E-Modul Matematika Relasi dan Fungsi

RELASI DAN FUNGSI Apa yang akan anda Kompetensi Dasar: pelajari? 3.3 Mendeskripsikan dan menyatakan relasi dan fungsi  Pengertian relasi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi (kata-kata,  Cara menyatakan bentuk table, grafik, diagram, dan persamaan) relasi dan fungsi 3.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi  Sketsa grafik fungsi dan fungsi dengan menggunakan berbagai representasi Kata Kunci A. RELASI  Relasi  Himpunan pasangan SELERA MAKAN. Dalam sebuah keluarga, setiap anggota keluarga tersebut mem- berurutan punyai selera makan yang berbeda-beda.  Diagram panah Maka terjadilah hubungan antara masing-  Diagram cartesius masing anggota keluarga tersebut dengan  Fungsi jenis makanan yang disukainya.  Domain  Kodomain  Range Gambar 1.1 KEGEMARAN OLAHRAGA. Amati teman-teman sekelas Anda, apakah semua teman Anda mempunyai kegemaran olahraga yang sama? Sudah pasti tidak. Ada yang suka sepak bola, ada yang suka basket, ada yang suka memancing dan sebagainya. Maka terjadilah hubungan antara teman-teman Anda dengan jenis olahraga yang disukainya. Gambar 1.2 Dua contoh di atas, yaitu tentang selera makan dan kegemaran olahraga, yang menunjukkan adanya hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Dalam matematika, konsep hubungan tersebut dinamakan relasi. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 1

CARA MENYATAKAN SUATU RELASI Perhatikan contoh peristiwa berikut: Cecep sedang berulang tahun yang ke-15. Ia mengajak teman-temannya: Aris, Bari, Fira dan Darla pergi ke rumah makan “Mathein”. Perhatikan menu yang disediakan, yaitu: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop. Dari menu tersebut ternyata masing-masing anak tidak sama menu favoritnya.  Aris suka “rawon dan sop”, tetapi kali ini ia memesan rawon  Bari memesan gulai, walaupun sebenarnya ia suka “soto, rawon dan gulai”  Cecep suka “ sate dan nasi goreng” namun makanan yang dipesannya adalah sate.  Fira memesan sate, karena ia memang hanya suka “sate” tersebut.  Darla anak baru jadi belum ada yang disukai, tetapi ia pesan nasi goreng. Dari peristiwa di atas Anda dapat membuat relasi antara dua himpunan, yaitu: • Himpunan anak yang beranggotakan: Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira. • Himpunan makanan yang beranggotakan: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop yang disediakan oleh rumah makan “Mathein” tersebut. Dalam hal ini kita dapat membuat dua macam relasi dengan aturan yang berbeda, yaitu: makanan kesukaannya dan makanan pesanannya Relasi dengan aturan “makanan kesukaannya” sebagai berikut: Aris rawon ; Aris sop ; Bari soto ; Bari rawon ; Bari gulai ; Cecep sate ; Cecep nasi goreng ; Fira sate. Relasi dengan aturan “ makanan pesanannya” sebagai berikut: Aris rawon ; Bari gulai ; Cecep sate ; Darla nasi goring ; Fira sate Catatan: tanda “ ” digunakan untuk mewakili aturan relasinya, misal Aris sop berarti Aris makanan kesukaannya sop. Pada bab ini, diperkenalkan tiga cara menyatakan relasi, yaitu: 1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan 2. Dengan Diagram Panah 3. Dengan Diagram Cartesius Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 2

Menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan dapat dilakukan dengan langkah- langkah sebagai berikut: Langkah 1 Himpunan anak kita nyatakan sebagai himpunan A dan himpunan makanan yang disediakan oleh rumah makan “Mathein” kita nyatakan sebagai himpunan B. Kita daftarkan masing-masing anggota himpunan A dan anggota himpunan B, yaitu: A = {Aris , Bari , Cecep , Darla , Fira} B = { soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate, sop } Langkah 2 Kita pasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi: ”makanan kesukaannya” dalam bentuk (x , y) dengan x ∈ A dan y ∈ B Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x , y) dinamakan himpunan pasangan berurutan. Relasi dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: ARB = {(Aris , rawon) , (Aris , sop) , (Bari , soto) , (Bari , rawon) , (Bari , gulai) , (Cecep , sate) , (Cecep , nasi goreng) , (Fira , sate)} Giliran Anda Silakan nyatakan relasi dari himpunan A ke himpunan B tersebut untuk aturan yang kedua, yaitu: ”makanan pesanannya” pada kotak berikut ini: Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 3

AB Gambar di samping menunjukkan bentuk cara menyatakan x • • y relasi dengan diagram panah Gambar 1.3 Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:  Membuat dua lingkaran atau ellips (bisa juga bangun lainnya, misalnya: persegipanjang) untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B  x ∈ A diletakkan pada lingkaran A dan y ∈ B diletakkan pada lingkaran B  x dan y dihubungkan dengan anak panah  Arah anak panah menunjukkan arah relasi  Anak panah tersebut mewakili aturan relasi Dengan demikian langkah membuat diagram panah relasi makanan kesukaannya dari himpunan A ke himpunan B atau ditulis R : A → B adalah: Gambar 1.4 Untuk diagram panah relasi R : A → B dengan aturan makanan pesanannya, silakan Anda memasangkan anak panahnya, pada diagram berikut ini: AB Aris Soto Bari Rawon Cecep Gulai Darla Sate Fira Sop Nasi Goreng Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 4

 Pada diagram cartesius diperlukan dua Y sumbu tegak sumbu mendatar salib sumbu yaitu; sumbu mendatar ������ (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) (������ , ������ ) X yang berpotongan tegak lurus. ������  x ∈ A diletakkan pada sumbu mendatar  y ∈ B diletakkan pada sumbu tegak Gambar 1.5  Pemasangan x, y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x , y) Sebagai contoh, pada diagram panah berikut ini, maka diagram cartesiusnya dapat di lihat di samping kanannya. B A B cair gas baja padat padat raksa gas oli cair baja raksa oli nikel oksigen nikel oksigen Diagram Cartesius A Diagram panah Gambarlah diagram Carteius dari diagram panah berikut ini: A B Digram B Cartesiusnya Aris Soto Soto Bari Rawon Rawon Cecep Gulai Darla Sate Gulai Fira Sop Sate Nasgor Sop A Nasgor Aris Bari Cecep Darla Fira Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 5

B A LATIHAN 1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan: A = { becak , mobil , kapal , pesawat terbang , kereta api , perahu } B = { darat , laut , udara } Aturan relasi: alat transportasi 2. Himpunan pasangan berurutan berikut merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Daftarkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B serta tulis aturan relasi yang mungkin. ARB = { (kertas , padat) , (bensin , cair) , (oli , cair) , (oksigen , gas) , (batu , padat) } 3. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram panah: M = { Liputan 6 , Seputar Indonesia , Lintas 5 , Good News , Editorial Malam , Fokus , Reportase Sore , Redaksi Sore , Topik Petang , Berita Nasional , Sorot , Brutal } P = { RCTI , TPI , GlobalTV , SCTV , Indosiar , Lativi , METRO TV , TRANS , TRANS 7 , antv , TVRI } Aturan relasi : program berita dari 4. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram Cartesius: G = { nama-nama bulan dalam setahun pada tahun ini } H = { 28 , 29 , 30 , 31 } Aturan relasi: jumlah harinya Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 6

B. FUNGSI Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini: A B Pada relasi di samping mempunyai ciri: Aris Soto o Anggota himpunan A, yaitu: Aris, Bari, Bari Rawon Cecep, Darla dan Fira, semuanya memesan Cecep Gulai dan masing-masing hanya memesan satu Darla Sate Fira Sop jenis makanan. Dengan kata lain semua Nasi Goreng anggota A memesan makanan dan tidak ada Gambar 1.6 yang memesan lebih dari satu. o Secara matematika dikatakan bahwa: setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B dan pemasangannya adalah tepat satu. o Relasi yang seperti ini disebut fungsi atau pemetaan Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini: PQ Relasi ini tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota himpunan P yaitu b yang dipasangkan lebih dari satu dengan a1 anggota himpunan Q , yaitu b 1 dan b 2 b2 c3 PQ Relasi ini juga tidak bisa disebut fungsi, sebab ada anggota a1 himpunan P yaitu c yang tidak mempunyai pasangan dengan b2 anggota himpunan Q c3 Ralasi ini disebut fungsi. Mengapa? (Suatu relasi disebut fungsi dapat dilihat dari syarat yang harus PQ dipenuhi anggota himpunan P bukan anggota himpunan Q) a1 b2 c3 Domain, Kodomain Dan Range Fungsi. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A → B Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain Himpunan B disebut Daerah kawan/lawan atau Kodomain Himpunan bagian dari himpunan B yang anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut Daerah hasil atau Range Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 7

Suatu fungsi f : A → B dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut: AB a w Domain fungsi f adalah Df = {a , b , c , d , e} b x Kodomain fungsi f adalah Kf = {w , x , y , z} Range fungsi f adalah Rf = {w , x , z} c y d z e GILIRAN ANDA 1. Tentukan domain, kodomain dan range dari diagram panah berikut ini: AB Aris Soto Domain = {… Bari Rawo Kodomain = {… Gulai Range = {… Cecep Sate Sop Darla Nasgor Fira 2. Empat siswa yang bernama Sirwanto, Cahyo, Soni dan Agung sedang membaca buku di perpustakaan yang menyediakan jenis buku: ilmiah, fiksi, non fiksi, ensiklopedia dan komik. Sirwanto dan Soni membaca buku non fiksi, Cahyo asyik membaca komik dan Agung lagi serius membaca buku ilmiah. a. Jika A adalah himpunan siswa dan B adalah himpunan jenis buku, tulis himpunan A dan himpunan B dengan cara mendaftar anggotanya. b. Buat diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan tulis aturan relasinya. c. Relasi tersebut apakah fungsi? d. Tulis Domain, Kodomain dan Rangenya Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 8

LATIHAN A. Petunjuk: Pilih satu dari 4 option jawaban yang disediakan! 1. Relasi mempunyai pengertian … 6. Perhatikan diagram panah di bawah ini a. pemasangan dua himpunan dengan aturannya I II III IV b. pemasangan anggota himpunan satu dengan anggota himpunan lain dengan Yang merupakan fungsi adalah … aturan tertentu c. aturan yang memasangkan anggota a. I c. III himpunan satu dengan anggota himpunan lain b. II d. IV d. hubungan beberapa himpunan 2. Domain dari relasi yang dinotasikan 7. Diketahui: A = {(1,1),(2,3),(3,5),(3,7)} dengan R : A → B adalah himpunan … B = {(2,1),(3,3),(3,5),(5,5)} a. A c. A dan B C = {(1,2),(2,3),(4,6),(6,8)} b. B d. bagian dari B D = {(1,1),(3,1),(5,3),(7,3)} Dari himpunan pasangan berurutan di atas yang merupakan fungsi adalah … 3. Kodomain dari relasi R : P → Q adalah … a. A dan B c. B dan C a. P c. P dan Q b. A dan C d. C dan D b. Q d. kosong 4. Aturan relasi yang ditunjukkan oleh 8. A = {2,3,4,5} dan B = {5,7,8,9}. Relasi dari A ke B merupakan fungsi jika aturan diagram panah di samping adalah … relasinya adalah … a. faktor dari c. kelipatan dari a. lebih dari 1 2 b. satu lebihnya dari 2 3 b. kurang dari d. tiga kurangnya dari 3 5 c. kurang dari d. satu kurangnya dari 4 7 9. Range dari fungsi pada diagram panah di samping adalah … 5. Diketahui P = {2,3,4,5} dan Q = {4,6,8,10} a. {a,b,c,d} b. {x,y} Relasi “faktor dari” dari P ke Q ditunjukkan c. {w,x,y,z} aw bx oleh diagram panah … cy a. . c. 4 d. {a,b,c,d,x,y} dz 2 42 36 36 48 48 5 10 5 10 10. Domain dari himpunan pasangan ber- b. . d. urutan {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} adalah… 2 42 4 a. {1,2,3,4} c. {2,3,4} 3 63 6 b. {2,3,4,5} d. {1,2,3,4,5} 4 84 8 5 10 5 10 B. Petunjuk: Jawab dengan singkat, jelas dan sesuai perintah! Diketahui P = {Malang , Surabaya , Semarang , Bandung , Jakarta , Denpasar , Sumenep} dan Q = {Jatim , Jateng , Jabar , Bali. } Nyatakan relasi R : P→ Q dalam himpunan pasangan berurutan dan diagram panah dengan aturan: a. Ibu kota propinsi b. Kota di propinsi Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 9

Membuat Sketsa Grafik Fungsi Aljabar Sederhana Pada System Koordinat Suatu fungsi f : R → R yang dirumuskan dengan: 1. f(x) = 2x + 6 → Berbentuk apakah grafik fungsi di samping ini? 2. f(x) = x2 + 5x + 4 → Berbentuk apakah grafik fungsi di samping ini? (Catatan: fungsi f : R → R adalah fungsi pada bilangan Real) Fungsi f(x) = 2x + 6 dan f(x) = x2 + 5x + 4 merupakan contoh fungsi aljabar sederhana Salah satu cara sebelum menggambar grafik suatu fungsi, terlebih dahulu kita tentukan koordinat beberapa titik yang dilalui grafik dalam bentuk (x , f(x)). Dengan tabel, pekerjaan menentukan koordinat titik akan lebih mudah kita sajikan. CONTOH 1 Buat tabel fungsi f(x) = 2x + 6 dengan mengambil domain {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4}. Kemudian tulis himpunan pasangan berurutan fungsi f Penyelesaian Tabel 1.1 anggota domain fungsi f x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nilai fungsi f atau range fungsi f 2x -6 -4 -2 0 2 4 6 8 6 66666666 f(x) 0 2 4 6 8 10 12 14 Himpunan pasangan berurutannya = {(-3,0),(-2,2),(-1,4),(0,6),(1,8),(2,10),(3,12),(4,14)} CONTOH 2 Lengkapi tabel fungsi f(x) = x2 + 5x + 4 dengan daerah asal {x | -7 ≤ x ≤ 2 , x ∈ B} Kemudian tulis himpunan pasangan berurutannya. x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Himpunan pasangan berurutan x2 nya adalah : 5x {(-7 , …) , (-6 , …) , (-5 , …) , (-4 , …) 4 , (-3 , …) , (-2 , …) , (-1 , …) , (0 , …) f(x) , (1 , …) , (2 , …)} Bagaimanakah bentuk grafik fungsi f : R→R yang dirumuskan dengan f(x) = 2x + 6 pada daerah asal = { x | -3 x 4 , x ∈ R }? Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 10

Dari tabel pada soal 1 diatas, kita dapat membuat sketsa grafiknya pada sistem koordinat Cartesius sebagai berikut: Y Koordinant titik yang dilalui grafik fungsi f(x) = 2x + 6 merupakan pasangan berurutan 14 (x , f (x)), yaitu : (-3,0) , (-2,2) , (-1,4) , (0,6) , (1,8) , (2,10) , (3,12) , (4,14) 13 12 Grafik fungsi f(x) = 2x + 6 berbentuk ruas garis karena domain fungsi f tersebut adalah 11 bilangan real. 10 9 8 7 56 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 234 X Bagaimanakah bentuk grafik fungsi yang domainnya bukan bilangan real? Fungsi f dinotasikan dengan f : x → x2 Grafiknya Dengan domain = {x | - 3 ≤ x < 3 , x ∈ B} Y f : x → x2 10 1 23 X -3 → (-3)2 = 9 → (-3 , 9) 9 -2 → (-2)2 = 4 → (-2 , 4) 8 -1 → (-1)2 = 1 → (-1 , 1) 7 0 → (0)2 = 0 → (0 , 0) 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 → (1)2 = 1 → (1 , 1) 2 → (2)2 = 4 → (2 , 4) Grafiknya berbentuk noktah-noktah yang tidak Himpunan pasangan berurutan fungsi f adalah dihubungkan dengan kurva mulus. {(-3 , 9) , (-2 , 4) , (-1 , 1) , (0 , 0) , (1 , 1) , (2 , 4)} LATIHAN Diketahui fungsi f didefinisikan dengan f(x) = 2x – 3 pada domain = {x | –2 ≤ x ≤ 4 , x ∈ B} dan fungsi g didefinisikan dengan g(x) = –3x + 4 pada domain = {x | –1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ B}. a. Tentukan range fungsi f dan fungsi g b. Tulis himpunan pasangan berurutan fungsi f dan fungsi g c. Pada satu diagram Cartesius gambar fungsi f dan fungsi g. d. Hubungkan titik-titik pada grafik fungsi f dan grafik fungsi g sehingga membentuk dua garis yang berpotongan. Tentukan koordinat titik potongnya Modul Matematika Kelas VIII Semester 1 | 11