Pola Bilangan

Pola Bilangan MATA PELAJARAN : MATEMATIKA MODUL :1 KELAS/ SEMESTER : VIII / Gasal TAHUN PELAJARAN : 2020/2021 PENDAHULUAN 1. Tujuan Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta didik dapat memahami, menjelaskan, dan menggunakan dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar. 2. Cara Penggunaan Modul Secara umum cara penggunaan modul pada setiap kegiatan Pembelajaran selalu disesuaikan dengan scenario penyajian materi. Untuk menyelesaikan paket modul ini diharapkan peserta didik melaksanakan semua kegiatan yaitu: mempelajari materi pembelajaran, mengerjakan kegiatan/soal pada Tugas dan mengumpulkan kembali Tugas yang telah dikerjakan. KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan 1 : Pola Bilangan Pengertian barisan bilangan Pada modul ini Kamu akan mempelajari pola bilangan barisan. Sebelumnya Kamu perhatikan dengan baik kalimat dibawah ini. Bila Kamu menyebutkan bilangan-bilangan dengan suatu aturan tertentu, maka bilangan- bilangan itu akan membentuk suatu barisan. Tiap bilangan disebut suku. Akan lebih jelas jika Kamu melihat contohnya Contoh 1 1, 3, 5, 7,… adalah barisan bilangan aturannya, setiap suku ditambah 2, untuk memperoleh suku berikutnya. 1 adalah suku pertama 3 adalah suku kedua, didapat dari 1 + 2 5 adalah suku ketiga didapat dengan 3 + 2 7 adalah suku keempat didapat dengan 5 + 2 Contoh 2 2, 5, 8, 11, …adalah barisan bilangan aturannya, setiap suku ditambah 3, untuk memperoleh suku berikutnya. 2 adalah suku pertama 5 adalah suku kedua, dari 2 + 3 8 adalah suku ketiga, yaitu 5 + 3 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 1 Modul Matematika Kelas VIII

11 adalah suku keempat yaitu dari 8 + 3 Bagaimana, mudah bukan ? Sekarang kerjakan oleh kamu latihan di bawah ini. Latihan Tentukan aturan dari barisan bilangan berikut a. 3, 6, 9, 12, …… b. 3, 6, 12, 24, ……. c. 100, 96, 92, 88, …… Jika jawabanmu belum semuanya benar maka cobalah diulang sampai mendapat hasil yang baik. Jawaban latihan dapat di cocokkan dengan jawaban di bawah ini. Jawaban Latihan a) 3, 6, 9, 12 …. Aturannya tambahkan tiga untuk memperoleh suku berikutnya. berikutnya. 12 Caranya : suku pertama 3 9 suku ke – dua 3+3=6 6 suku ke – tiga 6+3=9 3 9 + 3 = 12 suku ke- empat b) 3, 6, 12, 24, … aturannya kalikan dua untuk memperoleh suku berikutnya …. Caranya suku pertama 3 24 suku ke – dua 2×3 =6 12 suku ke – tiga 2 × 6 = 12 6 suku ke – empat 2 × 12 = 24 3 c) 100, 96, 92, 88, … aturannya kurangi 4 untuk memperoleh suku berikutnya Caranya 100 – 4 = 100 100 = 96 96 suku pertama 96 - 4 = 92 92 suku ke – 2 92 – 4 = 88 88 suku ke – 3 suku ke – 4 Cobalah kembali latihan berikut ini : …. Tulislah dua suku berikutnya dari barisan bilangan a) 0, 3, 6, 9, 12, …, …. b) 2, 6, 10, 14, …., ….. c) 3, 6, 12, 24, …, …. d) 100, 96, 92, 88, …, …. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 2 Modul Matematika Kelas VIII

Pada latihan sebelumnya Kamu sudah mengetahui aturannya, sehingga jawabannya adalah : a) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 ; dua suku berikutnya 15 dan 18 b) 2, 6, 10, 14, 18, 22, ; dua suku berikutnya 18 dan 22 c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, ; dua suku berikutnya 48 dan 96 d) 100, 96, 92, 88, 84, 80 ; dua berikutnya 84 dan 80 Dari contoh-contoh yang Kamu pelajari dan latihan-latihan, saya harap Kamu sudah mengerti yang dimaksud dengan barisan bilangan. Berikut ini akan saya berikan contoh lain dari barisan bilangan yang disusun dalam segitiga Pascal. 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Perhatikan gambar segitiga pascal di atas Kamu dapat melihat ada 2 diagonal. Masing-masing diagonal tersebut membentuk suatu barisan bilangan. Barisannya : 1, 3, 6, 10, 15, 21. Aturannya sebagai berikut : suku pertama 1 =1 suku ke- dua 1+2 = 3 = 1+2 suku ke –tiga 3+3 = 6 = 1+2+3 suku ke empat 6 + 4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 suku ke-lima 10 + 5 = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 suku ke-enam 15 + 6 = 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Barisan bilangan tersebut mempunyai pola yang dapat digambarkan dengan segitiga. Beberapa barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan cara lain, yaitu berupa pola-pola bilangan perhatikan contoh berikut : Contoh : Barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, . . . . misalkan pola barisan bilangan asli dapat Kamu susun dari biji atau batu-batu kecil seperti di bawah ini cobalah olehmu. • , • • , • • • , • • • •, … Kemudian dapat juga kita buat barisan bilangan dengan pola persegi (bujur sangkar). MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 3 Modul Matematika Kelas VIII

Bagaimanakah bentuk barisannya ? Samakah hasilnya seperti gambar berikut ? •• ••• ••• • … • •• ••• ••• • ••• ••• • ••• • Untuk membentuk barisan bilangannya dapat kamu hitung dari banyaknya biji-bijian yang Kamu susun, barisan tersebut adalah 1, 4, 9, 16, ….. Dapat juga kamu katakan barisan bilangan asli pangkat dua. Mengapa disebut demikian ? …… karena barisan 1, 4, 9, 16, ….. aturannya 12, 22, 32, 42, …… Sekarang dapatkah kamu dan teman-temanmu menyusun batu-batu kecil atau biji-bijian menjadi bentuk pola segitiga ? Jika sudah cocokkan dengan susunan pada gambar di bawah ini. • • • … • •• •• •• ••• ••• •••• Barisan adalah 1, 3, 6, 10, …. Dengan contoh-contoh dan cara kamu menyusun batu-batu kecil atau biji-bijian sudah Kamu lihat beberapa pola yang dapat disusun menjadi suatu barisan bilangan. Dengan demikian pasti kamu sudah dapat memahami uraian materi yang telah kamu pelajari. Sekarang coba kamu kerjakan latihan berikut. Susun dahulu dari biji-bijian, setelah itu dapat kamu gambarkan di buku dan dilanjutkan dengan 2 buah pola berikutnya. •• ••• •••• ••• •••• •••• Setelah kamu selesai mengerjakan, cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut. Jika hasilmu belum semuanya benar ulangi kembali. Jawab. OOOOOO OOOOO OOOOOO OOOO OOOOO OOOOOO OOO OOOO OOOOO OOOOOO O O, O O O, O O O O, O O O O O, O O O O O O Jika kamu perhatikan maka barisannya mempunyai pola persegi panjang. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 4 Modul Matematika Kelas VIII

Barisannya : 2, 6, 12, 20, 30. suku pertama = 2 = 2 × 1 suku ke-dua = 6 = 3 × 2 suku ke – tiga = 12 = 4 × 3 suku ke – empat = 20 = 5 × 4 suku ke – lima = 30 = 6 × 5 Tugas 1 1. Tentukan aturan dari barisan bilangan berikut a. 2, 4, 8, 16, … b. 60, 55, 50, 45, … c. 1, 10, 100, 1000, … d. 64, 32, 16, 8 2. Tulislah dua suku berikutnya dari barisan bilangan berikut a. 1, 5, 9, 13, … , … b. 5, 8, 11, 14, …, … c. 0, 1, 4, 9, 16 …, … d. 2, 4, 8, 16, …, … e. 1, 3, 6, 10, …. f. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.... 2 5 9 14 20 3. Isilah titik-titik di bawah ini sehingga menjadi barisan bilangan yang benar. a. 23, 20, …. 14, 11, ….., ……. b. 12, 24, ….. 96, ….., 384 c. 8, …… 12, 14, …., 18 d. 56, …., 64, 68, 72, ……, ……. 4. Gambarlah pola titik untuk menunjukkan a. barisan bilangan bujur sangkar 1, 4, 9, 16, …… b. barisan bilangan persegi panjang 2, 6, 12, 20, …. Kerjakan olehmu tugas 1 ini dengan sebaik-baiknya. Apabila telah selesai Kamu dapat mencocokkan jawabanmu dengan kunci tugas. Apabila dalam mengerjakan tugas ada jawaban yang belum betul, pelajari sekali lagi materi pada kegiatan ini. Kemudian Kamu dapat mulai mempelajari kegiatan dua. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 5 Modul Matematika Kelas VIII

Kegiatan 2 : Barisan Aritmatika Barisan aritmatika Setelah mempelajari kegiatan 1, tentu kamu dapat memahami berbagai barisan bilangan. Dari berbagai barisan bilangan tersebut ada aturan – aturan tertentu sehingga dinamakan barisan aritmetika. Cobalah perhatikan barisan – barisan berikut : a. 1, 3, 5, 7, … b. 3, 7, 11, 15, … c. 20, 17, 14, 11, … Tampak bahwa setiap barisan, selisih antara dua suku yang berdekatan sama atau tetap. Barisan yang mempunyai ciri demikian dinamakan barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan dinamakan beda dengan lambang (b) dan suku pertama (U1 ) dinamakan a * Pada barisan pertama : 1, 3, 5, 7, …. Beda = 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 jadi b = 2 dan a = 1 * Pada barisan kedua : 3, 7, 11, 15, …. Beda = 7 – 3 = 11 – 7 = 15 – 11 jadi b = 4 dan a = 3 * Pada barisan ketiga : 20, 17, 14, 11, … Beda = 17 – 20 = 14 – 17 = 11 – 14 jadi b = -3 dan a = 20 Secara umum barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan : Sebuah barisan U1, U2, U3, U4, …. ,Un, jika untuk setiap n berlaku Un - (Un-1 ) = b, dengan b konstan / tetap Suku ke-n barisan aritmetika Urutan barisan secara umum dapat dinyatakan dengan : U1, U2, U3, U4, …. Un Jika dalam barisan tersebut untuk setiap n berlaku Un - Un-1 = b , dengan b konstan atau tetap, maka barisan tersebut adalah barisan aritmetika. U1 = Urutan pertama U2 = Urutan ke-2 U3 = Urutan ke-3 . . Un = Urutan ke-n MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 6 Modul Matematika Kelas VIII

Jika suku pertama dari barisan aritmetika = a dan bedanya = b, maka suku – suku barisan itu adalah … U1, U2, U3, …. ,Un a a+b a + 2b a + (n-1) b Jadi suku ke – n barisan aritmetika dapat dinyatakan dengan rumus : Un = a + (n-1) b Setelah kamu memahami, perhatikan contoh berikut : Contoh 1 Tentukan suku pertama, beda dan suku ke-20 dari barisan berikut : a. 2, 5, 8, 11, … b. 10, 6, 2, -2, … Jawab : a. Barisan 2, 5, 8, 11 - Suku pertama a = 2 dan beda b = 5 – 2 = 3 - Un = a + (n-1) b U20 = 2 + (20-1) 3 = 2 + 19 x 3 = 2 + 57 Jadi suku ke -20 = 59 b. Barisan 10, 6, 2, -2 - Suku pertama a = 10 dan beda b = 6 – 10 = -4 - Un = a + (n-1) b U20 = 10 + (20-1) -4 = 10 + 19 x -4 = 10 + (-76) Jadi suku ke -20 = -66 Contoh 2 Diketahui barisan aritmetika dengan suku ketiga 14 dan suku keenam 29. tentukan suku ke - 50 ? Jawab : U3 = 14 dan U6 = 29 U6 = a + (6 -1) b = a + 5b = 29 …….( 1 ) U3 = a + (3 -1) b = a + 2b = 14 - …..( 2 ) 3b = 15 b =5 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 7 Modul Matematika Kelas VIII

(1) a + 5b = 29 a + 5(5) = 29 a + 25 = 29 maka a = 4 Un = a + (n-1)b U50 = 4 + (50 - 1) x 5 = 4 + 49 x 5 = 4 + 245 = 249 Jadi suku ke-50 = 249 Dari contoh dan pembahasan di atas apakah kamu sudah paham? Jika kamu belum paham, cobalah pelajari kembali sampai kamu benar-benar paham. Untuk mengetahui sejauhmana pemahamanmu, kerjakan setiap soal latihan berikut. Latihan 1. Tentukan suku ke – 100 dari barisan 6, 9, 12, 15, … 2. Diketahui suku pertama barisan aritmetika 20 dan bedanya 7. tentukan suku ke-10 ? 3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-2 adalah 43 dan suku ke-4 adalah 29. tentukan suku pertama, beda dan suku ke-25 ? Sudahkah latihan di atas kamu kerjakan !. Jika sudah cocokanlah dengan jawaban di bawah ini. Jawaban Latihan 1. Diketahui a = 6, dan b = 9 - 6 = 3. U100 = …? Un = a + (n-1) b U100 = 6 + (100-1) x 3 = 6 + 99 x 3 = 6 + 297 Jadi suku ke -100 = 303 2. Diketahui a = 20, dan b = 7 = 3. U10 = …? Un = a + (n-1) b U10 = 20 + (10-1) x 7 = 20 + 9 x 7 = 20 + 63 Jadi suku ke -10 = 83 3. U2 = 43 U4 = 29 U4 = a + (4 -1) b = a + 3b = 29……..( 1 ) U2 = a + (2 -1) b = a + 1b = 43 -……( 2 ) 2b = -14 b = -7 ➔ Beda (1) a + 3b = 29 a +3(-7) = 29 a - 21 = 29 a = 50 ➔ Suku pertama MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 8 Modul Matematika Kelas VIII

Un = a + (n-1)b U25 = 50+ (25 - 1) x -7 = 50 + 24 x -7 = 50 - 168 = -118 Jadi suku ke-25 = -118 Bagaimana jawabanmu ? apakah sudah sesuai dengan kunci jawaban. Jika belum jangan kecil hati cobalah sekali lagi. Jika sudah, kerjakan tugas berikut supaya lebih menguasai. Tugas 2 1. Diketahui suku pertama dari barisan aritmetika adalah 2 dan bedanya 7. Tentukanlah suku ke-12 ? 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan aritmetika berikut : a. 40, 37, 34, 31, … b. 7, 15, 23, 31, … 3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-2 adalah 19 dan suku ke -5 adalah 28. Tentukan jumlah suku ke-10 dan suku ke-11 ? Kegiatan 3 : Barisan Geometri. Barisan geometri. Setelah mempelajari kegiatan 2, tentu kamu dapat memahami berbagai barisan yang mempunyai aturan – aturan tertentu sehingga dinamakan barisan aritmetika . Pada kegiatan 3 ini kita akan mempelajari barisan geometri. Cobalah perhatikan barisan – barisan berikut : a. 2, 4, 8, 16, … b. 81, 27, 9, 3, … c. -1, 3, -9, 27, …. Pada barisan–barisan tersebut tampak bahwa perbandingan dua suku yang berurutan adalah tetap atau konstan. Barisan yang memiliki ciri demikian dinamakan barisan geometri. Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan geometri disebut pembanding atau rasio dilambangkan dengan r. Pada barisan 2, 4, 8, 16, … rasio atau r = 4 = 8 = 2 dan a = 2 24 Pada barisan 81, 27, 9, 3, … rasio atau r = 27 = 9 1 dan a = 81 = 81 27 3 Pada barisan -1, 3, -9, 27, …. rasio atau r = 3 = − 9 = -3 dan a = -1 −1 3 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 9 Modul Matematika Kelas VIII

Secara umum barisan geometri dapat dinyatakan dengan : Sebuah barisan U1, U2, U3, U4, …. Un, berlaku Un = r, dengan r konstan / tetap U n −1 a. Suku ke-n barisan aritmetika Setelah kamu memahami pengertian barisan geometri sekarang kita akan mempelajari suku ke-n barisan geometri. Jika suku pertama dan rasio dari barisan geometri adalah a dan r, maka suku – sukunya sebagai berikut : U1, U2, U3, U4,…. ,Un a a.r a.r2 a.r3 a.r n-1 Jadi secara umum suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus : Un = a.r n-1 Untuk setiap n berlaku Un = r (rasio) Un-1 CONTOH 1 : Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-6 barisan geometri berikut : a. 1, 3, 9, 27, …. b. 3, 6, 12, 24, … c. 32, 16, 8, 4, … d. 2, -6, 18, -54, … Jawab : a. Suku pertama a = 1, rasio r = 3 = 3 1 Suku ke-6 = ? Un = a.rn-1 U6 = 1 x 36-1 = 1 x 35 = 1 x 243 =243 b. Suku pertama a = 3, rasio r = 6 = 2 3 Suku ke-6 = ? Un = a.r n-1 U6 = 3 x 25 = 3 x 32 = 96 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 10 Modul Matematika Kelas VIII

c. Suku pertama a = 32, rasio r = 16 = 1 32 2 Suku ke-6 = ? Un = a.r n-1 U6 = 32 x  1 5 2 = 32 x 1 = 1 32 d. Suku pertama a = 2, rasio r = − 6 = -3 2 Suku ke-6 = ? Un = a.r n-1 U6 = 2 x (-3)5 = 2 x -243 = -486 Sudahkah kamu memahaminya ? jika belum ulangi lagi, tetapi jika sudah kerjakan soal latihan berikut ! Latihan 1. Tentukan suku pertama, rasio serta suku ke-7 barisan berikut : a. 2, 8, 16, 32, … b. 64, 32, 16, 8, …. c. 1 1 1 , …. 1, , , 3 9 81 d. 4, -8, 16, -32, … Bagaimanakah hasil pekerjaan kamu ? Coba cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut Jawab Latihan : a. Suku pertama a = 2, rasio r = 8 = 4 2 Suku ke-7 = ? Un = a.r n-1 U7 = 2 x 46 = 2 x 4096 = 8192 b. Suku pertama a = 64, rasio r = 32 = 1 64 2 Suku ke-7 = ? Un = a.r n-1 U7 = 64 x  1 6 2 = 64 x 1 = 1 64 1 c. Suku pertama a = 1, rasio r = 3 = 1 13 Suku ke-7 = ? Un = a.r n-1 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 11 Modul Matematika Kelas VIII

U7 = 1 x  1  6 3 = 1x 1 = 1 729 729 d. Suku pertama a = 4, rasio r = − 8 = -2 4 Suku ke-7 = ? Un = a.r n-1 U7 = 4 x (-2)6 = 4 x 64 = 256 Contoh 2. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 5 dan suku ke-3 = 45. jika rasio ini positif. Tentukan : a. Rasio barisan geometri b. Rumus umum suku ke-n c. Suku ke berapa yang sama dengan 1215 ? Jawab : a. a = 5 dan U3 = 45 U3 = ar2 45 = 5 x r2 r2 = 9 ( 45 : 5 ) r =  3, karena rasionya positif maka diambil r = 3 b. Suku ke-n Un = a.r n-1 Un = 5 x (3)n-1 c. Untuk suku ke-n = 1215, n = …? Un = 5 x (3)n-1 1215 = 5 x 3 n-1 3 n-1 = 1215 : 5 3 n-1 = 243 3 n-1 = 35 jadi n = 6 Contoh 3 Barisan geometri, suku ketiga dan kelimanya adalah 27 dan 3, rasio barisan geometri positif. Tentukan : a. Rasio dan suku pertama b. Suku ke-8 Jawab : a. U5 = 3  a.r4 = 3 …. (1) U3 = 27  a.r2 = 27 …. (2) a . r4 3 a . r 2 = 27 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 12 Modul Matematika Kelas VIII

r2 = 1  r= 1 9 3 a.r2 = 27 a x  1 2 = 27 3 a x 1 = 27 9 a = 27 : 1 9 = 27 x 9 1 = 243 b. Suku ke-8 = ? Un = a.r n-1 U8 = 243 x  1 7 3 = 243 x  1   2187  =1 9 Sudahkah kamu pahami contoh – contoh diatas ? Jika sudah coba kerjakan latihan berikut : Latihan 1. Suatu barisan geometri suku pertama 3 dan suku keempat adalah 24. jika rasio positif. Tentukanlah : a. rasio b. Suku ke – 9 2. Suku keempat dan keenam barisan geometri adalah 1 dan 1 . Jika rasio positif. 28 Tentukanlah : a. rasio b. Suku ke – 10 Setelah kamu kerjakan latihan tersebut, periksalah pekerjaanmu dengan pembahasan dibawah ini : Jawab : 1. a. Diketahui a = 3 dan U4 = 24 U4 = ar3 24 = 3 x r3 r3 = 24 : 3 r3 = 8 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 13 Modul Matematika Kelas VIII

r = 38 = 2 b. Un = a.r n-1 U8 = 3 x 27 = 3 x 128 = 384 1 1 2. a. Diketahui U4 = dan U6 = 2 8 1 U6 = 8 U4 1 2 a.r5 1 2 =x a . r3 81 r2 = 1 4 r = 1 2 r = 1 (karena r positif) 2 1 U4 = 2 a.r3 = 1 2 a x  1 3 = 1 2 2 ax 1 = 1 82 a =1 :1 28 = 1 x 8 =4 21 b. Un = a.r n-1 U10 = 4 x  1 10−1 2 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 14 Modul Matematika Kelas VIII

= 4 x  1 9 2 =4x 1 512 =1 128 Setelah selesai kamu kerjakan soal – soal latihan tersebut, kerjakanlah tugas berikut supaya kamu lebih lancar lagi. Tugas 3 1. Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke – 8 a. 1, 3, 9, 27, … b. 128, 64, 32, 16, … c. 6, -12, 24, -48, … 2. Suku pertama dan keempat barisan geometri adalah 4 dan 32. tentukan rasio dan suku ke- 10 ? 1 3. Suku kedua dan kelima barisan geometri adalah 3 dan 9 Tentukan : a. rasio dan suku pertama b. suku ke-6 Kegiatan 4: Deret Aritmetika 1. Pengertian deret aritmetika Jika U1 , U 2 , U 3 , …..,U n merupakan suku-suku suatu bilangan , maka bentuk penjumlahan U1 + U 2 + U 3 + ……+U n dinamakan deret. Dengan perkataan lain : Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan Oleh karena itu, jika 1, 4, 7, 10, …., 28 adalah barisan aritmatika, maka 1 + 4 + 7 + 10 + …. + 28 adalah deret aritmatika. Bentuk penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika dinamakan deret aritmatika. Dalam bentuk umum : Jika U1, U2, U3, …., Un merupakan barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + ….+ Un dinamakan deret aritmatika. b. Jumlah n suku pertama Jika jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, maka : MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 15 Modul Matematika Kelas VIII

Sn = U1 + U2 + U3 + ….+ U(n-2) + U(n-1) + Un Atau Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. +[a+(n-3)b] + [a+(n-2)b] + [a+(n-1)b]…. (1) Jika penjumlahan persamaan (1) dibalik, maka : Sn = [a+(n-1)b] + [a+(n-2)b] + [a+(n-3)b] +…. + (a + 2b) +(a + b) + a …. (2) Penjumlahan persamaan (1) dan (2) 2.Sn = [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b] +…. + [2a + (n-1)b +(2a + (n-1)b] …. (3) Penjumlahan yang terdiri dari n suku 2.Sn = n [2a + (n-1)b] atau Sn = n (2a + (n − 1)b) 2 Karena a + (n-1)b = Un maka Sn = n (a + Un) 2 Setelah kamu mengetahui rumus jumlah n suku pertama, perhatikan contoh untuk menghitung deret aritmatika di bawah ini : Contoh 1 : 1. Diketahui deret aritmatika 4 + 6 + 8 + 10 + …. Tentukanlah : a. rumus suku – n barisan aritmatika b. rumus jumlah n suku pertama c. jumlah 20 suku pertama Jawab : a. Barisan yang bersesuaian 4, 6, 8, 10, …. a=4 dan b = 2 Un = a + (n – 1) b = 4 + (n – 1) x 2 = 4 + 2n – 2 = 2n + 2 b. Rumus jumlah n suku pertama Sn = n (a + Un) 2 = n (4 + 2n + 2) 2 = n (2n + 6) 2 = n2 + 3n MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 16 Modul Matematika Kelas VIII

c. Jumlah 20 suku pertama : n = 20 Sn = n2 + 3n S20 = 202 + 3 x 20 = 400 + 60 = 460 Cara 2 : Sn = n (2a + (n − 1)b) 2 S20 = 20 (2(4) + (20 − 1)x2) 2 = 10 (8 + 38) = 10 x 46 = 460 Contoh 2 : Suku ketiga dan suku ke 5 suatu barisan aritmatika adalah 34 dan 28 Tentukanlah : a. Suku pertama dan beda dari barisan itu. b. Jumlah 10 suku pertama Jawab : U3 = 34 dan U5 = 28 a. U5 = a + 4b = 28 ……….(1) U3 = a + 2b = 34 - ……. (2) 2b = -6 b = -3 jadi beda = -3 (1) a + 4b = 28 a + 4(-3) = 28 a + 12 = 28 a = 40 jadi suku pertama = 40 b. Jumlah 10 suku pertama, n = 10 Sn = n (2a + (n − 1)b) 2 S10 = 10 (2(40) + (10 − 1)x − 3) 2 = 5 [80 + 9 x -3] = 5 [80 + (-27)] = 5 [53] = 265 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 17 Modul Matematika Kelas VIII

Pelajarilah contoh-contoh tersebut, setelah kamu memahaminya, cobalah untuk berlatih mengerjakan latihan berikut : Latihan 1. Tentukanlah jumlah 20 suku pertama dari deret berikut : a. 2, 5, 8, 11, …. b. 50, 46, 42, 38, …. 2. Tentukan jumlah deret berikut ini : 3 + 5 + 7 + 9 + …. + 27 3. Suku kedua dan kelima barisan aritmatika adalah 5 dan 17. Tentukan jumlah 50 suku pertama. Sudahkah soal latihan di atas kamu kerjakan, jika sudah periksalah hasilnya dengan jawaban di bawah ini. Jawaban Latihan 1. a. Suku pertama a = 2, b = 3 dan n = 20 Sn = n (2a + (n − 1)b) 2 S20 = 20 (2(2) + (20 −1)  3) 2 = 10 [4 + 19 x 3] = 20 [4 + 57] = 20 x 61 = 1220 Jadi jumlah 20 suku pertama adalah 1220 b. Suku pertama a = 50, b = -4 dan n = 20 Sn = n (2a + (n − 1)b) 2 S20 = 20 (2(50) + (20 −1)  −4) 2 = 10 (100 + 19 x -4) = 10 (100 + (-76)) = 10 x 24 = 240 Jadi jumlah 20 suku pertama = 240 2. a = 3, b = 2 dan Un = 27 Un = a + (n – 1)b 27 = 3 + (n – 1) x 2 27 = 3 + 2n – 2 27 = 2 n + 1 26 = 2n n = 13 Sn = n (a + Un) 2 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 18 Modul Matematika Kelas VIII

S13 = 13 (3 + 27) 2 = 13 x 30 2 = 195 Jumlah 3 + 5 + 7 + …. + 27 = 195 3. U2 = 5, U5 = 17, dan n = 50 U5 = a + 4b = 17 ……….(1) U2 = a + b = 5 - ……….(2) 3b = 12 b =4 (1) a + 4b = 17 a + 4(4) = 17 a + 16 = 17 a =1 Sn = n (2a + (n − 1)b) 2 S50 = 50 (2(1) + (50 − 1)x4) 2 = 25 [2 + 49 x 4] = 25 [2 + 196] = 25 x 198 = 4950 Apakah pekerjaanmu sudah sesuai dengan jawaban di atas ? Jika belum coba ulangi sekali lagi dan jika sudah memahami, cobalah kerjakan tugas di bawah ini : Tugas 4 1. Tentukanlah jumlah 40 suku pertama dari : a. 2, 7, 12, 17, …. b. 15, 12, 9, 6, …. 2. Tentukan jumlah deret berikut ini : a. 4 + 9 + 14 + 19 + …. + 49 b. 1 + 5 + 9 + 13 + …. + 49 3. Suku ketiga dan kelima barisan aritmatika adalah 11 dan 1 Tentukanlah jumlah 30 suku pertama MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 19 Modul Matematika Kelas VIII

Kegiatan 5: Deret Geometri. a. Pengertian deret geometri Masih ingatkah kamu tentang pengertian deret aritmatika, demikian juga pengertian deret geometri. Sehingga secara umum dapat dikatakan bahwa : Jika U1, U2, U3, …., Un merupakan barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + ….+ Un disebut deret geometri b. Jumlah n suku pertama Seperti halnya pada deret aritmatika, jumlah n suku pertama pada deret geometri juga dilambangkan dengan Sn. Jadi pada deret geometri : Sn = U1 + U2 + U3 + ….+ Un Atau Sn = a + ar + ar2 + ….. + arn-1 …. (1) Jika persamaan (1) dikali dengan r, maka didapat r  Sn = a.r + a.r2 +...+ a.rn ……(2) Hasil pengurangan persamaan (1) oleh persamaan (2) adalah : (1 – r)Sn = a (1 – rn) Sehingga Sn = a(1 − rn) untuk r < 1. 1− r Atau Sn = a(r n − 1) untuk r > 1. r −1 Setelah kamu memahami pembahasan tersebut, maka perhatikanlah contoh-contoh berikut. Contoh 1: Tentukanlah jumlah 7 suku pertama dari deret geometri 4 + 8 16 + 32 + …. Jawab : a = 4, r = 8 = 2 dan n = 7 4 Sn = a(r n − 1) ….. karena r = 2 atau r>1 r −1 4(27 − 1) S7 = 2 −1 = 4(128 −1) 1 = 4 x 127 = 508 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 20 Modul Matematika Kelas VIII

Contoh 2 Tentukan jumlah 9 suku pertama dari 160 + 80 + 40 + 20 + …. Jawab : a = 160, r = 80 = 1 dan n = 9 160 2 Sn = a(1 − r n ) …. karena r = 1 atau r < 1 1−r 2 S9 = 1601 −  1 9  2  1− 1 2 1601 − 1  =  512  1 2 160 x 511 = 512 1 2 = 160 x 511 x 2 512 1 = 319, 375 Jadi jumlah 9 suku pertama adalah 319,375 Contoh 3 : Diketahui deret geometri dengan suku ketiga 9 dan suku kelima 81. Tentukanlah : a. suku pertama dan rasio b. suku ke – 6 c. jumlah 6 suku pertama Jawab : U3 = 9 dan U5 = 81 a. a = ? b=? U5 = ar4 = 81 ….. (1) U3 = a.r2 = 9 …… (2) ar 4 = 81 ar2 9 r2 = 9 r =3 (2) a.r2 = 9 a x 32 = 9 ax9 =9 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 21 Modul Matematika Kelas VIII

a =9 Suku pertama = 1 dan rasio = 3 b. Un = arn-1 U6 = 1 x 36-1 = 1 x 35 = 243 a(r n − 1) c. Sn = r − 1 karena r = 3 atau r > 1 1(36 − 1) S6 = 3 −1 = 1(729 − 1) 2 = 364 Bagaimana hasil pekerjaanmu, sudah benar semua ? Jika belum coba ulangi sekali lagi dan jika sudah paham, kerjakan latihan berikut : Latihan 1. Tentukan suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri berikut : a. 2, 6, 18, 36, … b. 64, 32, 16, 8, …. 2. Dari deret geometri berikut 128, -64, 32, -16, …., tentukan : a. rasio b. jumlah 9 suku pertama 3. Suku ke-2 dan ke-5 deret geometri adalah 1 dan 8. Tentukan jumlah 10 suku pertama. Sudahkah kamu kerjakan soal latihan tersebut, jika sudah periksalah pekerjaanmu dengan pembahasan di bawah ini. Jawaban Latihan 1. a. a = 2, r = 6 = 3 dan n = 8 2 Suku ke-8 (U8) = ? Un = a.rn-1 U8 = 2 x 38-1 = 2 x 37 = 2 x 2187 = 4374 Jumlah 8 suku pertama ( S8 ) = ? a(r n − 1) Sn = r − 1 karena r > 1 2(38 − 1) S8 = 3 −1 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 22 Modul Matematika Kelas VIII

= 2(6561 − 1) 2 = 6560 b. a = 64, r = 32 = 1 dan n = 8 64 2 Suku ke-8 (U8) = ? Un = arn-1 U8 = 64 x  1 8−1 2 = 64 x 1 = 1 128 2 Jumlah 8 suku pertama (S8) = ? Sn = a(1 − r n ) …. Karena atau r < 1 1− r S8 = 641 −  1  8   2   1− 1 2 641 − 1  =  256  1 2 64 x 255 = 256 1 2 = 64 x 255 x 2 = 127,5 256 1 2. a. rasio r = − 64 = − 1 dan a = 128 128 2 b. Sn = a(1 − r n ) …. Karena atau r < 1 1− r 1281 −  − 1  9   2   S9 = 1 −  − 1   2 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 23 Modul Matematika Kelas VIII

= 1281 −  − 1    512 3 2 = 128 x 513 x 2 = 85,5 512 3 3. U2 = 1, U5 = 8 dan n = 10 U5 = ar4 = 8 U2 = ar1 = 1 ar4 = 8 ar1 1 r3 = 8 r= 3 8=2 ar 4 = 8 a x (2)4 = 8 a x 16 = 8 a= 1 2 Jumlah 10 suku pertama a(r n − 1) Sn = r − 1 karena r > 1 1 (210 − 1) S10 = 2 2 − 1 1 (1023) =2 1 = 511,5 Setelah selesai kamu kerjakan soal – soal latihan tersebut, kerjakanlah tugas berikut supaya kamu lebih menguasai lagi. Tugas 5 1. Hitung jumlah 7 suku pertama deret berikut : a. 6 + 12 + 24 + 48 + …. b. 256 + 128 + 64 + 32 + …. 2. Dari barisan geometri berikut 1 , 1 , 1, 3, .... 93 Tentukan : MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 24 Modul Matematika Kelas VIII

a. Suku ke – 8 b. Jumlah 8 suku pertama 3. Dari barisan geometri, suku kedua 14 dan suku kelima 112. tentukan : a. Suku ke – 7 b. Jumlah 7 suku pertama Kegiatan 6 : Deret Geometri Masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret. Tahukah kamu bahwa banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dipecahkan atau diselesaikan menggunakan barisan atau deret. Perhatikan contoh- contoh berikut : Contoh 1 : Berapakah jumlah bilangan genap antara 10 dan 100 ? Jawab : Barisan bilangannya adalah 12 , 14 , 16 , 18,…., 98 a = 12, b = 2 dan Un = 98 Un = a + (n-1)b 98 = 12 + (n-1) x 2 98 = 24 + 2n – 2 98 = 2n + 22 76 = 2n n = 38 Berarti jumlah 38 bilangan genap dari 12 hingga 98 Sn = n (a + U n ) 2 = 38 12 + 98 2 ( )S38 = 19 x 110 = 2090 Contoh 2 : Di dalam suatu ruangan, terdapat 16 kursi pada baris pertama, 20 kursi pada baris kedua, 24 kursi pada baris ketiga dan seterusnya bertambah 4 kursi untuk setiap baris kursi di belakangnya. Jika diruangan tersebut terdapat 15 baris kursi, berapakah jumlah kursi seluruhnya ? Jawab : Barisan aritmatikanya 16, 20, 24, …. a = 16, b = 4, dan n = 15 Jumlah kursi seluruhnya = 16 + 20 + 24 + …. Sn = n (a + (n − 1)b) 2 S15 = 15 (16 + (15 − 1)x4) 2 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 25 Modul Matematika Kelas VIII

= 15 (16 + 14x4) 2 = 15 (72) 2 = 1296 Jadi banyaknya kursi adalah 1296 buah. Sudahkah kamu memahami contoh di atas, jika belum, pahami sekali lagi dan jika sudah cobalah kerjakan latihan soal berikut : Latihan 1. a. Hitunglah jumlah bilangan ganjil antara 20 dan 124 b. Hitunglah jumlah bilangan kelipatan 3 dari 21 sampai 126 2. Dalam suatu aula pada barisan pertama terdapat 12 kursi, barisan ke-2 15 kursi, barisan ke-3 18 kursi dan seterusnya bertambah 3 kursi pada kursi baris belakangnya. Tentukanlah : a. Kursi pada baris ke-25 b. Jumlah dari 25 baris kursi tersebut. 3. Tinggi tumpukan 3 gelas sejenis 21 cm, sedangkan tinggi tumpukan 5 gelas dari jenis tersebut adalah 29 cm. Berapakah tinggi 12 gelas-gelas tersebut jika di tumpuk ? Bila soal latihan di atas sudah kamu kerjakan, periksalah hasilnya dengan jawaban berikut. Jawaban Latihan : 1. a. Barisan 21, 23, 25, …. 123 a = 21 b = 2 dan Un = 123 Un = a + (n-1)b 123 = 21 + (n-1) x 2 123 = 21 + 2n – 2 123 = 2n + 19 104 = 2n n = 52 Sn = n (a + U n ) 2 = 52 21 + 123 2 ( )S52 = 26 x 144 = 3744 b. Barisan : 21, 24, 27, …., 126 a = 21 b = 3 dan Un = 126 Un = a + (n-1)b 126 = 21 + (n-1) x 3 126 = 21 + 3n – 3 126 = 3n + 18 108 = 3n n = 36 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 26 Modul Matematika Kelas VIII

Sn = n (a + U n ) 2 = 36 21 + 126 2 ( )S36 = 18 x 147 = 2646 2. Barisan itu : 12, 15, 18, …. a = 21 b = 3 dan n = 15 a. Un = a + (n-1)b U25 = 12 + (25-1) x 3 = 12 + 72 = 84 kursi b. Sn = n (a + U n ) 2 = 25 12 + 84 2 ( )S25 = 1200 Jumlah kursi seluruhnya = 1200 buah. 3. Tinggi 1 gelas = U1, tinggi 2 gelas = U2 dan seterusnya Jadi U3 = 21 dan U5 = 29 U5 = a + 4b = 29 …. .(1) U3 = a + 2b = 21 -…. (2) 2b = 8 b =4 (1) a + 4b = 29 a + 4(4) = 29 a + 16 = 29 a = 13 ….. (tinggi gelas) Tinggi gelas ke-12 = U12 U12 = a + 11b = 13 + 11 x 4 = 13 + 44 = 57 Jadi tinggi 12 gelas adalah 57 cm Setelah selesai kamu kerjakan soal – soal latihan tersebut, kerjakanlah tugas berikut supaya kamu lebih menguasai lagi. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 27 Modul Matematika Kelas VIII

Tugas 6 1. Hitunglah jumlah bilangan kelipatan 4 antara 30 dan 160. 2. Pada ruang pertunjukan, baris paling depan tersedia 20 kursi, baris dibelakangnya lebih 2 kursi dari baris didepannya demikian seterusnya. Jika dalam gedung ada 45 baris kursi, berapa jumlah kursi seluruhnya ? 3. Tinggi tumpukan 2 buah kursi adalah 97 cm sedang tinggi tumpukan 5 buah kursi yang sama adalah 133 cm. berapa tinggi dari tumpukan 15 kursi tersebut? MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 28 Modul Matematika Kelas VIII

KUNCI TUGAS Tugas 1 1. a. kalikan 2 b. kurangi 5 c. kalikan 10 d. dibagi 2 2. a. 1, 5, 9, 13, 17, 21 b. 5, 8, 11, 14, 17, 20 c. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 d. 2, 4, 8, 16, 32, 64 e. 1, 3, 6, 10, 15, 21 f. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 2 5 9 14 20 27 35 3. a. 23, 20, 17, 14, 11, 8 b. 12, 24, 48, 96, 192, 384 c. 8, 10, 12, 14, 16, 18 d. 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80 Tugas 2 = 43 1. 79 = 46 2. a. – 17 = 89 b. 159 3. Suku ke-10 Suku ke-11 Jumlah Tugas 3 1. a. rasio r = 3 dan U8 = 2187 1 b. rasio r = dan U8 = 1 2 c. rasio r = -2 dan U8 = -768 2. Rasio r = 2 dan U10 = 2048 1 3. a. Rasio r = dan Suku pertama a = 9 3 1 U6 = 27 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 29 Modul Matematika Kelas VIII

Tugas 4 1. a. 3980 b. 2940 2. a. 265 b. 325 3. – 1545 Tugas 5 1. a. 762 b. 508 2. a. 243 b. 364,44 3. a. 448 b. 889 Tugas 6 1. 3008 2. 2430 kursi 3. 253 cm MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 30 Modul Matematika Kelas VIII