บทที่-4-การแจกแจงความน่าจะเป็นไม่ต่อเนื่อง

61 บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ไม่ตอ่ เนอื่ ง 4.1 ตัวแปรสุ่ม \\ เล โดด ตอบเ นทศ ยมไ การทดลองสมุ่ (Random Experiment) เป็นการทดลองที่ไม่ทราบผลลัพธ์ท่ีจะเกิดข้ึน แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซ่ึง เหตุการณห์ รือผลลัพธ์ทเ่ี ปน็ ไปไดท้ ัง้ หมด เรยี กวา่ ปรภิ มู ิตัวอยา่ ง ( Sample Spaces ; S) การโยนเหรียญ 1 อนั 2 คร้งั ผลลัพธท์ ่ีเกดิ ขน้ึ ในการทดลอง คือ S = { HH , HT , TH , TT} ตัวแปรสมุ่ (Random Variable) → แทน วแปร การเปลี่ยนจากผลลัพธ์ซ่ึงไม่ใช่ตัวเลขมาเป็นตัวเลขในลักษณะท่ีสนใจ เรียกว่า ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) ดังน้ันตัวแปรสุ่ม คือ ฟังก์ชันที่เปล่ียนผลลัพธ์ (Outcome) ของเหตุการณ์ท่ี เกิดขึน้ ทัง้ หมดให้เป็นตวั เลข X = จานวนครง้ั ทเี่ หรยี ญข้ึนหัว X = { (HH = 2) , (HT = 1) , (TH = 1) , (TT = 0)} ฉะน้ันค่าท่ีเป็นไปได้ทัง้ หมดของฟังกช์ นั X ซึง่ เรยี กวา่ Range space (R X ) R X = {0 , 1 , 2} หมายเหตุ ตัวแปรสุ่มจะแทนด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ เช่น X Y Z W เป็นต้น และใชอ้ ักษรภาษาองั กฤษตวั เล็ก เช่น x y z w ตามลาดบั แทน ค่าของตวั แปรสุ่ม บทนยิ าม 4.1 ให้ S เป็น Sample space ขงอการทดลองหนง่ึ ๆ ทม่ี ผี ลการทดลองเป็น s ตวั แปรสุ่ม คือ ฟงั กช์ นั ของจานวนจรงิ ที่กาหนดให้แกผ่ ลการทดลอง s ถ้าให้ X แทนตวั แปรสุ่ม และ x แทนจานวนจริง จะได้ X(s) x เซตของจานวนจรงิ x เรยี กวา่ space of X และนิยมให้ R แทนเซตน้ี บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนดิ ไม่ต่อเน่ือง ปัต้ดิน็

62 ตวั อยา่ งท่ี 4.1 โยนเหรยี ญเทย่ี งตรง 1 อัน 3 ครง้ั ให้ตัวแปรส่มุ X เป็นจำนวนหัวทเี่ กดิ ขึ้น - { }Rx = 0,1 , 2,3 ตวั อยา่ งที่ 4.2 ถำ้ หำกว่ำคสู่ ำมีภรรยำแต่ละคู่มีโอกำสทจ่ี ะมบี ตุ รชำยและหญิงเท่ำๆ กนั สำหรบั ครอบครวั ที่มบี ุตร 2 คน ให้ตัวแปรสุม่ Y เป็นจำนวนบุตรชำยของครอบครัว T T { }Ry =0,12 ง ตัวอยา่ งท่ี 4.3 โยนเหรียญเทย่ี งตรง 1 อนั ไปเรื่อยๆ และหยดุ เม่อื เหรยี ญหงำยหัว ใ 2 เ น นวน โยน เห ยญ Rz { }1,2 3,4= , , . .. * บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนดิ ไมต่ ่อเน่อื ง ีร่ีทำจ็ป้ห

63 ตวั อยา่ งท่ี 4.4 โรงงำนผลติ เครอ่ื งปรบั อำกำศไดต้ รวจสอบอำยุกำรใชง้ ำนของเคร่ือง หน่วยเป็นชัว่ โมง ให้ตวั แปรสมุ่ T แทนอำยุกำรใช้งำนของเครือ่ งปรบั อำกำศ { }R = , 2,30,1 , ,. . . 4.2 ตัวแปรสมุ่ ชนิดไมต่ ่อเนอื่ ง ( Discrete Random Variable) ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ X จะต้องมีจานวนที่ แนน่ อนหรือถา้ มีจานวนอนนั ต์จะตอ้ งสามารถนบั ได้ ตวั อย่าง X = จานวนผูท้ ร่ี อลงทะเบียนเข้าพักทีโ่ รงแรมแหง่ หนง่ึ ในช่วงวนั หยดุ X = 0, 1, 2, 3, 4, … หรือ X = จานวนสินคา้ ทม่ี ีตาหนิจากการสุ่มสนิ ค้ามา 10 ชิน้ X = 0, 1, 2, 3,…, 10 บทนิยาม 4.2 เราเรยี ก X วา่ เปน็ ตวั แปรสุม่ ชนิดไม่ต่อเน่ือง ถา้ space of X เปน็ เซตจากดั ซ่ึงเขียนแจกแจงได้เป็น x1,x2,x3,...,xn หรอื เป็นเซตอนนั ค์แบบนบั ได้ x1, x2, x 3, ... บทนยิ าม 4.3 ให้ X เป็นตวั แปรส่มุ ชนดิ ไม่ต่อเน่ือง โดยมี R เปน็ space of X ความน่าจะ เป็นท่ี X x จะเขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ f(x) นน่ั คอื f (x) P(X x) และเรียก f(x) ว่า การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของ X (probability distribution of X) บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรส่มุ ชนดิ ไมต่ ่อเนอ่ื ง

gs { ญช ช ญ ชญญญญช= , ญชช ญชญ ชชชช, ชชช ญ ชช , ชชญญ , ช , 64 ญชญ ชาญญญ ญญช ญญญ ญชญญ , ญญญ ตัวอยา่ งที่ 4.5 สมมตวิ า่ ความนา่ จะเป็นท่ีทารกเกดิ เปน็ หญิงหรอื ชายมีค่าเท่ากัน สมุ่ เลอื กทารก 4 คน ให้ตัวแปรสุ่ม X เปน็ จานวนทารกเพศหญิง จงหาผลการทดลองทั้งหมด ความน่าจะเปน็ ของ ผลการทดลองแต่ละอนั ค่าของตวั แปรสุ่ม X และกรแจกแจงความน่าจะเปน็ ของจานวนทารกเพศ หญิง l ชS = ชญญช , ญญชช } ชชชช , ชาญ , ชช ญชา ชญชช , ญชชช , ชชญญ , ญญ ชช , ญญชญชาญญญช , ญญชญ ญชไญญ.าชญญญ าญญ Rx {ะ 0 วาง 2 4} pcxz 2) ะ L . 16 PCX ะ อ) ะ PCX ะ 1) ะ # PCX ะ 3) ะ # 16 16 PCX ะ 4) * กกร ตวั อยา่ งท่ี 4.6 กล่องใบหน่ึงมีสลาก 4 ใบ แตล่ ะใบมหี มายเลข 1,2,3 หรือ 4 ไมซ่ ้ากนั สุ่มหยิบสลาก หนง่ึ ใบ โดยที่แตล่ ะใบโอกาสถกู เลือกเท่ากนั ให้ X เป็นหมายเลขของสลากทีส่ ุม่ หยิบได้ จงหาการ แจกแจงความนา่ จะเปน็ ของ X { }Rx ะ 1g 2,3 4 า PCX ะ 1) ะ 1 4 PCX ะ 2) 1ะ 4 IPCX ะ 3) ะ ¥pcx ะ 4) บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเน่ือง ีณีอำงญฺญชฺญุรุ้ตุชุชุชุชู่ญุญ

¥ 65 บทนยิ าม 4.4 ให้ X เปน็ ตัวแปรสมุ่ ชนิดไมต่ ่อเนื่อง โดยมี f(x) เปน็ การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ความนา่ จะเปน็ ท่ี X x จะเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ F(x) น่นั คือ F(x) P(X x) และเรียก F(x) ว่า การแจกแจงสะสมของ X (cumulative distribution of X) ตวั อยา่ งท่ี 4.7 ให้การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุ่ม X เป็น 1 ,x 1, 2 4 1 f (x) 2 ,x 3 0 , otherwise จงหาการแจกแจงสะสม F(x) พร้อมทงั้ วาดกราฟของ F(x) Fa) = PCXE 1) =P ( × = 1) =1 4 14+14 ๆF(2) = PCXE 2) = PCX = 1) + PCX +2) = = = PCX ะ 1) + PC ×=2) + P กะ # ¥ นะ(PCXE 3) = 3)× = = +1 |บน Fcxk Ii เ× = 3 บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนดิ ไมต่ ่อเน่อื ง มุ่ฑุ่ก่

66 งง yตวั อย่างที่ 4.8 ให้การแจกแจงสะสมของ Y คอื 0 ,y 1 ใด 1 15 , 1 y 1 F(y) 5 15 ,1 y 2 ขาด 12 15 ,2 y 3 1 ,y 3 จงหาการแจกแจงความน่าจะเป็น f(y) |fcy f 0 ; น - ๆ - 3อ j g-- -1,0 ๆ y; -- 1 g-; -2 ; g--3 บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสุม่ ชนดิ ไมต่ ่อเนื่อง ุ๊ศ๋ัษ่ือู่ย

67 ตัวอย่างที่ 4.9 ฟงั กช์ นั การแจกแจงความนา่ จะเป็น มีค่าเปน็ f (x) 1 ,x 1,2, 3, 4 4 0 , otherwise 1) จงหาการแจกแจงสะสมของ X 2) จงใชข้ ้อ 1) หา P(X 2.5),P(X 5) และ P(1 X 3) |ญื๋ำ ; × ะ2 Fcx) ะ §ญื๋PC × 25) × 2) ¥ %+ ¥ +14 ะ ; ×ะ3 =2 2 # +14ๆ+ # + jะ 1 X ะ4 PCX > 5) = 0 p( เ ± × < 3) ะ PCXE 2) = F(2) =1 2 ตัวอยา่ งที่ 4.10 วัสดสุ ่อี ันท่ีเป็นตาหนิ 2 อนั นาวัสดุมาตรวจสอบทลี ะอันจนกระทัง่ ตรวจพบอันท่ี เป็นตาหนิทัง้ สองอนั กาหนดให้ตวั แปรสุม่ Y เป็นจานวนวสั ดุทต่ี อ้ งตรวจสอบทง้ั หมด 1) จงหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของ Y 2) จงหาการแจกแจงสะสมของ Y { ]S = i. | fPCYะ 4) งตต , ตม ตาม ตต , ตม ม ต , ม ม ต ต . ม ตาม ต { }Rya 2,3 , 4 } i y E2 ;yะ 2 ÷ ๆ0 ; น oj น ๆ บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเนอ่ื ง ่ือ่ือู่ง๋ืหุ๋ญ

%\" 68 าเฉ ย / า คาดหมาย (Expected Value) 4.3 คา่ คาดหวังของตวั แปรส่มุ ชนดิ ไม่ต่อเนือ่ ง - บทนยิ าม 4.5 ให้ X เปน็ ตัวแปรสมุ่ ชนิดตอ่ เน่ือง ซึ่งมี f(x) เปน็ การแจกแจงความน่าจะ คา่ คาดหวังของ X เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ E(X) โดยมคี ่าดงั น้ี ° minnE(X) xf(x) xR\"→ \" \"\" ตัวอยา่ งที่ 4.11 โยนลูกเต๋าหนงึ่ ครั้ง ใหต้ ัวแปรสมุ่ X เปน็ แตม้ บนลกู เตา๋ ท่ีปรากฎ จงหา E(X) RX { }= 1,2 , 3,4 5 6 { } ; 2,3× 1 6ะ า ะ P(× =D ะ 16 แ, า ง= . .. 16PCX ะ 2) = ะ}3)PCX - %)(f)[ )(x- = 1 (6) +2(f) +3%) +4(b) +5 +6 - = 3.5 * 16PCX = 4) = (P × = 5) ะ 1 เ p(× = 6) = 1 เ ตัวอยา่ งท่ี 4.12 สมมติว่าการเลน่ เกมหนึ่งมีกตกิ าว่า ในแต่ละครง้ั ท่ีผ้เู ล่นโยนลกู เตา๋ เขาจะได้รบั เงนิ ตอบแทนซ่งึ ขน้ึ อยกู่ บั วา่ ลูกเต๋าออกแต้มอะไร ถ้าออกแต้มเลข 1, 2 หรือ 3 เขาจะได้รบั เงนิ 1 บาท { }Rx ะ 1,5 , ว5 ไX ะ เ น จาก การ เ นเกม เลข 4 หรือเลข 5 เขาจะได้รบั เงนิ 5 บาท และเลข 6 เขาจะได้รบั เงนิ 35 บาท ถ้าจะของเกม ะนะ วp 1)( × = - e - !÷ \"\" . ต้องการได้กาไร เขาควรเก็บเงนิ จากผู้เล่นเท่าใดในการเล่นเกมแตล่ ะครั้ง ในi. เพราะ ฉะ น ควร เ บ เ เ นการ มาก ก า 8 บาท ไ× อเ นๆ } }PCX 5)\" เจากการ น lะ3{ }Rx - - HPCX= 5) = Z 1z 1 , 5,35 63 } {PCx._ D= fA) ะ . } g X ะ 35 (5) + 13 5) 2= Ex = (1) + เ -2 % + ฑึ๊ 48 = 8 ะ นมาก า 8 z i. 1 พา นะ นสร เ บ ใน การ เ บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเน่ือง ่ว่ลิว็ก๋หุ่ง้ํญ่ล้ด่ีทิงืค่ว่ล็ก้ัน๋ิญุ๋งุ๋ยุ๊ภ่ล้ด่ีทิง้ีฮุ้ฬ็ก่ค่ีล่ค

69 สมบตั ขิ องค่าคาดหมายของตวั แปรสุ่ม E(X )E(Y ) ให้ a,b เป็นค่ำคงตวั ใดๆ X ,Y เป็นตัวแปรส่มุ 1. E(a) a 2. E(aX ) aE(X ) 3. E(X b) E(X ) b 4. E(aX b) aE(X ) b 5. E(X Y ) E(X ) E(Y ) 6. E(X E(X )) 0 7. ถำ้ X และ Y เปน็ ตวั แปรสุ่มทอี่ สิ ระตอ่ กันแลว้ ได้วำ่ E(XY) ตวั อยา่ งท่ี 4.13 ตวั แปรสุ่ม X มฟี ังก์ชันควำมน่ำจะเป็นดังตำรำง x -1 0 2 3 4 P(X=x) 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 จงหำ 1. E(X ) 2. E(X 2) 3. E(2X ) 4. E(2X 1) 5. E(X 2 ) [E(X )]2 บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนดิ ไม่ต่อเนื่อง

70 ตัวอย่างที่ 4.14 ให้ตวั แปรส่มุ X มี E(X 2) 5 และ E(X ) 3 จงหำ E(4X 2 2X 1) [ (4×2-2×+1) = [ ำ4 (× - 2 ECX) + Ea) = 4 (5) -2 (3) t 1 = 15 * ตัวอย่างที่ 4.15 ใหก้ ำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ ของตัวแปรส่มุ X เปน็ x ,x 2, 3,5 f (x) 10 0 , otherwise ×2- 3\\ จงหำ E[X(X 3)] [ ำ1) [(= (= × -3 Elx) - %) +52( ( ( %)[ อ)[ 2)(× -- 2 fcx ) = 22 + × = 16 Ek ) ะ ¥[ xfcx) +5/ %)ก/2 ( +3( ะ ะ . = 3.8 EC × [-3 - แวะ 16-3 (3.8) = 4.6 * บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ว้ว้

EKD hp =3 Co 3) . . 0.9 71 enpqVCX) ะ 30.3)(อ .7) ( Variance ะ 63 4.4 ความแปรปรวนของตัวแปรสุม่ ชนิดไมต่ อ่ เนอ่ื ง บทนยิ าม 4.6 ควำมแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ X เขียนแทนดว้ ย 2 ,V(X ) โดยที่ x V (X ) E(X 2 ) [E(X )]2 ยะ qaPa 0.3 0.7 , ทะ3 , ตัวอยา่ งที่ 4.16 สุ่มหยบิ หลอดประหยดั ไฟ 3 หลอด จำกช้ันทม่ี หี ลอดไฟวำงอยู่ 10 หลอด ซง่ึ เปน็ หลอดที่ใช้ได้ 7 หลอด และชำรดุ 3 หลอด จงหำคำ่ เฉลยี่ และควำมแปรปรวนของจำนวนหลอดไฟท่ี . . . ชำรดุ | ÷:£แ [ะ fcn . )= 02(;) +1{%) +2ใน ไป× ะ นวนหลอด ด { }Rm = o µ เ 2,3 , , 10gn (5) ะ = เ 20 2 1.3 ::\"ฬู้ P 2)(× - =7 ¥ เ ยง¥ วน - = .g s ดเบน กอด µ 3)× - ะ 3 - ¥ อ ๐ = าเฉ ย £ แวะ [ xfx (=) + ) +2 (บ) +3Gt = 120 สมบตั ิความแปรปรวน ให้ a,b เป็นคำ่ คงตวั ใดๆ X ,Y เป็นตัวแปรสุ่ม 2 E(a) = 1. ]V (a) 0 [£(a)? เ-าะ อ 2. 2กVe(aX ) a2V (X ) wu %3. V (X b) V (X ) N 4. ←V (aX b) a2V (X ) e- 5. ถ้ำ X และ Y เปน็ ตวั แปรส่มุ ที่อิสระตอ่ กันแลว้ ได้ว่ำ V (X Y) V(X) V (Y ) - 1552 1557 1559 บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสุม่ ชนิดไม่ต่อเนื่อง ๘057 สไ ้ดู๊ญ่ีล่ค่ตูรีริสุย๋ืห๊ิหุ๋ห้ข้กุรำชำจ

72 ตวั อยา่ งท่ี 4.17 ตวั แปรสมุ่ X มีฟงั ก์ชนั ควำมน่ำจะเปน็ ดังตำรำง x -1 0 2 3 4 P(X=x) 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 จงหำ 1) V (X ) 2) V (2X ) 3) V (3X 1) อนหา VCX) หา Ecx) อน จาก ต ย 4.13 จะไ .. Elx ) = 1.85 }[ cx ะ 5.95 2) ¢ %(และ vcx) = EC× - ข) 2. 5 275 ⑧ V ( 2×) = 22VCX) = 4 (VX) = 10.11 ③ V (3×+1) 32= v (x) = 9 (2.5 27 5) ะ 22.7475 บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสุม่ ชนิดไม่ต่อเนอื่ ง ก้ด่ก่

โจทP :S uceess → -1qP- ะ Fail → 73 Pา= - 4.5 การแจกแจงแบรน์ ูลลแี ละการแจกแจงทวินาม (Bernoulli and Binomial Distributions) บทนิยาม 4.7 เรำกลำ่ ววำ่ ตวั แปรสุม่ X มีกำรแจกแจงเบอรน์ ลู ลี ถำ้ กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ Ex = Exfcx) ของ X มีคำ่ เปน็ ofco าf) (1)+- f (x) px (1 p)1 x,x 0,1 _ = Ofpo แ - p ) ph+1 ( - ) ° =p G-p) =p ถ้ำ X มีกำรแจกแจงเบอรน์ ลู ลีแล้ว ค่ำเฉล่ียและควำมแปรปรวนของ X มีค่ำเป็น ๐๐E(X) p Var(X) p(1 p) ญ กห า4xp fffตวั อย่างที่ 4.18 โรงงำนปลำกระป๋องแหง่ หน่งึ มพี นักงำนหญิงเป็นจำนว-น 70% ให้ตวั แปรสุม่ X เป็น จำนวนพนักงำนหญิง เมอ่ื เลือกพนักงำนมำ 1 คน อย่ำงสุ่ม 1) จงเขียนฟงั ก์ชันควำมนำ่ จะเปน็ ของ X คะแนน 2) จงหำจำนวนพนักงำนหญิงเฉลี่ย และควำมแปรปรวนของ X P อ 7=. P q-0.7 -อ 3 . qn p- fm① - oiico ×= a ำ① fcnzp ×G- X ะ 0,1 - . ② ECX) =p = 0.7 ×\" PqVCX ) - ะ 0.7-0.3 ⑥7) ( อ - - 3) j X ะ0,1 ะ อ ะา . . E ( x ) = 0.7 VCX) - Pq -0.7 × อ ง . ะ 0.21 บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง ุ่ดำ่ต้นัลัส๋ิกืว์ย

74 บทนิยาม 4.8 เรำกล่ำววำ่ ตวั แปรสมุ่ X มกี ำรแจกแจงทวินำม ถำ้ กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ ของ X มคี ่ำเปน็ f (x) n px (1 p)n x,x 0,1,2, 3,...n x ทฤษฎีบท 4.1 ให้ X Bin(n, p) แล้วคา่ เฉลยี่ และความแปรปรวนของ X มคี ำ่ เปน็ E(X) np Var(X) npq ⑥การแจกแจงแบบทวนิ าม (Binomial Distribution) ราก มากก า 2 ค ง การทดลองแบบทวินาม มีลกั ษณะดงั น้ี 1. มกี ารทดลองซ้าๆ กนั n คร้ัง 2. การทดลองในแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 อย่าง คือ ประสบความสาเร็จ (ส่ิงท่ีสนใจ) หรือ ประสบความลม้ เหลว (สงิ่ ที่ไมส่ นใจ) อย่างใดอย่างหนึ่งเทา่ น้ัน 3. การทดลองแตล่ ะครงั้ เปน็ อิสระตอ่ กัน 4. ความน่าจะเป็นท่ีจะประสบความสาเร็จจากการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่เท่ากับ p และ ความน่าจะเป็นทีจ่ ะลม้ เหลวเท่ากับ q = 1- p P 20.1 95 = อ 9 . •ตวั อย่างที่ 4.19 ความนา่ จะเป็นที่ผูช้ านคนหน่ึงเป็นตาบอดสเี ทา่ กับ 0.1 สมมติวา่ ผู้ทเ่ี ป็นตาบอดสี ไมม่ ีผลต่อคนอน่ื ๆ สคุม่ วเาลมอื นก่าผจู้ชะาเยปน็ 1ท5ี่พคบนวา่จมงหีผู้ชาายตาบอก•สี 5 คน 1) 2) ความน่าจะเปน็ ท่ีพบว่ามผี ชู้ ายตาบอดสมี ากกวา่ 4 คน 3) ความน่าจะเปน็ ท่ีพบวา่ ผูช้ ายตาบอดสี 3 ถงึ 8 คน 4) ค่าเฉลยี่ และความแปรปรวนของจานวนผู้ชายตาบอดสี \" (กอ(B) ; Fcx (E) ( ฯ 0,1g⑦ Xะ (กอ② , | GI | % ±. 1- ท (อ . * . .. . j }Xะ 1,2, ท.. f\"\" อ9 oimx._ .. า5 )= . pcx = 5) ะ . . 2 p (× > 4) = 0 ( อ 9) \"55 pft ะ5) . = อ อา 05 ⑦ . (กอา - p CXE 4) = า% \" = ะ- อ 9 8 73 = o.cm . ญื๋: ะ % ภื๋② \"\"\" \" \"\" \" % 5 . อ .อา อ5 ④ &× = ทาง ะา 5ออก ะะ 5 ② p(X >4) 21 - PCXE 4) PqVCXI ะท 9)ะ 15( อ. 1) ( อ ะ 1.35 < (อ 1) 0.9 . บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนดิ ไม่ต่อเนื่อง ③ PCBXE 8) - PCXE 8) - PCXE2) ะ 1- 0.8159 ๐4 [× ะ 15 (อ . D= 1.5 Vfx) ะ npq < 150.1) (อ . 9) ะ 1.35 ุ๋ง๋ัว๊ืณ๋ิฑุ๋งุ้ข๋ํกุ๋กุ๋ศ๊ํว้ัร่ว

75 P = 0.15 q ะ 0.85 ตวั อยา่ งท่ี 4.20 ในโรงเรยี นแหง่ หนง่ึ พบวา่ 15% ของนักเรยี นถนัดมือซา้ ย ถา้ สุ่มเลอื กนกั เรียน 30 คน จงหา h =30 1) ความนา่ จะเป็นที่นักเรียนถนัดมือซา้ ยจานวน 15 คน 2) ความน่าจะเปน็ ท่ีนกั เรยี นถนัดมือซา้ ยไมเ่ กนิ 4 คน 3) คา่ เฉลี่ยและความแปรปรวนของจานวนนกั เรียนทีถ่ นดั มือซ้าย * 4) ค่าเฉลย่ี และความแปรปรวนของจานวนนกั เรียนทถ่ี นัดมือขวา - npq lVCX) =X บ Bin (30,0-15) ( )fcx) = (อ า5×)(0.85 ; 1,2× = 0 . 30 . , , ,. . ① (PC × = 1 5) =P × ยา5) - PCXE 1 4) = 1- | = 0.0000 ② PCXE 4) = 0.5245 ③ Ex = 30×0.15 = 4.5 hpaVCX) = npq④ P = 0.85 = 30 (อ 1 5) (อ 8 5) = 3.825 . . gqEX ะ 30×0.85 = 25.5÷ 0.15 5)(= 30 อ น 5)(อ. 1 = 3.8 25 . บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสุม่ ชนิดไม่ต่อเนอ่ื ง ห๊ิงู

76 h =3 ตัวอย่างที่ 4.21 ถา้ สุ่มหยบิ สินค้า 3 ชิน้ จากกลอ่ งท่มี สี ินคา้ 10 ช้นิ และมีสินค้าทช่ี ารุดปนอยู่ 4 ชิ้น โดยการหยิบทีละช้ินมาตรวจสอบแล้วใส่สินค้าคืนลงไปในกล่องก่อนที่จะมีการหยิบชิ้นต่อไป จงหา ความน่าจะเป็นท่ีจะได้สนิ ค้าชารดุ 2 ชนิ้ ดX : น า #P = = 0.4 q = 0.6 g G) 'ำfcx) = oat (อ . 3 × ะ 0,1 iii.µ 6) (กPCX = 2) = ( (อ 4 อ. = 0.288 . ตัวอย่างท่ี 4.22 ถ้าข้อมูลจากกรมประกันภัยระบุว่า 25% ของรถยนต์ในสงขลาที่เลือกต่อประกันภัย รถยนตก์ ับบริษัทเดิม ถ้าส่มุ รถยนตใ์ นสงขลามา 7 คัน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ 1) จะมรี ถยนตอ์ ย่างนอ้ ย 6 คนั ทเ่ี ลอื กตอ่ ประกันภยั รถยนต์กบั บรษิ ทั เดิม 2) จะมรี ถยนต์ตัง้ แต่ 1 - 3 คัน ทเ่ี ลอื กต่อประกนั ภัยรถยนต์กับบริษัทเดมิ ปะ เ อก อ ประสานลง ทโม P qa:O25, 0.75 ทะ 7 . , 6)① PCX 2 ะ 1- PC × < 5) = _ (② P 1 Ex E 3) = 3)PC x._ D + PC × = 2) + PC × = ะ 0.3115+0.31า5+0.1730 ะ 0.796 บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเนอ่ื ง ิบ่ตืล๊ิหุ้วุรำช้คิส

77 D= 0.7 , qe 0.3 ตวั อยา่ งที่ 4.23 โรงงำนปลำป่นแห่งหนึ่งมีพนกั งำนหญงิ เป็น 70% เมือ่ ชักตวั อยำ่ งพนกั งำนเปน็ ตวั แทนของแผนกมกำะ1100คน โดยชักตวั อย่ำงแบบคืนที่ 1) จงเขียนฟงั กช์ ันควำมนำ่ จะเป็นของพนกั งำนหญิง fcxn 2) หำควำมนำ่ จะเป็นท่ชี กั ตวั อยำ่ งพนักงำนหญิงมำ 3 คน pcx ะ 3) 3) หำควำมน่ำจะเป็นท่ชี ักตัวอย่ำงไม่ได้พนักงำนหญิงเลย PCX ะ 0) 4) หำควำมน่ำจะเปน็ ทช่ี ักตัวอยำ่ งไดพ้ นักงำนหญงิ อยำ่ งมำก 2 คน p (× < 2) _ 5) หำค่ำเฉลี่ยและควำมแปรปรวนของจำนวนพนักงำนหญิง t เ า0+1+2 ตร . qeD= 0.7 , 0.3 , ทะ 10 fcn ( )① - \"\" ( 3)( าอ. อ . ② # 3) ③ (X a) ④ PCXE 2) บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเน่อื ง จุ๊วูย้

78 hzf๐ } ซะPz = 0.2 0.8 ตวั อย่างท่ี 4.24 ในกำรสอนวิชำพ้นื ฐำนก่อนเรยี นซ่ึงข้อสอบเปน็ แบบปรนยั 5 ตัวเลือก จำนวน 10 ไปข้อ คำถำมแต่ละข1้อ)ไฟม่เังกกยี่ ช์ วันขค้อวงำกมนั นำ่ถจ้ำะหเำปกน็ นขักอf_ศงึกจษำนำyทวนำขข้ออ้ สส.ออบบgโทดเ่ี ยดกำำถรกู เดeำทุกข้อ จงหำ 2) คำ่ ควำมน่ำจะเปน็ ทีเ่ ดำข้อสอบถกู มำกกวำ่ 1 ขอ้ pcx> 1) = 1-PCXE1) 3) คำ่ ควำมน่ำจะเป็นทเี่ ดำข้อสอบถกู มำกกว่ำ 1 ขอ้ 4) คำ่ เฉลียและคำ่ เบีย่ งเบนมำตรฐำนของจำนวนข้อสอบทีเ่ ดำถกู ELX) = Fhs = = บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนดิ ไม่ต่อเน่ือง

79 m 15 ไยps วย อ.6,8 อ 4 . ตวั อย่างท่ี 4.25 ในปัจจบุ ันควำมน่ำจะเป็นทแี่ ต่ละคนจะปว่ ยเป็นโรคภูมแิ พม้ คี ่ำเป็น 0.6 เลือกมำ 15 คน จงหำควำมนำ่ จะเปน็ 1) ผ้ปู ว่ ยเปน็ โรคภูมแิ พ้ 13 คน = PCXะ 13) 2) ผปู้ ว่ ยเปน็ โรคภูมแิ พต้ ้ังแต่ 10-12 คน 2)ะ PC 10 × ยา PAERH?\"× 9) บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ชนดิ ไม่ต่อเนอ่ื ง ป่

80 4.6 การแจกแจงเรขาคณติ และการแจกแจงทวนิ ามลบ (Geometric distribution and Negative Binomial distribution) บทนยิ าม 4.9 เรากลา่ ววา่ ตัวแปรส่มุ X มกี ำรแจกแจงเรำขำคณิต ถำ้ กำรแจกแจงควำมนำ่ จะ เปน็ ของ X มีค่ำเปน็ ใp→ หา เจอ f (x) p(1 p)x,x 0,1,2, 3,... ทฤษฎบี ท 4.2 ให้ X Geo(p) แล้วคา่ เฉลี่ยและความแปรปรวนของ X มีค่ำเป็น E(X ) q -q pา= Var(X ) p p ะ 0.2 q p2 ตวั อยา่ งที่ 4.26 20% ของประชำกรกลมุ่ หนึ่งมเี ลือดกรุ๊ป A ถ้ำประชำกรกลุ่มน้เี ข้ำรับกำรตรวจ เลอื ด โดยลำดบั กำรตรวจเลอื ดแบบสุ่ม จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ต้องตรวจเลือดของคน 3 คน เพือ่ ให้ - mw ปได้ผทู้ มี่ เี ลือดกรุ๊ป Aใเป็น×คนแะ รกจพนร. ้อคมนไท้ังหำค่ำเฉล่ยี แลเะคอวดำมแAปรปรวน ไ เ น2 × ~ Geo (อ . 2) fcx) \" othen = pq (= 0.2 อ . g X 0,1= 2 , ,.. . PC× 0.2 (อ . = 0.128 - § ะECX) = 0 4 = กะ %VCX) ะ = 2๐ 22 บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเนอ่ื ง ๋ัญ๋ํภ้ัภ็ป่มืลุซีม่ม้ห้ห

81 บทนิยาม 4.10 เรากล่าววา่ ตัวแปรสุ่ม X มกี ำรแจกแจงทวินำมลบ ถำ้ กำรแจกแจงควำมนำ่ จะ เป็นของ X มีค่ำเป็น f (x) x r 1 (1 p)x pr ,x 0,1,2, 3,... x ทฤษฎีบท 4.3 ให้ X มกี ารแจกแจงทวนิ ามลบ แล้วค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของ X มคี ำ่ เป็น เรา want E(X ) rq~ งของ จ น. . p Var(X ) rq p2 p ะ 0.2 G. 0.8 _ ตัวอย่างที่ 4.27 20% ของประชำกรกลุ่มหน่ึงมีเลอื ดกรุ๊ป A ถำ้ ประชำกรกลมุ่ นี้เข้ำรับกำรตรวจ tebtไเลดอื้ผดทู้ ม่ี โดีกยรุป๊ลำเลดือับดกำAรตจรำวนจไวเนลCอื 3ดคแนบ,บสุ่ม 9 คน เพ่ือให้ จงหำควำมน่ำจะเปน็ ทีต่ รวจเลือดของคนจนถึง นะ 3 ใ × ะ จน คน องตรวจเ อด fcx) ะ ( 1)× + ×3 j 0,1g× ะ 2,3 - . (อ . 8) 2) . ( - อ . , อ 90.28)(ะ + มา อ. k ④ ( )PC x._ ะ 0.0587 / อT5 0TECXI ° * ขอกะ 3 ( อ . 8) 3 ( อ 8) . _ \" ะ 12 = 60 บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนดิ ไมต่ ่อเน่อื ง ่ัทึวุรืล้ต่ีท้ห่ีท่ิส

82 p อ ง.. . q --0.7 ตัวอยา่ งที่ 4.28 โรงงานใหม่แหง่ หน่ึงผลิตช้นิ ส่วนอเิ ลคทรอนกิ ส์ หลงั จากตดิ ต้ังเครื่องจักรแลว้ ใน เดือนแรกของการผลติ คาดวา่ จะมชี น้ิ ส่วนเป็น defective 30% ของที่ผลติ ทั้งหมด เจ้าหนา้ ท่ี แผนกตรวจสอบจะสุ่มหยบิ ทีละตัวอย่าง เพอื่ ตรวจสอบว่าเป็น defective หรอื ไม่ 1) จงหาความน่าจะเปน็ ที่ตอ้ งตรวจสอบช้นิ ส่วน 20 ตวั อย่าง เพื่อทจ่ี ะตรวจสอบ - พบ defective 6 อนั ช = 6 X 2) จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ต้องตรวจสอบชน้ิ ส่วนอย่างนอ้ ย 7 ตัวอย่าง เพ่ือท่ี จะตวรจสอบพบ defective 6 อนั 8,9 ำ7 1 . . า . ว ใ น วนx : องตรวจสอบ (fc ×ง = × ) ำ7)(อ × . ( 3อ. ; × = 0 า 2 วง ( ๆ① PCX ะ 2อ) ะ 1# 7)( อ \" ( 6 . อ . 3) = G. 057K ⑦ )PCX ะ ๆ p ( 6)า= - ×< _ = 1- p ( × ะ 6) ะ 0.9 ② 04 ** บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสุม่ ชนดิ ไมต่ ่อเน่อื ง ๋ํษ่ว้ต่ีท่ส้ิช้ห

M. จ น. นงของงของเ น ผล เมเจหลว 83 . ะจ . เ น ผล N M- มใบงของh : จ น. เรา N ะ จ น. ง ของ ง หมด 4.7 การแจกแจง Hypergeometric (Hypergeometric distribution) บทนิยาม 4.11 เรากล่าววา่ ตัวแปรสุม่ X มีกำรแจกแจง hypergeometric ถำ้ กำรแจกแจงควำม นำ่ จะเปน็ ของ X มคี ่ำเปน็ MNM x nx ,x 0,1,2, 3,..., min(M, n) f (x) N n ทฤษฎีบท 4.4 ให้ X มีการแจกแจง hypergeometric แล้วคา่ เฉล่ียและความแปรปรวนของ X มคี ่ำเป็น E(X ) n M N Var(X ) n M Nn 1 M N N1 N ตัวอยา่ งท่ี 4.29 โรงงานผลติ นา้ ดื่มมเี ครื่องจักรบรรจนุ ้าซ่ึงมีกาลังผลติ 40 ขวดต่อนาที ทุก ๆ วนั จะ Nะ ④ มกี ารทดสอบโดยสุ่มตวั อยา่ งน้าขวดมาจานวนหนง่ึ และตรวจดวู า่ มกี ขี่ วดทม่ี ีปริมาตรตา่ กว่า 1 ลติ ร กะ 8 จากการทดสอบที่ผ่านมาทาให้เชอ้ื วา่ ทุก ๆ 40 ขวด จะมอี ยู่ 8 ขวดทีม่ ปี รมิ าตรต่ากว่า 1 ลิตร 1) ถา้ ส่มุ หยบิ นา้ ด่มื มา 5 ขวด จงหาความนา่ จะเป็นท่พี บว่ามนี ้าดื่มอยู่ 4 ขวดที่มี ปริมาตรตา่ กว่า 1 ลิตร กะ5 2) ถ้าสุ่มหยบิ น้าด่มื มา 5 ขวด จงหาค่าเฉล่ียของจานวนนา้ ขวดท่ีมปี ริมาตรต่ากว่า 1 ป มาตรX : จน. ขวด ก า 1 ตร ลิตร (กอfcn - ; × = 0,1 ง 2,3 , 4 - (gกก-( 4)P1. × --= = 0.0034 %)(② Ecx) 5ะ |- [ กะแกะ 5(อ)(ต ) 0.6974 บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสุม่ ชนิดไม่ต่อเนือ่ ง ๋ืสิล่วำ่ติรีม่ีทูผ๊อัพ่สุส่ีท่ิส้ล็ป่ีท่ิส็รำส็ป่ีท่ิส

84 4.8 การแจกแจงปัวสซ์ อง ทฤษฎีบท 4.5 ถ้ำตัวแปรสมุ่ X มกี ำรแจกแจงปวั สซ์ อง (Poisson distributio. n) ท่มี ฟี งั กช์ ันควำม นำ่ จะเปน็ f (x) p(x; ) ex ; x 0,1,2,... x! และ V (X ) คำ่ เฉลีย่ และควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X คือ E(X ) •ตวั อยา่ งที่ 4.30 บรเิ วณสี่แยกไฟแดงแห่งหน่ึงมีผูข้ ับขท่ี ำผิดกฎจรำจรเฉล่ยี 3 คนต่อวัน จงหำควำม น่ำจะเป็นท่ีในวนั รุง่ ขนึ้ 1) ไมม่ ผี ู้ขบั ขี่ทำผิดกฎจรำจรเลย X. จ น. . 2) มีผู้ขบั ขที่ ำผดิ กฎจรำจรมำกกว่ำ 1 คน e- Uuf มรดกจะ ส XNPOIC 3) 0,1; X = ำ 3) < . . . LT fcx 3 € อ) . ฐ⑦ P นะ0) 00498 = ะ .gs ⑧ PCX > 1) ะ 1- PCXE 1) D)(ะ 1- PC xzo) + PCX = ด 1- C อ . อ 498+0.034 2) ะ 0.1916 บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเน่อื ง ่ึผีม่ีทู้ผ๋ืธ

85 ตวั อย่างท่ี 4.31 ในร้ำนมินิมำรท์ แห่งหนึ่งมลี ูกคำ้ เข้ำมำซื้อสินค้ำเฉลี่ย 5 คนต่อนำที จงหำควำม นำ่ จะเปน็ ของลกู คำ้ ทเี่ ข้ำมำซื้อสินคำ้ ใน 1 นำที จำนวน hl a5 1) 3คน 2) อย่ำงนอ้ ย 2 คน 3) มำกกว่ำ 12 คน จนในi. ก าจน เ า มา า . × ~ Poi L5) ① PCX ะ 3) = 0.224 Jgllhft CPCX1- PC × < 2) - 1- 20 pcxz 2) ะ ×=ๆ) pcะ0 + ไปโยน ②3 PCX > 12) a a. ตวั อย่างท่ี 4.32 จำนวนอุบัตเิ หตทุ ีเ่ กิดขึ้นในโรงงำนอุตสำหกรรมแหง่ หนึง่ มีกำรแจกแจง Poisson และมคี ่ำเฉล่ีย 3 ครัง้ ตอ่ ปี จงหำ 1) ควำมนำ่ จะเปน็ ทีม่ ีอุบัติเหตุเกดิ ขน้ึ 2 ครัง้ ในปีน้ี 2) ควำมนำ่ จะเปน็ ทม่ี ีอุบตั ิเหตเุ กิดขน้ึ น้อยกว่ำ 3 ครง้ั ใน 2 ปี 3) คำ่ เฉลี่ยของจำนวนอุบตั ิเหตุใน 1 ปี บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรส่มุ ชนิดไมต่ ่อเนื่อง ่ีท้ข่ีท้คูล

86 สอง การแจกแจง วน งอ ตาย ประมาณการแจกแจงทวนิ ามด้วยการแจกแจงปวั ส์ซอง ทฤษฎบี ท 4.6 ใหต้ วั แปรสมุ่ X มกี ำรแจกแจงทวนิ ำมท่ีมีพำรำมเิ ตอร์ n และ p ถ้ำ n , p 0 และ np แลว้ P(X x) e x คนมประมงม วย สยอง x! ตวั อยา่ งท่ี 4.33 นำงสำวฉลำดได้ซื้อสลำกกินแบ่งรฐั บำลงวดละฉบับจำนวน 100 งวดติดตอ่ กัน จง หำควำมน่ำจะเปน็ ทีน่ ำงสำวฉลำดจะถกู รำงวัลเลขท้ำย 3 ตัว ไมน่ อ้ ยกว่ำ 1 คร้งั ท21๐อ Pz lnrn ะ 0.001 ท นาม µ ๆออ ๐ mn ค งXi จน ของการ กราง ล เลข าย 3 ว | ญื๋!หนาประ นาม วยนา Hp . biX ข (100 , อ . ออ 1) deanp ะ เออ looo D FCX )( ออ า () a 2 0.1 ¥ (\" อ . aaa xnpoicon อ. DX\" }PE > { fcx) ะ (อ . µ = แนะ \"\" sftggo .. . ะ 0.0952 =Pตัวอยา่ งท่ี 4.34 สมมติวำ่ ควำมนำ่ จะเปน็ ที่ผหู้ ญงิ ให้กำเนดิ ลกู แฝด 3 คน มีค่ำเทำ่ กบั 0.001 จงหำ ควำมนำ่ จะเป็นทมี่ ผี หู้ ญิง 1 ใน 500 คนจะใหก้ ำเนดิ ลูกแฝด 3 คน < 0.0อา ทะ 500 หาฝญ× ะจน . :÷ ะtE | : aoaxdi 3035 , ก แฟ ๑ นม . 3 คน PCX ะ ั ประมาณ นามสวย ดบน 1 499 1) ( )wamo ( )คอ อาออ. . 5 ④ อ0 Dcaqq g) ะ อ 5 . \"\"\" = 8. 3033 50 บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนิดไมต่ ่อเนื่อง กลางกก ๋ิยุร๊ิยัปิหูลีม่ีทู๋ษ้ิย๊ึง้ก้ดัต้ทัวูถ้ัริวีป้ดูส่ีท

ค า จะ เ น . เ ยในmw สระ _ E ย - นอน กางแจกแจง ออก หมด กการเอก แจง เสMg ๔ออก จะออก วเ ย 30สอง → ประมาณ ายก า ่ีท่ว่งีมัตุทำคีมู้ญีมีมิอีมีม็ข้น

ห ง กลาง ภาค ลืษั

87 4.9 การแจกแจงความน่าจะเปน็ รว่ ม (Joint Probability Distributions) ในบำงสถำนกำรณ์กำรทดลองทำงสถิติมคี วำมจำเปน็ ตอ้ งใชต้ ัวแปรสุ่มมำกกว่ำ 1 ตวั พรอ้ ม ๆ กนั เช่น อำยุและควำมดัน จำนวนเลือดที่บริจำคต่อกลุ่มเลือด จำนวนรถบนถนนต่อช่วงเวลำในแต่ ละวัน เป็นต้น นยิ ำมและทฤษฎีต่ำง ๆ ท่ีเก่ยี วกับตัวแปรสุ่มเพยี งตัวเดียวท่ไี ด้กล่ำวมำแลว้ ในตอนต้น สำมำรถนำมำดัดแปลงใช้กับตัวแปรสุ่มท่ีมีมำกกว่ำหน่ึงตัวได้ ในบทนี้จะกล่ำวถึงรำยละเอียดที่ เกย่ี วกับตวั แปรส่มุ 2 ตัว และเป็นตัวแปรส่มุ ชนดิ ไม่ต่อเน่อื งเทำ่ น้ัน บทนิยาม 4.12 ให้ X และ Y เปน็ ตวั แปรสุ่มชนดิ ไมต่ ่อเน่ือง ในแตล่ ะคูอ่ ันดับของ (x, y) ควำมนำ่ จะเปน็ ที่ X x และ Y y จะเขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ f(x, y) นน่ั คอื f(x, y) P(X x, Y y) และเรียก f(x, y) ว่ำ กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ รว่ มของ (x, y) ตวั อย่างที่ 4.35 ให้กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเป็นรว่ มของ (x, y) เปน็ ดงั นี้ Y f(x, y) 1 2 3 4 1/10 X -2 1/10 0 2/10 1/10 0 3/10 1/10 1/10 จงหำ #2, Y 3) f- C- 2,3)= §1) P(X = 2) P(X 0) 3) P(Y tfco fco ย +f(3) = fco เ) + fco 2) + 3) + 4) = + f( อ, 2) 3)0 า = % , , tfC-2,2) , , = fC- 2,1) FC -2,3) + f(อา 1) 4) P(Y X 3) 5) P(X 0, Y 2) fc flo %fcoวาง 1)-2 + + ,- _ 4. p ( Y- XE 3) fc2) + อา 3) = , อ5. PCX =0g Y > 2) = fco , 3) tfco , 4) = บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนดิ ไม่ต่อเนอ่ื ง

ใน88 * =1 ตาราง ตัวอย่างที่ 4.36 SAS เป็นโปรแกรมหนึ่งท่ีใช้ทำงสถิติ กำรเขียนโปรแกรมท่ีสมบูรณ์ต้อง ประกอบด้วย 2 ส่วนคือ DATA step และ PROCEDURE step ผู้ท่ีเร่ิมเขียนโปรแกรมอำจจะมี ข้อผิดพลำดจำกกำรเขียนโปรแกรมซ่ึงต้องแก้ไขจนได้โปรแกรมที่ให้ผลกำรวิเครำะห์ได้ สมมติให้ X เป็นจำนวนข้อผิดพลำดที่พบใน DATA step และ Y เป็นจำนวนข้อผิดพลำดที่พบใน PROCEDURE step และใหก้ ำรเจกแจงควำมนำ่ จะเป็นรว่ มของ (x, y) มีคำ่ ตำมตำรำงดงั น้ี Y f(x, y) 0 1 2 3 X 0 0.15 0.20 0.03 0.02 1 0.05 0.15 0.07 0.03 2 0.20 0.10 0 0 จงหาความนา่ จะเปน็ ที่ 1) ผเู้ ขียนโปรแกรมคนหน่งึ พบทีผ่ ิด 1 ท่ี ใน DATA step และ 2 ท่ีใน PROCEDURE step 2) ผูท้ ีเ่ ขยี นโปรแกรมคนหนึ่งพบท่ผี ดิ ไมเ่ กนิ 1 ทใี่ น DATA step และ ไม่มีท่ผี ดิ เลยใน PROCEDURE step 3) ผเู้ ขียนโปรแกรมคนหน่งึ พบวา่ ทั้งสองโปรแกรมมที ีผ่ ิด 2 ท่ี f1. PCX ะา ,yะ 2) = ( 1,2) = 0.07 ) fc2. PCXE Yา , o- = 0,0} + 1,0) = 0.15+0.05 ะ 0.2 - 3.PK/e2,Y=2)--fC2, 2) - 0 บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสุม่ ชนิดไมต่ ่อเน่อื ง ร้ร่ิ

flxif [ marginal ] 89 }fcx tfcy บทนยิ าม 4.13 ให้ X และ Y เป็นตวั แปรส่มุ ชนิดไม่ต่อเน่อื ง ซงึ่ มีกำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ รว่ มเป็น f(x, y) กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ ของ X ตำมลำพัง เขียนแทนดว้ ย °สญั ลักษณ์ fx(x) มีค่าเป็นfx (x) f (x,y) และเรยี ก fx(x) วำ่ กำรแจกแจงคxะวำมน่ำจะเป็นมำร์จนิ อลของ X (marginal probability distribution of X) . ในทำนองเดียวกนั กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นของ Y ตำมลำพงั เขยี นแทนดว้ ย °สัญลักษณ์ fy(Y ) ซึ่งมคี ่ำเป็น fy(Y ) f (x,y) *y และเรียก fy(Y ) ว่ำ กำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ มำร์จนิ อลของ Y (marginal probability distribution of Y) บทนิยาม 4.14 ให้ X และ Y เปน็ ตัวแปรสมุ่ ชนดิ ไม่ต่อเนื่อง ซงึ่ มีกำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ รว่ มเปน็ f(x, y) และมกี ำรแจกแจงควำมน่ำจะเปน็ มำร์จนิ อลของ X และ Y เป็น fx(x) และ fy(Y ) ตามลาดบั เรากลาวว่า X และ Y เป็นอสิ ระต่อกัน หรือเป็น independent ก็ต่อเมื่อ TTTRIf(x, y) fx(x)fy(y) \\ หา สระ อน สาหรบั ทุก ๆ คา่ ของคู่อนั ดับ (x, y) ตวั อย่างท่ี 4.37 ใหก้ ารแจกแจงความน่าจะเป็นรว่ มของ (X,Y ) เปน็ f(x, y) xy ,x 2, 4 ,y 1,2, 3 36 1) จงหาการแจกแจงความนา่ จะเปน็ มาร์จินอลของ X และ Y ตำมลำดบั 2) X และ Y เปน็ อิสระตอ่ กนั หรือไม่ × mfxmfi ญื๋!fyl §fcxigY) ะ\"\" \" \"\"\" \"\" | \" fyl }fและ ×(ข) fc f) = IiY) ะ g) y2 , + ( 4 , ) = IY 36 ) . (Y ) → น อ X และ Y เ น สระ อ น fyfixFCX g): •• ,= บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนดิ ไมต่ ่อเนอ่ื ง ัก่ติอ็ปืค่ันุ๊ฏ๊ืฅ๊ํณัก่ติอ

90 ตัวอย่างท่ี 4.38 ให้ตวั แปรสมุ่ X และ Y เปน็ จำนวนบุตรหญิงและบุตรชำยตำมลำดับใน ครอบครัวหนงึ่ ๆ สมมติวำ่ กำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ รว่ มของ (X,Y ) เป็นดงั นี้ Y : จานวนบุตรชาย ff(x, y) 0 1 2 × (ข ) X 0 0.1 0.13 0 0.23 จานวนบตุ ร 1 0.15 0.2 0.07 0.42 หญิง 2 0.08 0.16 0 0.24 fyy 3 0.04 0.02 0.05 0.11 0.37 1) ความนา่ จะเปน็ ที่ครอบครัวหนึ่ง ๆ ไม่มบี ุตร 2) ความนา่ จะเป็นท่ีครอบครัวหนง่ึ ๆ มีบตุ รหญิง 2 คน 0.51 3) ความน่าจะเปน็ ที่ครอบครัวหน่ึง ๆ มบี ุตร 3 คน 0.12 4) ความน่าจะเป็นท่ีครอบครวั หนง่ึ ๆ มบี ตุ รหญงิ มากกวา่ บตุ รชาย 5) การแจกแจงความนา่ จะเป็นมาร์จินอลของ X และ Y รวม ะ \\ 6) X และ Y เป็นอสิ ระตอ่ กนั หรือไม่ | fco① PC × = อา )0= = , อ) .1อ= ② P ( × = 2) = ff 2,0) tfc 2,1) tfl 2,2) = 0.08+0.16+0 ะ 0.24 fcf③ PCX + Y = 3) = ( 1 า 2) + FC 2,1 ) + 3,0) = อ . อ 7+0.16+0.04 ะ 0.27 ④ PCX > Y ) = fa . อ) + FC 2,0) tfc 2 1) #3,0) tf (3. 1) tf( 3,2) = 0.15+0.08 + 0.16 + อ . 04+0.02 + 0.05 ะ 0.5 %:; , | |fy\"\" ญื๊ ⑤ fxan = gfam 8. 24 j X ะ 2 0.11 X 23 ⑥ fco อา = focn.f.ly) . f( 0,0) = 0.1 โอfco fdx1)อ == , fdx fd) Y) = 0.23 (อ . 3 7)=0.0851 I ) (g) kป Rไตฑื๊ kฒห←บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนือ่ ง ไอ Xm Y ไ สระ อ น Nfhhf ัก่ติอ่มุ๊ฏืสืสืสุก๋ืฐุรุย

④q ค แปรปรวน วม อ ละ ด การกระจาย 91 ม นค . 4.10 Covariance และ Correlation ในบทน้ีจะได้กล่าวถึง expected value สาหรับกรณีที่มีตัวแปรสุ่ม 2 ตัว เพ่ือท่ีจะนาไปสู่ การหา covariance และ correlation ซงึ่ เป็นคา่ ที่ใชว้ ดั ความสัมพันธเ์ ชงิ เส้นตรงระหวา่ งตวั แปรสุม่ 2 ตวั วา่ มีความสมั พนั ธก์ ันมากน้อยเพียงใด บทนิยาม 4.15 ให้ X และ Y เปน็ ตวั แปรสมุ่ ชนิดไมต่ ่อเน่ือง ซึง่ มกี ำรแจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ ร่วมเปน็ f(x, y)และให้ u เป็นฟงั ก์ชนั ของตวั แปรสุม่ (X,Y ) expected value ของ u(X,Y ) เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ E[u(X,Y )] และมีคำ่ เปน็ E[u(X,Y )] u(x, y)f(x, y) (x,y) R ตัวอย่างท่ี 4.39 SAS เป็นโปรแกรมหนึ่งท่ีใช้ทำงสถิติ กำรเขียนโปรแกรมท่ีสมบูรณ์ต้อง ประกอบด้วย 2 ส่วนคือ DATA step และ PROCEDURE step ผู้ที่เริ่มเขียนโปรแกรมอำจจะมี ขอ้ ผิดพลำดจำกกำรเขียนโปรแกรมซึ่งต้องแก้ไขจนได้โปรแกรมที่ให้ผลกำรวิเครำะห์ได้ สมมติให้ X เป็นจำนวนข้อผิดพลำดที่พบใน DATA step และ Y เป็นจำนวนข้อผิดพลำดที่พบใน PROCEDURE step และให้กำรเจกแจงควำมนำ่ จะเป็นร่วมของ (x, y) มีค่ำตำมตำรำงดงั น้ี Y X f(x, y) 0123 f แก 0 f0.15 c0.20 d0.03 n0.02 0.4 1 rn0.0n5 0.15 0.07 0.03 0.3 2 -0.20 0.10 /0 /0 3อ . fug] 0.4 0.45 0.1 0.05 จงหา E(X), E(Y ), E(X Y ) และ E(XY ) xf 3)ELX) [= (1)( 4))CX ( อ . 3) +2 ( อ = 0.9 0 อ=. . + . yfcy[ LY) ะ [ ) = 0.CO 4) +1 [ 0.4 5) +2 ( อ เ) +3(อ อ 5) = . . . ะ{{Kty)f( X , f) #5) ( ) 3) 2)( ( ((0+2) ( (2)= 3)+ I1+0)(0.05) + (1+1) 0อ. เ5) + [า + 2) (อ . อ 7) + (1*3) (อ . 0 3) + อ. อ อ+ อ .อ ECX + Y) อ. ะ + อ+เ อ. . { 0ft 7ft2+0) ( อ .2) + (2+1)(อ . 1) + (2+2) ( + (2+3) ( อ = 1.7 3)GHๆ) ะ (อ ) (อ) (อ. ท5) + , + (2)(3) ( อ] § § xyfcxECXY) = )( อ . 2) + (a)(2) (อ . 0 + .. . 0.58 บทท่ี 4 การแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนดิ ไมต่ ่อเน่อื ง a *ไ ่ม์ธัพัส๋ืฏูม้ขัว่ร

ม น92 × าY ไค . pด บทนยิ าม 4.16 ให้ X และ Y เปน็ ตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเนื่อง ซ่งึ มี x เป็นคำ่ เฉลย่ี ของ X และ y เป็นค่ำเฉลย่ี ของ Y covariance ของ X และ Y เขยี นแทนดว้ ย สญั ลักษณ์ Cov(X,Y ) และมีค่ำเป็น Cov(X,Y ) E[(X x )(Y y )] ห อ Cov CX , y) = ECXY) - ECX) ECY ) ตัวอย่างท่ี 4.40 SAS เป็นโปรแกรมหนึ่งที่ใช้ทำงสถิติ กำรเขียนโปรแกรมท่ีสมบูรณ์ต้อง ประกอบด้วย 2 ส่วนคือ DATA step และ PROCEDURE step ผู้ที่เร่ิมเขียนโปรแกรมอำจจะมี ขอ้ ผิดพลำดจำกกำรเขียนโปรแกรมซ่ึงต้องแก้ไขจนได้โปรแกรมท่ีให้ผลกำรวิเครำะห์ได้ สมมติให้ X เป็นจำนวนข้อผิดพลำดท่ีพบใน DATA step และ Y เป็นจำนวนข้อผิดพลำดท่ีพบใน PROCEDURE step และใหก้ ำรเจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ รว่ มของ (x, y) มีค่ำตำมตำรำงดังนี้ f(x, y) 0 Y 23 fxln 0.15 1 0.03 0.02 X0 0.05 0.20 0.07 0.03 0.4 1 0.20 0.15 00 2 0.10 0.3 0.9 และ ECY ) ะ 0.8 0.3 จงหา Cov(X,Y ) ไจาก E X. 4.39 จะ Ecxiy) ะ 0.58 , E Cov CX µ ) ะ Ek Y ) - Ecx ) Ely) = 0.58 -0.9 ( อ . 8) ะ -0.14 บทท่ี 4 การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเนอื่ ง ้ดืร้ดิต์ธัพัส

§ Yfcxip ) %)ECXY) = [ × lp อ ครอบค ม กอ าง × แ โจทเอา เลข ลา อ9น3ห า (ม) i (= (2) แ) (+ (2) (2) + (2) (3) ก (ก)(E) (' ④\") + (4) 4) (4) (3) + = 7.7 78 ทฤษฎบี ท 4.7 Cov(X,Y ) E(XY) E(X)E(Y) | ECX) = Zxflx) ะ 2 (E) +4%) ะ 3.33 \"\" \" ตวั อย่างท่ี 4.27 ให้การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ร่วมของ (X,Y ) เปน็ + %) f(x, y) xy ,x 2, 4 ,y 1,2, 3 36 จงหา }Cov(X,Y ) %→ ง Cov (× µ) ะ 7.78 - 3.33×2.33 → fylii) ะ § [ x. 4.37 ะ 0.0211 บทนยิ าม 4.19 ให้ X และ Y เปน็ ตัวแปรสมุ่ ชนดิ ไมต่ ่อเน่ือง ซง่ึ มคี ่ำเฉลยี่ เป็น x และ y มี สว่ นเบ่ยี งเบนมำตรฐำนเปน็ x และ y ตำมลำดับ correlation coefficient ของ X และ Y เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ xy มีคำ่ เป็น Cov(X,Y ) xy xy ไร วน เ ยงเบนมาตรฐาน ทฤษฎบี ท 4.14 ถ้ำตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอสิ ระตอ่ กัน แลว้ xy 0 Pxy = Covlxiben Gx Gy [0 = (\\A) - # \" _ ไง ๙× ศy Ely0 = ECXY) - ECX) ) (g)ECXY) ะ ECX) [ บทที่ 4 การแจกแจงของตัวแปรสมุ่ ชนิดไม่ต่อเนือ่ ง ่ีท่ีบ่สุ๋ฑุ้ภ้น่ก์ย่ต่ยุทุล้ีน้ข

~ 94 ตัวอย่างท่ี 4.41 SAS เป็นโปรแกรมหนึ่งท่ีใช้ทำงสถิติ กำรเขียนโป รแกรมที่สมบูรณ์ต้อง ประกอบด้วย 2 ส่วนคือ DATA step และ PROCEDURE step ผู้ท่ีเริ่มเขียนโปรแกรมอำจจะมี ขอ้ ผิดพลำดจำกกำรเขียนโปรแกรมซ่ึงต้องแก้ไขจนได้โปรแกรมที่ให้ผลกำรวิเครำะห์ได้ สมมติให้ X เป็นจำนวนข้อผิดพลำดท่ีพบใน DATA step และ Y เป็นจำนวนข้อผิดพลำดท่ีพบใน PROCEDURE step และให้กำรเจกแจงควำมนำ่ จะเปน็ รว่ มของ (x, y) มีค่ำตำมตำรำงดังน้ี Y fm f(x, y) 0 1 2 3 0.4 0.3 X 0 0.15 0.20 0.03 0.02 0.3 1 0.05 0.15 0.07 0.03 2 0.20 0.10 0 0 จงหา xy Hy) 0.4 0.45 0.1 0.05 Pxye Ca_l.mg) ญศ× fyy ✓[ 2 ×= ECX +12 +224)อ= 3)(อ . ะ 1.5 ( อ 3) . . ำECXะ 2 ELX) ะ 1. 5- 0.9ำ 0.69 [ ]VCX) - โอ= ฯ × Ey .)fำZ 0.83 +22 +3212 ( 5)อ_ 5)(อ . อ 2 ( อ 1) Elyำ a 2 fcx) 4 . อ ( อ ¢. . . e 1.3 ECY) a 0.8 VCX] [ ] 82ะ ECY)2- E [µ อ. แ 1.= 3- อ . . Gyz อ66 e อ . 81 Pyy -4๐mำm a - 0.0208 ะ 0.83 (อ 8D . โนน งในทาง บทที่ 4 การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ชนดิ ไมต่ ่อเนอ่ื ง ้ลูส้ข้วีดำอ้ว