E-book สื่อการสอน เรื่อง เซต(Set)

เรอื ง เซต(Set) นางสาววรางคณา เหมโส คณะครุ ศาสตร์ สาขาภาษาอั งกฤษ มหาวิ ทยาลั ยราชภั ฏอุ ดรธานี

เซต (Set) เซตคอื อะไร ? เซต คอื คำท่ใี ช้เรียกกลุม่ ของสงิ่ ต่าง ๆ ทำไมตอ้ งเรียนเซต เซตมีประโยชนใ์ นเร่ืองของการจำแนกสงิ่ ต่าง ๆ ออกเป็นกลุ่ม ๆ อีกทง้ั ยงั แทรกอยู่ในเนื้อหาบทอ่นื ๆ ของคณิตศาสตร์ เราจึงจำเปน็ ตอ้ งทำความเข้าใจเกี่ยวกับเซต เพ่ือท่จี ะเรยี นเนื้อหาบทอน่ื ๆ ไดง้ า่ ยขึน้ ความรู้เบ้อื งตน้ เก่ียวกับเซต เซต คอื คำท่ใี ช้เรยี กกลุ่มของส่ิงตา่ ง ๆ เช่น เซตของสระในภาษาอังกฤษ คอื กลุ่มของสระใน ภาษาอังกฤษ a, e, i, o, u เปน็ ต้น สมาชิกของเซต คือ ส่งิ ท่ีอยใู่ นเซต เชน่ เซตของสระในภาษาองั กฤษ สมาชกิ ของเซต คือ a, e, i, o, u การเขยี นเซต การเขียนเซตจะเขียนได้ 2 วิธี 1.) เขียนแบบแจกแจงสมาชิก คือ การเขยี นสมาชิกไวใ้ นวงเล็บปีกกา “{ }”แล้วคัน่ สมาชกิ แต่ละตวั ด้วย “,” เช่น ให้ A แทนเซตของจำนวนนับทนี่ อ้ ยกว่า 10 ดงั น้นั A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2.) เขียนแบบบอกเงอ่ื นไข คือ การกำหนดตัวแปรขน้ึ มาแลว้ ใสเ่ งอ่ื นไขให้ตัวแปรนน้ั เช่น A = {x|x ∈ N และ x < 10} จากขอ้ ความน้ี แปลได้ว่า A เท่ากับ x โดยที่ x เป็นสมาชกิ ของจำนวนนับ และ x นอ้ ยกว่า 10 ** “|” แทนคำวา่ โดยที่ หรอื อาจจะใช้ “:” แทนคำวา่ โดยทกี่ ็ได้

ประเภทของเซต 1.) เซตว่าง (Empty set) คือ เซตท่มี ีจำนวนสมาชิกเป็น 0 โดยจะใชส้ ัญลกั ษณ์ Ø หรือ { } แทน เซตวา่ ง เช่น ให้ A แทนเซตของจำนวนเดอื นท่ีมี 32 วนั เราจะเหน็ วา่ ไม่มีเดือนไหนที่มี 32 วัน ดังนัน้ A = Ø หรอื A = { } 2.) เซตจำกดั (Finite set) คอื เซตท่สี ามารถระบุจำนวนสมาชิกได้ เชน่ เซตของของจำนวนนบั ที่น้อยกวา่ 10 สามารถเขยี นไดด้ ังน้ี {1,2,3,4,5,6,7,8,9} จะเหน็ วา่ มีจำนวน สมาชิกเทา่ กับ 9 **เซตว่าง เป็นเซตจำกดั เน่ืองจากมีจำนวนสมาชิกเทา่ กับ 0** 3.) เซตอนันต์ (infinite set) คอื เซตที่ไม่สามารถระบจุ ำนวนสมาชกิ ได้ เชน่ - เซตของจำนวนนบั {1,2,3,…} เป็นเซตอนันต์ เพราะเราไม่สามารถบอกไดว้ ่ามีจำนวนสมาชิกเทา่ ไหร่ - เซตของจำนวนเต็ม {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} เป็นเซตอนนั ต์ ** {1,2,3,…} หมายถึง มีจำนวนอนื่ ตอ่ ไปอีกเรอ่ื ยๆ ตัวอย่าง 1.) A = {1,2,4,5,8} จากรปู จะไดว้ า่ >> สมาชกิ ของ A ประกอบด้วย 1,2,4,5,8 >> จำนวนสมาชิกของ A เทา่ กบั 5 >> A เป็นเซตจำกดั

2.) A = {1,3,5} B = {2,4,6} จากรปู สามารถบอกไดว้ ่า >> 1,3,5 เป็นสมาชกิ ของ A แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชิกของ B >> 2,4,6 เป็นสมาชิกของ B แต่ไม่เป็นสมาชกิ ของ A >> 0,7,8,9 ไมเ่ ป็นสมาชิก ของ A และไม่เป็นสมาชิกของ B >> A และ B เปน็ เซตจำกัด >> 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 เปน็ สมาชกิ ของ U **โดยท่ี U คือเอกภพสัมพัทธ์ 3.) ให้ B เปน็ เซตของจำนวนเตม็ คู่ท่ีมากกวา่ 0 จะได้วา่ B = {2,4,6,8,…} จะเหน็ ว่าเราไม่สามารถระบจุ ำนวนสมาชิกของเซต B ได้ >>ดังนั้น B เป็นเซตอนันต์

ความสำคัญของสัญลกั ษณพ์ ้ืนฐานเกี่ยวกบั เซต เราจะใช้สญั ลกั ษณเ์ กย่ี วกับเซตแทนข้อความหลายๆข้อความเพ่ือความเขา้ ใจงา่ ยทำให้ข้อความดูส้ันลง ในเนอื้ หาคณิตศาสตรส์ ว่ นใหญ่จะใชส้ ญั ลกั ษณเ์ กย่ี วกับเซตค่อนข้างเยอะ เราจึงจำเปน็ ที่จะต้องรู้จักสัญลกั ษณ์ ตา่ ง ๆ เพื่อทจี่ ะทำความเข้าใจเน้ือหาตา่ ง ๆ ไดง้ ่ายขึ้น สัญลักษณพ์ ้ืนฐานเกยี่ วกับเซต 1.) ∈,∉ ∈ แทน เป็นสมาชกิ ของเซต ∉ แทน ไม่เป็นสมาชกิ ของเซต เช่น - a เปน็ สมาชิกของเซต A จะเขยี นแทนด้วย a ∈ A - a ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต A จะเขียนแทนด้วย a ∉ A 2.) =, ≠ = แทน การเทา่ กัน ≠ แทน การไม่เทา่ กนั การทีเ่ ซตแต่ละเซตจะเท่ากันนั้น สมาชกิ ทุกตวั ในเซตแตล่ ะเซตต้องเหมอื นกัน เชน่ ให้ A = {a,b,c} , B = {c,a,b} และ C = {a,c,f} จะเหน็ กวา่ A และ B มสี มาชิกเหมอื นกนั ทุกตวั ดงั นน้ั เซต A เทา่ กับ เซต B เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B แต่ สมาชิกในเซตC มสี มาชกิ บางตัวท่ไี ม่เหมอื นกับเซต A และ B ดงั นั้น A ≠ C และ B ≠ C

3.) Ø หรอื { } Ø หรือ { } แทน การเปน็ เซตว่าง เซตวา่ ง คอื เซตท่ไี มม่ ีสมาชิก เชน่ A = {x | x เปน็ จำนวนนบั และ x<0 } จากทเ่ี ราร้กู ันอยแู่ ลว้ วา่ จำนวนนบั คอื ตวั เลขต้งั แต่ 1,2,3… จะเห็นวา่ ไมม่ จี ำนวนนบั ทน่ี อ้ ยกว่า 0 ดงั นั้น A จึงไม่มสี มาชกิ จะได้ว่า A = Ø หรอื จะเขียนวา่ A = { } ก็ได้ 4.) ⊂ ⊂ แทน เปน็ สบั เซตของเซต เชน่ ให้ A = {a,b} B = {a,b,c,d} จะเห็นวา่ สมาชกิ ทกุ ตัวใน A เป็นสมาชิกใน B ดว้ ย ดังนนั้ A เปน็ สบั เซตของ B เขียนแทนด้วย A ⊂ B 5.) ∪ ∪ (ยเู นยี น) คอื การรวมสมาชิกของเซตหลายเซตมารวมกนั 6.) ∩ ∩ (อนิ เตอร์เซกชัน) คอื สมาชิกท่ีมรี ่วมกนั ระหว่างเซต สญั ลักษณ์อน่ื ๆท่ีอาจจะเกยี่ วขอ้ ง สัญลกั ษณท์ ่เี ราควรรู้ไว้ เพราะเราจะต้องเจอสัญลักษณเ์ หล่านีใ้ นการเรยี นคณติ ศาสตร์ R แทน เซตของจำนวนจริง Iº แทน จำนวนเตม็ ศนู ย์ I¯แทน เซตของจำนวนเต็มลบ N แทน เซตของจำนวนนับ

ตัวอยา่ ง 1.) ให้ A = { x| x เปน็ จำนวนนับ และ 1<x<4} และ B = {2,3} จากโจทย์ จะไดว้ ่า 2 ∈ A และ 3 ∈ A เพราะ เงือ่ นไขบอกว่า x ตอ้ งเป็นจำนวนนับทม่ี ากกว่า 1 และนอ้ ยกวา่ 4 ดงั นั้น คา่ x ทเ่ี ป็นไปได้คือ 2 และ 3 เทา่ น้ัน และจากท่ีเรารวู้ ่า สมาชกิ ของ A ประกอบดว้ ย 2 และ 3 เราจะสังเกตเหน็ วา่ สมาชิกทกุ ตัวของ A เหมือนกับสมาชกิ ทั้งหมดใน B ดังนัน้ เราสามารถสรุปไดว้ า่ A = B 2.) ให้ C = {x,x,x,y} และ D = {x,y} จากโจทย์ เราจะได้ว่า 1. x ∈ C , x ∈ D , y ∈ C และ y ∈ D 2. C = D เพราะจะเหน็ ว่า {x,x,x,y} มสี มาชกิ ซ้ำกัน โดยปกตแิ ล้ว ถ้ามีสมาชกิ ในเซตซำ้ กนั เราจะ นยิ มเขยี นเพียงตัวเดียว ดงั นั้น {x,x,x,y} สามารถเขียนได้อีกแบบ คือ {x,y} 3.) กำหนดให้ A = {5,6,7} B = { x | x เปน็ จำนวนเตม็ ที่สอดคล้องกับสมการ (x-5)(x-6)(x-7) = 0} C = { x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 4< x < 8} D = { x | x เปน็ จำนวนเต็มค่ที นี่ ้อยกว่า 9 } พจิ ารณาข้อความวา่ สมาชิกแต่ละเซตมีอะไรบา้ ง เซตใดเท่ากันและเซตไหนไม่เทา่ กนั วิธีทำ หาสมาชกิ ของเซต B, C และ D พจิ ารณา B ; x เป็นจำนวนเตม็ ท่สี อดคลอ้ งกับสมการ (x-5)(x-6)(x-7) = 0 จะได้ว่า x = 5,6,7 ดังนน้ั 5 ∈ B , 6 ∈ B และ 7 ∈ B เขยี นเซต B แบบแจกแจงสมาชกิ จะได้ B = {5,6,7} พิจารณา C ; x เป็นจำนวนเต็มทมี่ ากกวา่ 4 และน้อยกวา่ 8 ดังน้นั x = 5,6,7 จะไดว้ า่ 5,6,7 ∈ C เขยี นเซต C แบบแจกแจงสมาชกิ จะได้ C = {5,6,7} พิจารณา D ; x เปน็ จำนวนเต็มคที่ ่ีน้อยกวา่ 9 ดงั นั้น D = {…,-3,-1,1,3,5,7} จาก B = {5,6,7}, C = {5,6,7} และ D = {…,-3,-1,1,3,5,7} ดังนั้น A=B=C แต่ A ≠ D , B ≠ D และ C ≠ D