ความน่าจะเป็น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 1 บทท่ี 2 ความนา่ จะเปน็ (Probability) ปญั หาทสี่ ําคญั อยา่ งหนึ่งของการหาคา่ ความน่าจะเป็นคือ การหาจํานวนสมาชิกของ เหตุการณ์ท่ี สนใจ หรือในแซมเปิลสเปซ (Sample Space) ในการทดลองหนึ่ง ๆ ที่เกิดขึ้นและนําไปหาค่าความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ในที่สุด ความพยายามที่จะนับจํานวนสมาชิกดังกล่าวด้วยวิธีแจกแจงสมาชิกนั้นทําได้ยาก เมื่อสมาชิกของเหตุการณ์และแซมเปิลสเปซมีจํานวนมาก หรือการหาสมาชิกของเหตุการณ์ที่มี ความ สลับซับซ้อน นักสถิติจึงพยายามที่จะใช้หลักทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วยอธิบาย ในบทนี้จะเสนอวิธี การ หาจํานวนสมาชิกหรือวิธีการเกิดของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เรียกว่าแซมเปิลสเปซ โดยไม่จำเป็นต้องแจงนับ ด้วยการนาํ หลกั การนบั เบ้ืองตน้ ตา่ ง ๆ ท่เี ก่ยี วข้องมาประยกุ ต์ใชใ้ นกรณีต่าง ๆ 2.1 เทคนคิ การนับ (Counting Techniques) 2.1.1 หลกั การนับเบ้ืองต้น (Fundamental Counting Rules) กฎของการนับเบอ้ื งต้นมีดังนี้ 1. หลักการบวก (Addition Rule) ทฤษฎีบทที่ 2.1 ถ้าเหตุการณ์หนึ่งประกอบด้วยเหตกุ ารณ์ย่อย k เหตุการณ์ โดยแต่ละเหตุการณ์ย่อยเกิดข้ึน ได้เป็นจํานวน n1,n2,K,nk วิธแี ละเหตุการณย์ ่อยน้จี ะเกดิ ขึ้นพร้อม ๆ กนั ไม่ได้ ดังน้นั จํานวนวธิ ีท่เี กดิ เหตุการณ์ น้ีเปน็ ไปไดท้ ัง้ หมดเท่ากับ n1 + n2 +K+ nk วธิ ี และหลักการบวกในรปู ของเซต (Set)ได้ดงั น้ี ถ้า E1, E2,K, Ek เป็นเซตจํากัดจํานวน k เซต (k  1) และให้ Ei  Ej =  แทนจํานวนสมาชิกของเซต เมื่อ i1, j มีคา่ เป็น 1 i  j  k และให้ n(Ei ) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต Ei ดังน้ัน n ( E1  E2 K Ek ) = n ( E1 ) + n ( E2 ) +K + n ( Ek )

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 2 ตัวอย่างที่ 2.1 หยิบไพ่ 1 ใบจากไพ่หนึ่งสำรับที่มีไพ่ทั้งหมด 52 ใบ จงหาจํานวนวิธีที่จะหยิบได้ไพ่ แตม้ 4, 8 หรอื J วิธที ํา แบ่งเหตกุ ารณ์ยอ่ ย ๆ ออกเปน็ 3 เหตกุ ารณ์ดงั นี้ ให้ E1 = E2 = E3 = และได้ว่า Ei  Ej =  สำหรบั i  j และ 1 i  j  3 และ E1  E2  E3 เปน็ เซตเหตุการณท์ ้ังหมดท่จี ะหยิบได้ไพ่แต้ม 4, 8 หรอื J เมอื่ n(E1 ) = 4, n(E2 ) = 4, n(E3 ) = 4 ดังนนั้ จํานวนวธิ ที ้ังหมดทจี่ ะหยิบได้ไพ่แต้ม 4, 8 หรอื J เท่ากับ n ( E1  E2  E3 ) = n ( E1 ) + n ( E2 ) + n ( E3 ) n ( E1  E2  E3 ) = 4 + 4 + 4 n( E1  E2  E3 ) = 12 วิธี ตัวอย่างที่ 2.2 นักเรียนกลุ่มหนึ่ง มีนักเรียนชาย 2 คน นักเรียนหญิง 3 คน จงหาจํานวนวิธีการเลือกตัวแทน นักเรียน 2 คนทีจ่ ะเป็นเพศเดยี วกนั วธิ ีทํา กําหนดให้นกั เรยี นชาย 2 คน คือ ช1, ช2 และนักเรยี นหญิง 3 คน คอื ญ1, ญ2, ญ3 แบง่ เหตุการณย์ อ่ ย ๆ ออกเปน็ 2 เหตกุ ารณ์ ดงั นี้ ให้ E1 = E2 =

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 3 2. หลกั การคูณ (Multiplication Rule) ทฤษฎบี ทท่ี 2.2 ถา้ เหตกุ ารณ์ใด ๆ ที่ประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อย ๆ k เหตุการณ์ โดยแตล่ ะเหตุการณ์ย่อย มเี หตุการณท์ ี่จะเกิดข้นึ ไดเ้ ป็น n1,n2,K,nk วิธี ดังน้ันจาํ นวนวธิ ีการทที่ ำไดท้ ั้งหมดเทา่ กบั n1 n2 Knk วธิ ี ถ้า E1, E2,K, Ek เป็นเซตจํากัดจํานวน k เซต (k  1) และให้ n(Ei ) แทนจํานวนสมาชิกของเซต เมื่อ xi  Ei และ i = 1,2,K, k จะได้ว่า  ( )E1  E2 K Ek = x1, x2,K, xk ดังนัน้ n ( E1  E2 K Ek ) = n ( E1 ) n ( E2 )K n ( Ek ) ตัวอย่างที่ 2.3 จากเมือง A ไปเมือง B มีถนน 2 สาย และจากเมือง B ไปเมือง C มีถนน 4 สาย ถ้าสมชายตอ้ งการเดนิ ทางจากเมือง A ไปเมอื ง C เขาจะมวี ธิ กี ารเลอื กทางเดินได้ท้ังหมดกห่ี นทาง วิธีทาํ กําหนดเส้นทางจากเมอื ง A ไปเมอื ง B มถี นนสาย B1, B2 และเสน้ ทางจากเมือง B ไปเมอื ง C มถี นนสาย C1, C2, C3, C4

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 4 ให้ E1 = {B1, B2} มี n(E1 ) = 2 E2 = {C1, C2, C3, C4} มี n( E2 ) = 4 จาก ( )E1  E2 = x1, x2 เมือ่ xi  Ei ;i = 1, 2 เช่น แทน (x1, x2 ) ด้วย (B1,C1) หมายถึง เดินทางจากเมือง A ไปเมือง C เริ่มด้วยเส้นทางถนนสาย B1 ไปยังเมอื ง B และตอ่ เน่อื งด้วยเส้นทางถนนสาย C1 ไปยังเมอื ง C ท่เี ปน็ เมอื งปลายทาง ดังน้ัน จาก n ( E1  E2 ) = n ( E1 ) n ( E2 ) n ( E1  E2 ) = 2  4 n(E1  E2 ) = 8 วธิ ี ตัวอย่างที่ 2.4 ชายคนหนึ่งมีเสื้อยืด 6 ตัว กางเกง 4 ตัว ถุงเท้า 5 คู่ และรองเท้า 2 คู่ ชายคนนี้จะเลือก แต่งตวั โดยสมุ่ ไดท้ ัง้ หมดก่วี ธิ ีท่ีไมซ่ าํ้ กนั วธิ ีทํา ตัวอย่างที่ 2.5 ร้านอาหารแห่งหนึ่งมีรายการอาหารอยู่ 3 ประเภท คือ แกงเผ็ด 4 อย่าง ผัดผัก 5 อย่าง ตม้ ซปุ 3 อย่าง ถ้าสงั่ อาหารประเภทละ 1 อยา่ งมารบั ประทาน จะส่งั อาหารได้ทัง้ หมดก่วี ธิ ี วิธที าํ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 5 ตวั อย่างที่ 2.6 การออกสลากออมสินประกอบดว้ ยเลข 7 หลกั โดยหลกั ลา้ นมีตัวเลขทีเ่ ปน็ ไปได้คอื เลข 1 ถงึ 7 ส่วนหลักอื่น ๆ ใช้เลข 0 ถึง 9 จงหาจํานวนฉบับของสลากทั้งหมดที่ต้องจัดพิมพ์ โดยการพิมพ์ จะพมิ พท์ ง้ั หมด 4 ชุด ดังนั้น จํานวนสลากทัง้ หมด ( )= n E1  E2  E3  E4  E5  E6  E7  E8 = n ( E1 ) n ( E2 ) n ( E3 ) n ( E4 ) n ( E5 ) n ( E6 ) n ( E7 ) n ( E8 ) = 4 7 101010101010 = 28,000,000 ฉบบั ตัวอย่างที่ 2.7 แผ่นป้ายทะเบียนรถยนต์ที่ใช้ในกรุงเทพมหานคร ประกอบด้วยตัวอักษรภาษาไทย 2 ตัว ที่ไม่ซํ้ากนั (ยกเว้นอักษร ฅ และ ฃ) และตัวเลขอีก 4 ตัว โดยแผ่นปา้ ยทะเบียนจะมีตวั อักษรภาษาไทยนาํ หนา้ และตามหลังด้วยตัวเลข ตัวเลขตัวแรกจะต้องไม่ใช่เลข 0 กรมการขนส่งทางบกจะสามารถจัดพิมพ์แผ่น ป้ายทะเบยี นรถยนต์ไดจ้ ํานวนทง้ั สน้ิ ก่แี ผน่ ปา้ ย วิธีทาํ การจดั เรียงตัวอักษรตัวแรกทําได้ วธิ ี การจัดเรยี งตัวอักษรตวั ทส่ี องทาํ ได้ วธิ ี การจัดเรยี งตวั เลขตัวแรกทาํ ได้ วิธี การจัดเรยี งตัวเลขอกี 3 ตวั ทําได้ วธิ ี

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 6 ตัวอย่างที่ 2.8 จงหาจํานวนชุดอาหารที่จะจัดรายการอาหารกลางวันเป็นชุดเพื่อเสนอแก่ลูกค้าที่มา รับประทานอาหาร ณ ร้านอาหารแห่งหนึ่ง โดยอาหารเป็นชุดนี้จะต้องประกอบด้วยแกงเผ็ดหรือผัดเผ็ด อย่างใดอย่างหนึ่ง แกงจืด ของหวาน และเครื่องดื่ม โดยจัดอาหารจากรายการที่มี แกงเผ็ด 4 ชนิด ผัดเผ็ด 5 ชนิด แกงจืด 3 ชนดิ ของหวาน 5 ชนิด และเครอื่ งดืม่ 4 ชนดิ วิธีทํา มแี กงเผด็ 4 ชนิด ผดั เผ็ด 5 ชนิด แกงจดื 3 ชนดิ ของหวาน 5 ชนดิ และเครือ่ งด่ืม 4 ชนิด จาํ นวนชดุ อาหารแบบท่ี 1 ซึง่ มแี กงเผ็ด จัดได้ 4×3×5×4 = 240 ชดุ จาํ นวนชดุ อาหารแบบที่ 2 ซึ่งมีผดั เผด็ จัดได้ 5×3×5×4 = 300 ชุด ดงั นนั้ มจี าํ นวนวธิ จี ัดชดุ อาหารได้ทงั้ หมด 240+300 = 540 ชุด ตัวอย่างที่ 2.9 จงหาจํานวนวิธีในการสร้างเลข 3 หลักให้เป็นเลขคู่ จากตัวเลข 1, 2, 5, 8, 9 โดยให้เลข แตล่ ะตวั ใชไ้ ดค้ รัง้ เดยี ว จํานวนวธิ ีแต่ละหลกั n ( E1 ) = 3 n ( E2 ) = 4 n ( E3 ) = 2 ตอ้ งการจัดเลข 3 หลกั ให้เป็นเลขคู่ ดงั นัน้ เลขหลักหนว่ ยจดั ได้ 2 วธิ ี เนอื่ งจากมเี ลขคู่ 2 ตวั แตล่ ะวธิ ีของการจดั เลขหลักหนว่ ย สามารถจดั หลกั สบิ ได้ 4 วิธี (ใช้เลขไปแลว้ 1 ตัว) แตล่ ะวิธีของการจัดเลขหลักหนว่ ยและหลักสบิ สามารถจดั หลักรอ้ ยได้ 3 วธิ ี ดังนน้ั จาํ นวนวิธจี ัดทั้งหมดคอื n(E1  E2  E3 ) = n(E1 ) n(E2 ) n(E3 ) n ( E1  E2  E3 ) = 3 4  2 n ( E1  E2  E3 ) = 24 วธิ ี

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 7 2.1.2 การจัดเรียงส่ิงของเปน็ เสน้ ตรงแบบไม่ใส่คืน ในกรณีที่ต้องการทราบจํานวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่จะจัดเรียงสิ่งของเป็นเส้นตรง เช่น ตอ้ งการทราบจํานวนวิธีท่จี ะจัดหนังสอื เข้าชน้ั จํานวน 6 เลม่ อยา่ งน้ีจดั ว่าเปน็ การจัดเรยี งสิ่งของเป็นเสน้ ตรง ทฤษฎีบทที่ 2.3 จํานวนวิธีในการจัดเรียงสิง่ ของ n สิ่งทีแ่ ตกต่างกันออกเปน็ เสน้ ตรง เทา่ กับ n! วิธี พิจารณาอักษร 3 ตัวคือ a, b, c ต้องการจัดเรียงอักษร 3 ตัวโดยไม่คํานึงความหมาย จะจัดเรียง ได้เป็น abc, acb, bac, bca, cab และ cba ดังนั้นจะเห็นว่าเราสามารถจัดเรียงอักษรนี้ได้ 6 วิธีต่าง ๆ กัน ถา้ ใช้ ทฤษฎบี ทที่ 2.2 จะได้จํานวนวิธเี ทา่ กบั 3×2×1 = 6 วิธี เชน่ เดยี วกัน โดยท่วั ไป ถ้ามสี ่งิ ของ n สงิ่ ที่แตกต่างกัน สามารถจัดเรยี งส่ิงของ n สิ่งนี้ได้เท่ากบั n! วิธี พสิ จู น์ ตําแหนง่ ที่ 1 จัดได้ n วธิ ี ใน 1 วธิ ขี องการจัดตําแหนง่ ที่ 1 จัดตําแหนง่ ที่ 2 ได้ n −1 วธิ ี ใน 1 วธิ ีของการจดั ตาํ แหน่งท่ี 1, 2 จัดตําแหน่งท่ี 3 ได้ n − 2 วิธี ใน 1 วิธีของการจดั ตาํ แหนง่ ที่ 1, 2, 3 จดั ตําแหน่งที่ 4 ได้ n −3 วิธี MM ใน 1 วธิ ีของการจดั ตําแหน่งท่ี 1,2,3,K,(n −1) จัดตําแหนง่ ที่ n ได้ 1 วธิ ี จํานวนวิธจี ัดทง้ั หมดเทา่ กบั n(n −1)(n − 2)L(2)(1) = n! วิธี ตัวอย่างที่ 2.12 มีนักศึกษา 5 คน ต้องการจัดให้ยืนเรียงแถวหน้ากระดานเพื่อให้ช่างภาพถ่ายภาพหมู่จะ จัดได้ทง้ั หมดกว่ี ิธี วิธีทำ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 8 จะได้วา่ ตําแหน่งที่ 1 เราสามารถจดั นกั ศึกษาเข้ายนื ได้ 5 วธิ ี (5 คน ใครกไ็ ด)้ ใน 1 วิธขี องการจดั ตําแหน่งท่ี 1 สามารถจดั ตําแหนง่ ท่ี 2 ได้ 4 วธิ ี (เพราะยืนไปแลว้ 1 คน) ใน 1 วธิ ขี องการจดั ตาํ แหนง่ ท่ี 1, 2 สามารถจดั ตาํ แหนง่ ท่ี 3 ได้ 3 วธิ ี (เพราะยืนไปแลว้ 2 คน) ใน 1 วิธขี องการจัดตําแหนง่ ท่ี 1, 2, 3 สามารถจัดตาํ แหนง่ ท่ี 4 ได้ 2 วิธี ใน 1 วิธีของการจัดตําแหน่งท่ี 1, 2, 3, 4 สามารถจัดตาํ แหน่งท่ี 5 ได้ 1 วิธี ดงั นนั้ จํานวนวิธกี ารจดั 5 คนยนื เรียงแถว จัดได้ วิธีn ( E1 ) n ( E2 ) n ( E3 ) n ( E4 ) n ( E5 ) = 5 4 3 21 = 5! = 120 ตัวอย่างที่ 2.13 จงหาจํานวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในการจัดนักเรียนชาย 3 คน และหญิง 3 คน ยืน เรียงเขา้ แถวหน้ากระดาน โดย ก) ยนื โดยไม่มเี ง่อื นไข ข) นักเรยี นชายยนื สลับกบั นกั เรียนหญิง ค) ให้ ด.ช. กร ยืนหวั แถว และ ด.ญ. อ้อ ยนื หางแถวของกลุ่ม วธิ ีทำ ก) ยนื โดยไมม่ ีเงือ่ นไขทําได้

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 9 ข) นักเรียนชายยนื สลบั กบั นักเรยี นหญงิ จะพบว่า ค) ให้ ด.ช. กร ยืนหัวแถว และ ด.ญ. อ้อ ยืนหางแถวมเี พยี ง 1 วธิ ี

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 10 ทฤษฎีบทที่ 2.4 จํานวนวิธีการจัดเรียงสิ่งของครั้งละ r สิ่งจากทั้งหมด n สิ่งที่แตกต่างกัน กรณี r  n จะจดั ได้ n! วธิ ี ใช้สญั ลกั ษณ์ n Pr หรือ (n) = ( n n! )! r −r (n − r)! พิสจู น์ มขี องทงั้ หมด n สง่ิ ที่แตกต่างกนั จดั ครั้งละ r สิ่ง ตาํ แหน่งที่ 1 จัดได้ n วิธี ในแต่ละวธิ ขี องการจัดตาํ แหน่งท่ี 1 จัดตาํ แหน่งที่ 2 ได้อีก n −1 วิธี ในแตล่ ะวิธีของการจดั ตาํ แหน่งที่ 1, 2 จัดตาํ แหน่งท่ี 3 ไดอ้ กี n − 2 วธิ ี ในแต่ละวธิ ขี องการจดั ตําแหน่งท่ี 1, 2, 3 จดั ตาํ แหน่งท่ี 4 ได้อีก n −3 วิธี ในแต่ละวธิ ีของการจัดตําแหนง่ ที่ 1, 2, 3, ..., r −1 ตาํ แหน่งที่ r ไดอ้ กี n − r +1 จาํ นวนวิธกี ารจดั ตาํ แหนง่ ท่ี 1, 2, 3, ..., r = n(n −1)(n − 2)L(n − r +1) วิธี n Pr = n (n −1)(n − 2)L(n − r +1) n Pr = n(n −1)(n − 2)L(n − r +1)(n − r )! (n − r)! n Pr = n! (n − r)! จาก n (n − 1) (n − 2)L(n − r + 1) = (n n! )! (2.1) −r แทนคา่ r = n ใน (2.1) ดงั น้นั n(n −1)(n − 2)L(n − n +1) = n! (n − n)! n(n −1)(n − 2)L(2)(1) = n! 0! n! = n! 0! หมายเหตุ กรณี r =n จะไดว้ า่ n Pr = n! และ 0! = n! =1 n! ตัวอย่างที่ 2.14 จงหาจํานวนวิธีในการเลือกตัวแทนนักเรียน 2 คน จาก 20 คน เพื่อมาเป็นหัวหน้าและ รองหวั หนา้ กลุม่ วิธที าํ ตัวอย่างที่ 2.15 ในการจดั เรียงตวั เลข 1, 2, 5, 8 ทีละ 2 ตัว จะจดั เรียงไดก้ ่ีจํานวน วธิ ที ํา

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 11 2.1.3 การจดั เรียงส่งิ ของเป็นเส้นตรงแบบใส่คนื ทฤษฎีบทที่ 2.5 พิจารณากล่องใบหนึ่งมีลูกบอลที่ต่างกัน n ลูก (มีหมายเลข 1− n ติดอยู่) ต้องการหยิบ ลูกบอล r ลูก (r  n) โดยหยิบทีละ 1 ลูกคำนงึ ถงึ ลําดับ แลว้ ใสก่ ลบั คืนกอ่ นหยบิ คร้งั ตอ่ ไป จาํ นวนวิธหี รอื จาํ นวนหนทางการหยบิ ลกู บอล r ลูกเท่ากับ nr วิธี ตัวอย่างที่ 2.18 ดึงไพ่จากสำรับมาตรฐานมา 5 ใบ โดยดึงครั้งละ 1 ใบ ตามลําดับแล้วใส่คืนก่อนดึงคร้ัง ตอ่ ไป จงหาจํานวนวธิ ใี นการดึงไพ่ 5 ใบนี้ วธิ ที ํา จาํ นวนวธิ ที ้งั หมดเท่ากับ 52×52×52×52×52 = 525 วธิ ี ตัวอย่างที่ 2.19 จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่พนักงาน 30 คน แต่ละคนจะมีวันเกิดในวันใดๆ ก็ได้ใน 1 ปี (365 วนั ) วิธที าํ ตัวอย่างที่ 2.20 เครื่องใช้ไฟฟ้าชุดหนึ่งมี 35 ตัว ณ เวลาใดๆ เครื่องใช้ไฟฟ้าแต่ละตัวอาจมีสถานภาพ ของสวติ ช์เป็นปิดหรอื เปดิ จงหาจํานวนสถานภาพทั้งหมดท่ีเป็นไปได้ของเคร่ืองใชไ้ ฟฟ้าชุดนี้ วิธที ํา

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 12 2.1.4 การจดั เรยี งสิ่งของทไ่ี ม่แตกต่างกนั ท้ังหมดเป็นเส้นตรง เราจะพิจารณาการจัดลําดับสิ่งของที่มีของบางสิ่งเหมือนกัน ซึ่งในการจัดลําดับสิ่งของท่ี เหมือนกันเป็นกลุ่ม ๆ นั้น การวางสลับที่กันของสิ่งของที่เหมือนกันจะไม่เกิดวิธีใหม่ เช่น มีอักษร a, b, c นาํ มาจัดเรียงทลี ะตัว 3 ตัวจะจดั ได้ 6 วิธคี ือ abc bca cab acb bac cba แต่ถ้ามี c ซ้ํา กลา่ วคอื มี a , c, c ดังนั้นจะจัดได้ cca cac acc cac cca acc ซึ่งจะพบว่ามีเพียง 3 วิธีเท่านั้นที่แตกต่างกัน ซึ่งหา คําตอบไดด้ ังน้ีคือ ถ้า a, b, c (ตัวอักษร 3 ตวั ตา่ งกนั หมด) จะจัดได้ 3! วธิ ี ถา้ b = c (มอี ักษร 2 ตัวเหมอื นกัน) เราสามารถสลับท่ี 2 ตัวนไี้ ด้ 2! วิธี จํานวนวิธีจัดตัวอกั ษร 3 ตวั ท่เี หมอื นกนั 2 ตัวคอื 3! = 3 วธิ ี 2! แต่ถ้ามอี ักษร a, b, c, d เราจัดเรียงอกั ษรได้ 4!= 24 วธิ ี ถา้ a = b = x และ c = d = y เราสามารถจัดเรยี งอักษรทีแ่ ตกตา่ งกันไดเ้ ปน็ xxyy xyxy yxxy yyxx xyyx yxyx ดงั น้ัน จดั เรียงได้ 4! = 6 วิธีทแี่ ตกต่างกนั 2!2! ทฤษฎีบทท่ี 2.6 การจดั เรียงส่งิ ของ n สง่ิ ซึ่งมี n1 ส่ิงท่เี หมือนกัน มี n2 สิง่ ทเี่ หมอื นกนั มี nk ส่งิ ที่ เหมือนกัน จะไดจ้ ํานวนวิธกี ารจดั เท่ากบั n! วิธี n1 !n2 !Lnk ! ตัวอย่างที่ 2.21 มีหนังสือชีววิทยาที่เหมือนกัน 2 เล่ม หนังสือฟิสิกส์ที่เหมือนกัน 3 เล่ม และหนังสือ เคมที ีเ่ หมอื นกัน 4 เล่ม จะมีวธิ ีการจัดเรยี งหนงั สือ 9 เล่มนีบ้ นช้ันหนังสอื ได้ทั้งหมดก่วี ิธี วิธีทํา จาํ นวนวิธกี ารจดั เทา่ กบั 9! =1,260 วิธี 2!3!4! ตัวอย่างที่ 2.22 มีหลอดไฟสีฟ้า 4 หลอด หลอดไฟสีม่วง 5 หลอด หลอดไฟสีส้ม 6 หลอด ต้องการจัด หลอดไฟตดิ รั้วประดบั บา้ น จะมีจํานวนการจดั ได้ท้ังหมดกี่วิธี วธิ ีทํา

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 13 2.1.5 การจดั เรียงสิ่งของเปน็ วงกลม ในการจัดเรียงสิ่งของเป็นวงกลมนัน้ มวี ธิ ีการจัดต่างไปจากการจัดเป็นแนวตรง การคิดวิธีจัดเรยี งสิง่ ของ เป็นวงกลมมีหลักอยู่ว่า การหมุนไปตามตําแหน่งที่จัดของสิ่งนั้นพร้อมๆ กันไม่ถือว่ าเป็นวิธีใหม่ เพราะสิ่งที่อยู่ทางซ้ายและขวามือของสิ่งที่พิจารณายังคงเหมือนเดิม เช่ นการจัด A B C และ D น่ังเปน็ วงกลมแสดงดงั รปู ท่ี 2.1 รูปที่ 2.1 การจดั เปน็ วงกลมท่ไี ม่ถือวา่ เป็นวิธีที่แตกตา่ งกัน ซึ่งในการกระทําเช่นนี้เราจะถือว่าเป็นวิธีที่ไม่แตกต่างกัน ดังนั้นเราอาจจัดง่ายๆ โดยให้สิ่งหนึ่ง อยกู่ บั ที่ และจัดของที่เหลือลงตาํ แหน่งท่เี หลอื อยู่ ทฤษฎีบทท่ี 2.7 จํานวนวธิ กี ารจัดเรยี งสง่ิ ของ n สง่ิ ท่แี ตกต่างกันเปน็ วงกลม จดั ได้ (n −1)! วธิ ี พิสูจน์ มีสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง เราต้องกําหนดให้สิ่งของสิ่งหนึ่งอยู่กับที่ ณ ตําแหน่งใด ตาํ แหนง่ หนึ่งเสียกอ่ น ดงั นั้นเหลอื สงิ่ ของ (n −1) ส่ิง จดั ลำดบั ได้ (n −1)! วิธี ตัวอย่างที่ 2.23 จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่เป็นไปได้ ในการจัดให้แขกผู้ได้รับเชิญจํานวน 10 คน นงั่ รบั ประทานอาหารรอบโต๊ะกลมซ่ีงมี 10 ท่นี ง่ั วธิ ีทํา จํานวนวิธที จี่ ะจัดแขกผ้ไู ดร้ บั เชิญ 10 คน นัง่ รอบโตะ๊ กลมจดั ได้ (10 −1)!= 9! วิธี ตวั อยา่ งที่ 2.24 จงหาจาํ นวนวธิ ที ่จี ะจัดชาย 5 คน หญงิ 5 คน น่ังรบั ประทานอาหารรอบโตะ๊ กลม โดย จัดใหห้ ญิงและชายนงั่ สลบั ทกี่ ัน

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 14 วิธีทํา ตวั อยา่ งที่ 2.25 ถา้ ตอ้ งการเรียงลกู บอล 7 สีเปน็ วงกลม จะสามารถจดั เรียงไดท้ ัง้ หมดก่วี ิธี วธิ ที าํ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 15 ตวั อย่างที่ 2.26 จงหาจาํ นวนวิธีทงั้ หมดท่จี ะจัดใหค้ น 8 คน นัง่ รอบโต๊ะกลม ก) ใครนง่ั ที่ใดก็ได้ ข) นายแกน่ กับนายโก่งตอ้ งไมน่ ัง่ ติดกนั วธิ ที ํา ก) จํานวนวิธีทงั้ หมดท่ีจะจดั คน 8 คนน่ังเป็นวงกลมจัดได้ ข) จํานวนวิธีการจัดใหน้ ายแก่นกบั นายโกง่ น่ังตดิ กนั จัดได้ ดังนนั้ จํานวนวธิ ีการจัดให้นายแก่นกบั นายโกง่ นง่ั ไมต่ ดิ กนั จดั ได้ 2.1.6 การจัดหมู่ (Combination) ในกรณีที่ต้องการหาจํานวนวิธีการเลือกสิ่งของ r สิ่งจาก n สิ่งที่ต่างกัน โดยไม่คำนึงถึงลําดับที่ ในการวางหรือจัด การกระทําในลักษณะนี้เรียกว่า การจัดหมู่ (Combination) เช่น การเลือกตัวแทน นักเรียน 4 คนจากทั้งหมด 10 คน การสุ่มหยิบหนังสือ 3 เล่มจากทั้งหมด 5 เล่ม (ไม่ได้นํามาจัดเรียง) จะ สามารถทําไดก้ ีว่ ธิ ี เปน็ ตน้ ทฤษฎีบทที่ 2.8 จํานวนวิธีการจัดหมู่ส่ิงของครั้งละ r สิ่ง จาก n สิ่งที่แตกต่างกัน สามารถจัดได้ Cn r หรอื แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ n วธิ ี เมื่อ nCr = n! โดยที่ rn    r  (n − r)!r! พสิ จู น์ มสี งิ่ ของทงั้ หมด n ส่ิง กําหนดให้ Cn เปน็ การเลือกของ r สิ่งจาก n สิง่ r ในแตล่ ะวธิ ที ีเ่ ลอื กของมา r สิ่งนนั้ ถา้ นาํ มาจดั ลาํ ดับจะได้ r! วิธี r!Cr = จำนวนวิธกี ารจัดลำดบั ของ n สงิ่ จัดทลี ะ r ส่ิง r !Cr = n Pr = n! (n − r)!r! ดังนน้ั nCr = (n n! ! − r)!r ตัวอย่างที่ 2.27 จงหาจํานวนวิธีในการเลือกกรรมการชุดหนึ่งโดยให้เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 1 คน จากสมาชกิ ทง้ั หมดทเ่ี ป็นชาย 4 คน และเปน็ หญงิ 4 คน วธิ ีทาํ จํานวนวธิ ีการเลือกกรรมการชาย 2 คนจาก 4 คน เลือกได้ 4C2 = ( 4 4! = 6 วิธี − 2)!2!

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 16 จํานวนวธิ กี ารเลือกกรรมการหญิง 1 คนจาก 4 คน เลอื กได้ 4C1 = ( 4 4! = 4 วธิ ี −1)!1! ดังนั้นการเลอื กกรรมการ 3 คน ซงึ่ เปน็ ชาย 2 คน หญงิ 1 คน เลือกได้ 64 = 24 วิธี ตัวอย่างที่ 2.28 ต้องการคัดเลือกกรรมการนักศึกษาจากชั้นปีที่ 4 จํานวน 5 คน จากตัวแทนนักศึกษา ช้นั ปที ่ี 4 ทง้ั หมด 12 คน จงหาจํานวนชดุ ทจ่ี ะจัดกรรมการได้ วธิ ีทํา ตัวอย่างที่ 2.29 กล่องใบหนึ่งบรรจุหลอดไฟ 20 หลอด ในจํานวนนี้มีหลอดไฟที่เสื่อมคุณภาพ 5 หลอด จงหาจาํ นวนวิธที ่ีหยบิ หลอดไฟมา 4 หลอด แล้วเป็นหลอดไฟดี 3 หลอด วธิ ที ํา

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 17 ขอ้ สังเกต เมือ่ n,k และ r เปน็ จํานวนเตม็ บวก 1. nCk = Cn เช่น 5C2 = C5 n−k 5−3 2. nC0 = nCn = 1 เช่น 4C0 = 4C4 = 1 3. nCk = Cn = Cn+1 เช่น 4C2 + 4C1 = C4+1 k −1 k 2 4. nC0 + nC1 +K + nCn = 2n 5. ( )a + b n = n C a bn r n−r (เรียกวา่ ทฤษฎที วินาม) r  r=0 เชน่ ( )2 + 3 5 = 5 C5  2r 35−r r  r=0 2.1.7 สมั ประสิทธ์ิพหนุ าม (Multinomial Coefficient) ถ้าต้องการหาจํานวนวิธีของการแบ่งสิ่งของ n สิ่งออกเป็น r กลุ่มย่อย โดยที่ผลรวมของสมาชิก ในทุกกลุ่มย่อยเท่ากับ n เช่น พิจารณากลุ่มของสระ a, e, i, o, u ต้องการแบ่งสระ 5 ตัวนี้ออกเป็น 2 กลุ่ม ย่อย โดยกลุ่มย่อยแรกมีสมาชิก 4 ตัว และอีกกลุ่มหนึ่งมีสมาชิก 1 ตัว ดังนั้นจะแบ่งได้ดังนี้ {(a, e, i, o), (u)}, {(e, i, o, u), (a)}, {(a, e, o, u), (i)}, {(a, i, o, u), (e)} และ {(a, e, i, u), (o)} จะเห็นว่าสามารถแบ่งได้ 5 วธิ ี จาํ นวนวธิ กี ารแบ่งนแี้ สดงไดเ้ ป็น 5! = 5 วธิ ี ซึ่งสรปุ เปน็ ทฤษฎีไดด้ งั น้ี 4!1! ทฤษฎีบทที่ 2.9 จํานวนวิธีการแบ่งสิ่งของ n สิ่ง ออกเป็น r กลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเท่ากันและไม่ คำนงึ ถงึ ลําดบั ทีข่ องกลุ่ม จาํ นวนวธิ ีการแบ่ง = n! เม่ือ n1 = n2 = L = nr และ n1 + n2 +L+ nr =n n1 !n2 !Ln!r! ตัวอย่างท่ี 2.30 จงหาจํานวนวธิ ีการแบง่ ของอกั ษร a, b, c, d เปน็ 2 กลุม่ ๆ ละ 2 ตวั อักษร

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 18 จะแบง่ ได้ = 4! = 6 วิธี และเมื่อไม่คำนึงถึงลาํ ดบั ทขี่ องกลุ่ม 2!2! จากข้างตน้ แบบที่ 1 และแบบที่ 6 จะเปน็ วธิ เี หมอื นกัน แบบท่ี 2 และแบบที่ 5 จะเป็นวธิ เี หมือนกัน และแบบท่ี 3 และแบบที่ 4 จะเปน็ วธิ เี หมือนกนั ดังนั้นการสลับที่ของลําดับของกลุ่มไม่ทําให้วิธีการแบ่งกลุ่มแตกต่างกัน จะได้ว่า จํานวนวธิ ีการแบง่ กลมุ่ ท้งั หมดเทา่ กับ 6 หรอื 4! = 3 วธิ ี 2! 2!2!2! ตัวอย่างที่ 2.31 จงหาจาํ นวนวิธแี บ่งคน 7 คน เป็นกลุ่มละ 2 คน 2 กลุ่ม และ 3 คน 1 กลุม่

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 19 ทฤษฎีบทท่ี 2.10 จํานวนวิธีการแบ่งสิ่งของ n สิ่ง ออกเป็น r กลุ่ม โดยคำนึงถึงลําดับที่ของกลุ่ม ให้ กลมุ่ ท่ี 1 มสี มาชกิ n1 สิง่ กลมุ่ ที่ 2 มีสมาชกิ n2 สงิ่ L กลมุ่ ที่ r มีสมาชิก nr สงิ่ จํานวนวธิ กี ารแบง่ คอื n! ; n1 + n2 +L + nr = n n1 !n2 !Lnr ! ตัวอย่างที่ 2.32 จงหาจํานวนวิธีการจัดคน 7 คน ให้พักในห้องพักของโรงแรม โดยห้องที่ 1 พัก 3 คน หอ้ งทเี่ หลอื 2 ห้อง พักหอ้ งละ 2 คน วิธีทาํ จํานวนวธิ กี ารจัดคนเขา้ พกั คอื 7! = 210 วธิ ี 3!2!2! ตัวอย่างที่ 2.33 บริษัทหนึ่งมียามรักษาการณ์ 8 คน แบ่งหน้าที่ประจำประตูทางเข้าบริษัท 2 คน เดิน ตรวจ 3 คน และอยู่ในโกดังเก็บสนิ ค้า 3 คน จะจัดยามรกั ษาการณ์ไดท้ ง้ั หมดก่ีวธิ ี วธิ ีทาํ ตัวอย่างที่ 2.34 ในการเล่นฟุตบอล ณ สนามแห่งหนึ่ง มีเด็กชายจํานวน 24 คน ต้องการแบ่งเป็น 2 ทีม คอื ทมี A และ B ทีมละ 11 คน ทเี่ หลือเป็นผ้เู ล่นสํารอง 2 คน จะมีวิธีจดั ทีมฟุตบอลได้ท้ังหมดกว่ี ธิ ี วิธที าํ ตัวอย่างที่ 2.35 ในการแบ่งดินสอ 12 แท่งที่แตกต่างกันออกเป็น 3 มัดเท่าๆ กัน เพื่อให้เด็ก 3 คนเลือก จะจดั ไดท้ งั้ หมดก่วี ิธี วธิ ที าํ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 20 2.2 ความนา่ จะเปน็ (Probability) ในทางสถิติเมื่อกล่าวถึง การทดลองสุ่ม (Random Experiment) จะหมายถึง การทดลองหรือการ กระทําที่เป็นไปอย่างสุ่มและในการทดลองแต่ละครั้งไม่สามารถบอกผลลัพธ์ได้อย่างแน่นอนว่าจ ะเกิด อะไร เพียงแต่สามารถบอกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นจากการทดลองนั้น เช่น การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เป็นการทดลองสุ่ม เนื่องจากในการทอดลูกเต๋าแต่ละครั้งไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้อย่าง แน่นอน แต่บอกได้ว่าการทดลองนี้จะเกิดผลลัพธ์อะไรบ้าง น่ันคือจะเกิดผลลัพธ์เป็นแต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6 และจะเขียนแสดงผลลัพธ์ในรูปเซต โดยที่เรียกเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นได้นี้ ว่า “แซมเปิลสเปซ” (Sample Space) นิยมเขียนแทนดว้ ย S จากตัวอย่างข้างต้น ถ้าสนใจการขึ้นแต้มต่างๆ ของลูกเต๋าโดยให้ “1” แทนการขึ้นแต้ ม 1 “2” แทนการขึ้นแต้ม 2 “3” แทนการขึ้นแต้ม 3 “4” แทนการขึ้นแต้ม 4 “5” แทนการขึ้นแต้ม 5 “6” แทนการขึน้ แต้ม 6 จะได้ S = 1,2,3,4,5,6 เป็นแซมเปิลสเปซ แต่ถ้าสนใจผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นเป็นแต้มคู่หรือแต้มคี่ ให้ O = 1,3,5 และ E = 2,4,6 จะเขียน S = O,E ซ่งึ กลา่ วได้ว่า การทดลองส่มุ หนงึ่ อาจเขียนแซมเปิลสเปซไดห้ ลายแบบขึน้ อยู่กบั สิ่งท่ีสนใจ นิยามท่ี 2.1 แซมเปิลสเปซ หมายถึง เซตของผลลพั ธ์ทเ่ี ป็นไปไดท้ ง้ั หมดจากการทดลองสุม่ ตัวอยา่ งท่ี 2.36 ตัวอยา่ งการเขียนแซมเปลิ สเปซจากการทดลองสมุ่ ต่างๆ - การทดลองโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง สนใจการเกิดหัวหรือก้อย ดังนั้นเขียนแซมเปิลสเปซได้ เปน็ S = {หวั , กอ้ ย} - การทดลองโยนลูกเต๋า 1 ลูก สนใจแต้มที่หงายขึ้น อาจจะเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ดังน้ัน เขยี นแซมเปลิ สเปซได้เป็น S = 1,2,3,4,5,6 - การสุ่มหยิบผลิตภัณฑ์จากกระบวนการผลิตจํานวน 5 ชิ้น เพื่อตรวจสอบคุณภาพว่าผ่านเกณฑ์ มาตรฐานหรือไม่ เจ้าหน้าที่แผนกควบคุมคุณภาพสนใจจํานวนผลิตภัณฑ์ที่ไม่ผ่านเกณฑ์มาตรฐาน อาจจะไมม่ ีเลย หรือมี 1, 2, 3, 4 หรือ 5 ชน้ิ ทไ่ี ม่ผา่ นเกณฑ์มาตรฐาน ดังน้ันเขยี นแซมเปลิ สเปซไดเ้ ปน็ S = 0,1,2,3,4,5 - กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีเขียว 3 ลูก สีแดง 4 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกล่อง ถ้าสนใจสีของ ลกู บอล ซึง่ อาจจะเปน็ สเี ขยี วหรอื สีแดง ดังน้นั เขียนแซมเปลิ สเปซไดเ้ ป็น S = {สีเขยี ว, สแี ดง}

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 21 - การสํารวจอายุการใช้งาน (หน่วยเป็นชั่วโมง) ของถ่านไฟฉายขนาดใหญ่ชนิดใหม่ยี่ห้อหนึ่ง ดังนั้น เขียนแซมเปิลสเปซได้เปน็ S = x x  0 เมอื่ x แทน อายกุ ารใชง้ าน (หนว่ ยเป็นชว่ั โมง) 2.2.1 เหตุการณ์ (Events) นิยามที่ 2.2 เหตกุ ารณ์ หมายถงึ เซตย่อย (Subset) ของแซมเปิลสเปซในการทดลองสุ่ม ในการทดลองสุ่มแต่ละครั้งเราอาจจะสนใจการเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งโดยเฉพาะซึ่ง ประกอบด้วยสมาชิกจากแซมเปิลสเปซ สมมติ A เปน็ เหตุการณท์ ส่ี นใจการเกิดแต้มคู่ ดังนั้น A = 2,4,6 ซึ่งสมาชิกของเหตกุ ารณ์ A ทุกตวั ได้มาจากแซมเปลิ สเปซ S = 1,2,3,4,5,6 เหตุการณ์ใด ๆ ที่สนใจจะต้องเป็นเซตย่อยของแซมเปิลสเปซ S เสมอ และถ้าสมมติว่า A และ B เปน็ เหตกุ ารณใ์ ด ๆ เราสามารถพจิ ารณาความสัมพนั ธข์ องเหตุการณเ์ หลา่ นน้ั ไดด้ งั น้ี A B หมายถงึ เหตกุ ารณท์ ปี่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ในเหตกุ ารณ์ A หรือ B A B หมายถงึ เหตุการณท์ ี่ประกอบด้วยสมาชิกทงั้ ในเหตกุ ารณ์ A และ B AC หมายถงึ เหตุการณ์ทีป่ ระกอบด้วยสมาชิกของ S ท่ีไม่เป็นสมาชิกของ A A  B หมายถึง เหตกุ ารณ์ท่ีประกอบด้วยสมาชกิ ทั้งหมดในเหตุการณ์ A เปน็ สมาชิกใน เหตกุ ารณ์ B นัน่ คือ เหตกุ ารณ์ A เปน็ เซตย่อยของเหตกุ ารณ์ B

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 22 นยิ ามท่ี 2.3 เหตกุ ารณ์ทีไ่ มเ่ กิดขน้ึ ร่วมกนั (Mutually Exclusive Events) เหตุการณ์ A และ B ภายใต้แซมเปิลสเปซเดียวกัน จะเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้นร่วมกัน (Mutually Exclusive Events) ก็ต่อเมื่อ A B =, คือ เซตวา่ ง แสดงดงั รปู ที่ 2.4 ตัวอยา่ งท่ี 2.37 ทดลองโยนลูกเตา๋ 1 ลูก 1 ครัง้ A เปน็ เหตุการณท์ ี่เกิดแต้มเปน็ เลขคู่ B เป็นเหตุการณท์ เี่ กิดแตม้ เปน็ เลขคี่ ดงั นน้ั A = 1,3,5 และ B = 2, 4,6 จะพบวา่ A B = น่นั คือ A และ B เป็นเหตกุ ารณ์ทไ่ี ม่เกดิ ข้นึ ร่วมกนั 2.2.2 สจั พจน์ของความน่าจะเป็น (Axioms of Probability) การสรุปหรือการอ้างอิงทางสถิตินั้นมีพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการทดลองภายใต้ความไม่แน่นอน ด้วยเหตุนี้ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงมีบทบาทสําคัญในการพัฒนาวิธีการทางสถิติเพื่อจะทําให้การสรุป หรือการอา้ งอิงทางสถติ นิ นั้ มคี วามสมเหตุสมผล ถ้าสมาชิกในแซมเปิลสเปซมีโอกาสเกิดเท่ากัน กําหนดให้ n(S) แทนจำนวนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ และภายใต้แซมเปิลสเปซนี้มีเหตุการณ์ A ที่มีจำนวนสมาชิก n( A) ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับ P( A) = n( A) n(S) การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งเป็นเหตุการณ์ใด ๆ ภายใต้แซมเปิลสเปซ S เราจะใช้สัญลักษณ์ P( A) แทนความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ A โดยจะสอดคลอ้ งตามคณุ สมบตั ิดงั ต่อไปน้ี 1. 0  P ( A)  1 2. P (S ) = 1 3. ถ้าเหตุการณ์ A และ B ภายใต้แซมเปิลสเปซ S เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้นร่วมกัน จะได้ว่า P( A B) = P( A) + P(B)

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 23 ตัวอย่างที่ 2.38 โยนเหรียญ 1 อนั 3 ครง้ั ซง่ึ เขียนแซมเปิลสเปซได้เป็น S = HHH , HTH ,THH , HHT ,TTH ,THT , HTT ,TTT โดยทแ่ี ตล่ ะผลลพั ธม์ นี ้ําหนักเท่าๆ กนั สมมติใหเ้ ป็น w วิธีทํา จากคณุ สมบัตขิ ้อ 2 P(S) = 1 = 8w w = 1 8 ถา้ สนใจเหตุการณ์ A เป็นเหตุการณ์ทไี่ ม่เกิดหวั เลย จะได้วา่ A = TTT ดังน้ัน P( A) = 1 8 B เปน็ เหตุการณ์ท่เี กิดกอ้ ยมากกว่า 1 ครงั้ จะได้ว่า B = TTT,THT, HTT,TTH ดงั นนั้ P(B) = 4 8 ตัวอย่างที่ 2.39 ตารางข้างล่างเป็นข้อมูลที่เก็บไว้ก่อนหน้านี้แล้ว สําหรับขนมเวเฟอร์ 940 ชิ้นที่ผลิต ขนึ้ มาจาก 2 เตา แล้วพจิ ารณารอยตาํ หนขิ องเวเฟอร์แตล่ ะช้ินไดด้ ังน้ี ลักษณะรอยตําหนิ เตาท่ี 1 เตาที่ 2 รวม รอยตาํ หนนิ อ้ ย 514 68 582 รอยตําหนมิ าก 112 246 358 รวม 626 314 940 ทาํ การสุ่มขนมเวเฟอรข์ ึน้ มา 1 ช้ิน ถ้าให้ E1 แทนเหตกุ ารณ์ท่สี มุ่ ไดข้ นมเวเฟอร์มรี อยตาํ หนนิ ้อย E2 แทนเหตุการณ์ท่สี ุม่ ไดข้ นมเวเฟอรจ์ ากเตาที่ 2 จงหา ก) P (E1 ) ข) P ( E2 ) ค) P ( E1  E2 ) วธิ ที าํ ก) P ( E1 ) = 582 940 ข) P ( E2 ) = 314 940 ค) P( E1  E2 ) = 68 940

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 24 ตัวอย่างที่ 2.40 โยนลูกเต๋าลูกหนึ่งจํานวน 1 ครั้ง โดยที่ลูกเต๋านี้ถูกถ่วงนํ้าหนักให้โอกาสที่จะเกิดแต้ม เลขค่เี ป็น 2 เท่าของโอกาสที่จะเกดิ แต้มเลขคู่ จงหา ก) ความนา่ จะเปน็ ที่เกิดแต้มนอ้ ยกวา่ 4 ข) ความน่าจะเป็นทีเ่ กดิ แตม้ ไมต่ ่าํ กวา่ 4 วิธีทํา เมื่อพิจารณาแซมเปิลสเปซ S = 1,2,3,4,5,6 สมมติให้แต้มเลขคู่แต่ละแต้มมีนํ้าหนักเป็น w ดงั น้ันแต้มเลขค่แี ต่ละแตม้ มนี า้ํ หนกั เป็น 2w จากคณุ สมบตั ขิ ้อ 2 P(S) = 1 = 9w w = 1 9 ก) ให้ A เปน็ เหตุการณท์ เ่ี กิดแต้มไม่นอ้ ยกว่า 4 จะได้ว่า A = 1, 2,3 P( A) = 2 + 1 + 2 999 P( A) = 5 9 ข) ให้ B เปน็ เหตุการณ์ทเ่ี กิดแต้มไมต่ ํา่ กว่า 4 จะไดว้ า่ P(B) =1− P( A) P(B) = 1− 5 9 P(B) = 4 9 ตัวอย่างที่ 2.41 สุ่มหยิบไพ่ 1 ใบ จากสำรับที่มีไพ่ที่ต่างกัน 52 ใบ ซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ 52 แบบ โดยทแี่ ตล่ ะผลลพั ธ์มโี อกาสเกดิ ข้ึนเท่า ๆ กนั จงหา ก) ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะส่มุ ไดไ้ พโ่ พดำ ข) ความน่าจะเปน็ ท่ีจะสมุ่ ไดไ้ พแ่ ตม้ J หรอื K ค) ความน่าจะเปน็ ท่ีจะสมุ่ ไดไ้ พ่ Q หรือไพ่โพแดง วธิ ีทาํ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 25 2.2.3 กฎเบอื้ งตน้ ของความนา่ จะเป็น การหาค่าความน่าจะเป็นต้องอาศัยกฎของความน่าจะเป็น ซึ่งต่อไปนี้จะกล่าวถึงทฤษฎีบทต่าง ๆ ทเ่ี ปน็ กฎเบอ้ื งต้นของความน่าจะเป็น ที่จะนําไปใช้ในการหาคา่ ความน่าจะเป็น ทฤษฎบี ทท่ี 2.11 P( ) = 0 พิสจู น์ ให้ S เปน็ แซมเปิลสเปซ เนือ่ งจาก S  = S และ S  = S ดังนั้น P(S  ) = P(S ) = 1 และ P (S  ) = P (S ) + P ( ) P (S ) = P (S ) + P ( ) เพราะฉะนนั้ P ( ) = 0 ทฤษฎีบทท่ี 2.12 ให้ A เป็นเหตกุ ารณ์ใด ๆ ภายใตแ้ ซมเปลิ สเปซ S จะได้วา่ P( AC ) =1− P( A) พสิ ูจน์ เน่อื งจาก A  AC =  และ A  AC =  ดงั นนั้ P(S) = P( A AC ) 1 = P( A) + P( AC ) เพราะฉะน้นั P( AC ) = 1− P( A) ทฤษฎบี ทท่ี 2.13 ให้ A,B เป็นเหตกุ ารณใ์ ดๆ ภายใตแ้ ซมเปิลสเปซ S จะได้ว่า P( A  B) = P ( A) + P (B) − P ( A  B) พิสูจน์ A B = A(B  AC ) โดยท่ี A และ B AC เปน็ เหตกุ ารณท์ ี่ไม่เกดิ ขน้ึ ร่วมกัน B = ( A B)(B  AC ) ซง่ึ A B และ B  AC เปน็ เหตกุ ารณ์ท่ีไมเ่ กิดข้ึนร่วมกัน จะได้วา่ P( A B) = P( A) + P(B  AC ) และ P(B) = P( A B) + P(B  AC ) ดังน้ัน P( A B) − P(B) = P( A) + P(B  AC ) − P( A B) − P(B  AC ) นน่ั คอื P( A  B) = P( A) + P(B) − P (B  A) ทฤษฎีบทที่ 2.14 ให้ A และ B เป็นเหตกุ ารณใ์ ด ๆ ภายใต้แซมเปลิ สเปซ S โดยที่ A  B จะไดว้ า่ P( A)  P(B) พิสูจน์ เนื่องจาก A  B จะได้ B = A( AC  B) ซึ่ง A และ AC B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้นร่วมกัน ดงั นั้น P(B) = P( A)  P( AC  B)  P( A) ซง่ึ (P AC  B)  0 จะไดว้ า่ P( A)  P(B)

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 26 ตัวอยา่ งท่ี 2.44 จงหาความน่าจะเปน็ ทจี่ ะได้แตม้ รวมเท่ากับ 7 หรือ 11 เม่ือโยนลกู เต๋า 1 คู่ วิธีทาํ ให้ A แทนเหตกุ ารณ์ทไ่ี ด้ผลรวมแตม้ เป็น 7 B แทนเหตกุ ารณท์ ี่ได้ผลรวมแตม้ เป็น 11 A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} B = {(5,6), (6, 5)} เนื่องจาก A และ B เปน็ เหตุการณ์ท่ไี ม่เกิดขน้ึ ร่วมกัน ดงั นั้น P(B  A) = 0 P( A B) = P( A) + P(B) = 6 + 2 = 8 = 2 36 36 36 9 ตัวอย่างที่ 2.45 ถ้ามีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.09, 0.15, 0.21 และ 0.23 ท่ีลูกค้าจะเลือกซื้อรถยนต์ใหม่ เป็นสีเขียว สีขาว สีแดง และสีนํ้าเงิน ตามลําดับ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าคนหนึ่งจะเลือกซื้อรถสีใดสี หนง่ึ ดังกล่าวมาแลว้ วธิ ที ํา ให้ A แทนเหตกุ ารณ์ทีล่ กู คา้ ซ้อื รถยนต์สเี ขยี ว B แทนเหตกุ ารณท์ ล่ี ูกค้าซ้อื รถยนตส์ ขี าว C แทนเหตกุ ารณ์ทล่ี ูกคา้ ซอ้ื รถยนต์สีแดง D แทนเหตกุ ารณท์ ีล่ กู คา้ ซือ้ รถยนตส์ นี ้ําเงิน ทง้ั 4 เหตุการณเ์ ปน็ เหตุการณ์ทไี่ ม่เกิดข้นึ รว่ มกัน ดังนน้ั ตัวอย่างที่ 2.46 ในการสุ่มหยบิ ไพ่ 2 ใบ จากสำรับหนง่ึ ที่มี 52 ใบ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีจะสุ่มได้ ก) ทัง้ 2 ใบเป็นไพโ่ พดำ ข) ไพ่ใบหน่งึ เป็นไพ่โพดำ และอกี ใบหนงึ่ เปน็ โพแดง วธิ ีทํา ก) ให้ A แทนเหตุการณ์ท่ีไดไ้ พ่ทั้ง 2 ใบเป็นไพ่โพดำ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 27 ข) ให้ B แทนเหตกุ ารณท์ ่ไี ดไ้ พ่ใบหนง่ึ เปน็ ไพ่โพดำ อีกใบหน่งึ เปน็ โพแดง ตวั อย่างที่ 2.47 ในการขนสง่ ทวี ที างเรือเท่ยี วหนึ่งทําให้ทีวีเกิดการเสยี หาย 4 เครือ่ งจากทีวีทั้งหมด 12 เครื่อง ถ้าร้านค้าส่งแห่งหนึ่งสั่งซื้อทีวีจากเรือเที่ยวนี้ 5 เครื่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ร้านค้าจะได้รับทีวีที เสยี หายไม่เกิน 1 เครอ่ื ง วธิ ีทํา ให้ A แทนเหตกุ ารณท์ ี่รา้ นค้าได้ทวี ีทเ่ี สยี ไมเ่ กนิ 1 เคร่ือง

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 28 2.2.4 ความนา่ จะเปน็ แบบมีเง่อื นไข (Conditional Probability) ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อทราบว่าเกิดเหตุการณ์ B ขึ้นแล้ว เรียกว่าความน่าจะเป็น แบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability) ใช้สัญลักษณ์เป็น P(A B) และจะเรียกสัญลักษณ์ P(A B) นี้ว่า ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อกําหนดเหตุการณ์ B เป็นเงื่อนไข (The Probability of A given B ) นยิ ามที่ 2.4 ความนา่ จะเปน็ แบบมีเงือ่ นไขของเหตุการณ์ A เม่อื ทราบว่าเกดิ เหตุการณ์ B ใช้สญั ลกั ษณ์ แทนดว้ ย P( A B) โดยที่ P( A B) = P( A B) เม่ือ P(B)  0 P(B) คณุ สมบตั ิของความน่าจะเปน็ แบบมีเงื่อนไข เม่อื กําหนดภายใตเ้ หตุการณ์ B และ P(B)  0 มดี งั ต่อไปนี้ 1. P( B) = 0 2. P(S B) = P( A AC B) = 1 3. (P AC B) = 1− P( A B) 4. ถา้ เหตกุ ารณ์ C  A แลว้ P(C B)  P( A B) 5. P( AC B) = P( A B) + P(C B) − P( AC B) ตัวอย่างที่ 2.49 ในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าทราบว่าแต้มที่ปรากฏเป็นเลขคี่ จงหาความน่าจะเป็น ทีแ่ ต้มทีป่ รากฏจะเปน็ เลข 1 วิธีทาํ ให้ A แทนเหตกุ ารณ์ทีจ่ ะปรากฏเป็นแต้มเลข 1 B แทนเหตกุ ารณท์ จ่ี ะปรากฏแตม้ เลขค่ี P(A B) คอื ความน่าจะเปน็ ที่จะปรากฏแต้มเลข 1 เมือ่ ทราบวา่ แต้มทป่ี รากฏเปน็ เลขค่ี P( A  B) = 1 และ P(B) = 3 = 1 6 62 ดงั นั้น P(A B) = P( A B) 1 =1 P(B) = 6 3 1 2

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 29 ตัวอยา่ งท่ี 2.50 ประชาชนวัยทำงานของหม่บู า้ นแห่งหนงึ่ มที ้งั ผ้มู งี านทาํ และไม่มงี านทาํ ซึ่งจําแนกได้ ดังนี้ เพศ มงี านทำ ไม่มงี านทำ รวม ชาย 460 40 500 หญงิ 140 260 400 รวม 600 300 900 ในการสุ่มชาวบ้าน 1 คน เพื่อศึกษาว่าหมู่บ้านนี้เหมาะที่จะเข้ามาตั้งโรงงานอุตสาหกรรมขนาด กลางหรือไม่ เมื่อให้ M แทนเหตุการณ์ที่สุ่มได้ผู้ชาย และ E แทนเหตุการณ์ที่สุ่มได้ผู้มีงานทํา จงหา P(M E)

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 30 2.2.5 กฎการคณู (Multiplication Rules) จากความนา่ จะเป็นแบบมีเงือ่ นไขของ A เม่ือกาํ หนด B คอื P( A B) = P ( A B) P(B) ดงั นน้ั P( A B) = P(A B)P(B) เรียกวา่ กฎการคูณสาํ หรับ 2 เหตกุ ารณใ์ ด ๆ ตัวอย่างที่ 2.52 กล่องใบหนึ่งบรรจุฟิวส์ 20 อัน โดยมี 5 อันเป็นฟิวส์เสีย ถ้าสุ่มหยิบฟิวส์ครั้งละ 1 อัน จาํ นวน 2 ครงั้ จากกลอ่ งแบบไมใ่ ส่คนื จงหาความน่าจะเปน็ ทีฟ่ วิ สท์ ้งั 2 อันนี้จะเปน็ ฟวิ ส์เสียท้ังคู่ วิธที ํา ให้ A แทนเหตกุ ารณ์ที่สุ่มไดฟ้ วิ สเ์ สยี จากการสุ่มครั้งที่ 1 B แทนเหตุการณ์ทส่ี ุ่มได้ฟวิ ส์เสียจากการสุ่มครงั้ ท่ี 2 P( A B) = P(B A) P( A) = 4  5 = 1 19 20 19 2.2.6 ความเปน็ อสิ ระ (Independence) นิยามที่ 2.5 เหตกุ ารณ์ A และ B จะเป็นอสิ ระกัน ถา้ เป็นไปตามเงื่อนไขใดเงอ่ื นไขหนึง่ ตอ่ ไปนี้ 1. P( A B) = P( A) หรือ 2. P(B A) = P(B) หรือ 3. P( A  B) = P ( A) P (B) ทฤษฎีบทที่ 2.15 ในการทดลองใดๆ ถา้ มีเหตุการณ์ A1, A2, A3,K, Ak เกดิ ข้นึ จะไดว้ ่า 1. ( ) ( ) ( )P( A1 )  P( A2 ) K P( Ak ) = P ( A1 ) P A2 A1 P A3 A1  A2 LP Ak A1  A2 K Ak−1 2. ถา้ A1, A2, A3,K, Ak เป็นเหตุการณ์ที่เปน็ อสิ ระตอ่ กันแล้ว P ( A1 )  P ( A2 ) K  P ( Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 )K P ( Ak ) = k P ( Ak )  i=1

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 31 ตวั อยา่ งที่ 2.53 ในการโยนลูกเตา๋ 1 ลกู 1 ครั้ง ถ้า A แทนเหตกุ ารณ์ที่ปรากฏแต้มเปน็ เลขค่ี = {1,3,5} B แทนเหตุการณท์ ีป่ รากฏแต้มเปน็ เลขคู่ = {2,4,6} C แทนเหตุการณ์ท่ีปรากฏแต้มเป็น 1 หรอื 2 = {1,2} จะพบว่า P( A B) = 0 แต่ P( A) = 1 2 ดังนนั้ P(A B)  P(A) แสดงวา่ เหตกุ ารณ์ A และเหตกุ ารณ์ B เปน็ เหตุการณ์ท่ไี ม่เป็นอิสระกนั P( A C) = 1 และ P( A) = 1 22 ดังน้นั P(A C) = P(A) แสดงว่า เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ C เปน็ เหตุการณท์ เี่ ปน็ อสิ ระกนั ตัวอย่างที่ 2.54 อําเภอแห่งหนึ่งมีรถดับเพลิง 1 คัน และรถพยาบาล 1 คัน ความน่าจะเป็นที่รถดับเพลิง จะไม่ติดภารกิจเท่ากับ 0.98 และความน่าจะเป็นที่รถพยาบาลจะไม่ติดภารกิจเท่ากับ 0.92 ถ้าเกิด เหตุการณ์เพลิงไหม้และมีผู้บาดเจ็บ จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งรถดับเพลิงและรถพยาบาลจะไม่ติดภารกิจ สามารถเขา้ ชว่ ยงานได้ทันที วิธที ํา

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 32 ตัวอย่างที่ 2.55 ความน่าจะเป็นที่เลนส์แว่นตาที่เป็นกระจกจะมีอายุใช้งานมากกว่า 2 ปี เป็น 1 และ 4 ความน่าจะเป็นที่กรอบแว่นตาจะมีอายุใช้งานมากกว่า 2 ปี เป็น 1 จงหาความน่าจะเป็นที่แว่นตาที่ร้าน 3 ขายไป 1 คู่จะ ก) มอี ายกุ ารใชง้ านของท้งั เลนสแ์ ละกรอบมากกว่า 2 ปี ข) มีอย่างนอ้ ย 1 สง่ิ ทีอ่ ายุการใชง้ านมากกว่า 2 ปี ค) มีอายนุ ้อยกว่า 2 ปีท้ังกรอบและเลนส์ วธิ ีทาํ ให้ A แทนเหตุการณ์ทีเ่ ลนส์แวน่ ตามอี ายกุ ารใช้งานมากกวา่ 2 ปี B แทนเหตกุ ารณ์ท่กี รอบแวน่ ตามีอายุการใช้งานมากกวา่ 2 ปี

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 33 2.2.7 กฎของเบส์ (Bayes’ Rules) พิจารณาแผนภาพเวนน์ (Venn Diagram) ตอ่ ไปน้ี เมื่อ E1  E2 K Ek = S และ E1,K, Ek เป็นเหตุการณ์ k เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน Ei  Ej =  เมอื่ i  j และ i, j =1,2,3,K,k โดย A เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ใน S จะไดว้ า่ เหตกุ ารณ์ A คือ A = ( A  E1 )  ( A  E2 ) K ( A  Ek ) ดังนน้ั P( A) = P( A E1 ) P(E1 ) + P( A E2 ) P(E2 ) +L+ P( A Ek ) P (Ek ) หรอื P ( A) = k P ( A Ei ) P ( Ei ) (2.2)  i=1 เรียกความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นี้ว่า ความน่าจะเป็นรวม (Total Probability) หรือจาก แผนภาพเวนน์แสดงดว้ ยแผนภาพตอ่ ไปน้ี

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 34 แต่ถ้าเกิดเหตุการณ์ A แล้วสนใจว่ามีความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ Er;r =1,K,k เป็น เทา่ ใด สามารถเขยี นเป็นสัญลักษณ์ และความหมายของความน่าจะเป็นแบบมเี งื่อนไขได้ดังนี้ (P Er A) = P ( Er  A) P( A) นําสมการที่ (2.2) มาแทนคา่ จะไดว้ า่ (P Er A) = P ( A Er ) P (Er ) (2.3) ( )k P ( Ei ) P i=1 A Ei เรยี กสมการท่ี (2.3) นีว้ า่ “กฎของเบส”์ ตามทฤษฎีต่อไปนี้ ทฤษฎีที่ 2.16 กฎของเบส์ ถ้าเหตกุ ารณ์ E1, E2,K, Ek เป็นเหตุการณ์ท่ีอยู่ในแซมเปลิ สเปซ S โดย E1  E2 K Ek = S และ P ( Ei )  0 สําหรบั i = 1, 2,K, k ดังน้นั สาํ หรบั เหตุการณ์ A ใด ๆ ใน S ท่ี P( A)  0 จะไดว้ ่า (P Er A) = P ( A Er ) P (Er ) เมอ่ื r = 1, 2,K, k ( )k P ( Ei ) P i=1 A Ei ตวั อย่างท่ี 2.58 ในฝา่ ยการผลติ ฟิวสข์ องโรงงานแห่งหนง่ึ มเี ครอ่ื งจักร 3 เครอ่ื งคือ A,B และ C โดยท่ี 40% ของฟวิ สท์ ้ังหมดผลติ โดยเครื่องจักร A 30% ของฟวิ ส์ทงั้ หมดผลติ โดยเครือ่ งจกั ร B 30% ของฟิวสท์ งั้ หมดผลติ โดยเคร่ืองจกั ร C โอกาสที่เครื่องจักรแต่ละเครื่องจะผลิตฟิวส์ชํารุดมีค่าเท่ากันคือ 2% ถ้าสุ่มหยิบฟิวส์จากสายการผลิตครั้ง หนึ่งข้นึ มาตรวจสอบ 1 ชนิ้ พบวา่ เปน็ ฟิวส์ชํารุด จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ฟี ิวสช์ ิน้ น้ีจะผลติ จากเคร่ืองจกั ร A วธิ ีทํา ให้ A,B และ C เปน็ เหตกุ ารณ์ทสี่ มุ่ ได้ฟิวสท์ ี่ผลิตจากเคร่อื งจกั ร A,B และ C ตามลาํ ดับ D เป็นเหตุการณ์ทเ่ี ครื่องจกั รผลิตฟิวสช์ าํ รุด

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 35 พจิ ารณาแผนภาพต้นไม้ P( A D) = P ( A D) P(D) P(A D) = P(D A) P ( A) + P(D A)P( A) P(D C ) P (C ) P(D B)P(B)+ P ( A D) = 0.02 ( 0.40) + 0.02 (0.40) + 0.02 (0.30) 0.02 (0.30) P(A D) = 8 20 ตัวอย่างที่ 2.59 ปั๊มนํ้ามันแห่งหนึ่งมีผู้ให้บริการ 3 คนคือ A,B และ C โดย A ให้บริการเติมนํ้ามัน 40% ของการบริการทั้งหมด B ให้บริการเติมนํ้ามัน 30% ของการบริการทั้งหมด และ C ให้บริการเติมนํ้ามัน 30% ของการบริการทั้งหมด ถ้าลูกค้าเติมนํ้ามัน ทางปั๊มจะมีของแถมแก่ลูกค้าคือนํ้าขวด แต่ว่า A มักจะ ลืมให้ของแถมแก่ลกู ค้า 1 ใน 20 ครั้ง B มกั จะลืม 1 ใน 15 ครง้ั และ C มักจะลมื 1 ใน 10 คร้ัง ก) จงหาความน่าจะเปน็ ทีล่ ูกคา้ 1 คนทเี่ ข้ามาเตมิ น้ํามันแลว้ จะไม่ไดร้ ับของแถม ข) ถ้ามีลูกค้า 1 คนมาต่อว่า ว่าเขาเติมนํ้ามันครั้งที่แล้วไม่ได้รับของแถม จงหาความน่าจะเป็นท่ี ลกู ค้าคนนจี้ ะใหบ้ รกิ ารโดย C วธิ ีทาํ ให้ E แทนเหตกุ ารณท์ ่ผี ู้ใหบ้ ริการลืมแถมนํ้าขวดแก่ลูกค้า A แทนเหตุการณท์ ี่ A เปน็ ผใู้ หบ้ รกิ าร B แทนเหตุการณท์ ่ี B เป็นผู้ให้บรกิ าร C แทนเหตุการณ์ที่ C เป็นผใู้ ห้บริการ

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น | 36 ก) P (ลูกคา้ จะไม่ได้รับของแถม) = P(E) ข) P(C E)

90 สถติ สิ ําหรับวศิ วกรและนักวิทยาศาสตร์ แบบฝึ กหัดบทท่ี 2 1. จงหาคา่ ต่อไปน้ี 12×11! ก) 10! ข) 7! 2!2!3! ค)  7P2  3P1  ง) 12C4  9C4  จ) ค่า n ท่ีทาํ ใหส้ มการ nP3 = 6 nC5 เป็นจริง 2. จงหาจาํ นวนรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท้งั หมดท่ีจะสร้างไดใ้ นตารางหมากรุกขนาด 4×4 ช่อง 3. จากกรุงเทพฯ ไปสงขลาอาจไปได้ด้วยพาหนะ 4 ชนิดคือ รถยนต์ รถไฟ เคร่ืองบิน หรือเรือ การเดินทางทางรถยนต์เลือกไปได้ 3 วิธี ทางรถไฟเลือกไปได้ 4 วิธี ทางเรือเลือกไปได้ 2 วิธี และทางเคร่ืองบินเลือกไปได้ 1 วธิ ี จากกรุงเทพฯ ไปสงขลา จะเลือกวิธีเดินทางไดก้ ่ีวธิ ี 4. มีทาง 6 ทางเชื่อมต่อระหวา่ งเมือง A และเมือง B และมี 4 ทางเชื่อมระหวา่ งเมือง B และเมือง C ก) มีก่ีวิธีที่คนๆ หน่ึงจะขบั รถจากเมือง A ไปเมือง C แลว้ กลบั มาเมือง A โดยผา่ นเมือง B ท้งั ไป และกลบั ข) มีก่ีวิธีที่คนๆ หน่ึงจะขบั รถจากเมือง A ไปเมือง B ไปเมือง C แลว้ วกกลบั มาเมือง B และเมือง A โดยไม่ใชท้ างเดิม 5. มีท่ีแขวนหมวก 7 อนั แต่ละอนั แขวนหมวกได้ 1 ใบ มีหมวกสีต่างๆ 3 ใบ จะมีวิธีแขวนหมวกในที่ ต่างๆ ไดก้ ี่วิธี 6. มีจดหมาย 5 ฉบบั จะนาํ ไปทิ้งตูไ้ ปรษณีย์ 3 ตู้ ไดก้ ่ีวธิ ี 7. จะมีวิธีนาํ ลูกบอลต่างๆ กนั 4 ลกู ใส่หีบต่างๆ กนั 5 ใบ ไดก้ ี่วธิ ี ถา้ หีบแต่ละใบจะใส่ลูกบอลก่ีลกู กไ็ ด้ 8. ขอ้ สอบแบบถกู ผดิ 8 ขอ้ จะมีวิธีตอบขอ้ สอบฉบบั น้ีแบบสุ่มไดก้ ี่แบบ 9. มีขอ้ สอบแบบเลือกตอบชนิด 3 ตวั เลือกจาํ นวน 5 ขอ้ ขอ้ สอบแบบเลือกตอบชนิด 4 ตวั เลือกจาํ นวน 3 ขอ้ จะมีวธิ ีตอบขอ้ สอบฉบบั น้ีแบบสุ่มไดก้ ่ีแบบ

ความน่าจะเป็ น 91 10. มีตวั เลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 นาํ ไปเขียนเป็นเลขสามหลกั โดยเลขแต่ละตวั ใชซ้ ้าํ ได้ จะทาํ ไดก้ ี่หมายเลขถา้ ก) ไม่มีเงื่อนไขใดๆ ข) สร้างเป็นเลขค่ี ค) สร้างเป็นเลขท่ีมากกวา่ 500 11. มีตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 นาํ ไปเขียนเป็นเลขสามหลกั โดยเลขแต่ละตวั ใชไ้ ดเ้ พียงคร้ังเดียวจะทาํ ไดก้ ่ี หมายเลข ถา้ ก) ไม่มีเง่ือนไขใดๆ ข) สร้างเป็นเลขค่ี ค) สร้างเป็นเลขท่ีมากกวา่ 330 12. ในการจดั เรียงลาํ ดบั ตวั เลข 6 หลกั จากเลข 1, 4, 5, 6, 7 และ 8 โดยมีเง่ือนไขว่าตาํ แหน่งที่ 1, 2, 3 ตอ้ งมีค่านอ้ ยกวา่ ตาํ แหน่งท่ี 4 ซ่ึงเป็นเลข 6 จะมีวิธีจดั เรียงไดก้ ่ีวธิ ี 13. จงหาจาํ นวนวิธีในการสร้างป้ ายทะเบียน ท่ีประกอบด้วยอกั ษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั และตามด้วย ตวั เลข 4 ตวั เมื่อตวั อกั ษรและตวั เลขไม่ซ้าํ กนั 14. นกั เรียน 11 คนส่งการ์ดในวนั แห่งความรักใหแ้ ก่กนั และกนั ถา้ นบั รวมการ์ดท้งั หมดจะไดก้ ี่ใบ 15. ในการประชุมผูแ้ ทน ตอ้ งมีการแลกของท่ีระลึกซ่ึงกนั และกนั ภายหลงั การแลกเปลี่ยน นับของที่ ระลึกได้ 90 ชิ้น อยากทราบวา่ มีผแู้ ทนเขา้ ร่วมประชุมก่ีคน 16. มีหนงั สืออยู่ 9 เล่ม ท่ีแตกต่างกนั เป็นหนงั สือสถิติ 5 เล่ม และหนงั สือภาษาองั กฤษ 4 เล่ม ถา้ ตอ้ งการ จดั เรียงหนังสือน้ีท้งั หมดบนช้ันหนังสือ จงหาจาํ นวนวิธีท่ีจะจดั เรียงหนังสือโดยไม่ตอ้ งการให้ หนงั สือภาษาองั กฤษแต่ละเล่มอยตู่ ิดกนั จะจดั ไดก้ ี่วธิ ี 17. ตูเ้ ซฟใบหน่ึงมีรหสั ในการเปิ ดเป็นเลข 5 หลกั จงหาจาํ นวนวธิ ีท่ีไม่สามารถเปิ ดตูไ้ ด้ 18. อาจารยม์ อบหมายใหน้ กั ศึกษา 60 คน อ่านตาํ รา 3 เล่ม คือ A, B, และ C เม่ือทาํ การทดสอบพบวา่ มี ผอู้ ่านตาํ รา A 21 คน อ่านตาํ รา B 21 คน และอ่านตาํ รา C 21 คน และผทู้ ่ีอ่านตาํ ราท้งั สามเล่มมี 3 คน เท่าน้นั แต่มี 7 คนท่ีอ่านท้งั ตาํ รา A และ B มี 8 คนท่ีอ่านท้งั ตาํ รา A และ C และมี 9 คนที่อ่านท้งั ตาํ รา B และ C อยากทราบวา่ มีกี่คนที่ไม่อ่านตาํ ราเลยท้งั 3 เล่ม 19. กระเป๋ าเงินใบหน่ึงมีธนบตั รซอ้ นกนั 6 ใบ เป็ นธนบตั รมูลค่า 500 บาทอยู่ 2 ใบ ธนบตั รมูลค่า 100 บาทอยู่ 2 ใบ และ ธนบตั รมูลค่า 50 บาท อยู่ 2 ใบ จะมีวิธีเรียงธนบตั รในกระเป๋ าน้ีไดก้ ี่วิธี โดยถือว่า ธนบตั รชนิดเดียวกนั เหมือนกนั

92 สถติ ิสําหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ 20. ในการจดั แขวนธง 10 ผนื ซ่ึงมีสีแดง 3 ผนื สีขาว 2 ผนื สีเหลือง 3 ผนื สีเขียวและสีฟ้ าอยา่ งละผนื จะมีวิธีในการแขวนธงไวบ้ นราวไดก้ ี่วธิ ี 21. คน 10 คน ทกั ทายกนั โดยการจบั มือกนั หมดไดก้ ่ีคร้ัง 22. ตอ้ งการเลือกหนงั สือนวนิยาย 5 เล่มจากช้นั ที่มีอยู่ 12 เล่มที่แตกต่างกนั จะเลือกไดก้ ่ีวิธี ถา้ ก) ตอ้ งมีหนงั สือเร่ืองท่ีตอ้ งการอยดู่ ว้ ย 1 เล่ม ข) ตอ้ งไม่มีหนงั สือเรื่องที่ไม่ตอ้ งการอยดู่ ว้ ย 1 เล่ม 23. ช้นั เรียนช้นั หน่ึงมีเดก็ ชาย 9 คน เด็กหญิง 3 คน ครูตอ้ งการจะเลือกคณะกรรมการช้นั 4 คน จาก นกั เรียนช้นั น้ี ก) มีก่ีวธิ ีท่ีครูจะเลือกคณะกรรมการช้นั 4 คนจากนกั เรียนช้นั น้ี ข) มีก่ีวิธีท่ีคณะกรรมการจะเป็นเดก็ หญิงอยา่ งนอ้ ย 1 คน ค) มีกี่วิธีท่ีคณะกรรมการจะเป็นเดก็ หญิง 1 คน 24. มีโบวส์ ีแดง 4 เสน้ สีขาว 7 เสน้ จะเลือกมา 5 เสน้ ไดก้ ่ีวิธี ถา้ ตอ้ งมีสีแดงอยา่ งนอ้ ย 3 เสน้ 25. ในการเลือกผแู้ ทน 6 คนจากท้งั หมด 10 คน ซ่ึงในจาํ นวนน้ีมีนางปริมกบั นางปรางรวมอยดู่ ว้ ย จะมี วธิ ีเลือกก่ีวิธีถา้ กาํ หนดวา่ ตอ้ งมีนางปริมหรือนางปรางรวมอยดู่ ว้ ย 26. ในกลุ่มพ่อื นมี 3 คน จะมีวิธีกี่วธิ ีที่จะมีอยา่ งนอ้ ยสองคนท่ีมีวนั เกิดตรงกนั (สมมติให้ 1 ปี มี 365 วนั ) 27. ในการแข่งขนั ฟุตบอลรอบแรกมีทีมท้งั สิ้น 12 ทีม แบ่งเป็น 2 สาย และภายในสายจะแข่งแบบ พบกนั หมดแลว้ เรียงคะแนน คดั มาจากท้งั 2 สายๆ ละ 2 ทีม อยากทราบว่าจะตอ้ งจดั การแข่งขนั ท้งั สิ้นกี่คร้ังในรอบแรกน้ี 28. ในการแบ่งอมยมิ้ 9 อนั ใหเ้ ดก็ นกั เรียน 3 คนๆ ละเท่าๆ กนั จะสามารถทาํ ไดก้ ่ีวธิ ี 29. ในการแบ่งดินสอ 7 แท่งใหพ้ ีน่ อ้ ง 3 คน คนพไี่ ดร้ ับคนละ 2 แท่ง คนสุดทอ้ งได้ 3 แท่ง จะสามารถทาํ ไดก้ ่ีวิธี 30. บริษทั แห่งหน่ึงตอ้ งการจดั พนกั งาน 14 คน ไปดูงานต่างประเทศซ่ึงแบ่งออกเป็ น 4 คร้ัง โดย 2 คร้ัง แรกไปคร้ังละ 4 คน ส่วนอีก 2 คร้ังหลงั ไปคร้ังละ 3 คน โดยพนกั งานแต่ละคนจะมีโอกาสไปดูงาน เพียงคร้ังเดียว จงหาวิธีท้งั หมดในการจดั พนักงานท้งั 1 คนไปดูงาน ถา้ มีพนักงาน 4 คน ที่ขอไปดู งานพร้อมกนั

ความน่าจะเป็ น 93 31. การทดลองโยนลูกเต๋า 1 ลูก 2 คร้ัง ก) จงเขียนแซมเปิ ลสเปซจากการทดลองน้ี ข) A เป็นเหตุการณ์ท่ีเกิดแตม้ 6 ในการโยนลกู เต๋าคร้ังแรก B เป็นเหตุการณ์ที่เกิดแตม้ 6 ในการโยนลกู เต๋าคร้ังที่สอง จงเขียนแสดงเหตุการณ์ต่อไปน้ี A , B , A B, A B, Ac 32. ในการซ้ือตวั๋ เครื่องบินของผโู้ ดยสาร 4 คนซ่ึงแต่ละคนอาจซ้ือตวั๋ แบบเท่ียวเดียว (s) หรือซ้ือตว๋ั แบบไป-กลบั (r) ก) จงเขียนแซมเปิ ลสเปซ ข) A เป็นเหตุการณ์ที่มีผโู้ ดยสารอยา่ งนอ้ ย 2 คนซ้ือตวั๋ แบบเที่ยวเดียว B เป็นเหตุการณ์ที่ผโู้ ดยสารคนท่ี 2 ซ้ือตว๋ั แบบเท่ียวเดียว C เป็นเหตุการณ์ท่ีมีผโู้ ดยสารอยา่ งมาก 2 คนซ้ือตว๋ั แบบเท่ียวเดียว D เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีผโู้ ดยสารคนใดเลยซ้ือตว๋ั แบบเท่ียวเดียว จงเขียนแสดงเหตุการณ์ต่อไปน้ี A , B , C , D , A D, A B, A B C, A B, Ac , Dc , A B C 7 1 P(Ac ) 5 8 4 8 33. ถา้ A และ B เป็น 2 เหตุการณ์ ใดๆ โดย P(A  B) = , P(AB) = และ = จงหา P(A) , P(B) และ P(A Bc ) 34. กาํ หนดใหA้ , B เป็น 2 เหตุการณ์ใดๆ โดย P( A) = 1 , P(A B) = 1 และ P(B) = P จงหาค่า P 4 3 ก) ถา้ A, B เป็นเหตุการณ์ท่ีไม่เกิดข้ึนร่วมกนั ข) ถา้ A, B เป็นอิสระต่อกนั ค) ถา้ A เป็นเซตยอ่ ยของ B 1 1 1 3 4 2 35. ถา้ ให้ A และ B เป็น 2 เหตุการณ์ใดๆ โดย P(A) = , P(B) = และ P(A B) = จงหา ก) P(A B) ข) P(B A) ค) P(A  Bc ) ง) P(A Bc )

94 สถติ สิ ําหรับวศิ วกรและนักวทิ ยาศาสตร์ 36. A, B, C แข่งขนั วา่ ยน้าํ กนั ถา้ A และ B มีความน่าจะเป็นเท่าๆ กนั ที่จะชนะการแข่งขนั และมีความ น่าจะเป็นที่จะชนะเป็น 2 เท่าของความน่าจะเป็นท่ี C จะชนะ จงหาความน่าจะเป็นท่ี B หรือ C จะชนะ 37. ลูกเต๋าลูกหน่ึงถูกถ่วงใหห้ นา้ เลขคู่มีโอกาสเกิดข้ึนเท่าๆ กนั และหนา้ เลขคี่มีโอกาสเกิดข้ึนเท่าๆ กนั ถา้ หนา้ เลขคู่หนา้ ใดๆ มีโอกาสเกิดข้ึน 2 เท่าของหนา้ เลขค่ีหนา้ ใดๆ จงหาความน่าจะเป็ นที่ใน การโยนลกู เต๋า ก) จะเกิดหนา้ เลขคู่ ข) จะเกิดหนา้ เลขค่ี 38. ในการสุ่มหยบิ บตั ร 1 ใบจากบตั ร 50 ใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 50 จงหาความน่าจะเป็นท่ีตวั เลขในบตั รที่ สุ่มได้ ก) จะหารดว้ ย 5 ลงตวั ข) จะมีเลขสุดทา้ ยเป็นเลข 2 39. ในการโยนลกู เต๋า 1 คู่ 1 คร้ัง จงหา ก) ความน่าจะเป็นที่เลขที่มากท่ีสุดของหนา้ ที่ปรากฏ 2 ตวั จะมากกวา่ 4 ข) ความน่าจะเป็นท่ีผลรวมของแตม้ จะเป็นเลขคู่ ถา้ แตม้ ลกู เต๋าที่ปรากฎแตกต่างกนั 40. ช้นั เรียนแห่งหน่ึงมีเด็กชาย 10 คน เดก็ หญิง 5 คน ถา้ สุ่มนกั เรียน 3 คน โดยสุ่มคร้ังละ 1 คน จงหา ความน่าจะเป็ นที่ ก) จะไดเ้ ดก็ ผชู้ าย 2 คนแรกและคนที่ 3 เป็นหญิง ข) คนท่ี 1 และคนที่ 3 เป็นชาย คนท่ี 2 เป็นหญิง ค) คนที่ 1 และคนท่ี 2 เป็นเพศเดียวกนั และคนท่ี 3 เป็นเพศตรงขา้ ม 41. โรงงานผลิตเมด็ พลาสติกแห่งหน่ึงทาํ การผลิตดว้ ยเคร่ืองจกั รที่ทนั สมยั ซ่ึงกระบวนการผลิตเป็นดงั น้ี พลาสติกที่ผสมสีแลว้ จะผา่ นเคร่ืองรีดเป็นเส้นพลาสติก แลว้ จะถูกทาํ ใหเ้ ยน็ โดยการผา่ นน้าํ จากน้นั จะเขา้ เคร่ืองตดั กลายเป็นเมด็ พลาสติก ก่อนจะบรรจุใส่ถุง แผนก Q.C. จะทาํ การสุ่มตกั เมด็ พลาสติก ท่ีตดั เสร็จแลว้ ไปตรวจสอบ ซ่ึงจากการตรวจสอบพบว่า มีเม็ดพลาสติกที่ตดั เสร็จแลว้ ไม่ไดข้ นาด ตามมาตรฐานที่โรงงานกาํ หนด 20% ของการผลิตท้งั หมด และมีเมด็ พลาสติกท่ีมีการกระจายของสี ผิดปกติ 10% จากการผลิตท้งั หมด การพบพลาสติกที่ไม่ไดข้ นาดตามมาตรฐานท่ีโรงงานกาํ หนด และการพบเมด็ พลาสติกที่มีการกระจายของสีผดิ ปกติเป็นอิสระกนั จงหา ก) ความน่าจะเป็ นท่ีจะพบเม็ดพลาสติกที่ผลิตแลว้ ไม่ไดข้ นาดตามท่ีโรงงานกาํ หนดและมีการ กระจายของสีผดิ ปกติ

ความน่าจะเป็ น 95 ข) ความน่าจะเป็นท่ีจะพบเมด็ พลาสติกบกพร่องท่ีเกิดจากการกระจายของสีผดิ ปกติเท่าน้นั ค) ความน่าจะเป็นที่จะพบเมด็ พลาสติกท่ีสมบูรณ์ กล่าวคือไม่มีความบกพร่องท้งั 2 ประเภท ง) ความน่าจะเป็นท่ีจะพบเมด็ พลาสติกท่ีตดั ไม่ไดข้ นาดตามมาตรฐานที่โรงงานกาํ หนดหรือมีการ กระจายของสีที่ผดิ ปกติ 42. ในเมืองหน่ึง 40 % ของคนในเมืองน้ีมีผมสีน้าํ ตาล 25 % มีตาสีน้าํ ตาล และ 15 % มีผมสีน้าํ ตาล และตาสีน้าํ ตาล ในการสุ่มเลือกคน 1 คนจากเมืองน้ี ก) ถา้ เขามีผมสีน้าํ ตาล จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะมีตาสีน้าํ ตาล ข) ถา้ เขามีตาสีน้าํ ตาล จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะมีผมไม่เป็นสีน้าํ ตาล ค) จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะมีท้งั ผมและตาไม่เป็นสีน้าํ ตาล 43. ในการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 2 คร้ัง ถา้ โยนได้เหรียญหน้าก้อยท้งั คู่ จะทาํ การสุ่มหยิบ ผลิตภณั ฑ์ 1 ชิ้น แบบใส่คืน 2 คร้ัง จากกล่องใบหน่ึงซ่ึงมีผลิตภณั ์ดี 3 ชิ้น และผลิตภณั ฑเ์ สีย 2 ชิ้น มิฉะน้นั จะทาํ การสุ่มหยบิ ผลิตภณั ฑค์ ร้ังละ 2 ชิ้น 1 คร้ัง จากกล่องใบน้ี จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะได้ ผลิตภณั ฑด์ ี 1 ชิ้น ผลิตภณั ฑเ์ สีย 1 ชิ้น 44. ความน่าจะเป็นท่ี A จะยงิ ถูกเป้ าเป็น 1/4 และความน่าจะเป็นที่ B จะยงิ ถูกเป้ าเป็น 1/3 ก) ถา้ A และ B ยงิ เป้ าคนละ 2 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็นที่เป้ าจะถกู ยงิ อยา่ งนอ้ ย 1 คร้ัง ข) ถา้ A และ B ยงิ เป้ าคนละ 1 คร้ัง และเป้ าถูกยงิ เพยี ง 1 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็นท่ี A จะเป็นคน ยงิ ถูกเป้ า 45. ในโรงงานประกอบชิ้นส่วนแห่งหน่ึง มีเคร่ืองจกั ร 3 เครื่อง คือ B1 , B2 และ B3ทาํ การผลิตผลิตภณั ฑ์ 30%, 45% และ 25% ตามลาํ ดบั ถา้ จากประสบการณ์ทราบวา่ ผลิตภณั ฑท์ ่ีผลิตจากเครื่องจกั ร B1 , B2 และ B3จะเสีย 2%, 3% และ 2% ตามลาํ ดบั ถา้ ทาํ การสุ่มผลิตภณั ฑท์ ่ีประกอบแลว้ มา 1 ชิ้น ก) จงหาความน่าจะเป็นที่จะไดผ้ ลิตภณั ฑเ์ สีย ข) ถา้ ผลิตภณั ฑท์ ี่ไดม้ าเสีย จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะผลิตจากเครื่องจกั ร B3 46. พ้ืนท่ีแห่งหน่ึงจากประสบการณ์พบวา่ ความน่าจะเป็นที่คนท่ีมีอายสุ ูงกวา่ 40 ปี จะเป็ นมะเร็งเท่ากบั 0.02 ถา้ ความน่าจะเป็นที่หมอจะวินิจฉยั ผทู้ ่ีมีเช้ือมะเร็งวา่ เป็นมะเร็งเท่ากบั 0.78 และความน่าจะเป็น ท่ีหมอจะวนิ ิจฉยั ผไู้ ม่มีเช้ือมะเร็งวา่ เป็นมะเร็งเท่ากบั 0.06 ก) จงหาความน่าจะเป็นท่ีคนอายมุ ากกวา่ 40 ปี คนหน่ึง จะถกู วนิ ิจฉยั วา่ มีเช้ือมะเร็ง

96 สถติ สิ ําหรับวศิ วกรและนักวทิ ยาศาสตร์ ข) ถา้ คนอายมุ ากกว่า 40 ปี คนหน่ึงถูกวินิจฉยั มีว่าเช้ือมะเร็งแลว้ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะมี เช้ือมะเร็งจริง 47. กล่องใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีดาํ 2 ลูก สีขาว 3 ลูก ทาํ การสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องน้ี 1 ลูกอย่างสุ่ม ถา้ หยบิ ไดล้ กู บอลสีดาํ จะทาํ การโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 อนั 2 คร้ัง ถา้ หยบิ แลว้ ไดล้ กู บอลสีขาว จะทาํ การโยนเหรียญเท่ียงตรง 1 อนั 3 คร้ัง ถา้ ปรากฏวา่ ผลลพั ธไ์ ดห้ นา้ หวั 2 คร้ัง (ไม่ทราบวา่ จากการโยน 2 คร้ัง หรือ 3 คร้ัง) จงหาความน่าจะเป็นที่คร้ังแรกหยบิ ไดล้ ูกบอลสีดาํ 48. แบตเตอรี่แห้งใชแ้ ลว้ 1.5Volts กระบะหน่ึง เป็ นแบตเตอรร่ีที่ใชแ้ ลว้ จากไฟฉาย 50% ใชแ้ ลว้ จาก รีโมต 30% และใชแ้ ลว้ จากเคร่ืองคิดเลข 20% ถา้ เป็ นแบตเตอรี่ใชแ้ ลว้ จากไฟฉาย พบว่ามีจาํ นวน 30% ท่ีเอาไปใส่วิทยแุ ลว้ มีเสียงดงั ใชไ้ ดเ้ กิน 100 ชวั่ โมง และถา้ เป็ นแบตเตอรี่ใชแ้ ลว้ จากรีโมตมี เพียง 20% ท่ีเอาไปใส่วิทยแุ ลว้ เสียงดงั เกิน 100 ชว่ั โมง ถา้ เป็นแบตเตอรี่จากเคร่ืองคิดเลขมีเพียง 10% ที่เอาไปใส่วิทยแุ ลว้ มีเสียงดงั ใชไ้ ดเ้ กิน 100 ชว่ั โมง ถา้ สุ่มหยิบแบตเตอร่ีจากกระบะน้ี 1 กอ้ น นาํ ไป ทดลองใส่วิทยแุ ลว้ พบว่ามีเสียงดงั ใชไ้ ดถ้ ึง 100 ชว่ั โมง จงหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นแบตเตอร่ีที่ใช้ แลว้ จากไฟฉาย 49. ในการสอบวิชา Stat. for Eng. and Sci. เมื่อภาคการศึกษาที่ผา่ นมา มีนกั ศึกษาวิศวกรรมศาสตร์เขา้ สอบ 60% ของนักศึกษาท้งั หมด ซ่ึง 10% ของนกั ศึกษาวิศวกรรมศาสตร์จะไดเ้ กรด A ขณะท่ี นกั ศึกษาคณะอื่นๆ มี 5% ที่ไดเ้ กรด A ถา้ มีนกั ศึกษาเขา้ สอบท้งั หมด 500 คน จะมีก่ีคนท่ีไดเ้ กรด A 50. ร้านพิซซ่าแห่งหน่ึงได้ทาํ การเก็บขอ้ มูลการผลิตพิซซ่าในวนั เสาร์-อาทิตยท์ ่ีผ่านมา พบว่ามีการ ผลิตพิซซ่าหน้าฮาวายเอ้ียน ไอซ์แลนด์ดิไลน์ สุพรีม ไก่จี๊ดจ๊าด และพิซซ่าหนา้ อื่นๆ คิดเป็ น 30%, 20%, 20%, 10% และ 20% จากการผลิตท้งั หมดตามลาํ ดบั ซ่ึงในการผลิตพิซซ่าแต่ละหนา้ จะมีการ ผลิตที่เป็นพิซซ่าขอบชีสดงั น้ี หนา้ ฮาวายเอ้ียนจะเป็นขอบชีส 10% หนา้ ไอซ์แลนดด์ ิไลน์จะเป็นขอบ ชีส 5% หนา้ สุพรีมจะเป็นขอบชีส 10% หนา้ ไก่จี๊ดจ๊าดเป็นขอบชีส 10% และพิซซ่าหนา้ อื่นๆ ที่เป็น ขอบชีส 20% ก) จงหาความน่าจะเป็นที่ร้านพซิ ซ่าแห่งน้ีจะผลิตพซิ ซ่าขอบชีส ข) ถ้าสุดาส่ังพิซซ่าที่ไม่ใช่ขอบชีสหน่ึงถาด จงหาความน่าจะเป็ นที่สุดาจะส่ังพิซซ่าหน้า ฮาวายเอ้ียนหรือไก่จ๊ีดจ๊าด