Nosači - izvod iz predavanja

STATIKANosači Zoran Jovanović Izvod iz predavanja

1SadržajNosači ____________________________________________________________________ 2 Pojam ________________________________________________________________________ 2 Oslonci________________________________________________________________________ 2 Podela ________________________________________________________________________ 3 Opterećenje nosača _____________________________________________________________ 4 Određivanje reakcija (otpora) oslonaca nosača______________________________________ 4 Primer određivanja otpora oslonaca grede i konzole: __________________________________________ 5 Statičke veličine u presecima nosača________________________________________________ 8 Primeri zadataka ________________________________________________________________________ 9 Dijagrami statičkih veličina nosača ________________________________________________ 11 Primeri zadataka _______________________________________________________________________ 12 Domaći zadatak iz statike – crtanje statičkih dijagrama ________________________________________ 19

2Nosači PojamNosači su tela koja nose opterećenje. Najčešće se sastoje od jednog, ili više povezanih štapova. OslonciNosači su za druga tela vezana osloncima. Oslonci mogu biti nepokretni cilindrični zglob, pokretnicilindrični zglob i uklještenje. Kako oslonci predstavljaju veze, potrebno ih je „zameniti“ njihovimreakcijama.Oslonci se na crtežima predstavljaju simbolima:

3 PodelaMogu biti prostorni, ravanski (svi štapovi u jednoj ravni) i linijski (samo jedan štap).Najčešći oblici ravanskih nosača u okvirni i rešetkasti.Linijski nosači mogu biti: prosta greda (pokretni i nepokretni oslonac na krajevima), greda saprepustima (oslonci nisu na krajevima) i konzola (uklještena na jednom kraju).

4 Opterećenje nosačaMože biti neposredno i posredno. Neposredno opterećenje može biti koncentrisana sila F(N),kontinualno (raspodeljeno) opterećenje q(N/m) i koncentrisani spreg (moment) M (Nm).Najjednostavniji oblik kontinualnog opterećenja je konstantno – pravougaono). Osim toga, može bititrougaono, trapezno, ali i oblika ma koje ravne figure.Posredno opterećenje čini sila preko nekog drugog štapa: U tom slučaju, primenom teoreme o paralelnom prenošenju sile, posredno opterećenje se pretvara u jednu koncentrisanu silu i jedan koncentrisani spreg (moment). Određivanje reakcija (otpora) oslonaca nosačaNosači su tela opterećena ravanskim sistemom sila.Kako se mogu postaviti tri jednačine, zadatak je rešiv ako ima tri nepoznate. Tadase kaže da je nosač statički određen. Moguće kombinacije oslonaca da bi biostatički određen su: 1. Nepokretan i pokretan oslonac 2. Uklještenje i 3. Tri pokretna oslonca

5Primer određivanja otpora oslonaca grede i konzole:

6

7 Zadaci za vežbanje određivanja otpora oslonaca (uklještenja):F1 = 2kN, F2 = 3kN, F3 = 1,5kN, q = 2kN/m

8Statičke veličine u presecima nosačaNosač je opterećen spoljašnjim aktivnim i reaktivnim silama, koje su u ravnoteži. U svakom presekunosača javljaju se unutrašnje sile, koje se nazivaju statičke veličine u preseku nosača. Vrednost ovih silaje potrebno odrediti, kako bi se moglo znati da li će nosač od određenog materijala moći da izdržiopterećenje kome je izložen.Da bi odredili sile u presecima, podelićemo, na rastojanju x, nosač na dva dela presekom c (I i II).Posmatrani nosač je u ravnoteži. Na presečnoj površini dejstvo uklonjenog dela nosača mora senadoknaditi silama. Ako se izvrši redukcija sistema sila sa uklonjenog dela na težište poprečnogpreseka, dobija se uzdužna i poprečna komponenta glavnog vektora Fac i Ftc, kao i glavni moment Msc.Ova tri vektora nazivaju se statičke veličine u preseku i to: aksijalna (uzdužna) sila Fac (izaziva aksijalnonaprezanje), transverzalna (poprečna) sila Ftc (izaziva smicanje) i moment savijanja Msc (izazivasavijanje). Prema, ranije opisanom načinu izračunavanja glavnog vektora i glavnog momenta, vrednoststatičkih veličina se dobija:������ ������������������������ = ∑ ������������������ = ∑ ������������������������=1 ������=1 ������ ������������������������ = ∑ ������������������ = ∑ ������������������������=1 ������=1������ →������ ������ →������������������������ = ∑ ������������������ ������ = ∑ ������������������ ������������=1 ������=1Aksijalna sila Fac u preseku c štapa Fac Mscjednaka je zbiru komponenata svih sila Ftkoje deluju u pravcu ose nosača levo ilidesno od preseka c.Transverzalna sila Ftc u preseku c Msc Facjednaka je zbiru komponenata svih Ftspoljašnjih sila koje deluju u pravcuupravnom na osu nosača, levo ili desnood tog preseka c.Moment savijanja Msc u preseku c štapajednak je zbiru momenata svih sila kojedeluju levo ili desno od preseka c, z a težište preseka.Znak presečni sila određen je konvencijom(dogovorom): Opasni presekPresek u kome je moment savijanja najveći zove se opasan (kritični) presek. Maksimalna vrednostmomenta savijanja nalazi se u preseku u kome je transverzalna sila jednaka nuli.

9Primeri zadataka1. Odredi statičke veličine u YA F1= F2= FBpresecima C i D nosača (sile C Y2su date u kN, a dužine u m): X2 DRazlaganje sile F2: XA X2 = F2cos45° =28,28·0,71 = 20kNY2 = F2sin45° = 28,28·0,71 = 20kNVrednosti reakcija oslonaca: ∑X=0; -X+X2 = 0; -XA+20 = 0; XA= 20kN ∑Y=0; YA+FB-F1-Y2 = 0; YA+FB-15-20 = 0; YA+FB=35 ∑MA=0; -F1·1-Y2·3+5·FB = 0; -15·1-20·3+5·FB = 0; FB=15kN, YA=20kNVrednost statičkih veličina u tački C lakše je odrediti sa leve strane: Fac = XA = 20kN, Ftc = YA; Msc = YA·1 = 20kNmVrednosti u tački D sa desne strane: FaD = 0; FtD = - FB = - 15kN; MsD = FB·2 = 30kNm2. Odredi statičke veličine u presecima A i D grede, kao i u tački E na polovini duži AD. 3m E Određeni su otpori oslonaca: XA = 3kN, YA= 12kN i FB = 7kN Sila F je prethodno razložena na X = Y = 3kN. Veličine u tački A određuju se sa leve strane: FaA = 0; FtA = Fq1 = - q·2m = - 4kN; MsA = - Fq1·1m = - q·2m·1m = -4kNm Veličine u tački D određuju se sa desne strane: FaD = 0; FtD = - FB = - 7kN; MsD = FB·3m = 21kNmVeličine u tački E odredićemo sa desne, a zatim, radi provere, i sa leve strane:Desno: FaE = - X = - 3 kN; FtE = - FB + Y + q·3m = - 7 + 3 + 6 = 2kN; MsE = FB·6m - Y·3m –q·3m·1,5m = 42 – 9 – 9 = 24kNmLevo: FaE = - XA = - 3 kN; FtE = - q·5m + YA = - 10 + 12 = 2kN; MsE = YA·3m + M –q·5m·2,5m = 36 + 13 – 25 = 24kNm

10 Zadaci za vežbanjeOdredi statičke veličine na sredini grede ili konzole, računajući sa leve i desne strane.F1 = 2kN, F2 = 3kN, F3 = 1,5kN, q = 2kN/m.

11 Dijagrami statičkih veličina nosačaDijagrami statičkih veličina su grafički prikazi vrednosti aksijalne sile, transverzalne sile i momentasavijanja u svakom preseku nosača. Osim crtanja dijagrama, zadatak obično uključuje i pronalaženjeopasnog preseka, odnosno maksimalne vrednosti momenta savijanja u tom preseku.Zadatak se može rešiti na više načina. Biće pokazana dva: jednostavniji, nazvaćemo ga metoda tačakai teži, ali pravilniji i pouzdaniji metoda segmenata (**). Postupak crtanja dijagrama 1. Na skici opterećenog nosača označi se koordinatni sistem, tako da je osa nosača x, a upravna osa y. Za koordinatni početak, po pravilu, se bira se tačka nepokretnog oslonca ili uklještenja. Za pozitivan smer momenata uzima se pozitivan matematički smer (obrnuto od kazaljke sata). 2. Kontinualna opterećenja (ako postoje) zamenjuju se koncentrisanom silom koja deluje u težištu preseka (kod pravougaonog na sredini). 3. Sile koje deluju koso na osu nosača (ako postoje) razlažu se na dve u uzdužnom i poprečnom pravcu (x i y osa). 4. Izvrši se „oslobađanje“ od veza. 5. Izračunavaju se otpori oslonaca ili uklještenja. 6. Crta se skica nosača u izabranoj razmeri (npr. UL=2m/1cm) sa silama razloženim na x i y pravac. 7. Izračunavaju se vrednosti aksijalne sile (Fa), transverzalne (Ft) i momenta savijanja (Ms) u karakterističnim tačkama, tj. u svim tačkama nosača gde deluju koncentrisane sile i spregovi i gde počinje i završava se kontinualno opterećenje. Računanje se vrši sa leve ili desne strane. Na početku i na kraju nosača vrednosti su uvek nula. (**) Metoda segmenata se razlikuje u ovoj tački po tome što se nosač uzdužno preseče između karakterističnih tačaka, pa se vrednosti statičkih veličina u tim presecima izračunavaju u zavisnosti od koordinate x. 8. U izabranoj razmeri (npr. UFa=2kN/1cm, UFa=1kN/1cm, UMs=3kNm/1cm), nanose se izračunate vrednosti ispod karakterističnih tačaka. Kod sila je pozitivne vrednosti su iznad nulte ose, a kod momenata ispod. 9. Na dijagramu sila, između tačaka povlači se horizontalna linija, a na mestu tačke (gde deluje sila) vertikalna linija jednaka dužini sile u razmeri. Ispod kontinualnog opterećenja vrednosti u susednim tačkama se spajaju kosom linijom. Tačke na dijagramu momenta se spajaju pravim linijama, osim ispod kontinualnog opterećenja, gde se tačke spajaju parabolom ispupčenom na dole. Ispod tačke u kojoj deluje spreg, takođe se povlači vertikalna linija jednaka dužini momenta u razmeri. 10. Opasni presek je onaj u kome je moment maksimalan, a transverzalna sila menja znak. izuzetno, kod konzole i greda opterećenih spregovima može biti i na drugom mestu. U svakom slučaju treba proveriti da li je opasan presek ispod kontinualnog opterećenja, ako transverzalna sila tamo menja znak (detaljnije objašnjenje na primeru).

12Primeri zadatakaIzračunati otpore oslonaca, nacrtati dijagrame statičkih veličina i odrediti maksimalni momentsavijanja. Dužine su date u (m), sile u (kN), momenti u (kNm), kontinualna opterećenja u (Kn/m). 1. Prosta greda Fq=3·4=12kN; X1=20·cos30°=17,32kN; Y1=20·sin30°=10kN Otpori oslonaca: ∑X=0 XA +17.32=0 XA=-17.32kN ∑Y=0 YA+YB-10-12-4=0 YA+YB=26 ∑MA=0 -10·1-12·3-4·5+6·YB=0 YB=11kN, YA=15kN Vrednosti sila i momenata u karakterističnim tačkama: Fa1=Fa5=0; Ft1=Ft5=0; M1=M5=0 Fa2= -17.32kN; Ft2=15kN; M2=15kN·1m=15kNm (leva strana) Fa3=-17,32+17,32=0; Ft215-10=5kN; M3=15kN·2.67m-10kN·1.67m- 3kN/m·1.67m·1.67m/2=19.17kNm (leva strana) M3=11kN·(1m+4m-1.67m)-4kN·(4m- 1.67m)-3kN/m·(4m-1.67m)2/2=19.17kNm (desna strana - provera) Fa4=0, Ft4=-11kN; M4=11kN·1m=11kNm (desna strana)Opasni presek (između tačaka 2 i 3): 5kN-3kN/m·x=0; x=1,67m;Maksimalni moment: Mmax=11kN·(1m+1,67m)-4kN·1,67m-3kN/m·1,67m·(1,67m/2)=19,17kNm

2. Konzola 13 Fq=4*1=4kN; X=23,09·cos60°=11,5kN; Y=23,09·sin60°=20kN Otpori oslonaca: ∑X=0 XA +11.5=0 XA=-11.5kN ∑Y=0 YA -4-20=0 YA =24kN ∑MA=0 -4·0.5-20·2-3+MA=0 MA=-45kNm Vrednosti sila i momenata u karakterističnim tačkama: Fa1=0; Ft1=0; M1=-3kNm (desna strana) Fa2=0; Ft2=0; M2=-3kNm (desna strana) Fa3=11,5kN; Ft3=20kN; M3=-3kNm- 20kN·1m=-23kNm Fa4=0; Ft4=0; M4=-45kNm (leva strana) M4=-3kNm-20kN·1m-4kN/m·1m·0.5m=- 45kNm (desna strana – provera) Opasni presek je na mestu uklještenja i iznosi Mmax=-45kNm.

143. Greda sa prepustima Fq1=7·2=14kN; Fq2=3·2=6kN;Opasan presek je u tački 3, maksimalni moment Mmax=12kNm. X1=14,14·cos45°=10kN; Y1=14,14·sin45°=10kN; X2=7,07·cos45°=5kN; Y2=7,07·sin45°=5kN Otpori oslonaca: ∑X=0 XA +10-5=0 XA =-5kN ∑Y=0 YA+YB-14-10-5-6=0 YA+YB=35kN ∑MA=0 -10·1+15-5·4- 6·5+5·YB=0 YB=9kN, YA=26kN Vrednosti sila i momenata u karakterističnim tačkama: Fa1=Fa6=0; Ft1=Fa6=0; M1= M6=0 Fa2=5kN; Ft2=-7·1=-7kN; M2=- 7kN/m·1m·0.5m=-3.5kNm (leva strana) Fa3=5-10=-5kN; Ft3=26- 7·2=12kN; M3=26kN·1m- 7kN/m·2m·1m=12kNm (leva strana) Fa4= 0; Ft4=-9+6·1=-3kN; M4=9kN·1m- 3kN/m·2m·1m=3kNm (desna strana) Fa5=0; Ft5=3·1=3kN; M5=- 3kN/m·1m·0.5m=-1.5kNm Zadaci za vežbanjeNa adresi http://beamguru.com/online/beam-calculator/ mogu se samostalno formirati zadaci iproveriti rešenja.Nacrtati dijagrame i odrediti maksimalni moment za nosače date u zadacima iz prethodnog poglavlja(određivanje otpora oslonaca i statičkih veličina u presecima).

15 Primeri crtanja dijagrama metodom segmenata (**)1. a=2m, b=2,5m,c=d=1m, e=1,5m,α=68°, F1=10kN,F2=15kN, q=3kN/m,M=40kNm (vrednostistatičkih veličinaračunati sa leve strane)Dobijene su vrednosti otpora oslonaca Ax=-3,75kN; Ay=1,77kN; Ma=-45,15kNm Segment 1-1Segment 2-2Segment 3-3

16Segment 4-4Segment 5-52.Ranije je određeno:Fq1=4kN, Fq2=12kN,X=Y=3kN, XA=3kN, YA=7kN,FB=7kN

17

18

19 Domaći zadatak iz statike – crtanje statičkih dijagramaZa nosač na skici: 1. Odredi otpore oslonaca 2. Nacrtaj statičke dijagrame aksijalnih i transverzalnih sila i momenta savijanja 3. Odredi opasan presek i maksimalni moment savijanjaБр. F1 (kN) F2(kN) q(kN/m) M(kNm) α(°) a (m) b (m)1. 1 3 2 3 60 2 62. 2 4 3 4 30 1 43. 3 6 4 6 45 3 84. 4 8 2 6 60 1 45. 5 10 3 4 45 2 66. 5 12 4 2 30 3 87. 4 12 2 2 60 2 48. 3 4 3 4 30 1 49. 2 6 4 6 45 3 610. 1 6 2 6 60 1 411. 1 4 3 4 45 2 612. 2 5 4 2 30 3 813. 3 2 2 2 60 2 614. 4 4 3 4 30 1 615. 5 10 4 6 45 3 616. 2 6 2 6 60 1 417. 4 9 3 4 45 2 618. 3 7 4 2 30 3 419. 2 5 2 2 60 2 620. 1 4 3 4 30 1 621. 2 6 4 6 45 3 822. 3 6 2 6 60 1 423. 4 9 3 4 45 2 624. 5 12 4 2 30 3 825. 5 10 2 5 60 1 426. 4 9 3 4 45 3 827. 3 6 4 3 30 1 428. 2 4 2 2 45 1 429. 4 11 3 6 60 1 630. 3 12 4 3 45 2 6