Statika predavanje

1Statika1.UvodMehanika je nauka o kretanju, mirovanju i uzajamnim dejstvima materijalnih tela. Deli se namehaniku čvrstih tela i mehaniku fluida.Mehanika čvrstih tela deli se na mehaniku deformabilnih i meahniku krutih tela.Mehaniku najčešće delimo na kinematiku, dinamiku i statiku.Statika se bavi proučavanjem uslova ravnoteže (mirovanja) materijalnih tela izloženih dejstvu sila.Arhimed (250. pne) i Njutn (1669.)2. Osnovni pojmovi statike2.1. SilaMehanička sila je vektorska fizička veličina koja određuje mehaničko uzajamnodejstvo materijalnih tela. Sila je određena svojim pravcem (nazivamo ga napadnalinija sile), smerom i intenzitetom.Intenzitet sile izražavamo u Njutnima (N). Njutn je izvedena jedinica koja se izražava pomoćuosnovnih jedinica . Kada silu predstavljamo na crtežu, pretstavljamo je u pogodno izabranojrazmeri, pa ćemo, na primer, silu od 5N nacrtati kao orijentisanu duž dužine 5cm, što znači da ćemoje predstaviti u razmeri .Mehaničke sile delimo na zapreminske i površinske sile. Zapreminske sile (gravitaciona, magnetna)deluju “na rastojanju” i deluju na svaki element (delić) tela.Površinske ili “kontaktne” sile deluju na materijalna tela preko površine tela. Delimo ih na spoljašnjei unutrašnje. U statici se bavimo spoljašnjim silama, koje dalje delimo na aktivne i reaktivne(pasivne). Aktivne su one sile koje mogu izazvati kretanje tela, a pasivne (sile reakcije ili otpornesile) to ne mogu, nego, naprotiv, sprečavaju kretanje tela.Ako sila na telo deluje u jednoj njegovoj tački, nazivamo je koncentrisanom silom. Ako spoljašnjesile na telo deluju duž neke linije ili površine tela, govorimo o silama sa rasporedjenim(kontinualnim) dejstvom.Telo na koje deluju spoljašnje sile nazivamo napregnutim (opterećenim) telom.Kada na telo deluje više sila, kažemo da na njega deluje sistem sila.

22.2. Sistemi silaSisteme sila delimo na sisteme kolinearnih sila (kada sve sile imaju istu napadnu liniju), sistemeravanskih sila (napadne linije svih sila leže u jednoj ravni) i sisteme prostornih sila.Posebno nam je interesantan sistem ravanskih sila i njime ćemo se najviše baviti. Odmah ćemo ovdenapraviti novu podelu na sisteme paralelnih sila, sisteme sučeljnih (sučeonih) sila i sistemeproizvoljnih sila.U osnovne pojmove statike spadaju i aksiome statike.3. Aksiome statikeAksioma je naučna istina jasna sama po sebi, koja se ne dokazuje.Aksioma 1.Da bi kruto telo, na koje deluju dve sile, bilo u ravnoteži,potrebno je da te sile imaju zajedničku napadnu liniju, jednakeintenzitete i suprotne smerove.Ovakav sistem sila naziva se “sistem uravnoteženih sila”.Aksioma 2.Dejstvo datog sistema sila na kruto telo neće se promeniti ako mu se doda ili oduzme jedan ilikonačan broj uravnoteženih sistema sila.Prva i druga aksioma imaju posledicu koja je važna urešavanju zadataka a glasi:Dejstvo date sile na kruto telo ne menja se ako se napadnatačka sile pomeri duž napadne linije sile. Sila je kliznivektor.Aksioma 3.Ako u jednoj tački materijalnog tela deluju dve sile, njihovodejstvo na telo neće se promeniti ako ih zamenimorezultantom određenom dijagonalom paralelograma čijesu stranice te dve sile.Rezultanta Fr nije nova sila koju smo mi dodali postojećimsilama F1 i F2. Rezultanta deluje “umesto” sila F1 i F2, ona je njihov “vektorski zbir”, a na telo delujeisto onako kako na njega deluju sile F1 i F2 zajedno.Rezultanta je vektorski zbir sila F1 i F2. Vektorski zbir nije običan zbir. Ako sila F1 ima intenzitet 3N,a sila F2 intenzitet 5N, to ne znači da će rezultanta obavezno imati intenzitet 8N, jer je njihov zbir.Vektorski zbir se matematički zapisuje:

3Aksioma 4.Dva materijalna tela deluju jedno na drugo silama koje imajuisti intenzitet, zajedničku napadnu liniju, a suprotne smerove.Ove dve sile, obzirom da ne deluju na jedno telo, ne čineosnovni uravnoteženi sistem sila.Ovo je III Njutnov zakon ili Zakon akcije i reakcije.Aksioma 5.Ako se deformabilno telo nalazi u ravnoteži pod dejstvom datog sistema sila, to stanje se nećepromeniti ako deformabilno telo postane kruto.Prilično nerazumljiva aksioma, koju možemo shvatiti na primer ovako:4. Veze, primeri veza, aksioma o vezamaZa telo čije kretanje u prostoru nije ograničeno, kažemo da je slobodno. Ako mu je kretanjeograničeno u makar jednom pravcu, telo je vezano. Telo koje drugom telu ograničava kretanjenaziva se veza.Neki predmet koji se nalazi na stolu može da se kreće u svim pravcima, osim u pravcima kroz sto –takvo telo je, dakle, vezano telo, a sto je veza.Vezano telo na vezu deluje silom koja se naziva pritisak na vezu. Po zakonu akcije i reakcije, vezauzvraća silom istog pravca i intenziteta, a suprotnog smera, koja se naziva reakcija ili otpor veze.Reakcija veze je uvek usmerena u smeru suprotnom od smera u kojem veza ne dopušta pomeranjetela.Karakteristični primeri veza su: 1. Glatka površ ili oslonac.Pridev glatka znači da se zanemaruje trenje.Posmatrajmo kuglu ili disk koji leži na krivoj površi,koju dodiruje u tački A. Sa T je obeležena zajedničkatangenta (tangenta je prava koja krivu liniju dodiruje ujednoj tački).Reakcija veze (Fn) ima pravac normale nazajedničku tangentu, a smer je od veze ka telu.

4U istu vrstu veze spada i primer grede oslonjene na ivicu C, a drugim krajem oslonjene na zid (tačkaA) i pod (tačka B). 2. Gipko uže.Telo je (a) jednim užetom vezano za nepokretnu tačku Aili (b) sa dva užeta za nepokretne tačke A i B.Reakcija veze (S) ima pravac užeta, a smer je katački vešanja. 3. Veza štapomKod veze štapom, reakcija veze ima pravac štapa,ali smer nije unapred poznat. 4. Cilindarski zgloba) Nepokretni cilindarski zglobPravac i smer reakcije veze (Fa) nisu unapred poznati. b) Pokretan cilindarski zglobOvaj zglob može da se kreće u pravcu horizontale. Reakcija veze ima pravac normale na ravan pokojoj zglob može da se kreće, a smer nije unapred poznat.5. UklještenjePravac i smer Fa nisu unapred poznati, kao ni smermomenta uklještenja Ma.Aksioma o vezama:Svako vezano telo može da se posmatra kao slobodno, ako veze uklonimo a njihov uticaj na telozamenimo reakcijama veza.Ovaj princip je primenjen kod primera veze štapom – na desnom delu slike veze su zamenjenereakcijama veza.

55. Sistem sučeljnih sila u ravniSistem sučeljnih ravanskih sila čine sile čije napadne linije leže u istoj ravni i seku seu istoj tački.5.1. Grafičke metode slaganja sučeljnih sila – metoda paralelogramaMetoda paralelograma je, zapravo, više puta ponovljen postupak naveden u trećoj aksiomi. Sve silepomeritmo duž njihovih napadnih linija (posledica druge aksiome) tako da sve deluju u istoj tačkitela. Zatim možemo na sile F1 i F2 primeniti treću aksiomu, tj. konstruisati paralelogram sa timsilama kao stranicama – dijagonala tog paralelograma je rezultanta sila F1 i F2, sila F1,2. Za sile F1,2i F3 konstruišemo paralelogram, čija je dijagonala, sila F1,2,3 rezultanta sila F1, F2 i F3. Postupakse ponavlja do poslednje sile sistema.Princip važi i za sisteme ravanskih i za sisteme prostornih sučeljnih sila.5.2. Grafičke metode slaganja sučeljnih sila – metoda poligona silaPosmatramo sistem tri sučeljne sile koje na telo deluju u tački O.Poligon sila ćemo konstruisati tako što ćemo sile „nadovezivati“ jednu na drugu, tj. početak svakenaredne sile postavićemo na završetak prethodne. Poligon sila koji smo dobili u ovom primerunaziva se „otvoreni“ poligon sila. Rezultanta se postavlja od početka prve sile u poligonu,do kraja poslednje sile u poligonu.5.3. Grafički uslovi ravnoteže Ako postoji „otvoren“, logično je da postoji i „zatvoren“ poligon sila. Na slici je prikazan sistem tri sučeljne sile čiji je poligon zatvoren. Rezultante nema, odnosno jednaka je nuli. Telo će se nalaziti u stanju mirovanja, a sistem sila u ravnoteži.

6Grafički uslov ravnoteže sistema sučeljnih sila: Da bi ravanski sistem sučeljnih sila biou ravnoteži, potrebno je i dovoljno da je njegov poligon sila zatvoren.Teorema o tri sile u ravni:Grafički uslov ravnoteže tri sile: Da bi sistem tri sile koje deluju na jedno telo bio uravnoteži, potrebno je i dovoljno 1. Da te sile čine sistem sučeljnih sila, tj. da im senapadne linije seku u jednoj tački i 2. Da je njihov trougao (poligon) sila zatvoren.5.4. Grafičke metode razlaganja silaSila F, na slici, je razložena na dve komponente, F1 i F2, koje imaju pravce OC i OB. Ako bi smo slikuposmatrali u smislu treće aksiome, videli bi smo da je sila F rezultanta sila F1 i F2. Na trećoj slici (c)prikazan je poligon sila koji je, možemo primetiti, polovina paralelograma sila.Razložiti silu na komponente znači naći dve ili više sila čijim bi se slaganjem dobilabaš ta sila kao rezultanta.5.5. Ortogonalne projekcije sila na oseTrigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije su: sinus, kosinus, tangens i kotangens.Sinus ugla alfa definiše se kao količnik naspramne katete i hipotenuze, a kosinus kaokoličnik nalegle katete i hipotenuze. ,Tangens ugla alfa se definiše kao količnik naspramne i nalegle katete ili kao količniksinusa i kosinusa istog ugla.Kotangens ugla alfa je recipročna vrednost tangensa

7Inverznu funkciju funkcije tangens, koja se naziva arkus tangens, a piše se arc tan ili arctg (često ćete za tangens videti umesto tan zapis tg).Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke karakteristične uglove: Projekcije sila na koordinatne ose Kako je: Projekciju možemo izraziti: Na isti način možemo izraziti i projekciju na Y osu:5.6. Analitičko slaganje silaPoligon sistema sučeljnih sila i postavljen je u koordinatni sistem.Sile F1, F2, F3 i F4 imaju projekcije na X osu X1, X2, X3 i X4.Fr je njihova rezultanta. Njena projekcija na X osu jednaka zbiruprojekcija sila: tj.

8Za Y osu: , tj.Primenom Pitagorine teoreme:Ugao koji rezultanta zaklapa sa X osom:5.7. Analitički uslov ravnoteže sistema sučeljnih silaSistem je u ravnoteži ako je rezultanta jednaka nuli. To je moguće samo ako su i Xr i Yr jednaki nuli.Tada je:Analitički uslov ravnoteže sistema ravanskih sučeljnih: da bi sistem sučeljnih sila uravni bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da je algebarski zbir projekcija svih silatog sistema i na jednu i na drugu osu koordinatnog sistema jednak nuli.5.8 Primeri zadataka abcdef α 45 45 45 60 30 60 β 45 60 30 45 60 30

96. Moment sile za tačkuMoment sile je vektorska fizička veličina koja karakteriše obrtno dejstvo sile.Ploča ima jednu nepokretnu tačku – O. Na ploču deluje sila F, tako da ploča može da se kreće samona jedan način – da se obrće oko tačke O.Da bi smo mogli da odredimo karakteristike tog obrtanja, moramo prvo da utvrdimo uzrok obrtanja– silu F i njen moment u odnosu na tačku O. Intenzitet momenta sile u odnosu natačku se izračunava kao proizvod intenziteta sile i kraka sile.Jedinica kojom se izražava moment je Njutnmetar.Krak sile je najkraće rastojanje između napadne linije sile i momentne (obrtne) tačkeO.Važno je primetiti da će, ako napadna linija sile prolazi kroz momentnu tačku, krak sile bitijednak nuli, a time će i moment sile za tu tačku biti jednak nuli.Smer obrtanja može biti u smeru kazaljke na časovniku (to je, po dogovoru, negativan matematičkismer) ili u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku (pozitivan matematički smer).Vektor momenta vezan je za obrtnu tačku (polazi iz nje), normalan je na obrtnu ravan(ploča na slici) i usmeren je ka posmatraču ako posmatrač vidi obrtanje u pozitivnommatematičkom smeru (pravilo desnog zavrtnja ili palca).Vektor momenta se može nazvati vezanima vektorom, za razliku od vektora sile koji nazivamoklizećim vektorom (jer se može premeštati duž napadne linije)6.1. Varinjonova teoremaMoment rezultate jednak je zbiru momenata komponenata.6.2. Spreg silaSpreg sila obrazuju dve sile istog pravca i intenziteta, a suprotnog smera, čije se napadne linije nalazena određenom rastojanju. Veličina koja karakteriše dejstvo takvih sila na telo naziva se momentsprega. Moment sprega je vektorska veličina čiji je intenzitet jednak proizvodu

10intenziteta jedne sile tog sprega i rastojanja između napadnih linija sila. To se rastojanjenaziva krak sprega.Spreg sila uglavnom simbolički predstavljamo njegovim smerom obrtanja i oznakom M.Pojam sprega sila je blizak pojmu momenta sile za tačku jer i jedan i drugi izazivaju obrtno kretanjetela. Obe veličine su vektorske, pravac i smer njihovih vektora se određuje na isti način, ali postoji ibitna razlika: moment sprega ne zavisi od izbora momentne tačke. Moment sprega je isti usvakoj tački krutog tela, nije vezan za tačku i za njega se može reći da je slobodan vektor.Ako na telo deluje više spregova, onda kažemo da na njega deluje sistem spregova.Sistem spregova može biti zamenjen jednim rezultujućim spregom čiji je moment, po intenzitetu,jednak algebarskom zbiru momenata svih spregova tog sistema. Ako je taj zbir jednak nuli, onda jesistem spregova u ravnoteži i telo na koje deluje se neće obrtati.6.3. Primeri zadatakaNa vratilo deluju dve sile istog pravca i intenziteta, a suprotnog smera F1=100N, na rastojanjuL1=1,2m. Kolikog intenziteta treba da budu sile F2, takođe istog pravca, a suprotnog smera, koje senalaze na rastojanju L2=0,8m, da se vratilo ne bi obrtalo?Izračunaj moment rezultante sistema sila za tačke A i B.

117. Sistem proizvoljnih ravanskih sila7.1. Teorema o paralelnom prenošenju sileSila se može paralelno preneti u ma koju tačku krutog tela ako joj se doda spreg čiji jemoment jednak momentu sile za tu tačku. Dokaz: Dodajmo u tački B uravnoteženi sistem sila čiji je intenzitet isti kao intenzitet sile FSilu F koja deluje u tački A i silu –F koja deluje u tački B možemo posmatrati kao spreg sila čiji jemoment jednak proizvodu intenziteta sile F i rastojanja a između tačaka A i B.

127.2. Postupak redukcijePosmatramo sistem proizvoljnih sila u ravni.Ovaj sistem ćemo redukovati na proizvoljno izabranu tačku u ravni njihovog dejstva, što znači daćemo svaku silu paralelno preneti u tu tačku. Pri tome ćemo joj, u skladu sa prethodnom teoremom,dodati odgovarajući spreg. Umesto sistema proizvoljnih sila, dobijen je sistem sučeljnih sila i sistem spregova. Sistem sučeljnih sila možemo zameniti jednom rezultujućom silom koja se naziva glavni vektor (FR), a sistem spregova jednim spregom koji se naziva glavni moment (Mo).Telo se neće obrtati ako je glavni moment jednak nuli (sučeljni sistem). Takođe, ako je glavni vektorjednak nuli, telo se neće translatorno pomerati (sistem spregova).7.3. Analitički uslov ravnoteže sistema proizvoljnih sila u ravniDa bi sistem proizvoljnih ravanskih sila bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da jealgebarski zbir projekcija svih sila tog sistema i na jednu i na drugu koordinatnu osujednak nuli i da je algebarski zbir momenata tih sila u odnosu na proizvoljno izabranumomentnu tačku u ravni njihovog dejstva jednak nuli.Matematički zapisan, ovaj uslov glasi:

137.4.Primer zadatkaHomogena greda dužine L i težine 200 N krajem A je oslonjena na gladak horizontalan pod, a utački C na glatku ivicu, pri čemu sa podom zaklapa ugao od 30 (45, 60) stepeni. U datom položajuodržava je sila F. Izračunati reakcije veze i intenzitet sile F. Visina h je data u tabeli.Postupak rešavanja:Prvo treba ucrtati reakcije veze, vodeći računa o tome da kada je veza ravan, reakcija veze ima pravacnormale na ravan, a smer od ravni ka telu, dok kod ivice reakcija veze je normalna na gredu iusmerena od ivice ka gredi. Na sredini grede, u težištu, treba ucrtati vektor težine grede.Vektor Fc treba rastaviti na komponente Fcx i Fcy i primeniti analitičke uslove ravnoteže.

14Treću jednačinu još nismo napisali. Za koju tačku je napisati? Najbolje za tačku A jer za nju sila F iFa nemaju moment, pa bi u jednačini bila samo jedna nepoznata, sila Fc. Dalje nam trebaju kracisila Q i Fc. Visina h je odakle se dobijaKrak sile Q jeSada možemo da napišemoIz treće jednačine nalazimoIz prveA iz druge