3ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3 ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ จริ ยุทธ์ โชตกิ ลุ ช่างกลโรงงาน วทิ ยาลัยเทคนคิ ศรีสะเกษ

หนว่ ยการเรียนท่ี 3 ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ สาระสำคญั ฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีความสัมพันธ์กับงานช่างอุตสาหกรรมเปน็ อยา่ งมากสามารถนำมาคำนวณหาคา่ ความยาวด้านชิ้นงานหรือคำนวณหาค่ามุมของชิ้นงานได้ ทำให้ สามารถทำงานได้อย่างถูกต้องตามใบงาน ชิ้นงานสามารถนำไปใช้งานได้อยา่ งถูกต้อง

หนว่ ยการเรยี นท่ี 3 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ 1.ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติมีท้ังหมด 6 ฟงั กช์ นั คอื 1.1 ฟังกช์ ัน sine เขียนย่อๆ เปน็ sin 1.2 ฟังก์ชัน cosine เขยี นย่อๆ เปน็ cos 1.3 ฟังก์ชนั tangent เขียนย่อๆ เป็น tan 1.4 ฟงั กช์ นั cotangent เขยี นยอ่ ๆ เป็น cot 1.5 ฟงั กช์ นั secant เขยี นยอ่ ๆ เปน็ sec 1.3 ฟังก์ชนั cosecant เขยี นยอ่ ๆ เปน็ cosec หรอื csc ฟังก์ชนั ตรีโกณมิตจิ ากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก จากรูปที่ 3.1 สามเหล่ียมมุมฉากมี C เปน็ มุมฉาก a = ด้านตรงขา้ มมุม A b = ด้านตรงขา้ มมมุ B c = ด้านตรงขา้ มมุม C รูปท่ี 3.1 สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ถา้ เรานำดา้ นตรงข้ามมมุ ท้งั สามมาเขยี นเป็นอัตราสว่ นจะได้อัตราส่วนอยู่ 6 อตั ราส่วน ซ่งึ เปน็ 6 ฟังกช์ ันคอื sinA = a = ดา้ นตรงขา้ มมุมA c ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก cosA = b = ดา้ นประชิดมุมA c ด้านตรงขา้ มมุมฉาก tanA = a = ดา้ นตรงขา้ มมุมA b ดา้ นประชิดมมุ A cosecA = c = ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก a ด้านตรงขา้ มมุมA secA = c = ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก b ดา้ นประชิดมุมA cot A = b = ด้านประชิดมมุ A a ดา้ นตรงขา้ มมุมA จากฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิขา้ งตน้ จะได้ค่าต่างๆ ดงั นี้

 sin A = 1 = 1 = a cosec A c c a 1 sin A หรือ cosec A = หรอื sin A•cosec A =1  cos A = 1 = 1 = b sec A c c หรอื หรือ b =1 cos A sec A =1 cos A•sec A  tan A = 1 = 1 = a cot A b b a 1 tan A หรือ cot A = หรอื tan A•cot A = 1  tan A = sin A = ac = a x c = a cos A bc c b b  cot A = cos A = bc = b x c = b sin A ac c a a จากทฤษฎีของปธี ากอรสั สามารถหาคา่ ตา่ งๆ ได้ดังน้ี รปู ท่ี 3.2 หาฟงั กช์ ันจากมมุ A รูปที่ 3.3 หาฟงั ก์ชันจากมมุ B

a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2  นำคา่ a2 หารตลอด  นำคา่ a2 หารตลอด a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 + a2 = a2 a2 + a2 = a2 1 + cot2A = cosec2A 1 + tan2B = sec2B  นำคา่ b2 หารตลอด  นำคา่ b2 หารตลอด a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 + b2 = b2 b2 + b2 = b2 หรือ tan2A + 1 = sec2A หรือ cot2B + 1 = cosec2B 1 + tan2A = sec2A 1 + cot2B = cosec2B  นำค่า c2 หารตลอด  นำคา่ c2 หารตลอด a2 b2 c2 a2 b2 c2 c2 + c2 = c2 c2 + c2 = c2 sin2A + cos2A = 1 sec2B + cosec2B = 1 ตัวอย่างท่ี 3.1 จากรปู จงคำนวณหาค่าความยาวดา้ น c a2+b2 วิธที ำ c2 = 302+402 = 2500 = 2500 รูปที่ 3.4 c= = 50 มม. ตวั อย่างที่ 3.2 จากรปู จงคำนวณหาค่าฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิทงั้ 6 ฟงั ก์ชนั ของมมุ  วธิ ที ำ sin  = b = 4 = 0.8 c 5

cos  = a = 3 = 0.6 c 5 b 4 tan  = a = 3 = 1.33 cosec  = c = 5 = 1.25 b 4 รปู ท่ี 3.5 c 5 sec  = a = 3 = 1.66 cot  = a = 3 = 0.75 b 4 2. กฎของไซน์ กฎของไซน์เป็นทฤษฎีที่เช่ือมโยงระหวา่ งฟงั ก์ชนั ไซนก์ บั รูปสามเหลย่ี มใด ๆ ซ่ึงมีดังน้ี จากรปู  ABC เปน็ สามเหลี่ยมใด ๆ กฎของไซนค์ อื a = b = c sinA sinB sinC รูปท่ี 3.6 ตวั อยา่ งที่ 3.3 ช้นิ งานเป็นรูป  ABC ดังรปู จงคำนวณหาค่ามุม C ความยาวด้าน b และด้าน c วิธที ำ มุม C = 180o - A^ - B^ = 180o – 70o – 60o = 50 องศา รปู ที่ 3.7

จากกฎของไซน์ ab จากกฎของไซน์ sinA = sinB a •sin B b = sinA = 46 x sin 60o sin70 o = 42.39 ac sinA = sinC a •sin C c = sinA = 46 x sin 50o sin70 o = 37.50 3. กฎของโคไซน์ กฎของโคไซน์ เปน็ ทฤษฎีหนึง่ ทเี่ ชื่อมโยงระหวา่ งฟังกช์ นั โคไซนก์ ับรูปสามเหล่ียม ใดๆ ซ่งึ มีดังนี้ จากรปู  ABC เปน็ สามเหล่ยี มใด ๆ กฎของโคไซน์คอื a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B c2 = a2 + b2 - 2ab • cos C รูปท่ี 3.8 ตัวอยา่ งท่ี 3.4 งานชิน้ หนึง่ เปน็ รูปสามเหลยี่ ม ดงั รูป จงคำนวณหาคา่ ความยาวดา้ น a จากกฎของโคไซน์ a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A = 202 + 302 - 2 x 20 x 30 cos60o = 400 + 900 - 1200 x 0.5 รูปท่ี 3.9 a2 = 700 = 26.46 มม.

4. มุมและการวัดมมุ ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีมตี วั แปรอิสระเป็นมมุ ดังน้ันจะตอ้ งศึกษามุมและการวัดมมุ มุมเกดิ จากการหมุนรังสอี อกจากดา้ นเริม่ ต้น จดุ ที่ดา้ นเริ่มตน้ และรังสพี บกนั เรียกวา่ “จดุ ยอดมมุ ” จากรปู ที่ 3.9 เป็นรังสีทเ่ี ริ่มหมุนออกจาก ด้านเร่ิมตน้ OX จุด O เรยี กวา่ “จุดยอดมุม” รูปท่ี 3.10 4.1 มุมถ้าหมุนรังสีทวนเข็มนาฬิกา มมุ จะมีค่าเป็นบวก รปู ที่ 3.11 รงั สหี มุนทวนเขม็ นาฬิกามีค่าเปน็ บวก 4.2 มมุ ถ้าหมนุ รังสตี ามเข็มนาฬิกา มมุ จะมคี ่าเปน็ ลบ รูปท่ี 3.12 รังสีหมนุ ตามเข็มนาฬิกามคี ่าเปน็ ลบ มุมทีใ่ ช้อยใู่ นค่าตรีโกณมิติ จะมีมมุ ในตำแหนง่ มาตรฐาน คอื มมี มุ จุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด(origin) หรือ จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม

การวดั ขนาดของมุมท่ีใชก้ ับฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ มีอยู่ 2 ระบบ คอื การวัดเปน็ องศา และการวดั เป็นเรเดยี น 1. การวดั มมุ เปน็ องศา มุมขนาด 1 องศา เขยี นแทนดว้ ย 1o มุมรอบจดุ จุดหน่ึงจะมขี นาด 360o รูปท่ี 3.13 แสดงการบอกองศาแบบทวนเข็มนาฬิกามุมมีคา่ เปน็ บวก รูปท่ี 3.14 แสดงการบอกองศาแบบตามเขม็ นาฬิกามมุ มคี า่ เปน็ ลบ 2. การวดั มุมเปน็ เรเดียน มุมขนาด 1 เรเดียน คือ มุมท่รี องรบั ความยาวเส้นรอบวงท่ียาวเท่ากบั รศั มี  = s r  = มุมเรเดยี น S = สว่ นโคง้ ที่  รองรบั R = รศั มี รูปที่ 3.15

จากสูตรข้างตน้ ข้างตน้ เราสามารถคำนวณหามุมเรเดยี นจากวงกลมเตม็ วง ดงั นี้  = 360o = ความยาวเสน้ รอบวง รศั มี 2r = r= 2 ความยาวเส้นรอบวงทงั้ วงมมี มุ = 360o = 2เรเดยี น 360 o 180o ดงั น้ัน เรเดียน = 2 = ตวั อยา่ งท่ี 3.5 วงกลมมีรศั มี 10 มม.ถ้ามมี ุม 2 เรเดียน จงคำนวณหาความยาวเส้น รอบวงทีม่ ุม 2 เรเดยี นรองรบั วธิ ที ำ จากสูตร  = s r S = •r = 2 x 10 = 20 มม. ตวั อย่างท่ี 3.6 ถ้าวงกลมมรี ัศมี 10 มม. มีความยาวเส้นรอบวงที่มุม  รองรบั = 30 มม. จงคำนวณหาค่า  นี้ วิธีทำ จากสตู ร  = s r 30 = 10 = 3 เรเดยี น ตวั อย่างท่ี 3.7 มุม 90 องศา ถา้ เทียบเป็นเรเดยี นจะมีคา่ เทา่ ไร วิธีทำ จากสตู ร 180o =  เรเดยี น  x 90o 90o = 180 o =  = 3.14 2 2 = 1.57 เรเดยี น ตวั อยา่ งท่ี 3.8 ถ้าวงกลมมีค่า 3 เรเดียน จะมีค่ากอ่ี งศา วธิ ที ำ จาก  เรเดยี น = 180o 3 เรเดยี น = 180o x 3  180 x 3 = 3.14 = 171.97 องศา

2. การหาฟงั ก์ชันตรีโกณมิตจิ ากวงกลม  วงกลมทีม่ จี ุดศูนยก์ ลางอยู่ท่ีจุดกำเนดิ และมรี ัศมเี ท่ากบั 1 หนว่ ย รูปท่ี 3.16 ก. หมนุ ทวนเข็มนาฬิกา รูปที่ 3.16 ข. หมนุ ตามเข็มนาฬกิ า จากรูปที่ 3.16 ก. กรณีหมนุ ทวนเขม็ นาฬกิ า มมุ จะมคี ่าเป็นบวก ท่ี 0 , 360 องศา x จะมีคา่ = 1 หนว่ ย , y = 0 หน่วย = (1,0) ที่ 90 องศา x จะมคี า่ = 0 หน่วย , y = 1 หนว่ ย = (0,1) ที่ 180 องศา x จะมคี า่ = -1 หนว่ ย , y = 0 หน่วย = (-1,0) ที่ 270 องศา x จะมีคา่ = 0 หน่วย , y = -1 หนว่ ย = (0,-1) จากรปู ท่ี 3.16 ข. กรณีหมนุ ตามเขม็ นาฬกิ า มุมจะมีคา่ เป็นลบ ที่ 0 , -360 องศา x จะมคี า่ = 1 หนว่ ย , y = 0 หน่วย = (1,0) ที่ -90 องศา x จะมีคา่ = 0 หน่วย , y = -1 หนว่ ย = (0,-1) ที่ -180 องศา x จะมีค่า = -1 หนว่ ย , y = 0 หน่วย = (-1,0) ที่ -270 องศา x จะมีคา่ = 0 หนว่ ย , y = 1 หน่วย = (0,1)  ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติจากวงกลมของมุมท่ีอยบู่ นแกน x และแกน y มุมที่อยู่บนแกน x และ แกน y คือ 0o , 90o , 180o , 270o , 360o รูปที่ 3.17 จากรปู ท่ี 3.17 ถา้ วงกลมหนึ่งหน่วย คอื มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย มมุ ที่ 0 , 360 องศา คือจุด (1,0) มมุ ที่ 90 องศา คือจุด (0,1) มุมท่ี 180 องศา คอื จุด (-1,0) มุมท่ี 270 องศา คือจดุ (0,-1) หมายเหตุ : คา่ แรกคอื ค่า x ค่าท่ี 2 คอื ค่า y ตัวอย่างเช่น (1,0) x = 1 , y = 0

ตารางท่ี 3.1 สรปุ ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตขิ องมุมท่อี ยู่บนแกน x และแกน y ทม่ี ีค่า วงกลมหน่งึ หน่วย (รศั มี = 1 หน่วย) ฟังกช์ นั  0o , 360o 90o 180o 270o sin 0 1 0 -1 0 -1 0 cos 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ 0 หาคา่ ไมไ่ ด้ 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ -1 tan 0 หาค่าไมไ่ ด้ -1 หาค่าไมไ่ ด้ 0 หาคา่ ไม่ได้ 0 cosec หาค่าไมไ่ ด้ sec 1 cot หาค่าไมไ่ ด้  การหาคา่ ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติจากวงกลมทม่ี มี ุมอยู่ในจตภุ าคท่ี 1 (0o <  < 90o) รปู ท่ี 3.18 มุมอยู่ในจตภุ าคท่ี 1 จากรูปที่ 3.18 มีมุมหมุนทวนเขม็ นาฬกิ า มีคา่ มุมเปน็ บวก ทั้งค่า x และค่า y จะมคี า่ เปน็ บวกทงั้ สองคา่ จะได้ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติดังน้ี sin  = y cosec  = r r y cos  = x sec  = r r x y x tan  = x cot  = y

ตัวอย่างที่ 3.9 จากรูป จงคำนวณหาคา่ ฟังก์ชันต่างๆ วิธที ำ จาก sin 60o = y = 8.7 = 0.87 r 10 x 5 cos 60o = r = 10 = 0.5 tan 60o = y = 8.7 = 1.74 x 5 r 10 cosec 60o = y = 8.7 = 1.149 sec 60o = r = 10 = 2 x 5 x 5 รปู ที่ 3.19 cot 60o = y = 8.7 = 0.574  การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจากวงกลมที่มีมุมอยู่ในจตุภาคที่ 2 (90o <  < 180o) รูปที่ 3.20 มุมอยู่ในจตภุ าคที่ 2 จากรูปท่ี 3.20 มมุ หมนุ ทวนเข็มนาฬกิ า มมุ จะมคี ่าเปน็ บวก คา่ x จะมีค่าเป็นลบ ค่า y จะมี ค่าเปน็ บวก จะได้ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติดังนี้ sin (180o- ) = sin  = y r x cos (180o- ) = -cos  = r (ค่า x มคี ่าเป็นลบ) (ค่า x มีค่าเป็นลบ) tan (180o- ) = -tan  = y x

cosec (180o- ) = cosec  = r (ค่า x มีค่าเป็นลบ) sec (180o- ) = -sec  = (ค่า x มคี ่าเปน็ ลบ) cot (180o- ) = -cot  = y r x x y ตัวอยา่ งที่ 3.10 จากรปู จงคำนวณหาค่าฟงั กช์ ันตรีโกณมติ คิ า่ ต่างๆ วธิ ที ำ จาก sin 120o = y = 8.7 = 0.87 r 10 = -0.5 x -5 = -1.74 cos 120o = r = 10 = 1.149 = -2 tan 120o = y = 8.7 = -0.574 x -5 r 10 cosec 120o = y = 8.7 sec 120o = r = 10 x -5 รูปท่ี 3.21 x -5 cot 120o = y = 8.7

 การหาคา่ ฟังกช์ ันตรโี กณมิติจากวงกลมท่ีมมี มุ อยู่ในจตภุ าคที่ 3 (180o<  < 270o) รูปที่ 3.22 มมุ อยใู่ นจตภุ าคท่ี 3 จากรูปท่ี 3.22 มุมหมนุ ทวนเข็มนาฬิกา มมุ จะมีคา่ เป็นบวก ค่า x และ y จะมคี ่า เปน็ ลบทง้ั สองคา่ จะไดค้ า่ ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ดิ งั นี้ sin (180o+ ) = -sin  = y (คา่ y มีค่าเปน็ ลบ) cos (180o+ ) = r (คา่ x มีค่าเปน็ ลบ) tan (180o+ ) = x (คา่ x, y มีคา่ เป็นลบ) cosec (180o+ ) = -cos  = r (ค่า y มีค่าเป็นลบ) sec (180o+ ) = (คา่ x มีค่าเปน็ ลบ) cot (180o+ ) = tan  = y (คา่ x, y มีคา่ เปน็ ลบ) x r -cosec  = y -sec  = r x x cot  = y ฟงั กช์ นั ท่มี คี ่าเปน็ ลบ คือ -sin , -cos , -cosec  , -sec  ทเี่ หลอื ทกุ ฟงั กช์ นั มคี ่า เปน็ บวกทงั้ หมด

ตวั อย่างที่ 3.11 จากรูป จงคำนวณหาค่าฟังก์ชันตรโี กณมติ คิ า่ ตา่ งๆ วิธีทำ จาก รูปที่ 3.23 y = - 8.7 = -0.87 r 10 = -0.5 sin 240o = x -5 = 1.74 cos 240o = r = 10 = -1.149 tan 240o = y = -2 cosec 240o = x = - 8.7 = 0.574 sec 240o = r -5 cot 240o = y 10 r = - 8.7 x x = 10 y -5 -5 = - 8.7  การหาค่าฟังกช์ ันตรโี กณมิตจิ ากวงกลมทม่ี ีมุมอยู่ในจตุภาคท่ี 4 (270o< < 360o) รูปท่ี 3.24 มมุ อยู่ในจตภุ าคท่ี 4 จากรปู ท่ี 3.24 มุมหมุนทวนเข็มนาฬิกา มมุ จะมคี ่าเป็นบวก คา่ x จะมีค่าเป็นบวก คา่ y จะมคี า่ เป็นลบ จะได้คา่ ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ดิ งั น้ี

sin (360o- ) = -sin  = y (คา่ y มีค่าเป็นลบ) r x cos (360o- ) = cos  = r tan (360o- ) = -tan  = y (คา่ y มีค่าเปน็ ลบ) x r cosec(360o- ) = -cosec  = y (ค่า y มีค่าเป็นลบ) sec (360o- ) = sec  = r x x cot (360o- ) = -cot  = y (คา่ y มีค่าเปน็ ลบ) ตัวอย่างที่ 3.12 จากรปู จงคำนวณหาค่าฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติค่าต่างๆ รูปที่ 3.25 วิธที ำ จาก sin 240o = y = - 8.7 = -0.87 cos 240o = r 10 = -0.5 tan 240o = x -5 = 1.74 cosec 240o = r = 10 sec 240o = y = -1.149 cot 240o = x = - 8.7 = -2 r -5 = 0.574 y 10 r = - 8.7 x x = 10 y -5 -5 = - 8.7

สรุป จะเหน็ วา่ มมุ ท่อี ยูใ่ นจตภุ าคต้ังแตจ่ ตภุ าคที่ 1 – 4 สามารถสรุปคา่ ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ ว่ามีเคร่ืองหมายบวกหรอื ลบไดด้ งั น้ี y ฟงั ก์ชัน sin และ cosec มีคา่ บวก ฟังกช์ นั ทีเ่ หลือ ทุกฟังกช์ ันมีค่าเป็นบวก -x ฟมังกีค์ช่าเันปน็taลnบทแลั้งหะมcดoto ฟงั กช์ ัน cos แxละ sec มคี า่ เป็นบวก ฟังก์ชนั มีคา่ เปน็ บวก ฟงั กช์ นั ทเ่ี หลือ ท่ีเหลอื มีค่าเป็นลบทัง้ หมด มคี ่าเปน็ ลบทง้ั หมด -y