⃗⃗ . Να αποδειχτεί ότι ‖z − ⃗ψ⃗ ‖ = ‖z + ⃗ψ⃗ ‖ ⇔ z ⊥ ⃗ψ⃗ και (z − ψ⃗⃗ ) ⊥ (z + ψ⃗⃗ ) ⇔ ‖z‖ = ‖⃗ψ⃗ ‖. 5. Δίνονται τα διανύσματα ⃗α, β⃗ και γ⃗ , για τα οποία ισχύουν: ||⃗α||= 4, ||β⃗⃗⃗||= 5, γωνια(⃗α, β⃗ ) = 2π και 3 γ⃗ = 2⃗α + 3β⃗ . Να υπολογίσετε το αριθμητικό γινόμενο ⟨⃗α|⃗β⟩ και το μέτρο του διανύσματος γ⃗ . Αν γωνια(⃗α, ⃗β) = π τι αλλάζει; 3 3.5. Αναλυτική θεώρηση διανυσμάτων Θα αναλύσουμε τις έννοιες: • Αναλυτική αναπαράσταση διανύσματος με τις συντεταμένες του. • Προβολή Διανύσματος σε άξονα με μοναδιαίο διάνυσμα • H Συντεταγμένη του Διανύσματος ως προς άξονα. • Ορθοκανονική Βάση ή Ορθογώνιο Πλαίσιο (Αναφοράς) • Συνιστώσες και Συντεταγμένες Διανύσματος • Αριθμητικό Γινόμενο Διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων • Μήκος Διανυσμάτων μέσω των Συντεταγμένων.

Θεωρημα Αντιστοιχια Πραγματικων Αριθμων και σημειων Ευθειας Εστω η ευθεία ������′������ στην οποια επιλέγονται τα σημεία Ο και Ι , έτσι ώστε το διάνυσμα ⃗Ο⃗⃗⃗Ι = ������ να έχει μηκος 1 (μοναδιαιο διανυσμα) και να ευρίσκεται στην ημιευθεία Ο������ , η οποια ειναι θετικα προσανατολισμένη. Για κάθε σημείο Μ της ευθείας ������′������ , το διάνυσμα ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ εχει την διευθυνση της ευθειας ������′������, αλλα Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ μπορει να είναι ομορροπο ή αντιρροπο του ������. Τοτε: 1) κάθε πραγματικός αριθμός x ορίζει ένα και μόνον ένα διάνυσμα Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ τέτοιο ώστε Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = x������. x > 0 ⟺ ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ομόρροπον του ⃗Ο⃗⃗⃗Ι = ������ x < 0 ⟺ Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ αντίρροπον του ⃗Ο⃗⃗⃗Ι = ������ x = 0 ⟺ Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ =������ 2) κάθε διανυσμα Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ορίζει έναν και μόνον έναν πραγματικό αριθμό x, ώστε Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = x������ και αντίστροφα Αποδειξη 1) Εστω ο πραγματικος αριθμος x Το διανυσμα x������ είναι το γινομενο του αριθμου x επι το μοναδιαιο διανυσμα ������ Αποδειξη 2) Εστω το διανυσμα ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ Και ‖⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ‖ = |Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ | = ΟΜ το μηκος του διανυσματος ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ο πραγματικος αριθμος x οριζεται ως εξης: +‖⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ‖, ������������ ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ������������������������������������������������������ ������������������ μοναδιαιου διανυσματος ⃗Ο⃗⃗⃗Ι = ������ x = {−‖Ο⃗⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ‖, ������������ ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ ������������������������������������������������������������ ������������������ μοναδιαιου διανυσματος ⃗Ο⃗⃗⃗Ι = ������ Ορισμός Συντεταγμένη διανύσματος επι άξονα Η ευθεία ������′������ καλειται άξονας με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα (unit vector) το ⃗Ο⃗⃗⃗Ι = ������ = ���⃗��� Ο αριθμός x: ⃗Ο⃗⃗⃗Μ⃗⃗ = x������ καλείται συντεταγμένη του σημείου Μ επί του άξονα με μοναδιαίο διάνυσμα ������. Ορισμός Ορθοκανονικό ή Καρτεσιανό σύστημα (πλαισιο αναφορας) στο επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες Οx και Οy, με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα τα ������ και ������ αντίστοιχα: ������ ⊥ j και ‖������‖ = ‖������‖ = 1. Οι άξονες με μοναδιαία διανύσματα τα ������ και ������ ορίζουν ένα ορθοκανονικό σύστημα στο επίπεδο. Το σύστημα των αξόνων Οx και Οy λέγεται ορθοκανονικό (orthonormal), γιατί οι άξονες Οx και Οy είναι κάθετοι, και τα διανύσματα ������ και ������ έχουν μήκος ένα.

Ορισμός Συντεταγμένες σημείου (coordinates) ως προς Ορθοκανονικό σύστημα στο επίπεδο Για κάθε σημείο Μ του επίπεδου εφοδιασμένου με Ορθοκανονικό σύστημα Οx και Οy, θεωρούμε τις κάθετες από το Μ προς τους άξονες Οx και Οy και συμβολίζουμε με ������1 και ������2 τα αντίστοιχα σημεία τομής. Η συντεταγμένη x του Μ1 ως προς τον άξονα ������x, λέγεται τετμημένη (abscissa) του Μ και η συντεταγμένη y του Μ2 ως προς τον άξονα ������y, λέγεται τεταγμένη (ordinate) του Μ. Η τετμημένη x και η τεταγμένη y του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες του Μ. Ένα σημείο Μ με συντεταγμένες x και y συμβολίζεται Μ(x, y) ή απλά (x, y) Ορισμός Συνιστώσες διανύσματος (vector components) Έστω ⃗α ένα διάνυσμα του επιπέδου του Οxy και Α σημείο του Οxy τέτοιο ώστε ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ = ⃗α . Τότε ⃗α = ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 1 + ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 2 . Είναι ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 1 // ������ και ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 2 // ������, επομένως υπάρχουν x, y ∈ ℝ, ώστε Ο⃗⃗⃗⃗Α⃗ 1 = x������ και ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 2 = y������ . Άρα ⃗α = x������ + y������ και τα διανύσματα ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 1 = x������ και ⃗Ο⃗⃗⃗Α⃗ 2 = y������ , λέγονται συνιστώσες του διανύσματος ⃗α , στις διευθύνσεις των ������ και ������ αντίστοιχα. Ορισμός Συντεταγμένες διανύσματος ως προς Ορθοκανονικό σύστημα στο επίπεδο Αν ���⃗��� = x������ + y������ τότε οι αριθμοί x, y ∈ ℝ λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος ⃗ψ⃗ . Ο πραγματικός αριθμός x λέγεται τετμημένη του ψ⃗⃗ και ο πραγματικός αριθμός y λέγεται τεταγμένη του ⃗ψ⃗ . Ένα διάνυσμα ⃗ψ⃗ αναπαρίσταται ως διατεταγμένο ζεύγος των συντεταγμένων του (x, y), ως προς το ορθοκανονικο συστημα (������, ������): ⃗ψ⃗ = x������ + y������ ⟷ (x, y). Αν Α(xA, yA) και Β(xB,yB) τότε ⃗Α⃗⃗⃗Β⃗ ⟷ (xB–xA, yB–yA). Δηλαδή από τις συντεταγμένες του πέρατος Β αφαιρούμε τις συντεταγμένες της αρχής Α. ΣΧΟΛΙΟ Διαφορετικες Αναπαραστασεις Διανυσματων Εστω ότι τo διάνυσμα ���⃗��� = x������ + y������ αναπαρίσταται ως τo διατεταγμένο ζεύγος (x, y) ως προς το συστημα συντεταγμενων (������, ������): ψ⃗⃗ = x������ + y������ ⟷ (x, y). και ως τo διατεταγμένο ζεύγος (ψ0, ψ1), ως προς καποιο άλλο συστημα συντεταγμενων (���⃗���0, ���⃗���1): ψ⃗⃗ = ψ0���⃗���0 + ψ1���⃗���1 ⟷ (ψ0, ψ1) Τα διατεταγμενα ζευγη (x, y) και (ψ0, ψ1) δεν συμπιπτουν, θεωρουμενα ως διατεταγμενα ζευγη. Αποτελουν όμως 2 διαφορετικες αναπαραστασεις του διανυσματος ⃗ψ⃗ στα αντιστοιχα πλαισια αναφορας (������, ������) και (���⃗���0, ���⃗���1): ψ⃗⃗ = x������ + y������ = ψ0���⃗���0 + ψ1���⃗���1

Πρόταση Ίσα διανύσματα (equal) μέσω συντεταγμένων Δύο διανύσματα είναι ίσα, αν και μόνον αν έχουν ίσες συντεταγμένες. Δηλαδή: (xα, yα) = (xβ, yβ) ⟺ xα=xβ και yα=yβ Πρόταση Πράξεις διανυσμάτων μέσω συντεταγμένων (xα,yα) +(xβ,yβ) =(xα+xβ , yα+yβ) λ(xα,yα) = (λxα , λyα). Ορισμός Προβολή Διανύσματος σε άξονα Έστω άξονας με μοναδιαίο διάνυσμα ⃗������, ‖���⃗���‖ = ������. Αν ������: η γωνία των διανυσμάτων ⃗���⃗⃗���, ⃗������ τότε η Προβολή του Διανύσματος ⃗���⃗⃗��� στον άξονα ⃗������ είναι ������������������������⃗������⃗���⃗⃗��� = (‖⃗���⃗⃗���‖������������������������)���⃗��� = ⟨⃗������|⃗���⃗⃗���⟩���⃗��� ������������������������⃗������⃗���⃗⃗��� = (‖⃗���⃗⃗���‖������������������������)⃗������ = ⟨���⃗���|⃗���⃗⃗���⟩���⃗��� Ορισμός Συντεταγμένη του Διανύσματος ως προς άξονα H Συντεταγμένη του Διανύσματος ψ ως προς τον άξονα ������ ������⃗������ = ‖⃗���⃗⃗���‖������������������������ = ⟨⃗������|⃗���⃗⃗���⟩ Διότι ⟨���⃗���|⃗���⃗⃗���⟩ = ‖⃗������‖‖⃗���⃗⃗���‖������������������������ = ‖⃗���⃗⃗���‖������������������������ όπου ������������������������ = ���������⃗��� = ⟨⃗������|⃗���⃗⃗���⟩ το συνημίτονο κατεύθυνσης του Διανύσματος ⃗���⃗⃗��� ως προς τον άξονα ⃗������. ‖���⃗⃗⃗���‖ ‖���⃗⃗⃗���‖ Ορισμός Ορθοκανονική Βάση ή Ορθογώνιο Πλαίσιο (Αναφοράς) ή Ορθογώνιο Σύστημα Αναφοράς Στον απλουστερο 2-διαστατο Διανυσματικο Χωρο κάθε σύστημα δύο Ορθογωνίων Μοναδιαίων Διανυσμάτων (���⃗���������, ⃗������������) αποτελει μια Ορθοκανονική Βάση Συμβολίζεται και ως: (���⃗���������, ���⃗���������) Στην Κβαντική Πληροφορια καθε 2-διαστατος Διανυσματικος Χωρος Περιγραφει των στοιχειωδη μοναδα Κβαντικης Πληροφορια και καλειται qubit ή χωρος ενός qubit. H επιλεγμενη Ορθοκανονική Βάση συμβολίζεται συνήθως ως (⃗������������, ���⃗���������) ή ως (������������, ������������), οπότε ισχύουν: ⟨⃗������������|���⃗���������⟩ = ������ , ||⃗������������|| = √⟨⃗������������|���⃗���������⟩=1, ||���⃗���������|| = √⟨���⃗���������|���⃗���������⟩=1.

ΣΧΟΛΙΟ Έκφραση Συντεταγμενων και Προβολων Διανυσματος μεσω του Αριθμητικου Γινομενου Κάθε Διάνυσμα ⃗ψ⃗ είναι Γραμμικός Συνδυασμός των Διανυσμάτων Βάσης (u⃗ 0, ⃗u1) ⃗ψ⃗ = ψ0u⃗ 0 + ψ1u⃗ 1 = ⟨u⃗ 0|⃗ψ⃗ ⟩u⃗ 0 + ⟨⃗u1|⃗ψ⃗ ⟩u⃗ 1 ψ0 = ⟨u⃗ 0|⃗ψ⃗ ⟩ η συντεταγμένη του Διανύσματος ⃗ψ⃗ ως προς τον άξονα u⃗ 0 και ψ1 = ⟨u⃗ 1|⃗ψ⃗ ⟩ η συντεταγμένη του Διανύσματος ⃗ψ⃗ ως προς τον άξονα u⃗ 1. ⟨⃗u0|ψ⃗⃗ ⟩u⃗ 0 η Προβολή του Διανύσματος ψ⃗⃗ στον άξονα ⃗u0 και ⟨u⃗ 1|ψ⃗⃗ ⟩u⃗ 1 η Προβολή του Διανύσματος ψ⃗⃗ στον άξονα u⃗ 1. Πρόταση Έκφραση του Αριθμητικού Γινομένου Διανυσμάτων μέσω των Συντεταγμένων ⟨⃗������|⃗���⃗⃗���⟩ = ‖⃗������‖ ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖ ∙ ������������������(⃗������, ⃗���⃗⃗���) = ������������������������ + ������������������������ Απόδειξη ⟨⃗������|⃗���⃗⃗���⟩ = ‖⃗������‖ ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖ ∙ ������������������(⃗������, ⃗���⃗⃗���) = ‖⃗������‖ ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖ ∙ ������������������ (���������⃗��� − ���������⃗⃗⃗���) = ‖���⃗���‖ ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖ ∙ (������������������(���������⃗���)������������������ (���������⃗⃗⃗���) + ������������(���������⃗���)������������ (���������⃗⃗⃗���)) = ‖���⃗���‖ ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖ ∙ ������������������(���������⃗���)������������������ (���������⃗⃗⃗���) + ‖⃗������‖ ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖ ∙ ������������(���������⃗���)������������ (������⃗���⃗⃗���) = ‖⃗������‖������������������(������⃗������) ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖������������������ (���������⃗⃗⃗���) + ‖⃗������‖������������(������⃗������) ∙ ‖⃗���⃗⃗���‖������������ (���������⃗⃗⃗���) = ������������������������ + ������������������������. Πρόταση Έκφραση του Μήκους Διανυσμάτων μέσω συντεταγμένων ‖⃗���⃗⃗���‖ = √(������������)������ + (������������)������ Απόδειξη 1η Εφαρμόζω το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές ‖⃗���⃗⃗���‖, |������������|, |������������|. Απόδειξη 2η Από την σχέση Μήκους και Αριθμητικού Γινομένου: ‖⃗���⃗⃗���‖ = √⟨⃗���⃗⃗���|⃗���⃗⃗���⟩ = √(������������������������ + ������������������������) = √(������������)������ + (������������)������ Πρόταση Έκφραση της Απόστασης Διανυσμάτων μέσω συντεταγμένων Η απόσταση των σημείων Α(������������ , ������������) και Β(������������, ������������) είναι: d(ΑΒ) =√(������������ − ������������)������ + (������������ − ������������)������ Απόδειξη d(Α, Β) =‖���⃗⃗���⃗⃗���⃗���‖ = ‖���⃗⃗⃗���⃗⃗���⃗��� − ���⃗⃗⃗���⃗⃗���⃗���‖ = ‖(������������, ������������) − (������������ , ������������)‖ = ‖(������������ − ������������, ������������ − ������������)‖ = √(������������ − ������������)������ + (������������ − ������������)������

Παράδειγμα Θα γράψουμε τα διανύσματα ⃗O⃗⃗⃗A⃗ και Γ⃗⃗⃗Β⃗ με συντεταγμένες και ως γραμμικό συνδυασμό των μοναδιαίων διανυσμάτων. Για τα σημεία στο διπλανό σχήμα είναι: Ο(0,0), Α(3,1), Β(2,3), Γ(1,2). Άρα στο σημείο Α(3,1), αντιστοιχεί το διάνυσμα θέσης ⃗O⃗⃗⃗A⃗ ⟷ (3,1) ή αλλιώς ⃗O⃗⃗⃗A⃗ ⟷ (xA − xO, yA − yO) = (3 − 0, 1 − 0), ⃗O⃗⃗⃗A⃗ = (3,1) = 3������+������ ⃗Γ⃗⃗Β⃗ ⟷ (xB − xΓ, yB − yΓ) = (2 − (−1), 3 − 2) = (3,1), Γ⃗⃗⃗Β⃗ = 3������+������ Παρατηρούμε ότι: ⃗O⃗⃗⃗A⃗ = ⃗Γ⃗⃗Β⃗ . ΣΧΟΛΙΟ Διανύσματα στο χώρο. Τα παραπάνω γενικεύονται στις τρεις και σε περισσοτερες διαστάσεις. Αναλυτική αναπαράσταση διανύσματος με τις συντεταμένες του στις τρεις διαστάσεις υπάρχει στο διαδραστικό εργαλείο: https://www.geogebra.org/m/J2Ked4Fg και στο διαδραστικό παιχνίδι PACMAN: https://www.geogebra.org/classic/j28dfqtm Ερωτήσεις “Σωστό ή Λάθος” Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ) ������. ⟨⃗������|⃗������⟩ = ⃗������ ���������������������������⃗���⃗������  2.⟨������|���⃗���⟩ = ������ ������������������������⃗������������  Ερώτηση “πολλαπλής επιλογής” Αν ������ είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα τότε στο αριθμητικό γινόμενό του με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα ���⃗��� είναι ίσο με: ������. ������ ���������������������������⃗��������� ������. ������ ���������������������������������⃗��� ������. ���⃗��� ���������������������������������⃗��� ������. ‖������‖���������������������������������⃗��� ������. ‖���⃗���‖���������������������������⃗���������