OTPORNOST MATERIJALA Zoran Jovanović Izvod iz predavanja
SadržajOsnovni pojmovi _______________________________________________________________ 1 Naprezanje, napon i deformacija _______________________________________________________ 1 Napon_____________________________________________________________________________________ 1 Deformacije ________________________________________________________________________________ 2 Vrste naprezanja ____________________________________________________________________________ 2 Zadaci otpornosti materijala___________________________________________________________ 4 Osnovne pretpostavke otpornosti materijala _____________________________________________ 4Aksijalno naprezanje ____________________________________________________________ 5 Opterećenje, napon i deformacija pri aksijalnom naprezanju ________________________________ 5 Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapova ___________________________________________ 7 Ispitivanje materijala zatezanjem _______________________________________________________________ 7 Postupak dimenzionisanja štapova______________________________________________________________ 9 Primeri zadataka iz aksijalnog naprezanja _______________________________________________ 11Smicanje_____________________________________________________________________ 13 Оптерећење, напон и деформација при смицању ______________________________________ 13 Primeri smicanja iz prakse____________________________________________________________ 13 Određivanje potrebne sile za odsecanje ________________________________________________________ 14 Dimenzionisanje delova napregnutih na smicanje_________________________________________________ 15 Primeri zadataka iz smicanja__________________________________________________________ 16Uvijanje _____________________________________________________________________ 17 Opterećenje, napon i deformacija kod uvijanja ___________________________________________ 17 Dimenzionisanje vratila______________________________________________________________ 19 Primeri zadataka iz uvijanja __________________________________________________________ 20Savijanje_____________________________________________________________________ 22 Врсте савијања ____________________________________________________________________ 22 Напон и деформација при савијању __________________________________________________ 24 Proračun nosača napregnutih na savijanje_______________________________________________ 26 Određivanje nosivosti _______________________________________________________________________ 26 Izbor materijala ____________________________________________________________________________ 27 Dimenzionisanje nosača opterećenih na savijanje_________________________________________________ 27 Primeri zadataka iz savijanja__________________________________________________________ 29Prilog: Mehaničke karakteristike nekih čelika _______________________________________ 30Prilog: tablice I i U profila _______________________________________________________ 31
1Osnovni pojmoviOtpornost materijala je tehnička disciplina, zasnovana namehanici deformabilnih tela (posebno teorijamaelastičnosti i plastičnosti), koja se bavi proučavanjemponašanja tela pod dejstvom opterećenja. Kako sumatematičke jednačine kojima se opisuju ove pojaveveoma komplikovane, otpornost materijala u velikoj merikoristi iskustva iz prakse ljudi koji su se baviliarhitekturom, građevinarstvom i mašinstvom.Materijalno telo je opterećeno dejstvom sila i momenata. U statici se telo smatra krutim, dakle nedeformiše se pod dejstvom opterećenja. Realna tela su deformabilna pa će, pod dejstvom opterećenjapromeniti oblik i dimenzije. Naprezanje, napon i deformacijaPod dejstvom spoljašnjih sila, u telu se javljaju unutrašnje sile.Unutrašnje sile teže da deformisano telo vrate u prvobitno stanje, što izaziva pojavu koju nazivamonaprezanje.Napon Jedan od osnovnih zadataka otpornosti materijala je da odredi (izmeri) unutrašnje sile. Mera unutrašnjih sila naziva se napon. p F [ N Pa] A m2 Napon p je količnik unutrašnje sile koja deluje na neki presek tela ipovršine tog preseka. Napon je vektor, koji se radi olakšavanjaproračuna razlaže na dve komponente:1. σ – normalni napon ima pravac normale na presek2. τ – tangentni napon ima pravac koji pripada ravni preseka
2DeformacijeDeformacija je promena oblika i dimenzija nastala pod dejstvom spoljašnjih sila. Deformacije mogubiti elastične (nestaju po prestanku dejstva sila) i plastične (koje ostaju po prestanku dejstva sile, pase nazivaju i trajne i zaostale).Deformacije nastaju zbog promene međusobnog položaja molekula od kojih je telo sastavljeno. Takoposmatrano, deformacija može biti: l 1. dilatacija je odnos je promene dužine Δl, u odnosu na prvobitnu l0. lo 2. klizanje je posledica pomeranja jednog sloja materijala u odnosu na drugi; meri se uglom klizanja γ Vrste naprezanjaRazličiti pravci i smerovi spoljašnjih sila izazivaju različitanaprezanja. Naprezanje realnog tela je složeno, ali kadajedno perovladava, možemo govoriti o osnovnim vrstama naprezana: - aksijalno naprezanje - smicanje - uvijanje i - savijanjeAksijalno naprezanjeIzazvano je dejstvom dve kolinearne sile suprotnog smerakoje deluju duž ose tela (aksijalne sile). Zavisno od smeradejstva sila, aksijalno naprezanje može biti zatezanje ipritisak.
3SmicanjeNastaje dejstvom paralelnih sila suprotnogsmera, koje deluju poprečno na osu tela(transverzalne sile)UvijanjeDejstvom sprega (momenta) u ravni normalnog preseka tela nastaje uvijanje.SavijanjeSavijanje izazivaju spregovi u ravni uzdužnog presekatela (momenti savijanja). Savijanje koje izazivaju silenije u pravom smislu osnovno naprezanje, jer se, poredsavijanja, javlja i smicanje zbog dejstva transverzalnihsila.
4 Zadaci otpornosti materijalaKada je potrebno nešto konstruisati telo (zakivak, ruka dizalice, nosač motora, most, stepenice)određenog oblika, razmišlja se i donosi odluka o: 1. dimenzijama tela 2. materijalu od koga će se telo praviti 3. opterećenjima (sile i momenti) koje će delovati na telo tokom upotrebeU vezi s tim, otpornost materijala rešava sledeće zadatke: 1. dimenzionisanje, odnosno određivanje veličine tela (npr. prečnik osovine) ako su poznata opterećenja koja deluju na telo i materijal od koga će se telo praviti; 2. određivanje materijala od koga će se telo napraviti, ako su poznate dimenzije tela i sile koje će na njega delovati tokom rada; poznajući svojstva materijala, usvaja se onaj koji će izdržati naprezanja koja mogu nastati tokom upotrebe tela koje pravimo; 3. nosivost je maksimalno opterećenje koje određujemo za telo od određenog materijala i definisanog oblika i dimenzija.Pored toga, često je potrebno odrediti vrstu i veličinu deformacija tela, njegovu krutost i stabilnost. Osnovne pretpostavke otpornosti materijalaKada bi se uzeli u obzira sva mehanička, fizička i hemijska dejstva i pojave koje nastaju pri naprezanjudeformabilnih tela, zadatke otpornosti materijala bilo bi nemoguće rešiti. Zato se uvode pretpostavkei uprošćenja koja omogućavaju da se dobiju dovoljno tačna rešenja za praktičnu primenu. Osnovnepretpostavke otpornosti materijala su: 1. Pretpostavka o malim deformacijama. Smatramo da su deformacije male u odnosu na veličinu tela. 2. Pretpostavka o solidifikaciji je pomenuta peta aksioma statike (deformabilno telo u ravnoteži ostaće u ravnoteži ako postane kruto) 3. Pretpostavka o ravnim presecima. Preseci tela koji su bili ravni pre dejstva sile, ostaće ravni i kada sile deluju; (za preseke daleko od mesta dejstva sile ovo je uglavnom ispunjeno, ali blizu dejstva sile, tj. bliže krajevima štapa može doći do pojave ispupčenja).
5Aksijalno naprezanje Opterećenje, napon i deformacija pri aksijalnom naprezanjuKod svih vrsta naprezanja razmatra se: - opterećenje (sile i/ili momenti) koje izaziva naprezanje - napon (intenzitet, pravac i smer) koji pri tome nastaje - deformacije - veza napona i deformacija (u zavisnosti od osobina materijala tela)OpterećenjeAksijalno naprezanje obično se posmatra na štapovima. Dve sile suprotnog smera koje deluju duž oseštapa izazivaju zatezanje ili pritisak (sabijanje).NaponAko je površina poprečnog preseka mala u odnosu na dužinu štapa, smatra se da je napon nepromenljivpo celoj površini preseka A, normalnog na osu štapa x. Kako je napon jednak:p F [ m,Np2ojaviPćae]se samo normalni napon: AOsnovna merna jedinica je paskal Pa=N/m2.Pošto je napon od 1Pa mali, češće se koristi:Napon ima isti smer kao sila, dakle kod pritiska je usmeren suprotno od zatezanja.DeformacijePri aksijalnom naprezanju se pojavljuju dve vrste deformacija: uzdužne i poprečne, odnosnoizduživanje (skraćivanje) i sažimanje (širenje).Izražavaju se u apsolutnom iznosu (mm) ili relativnom, koje se naziva uzdužna i poprečna dilatacija.
6Između uzdužnih i poprečnih deformacija eksperimentalno je utvrđena veza: ������������ = −������������μ je Poasonov broj, koji se kreće u granicama od 0 do 0,5. Za većinu metala μ=0,33. Za vezu uzdužnih ipoprečnih deformacija koristićemo formulu: ������ ������������ = − ������
7Veza napona i deformacije E Ako su deformacije elastične, vezu napona i deformacije opisuje Hukov zakon:gde je E broj koji zavisi od vrste materijala i naziva se modul elastičnosti (Pa), Za čelik iznosi 2x1011 Pa.Pomoću Hukovog zakona, možemo izračunati apsolutno izduženje (skraćenje):Kako je: σ=F/A i sledi: odnosno .Apsolutno izduženje (skraćenje) biće:Primer: Odrediti izduženje čeličnog štapa dužine l=1m, pravougaonog preseka bxd=10x20mm, koji jeizložen zatezanju silom od 150kN, kao i smanjenje dužine stranica b i d. Koliki je napon zatezanja?������������ = ������������ = ������������������������������������������ ∙ ������������ = ������������ ∙ ������������−������������ = ������, ������������������ ������������ ������ ∙ ������������������������ ������ ∙ ������, ������������������ ∙ ������, ������������������ ������������������ ������������ ������������ ������������ ������, ������������������������������ = − ������ ⇒ ������ = − ������ ∙ ������ ⇒ ������������ = −������ ������������ = −������������������������ ∙ ������������������������������������ = −������, ������������������������������ ������������ ������, ������������������ ������������ = −������ ������ = −������������������������ ∙ ������������������������������������ = −������, ������������������������ ������ ������������������������������������ ������ ������ = ������ = ������������ ∙ ������������������������������ = ������������ ������������������ (������������������)Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapovaDimenzionisanje podrazumeva određivanje dimenzija poprečnog preseka štapa (npr. prečnika štapakružnog preseka) kako u štapu ne bi došlo do neželjenog stanja (najčešće plastične deformacije ililoma). Pri tome se, osim intenziteta sile zatezanja ili pritiska, mora voditi računa i o vrsti materijala odkoga je štap napravljen. Naime, različiti materijali mogu da izdrže različite sile, pre nego što se plastičnodeformišu ili slome. Ispitivanje zatezanjem je najčešće primenjivani postupak ispitivanja materijala. Ispitivanje materijala zatezanjemZa ispitivanje se koristi posebno oblikovan i obrađen komad materijala (epruveta) i mašina kidalica. Silazatezanja se postepeno povećava i istovremeno meri izduženje epruvete. Ispitivanje se vrši do pojave
8loma. Rezultat ispitivanja je dijagram napon – dilatacija ili sila – izduženje,pomoću koga se određuju vrednosti napona koje će predstavljatikarakteristike ispitivanog materijala.Kod različitih materijala dijagram napon – dilatacijaima različit oblik. Za prikazivanje svihkarakterističnih tačaka na dijagramu koristi sedijagram dobijen ispitivanjem mekog čelika. α εemaxPomoću karakterističnih tačaka na dijagramu, određuju sevrednosti napona: - σP je granica proporcionalnosti i predstavlja vrednost napona do koga važi Hukov zakon. Do te vrednosti linija dijagrama je prava, a za njen nagib važi tgα = E (moduo elastičnosti). - σE je granica elastičnosti i predstavlja vrednost napona posle koga deformacije više nisu elastične, tako da se vertikalnom linijom može dobiti maksimalna vrednost dilatacije za elastične deformacije (εemax). - σT je granica tečenja i predstavlja napon pri kome dolazi do naglog porasta deformacija i pri malom povećanju napona. Predstavlja jednu od najvažnijih karakteristika materijala, jer je lako vidljiva i smatra se početkom značajnih plastičnih deformacija. Merodavna je za dimenzionisanje žilavih materijala. - σM je zatezna čvrstoća, odnosno najveći napon koji materijal izdržava pri zatezanju. Najvažnija karakteristika materijala, lako vidljiva pri ispitivanju svakog materijala. Merodavna je za dimenzionisanje krtih materijala, jer kod njih granicu tečenja nije moguće uočiti. - σS je tačka loma.
9Tabela vrednosti granice tečenja i zatezne čvrstoće nekih materijala: Materijal Granica Zatezna tečenja čvrstoćaDijamant (MPa)Bakar (MPa)Čelik, visoko poboljšana legura ASTM A514 70 2800Nerđajući čelik AISI 302 – hladno valjan 690 220Čelik za poboljšanje Č 1630 520 760Konstrukcioni čelik Č 0362 420 – 550 860Liveno gvožđe 4,5% C 250 750 – 900Volfram 130 400Ljudska kosa 200Borovo drvo (uzduž vlakana) 1510Beton 380Aluminijska legura 6063-T6 40 3 248 Postupak dimenzionisanja štapovaDa ne bi došlo do neželjene pojave (plastična deformacija, lom…) kod štapa, napon izazvan aksijalnimnaprezanjem ne sme biti veći od dozvoljenog. ������������(������) ≤ ������������Dozvoljeni napon se dobija tako što se merodavna karakteristika materijala podeli sa stepenomsigurnosti ν. Stepen sigurnosti zavisi od mesta primene dela koji se dimenzioniše i veći je za odgovornijedelove. Služi da „pokrije“ sve greške koje mogu nastati u postupku, projektovanja, konstruisanja,ispitivanja itd. Obično iznosi: ������ = ������ … ������Merodavna karakteristika materijala za žilave materijale je granica tečenja, a za krte zatezna čvrstoća: ������������ = ������������ ; ������������ = ������������ ������ ������Kako je: ������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ≤ ������������Sledi: ������ ������ ≤ ������������Dakle, površina poprečnog preseka mora biti manja od količnika sile i dozvoljenog napona.Za kružni presek štapa (A=πd2/4):
10Za kvadratni: (A=a2):Kada se dobiju rezultati, usvajaju se prve veće standardne vrednosti. Pri dimenzionisanju pritisnutihdelova, postupak je isti, s tim što je u najvećem broju slučajeva dozvoljeni napon nešto veći (dp=1,2dz).primer1: Dimenzionisati štap kružnog i kvadratnog preseka izložen sili zatezanja od 250kN, ako jedozvoljeni napon σd =40N/mm2.Kružni presek: ������ ������������������������������������������ = ������������, ������������������������������ ������ ≥ ������, ������������������√������������ = ������, ������������������√ ������ ������������ ������������������Usvaja se d=35mmKvadratni presek: ������ ������������������������������������������ ������ ≥ √������������ = = ������������������������ √ ������ ������������ ������������������Usvaja se a=25mm.premer 2: Dimenzionisati kružni štap od livenog gvožđa zategnut silom od 100kN, ako je stepensigurnosti S=2, tako da ne dođe do plastičnih deformacija.Prema tabeli, granica tečenja livenog gvožđa je 130N/mm2, što je merodavna karakteristika kada se nežele plastične deformacije. ������ ������ ������������������������������������������������ ≥ ������, ������������������√������������ = ������, ������������������√ ������������ = ������, ������������������ = ������������, ������������������������ ������ √ ������ ������������������ ������������������ ������Usvaja se d=50mm.primer 3: Dimenzionisati vertikalni betonski stup kvadratnog preseka koji treba da nosi teret od 40kN,ako je stepen sigurnosti S=3.Zatezna čvrstoća betona uzeta je iz tablice, a za pritisak je dozvoljeni napon uvećan za 20%. ������ ≥ ������ ������ ������������������������������������ = √������, ������������������ = = ������������������, ������������������������ √ ������, ������������������ √ ������, ������ ∙ ������ ������ ������ ������������������ ������Usvaja se a=185mm.
11 Primeri zadataka iz aksijalnog naprezanja1. Odrediti potrebne dimenzije poprečnog preseka štapova opterećenih kao na slici, ako je dozvoljeni napon pri zatezanju σdZ = 40MPa a pri pritiskivanju σdP =68MPa. Štap 1 je kružnog, a štap 2 kvadratnog poprečnog preseka (a i b); štap 1 je kvadratnog, a 2 kružnog poprečnog preseka (c i d). Ako je početna dužina štapa 1 l = 4 m, izračunati izduženje (skraćenje) štapa 1 Δl, kao i promenu dimenzije poprečnog preseka (Δd , odnosno Δa). Zadatak pod b je četvrti domaći zadatak za automehaničare (sila F=10xbroj u dnevniku).Uglovi: a skica: a b c d α[°] 30 45 60 45 β[°] 60 45 30 45 bc dRešenje primera a): xy 60 1. Određivanje sila u štapovima 1 i 2: F2 ∑ ������ = ������������������������������������° + ������������ = ������ ⟹ ������������ ∙ ������, ������ + ������������ = ������ ⟹ ������������ = −������������������ 30 F1 60 Pogrešno pretpostavljen smer sile – štap 2 je pritisnut. ∑ ������ = −������������������������������������° − ������������ = ������ ⟹ −������������ ∙ ������, ������������ + ������������ = ������ ⟹ ������������ = ������, ������������������ Štap 1 je zategnut. 2. DImenzionisanje štapova:Štap 1: ������ ≥ ������, ������������������√ ������ = ������, ������������������√������������������������������������������������������������������ = ������������, ������������������������; Usvaja se d=20mm ������������������
12Štap 2: ������ ≥ √������������������������ = ������������������������������ = ������, ������������������������; Usvaja se a=10mm √������������������������������������ 3. Deformacije štapa 1:Izduženje: ������������ ������������������������������ ∙ ������������ ������������������������������ ������, ������������ = = = ������, = ������������������������ ������������ ������ ������ ∙ (������������ ∙ ������������−������)������������������ ������ ∙ ������������������������ ������������ ∙ ������Poprečno širenje: ������ ������������ ������������ ������������ ������, ������������������������������������ = − ������ ⇒ ������ = − ������ ∙ ������ ⇒ ������������ = −������ ������������ = −������������������������ ∙ ������������������������������������������ = −������, ������������������������������������2. Odredi nosivost čeličnog užeta sastavljenog od 19 žica prečnika 2mm, ako je dozvoljeni napon σd=100MPa. Koliko će se izdužiti uže dužine 2m pri dejstvu takve sile? ������ ������������������ ������ ������ ∙ ������������������������������������ = ⟹ ������������������������ = ������������ ∙ ������������ = ������������������ ������������������ ∙ ������������ = ������������������������������ ������������������ ������ ������ ������������ ������ ������������ = ������������ = ������������������������������ ∙ ������������ = ������������−������������ = ������, ������������������������������������ ������������ ∙ ������������ ∙ ������ ∙ ������������������������ ������ ∙ ������������ ������ ������������−������������������ ������������ ������3. Odrediti intenzitet aksijalne sile pritiska koju može sa sigurnošću da nosi gvozdeni stub oblikacevi, čiji je prečnik otvora d=150mm, a spoljašnji D=180mm, ako je dozvoljeni napon napritisak σd=60MPa.Koliko je ukupno skraćenje cevi i dilatacija pri maksimalnom dozvoljenomopterećenju, ako je dužina cevi l=1,1m, a modul elastičnosti materijala E=1,3⋅ 1011Pa.4. Odrediti silu zatezanja koju može sa sigurnošću da nosi štap od čelika oblika cevi, čiji je otvord=140mm i debljina zida 10mm, ako je dozvoljeni napon σd=80MPa. Koliko je izduženje štapai dilatacija, ako je njegova dužina l=1,5m.5. Čelična šipka prečnika 30mm i dužine l=1,3m pri zatezanju dobila je izduženje Δl=0,003m.Odrediti dilataciju šipke i veličinu napona u poprečnom preseku štapa.6. Odredi prečnik čelične cilindrične podloge visineh=0,5m, pritisnute silom od F=60kN, ako je Fdozvoljeni napon 40MPa. Odredi ukupnedeformacije u uzdužnom i poprečnom pravcu. h
13Smicanje Оптерећење, напон и деформација при смицањуOpterećenjeSmicanje izazivaju poprečne – transverzalne sile, odnosno dve paralelnesile suprotnog smera. Napon Ako je površina poprečnog preseka mala, smatra se da je napon nepromenljiv po celoj površini preseka A. Pošto sila deluje samo u ravni preseka, javlja se samo tangentni napon: ������ ������ = ������ Deformacije Pri smicanju dolazi do klizanja slojeva tela u smeru dejstva sile. Deformacija se naziva ugao klizanja (γ – gama).Veza napona i deformacijeZa smicanje važi nešto izmenjen oblik Hukovog zakona: ������ = ������������G je moduo klizanja, koji se određuje po formuli: G=E/2(1+μ), μ je Poasonov broj, tako da je za većinumetala, G=0,375E, dakle za čelik oko 0,75x1011Pa. Primeri smicanja iz prakseNajčešći praktični zadaci vezani za smicanje su: 1. određivanje potrebne sile za odsecanje, probijanje ili prosecanja lima 2. dimenzionisanje ili provera napona smicanja u mašinskim elementima za spajanje (klin, zakovica, zavrtanj, zavareni spoj) 3. U ova slučaja, prvo se mora odrediti površina po kojoj se vrši smicanja: - Kod zakovica i poprečno opterećenih zavrtanja površina smicanja je krug, pa je A=πd2/4.
14- Ako ima više presečnih linija, površina se umnožava A=2πd2/4.- Ako je veza ostvarena sa više (n) zakovica ili zavrtanja, površina smicanja dobija se množenjem sa brojem zakovica (zavrtanja) A=nA1. - Pri odsecanju površina će biti pravougaonik, čija je jedna strana debljina lima, a druga dužina reza A=δL. - Pri probijanju i prosecanju, površina smicanja je omotač valjka A= πdδ. - Sličan slučaj je kod klina i glave zavrtnja ili zakovice A=dπh Određivanje potrebne sile za odsecanjePotrebna sila zavisi od čvrstoće materijala. Materijal je manje otporan na smicanje nego na zatezanje,pa je čvrstoća na smicanje: ������������ = ������, ������������������.Kako je F=Aτ, minimalna sila za odsecanje biće: ������������������������ = ������������������
15primer: Kolika je sila potrebna da se probije otvor prečnika d=50mm u limu od čelika Č.0362 debljineδ=20mm?Prema tabeli zatezna čvrstoća datog čelika je 400N/mm2. Čvrstoća na smicanje τM biće0,8x400=320N/mm2. ������ ������������������������ = ������ = ������������������������������ = ������ ∙ ������������������������ ∙ ������������������������ ∙ ������������������ ������������������ = ������ ������������ Dimenzionisanje delova napregnutih na smicanjeKako i kod zatezanja dimenzionisanje se vrši prema dozvoljenom naponu: ������ ≤ ������������ i zasniva se naodređivanju najmanje moguće površine smicana. Kako je A=F/τ, osnovni obrazac za dimenzionisanjebiće: ������ ������ ≥ ������������Dozvoljeni napon smicanja je manji od dozvoljenog napona zatezanja: ������������ = ������, ������ ������������ ������σT – granica tečenja materijalaS – stepen sigurnostiprimer 1: Dva poprečnom silom F=50kN opterećena lima od čelika 0362 moraju se spojiti san=8 zakovica. Odrediti prečnik zakovica, ako je stepen sigurnosti S=2,5. ������ ������������������������ ������ ������������ ������������ ≥ ������������ ⟹ ������ ≥ ������������ ⟹ ������ ≥ √������������������������Prema tabeli, granica tečenja čelika Č.0362 je 250N/mm2, pa je dozvoljeni napon smicanja:������������ = ������, ������ ∙ ������������������ = ������������������ ������������������������. Sledi: ������ ≥ ������ ∙ ������������������������������������ ⟹ ������ ≥ ������, ������������������ √������������ ∙ ������������������ ������ ������������������Usvaja se prečnik zakovice d=8mm.primer 2: Odredi visinu glave klina prečnika d=50mm, ako je sila F=100kN.Dozvoljeni naon smicanja τd=60MPa. ������ ������ ⟹ ������ ≥ ������ ≥ ������������������������������������������ ������ ≥ ������������,������ ≥ ������������������ ⟹ ������ ⟹ ������������������������ ������������ ������������ ������������������������ ������ ������ ∙ ������������������������ ∙ ������������ ������������������Usvaja se h=12mm.
16 Primeri zadataka iz smicanja1. Da li ekser od čelika 1630 prečnika 2mm, ukucan u zid, može držati težine 200N, ako je stepen sigurnosti S=2?2. Ploča težine 1kN pričvršćena je za vertikalan zid sa četiri zavrtnja. Odrediti prečnik zavrtnja ako je dozvoljeni napon materijala vijka τd=20MPa.3. Kolika dužina lima, debljine 10mm, može biti isečena hidrauličkim makazama na koje deluje sila od 5MN, ako je τM=70MPa?4. Sa koliko zakivaka prečnika d=10mm je potrebno pričvrstiti spoj na slici ako je F=200kN i τd=50MPa?5. Dva lima, opterećena silom , kao na slici povezana su sa tri jednake zakovice. Dimenzionisati zakovice na smicanje, ako je dozvoljeni napon smicanja za materijala zakovica τd=10MPa.6. Uz pomoć prese, iz lima debljine 2mm iseca se krug prečnika 40mm. Odrediti potrebnu silu na presi ako je čvrstoća na smicanje τM=300MPa.
17Uvijanje Opterećenje, napon i deformacija kod uvijanjaOpterećenjeUvijanje izaziva jedan ili više spregovi sila u ravni normalnoj na ravan poprečnog preseka tela.Momenti tih spregova nazivaju se i obrtni momenti, pošto teže da izazovu obrtanje tela. Uvijanjećemo objasniti na primeru štapova kružnog preseka.Slično kao kod momenta savijanja, može senacrtati dijagram momenata uvijanja nosača.Pozitivan smer momenata je smer suprotansmeru kazaljke na satu, ako se gleda u pravcuose, prema telu. Primer: Vratilo dobija pogon M1 = 5kNm, a prosleđuje, na jednu stranu M2 = 2kNm, a na drugu M3 = 3kNm. Nacrtati dijagram momenta uvijanja vratila.
18NaponPošto je opterećenje isključivo u ravni poprečnogpreseka, kod uvijanja će se javiti isključivo poprečni– tangentni napon. Za razliku od smicanja, naponnije jednak u svakoj tački preseka, već raste odcentra (gde je jednak nuli) do obima (gde jemaksimalan).Napon na rastojanju ρ od centra, određuje se poformuli: ������ = ������������ ������ ������������gde je Mu moment uvijanja u posmatranom preseku, a IO polarnimoment inercije (za krug ������������ = ������3���2���4).Najveći napon uvijanja je za ρ = r. Kako je otporni moment ������������ = ������������ (za krug ������������ = ������1���6���3), maksimalni ������tangencijalni napon uvijanja biće: ������������������������ = ������������ ������ = ������������ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������DeformacijeDeformacija štapa je definisanja uglom klizanja (γ –gama), odnosno uglom uvijanja ������������ ������ = ������(Dužina luka: ������′������′′ = ������������ = ������������).Deformacija uvijanjem često se izražava po jedinicidužine štapa [°/m], odnosno ������/������.Za uvijanje važi Hukov zakon kao za smicanje: ������ = ������������G je moduo klizanja, za čelik oko 0,75x1011Pa.Iz izraza za napon i ugao uvijanja i Hukovog zakona, dobija se obrazac za izračunavanje ugla uvijanja: ������[°] = ������������������° ������������ ∙ ������ ������ ������������ ∙ ������
19Dimenzionisanje vratilaNajznačajniji mašinski elementinapregnuti na uvijanje su vratila.Vratila se dimenzionišu:1. prema dozvoljenom naponu uvijanja i2. prema dozvoljenoj deformaciji (relativnom uglu uvijanja).Dimenzionisanje vratila premadozvoljenom naponu������������������������ = ������������ ≤ ������������ ������������Kako je ������������ = ������1���6���3, dobija se obrazac zaodređivanje prečnika vratila:������ ≥ ������, ������������������ ���√��� ������������������������Usvaja se prva veća standardna vrednost prečnika.Dozvoljeni napon uvijanja dobija deljenjem čvrstoće materijala na uvijanje, koja iznosi oko 60%zatezne čvrstoće, sa stepenom sigurnosti: ������������ = ������, ������������������ ������Dobija se izraz za određivanje prečnika vratila: ������ ≥ ������, ������������������ ���√��� ���������, ���������������������������������(zatezne čvrstoće nekih materijala nalaze se u tabeli na strani 9)Dimenzionisanje vratila prema dozvoljenoj deformacijiZa maksimalnu dozvoljenu deformaciju uzima se relativni ugao uvijanja od 1/4 [°/m]. Iz obrasca zaugao ������, a za modul klizanja čelika od G=0,75x1011Pa, dobija se obrazac za određivanje prečnikavratila: ������[������������] ≥ ������, ���������������������√��� ������������[������������]Usvaja se prva veća standardna vrednost.
20 Primeri zadataka iz uvijanja 1. Odredi najveći napon i ugao uvijanja čeličnog vratila prečnika d, dužine L, u preseku koji je opterećen momentom uvijanja Mu. d [mm] 50 100 80 75 120 L [m] 0,4 0,6 0,5 0,8 1 Mu [Nm] 200 400 800 600 1000 2. Dimenzionisati vratilo dužine 0,6m, prema dozvoljenom naponu i uglu uvijanja, ako je dat dozvoljeni napon τd i moment uvijanja Mu. τd [MPa] 25 30 35 40 45 Mu [Nm] 150 250 350 400 450 3. Odredi prečnik vratila od čelika, opterećenog momentom uvijanja od 500Nm, od materijala zadatog u tabeli, ako je stepen sigurnosti S materijal: ASTM A514 AISI 302 Č.1630 Č.0362 gvožđe 4,5%C S 3 2,5 3,5 2 2,8Rešenja primera iz prve kolone: 1. ������������������������ = ������������ = ������������ = ������������∙������������������������������������������������������ = ������, ������������ ������ ������������ ������∙������������������������������������ ������������������ ������������������ ������������ ������[°] = ������������������° ������������ ∙ ������ = ������[°] = ������������������° ������������������������������ ∙ ������, ������������ = ������, ������������������������° ������ ������������ ∙ ������ ������ ������������ ∙ ������������������������ ������ ∙ ������, ������������������������������ ∙ ������, ������ ������������ ������������ 2. ������ ≥ ������, ������������������ √������ ������������ ≥ ������, ������������������ ������ ������������������������������������������������������ ≥ ������������, ������������������������ ������������ √ ������������������������������������ ������[������������] ≥ ������, ���������������������√��� ������������[������������] ≥ ������, ���������������������√��� ������������������ ≥ ������������, ������������������������ Usvaja se veća vrednost: d = 35 mm 3. Vrednost zatezne čvrstoće datog materijala je σM =760 N/mm2.������ ≥ ������, ������������������ ������ ������������������ ≥ ������, ������������������ ������ ������������������������������������������������������ ∙ ������ ≥ ������������, ������������������������ √ ������, ������������������ √ ������ ������������������ ������, ������ ∙ ������������������ Usvaja se d = 15 mm
21 Peti domaći zadatak za automehaničareZa momente uvijanja: M2 = (2BP+BI) x 100Nm, M3 = (BP+BI) x 100Nm, M4 = BI x100Nm: 1. odrediti M1 2. Nacrtati dijagram momenta uvijanja 3. Dimenzionisati stepenasto vratilo (odrediti prečnike u sva tri preseka) ako je dozvoljeni napon uvijanja τd = 20 MPa
22Savijanje Врсте савијањаСавијање може бити чисто и савијање силама.Чисто савијање изазивају спрегови (моменти) у равни осног пресека тела, односно моментисавијања, а савијање силама је изазвано попречним (трансверзалним) силама, иликомбинованим дејством трансверзалних сила и момената савијања. Савијање се, дакле, јавља усвим пресецима носача у којима момент савијања није једнак нули.Примери чистог савијања 1. Када спрегови момената М и -М делују на крајевима греде, у свим пресецима постоји само момент савијања.
232. део греде између препуста напрегнут је само на савијање 3. Конзола оптерећена само моментом изазива чисто савијање, јер је једина реакција момент укљештења.Примери савијања silamaKod savijanja silama, moment savijanja jerazličito raspoređen duž nosača, ali se u svakom preseku može odrediti pomoću dijagrama. Naravno,najvažnije je mesto najvećeg opterećenja, odnosno „opasanpresek“ u kome je moment savijanja najveći.Pored savijanja, javlja se i naprezanje na smicanje odtransverzalnih sila. Međutim, za većinu primera iz prakse,smicanje (i aksijalno naprezanje, ako postoji) ima značajnomanji uticaj nego savijanje, pa se može zanemariti, odnosno„pokriti“ stepenom sigurnosti.
24Напон и деформација при савијањуPovršina tela koja nijeopterećena, a time nideformisana naziva seneutralna površina.Zavisno od smeramomenta, vlakna iznadneutralne površine supritisnuta, a ispodzategnuta, ili obrnuto.Presek neutralne površi iravni savijanja je neutralna(elastična) linija. Na slici je to osa z. Osa x se naziva neutralna osa. Neutralna osa „odvaja“ delovepreseka napregnuta na zatezanje i pritisak. Neutralna linija prolazi kroz težište preseka. U većinislučajeva nalazi se na sredini debljine nosača.Naprezanje, a time i deformacija rastu što se više udaljavamo od neutralne površine. Očigledno je danapon nije isti u svim tačkama preseka i da je najveći na gornjoj i donjoj površini nosača.
25Kako se radi o zatezanju i pritisku, usled savijanja nastaju normalni naponi σ. Napon raste što se višeudaljavamo od neutralne ose x, odnosno težišta preseka. Tačna vrednost napona na rastojanju y odneutralne ose određuje se po formuli: ������ = ������������ ������ ������������Ms – moment savijanja u prikazanom presekuIx – aksijalni moment inercije za neutralnu osuy – rastojanje od neutralne oseMesto najvećeg naprezanja je u najudaljenijimtačkama od neutralne ose, odnosno na površininosača, gde vlada maksimalni napon:������������������������ = ������������ ������������������������ = ������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������ = ������������ ������������Wx – otporni moment za neutralnu osuprimer: Odredi maksimalni napon u pravougaonom preseku grede, dimenzija 100x300mm, izloženommomentu savijanja Ms = 60KNm; odredi vrednost napona savijanja na 100mm ispod površine grede.Koliki bi bio maksimalni napon ako je nosač napravljen od I34 (U30) profila?Aksijalni otporni moment: ������������ = ������ℎ2 = 100∙3002������������3 = 1500000������������3 6 6������������������������ = ������������ = 60000000������������������ = ������ ������������ 1500000������������3 40 ������������2
26Aksijalni moment inercije pravougaonika: ������������ = ������ℎ3 = 100∙3003������������4 = 225000000������������4 ; rastojanje od 12 12težišta y = 150 – 100 = 50 mm.������ = ������������ ������ = 60000000������������������ 50������������ = 13,33 ������ ������������ 225000000������������4 ������������2Otporni momenti I i U profila (prema tablici u prilogu): WxI34 = 923000 mm3; WxUI40 = 535000 mm3������������������������ = ������������ = 60000000������������������ = ������ ������������ 923000������������3 65 ������������2������������������������ = ������������ = 60000000������������������ = 112,15 ������ ������������ 535000������������3 ������������2 Proračun nosača napregnutih na savijanjeNajvažniji zadaci pri proračunu nosača napregnutih na savijanje su: 1. Određivane nosivosti, odnosno opterećenja (koncentrisane, ili kontinualne sile i momenata) koji mogu delovati na nosač datog oblika i dimenzija, od poznatog materijala; 2. Određivanje materijala od koga će se nosač praviti i 3. dimenzionisanje, odnosno određivanje dimenzija poprečnog preseka nosača za dato opterečenje Određivanje nosivostiOdrediti nosivost praktično znači odrediti moment savijanja u opasnom preseku: ������������ = ������������������������ , azatim silu koja je izazvala taj moment savijanja. Dozvoljeni napon ������������ dobija se deljenjemmerodavne karakteristike materijala (granica tečenja, zatezna čvrstoća itd) sa stepenomsigurnosti: ������������ = ������������. ������primer: odredi nosivost konzole dužine 1m opterećenesilom na kraju, ako je poprečni presek krug prečnika100mm, a dozvoljeni napon ������������ = 100 ������������������2. Kolika će bitinosivost, za isto opterećenje konzole od 2 I10 profila?Opasan presek je mesto uklještenja, gde deluje momentuklještenja������������ = ������������ = ������ ∙ 1������������������ = ������������ ������������ = ������������ ������ ������3; ������ ∙ 1000������������ = 100 ������ ������ 1003 ������������3; ������ = 1963,5������ 16 ������������2 16Za I10: Wx = 34200mm3; za dvostruki Wx2 = 68400 mm3.������ ∙ 1000������������ = 100 ������ ∙ 68400������������3; ������ = 6840������ ������������2
27 Izbor materijalaMaterijal se bira tako što se odredi najmanja moguća merodavna karakteristika (obično granicatečenja) u zavisnosti od stepena sigurnosti, opterećenja, oblika i dimenzija nosača: ������������ = ������������������ = ������ ������������ . ������������Zatim se iz tablica izabere materijal sa većom granicom tečenja.primer: Odrediti materijal proste grede sa slike, ako jestepen sigurnosti S = 2, a presek grede:a) kvadrat stranice 100mmb) polukrug prečnika 150mmc) dvostruki U12 profilKako je grede simetrično opterećena, otpori oslonaca su FA = FB = 20kN.Opasan presek je u tački C, pa je moment u toj tački ������������������������������ = 20������������ ∙ 1������ = 20������������������a) ������������ = ������3 = 1003������������3 = 166667������������3; ������������ = ������ ������������ = 2 20000000������������������ ; 6 6 ������������ 166667������������3 ������������ = 240 ������ ; usvaja se prvi čelik iz tablice koji zadovoljava – Č.0545 ������������2 ������������ 2 208000507080���0������������������3���������;b) ������������ = 0,191������3 = 0,191 ∙ 753������������3 = 80578������������3; ������������ = ������ ������������ = ������������ = 497 ������ ; usvaja se Č.4732 ������������2 ������ ������������ 20000000������������������c) ������������ = 2 ∙ 54700������������3 = 109400������������3; ������������ = = 2 109400������������3 ; ������������ ������������ = 366 ������ ; usvaja se Č.1530. ������������2 Dimenzionisanje nosača opterećenih na savijanjeDimenzionisanje nosača podrazumeva određivanje dimenzija poznatog poprečnogpreseka (krug, kvadrat, I profil itd). Postupak se sastoji u sledećem:1. Ako nije zadat, određuje se dozvoljeni napon savijanja: ������������ = ������������. ������2. Određuje se maksimalni moment savijanja (Msmax), odnosno moment u opasnom preseku, najčešće pomoću dijagrama savijanja.3. Minimalni dozvoljeni aksijalni otporni moment za neutralnu osu mora biti: ������������������������������ = ;������������������������������ ako se radi o geometrijskom obliku, iz obrasca za otporni moment, ������������ određuje se minimalna vrednost dimenzije preseka (prečnik, stranica kvadrata itd) Na primer, za kružni presek: ������������3 ≥ ������������������������������ 16 ������������ ������ ≥ ������, ���������������√��� ������������������������������������������ Slično, za kvadratni presek: ������������3 ≥ ������������������������������ 6 ������������ ������ ≥ ������, ������������ √ ;������ ������������������������������ ������������
28 4. usvaja se prva veća standardna vrednost dimenzija standardnog oblika ili profila.primer: dimenzionisati prikazanu gredu, ako je:a) kružnog presekab) pravougaonog preseka h=2bc) I profilad) U profilaGreda je od Č.0645, a stepen sigurnosti S=2Dozvoljeni napon je: ������������ 320 ������ ������ ������ ������������2 ������������2 ������������ = = = 160 2Kako je opterećenje simetrično, to će otporioslonaca biti jednaki, po 10kNm, a mestomaksimalnog momenta na sredini grede, utački C . Maksimalni moment se možeizračunati kao zbir momenata svih sila levo od tačke C: ������������������������������ = 10������������ ∙ 1������ − 10������������ ∙ 0,5������ = 5������������������a) ������ ≥ 1,72 √3 ������������������������������ ≥ 1,72 3√500106000���0���������������������2������������ ≥ 51,18������������; usvaja se d = 60mm ������������b) za pravougaonik h=2b: ������������ = ������ℎ3 = ������(2������)3 = 8������3 = 2������3 12 12 12 3 ������������ ≥ ������������������������������ ⟹ 2������3 ≥ ������������������������������ ⟹ ������ ≥ 3√3������������������������������ ⟹ ������ ≥ 33 ∙ 5000000������������������ ������������ 3 ������������ 2������������ √ 2 ∙ 160 ������ ������������2������ ≥ 16,75������������; usvaja se b=20mm; h=40mm ������������������������������ 5000000������������������ ������������ 160������������������2I10c) ������������ ≥ ≥ ≥ 31250������������3; usvaja se profild) Za ������������ ≥ 31250������������3 usvaja se U10.
29 Primeri zadataka iz savijanja varijanta A=1 varijanta A=2 varijanta A=31. Ako je dozvoljeni napon savijanja ������������ = 100 ������ , dimenzionisati gredu (konzolu) ako je: ������������2 a. kružnog preseka b. presek čelični I profil c. presek je dvostruki U profil2. U sva tri slučaja, odrediti napon u tački B.3. Za stepen sigurnosti S=2, odrediti od kog bi materijala greda mogla da se napravi, tako da bude polukružnog preseka, prečnika d=150mm B a[m] b[m] c[m] d[m] F1[kN] F2[kN] M[kNm] 0. 2 1 3 1 4 2 2 1. 3 1 2 2 3 2 1 2. 4 2 1 1 2 5 2 3. 1 2 3 2 2 3 4 4. 2 2 2 1 5 1 1 5. 5 1 1 2 1 1 5 6. 3 1 4 1 2 3 4 7. 3 3 3 2 6 2 1 8. 2 5 3 1 4 4 1 9. 1 2 3 2 2 1 2 Zadatak je šesti domaći zadatak za automehaničare – broj zadatka AB!
30Prilog: Mehaničke karakteristike nekihčelika Oznaka STATIČKE KARAKTERISTIKE MATERIJALA materijala Zatezna čvrstoća, Rm Napon tečenja, Re Č.0270 Č.0370 N/mm2 N/mm2 Č.0460 Č.0545 d=16mm 16…40 40…100 Č.0645Konstrukcioni Č.0745 340…420 210 200 190 čelik Č.1330 370…430 240 230 220 Č.1530 Č.1730 420…500 260 250 240 Č.3130 Č.4130 500…600 300 290 280 Č.4732 Č.5431 600…700 340 330 320 Č.1120 700…850 370 360 350 Č.1220 Č.4320 d=16mm 16…40 40…100 Č.4721 Č.5421 550…700 500…630 - 360 300 -Poboljšani 710…860 670…820 630…780 490 420 380 čelik 850…1000 800…950 750…900 580 500 460 900…1100 800…950 700…850 650 550 450 900…1100 800…950 700…850 700 600 470 1100…1300 1000…1200 900…1100 900 780 650 1200…1400 1100…1300 1000…1200 1000 900 800Cementirani d=11mm d=30mm d=63mm d=11mm d=30mm d=63mm čelik 650…800 500…650 400 300 750…900 600…800 650…950 450 360 450 900…1200 800…1100 1000…1300 650 600 700 1150…1450 1100…1400 1100…1350 850 800 700 1250…1500 1200…1450 850 800Čelik Modul elastičnosti E (N/mm)2 (2,1…2,2)·105
31Prilog: tablice I i U profila
Search
Read the Text Version
- 1 - 33
Pages: