Relasi dan Fungsi

RELASI DAN FUNGSI MATA PELAJARAN : MATEMATIKA MODUL :3 KELAS/ SEMESTER : VIII / Gasal TAHUN PELAJARAN : 2020/2021 PENDAHULUAN 1. Tujuan Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta didik dapat memahami, menjelaskan, dan menggunakan dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar. 2. Cara Penggunaan Modul Secara umum cara penggunaan modul pada setiap kegiatan Pembelajaran selalu disesuaikan dengan scenario penyajian materi. Untuk menyelesaikan paket modul ini diharapkan peserta didik melaksanakan semua kegiatan yaitu: mempelajari materi pembelajaran, mengerjakan kegiatan/soal pada Tugas dan mengumpulkan kembali Tugas yang telah dikerjakan. KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan 1 : Relasi a. Pengertian relasi Relasi/hubungan dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Contoh : - Ati adik Basri - Basri kakak Ati - Tuti adik Basri - Dua kurang dari tiga - Tujuh lebih dari lima Pada contoh di atas, adik, kakak, kurang dari, >, A Adik dari B itu adalah relasi. Dapat dinyatakan dengan diagram panah di samping : Ati A = {Ati, Tuti}” Basri B = {Basri} Tuti R = relasi “adik dari” Gambar 3.1 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 1 Modul Matematika Kelas VIII

Contoh-contoh relasi dengan diagram panah A Memakai B A Menyukai B Sri Kain & Baso Gado-gado Ruri Kebaya Ruli Rok & Tedy Mie Ayam Santo Tati Blous Celana & Hem Gambar 3.2 Gambar 3.3 AB Kurang dari 0 11 22 33 Gambar 3.4 b. Daerah Asal (domain) daerah kawan (kodomain) dan daerah hasil (range) f B Perhatikan gambar 3.5 A C Daerah asal (domain) adalah himpunan A, himpunan B adalah daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan C adalah daerah hasil (range) suatu relasi f. Gambar 3.5 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 2 Modul Matematika Kelas VIII

Contoh : A = {1, 2, 3} B = {Bilangan asli genap kurang dari 10} Aturannya adalah setengah dari, Gambarnya adalah : A setengah da B Daerah asalnya adalah A = {1, 2, 3} Daerah kawan (kodomain) B = {2, 4, 6, 8} 1 Daerah hasil (range) adalah C = {2, 4. 6} 22 Aturan relasinya “setengah dari” 34 Membacanya : 1 setengah dari 2 86 2 setengah dari 4 3 setengah dari 6 Gambar 3.6 Latihan : 2. 0. 5. 3. 1. Perhatikan gambar 3.7 yang menun- 7. 5. jukkan hubungan “dua lebihnya” 8. 6. dari himpunan A ke himpunan B. Lengkapilah diagram panah pada gambar 3.7. Isilah titik-titik berikut dan kerjakan sesuai pertanyaan. Gambar 3.7 a. Himpunan A = {. . . } b. Himpunan B = { . . . } c. Daerah asalnya adalah . . . d. Daerah kawannya adalah . . . e. Daerah hasilnya adalah . . . 2. Tiga kurangnya dari Dari diagram panah pada gamber 3.8 tentukan a. Domain AB b.Kodomain c. Range 12 34 6 5 8 7 10 Gambar 3.8 Gambar 3.8 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 3 Modul Matematika Kelas VIII

3. Bila A = {1, 2, 3, 4} B = {a, i} Aturannya Bilangan ganjil  A dipasangkan ke a Bilangan Genap  A dipasangkan ke i Gambarkan diagram panahnya Nah kalau Kamu sudah selesai mengerjakan Kamu boleh cocokkan dengan jawaban latihan sebagai berikut : Jawaban latihan : 1. a. A = {2, 5, 7, 8} 2. 0. b. B = {0, 3, 5, 6} c. A 5. 3. d. B 7. 5. e. B 8. 6. Gambar 3.9 B 2. a. A = {1, 3, 5, 7} a b. B = {2, 4, 6, 8, 10} i c. C = {4, 6, 8, 10} 3. A 1. 2. 3. 4. Gambar 3.10 Saya harapkan kamu telah benar-benar paham tentang relasi, daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain) dan daserah hasil (range). Supaya kamu lebih paham lagi, kerjakan tugas 1 berikut ini MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 4 Modul Matematika Kelas VIII

Tugas 1 Sebutkan relasi yang menyatakan 1. Perhatikan gambar berikut hubungan himpunan A ke himpunan B AB 1. 0 2. 1 Gambar 3.11 2. Diketahui A = { 2,3,6} dan B = {1,2,3,4,5,6} Buatlah diagram panah yang menyatakan hubungan “adalah faktor dari himpunan A ke himpunan B 3. Diketahui P = { 1,4,9} dan Q = { 0,1,2,3,4} Suatu relasi yang menyatakan hubungan “Kuadrat dari” himpunan P ke himpunan Q. Tentukan a. domainnya b. kodomainnya c. range d. Gambarkan diagram panahnya Jika kamu sudah selesai menjawab tugas, cocokkan hasil kerjamu dengan kunci yang terdapat pada bagian akhir modul ini. Jika pekerjaanmu masih ada yang salah, cobalah kamu kerjakan kembali sampai diperoleh hasil yang benar. Setelah kamu membuat jawaban yang benar dari tiga soal di atas maka kamu dapat melanjutkan kegiatan ke 2. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 5 Modul Matematika Kelas VIII

Kegiatan 2 : Pemetaan Untuk memahami pengertian fungsi maka coba perhatikan diagram panah I A Naik Kendaraan B Rudi Bis Nesa Angkot Ani Soni Sepeda Rosi • Gambar 3.12 II A Hari Lahir B III Ani Senin Anton Selas Emi a Sri Sabtu Gambar 3.13 A Rasanya B Gula Manisan Garam Asinan Cuka Asam Lada Pedas Gambar 3.14 Dari 3 buah diagram panah di atas maka kamu dapat menentukan perbedaannya MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 6 Modul Matematika Kelas VIII

Apa beda diagram I, II dan II a. Diagram I ada dua anggota A yang tidak dihubungkan ke B dan ada anggota A yang tidak dihubungkan Penjelasan Diagram I gambar 3.12 menjelaskan hubungan antara himpunan anak dan kendaraan. Rudi dihubungkan dua kali karena Rudi pergi sekolah menggunakan kendaraan dua kali dan Rosi tidak dihubungkan karena Rosi ke sekolah jalan kaki. Maka selamjutnya gambar 3.12 disebut “Relasi (hubungan) biasa” b. Diagram II gambar 3.13 semua anggota A dihubungkan ke anggota B, dan hanya satu kali Penjelasan Gambar 3.13 menunjukkan hubungan antara himpunan Anak dan himpunan hari lahir. Semua anggota A pasti dihubungkan dan hanya satu kali karena tidak mungkin anak tidak mempunyai hari lahir dan anak mempunyai satu hari lahir saja. Selanjutnya gambar 3.13 disebut “Pemetaan atau Fungsi” c. Diagram III gambar 3.14 semua anggota A maupun anggota B dihubungkan satu-satu Penjelasan Tidak mungkin gula mempunyai dua rasa, demikian juga garam, cuka dan lada mempunyai lebih dari satu rasa Selanjutnya gambar 3.14 disebut “Pemetaan khusus atau Korespondensi satu-satu” Jadi ketiga diagram pemetaan di atas merupakan relasi, hanya gambar 3.12 dan 3.13 yang merupakan fungsi Nah, apa kesimpulan relasi pemetaan atau fungsi itu ? Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu ke anggota himpunan B MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 7 Modul Matematika Kelas VIII

Untuk lebih jelasnya lagi coba perhatikan contoh berikut Dari keempat diagram panah berikut manakah yang merupakan fungsi A B A B a. • • b. • • • • • • • • • • A B A B c. • • d. • • • • • • • • • • Gambar 3.15 Penyelesaian 1. Gambar a bukan fungsi sebab ada anggota yang tidak dihubungkan 2. Gambar b fungsi sebab semua anggota A dihubungkan tepat pada satu anggota B 3. Gambar c bukan fungsi sebab ada anggota A yang dihubungkan dua kali ke anggota B. 4. Gambar b adalah fungsi sebab semua anggota A dihubungkan tepat satu pada anggota B. Untuk lebih memahami tentang fungsi coba kerjakan latihan berikut ini : Latihan 1. Diketahui A = {a,b,c} dan B = {1, 2, 3, 4} suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B ditentukan dengan a 1, b 2 dan c 3 a. Gambarlah relasi R sebagai diagram panah b. Apakah relasi R dari himpunan A ke himpunan B merupakan pemetaan ? jelaskan ! MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 8 Modul Matematika Kelas VIII

2. Suatu relasi dari P = {1,2,3} ke Q = {2,3,4,5} dinyatakan dengan relasi “satu kurangnya dari” apa relasi dari himpunan P ke himpunan Q ini merupakan pemetaan? Jelaskan ! Nah! Setelah kamu kerjakan latihan ini kemudian cocokan dengan penjelasan berikut ini; Penyelesaian. 1. A = { a,b,c } B = { 1,2,3,4 } a. A B a1 b2 c3 •4 Gambar 3.16 b. Ya pemetaan, sebab setiap anggota A dihubungkan tepat satu kali ke anggota B 2. P = { 2,3,4} Q = { 1,2,3,4 } P satu kurangnya dari Q 21 32 43 •4 Gambar 3.17 Relasi di atas pemetaan sebab setiap anggota P dihubungkan tepat satu anggota B Pengertian pemetaan sudah jelas bukan? Nah! Sekarang kita akan bahas tentang Notasi fungsi MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 9 Modul Matematika Kelas VIII

b. Menyatakan suatu Fungsi dengan Notasi f f (x) Dalam matematika fungsi diartikan sebagai proses mengolah sesuatu sehingga f menghasilkan suatu keluaran x Perhatikan diagaram disamping x adalah suatu masukan f adalah proses pengolahan f(x) adalah hasil keluaran Gambar 3.18 Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut A B x x-1 2. 0. 3. 4. 1. 5. 6. 2. 3. 4. • 5. Gambar 3.19 A = { 1,2,3,4,5} disebut daerah asal (domain) f : x → x + 1 disebut rumus fungsi B = {0,1,2,3,4,5} disebut daerah kawan (kodomain) Dari rumus fungsi itu kamu dapat menentukan daerah hasil (Range) x → x-1 1 → 1–1=0 2 → 2–1=1 3 → 3–1=2 4 → 4–1=3 5 → 5–1=4 Jadi {0,1,2,3,4,} disebut daerah hasil (Range) Nah! Untuk lebih memahami tentang notasi fungsi maka perhatikan contoh berikuti ini MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 10 Modul Matematika Kelas VIII

Contoh 1. Suatu fungsi f : x → 2x-1 Hitunglah : a. Peta dari 3 b. Nilai fungsi f untuk x = -1 Jawab f : x → 2x-1 f(x) = 2x-1 a. f(3) = 2.3 -1 = 6-1 =5 b. f(-1) = 2.(-1)-1 = -2-1 = -3 2. Ditentukan rumus fungsi f(x) = 3 x-8 a. Tentukan nilai f(5), f(-7) b. Jika f(x) = 22 tentukan nilai x Jawab f (x) = 3x – 8 a. f (x) = 3x – 8 f (-7) = 3(– 7) – 8 f (-7) = -21 – 8 f (5) = 35 – 8 f (5) = 15 – 8 f (5) = 7 f (-7) = -29 Jadi f (5) = 7 dan f (-7) = -29 b. Jika f (x) = 22 f (x) = 3x – 8 22 = 3x – 8 22 + 8 = 3x 30 = 3x 30 x= 3 x = 10 Jadi x = 10 Kamu sudah cukup jelas contoh di atas bukan? Nah kalau begitu sekarang lanjutkan latihan berikut ini. Latihan 1. Ditentukan rumus fungsi g (x) = ax + 7 Jika nilai fungsi g untuk x = -2 adalah 1 Tentukan nilai fungsi g untuk x = 5 2. Suatu fungsi f dari A ={2,3,4} ke B = {6,7,8,9,10} ditentukan oleh f : x → x + 5 a. Tentukan rumus untuk fungsi b. Tentukan bayangan dari 3 oleh fungsi f c. Tentukan daerah hasil dari fungsi tersebut. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 11 Modul Matematika Kelas VIII

Setelah Kamu kerjakan coba cocokan dengan jawaban berikut ini ; Jawaban latihan 1. g (x) = ax + 7 g (-2) = 1 g (-2) = a(– 2)+ 7 g (-2) = -2a + 7 1 = -2a + 7 2a = 7 – 1 2a = 6 6 a =2 a =2 g (x) = ax + 7 jika a = 3 g (x) = 3x + 7 g (5) = 35 + 7 g (5) = 15 + 7 g (5) = 22 2. a. f (x) = x + 5 b. f (3) = 3 + 5 f (3) = 8 c. domain A = {2,3,4} f (x) = x + 5 f (2) = 2 + 5 = 7 f (3) = 3 + 5 = 8 f (4) = 4 + 5 = 9 Jadi daerah hasil {7,8,9} Setelah hasil jawabanmu sama, kerjakan tugas 2 berikut ini. ingat jika pekerjaan belum selesai, kamu jangan melihat jawabannya dahulu. Tugas 2 1. Diketahui A = {2,3,4} dan B = {3,5,6} Suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B ditentukan dengan 2 → 5, 3 → 3, 4 → 3 a. Apakah relasi tersebut disebut fungsi? Jelaskan! b. Tentukan daeran asal (domain) c. Tentukan daerah kawan (kodomain) d. Tentukan daerah hasil (Range) MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 12 Modul Matematika Kelas VIII

2. Manakah gambar dibawah ini yang merupakan pemetaan A B A B a. b. • • • • • • • • • • • • A B A B c. d. • • • • • • • • • • Gambar 3.20 3. Diketaui A = {1,2,3} dan B = {2,4,6} suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan “setengah dari” a. Gambarkan diagram panahnya b. Apakah relasi tersebut disebut korespondensi satu-satu. 4. Fungsi g ditentukan dengan Rumus g (x) = x – 2 a. Tentukan nilai g (0), g(2) dan g(-3) b. Jika nilai g (x) = 14 tentukan x 5. Ditentukan rumus fungsi h (x) = 3x + 1 a. Tentukan nilai h(0), h(-1) dan h(3) b. Jika nilai h(x) = 5 tentukan x Jika kamu sudah selesai menjawab tugas, cocokkan hasil kerjamu dengan kunci yang terdapat pada bagian akhir modul ini. Jika pekerjaanmu masih ada yang salah, cobalah kamu kerjakan kembali sampai diperoleh hasil yang benar. Setelah kamu membuat jawaban yang benar dari tiga soal di atas maka kamu dapat melanjutkan kegiatan ke 3. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 13 Modul Matematika Kelas VIII

Kegiatan 3 : Menggambar Garis pada Bidang Cartesius a. Menggambar grafik fungsi linier Daerah hasil (Range) y 8 X 7 6 5 4 3 2 1 x 0 1 2 3 4 56 Daerah asal (domain) Gambar 3.25 Perhatikan grafik pada gambar 3.25 Dengan membaca grafik di atas kita dapat menyusun daftar yang menyatakan hubungan antara daerah asal atau x dengan daerah hasil atau f(x) sehingga membentuk rumus fungsi linear Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut. Daerah Daerah hasil f (x) asal (x) 0 0=2x0 1 2=2x1 2 4=2x2 3 6=2x3 4 8=2x4 x 2 x x = 2x Jadi rumus fungsi grafik diatas f(x) = 2x maka dalam menggambarkan grafik fungsi diperlukan beberapa syarat yaitu ; 1. ada rumus fungsi 2. ada daerah asal (domain) 3. ada daerah hasil (range) Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ; Diketahui rumus fungsi f(x) = 2x + 1 Dengan daerah asal { x | 1≤ x ≤ 5, x Є R} MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 14 Modul Matematika Kelas VIII

Gambarkan grafik fungsi liniear pada koordinat cartersius Penyelesaian 1. Mula-mula kita buat tabel seperti berikut f(x) = 2x + 1 Daerah asal { x/1≤ x ≤ 5, x Є R} x 12345 f(x) 3 5 7 9 11 f(x) = 2x + 1 Jika x = 1→ 2 x 1 + 1 = 3 x = 2→ 2 x 2 + 1 = 5 x = 3→ 2 x 3 + 1 = 7 x = 4→ 2 x 4 + 1 = 9 x = 5→ 2 x 5 + 1 = 11 2. Kemudian nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan. {(1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11), ….} 3. Selanjutnya kordinat titik-titik tersebut nyatakan pada koordinat cartesius Daerah hasil (Range) f(x) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 0 1 2 34 5 6 daerah asal ( domain) Gambar 3.26 Kamu sudah cukup jelas contoh tadi bukan? Nah kalau begitu sekarang lanjutkan latihan berikut ini. Latihan Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x dengan daerah asal {x/-2  x  3, xR} sebelumnya buatlah tabel koordinat titik-titiknya MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 15 Modul Matematika Kelas VIII

Nah, kalau kamu sudah selesai mengerjakaannya, kamu boleh cocokkan jawaban kamu dengan jawaban latihan berikut ini Jawaban Latihan f(x) = 2x x -1 -1 0 1 2 3 f(x) -4 -2 0 2 4 6 f(x) 6 x 5 123 4 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3. -4 Kamu sudah jelas bukan! Untuk lebih jelasnya maka kerjakan tugas berikut : Tugas 3 1. Gambarlah grafik fungsi berikut ini sebelumnya buatlah tabel koordinat titik-titiknya. a. f (x) = x dengan daerah asal {x/0 ≤ x ≤ 4, x  R} b. f (x) =2x – 1 dengan daerah asal {x/1 ≤ x ≤ 5, x  R} c. f (x) = x – 2 dengan daerah asal {x/-2 ≤ x ≤ 3, x  R} Jika kamu sudah selesai menjawab tugas, cocokkan hasil kerjamu dengan kunci yang terdapat pada bagian akhir modul ini. Jika pekerjaanmu masih ada yang salah, cobalah kamu kerjakan kembali sampai diperoleh hasil yang benar. Setelah kamu membuat jawaban yang benar dari tiga soal di atas maka kamu dapat melanjutkan kegiatan ke modul selanjutnya. MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 16 Modul Matematika Kelas VIII

KUNCI TUGAS Tugas 1 1. Satu lebihnya dari 2. a. A faktor dari B ●1 2● ●2 ●3 3● ●4 ●5 6● ●6 3. a. {1, 4, 9} Q b. {0, 1, 2, 3, 4} c. {1, 2, 3} ●0 dP ●1 ●2 1● ●3 4● ●4 9● Tugas 2 1. A B 2● ●3 3● ●5 4● ●6 a. ya fungsi b. 2, 3, 4 c. {3, 5, 6} d. {3,5} 2. a dan c MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 17 Modul Matematika Kelas VIII

3. a. A setengah B dari 1● ●2 2● ●4 3● ●6 a. ya 4. a. g(0) = -2 g(2) = 0 g(-3) = -5 b. x = 16 5. a. h(0) = 1 h(1) = -2 h(3) = 10 x= 3 4 Tugas 3 b. (x) = 2x-1 x 12345 a. f(x) = x f(x) 1 3 5 7 9 x 01234 f(x) 0 1 2 3 4 f(x) f(x) 10 4 8 3 2 6 1 4 0 1234 2 x 0 x 123 45 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 18 Modul Matematika Kelas VIII

c. f(x) = x-2 x -2 -1 0 1 2 3 f(x) -4 -3 -2 -1 0 1 f(x) 3 1 23 x 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3. -4 MGMP Matematika SMP Kab. Semarang 2020 19 Modul Matematika Kelas VIII