วงกลมคู่อาร์คิมีเดียนในอาร์บีลอส

39 ขนั้ ท่ี 4 สร้าง DEG CIE ดังภาพท่ี 3.57 ภาพที่ 3.57 สร้าง DEG CIE ขอ้ สงั เกต จะเหน็ วา่ DEG CIE ดังภาพท่ี 3.58 ภาพท่ี 3.58 DEG CIE ข้นั ท่ี 5 พสิ จู น์วา่ DEG CIE (มมุ บนเส้นตรง) จาก CIE +CIG =180 (โจทยก์ ำหนด) จะได้ CIE =180 −CIG ฉะน้ัน CIG = 90 (โจทยก์ ำหนด) จะได้ว่า CIE =180 −90 CIE = 90 จาก CI / /DG

40 จะไดว้ ่า CIE = DGE (มมุ ผนวกและมมุ ภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดยี วกันของเส้นตัด) และ ICE = GDE (มมุ ผนวกและมุมภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเสน้ ตัด) สังเกตได้วา่ DEG = CEI (มุมรว่ ม) นั่นคอื DEG CEI เน่ืองจากมีมมุ 3 มมุ ท่ีสมนยั กันคอื CIE = DGE,ICE =GDE,DEG =CEI ขนั้ ที่ 6 พสิ จู นว์ า่ GI เปน็ รัศมขี องวงกลมอาร์คิมีเดียน เน่อื งจาก เน่ืองจาก DEG มี EG =b และ DE = a+ b และ CEI มี CE = b จาก DEG CEI จะได้วา่ EG = DE EI CE b = a + b EI b EI = b2 a+ b จาก GI = EG EI จะได้ว่า GI = b b2 นั่นคอื a+b ab GI = a+b ซ่งึ เปน็ รัศมีของวงกลมอารค์ ิมเี ดียน

41 ขั้นที่ 7 สรา้ งวงกลมวงทีห่ นึ่งที่มีจดุ ศนู ย์กลาง I และรัศมี IG ดังภาพที่ 3.59 ภาพที่ 3.59 สรา้ งวงกลมวงท่ีหนึง่ ทีม่ ีจุดศูนย์กลาง I และรัศมี IG 3.3 การสรา้ งวงกลมอาร์คมิ ีเดียนคทู่ ี่สาม 3.3.1 การสร้างวงกลมอาร์คิมเี ดยี นคูท่ ี่สาม ขั้นที่ 1 สร้างอาร์บีลอสที่ล้อมรอบด้วยลงกลม X Y และ Z ซึ่งมีรัศมีรัศมีและ ตามลำดับ และมจี ดุ ศนู ยก์ ลาง O D และ E ตามลำดับ ดังภาพท่ี 3.60 ภาพท่ี 3.60 อาร์บีลอสทลี่ อ้ มรอบดว้ ยครงึ่ วงกลม X Y และ Z ข้ันที่ 2 สรา้ งวงกลม B ที่มรี ัศมียาว BC มาตัดกับครึง่ วงกลม AB ทจ่ี ดุ F ดังภาพท่ี 3.61 ภาพที่ 3.61 สรา้ งวงกลม B ทีม่ ีรัศมียาว BC ตัดคร่งึ วงกลม AB ที่จดุ F

42 ขน้ั ท่ี 3 สรา้ งวงกลมวงกลม A ทม่ี ีรัศมี AC มาตัดกับครึ่งวงกลม AB ทีจ่ ดุ I ดงั ภาพท่ี 3.62 ภาพที่ 3.62 วงกลม A ท่มี ีรัศมี AC ตดั ครง่ึ วงกลม AB ทีจ่ ุด I ขน้ั ที่ 4 สรา้ ง AF ตัดกบั คร่ึงวงกลม AC ที่จุดG ดงั ภาพท่ี 3.63 ภาพท่ี 3.63 AF ตัดกับครึ่งวงกลม AC ทจี่ ดุ G ข้นั ท่ี 5 สรา้ งเส้นตรงผา่ นจดุ G มาตง้ั ฉากกบั AB และกำหนดให้จดุ ตัดเป็นจดุ G ดังภาพท่ี 3.64 ภาพท่ี 3.64 สรา้ งเส้นตรงผา่ นจดุ G มาตง้ั ฉากกบั AB และกำหนดใหจ้ ดุ ตัดเป็นจุด G

43 ขั้นที่ 6 สรา้ ง BI ตดั กบั ครึ่งวงกลม CB ท่จี ดุ H ดังภาพที่ 3.65 ภาพท่ี 3.65 BI ตดั กับครึ่งวงกลม CB ทจี่ ดุ H ข้ันท่ี 7 สร้างเส้นตรงผ่านจดุ H มาต้งั ฉากกับ AB และกำหนดใหจ้ ุดตัดเปน็ จุด H ดังภาพที่ 3.66 ภาพที่ 3.66 สรา้ งเสน้ ตรงผ่านจุด H มาตัง้ ฉากกับ AB และกำหนดให้จดุ ตัดเปน็ จดุ H

44 ขั้นที่ 8 สรา้ งวงกลมอาร์คมิ ีเดียนวงทหี่ น่งึ ท่ีมี R เป็นจุดศูนย์กลางซง่ึ ลอ้ มรอบโดย เสน้ รอบรอบวงของวงกลมของวงกลม A ท่มี รี ัศมี AC กับเส้นรอบวงของวงกลม O ที่มีรัศมี OA และ เส้นตัง้ ฉาก GG ดังภาพท่ี 3.67 ภาพที่ 3.67 สรา้ งวงกลมอาร์คิมีเดียนวงทห่ี น่ึง ท่ีมี R เป็นจุดศูนย์กลางซ่ึงล้อมรอบโดยเส้นรอบวง ของวงกลมของวงกลม A ทีม่ ีรัศมี AC กับเส้นรอบวงของวงกลม O ทมี่ ีรัศมี OA และเส้นตงั้ ฉาก GG ขัน้ ที่ 9 สร้างวงกลมอาร์คิมีเดียนวงทห่ี นงึ่ ที่มี S เป็นจดุ ศูนย์กลางซง่ึ ล้อมรอบโดย เส้นรอบรอบวงของวงกลมของวงกลม B ทีม่ ีรัศมี BC กับเส้นรอบวงของวงกลม O ที่มีรัศมี OA และ เส้นตงั้ ฉาก HH ดงั ภาพที่ 3.68 ภาพที่ 3.68 สร้างวงกลมอาร์คิมีเดยี นวงทีห่ นง่ึ ท่ีมี S เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางซ่ึงลอ้ มรอบโดยเส้นรอบรอ บวงของวงกลมของวงกลม B ทีม่ รี ัศมี BC กับเส้นรอบวงของวงกลม O ทีม่ รี ศั มี OA และเส้นตง้ั ฉาก HH

45 3.3.2 พสิ ูจน์การสร้าง AGC AFB โดยทฤษฎีบทของเธลสิ (Thales) ขน้ั ที่ 1 สรา้ ง AGC และมีมุมขนาด 90 ท่ีจุด G ดังภาพท่ี 3.69 ภาพที่ 3.69 สรา้ ง AGC และมมี ุมขนาด 90 ทจี่ ุด G ขั้นที่ 2 สรา้ ง AFB และมมี มุ ขนาด 90 ทีจ่ ุด F ดังภาพที่ 3.70 ภาพที่ 3.70 สร้าง AFB และมีมุมขนาด 90 ทีจ่ ดุ F

46 ข้อสังเกต จากทฤษฎีบทของเธลิส ( Thales) จะได้ AGC = AFB = 90 ดังนั้น AGC AFB ดังภาพที่ 3.71 ภาพท่ี 3.71 AGC AFB ขน้ั ท่ี 3 พิสูจน์ว่า AGC AFB จาก AGC = AFB = 90 (โจทย์กำหนด) และ GAC = FAB (มุมรว่ ม) ให้ GAC = FAB = X (มุมร่วม) จะได้ว่า AGC =GAC + ACG =180 (มมุ ภายในสามเหลย่ี ม) 90 + X + ACG =180 X + ACG = 90 ACG = 90 − X AFB +FAB + ABF =180 มมุ ภายในรูปสามเหลย่ี ม 90 + X + ABF =180

47 X + ABF =180 X + ABF = 90 ABF = 90 − X จะไดว้ ่า ACG = ABF ดงั นัน้ AGC AFB เนอ่ื งจากมมุ ท่ีสมนยั กันคือ AGC = AFB,GAC = FAB,ACG = ABF ขน้ั ที่ 4 พิสจู น์ว่า RT เป็นรศั มีของวงกลมอาร์คิมิเดยี น กำหนดให้ RT = X เนอ่ื งจาก AGC = AFB = 90 BF = 2b AC = 2a AB = 2a + 2b จาก AGC AFB จะได้คา่ GC = AC BF AB GC = 2a 2b 2a + 2b GC = ab 2 a+b จะได้วา่ GC คือรัศมีของวงกลมอารค์ ิมีเดียน 2

48 CG ข้อสังเกต จะสังเกตเหน็ ว่าวงกลมท่มี ีรัศมี 2 คือ วงกลมอาร์คมิ เี ดยี น ดงั ภาพท่ี 3.72 CG ภาพท่ี 3.72 วงกลมท่ีมรี ศั มี 2 คือ วงกลมอาร์คิมเี ดยี น ขั้นท่ี 5 พิสูจน์ว่า สามเหลย่ี ม AGC เป็นรปู สามเหลย่ี มคล้ายกับรูปสามเหล่ียม AFB จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้วา่ AF = (AB)2 −(BF )2 AF = (2a + 2b)2 −(2ab)2 AF = 2 a2 + 2ab จาก AGC AFB AF = AB AG AC 2 a2 + 2ab = 2a + 2b AG 2a AG = 4a a2 + 2ab 2a + 2b

49 AG = 2a a2 + 2ab a+b จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัสใชว้ ่า GC = (AC)2 −(AG)2 GC = 4a 2 − 4a 2 (a2 + 2ab ) (a +b)2 GC = 2a 4ab + b2 a+b 3.3.3 พิสจู น์การสรา้ ง AGG ACG โดยทฤษฎบี ทของพที าโกรสั (Pythagoras) ขน้ั ท่ี 1 ลากเสน้ จากจดุ A ไปจดุ G เพื่อสร้าง AG ดังภาพที่ 3.73 ภาพที่ 3.73 ลากเส้นจากจดุ A ไปจุด G เพอ่ื สร้าง AG ขนั้ ท่ี 2 สรา้ ง GC ให้ทำมมุ 90 กบั AG ทีจ่ ดุ G ดงั ภาพที่ 3.74

50 ภาพที่ 3.74 สรา้ ง GC ให้ทำมุม 90 กบั AG ทจี่ ดุ G ข้ันที่ 3 สรา้ ง GG ใหท้ ำมุม 90 กบั AB ดงั ภาพท่ี 3.75 ภาพท่ี 3.75 สรา้ ง GG ให้ทำมุม 90 กับ AB ขั้นท่ี 4 สรา้ งรปู สามเหล่ยี ม AGG และรปู สามเหล่ยี ม AGC ดงั ภาพท่ี 3.76 ภาพที่ 3.76 สรา้ งรูปสามเหล่ียม AGG และรูปสามเหลย่ี ม AGC

51 ข้อสังเกต จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส (Pythagoras)จะได้ AGG = AGC = 90 ดังนั้น รปู สามเหลี่ยม AGG เปน็ รปู สามเหล่ียมคล้ายกบั รูปสามเหลยี่ ม AGC ดังภาพที่ 3.77 ภาพท่ี 3.77 รปู สามเหลยี่ ม AGG เปน็ รปู สามเหล่ียมคลา้ ยกับรูปสามเหลี่ยม AGC ขนั้ ที่ 4 พสิ ูจน์วา่ AGG ACG จาก GAG = CAG มมุ ร่วม และ AGG = AGC = 90 โดยโจทย์กำหนด ให้ GAG = CAG = x จะได้วา่ GAG+ AGG + AGG =180 มมุ ภายในสามเหล่ียม จะได้ว่า x +90 + AGG =180 x + AGG = 90 AGG = 90 − x และ CAG + AGC + ACG =180 มมุ ภายในสามเหลยี่ ม x +90 + ACG =180

52 x + ACG = 90 ACG = 90 − x จะได้วา่ AGG = ACG ดังนน้ั AGG ACG เน่อื งจากมุม3มมุ ท่ีสมนัยกันคือ GAG =CAG,AGG = AGC,AGG = AGG จาก AGG ACG จะได้วา่ AG = GG AG GC AG = 2a (a2 + 2ab ) ดงั ภาพท่ี 3.78 (a+b) ภาพที่ 3.78 AG = 2a(4ab + b2 ) (a +b)2 เมอื่ ลาก RRและ AR จะได้ว่า RR = AR2 − AR

53 ( )RR = (2a + x )2 − AG− x 2 จะไดว้ ่า AR = 2a + x และ AR = AG− x ดังภาพท่ี 3.79 ภาพที่ 3.79 AR = AG− X เมอ่ื ลาก OR ( )จะได้ (OR)2 = AO − AG− X 2 +(RR)2 นัน่ คอื  2a(a2 + 2ab ) 2  2a(a2 + 2ab )  2 (    (a + b + x )2 = a + b ) − (a+b) + x  + ( 2a + x )2 −  (a +b)2 − x   เมอ่ื แกส้ มการหาค่า x จะไดว้ ่า x = ab ดงั ภาพท่ี 3.80 a+b

54 ภาพท่ี 3.80 x = ab a+b บรรณานกุ รม จารุวรรณ สิงหม์ ่วง. (2548). เรขาคณติ เบ้ืองต้น. ฉะเชงิ เทรา: มหาวิทยาลยั ราชภัฏราชนครนิ ทร.์ ทรงวทิ ย์ ฤทธกิ ัณฑ์. (2558). เรขาคณติ . นครศรธี รรมราช: มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏนครศรีธรรมราช. ยุพิน พิพิธกุล และอุษณีย์ ลีรวัฒน์. (2561). เรขาคณิต. กรงุ เทพฯ: มูลนิธิ สอวน. สมศักดิ์ สินธรุ ะเวชญ.์ (2560). คณิตศาสตรส์ ำหรับครปู ระถมศกึ ษา. กรุงเทพฯ: เดอะบุคส์. สำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พืน้ ฐาน. (2560). ความสำคญั ของคณิตศาสตร.์ กรุงเทพฯ: โรงพิมพช์ มุ นุมสหกรณ์การเกษตรแหง่ ประเทศไทย จำกดั . อัจฉรา จนั ทรเ์ หลอื ง. (2560). สมบตั ิสามเหลี่ยมคล้าย. สืบค้น 1 มกราคม 2564, จาก https://ajcharachanlueng.wordpress.com/สมบตั ิสามเหล่ยี มคลา้ ย. อมั พร มา้ คนอง. (2557). คณิตศาสตรส์ ำหรับครมู ธั ยมศึกษา. กรุงเทพฯ: สำนกั พมิ พแ์ ห่งจุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลยั . Antonio Gutierrez. (n.d.). Problem 644: Archimedes' Book of Lemmas: Proposition 5, Arbelos, Archimedean Twins. Retrived September 23, 2021, Fromhttp://www.gogeometry.com/ArchBooLem05.htm?fbclid=IwAR0OoXz2RR 7kk- aJDZmMo_aJ DZmMo_QugIdX4xfiba_CThAbQ54uCi7lVgDNNO5qcdc. Geometry Problem 295. (n.d.). Retrived September 23, 2021, From http://www.gogemetry.com/problem/p295_archimedes_twins_harmonic_mea n_radius.htm?fbclid=IwAR0LfRFIA7P2xj6jm1tzRhiPfEaViLX5CFVs60XsWYesEENx5 _ly31NUc. An, L. V., & Garcia, E. A. J. (2019). Some Archimedean Circles in an Arbelos. Forum Geometricorum, 19, 53-58.

55 ภาคผนวก

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65