STATIKATrenje, težište, geometrijske karakteristike površina Zoran Jovanović Izvod iz predavanja
SadržajTrenje ________________________________________________________________________ 1 Statičko trenje klizanja _______________________________________________________________ 1 Određivanje koeficijenta trenja ________________________________________________________________ 1 Ravnoteža tela vezanog hrapavom vezom ________________________________________________________ 3 Primeri zadataka – trenje i hrapave veze _________________________________________________________ 4Težište _______________________________________________________________________ 5 Centar sistema paralelnih sila __________________________________________________________ 5 Težište tela_________________________________________________________________________ 6 Težište površine _____________________________________________________________________ 8 Težište linije _______________________________________________________________________ 12 Primeri zadataka – težište složene površine i linije ________________________________________________ 14Geometrijske karakteristike poprečnih preseka _____________________________________ 15 Definicije momenata inercije _________________________________________________________ 15 Štajnerova teorema_________________________________________________________________ 16 Otporni momenti___________________________________________________________________ 17 Momenti inercije nekih površina ______________________________________________________ 17 Određivanje sopstvenih momenata inercije složenih površina_______________________________ 19 Primeri zadataka – momenti inercije složenih površina ____________________________________________ 22
1TrenjeSila trenja nastaje kada se jedno telo kreće, ili teži da se pokrene po površini drugog.Na telo u ravnoteži deluje statičko trenje, a na telo koje se kreće dinamičko trenje. Trenje može biti:trenje klizanja, trenje kotrljanja i trenje obrtanja.Za razliku od glatke (idealne) veze, hrapava (realna) veza, zbog postojanja sile trenja Fμ, koja jeusmerena suprotno od sile koja teži da pokrene telo, rezultujuća reakcija zaklapa sa površinom ugaomanji od pravog.. Statičko trenje klizanjaDa bi se pokrenulo telo po površini drugog, potrebno je savladati otpor koji se naziva sila trenja klizanja.Ovu pojavu prvi je proučavao Kulon, iz čijih su eksperimenata proizašli zakoni: 1. Sila trenja je nezavisna je od veličine dodirnih površina (tačno, ukoliko ne postoji ogromna razlika veličina površina) 2. Intenzitet sile trenja ne zavisi od brzine kretanja (nije sasvim tačno za veće brzine) 3. Sila trenja je srazmerna normalnoj reakciji podloge: Fμ = μN, koeficijent srazmere nazivamo koeficijent trenja. 4. Veličina sile trenja može da ima vrednosti:Granična vrednost sile trenja Fgr naziva se statičko trenje klizanja i proporcionalna je normalnojreakciji podloge:Koeficijent trenja μ zavisi od vrste materijala tela i veze, stanja površine, podmazanosti, vlažnosti itd. Određivanje koeficijenta trenjaKoeficijent trenja može se izmeriti na dva načina, koristeći uslove ravnoteže sučeljnog sistema sila kojedeluju na telo:
21. Telo poznate težine G postavi se na površinu. Dodavanjem tegova, uravnoteži se sila Q i sila trenja Fμ.. Vrednost koeficijenta trenja dobiće se merenjem Q i G u trenutku kada se telo pokrene. ∑ ������ = −������������ + ������ = 0 ∑ ������ = ������ − ������ = 0 ������������ = ������ ∙ ������ ⟹ ������ = ������ ∙ ������ ������ ������ = ������2. Telo se postavi na strmu ravan (tribometar) i povećava nagibni ugao dok telo ne počne da se kreće. Preko nagibnog ugla izračuna se koeficijent trenja.
3 Ravnoteža tela vezanog hrapavom vezomKao i kod primera gde ne postoji hrapava veza, zadatak se rešava oslobađanjem od veza, vodeći računao sili trenja. Pravac sile trenja je duž površine, a smer suprotan od smera mogućeg kretanja. Intenzitetsile trenja srazmeran je normalnoj reakciji površine:Primer 1: Odrediti kolikom silom F usmerenom pod uglom a=300 prema horizontali treba delovatina teret težine G=10kN koji leži na horizontalnoj ravni, da bi se telo pomerilo sa mesta,ako statički koeficijent trenja tereta o ravan iznosi μ=0,6. BPrimer 2: Greda težine G i dužine L oslonjena je prema skici na gladakzid i hrapav pod. Koliki mora biti koeficijent trenja μ da bi greda bila uravnoteži? FB A 60° 4μLsin60° ∑ ������ = ������������������ − ������������ = 0 ⟹ ������������������ = ������������ G ∑ ������ = ������������ − ������ = 0 ⟹ ������������ = ������ ⟹ ������������ = ������������ Fμ=μFA ������ ∑ ������������ = ������������������������������������60° − ������ 2 ������������������60° = 0 FA (L/2)cos60° ������ ������������������������������������60° − ������ 2 ������������������60° = 0 ������ = ������������������60° = √3 = ������, ������������ 2 6
4 Primeri zadataka – trenje i hrapave veze1. Kolikom silom je potrebno delovati na telo težineG=1 (2, 4, 7)kN postavljeno na strmu ravan nagiba L/4 Bα=30 (45, 60)°da ne bi klizalo naniže, ako jekoeficijent trenja μ=0,1 (0,05; 0,23; 0,09).2. Kolika je sila potrebna da se povuče telo težine G=1(2, 4, 7)kN po horizontalnoj podlozi, ako jekoeficijent trenja μ=0,1 (0,05; 0,23; 0,09).3. Štap je dužine L, a uže je na L/4 od B. Greda jetežine G=4KN, koeficijenti trenja sa zidom i podomsu 0,25. Koliko je najmanji teret Q potreban da bi štap bio u ravnoteži? 45° Q4. Komodu treba pomeriti po podu silom F. Ako sila F 4 deluje na prevelikoj visini, komoda će se izvrnuti Apre klizanja. Ako je koeficijent trenja izmeđukomode i poda μ, koja je najveća visina h na kojoj može da se deluje silom? (brojni primer:širina komode b=1,5m; koeficijent trenja μ=0,6)5. .
5TežišteCentar sistema paralelnih sila Na telo deluje sistema paralelnih sila poznatih intenziteta Fi i napadnih linija (xi). Rezultanta R jednaka je zbiru intenziteta paralelnih sila i deluje u pravcu koji je paralelan pravcima sila. 4 ������ = ∑ ������������ 1 Potrebno je odrediti mesto gde R deluje, odnosno rastojanje x. Koristeći Varinjonovu teoremu o momentu rezultante: 44 ������(������) = ������ ∙ ������ = ∑ ������(������������) = ∑ ������������ ∙ ������������ 11Iz prethodnih jednačina sledi: ������ = ∑������������ ������������ ∙ ������������ ∑������������ ������������Dobijeni rezultat može se uopštiti na sistem paralelnih sila u prostoru, odnosno na zadatakpronalaženja napadne tačke rezultatne, koju nazivamo centar sistema paralelnih sila. ������ = ∑������������ ������������ ∙ ������������ ; ������ = ∑������������ ������������ ∙ ������������ ; ������ = ∑������������ ������������ ∙ ������������ ∑������������ ������������ ∑������������ ������������ ∑������������ ������������
6 Težište telaTežište je napadna tačka sile Zemljineteže. Težina tela razlikuje se od sileteže. Iako imaju isti intenzitet, pravaci smer (vertikalno naniže), imajurazličitu napadnu tačku.Sila teže deluje u težištu S, a težina (Q)na tačku oslonca ili vešanja.Sila teže je zapreminska sila, što značida deluje na svaki delić tela.Usmerena je ka centru Zemlje, koji jedovoljno daleko, tako da se sile kojedeluju na deliće mogu smatrati paralelnim. Dakle, na telo deluje sistem paralelnih sila, čija je rezultantasila teže (jednaka težini tela) koja deluje u težištu.Određivanje položaja težišta svodi se na nalaženje centra sistemaparalelnih sila:Tela mogu homogena – iste specifične težine celom zapreminom(γ=const) i heterogena.Za homogena tela važi G=γΔV i G=γV (ΔV – zapremina delića, V –ukupna zapremina). Položaj težišta homogenih tela može se odrediti:Na ovaj način mogu se odrediti težišta složenih homogenih tela (Vi su zapremine pojedinih delova izkojih se složeno telo sastoji, a xi, yi i zi koordinate težišta tih delova).
7Primer: Odredi težište složenog tela:Složeno telo je podeljeno na tri, čije su zapremine:V1 = 4x2x2 = 16m3V2 = 1,5x1,2x2 = 3,6m3V3 = 2x2x0,8 = 3,2m3 1,3Ukupna zapremina: C2,2V = 16+3,6+3,2 = 22,8m3 0,9Koordinate težišta pojedinih tela u prikazanomkoordinatnom sistemu (težište prizme napolovinama dužine, širine i visine):x1 = 2m, y1 = 1m, z1 = 1mx2 = 0,75m, y2 = 2+0,6 = 2,6m, z2 = 1mx3 = 4+1 = 5m, y3 = 1m, z3 = 0,4mKoordinate težišta složenog tela dobijaju se po formulama:������������ = ∑������������ ������������������������ = ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ ������������ ∙ ������ + ������, ������ ∙ ������, ������������ + ������, ������ ∙ ������ ������ ������ = ������������, ������ = ������, ������������������������ = ∑������������ ������������������������ = ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ ������������ ∙ ������ + ������, ������ ∙ ������, ������ + ������, ������ ∙ ������ ������ ������ = ������������, ������ = ������, ������������������������ = ∑������������ ������������������������ = ������������������������ + ������������������������ + ������������������������ ������������ ∙ ������ + ������, ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������, ������ ������ ������ = ������������, ������ = ������, ������������Koordinate težišta C (2,3m; 1,3m; 0,6m).Težište heterogenih tela vrlo je teško odrediti, jer mogu biti veoma složenog oblika i strukture (mašine,motorna vozila, avion, brod…). Zato se koriste ekperimentalne metode (npr. kačenjem o uže sa dvamerenja i kačenjem o dva užeta).
8Težište motornog vozila može se odrediti merenjem na vagama (više u predmetu motorna vozila u 4.razredu): Težište površineNa sličan način kao kod homogenih tela, može se odrediti i težište složene homogene površine. Kakosu mnoga tela, koja se u tehnici koriste jednakog preseka, to je za određivanje težišta dovoljno znatipoložaj težišta preseka tj. ravne figure.Na isti način kao kod tela dobijaju se koordinate težišta Csložene površine:Ai su površine pojedinih delova iz kojih se složeno telo sastoji, a xi, yi i zi koordinate težišta tihdelova. Naravno, za određivanje položaja tačke C, potrebno je znati formule za izračunavanjepovršine pojedinih geometrijskih slika, kao i položaje njihovih težišta.
9Primer 1: Za datu površ odredi koordinate težišta u prikazanom koordinatnom sistemu, ako je R=1cmPovršina se podeli na 5 figura, zatim odrede površine i težišta. Površine otvora računaju se kaonegativne.
10Primer 2 (primena tabele): Odredi težište složene površi, ako je R=1cm
11Podela figure na delove:
12Napomene u vezi simetrije: 1. Ako telo (površ) ima osu simetrije, težište se nalazi na toj osi. 2. Ako ima više osa simetrije, težište je u njihovom preseku. 3. Ako telo (površ) ima centar simetrije, to je istovremeno težište. Težište linijeU tehnici se sreće mnogo tela čija je jedna dimenzija mnogo veća u odnosu na druge, pa se te dimenzijezanemaruju (linijski nosali, šipke, cevi…). Položaj težišta tada zavisi samo od oblika i dužine linije.I u ovom slučaju, potrebno je znati odrediti dužinu i položaj težišta elemenata složene linije. Za pravuliniju je jasno da je težište na sredini dužine, dok je kod polukružne i linije četvrtine kruga: L=Rπ/2L=Rπ 2R/3π2R/3π 2R/3πPrimer: Odredi položaj težišta zatvorene kružne linije ABDA, ako je R=4cm
13Princip rešavanja je isti kao kod tela i površine. Linija se podeli na 3 elementarne linije, odrede sedužine i položaji težišta elementarni linija i izračunaju koordinate težišta.
14 Primeri zadataka – težište složene površine i linije1. Odrediti položaj težišta složene površine i linije koja predstavlja konturu površi, ako je zadato R i a (uzeti proizvoljno)2. Površina prikazana na sliciima težište u tačkiM(xM=47mm, yM=?).Potrebno je za datepodatke (sve mere su dateu mm), odrediti:a. vrednost kote „y“(vrednost zaokružitina najbliži ceo broj umilimetrima),b. položaj težištapovršine u pravcuose y (yM).
15Geometrijske karakteristike poprečnihpresekaInercija je svojstvo tela da se suprotstavi promeni svog stanja, odnosno dejstvu sile. Možda jerazumljivija reč tromost. Konkretno, kod nosača, veću inerciju imaju nosači čija je površinapoprečnog preseka veća. Međutim,veličina preseka nije uvek dovoljanpokazatelj inercije. Oblik površine i položaju prostoru mogu biti značajni, kao naprimeru na slici. Zbog toga je potrebnodefinisati fizičke veličine koje će, poredpovršine uzeti u obzir i oblik i položajpovršine u odnosu na sile koje deluju napresek.Ove veličine nazvane su momenti inercije površine i otporni momenti. Momenti inercije mogu biti:aksijalni (za ose), polarni i centrifugalne, a otporni momenti mogu biti aksijalni i polarni. Momentiinercije imaju dimenziju [m4], a otporni momenti [m3]. Definicije momenata inercijeNa slici je prikazana ravna površina proizvoljnog oblika čija je veličina označena sa A. Uočimo na tojpovršini elementarne (vrlo male) veličine ΔA, čije su koordinate x i y, a ρ rastojanje do koordinatnog početka O. Aksijalni moment inercije ravne površine je zbir proizvoda elementarne površine ΔA i kvadrata rastojanja njenog težišta od ose. Polarni moment inercije za tačku je zbir proizvoda elementarnih površina ΔA i kvadrata rastojanja njenog težišta od te tačke . Aksijalni moment inercije ravne površine za osu x je:������������ = ∑ ∆������ ∙ ������������Aksijalni moment inercije ravne površine za osu y je:������������ = ∑ ∆������ ∙ ������������Polarni moment inercije za tačku O:������������ = ∑ ∆������ ∙ ������������
16Polarni moment inercije proizvoljne za tačku jednak je zbiru aksijalnih momenata inercije za normalneose koje se seku u toj tački.������������ = ������������ + ������������ ⟹ ������������ = ∑ ∆������ ∙ (������������ + ������������) = ������������ + ������������Centrifugalni moment inercije ravne površine je zbir proizvoda elementarne površine ΔA i rastojanjanjenog težišta od osa x i y.������������������ = ∑ ∆������ ∙ ������������Aksijalni i polarni momenti inercije uvek su pozitivne veličine. Centrifugalni moment inercije može bitipozitivan, negativan, a za sve ose simetrije površine jednak je nuli.Momenti inercije za težišne ose nazivaju se sopstveni momenti inercije. Vrednosti sopstvenihmomenata inercije nekih od osnovnih geometrijskih oblika dati su u tabeli u prilogu. Štajnerova teoremaČesto je potrebno (npr. kod složenih površina) odreditimomente inercije za ose paralelne težišnim osama.Prema Štajnerovoj teoremi: Moment inercije ravne površineza osu paralelnu težišnoj osi jednak je zbiru sopstvenogmomenta inercije za težišnu osu i položajnog momentainercije.Za aksijalne momente inercije, položajni moment jedak jeproizvodu površine i kvadrata rastojanja težišne ose i ose zakoju se moment određuje. Ukupni momenti inercije biće:������������ = ������������ + ������������������ ������������ = ������������ + ������������������Polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih, pa će biti:������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������2 + ������������2 = ������������ + ������(������2 + ������2) = ������������ + ������������2Položajni moment kod polarnog moment inercije jednak je proizvodu površine i rastojanja tačke(pola) od težišta površine. Ukupni polarni moment inercije biće:������������ = ������������ + ������������������Centrifugalni položajni moment dobija se kao proizvod površine i rastojanja težišne ose i ose za kojuse moment traži, a ukupni je:������������������ = ������������������ + ������������������
17 Otporni momentiOtporni moment poprečnog preseka nekeravne površine definisan je kao količniksopstvenim momenta inercije i rastojanjenajudaljenijeg tačke površine od te ose, pasu za težišne ose x i y otporni momentiinercije dati su izrazima:������������ = ������������ ������������ = ������������ ������������������������ ������������������������Polarni otporni moment jednak je količnikupolarnog momenta inercije za težište irastojanja najudaljenije tačke površine odtežišta:������������ = ������������ ������������������������ Momenti inercije nekih površinaIzračunate vrednosti sopstvenih momenata inercije nekih površi: ������3 ������ ������������ = 16
18Nosači se vrlo često prave od standardnih profila (I, U, P, L). Vrednosti karakteristika nekih od njih datisu u tabelama. 1. Čelični I profili (SRPS.C.B3.131) 2. Čelični U profili (SRPS.C.B3.131)
19 Određivanje sopstvenih momenata inercije složenih površinaPostupak rešavanja: 1. Podela površine na delove, čiji su sopstveni momenti inercije poznati. 2. Određivanje momenata inercije tih delova. 3. Određivanje težišta složene površine. 4. Uz pomoć Štajnerove teoreme, određivanje momenata inercije svih delova za težišne ose složene površine 5. Sabiranje dobijenih vrednosti (otvori se računaju kao negativne vrednosti)Primer 1: Odrediti sopstvene momente aksijalne ipolarni moment inercije ravne figure:Figura se podeli na dve (trougao i pravougaonik) i odrede površine:Odrede se koordinate težišta u koordinatnom sistemu ξOη:
20Unose se koordinate težišta složene figure i konstruiše koordinatni sistem xCy. Zatim se odredemomenti inercije trougla i pravougaonika za ose ξ i η:Odrede se aksijalni momenti inercije za ose x i y. Sabiranjem se dobija polarni moment inercije.������������ = ������������ + ������������ = 29,07 + 58,94 = 88������������4Primer 2: Odrediti sopstvene aksijalne momente inercije Ix i Iy i otporne ηmomente Wx i Wy za figuru na skici. Mere su date u cm. T2Najpre se mora odrediti težište figure. Pošto je simetrična, određuje se T1samo koordinata η, jasno je da je ξC=25cm.Površine figura su A1 = 400cm2, A2 = 1000cm2, ukupna A =1400cm2, akoordinate težišta η1 = 20cm, η2 = 50cm������������ = ������1������1 + ������2������2 = 400 ∙ 20 + 1000 ∙ 50 = 41,43������������ ξ ������ 1400
21Dobijene su težišne ose x i y za koje treba yodrediti momente inercije i otpornemomente.Sopstveni aksijalni moment inercije T2pravougaonika 1 i 2 za osu x dobijaju se iz xŠtajnerove teoreme :������������1 = ������1ℎ13 + ������1(������1 − ������������ )2 T1 12������������2 = ������2ℎ23 + ������2(������2 − ������������ )2 12Ukupni sopstveni aksijalni moment za celufiguru dobija se sabiranjem ova dva. ������������ = ������������ ∙ ������������������ + ������������������ ∙ ������������, ������������������ + ������������ ∙ ������������������ + ������������������������ ∙ ������, ������������������ = ������������������������������������, ������������������������������ ������������ ������������Kako je y osa simetrije oba figure, rastojanje osa pojedinih delova i cele figure je 0, pa se ukupni aksijalnimoment za y osu dobija sabiranjem sopstvenih momenata oba dela. ������������ = ������������1 + ������������2 = ������13ℎ1 + ������23ℎ2 12 12 ������������ = ������������������ ∙ ������������ + ������������������ ∙ ������������ = ������������������������������������, ������������������������������ ������������ ������������Otporni momenti se određuju po formulama:Najudaljenije tačke od težišta figure u pravcima osa x i y određene su prema skici.������������ = ������������ = ������������������������������������, ������������������������������ = ������������������������, ������������������������������ ������������������������ ������������, ������������������������������������ = ������������ = ������������������������������������, ������������������������������ = ������������������������, ������������������������������ ������������������������ ������������������������Primer 3: Za profil sastavljen od profila I10 i U5.0 zavarenihprema slici, odrediti aksijalne momente inercije i otpornemomente za težišne ose.Podaci iz tablice za I10:h=10cm, b=5cm, A=10,6cm2, Ix=171cm4, Iy=12,2cm4Podaci iz tabice za U5:h=5cm, b=3,8cm, A=7,12cm2, e=1,37 cm Iy=26,4cm4, Ix=9,12cm4(zbog okretanja profila, aksijalni momenti su zamenili vrednosti)
22Određivanje težišta T: y,η T2Koordinate težišta I i U profila u sistemu ξη su: 3,8cm x2 1,37cmT1(0;5), T2((0;10,37). Osa y (η) je osa simetrije, pa x1je ξT=0. Potrebno je odrediti ηT.������������ = ������1������1 + ������2������2 = ������ 10,6 ∙ 5 + 7,12 ∙ 10,37 10cm= 17,72 = 7,16������������ a1 a2Koordinate težišta celog preseka T(0;7,16), a T xrastojanja do težišta I i U profila: T1 ξa1=7,16-5=2,16cm i a2=2,84+1,37=4,21cmAksijalni moment za x osu:������������ = ������������1 + ������1 ∙ ������12 + ������������2 + ������2 ∙ ������22 = ηT������������ = 171 + 10,6 ∙ 2,162 + 9,12 + 7,12 ∙ 4,212������������ = ������������������, ������������������������������Aksijalni moment za y osu 5cm������������ = ������������1 + ������������2 = 12,2 + 26,4������������ = ������������, ������������������������Najudaljenije tačke figure od težišta su: xmax = 2,5cm; ymax = 7,16cmOtporni momenti:������������ = ������������ = 355,77 ⟹ ������������ = ������������, ������������������������������ ������������������������ 7,16������������ = ������������ = 38,6 ⟹ ������������ = ������������, ������������������������������ ������������������������ 2,5 Primeri zadataka – momenti inercije složenih površina 1. Odredi aksijalne inercije i otporne momente datih figura ako je a=3 (2..4..)cm
232. Odredi aksijalne momente inercije i otporne momente figura sastavljenih od standardnih I i U profila. I20 I24 (20,16…) U18I18 (14,12…) U18 (14,12…) U12 (10,8…)
Search
Read the Text Version
- 1 - 25
Pages: