ОЛИМПИАДЫ 49 каким-либо населенным пунктом? Над ка- ким именно населенным пунктом он бы при этом пролетел? 4b. Пусть известно, что вертолет менял направление полета только один раз в 13:00. В каком населенном пункте оказался верто- лет в 14:00? Все построения делайте на увеличенном рисунке (представленном на олимпиаде на дополнительном листе). Искомые города пометьте, например, «галочкой». Кратко опишите ваши рассуждения и последова- тельность построений. Рис. 5 щью мерной шкалы определяют два значе- 9 класс ния объема, соответствующие положению 1. Частота ультразвука (10 баллов) уровня поверхности воды и масла. Результа- 1a. Источник ультразвуковых импульсов ты измерений показаны на графике (рис. 5). движется по прямой со скоростью v навстре- В процессе эксперимента жидкости не сме- чу неподвижному приемнику, располагаю- шиваются. Маркеры одной формы (кружки щемуся на той же прямой. Источник излуча- или крестики) соответствуют одной из жид- ет короткие иимхпуплрьисныимсачеатстпортоийемfн0.иСк?каКкоайк костей. Плотность воды равна 1 г см3, плот- частотой f ность масла меньше плотности воды. изменится ответ, если источник будет уда- 3a. Чему равна скорость P? 3b. Определите плотность масла. ляться от приемника? Скорость распростра- 4. Передвижение вертолета (10 баллов) нения ультразвука равна c, при этом c v. На дне моря установлен ультразвуковой Вертолет летит с постоянной по модулю детектор. Судно движется прямолинейно с скоростью 200 км ч. На рисунке 6 изобра- постоянной скоростью v, проходя в некото- жено положение рый момент времени прямо над детектором. вертолета (крестик) На судне установлен источник ультразвуко- относительно насе- вых импульсов, излучающий их с частотой f0 c одинаковой интенсивностью в любом на- ленного пункта A и остальных населен- правлении. Детектор принимает импульсы с ных пунктов (круж- частотой f, отличной от частоты излучаемых ки) в 12:00. Извест- импульсов. Обозначим n f отношение этих f0 но, что вертолет частот. На рисунке 7, показан фрагмент движется на одной высоте над Землей зависимости отношения n от времени при движении судна. Скорость ультразвука в по траектории, со- воде равна 1500 м с. стоящей из прямо- линейных участков. Рис. 6 В таблице указано расстояние L от пункта A до точки, где Рис. 7 находится вертолет в разные моменты време- ни. Пользуясь рисунком, а также циркулем и линейкой, ответьте на следующие вопро- сы. 4a. Пусть известно, что вертолет не менял направление полета с 12:00 до 12:30. В какое самое раннее время он мог пролететь над
50 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 1b. Чему равна скорость судна? На какой 4. Столкновения на плоскости (8 баллов) На расстоянии L 10 см друг от друга на глубине располагается детектор? достаточно протяженной наклонной плоско- сти, составляющей угол D 30q c горизонта- Указание. При решении задачи могут ока- лью, удерживаются два абсолютно одинако- вых бруска. В момент времени t 0 бруски заться полезными следующие приближен- освобождают и они начинают двигаться. Величины, относящиеся к верхнему в на- ные формулы, справедливые при малых чальный момент бруску, далее помечаем индексом 1, а относящиеся к нижнему – значениях x ( x 1): индексом 2. Обозначим v1 t и v2 t скорости sin x | x, cos x | 1 x2 , 1 |1 x. 2 1 x брусков в момент времени t. Коэффициенты П.Крюков 2. Пошла на дно (6 баллов) трения о плоскость равны P1 3 и P2 3. В бутылку c достаточно толстыми стенка- 6 3 ми вместимостью V 700 мл наливают неко- Ускорение свободного падения считается торое количество воды. Прикрыв горлышко равным 10 м с2. Размеры брусков пренебре- пальцем, бутылку переворачивают вверх дном, погружают в ведро с водой и убирают жимо малы, столкновения между ними явля- руку. Бутылка плавает, сохраняя верти- кальное положение. Над поверхностью воды ются абсолютно упругими. выступает часть бутылки объемом 'V 15 мл. 4a. Для первой секунды движения изобра- Ведро с бутылкой выносят из комнаты, тем- пература воздуха в которой равна t0 25 qC, зите графики зависимостей v1 t и v2 t . В на мороз. Можно считать, что в процессе охлаждения воздух, находящийся внутри какие моменты времени происходят столк- бутылки, сжимается и его объем изменяется новения брусков? по законуV V0 1 D t t0 , где V0 – объем 4b. Какое расстояние проходит первый воздуха при температуре t0, D – коэффици- брусок (верхний в исходной конфигурации) ент, равный 3,6 103 1 qС. Найдите темпера- к моменту n-го столкновения? туру воздуха внутри бутылки в тот момент, Фольклор когда бутылка полностью погрузится в воду. 5. Определите по фотографии (10 баллов) Масса бутылки равна 300 г, плотность мате- На стробоскопической фотографии (рис. 9) можно видеть положение движущегося в риала, из которого она изготовлена, U поле тяжести земли мяча, сталкивающегося 2600 кг м3, плотность воды U0 1000 кг м3. с горизонтальной поверхностью, в разные А.Бычков моменты времени. Промежутки времени меж- ду двумя последовательными вспышками 3. Цепь из нескольких звеньев (8 баллов) стробоскопической лампы одинаковы. Фо- Электрическая цепь, показанная на рисун- тография инвертирована (черный цвет изме- ке 8, составлена из пяти одинаковых звень- нен на белый, белый заменен на черный), ев, в каждом из которых содержится три сетка наложена в графическом редакторе одинаковых резистора сопротивлением R. позже для удобства расчетов. Столкновения Выводы A и D, а также C и B соединяют мяча с горизонтальной поверхностью нельзя проводниками пренебрежимо малого сопро- считать упругими, в процессе столкновения тивления попарно. Определите сопротивле- кинетическая энергия поступательного дви- ние между точками A и B образовавшейся жения мяча уменьшается. цепи. 5a. Далее везде в этой задаче мы предпо- лагаем, что сила сопротивления воздуха А.Бычков пренебрежимо мала. Изучив фотографию, кратко объясните, насколько справедливо Рис. 8 наше предположение. 5b. Найдите отношение v1 v3, где v1 и v3 – скорости мяча в наивысшей точке траекто- рии после первого и третьего ударов о поверх- ность соответственно.
ОЛИМПИАДЫ 51 Пусть ось x направлена вправо, координата стенки равна нулю. Проследим за движением брус- ков, рассмотрев зависимость x2 x1 – координаты второго бруска в некоторый момент вре- мени от координаты первого в тот же момент. Положению брус- ков, при котором их координаты равны x1 и x2, соответствует точ- ка M с координатами x1,x2 . Со временем координаты брусков из- меняются, а точка M движется по плоскости x1x2. 1a. Найдите скорость точки M в момент, когда проекции скоро- стей брусков на ось x равны v1 и v2 соответственно. Какой угол составляет вектор скорости точ- ки M с осью x1? Нарисуйте тра- екторию движения точки M по плоскости x1x2 для значений масс m1 m2 1 кг (N 0). Введем в рассмотрение коор- Рис. 9 динаты x1x2 , связанные с коор- динатами x1x2 формулами 5с. Определите как можно точнее угол между скоростью мяча сразу после первого x1 m1x1 и x2 m2 x2. Положению брус- столкновения и горизонтом. ков, при котором их координаты равны x1 и 5d. Во сколько раз изменяется кинетичес- кая энергия мяча в процессе второго столк- x2, соответствует точка M с координатами новения с поверхностью? x1x2 на плоскости x1x2. А.Бычков 1b. Воспользовавшись законом сохране- 10 класс ния энергии, покажите, что величина скоро- 1. Казалось бы, при чем здесь S? (12 сти точки M сохраняется при абсолютно баллов) упругом ударе брусков. На гладком горизонтальном столе покоят- Пусть за мгновение перед столкновением ся два маленьких бруска, массы которых брусков острый угол между прямой, задава- равны m1 = 1 кг и mВ2мом10енNт вкрге, мгеднеи N – емой уравнением x2 m2 x1, и скоростью некоторая константа. t 0 m1 точки M равен D. Используя законы сохра- второму бруску сообщают скорость v0 (рис. 10). Столкновения брусков друг с дру- нения импульса и энергии, докажите, что гом и со стенкой в процессе дальнейшего после столкновения брусков острый угол движения считаются абсолютно упругими. между прямой x2 m2 x1 и скоростью точ- m1 ки M также равен D. Рис. 10 1с. На каком расстоянии от стенки про- изойдет пятое столкновение брусков, если параметр N равен 2? 1d. Сколько раз столкнется брусок массой m1 с бруском массой m2 и стенкой при N 4?
52 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 Указание. Может оказаться полезной при- циональными квадрату малого параметра ближенная формула tg x | sin x | x, спра- ведливая при малых x (x 1). GT 'T и его старшим степеням. Можно T А.Бычков использовать приближенную формулу 2. Тянут канат (6 баллов) 1 x n | 1 nx, справедливую при малых Внутри закрепленной x x 1 . горизонтальной тонкой 3a. Определите зависимость U x плотно- трубки, изогнутой в сти газа в цилиндре от координаты. 3b. Найдите смещение тележки d относи- форме полуокружности тельно начального положения. радиусом R, располо- жен однородный гибкий Фольклор канат длиной SR, масса 4. Барометр Ломоносова (8 баллов) которого равна m Для измерения небольших изменений ус- корения свободного падения 'g (обуслов- Рис. 11 (рис. 11). Канат начи- ленных, например, изменением высоты над нают тянуть за свобод- уровнем моря или притяжением Луны) Михаил Васильевич Ломоносов предложил ный конец A, прикладывая силу по касатель- создать прибор – универсальный барометр, конструкцию которого описал так: «Возьмем ной. Чему равна и куда направлена суммар- стеклянный шар AB с толстыми стенками и внутренним диаметром в три дюйма; соеди- ная сила реакции трубки, действующая на ним с ним барометрическую трубку BC та- кой длины, чтобы от центра шара до изгиба канат, если ускорение точки A каната равно C было 28 дюймов; после загиба пусть идет горизонтальная трубочка CP длиною в фут a? Считайте внутренние стенки трубки глад- или больше со стеклянным шаром S диамет- кими, а канат нерастяжимым. Рассмотрите ром в дюйм; просвет в трубочке CP пусть будет диаметром в 1 линии». Схема, сопро- начальный момент времени, когда скорость 4 каната равна нулю. Силой тяжести можно вождавшая описание, приведена на рисун- пренебречь. ке 12. Предпо- лагалось, что А.Бычков в прибор за- ливается ртуть 3. Баллон на платформе (9 баллов) так, чтобы при Тележка установлена на горизонтальных прямолинейных рельсах и может двигаться вертикальном по ним без сопротивления. На тележке зак- положении реплен сосуд цилиндрической формы, ось трубки BC которого параллельна рельсам. Длина ци- больший шар линдра и его радиус равны L и r соответ- был заполнен ственно. Масса тележки с пустым сосудом равна M. Сосуд заполняют идеальным газом массой m при температуре T0. Одно основа- ние сосуда поддерживают при температуре T0. Температура другого основания в началь- ный момент также равна T0, но затем ее медленно увеличивают до величины T0 'T (при этом известно, что 'T T0). Боковая поверхность сосуда тепло- изолирована. Введем ось x, направив ее вдоль оси ци- линдра от основания с тем- пературой T0 'T к осно- ванию с температурой T0. Пусть начало координат совпадает с основанием цилиндра с температурой T0 'T. Задачу решайте приближенно, пренебрегая всеми слагаемыми, пропор- Рис. 12
ОЛИМПИАДЫ 53 наполовину (при этом над ртутью не остава- линдр пополам. Кольцо и стержень на ри- лось воздуха), а трубка РС была заполнена сунке не изображены. Масса цилиндра с до точки Q (середина PC). После этого кольцом равна массе стержня и равна M. малый шар герметизировался, оба шара раз- Стержень и кольцо несут одинаковые заря- мещались в специальных ящиках, заполнен- ды разных знаков, равные по абсолютной ных тающим льдом. Ожидалось, что измене- величине q. Стержень смещают на неболь- ние ускорения свободного падения можно шое расстояние x0 (x0 L) от положения будет обнаружить по изменению положения равновесия и отпускают. границы столба ртути в горизонтальной труб- ке, которое фиксировалось линейкой, распо- 5a. Чему равна максимальная скорость ложенной рядом с трубкой. Прибор не был стержня, если цилиндр закреплен? изготовлен; вероятно, заявка Ломоносова была отклонена. 5b. Чему равна максимальная скорость стержня после освобождения системы, если 4a. Пусть расстояние между соседними цилиндр не удерживается внешней силой? делениями шкалы линейки составляет 1 ли- нию. Какое минимальное относительное из- Гравитацией, всеми видами трения, а так- менение 'g ускорения свободного падения же эффектами, связанными с поляризацией диэлектрика, можно пренебречь. g можно было бы обнаружить при помощи П.Крюков универсального барометра? Плотность рту- ти и давление ее насыщенных паров при 0 qC 11 класс, тур 1 равны 13,6 г см3 и 0,25 кПа соответственно, 1. Разная работа 1 фут 12 дюймов, 1 дюйм 10 линий, В горизонтально расположенной тепло- 1 дюйм 2,54 см. изолированной трубе между двумя подвиж- ными теплоизолирующими поршнями нахо- 4b. На какой минимальной высоте над дятся в состоянии теплового равновесия при уровнем моря можно было бы измерить температуре 310 K две порции идеального изменение ускорения свободного падения одноатомного газа, разделенные жесткой при помощи описанного прибора с относи- неподвижной хорошо проводящей тепло пе- тельной погрешностью не больше чем 20%? регородкой (рис. 14). Поршни могут дви- Считайте, что погрешность определяется только погрешностью считывания линейки, Рис. 14 радиус Земли равен 6400 км. гаться вдоль оси трубы, не испытывая сопро- П.Крюков тивления. Снаружи поршней находится воз- дух при атмосферном давлении. Количество 5. Кольцо и стержень (6 баллов) газа в каждой порции равно 1 моль. К пра- В однородном диэлектрическом цилиндре вому поршню прикладывается сила (меняю- длиной 2L и диаметром 2R сделан цилиндри- щаяся со временем), и поршень медленно ческий канал малого радиуса r (r R), перемещается, температура газа при этом соосный цилиндру (рис. 13). В канал встав- квазистатически уменьшается на 30 К. Уни- лен однородно заряженный стержень дли- версальная газовая постоянная R равна ной 2L круглого сечения, диаметр стержня чуть меньше диаметра канала. Стержень 8,3 Дж моль К . может двигаться свободно вдоль оси канала. На цилиндре закреплено тонкое однородно 1a. Найдите теплоемкость порции газа, заряженное кольцо, плоскость которого пер- располагающейся справа от перегородки, в пендикулярна оси цилиндра и делит ци- начале и в конце процесса охлаждения. Рис. 13 1b. Какую работу Aг совершает газ, распо- лагающийся справа от перегородки, в про- цессе охлаждения? Какую работу AF при этом совершает приложенная к поршню вне- шняя сила? П.Крюков, А.Бычков
54 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 2. Токи и заряды (7 баллов) Внутри соленоида, ось которого верти- кальна, располагается плоская проволочная сетка размером 3 u 3 ячейки (рис. 15,а). Ось соленоида перпендикулярна плоскости сет- ки и проходит через ее центр. Сопротивле- ние перемычки, соединяющей два соседних узла, равно r. В соленоиде создается магнит- ное поле, направленное так, как показано на рисунке 15. Сила тока в витках соленоида Рис. 15 Рис. 17 равномерно увеличивается со временем так, делите расстояние L между линзами, а также что абсолютная величина скорости измене- их фокусное расстояние f. ния магнитного потока через ячейку сетки П.Крюков 4. Поджатая пружина (11 баллов) Зависимость относительного удлинения Gx поджатой пружины от силы F, растягиваю- щей ее в невесомости, изображена на графи- ке, представленном на рисунке 18 (Gx x , L0 оказывается равна d) 4E0. dt 2a. Определите значения токов, текущих в перемычках, соединяющих узлы сетки. Сде- лайте рисунок, укажите направления этих Рис. 18 токов. L0 – начальная длина пружины, x – удлине- 2b. Все перемычки на границе сетки заме- ние). Пружина не растягивается, пока вы- полняется неравенство F d F0, если же сила нили на конденсаторы одинаковой емкости F становится больше F0, то относительное удлинение Gx начинает зависеть от силы F по (рис. 15,б). Найдите напряжения на конден- линейному закону Gx F F0 , где H const. саторах. Далее в задаче рассматриHваются однород- П.Крюков, А.Бычков ные пружины, для любого участка которых постоянные F0 и H такие же, как для исход- 3. Увеличение системы (7 баллов) ной пружины длиной L0. В каждом из пун- ктов масса пружины обозначается M. Коэф- Внутри трубы с непрозрачными стенками фициентом упругости k поджатой пружины считается коэффициент пропорциональнос- располагаются две одинаковые тонкие плос- ти между изменением силы и удлинением: ковыпуклые линзы. Плоскости линз перпен- k F x F0 при F ! F0. Во всех пунктах дикулярны оси трубы (рис. 16). Наблюда- x тель рассматривает через систему линз не- задачи рассматривается статическое равно- большой предмет S, располагающийся на расстоянии x от передней линзы. График зависимости поперечного увеличения * от расстояния x показан на рисунке 17. Пред- полагая, что изображение формируется па- раксиальными (приосевыми) лучами, опре- весие пружин. Безразмерные параметры J kL0 и f0 F0 (разные в разных пунктах Mg Mg задачи) характеризуют относительные жест- Рис. 16 кость и силу поджатия пружины, g – ускоре- ние свободного падения.
ОЛИМПИАДЫ 55 4a. От поджатой пружины длиной L0 отре- зали участок длиной 'L (в недеформирован- ном состоянии), который стали растягивать силой F (F ! F0) в невесомости. Найдите длину y этого участка под нагрузкой как функцию силы F и параметров 'L, k, L0. 4b. Поджатая пружина, параметры кото- рой удовлетворяют соотношениям f0 ! 1, J 1, Рис. 19 подвешена в поле тяжести к потолку за один браны так, что выполняется равенство из концов. К другому концу присоединяют R2 SH0 . На вход цепи подается гар- R1 R2 dC0 груз массой m PM (P ! f0). Чему будет равна длина пружины в положении равновесия? моническое напряжение U t . К точкам A и Ответ выразите через параметры L0, f0, P. B подключены выводы пластин осциллогра- 4c. Пусть относительная сила поджатия фа, отклоняющих луч по горизонтали и вертикали соответственно. На экране осцил- удовлетворяет неравенству f0 1. Пружина лографа наблюдается зависимость напряже- подвешена к потолку в поле тяжести за один ния Uy MB ME между точками B и E от напряжения Ux MA MD между точками A из концов. Чему равна ее длина в положении и D, изображенная на рисунке 20. Подклю- чение осциллографа не меняет распределе- равновесия? Ответ выразите через парамет- ние токов и потенциалов в цепи. Определите абсолютную величину поверхностной плот- ры L0, f0, J. ности поляризационных зарядов Vп на од- 4d. Поджатая пружина подвешена за один ной из сторон диэлектрической пластины (соприкасающейся с обкладкой конденсато- конец к потолку. К другому концу присоеди- ра) в состояниях, соответствующих точкам D, E, J на графике. Найдите напряженность няют грузы различной массы, снимая зави- поля в диэлектрике в состояниях D и J. Площадь обкладок нелинейного конденсато- симость относительного удлинения ра S, емкость C0 эталонного конденсатора, обозначенные на графике параметры петли GL L L0 от относительной массы P m a, b, u считаются известными. Электричес- L0 M кая постоянная равна H0. грузов (M – масса пружины). Результаты 5b. Другой нелинейный конденсатор под- ключают последовательно с резистором со- измерений представлены в таблице. Опреде- противлением R к генератору прямоуголь- ных импульсов с частотой n, напряжение лите относительную жесткость J и относи- между выводами которого в течение первой тельную силу поджатия f0 этой пружины. половины периода равно U0, а в течение А.Власов, П.Крюков Рис. 20 5. Диэлектрический гистерезис (12 баллов) В плоском нелинейном конденсаторе про- странство между обкладками заполнено не- линейным диэлектриком, поэтому зависи- мость заряда конденсатора от напряжения между обкладками может быть более слож- ной, чем в линейном случае, для которого q CU. При циклическом изменении напря- жения зависимость q U для нелинейного конденсатора имеет вид петли гистерезиса. 5a. Для изучения свойств нелинейного конденсатора емкостью С собрали цепь, изоб- раженную на рисунке 19. Емкость обычного (линейного) эталонного конденсатора C0 удовлетворяет сильному неравенству Cоб0кла1д0к0аdSмHи0 , где d и S – расстояние между нелинейного конденсатора и их площадь. Сопротивления резисторов подо-
56 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 го тока A1 и A2 показывают токи I1 и I2. Что показывает идеальный амперметр перемен- ного тока в цепи на рисунке 22,б, если эта цепь составлена из тех же элементов, что и на рисунке 22,а? П.Крюков 2. Излучает и падает (10 баллов) В соответствии с законами классической электродинамики, заряженная частица, дви- жущаяся с ускорением, излучает электро- магнитные волны. Релятивистские эффекты в этой задаче не учитываются. Масса и модуль заряда электрона, скорость света в вакууме и электрическая постоянная равны Рис. 21 m, e, c и H0 соответственно. 2a. Пусть электрон движется вокруг про- второй половины периода равно U0. В уста- новившемся режиме заряд одной из обкла- тона по орбите, близкой к круговой. Протон док конденсатора q в зависимости от напря- жения между обкладками U изменяется так, считаем неподвижным, поскольку его масса как показано на графике на рисунке 21. Параметры петли гистерезиса, обозначен- много больше m. Известно, что мощность ные на графике, равны U1 0,1U0 , U2 0,25U0, q1 2CU1, q2 q1 0,1CU0. Зна- излучения движущегося электрона дается чения U0 и C известны, при этом nRC 1. Найдите среднюю за период мощность, по- формулой P A–eDбcеEзHр0J aазG,мгедренаaя– ускорение требляемую цепью от генератора, и среднюю электрона, A константа. мощность, выделяющуюся на резисторе. Ответы выразите через параметры C, U0, n. Определите показатели степени D, E, J, G. 2b. В процессе излучения энергия электро- П.Крюков на уменьшается, поэтому он движется не по 11 класс, тур 2 1. Как в трансформаторе (9 баллов) окружности, а по спирали и в некоторый Катушка намотана проводом пренебрежи- мо малого сопротивления на тороидальный момент времени должен упасть на протон. сердечник с большой магнитной проницае- мостью так, что при протекании тока по Предполагая, что за время, равное периоду виткам катушки рассеяния магнитного пото- ка не происходит. К витку в середине катуш- обращения электрона, расстояние R между ки присоединен провод, и собрана цепь, показанная на рисунке 22,а. Напряжение электроном и протоном изменяется незначи- на выводах идеального генератора меняется по гармоническому закону, амплитуда на- тельно, а также считая известной постоян- пряжения не зависит от подключаемой на- грузки. Идеальные амперметры переменно- ную A в приведенной выше формуле, опре- Рис. 22 делите время 't, за которое расстояние R уменьшается от известного значения R0 на 'R, при условии, что 'R R0. Найдите время t1 2, за которое расстояние R уменьша- ется от значения R0 до значения R0 2. Указание. Может оказаться полезной фор- мула b 1 ³ xndx n 1 bn1 an1 , n z 1. a Фольклор 3. Похоже на диод (11 баллов) Две плоские металлические пластины пло- щадью S располагаются параллельно друг другу в точках с координатами x 0 (первая пластина) и x d (вторая пластина), при этом S d2. Ось x перпендикулярна плас- тинам. Первая пластина заземлена, потенци- ал второй пластины равен U0. Простран- ство между пластинами заполнено полу-
ОЛИМПИАДЫ 57 проводником, в котором носителями заряда ры можно считать постоянными в условиях являются частицы c зарядом q (q ! 0). Ток в данной задачи. Внутренняя энергия одного полупроводнике – это коллективное направ- моля рассматриваемой жидкости является функцией двух переменных: молярного объе- ленное движение этих частиц. Диэлектри- ма V и температуры T и дается формулой ческая проницаемость полупроводника рав- на единице. Электрическая постоянная рав- U V,T A1T A2V A3VT pV, на H0. где A1, A2, A3 – неизвестные константы, V – 3a. При больших значениях U0 можно считать, что средняя скорость движения но- молярный объем, p p V,T – давление, сителей в направлении поля в точке с коор- являющееся функцией тех же двух перемен- динатой x в пространстве между пластинами ных V и T. пропорциональна напряженности поля в этой 4a. Считая молярный объем V функцией точке: v x PE x , где P – известная кон- двух переменных: давления p и температуры T, выразите малое изменение dV через V, станта. Пусть ток между пластинами устано- малые изменения dp и dT, а также данные в условии постоянные. вился, средняя скорость носителей v x , плотность заряда U x и потенциал U x не 4b. Определите зависимость давления от меняются со временем. Предполагая, что температуры p T в изохорном процессе, потенциал зависит от координаты по степен- считая известным значение давления p0 при ному закону U x AxD, определите значе- температуре T0. Ответ выразите через задан- ные в условии постоянные, а также парамет- ния постоянных A и D. Найдите ток между ры p0 и T0. пластинами. Считайте известными значения 4c. Найдите значения постоянных A1 и A3 параметров U0, P, d и S. в выражении для внутренней энергии. Полу- 3b. При небольших значениях U0 движе- чите числовые ответы. ние носителей обусловлено диффузией. Сила 4d. Рассмотрев бесконечно малый цикл тока в этом случае удовлетворяет соотноше- Карно, совершаемый с жидкостью, опреде- нию лите значение постоянной A2 в выражении для внутренней энергии. Получите числовой I S § PkT · dU , ответ. ¨ q ¸ dx © ¹ 4e. Для заданной температуры T0 опреде- лите значение молярной теплоемкости при где k – постоянная Больцмана, T – абсолют- постоянном давлении cp, если молярный ная температура. Пусть ток между пластина- объем жидкости в рассматриваемом состоя- нии также известен и равен V0. ми установился. Предполагая известной сте- А.Заяц пенную зависимость потенциала от коорди- 5. Решетки (12 баллов) Дифракционная решетка (рис. 23) пред- наты: U x BxE, определите значения по- ставляет собой непрозрачную пластинку, в которой с пространственным периодом D стоянных B и E. Найдите силу тока. Считай- те известными значения параметров U0, P, d, Рис. 23 q, T и S. 3c. Какому сильному неравенству вида U0 f q,P,T должно удовлетворять зна- чение потенциала U0, чтобы его можно было считать небольшим, как в пункте 3b? Фольклор 4. Термодинамика жидкости (13 баллов) Коэффициент теплового расширения при постоянном давлении некоторой жидкости равен D 1 'V 7,5 104 К1, сжимаемость V 'T этой жидкости при постоянной температуре равна E 1 'V 1,1 109 Па1, а ее мо- V 'p лярная теплоемкость при постоянном объеме равна cV 112 Дж моль К . Эти парамет-
58 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 сделаны N (N 1) узких прорезей (штри- наты нескольких светлых пятен на экране, хов) толщиной h. Обратите внимание, на располагающихся вблизи начала координат. рисунке прозрачные области показаны се- Изобразите схематично дифракционную кар- рым. В первых двух пунктах этой задачи мы тину и определите координаты светлых пя- рассматриваем решетки, содержащие n 100 тен для случая D z S. штрихов на миллиметр, считая при этом, что h 0,2D. Решетки располагаются параллель- 2 но экрану, на котором наблюдается дифрак- 5с. Гитарная струна с оплеткой представ- ционная картина, на расстоянии L 3 м от ляет собой отражательную дифракционную него. Экраном считается участок вертикаль- решетку. Оплетка – это тонкая проволока, ной стены высотой 1 м и шириной 2 м. Ре- навитая в один слой виток к витку на сердеч- ник струны (рис. 25). При освещении гори- шетки освещаются лучом лазерной указки, параметры которой одинаковые для всех Рис. 25 пунктов: диаметр пучка d 2 мм, длина вол- зонтально расположенной струны лучом ны O 532 нм. В первых двух пунктах свет лазерной указки, направленным под неболь- падает на решетки по нормали. Середины шим углом к горизонтали (рис. 26), на решетки и экрана лежат на одном перпенди- вертикальном экране, находящемся в 2–3 куляре к плоскости экрана. Рис. 26 5a. Пусть штрихи решетки ориентированы метрах от струны, наблюдается дифракци- онная картина в виде концентрических полу- вертикально. При нормальном падении ла- окружностей. В эксперименте были измере- зерного луча на решетку на экране наблюда- ны следующие величины: расстояние от точ- ется система ярких пятен. Сколько всего ки падения лазерного луча на струну до светлых пятен будет видно на экране? Чему стены L 2 м, радиусы первых двух полуок- ружностей R0 4 см, R1 12,5 см. «Первых будет равно расстояние между соседними двух» означает наименьшей и следующей по пятнами вблизи центра экрана? размеру. Использовался тот же лазер, что и в предыдущих пунктах (O 532 нм). Опре- 5b. Пусть две дифракционные решетки делите по этим данным диаметр проволоки накладываются друг на друга. Штрихи од- оплетки. ной решетки располагаются горизонтально, а штрихи другой составляют угол D с гори- П.Крюков зонтальной прямой. В результате получает- ся непрозрачная пластинка, на которой пе- Публикацию подготовил П.Крюков риодически распределяются прозрачные об- ласти в виде параллелограммов. Схематично такая пластинка показана на рисунке 24, Рис. 24 серые параллелограммы символизируют про- зрачные области. При освещении такой дву- мерной решетки лазером на экране наблюда- ется система светлых пятен. Пусть на экране задана система координат xy, начало коор- динат находится в центре экрана. Пусть угол D равен S. Сделайте рисунок, изобразите 2 дифракционную картину. Укажите коорди-
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ «Квант» для младших школьников Рис. 1 (см. «Квант» №4) 3. Ответ показан на рисунке 1. 1. а) 5; б) 30. Комментарий. Как можно придумать разреза- а) Заметим, что в апреле дата записывается **.04.23. Поэтому в качестве первых двух цифр ние? В печенье 64 клеточки и 16 полукругов по можно использовать только 1, 5, 6, 7, 8, 9. Первой из этих цифр может быть только 1, краям. Значит, в каждой части скорее всего поэтому всего получается пять дат: 15, 16, 17, 18, 19 апреля. будет полукруг и 4 клеточки, но тогда откуда б) Цифры 2 и 3 уже участвуют в номере года, поэтому из всех месяцев нужно рассмотреть толь- внутри фигуры (не на границе) появятся полу- ко 01, 04, 05, 06, 07, 08, 09 и 10. В каждом из этих номеров есть 0, поэтому в красивой дате не круги? Вероятно, придется делать полукруглые будет дня с номером, начинающимся с 0, 2 и 3, а также не будет дней 10, 11, 12 и 13 – остаются разрезы – но тогда у фигурок будут не только только 6 дней, с 14 по 19. Но тогда в каждом месяце красивая дата начинается с 1, и подходят выпуклые полукруги, но и вогну- только 6 месяцев, с 04 по 09. Остается заметить, что для каждого подходящего месяца ровно один тости в виде полукруга. Из сообра- день, оканчивающийся на ту же цифру, не будет красивым – значит, в каждом из 6 месяцев по 5 жений площади получается одна красивых дат, а всего в 2023 году – их 30. 2. Пасмурная. вогнутость и две выпуклости. Та- Рассмотрим любые два дня, идущие подряд. Каждый день решено хотя бы по одной задаче, ких разных фигурок бывает две, но ровно по одной оба дня быть не может, значит, за эти два дня решено минимум три одна из них подходит (рис. 2). Рис. 2 задачи. Таким образом, за первые 8 дней Вася решил как минимум 4 3 12 задач. Если бы он Можно неформально рассуждать и так. Фигура за девятый день решил хотя бы две задачи, число решенных за 9 дней задач превысило бы имеет центр и две оси симметрии и поэтому 13. Так что за 9-й день была решена ровно одна задача. На 10-й день погода была пасмурной (и искомое разрезание можно попытаться получить, Вася решил две задачи), в противном случае он бы решил в этот день 0 задач, а по условию это ведя из центра к краю печенья четыре одинако- не так. Можно привести пример, как такое могло быть: вые линии разреза (каждый разрез получается Вася за эти 10 дней последовательно решал 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2 задачи. Нетрудно доказать, из предыдущего поворотом на 90q). Прямыми что этот пример единственен. В самом деле, доказательство, что Вася решил за 9-й день эти линии быть не должны, попробуем дуги ровно одну задачу, применимо к любому нечет- ному дню. окружности и получим рисунок 3. Комментарий. Казалось бы, ответ на вопрос мож- но было бы дать, вообще не учитывая ни сколько Рис. 3 было дней, ни сколько всего решено задач. Дей- ствительно, пасмурная погода в последний день Каждую из получившихся одинаковых четверту- ничему противоречить не может, а солнечная мо- шек печенья уже не очень сложно разрезать на жет, причем ровно в том случае, когда в предпос- четыре фигурки, описанные выше. ледний день решена ровно одна задача. А раз нас 4. Разместить 32 скрипача несложно: например, просят определить погоду в последний день, то можно заполнить четыре столбца через один ответ «пасмурная». Тем не менее, такое рассуж- (неважно, правшами или левшами). Однако мож- дение не может считаться решением, так как но разместить и больше. Возможный пример с 34 исходит из неявного предположения, что на скрипачами приведен на рисунке 4. задачу можно дать однозначный ответ. Комментарий. Можно доказать, что более 34 скрипачей разместить не удастся. В самом деле, рассмотрим вертикальную полосу шириной в две клетки. Всякий скрипач, стоящий в этой полосе
60 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 26. 12, 20 или 30. Каждый стол – это четырехугольник; раз такие столы можно составить по 3, по 4 и по 5 одина- ковыми углами к центру, значит, эти углы равны 360q : 3 120q, 360q : 4 90q и 360q : 5 72q. Тог- да оставшийся, четвертый угол стола равен 360q 120q 90q 72q 78q. Сами углы могут рас- полагаться разными способами (рис.6). Рис. 4 Рис. 6 Когда столы выставлены в круг, их внешние и при этом не в верхней строке, бьет одну какую- стороны образуют правильный многоугольник, то клетку в этой же полосе. Мы можем поста- каждый угол которого равен сумме двух углов вить эту пустую клетку в соответствие данному стола (одних и тех же). Поскольку угол правиль- скрипачу. Если при этом оказалось, что два ного многоугольника не может быть больше 180q, скрипача бьют одну и ту же пустую клетку сложить его можно только тремя способами: (возможны два аналогичных друг 90q 72q 162q, 90q 78q 168q или 72q 78q другу варианта этого, один из них показан на рисунке 5), то клетка, 150q. Тогда внешние углы этого многоугольни- расположенная под дважды поби- ка (смежные с внутренними; на рисунке 7 отме- той, тоже обязана быть пустой, по- этому ее можно поставить в соответ- Рис. 7 ствие одному из двух скрипачей, Рис. 5 допустим нижнему. Если же эту клетку бьет чены красным) могут быть равны, соответствен- смычком скрипач, стоящий еще ниже, поставим но, 18q, 12q или 30q. Сумма внешних углов любо- ему в соответствие соседнюю с ним по горизонта- го многоугольника равна 360q, значит, для ли клетку (она заведомо пустая), и так далее. n-угольника получаем варианты 18q n 360q, Итак, в полосе может быть максимум 9 скрипа- 12q n 360q или 30q n 360q соответственно. чей – двое в верхних клетках и еще семеро в Следовательно, столы могут стоять по 20, 30 или оставшихся 14 клетках, потому что каждому 12. скрипачу там соответствует пустая клетка, т.е. Замечание. Если выставлять столы в круг так, занятых клеток не более половины. чтобы внутренние стороны образовывали много- Однако две полосы с девятью скрипачами не угольник, ответ получится тот же самый. могут соседствовать, иначе в верхней строке че- 27. Способов, когда все суммы нечетны, больше. тыре скрипача сидели бы подряд. Поэтому та- Найдем количество способов для случая, когда ких полос не более двух, в оставшихся двух все суммы нечетны. Сначала выберем места для полосах максимум по 8 скрипачей, так что всего четных и нечетных чисел. В каждом столбце в оркестре не более чем 9 + 9 + 8 + 8 = 34 (высоты 2) слагаемые разной четности. Для каж- музыканта. дого из первых 99 столбцов выберем, как распо- ложены такие слагаемые: н ч или ч н, это Конкурс имени А.П.Савина можно сделать 299 способами. Четность чисел последнего столбца однозначно восстанавливает- (см. «Квант» №3) ся, так как в каждой строке должно быть по нечетному количеству нечетных чисел. В послед- 25. Нет. нем столбце числа окажутся разной четности, Предположим, что покрасить получилось. Пусть числа 1 и n разного цвета (например, синее и красное). Но тогда число n 1 – третьего цвета (например, зеленое), число n 2 1 (n 1) – красное, n 3 1 (n 2) – зеленое, n 4 1 (n 3) – красное и так далее: начиная с числа n, красные и зеленые числа будут чередо- ваться. Получается, что число 2n 1 n (n 1) должно быть, с одной стороны, синим, а с другой стороны, красным или зеленым – противоречие.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 61 так как в первых 99 столбцах стоит 99 нечетных любого n найдется такое m, что число n окажется чисел, а всего расставлено четное количество внутри интервала, и число k nm удовлетворяет условию. В пункте б) требуется найти, для ка- нечетных чисел. Таким образом, в таблице ока- ких n таких m будет два, т.е. n попадет в жется 100 четных и 100 нечетных чисел, и суммы пересечение двух соседних интервалов. во всех рядах будут нечетны. Распределить не- Во-первых, докажем, что эти интервалы покры- четные числа по позициям для нечетных чисел вают все натуральные числа. Левая граница та- можно 100! способами, и столько же вариантов кого интервала может быть сколь угодно боль- шой: 10m1 ! 10m1 2m1 , поскольку степень для четных чисел. Получаем количество спосо- m 5m 5 бов: 299 100! 2. двойки может быть сколь угодно большой. Здесь Теперь найдем количество способов для случая, мы использовали неравенство m 5m, которое когда все суммы четны. В каждом столбце слага- верно для всех натуральных чисел. Его нетруд- емые вида н н или ч ч. Столбцов типов н н и но доказать по индукции. ч ч должно быть по 50, так как всего четных и нечетных чисел по 100. Таким образом, надо Во-вторых, докажем, что правая граница каждо- выбрать, какие 50 из 100 столбцов будут типа го интервала больше левой границы следующего н н, а остальные будут типа ч ч. Это можно интервала (т.е. что соседние интервалы пере- сделать C15000 способами. Затем распределяем по этим позициям четные и нечетные числа, получа- крываются): 10m 1 ! 10m . Упростив, получим m m 1 ем C15000 100! 2 способов. 10m ! m 1. Это неравенство также верно для Осталось сравнить числа 299 и C15000: C15000 100 99 98 97 } 4 3 2 1 всех натуральных чисел, и это нетрудно дока- 502 492 } 22 12 зать по индукции. Множество значений n, для которых существуют два таких числа k, пред- 100 100 98 98 } 44 2 1 299. ставляет собой все натуральные числа, попавшие 502 492 } 22 12 10m 10m 1 в интервалы от m 1 до m для какого-либо Таким образом, способов, когда все суммы не- натурального m: это числа от 5 до 9, от 34 до 49, четны, больше. от 250 до 333 и т.д. 28. а) Для всех; б) для попавших в интервалы от Для пункта в) ответ отрицателен: таких чисел n не существует. В самом деле, если бы такие 10m до 10m 1 для какого-либо натурального m 1 m числа n существовали, то это означало бы пере- m; в) нет. крытие трех интервалов. Чтобы показать, что Пусть число k состоит из m цифр, тогда это невозможно, докажем, что правая граница 10m1 d k d 10m 1. m-го интервала меньше левой границы m 2 -го 10m 1 10m 1 интервала, т.е. что m m2 . Преобразо- Поделив на m и используя то, что k nm, полу- чаем вав, получим 0 10m 9m 2 m 2, что, оче- 10m1 d n d 10m 1. видно, верно для всех натуральных m. mm Данная задача является обобщением задачи Г.Гальперина из конкурса «Квантика» (№3 за Таким образом, надо выяснить, для каких n 2018 г., задача 32), где требовалось найти все k существует такое натуральное m, для которого выполняется последнее двойное неравенство, и для частного случая n 2018. тогда число k nm будет удовлетворять усло- вию. Калейдоскоп «Кванта» Для начала рассмотрим интервалы целых чисел между 10m1 и 10m 1 для нескольких началь- Вопросы и задачи mm 1. Для увеличения силы трения и уменьшения скольжения. ных m: >1;9@, >5;49@, >34;333@, >250;2499@, 2. Ситуация, подобная предыдущей задаче. Если, коснувшись рукой мяча, двигать ее по направле- >2000;19999@. Можно заметить, что соседние ин- нию его полета с замедлением, то можно осла- бить силу удара мяча. тервалы перекрываются – «дыр» между ними 3. В условиях данной задачи максимальная даль- нет. Для решения пункта а) мы покажем, что это ность полета будет достигнута при прыжке под будет верно и далее, а также что эти интервалы покрывают все натуральные числа. Тогда для
62 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 углом 45q. Если прыгать с места, то отталкивать- 84-я Московская ся от земли нужно под этим же углом. При олимпиада школьников по физике прыжке с разбега к уже развитой горизонталь- ной скорости надо добавить вертикальную, т.е. 7 класс оттолкнуться от земли под углом 90q. 4. Позади первого бегуна образуется область 1. 1а. t1 D 2L ; 1b. t2 6L. пониженного давления, поэтому на него действу- v v ет заметная сила лобового сопротивления. У 1 второго же бегуна давления воздуха спереди и 2. mм max 528 г, mм min 436 г, mм 482 r 46 г сзади почти одинаковы, и сила сопротивления (максимальное значение массы меди будет в том уменьшается. 5. Увеличиваются силы сопротивления со сторо- случае, когда масса детали принимает мини- ны льда, сообщающие спортсмену отрицатель- ное ускорение. мальное значение, а объем – максимальное; ми- 6. Чтобы увеличить давление на лед и обеспе- чить появление водяной прослойки при больших нимальное значение массы меди будет в против- скоростях движения. 7. Такой удар называют крученым или сухим ном случае). листом. Футболист во время удара закручивает мяч, и тот во время полета меняет направление 3. Дальнобойность орудия пропорциональна его набегающего потока воздуха, изменяя при этом и направление своего движения (эффект Магнуса). высоте, поэтому дальнобойность копии будет 8. Вращение диска приводит к появлению подъем- ной силы, «растягивающей» время полета снаря- меньше в 10 раз. Для любой силы, действующей да, а следовательно – к увеличению дальности полета. в конструкции, можно записать F DUH3g, где 9. Перчатки помогают распределить приложен- ную силу боксера на бульшую площадь, умень- D – безразмерный коэффициент. Поэтому сила шая давление и вероятность травмы соперника. Также материал, из которого перчатки изготов- натяжения веревок уменьшится в 1000 раз. лены, пружинит во время удара, смягчая его последствия. 4. 4а. Использовано 9 кирпичиков (рис. 8,а). 10. Для большей устойчивости – такого борца труднее опрокинуть. Рис. 8 11. Сгибая руку, держащую груз, мы уменьшаем плечо и момент его силы тяжести при том же 4b. Верхняя и нижняя детали сдвинуты по гори- моменте развиваемых мышцами сил. зонтали на 2,5а, где а – длина детали (рис. 8,б). 12. Нет, в начале подъема штангисту необходи- мо приложить бульшую силу, чтобы сообщить 8 класс штанге ускорение и оторвать ее от пола. 13. Даже небольшая сила со стороны мяча вызы- 1. 1а. Период колебаний уменьшится в 2 раза. вает большие поперечные силы натяжения, кото- рые могут превысить предел прочности материа- 1b. 'T N T2 T1 T T2 T1 T ¨§1 T1 · ла сетки. T2 © T2 ¸ 14. При разгоне велосипеда оси его вращающих- ¹ ся колес стремятся остаться горизонтальными § · (следствие закона сохранения момента враще- = T ¨1 L ¸ | T D't 10,8 c, где Т 1 сут- ния) и удерживают велосипед от падения. ¨© L 1 D't ¹¸ 2 15. При наклоне яхты киль компенсирует дей- ствие силы ветра на парус. Также киль препят- ки 86400 с. ствует боковому смещению (дрейфу) яхты. 1с. Принципиальная схема устрой- Микроопыт ства подвеса приведена на рисунке 9. Руки должны висеть вертикально, т.е. должны быть расставлены на ширине плеч (см. также Коэффициенты линейного расшире- решение задачи 13). ния красных и синего стержней рав- ны D и 2D, длины этих стержней одинаковы, а длины черных стерж- ней пренебрежимо малы. 2. 2а. Сила направлена вверх и рав- на F Rr M m g 5 H (это сле- 2R дует, например, из условия равнове- Рис. 9 сия подвижных блоков и из уравне- ния моментов для двухступенчатого
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 63 блока относительно его оси). 3. RAB 19 R (запишите для узлов цепи закон 2b. Нет, нельзя. 33 сохранения заряда). 3. 3а. P 'Vм 10 мл мин 0,17 мл с (здесь 't 4. 4а. Графики зависимостей скоростей брусков 'Vм 40 мл – изменение объема масла за послед- от времени представлены на рисунке 10: для ние 't 4 мин измерений). Рис. 10 3b. Uм 0,77 г см3 (силу тяжести игрушки в v1 t синим цветом, для v2 t красным; начальный момент компенсирует выталкиваю- щая сила со стороны воды, а в конечный мо- t1 = 8L ª 0,28 c, tk = 8L (2k - 1). мент – со стороны воды и масла). g g 4. 4а. Нарисуйте окружность радиусом 150 км с центром в центре пункта А и еще одну окруж- 4b. sn L 2n2 2n 1 (расстояния между столк- ность радиусом 100 км с центром в местонахож- дении вертолета в 12:00. Пересечения этих ок- новениями образуют арифметическую прогрес- ружностей – это два возможных положения вер- толета в 12:30. Над ближайшим к одной из этих сию). точек пунктом вертолет окажется через мини- 5. 5а. Арки парабол на рисунке к условию с мальное время и будет лететь над ним с 12:39 до 12:45. 4b. Нарисуйте 4 окружности радиусами 150 км, 225 км, 250 км и 300 км с центрами в центре пункта А и окружности радиусом 100 км, где мог бы оказаться вертолет через 30 мин. Возможны 4 траектории вертолета, одна из которых попадает в искомый населенный пункт. 9 класс высокой точностью симметричны относительно 1. 1а. Приемник принимает частоту f f0 , вертикальных линий, проходящих через верши- ∓ 1 v ны. c 5b. v1 l1 t3 5,8l 14W | 0,995. где знак минус соответствует приближению ис- v3 l3 t1 3,4l 24W 5c. Дальность полета и высота равны L v02 sin 2D точника ультразвука, а знак плюс – удалению. g v02 sin2 D, откуда tg D Согласно дан- 1b. В этом случае f f0 , причем при t, иH 4H . v cos T 2g L 1∓ c ному графику, после первого соударения близких к нулю и при достаточно больших зна- 4H1 6,23 и 81q. чениях, cos T | 1. Тогда 1 v cos T | 1,006, откуда tg D1 L1 | D1 | c 5d. Непосредственно перед вторым столкновени- v | 0,006c 9 м с. Для определения глубины рас- v12 cos2 D1 ем смотрим близкие к S 2 значения угла T, тогда Eк1 пропорциональна v12 1 tg2 D1 , cos T | vW, где h – глубина, W – небольшой проме- а сразу после второго столкновения Eк2 пропор- h жуток времени, отсчитываемый с момента, когда циональна v22 1 tg2 D2 . В соответствии с ри- источник оказывается над приемником. Из соот- сунком в условии, L2 4,6l и H2 5,5l, тогда v2 ношения 'n , определив из данного в усло- 4H2 | 4H1 | 6,23. W hc tg D2 L2 4, 78. А tg D1 L1 Следо- вии графика коэффициент наклона касательной 2 к графику в момент времени 250 с, находим вательно, Eк2 § v2 · 1 tg2D2 | 0,75. Eк1 ¨ v1 ¸ 1 tg2D1 h v2W | 410 м. © ¹ c'n 'V 10 класс DVв 2. t t0 4,2 qС (здесь Vв 200 мл – объем 1. Решение этой задачи будет опубликовано позже. 2. Найдем сначала результирующую силу, дей- воздуха в бутылке в состоянии равновесия). ствующую на канат. Разобьем канат на N N 1
64 К В А Н T $ 2 0 2 3 / № 5 тания со знаками (10), (100) и (1000) используются для указания значения промежу- точных разрядов. Итак: 41 478 599 005 616 = . = Рис. 11 Краткое пояснение: маленьких элементов массой 'm. На каждый элемент действует тангенциальная результирую- щая сила 'ma, поскольку нормальное ускорение любого элемента равно нулю. Векторная сумма всех таких сил равна результирующей силе F, действующей на канат (рис. 11; рисунок повер- нут на 90q для удобства). Из рисунка следует соотношение F 2R, откуда F 2 ma. N'ma SR S Результирующая сила равна сумме силы, дей- ствующей на конец A каната, равной ma и на- правленной по касательной к канату, и силы реакции трубки. Следовательно, абсолютная ве- личина силы реакции трубки равна КВАНТ R § 2 ma ·2 ma 2 ma 4 S2 . НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ ©¨ S ¹¸ S2 Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов, Направлена эта сила под углом D arctg S к А.Ю.Котова, Н.М.Панюнин, 2 В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан линии, соединяющей концы каната. НОМЕР ОФОРМИЛИ (Продолжение следует) М.Н.Голованова, Д.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина Китайские числа ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ Видим, что последние два знака первых двух РЕДАКТОР чисел повторяют друг друга в обратном порядке. М.Н.Грицук Если предположить, что один из знаков – 9, то КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА второй не может значить ни 6, ни 0; единствен- М.Н.Грицук, Е.А.Митченко ная возможная гипотеза в том, что он обозначает Журнал «Квант» зарегистрирован разряд десятков, а предшествующий иероглиф в в Комитете РФ по печати. первом числе значит 6. Тем самым можно пред- Рег. св-во ПИ №ФС77–54256 полагать, что имеются специальные знаки для Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ № разрядов (начиная с десятков), если они ненуле- Адрес редакции: вые; нулевые же разряды никак не обозначают- 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, ся. Китайская запись числа похожа в этом отно- «Квант» Тел.: +7 916 168-64-74 шении на словесное обозначение числа в рус- Е-mail: [email protected], [email protected] ском языке; например, число 379 = триста семьдесят девять, т.е. упоминаются: три, сто, Отпечатано семь, десять, девять, включая названия разря- в соответствии с предоставленными дов, начиная с десятков; младший разряд не упоминается: девять, а не девять единиц. материалами Аналогия (хотя и не совсем полная) со словесным в ООО «Принт-Хаус» г. Нижний Новгород, обозначением числа наблюдается и в том, что ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8 Тел.: (831) 218-40-40 запись строится двухступенчато. В русском языке слово тысяча указывает на разряд 103, миллиард – на разряд 109 и т.д. Промежуточные разряды не имеют отдельного обозначения; например, 104 пе- редается как десять тысяч, 108 – как сто милли- онов и т.д. В китайской записи в качестве опор- ных используются разряды 104, 108 и др., а соче-
ШАХМАТНАЯ СТРАНИЧКА НовыЙ Я.Непомнящий – Дин Лижэнь Дин Лижэнь – Я.Непомнящий Астана, 2023, 5 партия Астана, 2023, 6 партия ЧЕМПИОН 1. e4 e5 2. mf3 >c6 3. ob5 a6 1. d4 >f6 2. mf3 d5 3. of4 c5 В апреле 2023 года в Астане 4. oa4 >f6 5. 0-0 +e7 6. d3 b5 4. e3 >c6 5. mbd2 cd 6. ed +f5 состоялся матч за звание чемпи- 7. ob3 d6 8. c3 0-0 9. h3 +b7 7. c3 e6 8. ob5 +d6 9. od6 3d6 она мира, победителем которого 10. a4 >a5 11. oa2 c5 12. og5 10. 0-0 0-0 11. qe1 h6 12. me5 стал Дин Лижэнь. Поединок h6 13. of6 +f6 14. ab ab >e7 13. a4 a6 14. of1 >d7 выдался очень зрелищным. Мы 15. mbd2 >c6 16. od5 /a1 15. md7 3d7 16. a5 3c7 17. sf3 разберем здесь ряд результа- 17. sa13d7 18.qe1/a8 19. sd1 /fc8. тивных партий из первой поло- +d8 20. mf1 >e7 21. ob7 >b7 вины матча. 22. me3 +b6 23. h4 (с идеей h5 18.qa3!? Тонкий ход – ладья и mf3-h4) 3c6 24. h5 c4 25. d4 в будущем пригодится на 3 го- Дин Лижэнь – Я.Непомнящий ed 26. md4 3c5 27. sg4. Силь- ризонтали. 18…+g6 19. mb3 Астана, 2023, 4 партия нее 27. sf3! с двойной угрозой >c6 20. sg3! 3e7 21. h4 /e8 28. md5 и 28. е5, захватывая ли- 22. mc5 e5 23. qb3! (раскрывая 1. c4 >f6 2. mc3 e5 3. mf3>c6 нию е. 27... 3e5 28. mf3 3e6 суть 18 хода – белые захватыва- 4. e3 +b4 5. sc2 +c3 6. bc d6 29. mf5>f5 (надежнее 29…3f6) ют линию) >a5 24.qe5 3f6 7. e4 0-0 8. oe2 >h5 9. d4 >f4 30. ef 3f6?! Черные просчита- 25.qa3 >c4 26. oc4 dc 27. h5?! 10. of4 ef 11. 0-0 3f6 12.qfe1 лись, разменяв коней и позво- +c2?! Оба игрока упустили из /e8 13. od3 +g4 14. md2 >a5 лив белому ферзю занять актив- вида комбинацию – 27…/e5!! 15. c5 dc 16. e5 3h6 17. d5/ad8 ную позицию на е4. 31. se4/b8 28. de 3d8! 29. hg 3d1+ с веч- 18. c4 b6 19. h3 +h5 20. oe4 32.qe2 +c5 33. g4 3d8 34. sd5 ным шахом. 28. mb7 3b6 /e7 21. sc3 /de8 22. of3 >b7 7f 8 . 29. md6/e5 30. se53b2 31.qa5 23.qe2 f6 24. e6 >d6 25. qae1 7h7 32.qc5? (у белых был бо- >f5 26. oh5 3h5 27. qe4 3h6 35. uf1! Тонкий профилакти- лее четкий путь к победе: 28. sf3 >d4?? Возможно, пере- ческий ход, смысл которого рас- 32. sе1! +d3 33. mc4! +c4 ломный момент всего матча. крывается в последующих 34. se4 f5 35.qf5) 32…3c1+. Грубый стратегический зевок вариантах. 35…/c8 36. qe4!/b8 Черные упускают последний соперника позволил Дину срав- (36…7g8? 37. g5! hg 38.qg43d7 шанс – 32…3c3! 33.qс7 3d2! нять счет и «вернуться» в игру 39. mg5, и при короле на g1 34.qf7 3c1+ 35. uh2 3g5, с после поражения белыми во вто- здесь было бы возможно 39…3с6 вероятной ничьей благодаря рой партии. с разменом ферзей) 37. g5 hg отдаленной проходной на ли- 38. qg4 /a8 (красивый выиг- нии а. 33. uh2 f6 34. sg3 a5 29. qd4! В закрытой позиции рыш получался при 38…f6 35. mc4 a4 36. me3 +b1 37.qc7 подобного типа конь сильнее 39. mh4!! gh 40. h6!) 39. mg5 /g8 38. md5 7h8 39.qa7 a3 ладьи. 29…cd 30. mb3 g5 /a1+ 40. ue2 3e7+ 41. me4 3e8 40. me7 /f8 41. d5 a2 42. sc7 31. md4 3g6 32. g4! fg 33. fg h5 42. uf33a8 43. sa8+/a8 44. f6. 7h7 43. mg6 /g8 44. sf7, чер- 34. mf5 /h7 35. se4 7h8 36. e7 Де-факто у белых лишняя фигу- ные сдались. 3f7 37. d6 cd 38. md6 3g8 ра, так как черный слон полно- 39. me8 3e8 40. se67g7 41.qf1 стью выключен из игры и не А.Русанов /h6 42. qd1 f5 43. se5+ 7f7 способен помешать движению 44. sf5+ /f6 45. sh7+ /e6 белых пешек. 44…g6 45. hg fg 46. sg7 /g6 47. sf8, черные 46.qg6/a2 47. ug4/b2 48.qh6, сдались. черные сдались.
Search
