digital01

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 1 บทท่ี 1 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข ตวั เลขเป็ นสัญลกั ษณ์อย่างหน่ึงท่ีใช้แทนความหมายต่างๆ ตวั เลขแต่ละตวั เรียกว่าดิจิต(Digit) ตัวเลขจะเขียนแทนได้ท้งั ส่วนท่ีเป็ นเลขจานวนเต็ม (Integer) และเศษส่วน(Fraction) ซ่ึงจะแยกออกจากกนั โดยใชเ้ ครื่องหมายจุด (.) ข้นั กลาง นน่ั คอื N = (เลขจานวนเตม็ ) . (เศษส่วน) เมื่อ N คอื ระบบตวั เลขใดๆเช่น 183.6 เลข 183 อยา่ งขา้ งหนา้ จดุ หมายถึง เลขจานวนเตม็ ส่วนเลข 6 อยขู่ า้ งหลงั จุดหมายถึง เศษส่วน กรณีทีเ่ ป็ นเลขฐานสิบ เลข 6 หลงั จดุ จะมีคา่ เทา่ กบั 6 หรือ 6 × 10-1 ระบบ 10ตวั เลขแบง่ เป็นฐานต่างๆ (Base) เช่น เลขฐานสอง (Binary) เลขฐานแปด (Octal) เลขฐานสิบ(Decimal) เลขฐานสิบหก (Hexadecimal) เป็ นตน้ ระบบตวั เลขที่ใชง้ านโดยทวั่ ไปจะเป็ นเลขฐานสิบ แต่สาหรับวงจรดิจิตอลจะใชเ้ ลขฐานสอง ตวั เลขอยใู่ นระบบฐานใดกจ็ ะเขยี นฐานกากบั เอาไวใ้ นรูปฟอร์ม (N)r เมื่อ N คอื ตวั เลข และ r คอื ฐาน (Base) เช่น (101)2 หมายถึงเลข101 ในระบบเลขฐานสอง สาหรบั ตวั เลขทีไ่ ม่ไดเ้ ขียนฐานกากบั เอาไว้ ใหถ้ ือวา่ เป็ นตวั เลขในระบบฐานสิบ ระบบตวั เลขไม่วา่ จะเป็ นฐานใดก็ตาม สามารถเขียนได้ 2 รูปฟอร์ม คอื เขียนแบบวางติดกนั (แบบยอ่ ) และเขียนแบบแยกแตล่ ะดิจติ ออกจากกนั การเขียนแบบวางตดิ กนั จะนาตวั เลขแตล่ ะดิจิตมาเขียนเรียงกนั โดยใชจ้ ุด (.) เป็ นตวัแยกระหวา่ งเลขท่ีเป็นจานวนเตม็ กบั เลขที่เป็ นเศษส่วน ดงั น้ี (N)r = (an-1 an-2 ……….a1 a0 . a-1 a-2 …….. a-m)r จานวนเตม็ จดุ เศษส่วน เลขแต่ละฐานจะมีจานวนตวั เลขไม่เท่ากนั โดยจานวนตวั เลขจะเท่ากบั ค่าฐานเสมอและคา่ ของตวั เลขจะอยใู่ นช่วง 0 ถึง r-1 เช่นเลขฐานสองมีตวั เลข 2 ตวั คอื 0 กบั 1 เลขฐานแปดมีตวั เลข 8ตวั คือ 0 ถึง 7 เลขฐานสิบมีตวั เลข 10 ตวั คือ 0 ถึง 9 และเลขฐานสิบหกมีตวั เลข 16ตวั คือ 0 ถึง 15 โดยเลข 10 ถึง 15 เขยี นแทนดว้ ย A, B, C, D, E และ F ตามลาดบั

2 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข การเขียนตวั เลขแบบแยกแตล่ ะดิจติ ออกจากกนั เป็นการขยายแบบเขียนตดิ กนั ออกมาใหอ้ ยใู่ นรูปท่ีแสดงค่าจริงของเลขน้นั โดยเขียนอยใู่ นรูป(N)r = an-1 rn-1 + an-2 rn-2 + ……… + a1 r1 + a0 r0 + a-1 r-1 + a-2 r-2 + ………. +a-m r-mหรือ (N)r =  a rn 1 j j m jเมื่อ m คือ จานวนดิจิตของเศษส่วนn คือ จานวนดิจิตของจานวนเตม็ตัวอย่างท่ี 1.1 จงเขียนเลขต่อไปน้ีแบบแยกแต่ละดิจติ ออกจากกนั (ก) (513.74)10 (ข) (10.11)2 (ค) (5F.AC)16วธิ ีทา(ก) (513.74)10 (a2 a1 a0 . a-1 a-2)rเม่ือ n = 3, m = 2, r = 10, a2 = 5, a1 = 1, a0 = 3, a-1 = 7, a-2 = 4 (513.74)10 = 2 a jr j = a2r2 + a1r1 + a0r0 + a-1r-1 + a-2r-2  j2 = (5 × 102) + (1 × 101) + (3 × 100) + (7 × 10-1) + (4 × 10-2)ตอบ = (5 × 100) + (1 × 10) + (3 × 1) + 7  1   4  1   10   100(ข) (10.11)2 = (a1 a0 . a-1 a-2)r เม่ือ n = 2, m = 2, r = 2, a1 = 1, a0 = 0, a -1 = 1, a -2 = 1 (10.11)2 = 1 = a1r1 + a0r0 + a-1r-1 + a-2r-2 a jr j j2 = (1 × 21) + (0 × 20) + (1 × 2-1) + (1 × 2-2) ตอบ = (1 × 2) + 0 + 1 1   1 1   2  4

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 3(ค) (5F.AC)16 = (a1a0 . a -1a -2)r เมื่อ n = 2, m = 2, r = 16, a1 = 5, a0 = F = 15, a-1 = A = 10, a-2 = C = 12  (5F.AC)16 = 1 a r j = a1r1 + a0r0 + a-1r-1 + a-2r-2  j j2 = (5 × 161) + (15 × 160) + (10 × 16-1) + (12 × 12-2) ตอบ = (5 × 16) + (15 × 1) + 10 1   12 1   16   2561.1 ระบบตวั เลข 1.1.1 ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number) เลขฐานสิบประกอบดว้ ยจานวนตวั เลข 10 ตวั คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เป็นตวั เลขท่ีใชง้ านกนั โดยทวั่ ไป เลขในฐานน้ีจะถูกทดไปขา้ งหนา้ หน่ึงตาแหน่งทกุ คร้งั ที่นบั ได้สิบ เร่ิมต้งั แต่หลกั หน่วย เม่ือหลกั หน่วยนบั ไดส้ ิบคร้งั ก็จะทดไปเป็ นหลกั สิบ เมื่อหลกั สิบนบัไดส้ ิบคร้ังก็จะทดไปเป็นหลกั ร้อยไปเร่ือยๆ เลขหลกั ตา่ งๆ ไดแ้ ก่ หน่วย สิบ ร้อย พนั ... เกิดจากค่าฐานยกกาลงั เช่น หลกั หน่วยเกิดจาก 100 = 1 หลกั สิบเกิดจาก 101 = 10 หลกั ร้อยเกิดจาก102 = 100 หลกั พนั เกิดจาก 103 = 1000 เป็ นตน้ เลขหลกั ต่างๆ เหล่าน้ี อาจเรียกอีกอยา่ งหน่ึงวา่ ค่าประจาตาแหน่ง (Place Value) เช่น 759 = (7 × 102) + (5 × 101) + (9 × 100) = (7 × 100) + (5 × 10) + (9 × 1) เลข 7 มีคา่ ประจาตาแหน่งเป็น 100 คา่ จริงจึงเป็น 700 เลข 5 มีค่าประจาตาแหน่งเป็น 10 คา่ จริงจึงเป็น 50 เลข 9 มีคา่ ประจาตาแหน่งเป็น 1 ค่าจริงจงึ เป็ น 9 จงึ สรุปไดว้ า่ ค่าของเลขฐานใดๆ น้นั ไดจ้ ากการนาคา่ ประจาตาแหน่งคูณกบั ค่าตวั เลขตาแหน่งน้นั ๆ แลว้ นามารวมเขา้ ดว้ ยกนั 1.1.2 ระบบเลขฐานสอง (Binary Number) เป็ นระบบตวั เลขทีป่ ระกอบดว้ ยตวั เลข 2 ตวั คือ 0 กบั 1 ซ่ึงระบบตวั เลขทใ่ี ชใ้ นระบบดิจติ อล เพราะสามารถแทนไดด้ ว้ ยการทางานของวงจรไฟฟ้า คอื สถานะ “ON” และ “OFF”ตวั เลขแต่ละดิจติ ของเลขฐานสองจะเรียกวา่ บิต (Bit)

4 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข ค่าประจาตาแหน่งของระบบเลขฐานสอง จะอยใู่ นรูปของสองยกกาลงั ดงั น้ี 2n-1, 2n-2, ….., 22, 21, 20, 2-1, 2-2, 2-3, …….., 2-m เช่น (1011)2 = (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) = 8 + 2 + 1 ในระบบเลขฐาน บิตท่ีอยหู่ นา้ สุด (บิตซา้ ยมือสุด) เป็นบิตท่ีมีค่าประจาหลกั ตาแหน่งสูงสุด เรียกบิตน้ีวา่ บิตนยั สาคญั มากสุด (MSB ; Most Significant Bit) ส่วนบติ ท่อี ยหู่ ลงั สุด(บติ ขวามือสุด) เป็ นบติ ทีม่ ีคา่ ประจาตาแหน่งต่าสุด เรียกบติ น้ีวา่ บิตนยั สาคญั นอ้ ยสุด(LSB ; Least Significant Bit) 1.1.3 ระบบเลขฐานแปดและฐานสิบหก (Octal and Hexadecimal) ในระบบดิจิตอลน้นั จะนาเลขฐานสองหลายๆ บิต มาเป็ นสญั ลกั ษณ์แทนความหมายต่างๆ เช่น ใชเ้ ลขฐานสองขนาด 8 บิต 16 บติ หรือ 32 บิต การใชเ้ ลขหลายๆ บติ จะไม่สะดวกในการใชง้ านเพราะอาจทาใหเ้ กิดความผดิ พลาดข้ึนมาไดง้ า่ ย จึงไดน้ าเลขฐานแปดและฐานสิบหกมาใชแ้ ทน เลขฐานแปดและฐานสิบหก มีลกั ษณะเหมือนกบั เลขฐานสิบหรือฐานสอง คอืประกอบดว้ ยคา่ ประจาตาแหน่งและค่าของเลขแตล่ ะตาแหน่ง เลขฐานแปดมีคา่ ประจาตาแหน่งอยใู่ นรูปของแปดยกกาลงั ในขณะท่เี ลขฐานสิบหกมีคา่ ประจาตาแหน่งเป็ นเลขสิบหกยกกาลงั เลขฐานแปดมีจานวนตวั เลข 8 ตวั คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 ส่วนเลขฐานสิบหกมี 16ตวั คอื 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F คา่ ตวั เลขแตล่ ะดิจติ ของระบบเลขฐานต่างๆ แสดงดงั ตารางที่ 1.1 และคา่ ประจาตาแหน่งของระบบเลขฐานตา่ งๆ แสดงดงั ตารางท่ี 1.2ตารางที่ 1.1 แสดงค่าตวั เลขแตล่ ะดิจิตฐานเลข ค่าตัวเลขฐานสอง 0, 1ฐานแปด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7ฐานสิบ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ฐานสิบหก 0, 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6, 7, 8,9 ,A ,B, C,D ,E , F

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 5ตารางท่ี 1.2 แสดงค่าประจาตาแหน่งของระบบเลขฐานตา่ งๆเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบ เลขฐานสิบหก 2n-1 8n-1 10n-1 16n-1 2n-2 8n-2 10n-2 16n-222 = 4 82 = 64 102 = 100 162 = 25621 = 2 81 = 8 101 = 10 161 = 1620 = 1 80 = 1 100 = 1 160 = 12-1 = 1 8-1 = 1 10-1 = 1 16-1 = 1 2 8 10 162-2 = 1 8-2 = 1 10-2 = 1 16-2 = 1 4 64 100 2562-m 8-m 10-m 16-mตารางที่ 1.3 การเปรียบเทียบเลขฐานต่างๆ กบั เลขฐานสิบเลขฐานสิบ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก(Decimal) (Binary) (Octal) (Hexadecimal) 0 00000 0 0 1 00001 1 1 2 00010 2 2 3 00011 3 3 4 00100 4 4 5 00101 5 5 6 00110 6 6 7 00111 7 7 8 01000 10 8 9 01001 11 9 10 01010 12 A

6 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลขตารางท่ี 1.3 (ตอ่ ) การเปรียบเทียบเลขฐานตา่ งๆ กบั เลขฐานสิบเลขฐานสิบ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก(Decimal) (Binary) (Octal) (Hexadecimal) 11 01011 13 B 12 01100 14 C 13 01101 15 D 14 01110 16 E 15 01111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 141.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็ นเลขฐานอ่ืนๆการแปลงเลขฐานสิบไปเป็นเลขฐานอื่นน้นั จะแยกพจิ ารณาออกเป็ น 2 ส่วน คอื ส่วนท่เี ป็นจานวนเตม็ และทเ่ี ป็นเศษส่วน แลว้ นาผลทไี่ ดม้ าเขียนรวมเขา้ ดว้ ยกนั1. กรณีเป็นเลขจานวนเตม็กาหนด N เป็นเลขฐานสิบทต่ี อ้ งการแปลงเป็นเลขฐาน r N = (an-1 …………. a3 a2 a1 a0)r …….(1.1)N = an-1 rn-1 + ……a3r3 + a2r2 + a1r1 + a0r0คา่ an-1, ……, a3, a2, a1, a0 ในสมการ (1.1) หาโดยวธิ ีต้งั หาร ดงั น้ีจาก N = an-1 rn-1 + ……a3r3 + a2r2 + a1r1 + a0r0N = an-1 rn-2 + ……a3r2 + a2r + a1 เศษ a0rN/r = N = an-1 rn-3 + ……a3r + a2 เศษ a1 r r2= = aN / r n2 r N เศษ an-2 r n1 n-1 เศษ an-1=N / r n1 N =0r rn

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 7 พจิ ารณาจากสมการ (1.1) ค่า an-1, ………, a3, a2, a1, a0 กค็ อื คา่ เศษทีไ่ ดจ้ ากการต้งั หารนน่ั เอง โดยการนาคา่ เศษตวั สุดทา้ ยทีไ่ ดจ้ ากการต้งั หาร (an-1) ไปเขยี นเป็ นตวั แรกในสมการ(1.1) ส่วนค่าเศษตวั อื่นๆ จะเรียงตามลาดบั คา่ เศษตวั แรกทไ่ี ดจ้ ากการต้งั หาร (a0) จานาไปเขยี นเป็นตวั สุดทา้ ยในสมการ (1.1)จากหลกั การดงั กล่าวจะไดข้ อ้ สรุปวา่ การแปลงเลขฐานสิบ หารไปเรื่อยๆ จนได้คาตอบเป็นศนู ย์ แลว้ นาคา่ เศษที่ไดจ้ ากการต้งั หาร มาเขยี นเรียงตามลาดบั จากคา่ เศษตวัสุดทา้ ยจนถึงคา่ เศษตวั แรก2. กรณีเป็นค่าทศนิยม หรือ เศษส่วนกาหนด N เป็นเลขฐานสิบ ทีต่ อ้ งการแปลงเป็นเลขฐาน r N = (0. a-1 a-2 a-3 ……. a-m)r ……(1.2)N = a-1r-1 + a-2r-2 + a-3r-3 + ………. + a-mr-mค่า a-1, a-2, a-3, ………, a-m ในสมการ (1.2) หาไดโ้ ดยวธิ ีนาค่าฐาน r มาคูณนาค่าจานวนเตม็ ทไี่ ดจ้ ากการคูณ คือ a-1, a-2, a-3, …… ไปเขยี นลงในสมการ (1.2)เรียงตาม ลาดบั จะไดเ้ ป็นเลขฐาน r ตามท่ีตอ้ งการจากการนาหลกั การท่กี ล่าวถึง จะไดข้ อ้ สรุปวา่ การแปลงเลขฐานสิบทเ่ี ป็ นเลขเศษส่วนไปเป็นเลขฐานอ่ืนทาไดโ้ ดยการนาคา่ ฐานของเลขน้นั คูณเศษส่วนของเลขฐานสิบ แลว้ นาผลลพั ธท์ เ่ี ป็นจานวนเตม็ มาเขียนเรียงลาดบั จากจานวนเตม็ ตวั แรกจนถึงจานวนเตม็ ตวั สุดทา้ ย1.2.1 การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขฐานสิบใหเ้ ป็ นเลขฐานสองน้นั โดยทว่ั ไปทาได้ 2 วธิ ี คอืวธิ ีที่ 1 มีวธิ ีการทาดงั น้ี ก. ใชส้ มการ (1.1) โดยวิธีใช้ 2 ยกกาลงั ค่าสูงสุดแลว้ ค่าไม่เกินเลขฐานสิบ จานวนทีต่ อ้ งการเปลี่ยนเป็ นฐานสองน้นั ๆ แลว้ เอาเลขที่ไดจ้ ากการใช้ 2 ยกกาลงั ไปลบออกจากเลขฐานสิบตวั ต้งั ทีต่ อ้ งการเปล่ียน ข. ใช้ 2 ยกกาลงั ค่าสูงสุดที่ไม่เกินเลขฐานสิบ ผลลพั ธไ์ ดจ้ ากการต้งั ลบในขอ้ ก. แลว้เอาเลขที่ไดจ้ ากการใช้ 2 ยกกาลงั ไปลบออกเหมอื นกบั ในขอ้ ก. ทาซ้าๆ กนั หลายคร้ังจนกระทง่ั หมดเลขฐานสิบ ซ่ึงเป็ นตวั ต้งั แลว้ นาเอาสมั ประสิทธ์ิของเลขยกกาลงั มาเขียนเป็นเลขฐานสอง

8 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข ค. ในการเขียนเลขฐานสอง ใหถ้ ือสมั ประสิทธ์ิ หรือเศษจากการลบคร้งั แรก เป็ นหลกัสูงสุดของเลขฐานสอง และเรียงลาดบั ไปเร่ือยๆ ถา้ หากหลกั ใดไม่มีสมั ประสิทธ์ิหรือเศษใหค้ ดิ ค่าฐานสองเป็น 0ตวั อย่างที่ 1.2 จงแปลง (25)10 เป็ นฐานสอง วธิ ีทา ใช้ 2 ยกกาลงั สูงสุดทไี่ ม่เกิน 25 คือ 24 = 16 25-16 = 9 (16 = 1×24 ) 9-8 = 1 ( 8 = 1×23 ) 1-1 = 0 ( 1 = 1×20 ) จากสมการ (1.1) เราหาจานวนหลกั ของเลขฐานสองไดโ้ ดยสงั เกตจากการใช้ 2 ยกกาลงั สูงสุด (ซ่ึงปกติหลกั แรกจะตอ้ งเป็ น 2 ยกกาลงั สูงสุดลบดว้ ย 1) ดงั น้นั จานวนหลกั ของเลขฐานสอง คอื กาลงัของฐานสอง หลกั สูงสุดบวกดว้ ย 1 ในตวั อยา่ งท่ี 1.5 คือ 24 เป็ นค่าทไี่ ดจ้ ากการใช้ 2 ยกกาลงัสูงสุด ดงั น้นั จานวนหลกั ของเลขฐานสอง คือ 4+1 = 5 หรือ n = 5 นนั่ เอง ซ่ึงถา้ เขยี นตามกฎท่ีกล่าวมาแลว้ จะไดว้ า่ N = an-1 rn-1 + ……a3r3 + a2r2 + a1r1 + a0r0 1×25-1 + 1×25-2 + 0×25-3 + 0×25-4 + 1×25-5 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 ดงั น้นั (25)10 = (11001)2ตัวอย่างที่ 1.3 จงแปลง (14)10 เป็ นฐานสอง วธิ ีทา 14-8 = 6 (1 × 23 สมั ประสิทธ์ิคือ 1) 6-4 = 2 (1 × 22 สมั ประสิทธ์ิคอื 1) 2-2 = 0 (1 × 21 สมั ประสิทธ์ิคอื 1) คา่ n = 3+1 = 4 เขียนตามสมการจะได้ 1×23 + 1×22 + 1×21 + 0×20 เลขฐานสอง คือ 1110 ดงั น้นั (14)10 = (1110)2

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 9วธิ ีท่ี 2 ก. นาเอา 2 ไปหารจานวนเลขฐานสิบซ่ึงเป็นตวั ต้งั ไปเร่ือยๆ หากคร้งั ใดหารลงตวัจะไดส้ มั ประสิทธ์ิของฐานเป็น 0 และถา้ หารแลว้ เหลือเศษ 1 จะไดส้ มั ประสิทธ์ิของฐานเป็น 1 ข. เม่ือหารไปถึงคร้ังหลงั สุดจะเหลือเศษ 1 เสมอ จากน้นั ใหน้ าเอาคา่ เศษของผลหารแตล่ ะคร้ังมาเขยี นเป็ นเลขฐานสอง โดยใหค้ ่าเศษของการหารเลขฐานสิบคร้งั สุดทา้ ยเป็ นหลกั แรก หรือหลกั สูงสุดของเลขฐานสองจานวนน้นั ๆตัวอย่างที่ 1.4 จงแปลง (25)10 และ (125)10 เป็ นเลขฐานสอง วธิ ีทา 25/2 = 12 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1 12/2 = 6 เศษ 0 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 0 6/2 = 3 เศษ 0 หมายถึงเลขฐานสอง คือ 0 3/2 = 1 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คือ 1 1/2 = 1/2 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คือ 1 ดงั น้นั (25)10 = (11001)2 (เขยี นเรียงจากขา้ งล่างข้นึ บน) 125/2 = 62 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1 62/2 = 31 เศษ 0 หมายถึงเลขฐานสอง คือ 0 31/2 = 15 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1 15/2 = 7 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คือ 1 7/2 = 3 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1 3/2 = 1 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1 1/2 = 1/2 เศษ 1 หมายถึงเลขฐานสอง คือ 1 ดงั น้นั (125)10 = (1111101)2การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบใหเ้ ป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขหลงั จดุ ทศนิยมจากเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง ทาได้ 2 วธิ ี คลา้ ยกบั การแปลงเลขจานวนเตม็ ดงั น้ีคือวธิ ีที่ 1 ใชส้ มการ (1.2) N = a-1r-1 + a-2r-2 + a-3r-3 + ………. + a-mr-m

10 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลขตวั อยา่ งที่ 1.5 จงแปลง (0.875)10 ใหเ้ ป็ นเลขฐานสอง วธิ ีทา 0.875 – 0.5 = 0.375 ( 0.5 = 1×2-1 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1) 0.375 – 0.25 = 0.125 ( 0.25 = 1×2-2 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1) 0.125 – 0.125 = 0.375 (0.125 = 1×2-3 หมายถึงเลขฐานสอง คอื 1) ดงั น้นั 1×2-1 + 1×2-2 + 1×2-3 = (0.875)10 = (0.111)2วธิ ีที่ 2 ทาไดโ้ ดยวธิ ีเดียวกนั กบั การแปลงเลขจานวนเตม็ ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้เพยี งแต่เปลี่ยนวธิ ีการจากการใช้ 2 หาร มาเป็นใช้ 2 คูณแทน โดยการคูณตวั ต้งั ไปเรื่อยๆ ถา้ไดเ้ ทา่ กบั 1 หรือเกิน 1 ใหถ้ ือวา่ สมั ประสิทธ์ิของฐานสองหรือเลขฐานสองหลกั น้นั เป็ น 1 และถา้ ผลคูณไดต้ ่ากวา่ 1 ใหถ้ ือวา่ สมั ประสิทธ์ิของฐานสองหรือเลขฐานสองหลกั น้นั เป็ น 0 แตถ่ า้หากในการคูณเลขฐานสิบดว้ ย 2 คร้ังใดเกิน 1 การต้งั คูณคร้งั ตอ่ ไปใหน้ าเฉพาะเศษ เป็ นตวั ต้งัแลว้ ใช้ 2 คูณอีก ทาซ้าๆ กนั เช่นน้ีเรื่อยๆ ไปจนกระทง่ั คร้งั สุดทา้ ยไดเ้ ลขจานวนเตม็ คอื 1(ยกเวน้ ในกรณีท่เี ลขคูณแลว้ ไม่ลงตวั ใหค้ ุณไปเรื่อยๆ แลว้ กาหนดหลกั ของทศนิยมทไ่ี ม่รู้จบน้ีวา่ ตอ้ งการกี่หลกั ) ส่วนการเขียนเลขฐานสอง ใหถ้ ือเอาสมั ประสิทธ์ิจากการเอา 2 คูณเลขฐานสิบตวั ต้งั คร้ังแรกเป็ นหลกั แรกหลงั จดุ ทศนิยมของเลขฐานสองจานวนน้นั และเรียงลาดบั ไปเร่ือยๆตัวอย่างที่ 1.6 จงแปลง (0.4375)10 ใหเ้ ป็ นเลขฐานสอง วธิ ีทา 0.4375×2 = 0.875 (ไม่เกิน 1 หมายถึงเลขฐานสองคอื 0) 0.875×2 = 1.75 (เกิน 1 หมายถึงเลขฐานสองคอื 1) 0.75×2 = 1.5 (เกิน 1 หมายถึงเลขฐานสองคือ 1) 0.5×2 = 1 (เท่ากบั 1 หมายถึงเลขฐานสองคอื 1) ดงั น้นั (0.4375)10 = (0.0111)21.2.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานแปด การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปดทาวธิ ีคลา้ ยๆ กบั การแปลงเลขฐานสิบเป็ นฐานสองแตต่ า่ งกนั ที่แทนทจ่ี ะหารดว้ ย 2 กห็ ารดว้ ย 8 เศษที่ไดค้ ือสมั ประสิทธ์ิของฐาน 8 ซ่ึงเป็นตวั เขียนแทนจานวนเลขฐานแปดนน่ั เอง

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 11ตวั อย่างที่ 1.7 จงแปลงเลข (200)10 เป็ นเลขฐานแปด วธิ ีทา 200/8 = 25 เศษ 0 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานแปดคือ 0 25/8 = 3 เศษ 1 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานแปดคอื 1 3/8 = 3/8 เศษ 3 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานแปดคือ 3 ดงั น้นั (200)10 = (310)8การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบใหเ้ ป็นเลขฐานแปด การแปลงเลขหลงั จุดทศนิยมฐานสิบให้เป็ นเลขฐานแปด ทาไดเ้ ช่นเดียวกนั กบั การแปลงเป็นฐานสอง เพยี งแตเ่ ปลี่ยนตวั คูณ จาก 2 เป็น 8 เทา่ น้นั และนาค่าเศษท่เี หลือไปหารตอ่ส่วนตวั เลขหนา้ จุดทศนิยมใหใ้ ช้ 8 หารแลว้ นาเศษทไ่ี ดม้ าเป็ นผลลพั ธข์ องเลขฐานแปดตัวอย่างท่ี 1.8 จงแปลง (0.9375)10 ใหเ้ ป็ นเลขฐานแปด วธิ ีทา 0.9375×8 = 7.5 (เทา่ กบั 7 หมายถึงเลขฐานแปดคอื 7) 0.5×8 = 4 (เทา่ กบั 4 หมายถึงเลขฐานแปดคอื 4) ดงั น้นั (0.9375)10 = (0.74) 8ตัวอย่างท่ี 1.9 จงแปลง (415.65625)10 เป็ นเลขฐานแปด วธิ ีทา 415/8 = 51 เศษ 7 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานแปดคือ 7 51/8 = 6 เศษ 3 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานแปดคือ 3 6/8 = 6/8 เศษ 6 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานแปดคือ 6 ดงั น้นั (415)10 = (637)8 0.65625×8 = 5.25 (เท่ากบั 5 หมายถึงเลขฐานแปดคือ 5) 0.25×8 = 2 (เท่ากบั 2 หมายถึงเลขฐานแปดคอื 2) ดงั น้นั (0.65625)10 = (52)8  (415.65625)10 = (637.52)8

12 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข1.2.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสิบหก การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสิบหกทาวธิ ีคลา้ ยๆ กบั การแปลงเลขฐานสิบเป็ นฐานสอง และการแปลงเลขฐานสิบเป็ นฐานแปด แตต่ ่างกนั ทแี่ ทนท่ีจะหารดว้ ย 2 หรือ 8 กใ็ หห้ ารดว้ ย 16 แทน เศษทีไ่ ดค้ ือสมั ประสิทธ์ิของฐาน 16 ซ่ึงเป็นตวั เขียนแทนจานวนเลขฐานสิบหกนนั่ เองตัวอย่างท่ี 1.10 จงแปลงเลข (87)10 เป็ นเลขฐานสิบหก วธิ ีทา 87/16 = 5 เศษ 7 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานสิบหกคอื 7 5/16 = 5/16 เศษ 5 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานสิบหกคือ 5 ดงั น้นั (87)10 = (57)16การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหก การแปลงเลขหลงั จุดทศนิยมฐานสิบใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหก ทาไดเ้ ช่นเดียวกนั กบั การแปลงเป็ นฐานสองและฐานแปด เพยี งแต่เปล่ียนตวั คูณ จาก 2 หรือ 8 เป็ น 16 เท่าน้นั และนาค่าเศษทเ่ี หลือไปหารตอ่ ส่วนตวั เลขหนา้ จดุ ทศนิยมใหใ้ ช้ 8 หารแลว้ นาเศษทไ่ี ดม้ าเป็ นผลลพั ธ์ของเลขฐานสิบหกตวั อย่างที่ 1.11 จงแปลง (0.46875)10 ใหเ้ ป็ นเลขฐานสิบหก วธิ ีทา 0.46875×16 = 7.5 (เท่ากบั 7 หมายถึงเลขฐานสิบหกคือ 7) 0.5×16 = 8 (เทา่ กบั 8 หมายถึงเลขฐานสิบหกคือ 8) ดงั น้นั (0.46875)10 = (0.78) 16ตัวอย่างท่ี 1.12 จงแปลง (2606.1015625)10 เป็ นเลขฐานสิบหก วธิ ีทา 2606/16 = 51 เศษ 14 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานสิบหกคือ E 162/16 = 10 เศษ 2 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานสิบหกคือ 2 10/16 = 10/16 เศษ 10 หมายถึงสมั ประสิทธ์ิของฐานสิบหกคอื A ดงั น้นั (2606)10 = (A2E)16 0.1015625×16 = 1.625 (เท่ากบั 1 หมายถึงเลขฐานสิบหกคอื 1) 0.625×16 = 2 (เท่ากบั 10 หมายถึงเลขฐานสิบหกคือ A) ดงั น้นั (0.1015625)10 = (1A)16  (2606.1015625)10 = (A2E.1A)16

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 131.3 การแปลงเลขฐานอื่นๆเป็ นเลขฐานสิบ การแปลงเลขฐานอื่นๆ เป็ นเลขฐานสิบจะใชส้ มการดงั ตอ่ ไปน้ี an-1 rn-1 + ……a3r3 + a2r2 + a1r1 + a0r0 …………(1.3)กาหนดให้ r เป็นเลขฐานอื่นๆ ทีต่ อ้ งการแปลงเป็นเลขฐานสิบ a เป็ นเลขแต่ละหลกั ของเลขฐาน r1.3.1 การแปลงเลขฐานสองใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ หากสงั เกตจากตวั อยา่ งท่ผี า่ นมาน้นั คงจะมีแนวคดิ ในการเปลี่ยนฐานของเลขอยบู่ า้ งซ่ึงจะใชว้ ธิ ี การเดียวกนั กบั การเขียนเลขฐานสิบใหอ้ ยใู่ นรูปของสิบยกกาลงั การแปลงเลขฐานสองไปเป็นเลขฐานสิบน้นั สามารถทีจ่ ะใชส้ มการเดียวกบั การแปลงจากฐานสิบเป็ นฐานสองตัวอย่างท่ี 1.13 จงแปลง (11001)2 เป็นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (11001)2 = 1×25-1 + 1×25-2 + 0×25-3 + 0×25-4 + 1×25-5 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10ตัวอย่างท่ี 1.14 จงแปลง (0.001)2 เป็นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (0.001)2 = 0×2-1 + 0×2-2 + 1×2-3 = 0 + 0 + 2-3 = 1/8 = (0.125)10ตวั อย่างที่ 1.15 จงแปลง (101.11)2 เป็นเลขฐานสิบ วธิ ีทา ข้นั ที่ 1 นาเอาจานวนเตม็ มาเปล่ียนเป็ นเลขฐานสิบเสียก่อน 101 = 1×23-1 + 0×23-2 + 1×23-3 = 22 + 0 + 20 = 4+0+1

14 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข (101)2 = (5)10 ข้นั ที่ 2 นาเอาเลขหลงั จดุ ทศนิยมมาเปล่ียนเป็นเลขฐานสิบ 0.11 = 1×2-1 + 1×2-2 = 0.5 + 0.25 = (0.75)10 ข้นั ท่ี 3 นาเอาเลขในข้นั ที่ 1 และข้นั ที่ 2 มาเขยี นเรียงเขา้ ดว้ ยกนั  (101.11)2 = (5.75)101.3.2 การแปลงเลขฐานแปดใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ ใชก้ ฎเช่นเดียวกนั กบั การแปลงเลขฐานสองเป็ นฐานสิบแตกตา่ งกนั ตรงทีค่ ูณดว้ ย 8ตัวอย่างที่ 1.16 จงแปลง (37)8 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (37)8 = 3×81 + 7×80 = 24 + 7 = (31)10ตวั อย่างท่ี 1.17 จงแปลง (0.63)8 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (0.63)8 = 6×8-1 + 3×8-2 = 0.75 + 0.046875 = (0.796875)10ตัวอย่างที่ 1.18 จงแปลง (374.24)8 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (374.24)8 = 3×82 + 7×81 + 4×80 + 2×8-1 + 4×8-2 = 192 + 56 + 4 + 0.25 + 0.0625 = (252.3125)101.3.3 การแปลงเลขฐานสิบหกใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ ใชก้ ฎเช่นเดียวกนั กบั การแปลงเลขฐานสองและฐานแปดเป็นฐานสิบแตกตา่ งกนัตรงทแี่ ทนทจี่ ะคูณดว้ ย 2 หรือ 8 ก็ใหค้ ูณดว้ ย 16

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 15ตวั อย่างท่ี 1.19 จงแปลง (6E)16 ใหเ้ ป็ นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (6E)16 = 6×161 + 14×160 = 96 + 14 = (110)10ตวั อย่างที่ 1.20 จงแปลง (0.A5)16 ใหเ้ ป็ นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (0.A5)16 = 10×16-1 + 5×16-2 = 0.625 + 0.01953 = (0.64453)10ตัวอย่างท่ี 1.21 จงแปลง (D3C.2F)16 ใหเ้ ป็ นเลขฐานสิบ วธิ ีทา (D3C.2F)16 = 13×162 + 3×161 + 12×80 + 2×16-1 + 15×16-2 = 3328 + 48 + 12 + 0.125 + 0.05859 = (3388.18359)101.4 การแปลงระหว่างเลขฐานสองกบั เลขฐานแปด1.4.1 การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด การแปลงเลขฐานสองเป็ นฐานแปดทาไดด้ งั น้ี ข้นั ตอนที่ 1 แบ่งกลุ่มของเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มๆ ละ 3 ตวั โดยเริ่มจากหลกั แรกท้งั หนา้ และหลงั จุดทศนิยม ในกรณีทีเ่ ป็ นจานวนเตม็ เริ่มจากหลกั ต่าสุดของเลข หากเป็ นหลงัทศนิยมใหเ้ ร่ิมจากหลกั แรกหลงั จุดทศนิยม ข้นั ตอนท่ี 2 แทนค่าเลขฐานสองแต่ละกลุ่มดว้ ยเลขฐานแปดตามตารางท่ี 1.3ตัวอย่างท่ี 1.22 จงแปลงเลข (11101)2 เป็นเลขฐานแปดวธิ ีทา 011 10135ดงั น้นั (11101)2 = (35)8

16 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลขตัวอย่างท่ี 1.23 จงแปลงเลข (1100.11)2 เป็นเลขฐานแปดวธิ ีทา 001 100 . 1101 4 .6ดงั น้นั (1100.11)2 = (14.6)81.4.2 การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขฐานแปดเป็นฐานสองทาตรงกนั ขา้ มกบั การแปลงเลขฐานสองเป็ นฐานแปดคือนาเลขแตล่ ะตวั ของฐานแปดไปแปลงเป็นฐานสองทีละตวั และนาเลขฐานสองที่ไดม้ าเรียงกนัตวั อย่างท่ี 1.24 จงแปลงเลข (73)8 เป็นเลขฐานสองวธิ ีทา 7 3111 011ดงั น้นั (73)8 = (111011)2ตวั อย่างที่ 1.25 จงแปลงเลข (265.34)8 เป็นเลขฐานสองวธิ ีทา 2 65 .3 4 . 011 100010 110 101ดงั น้นั (265.34)8 = (010110101.011100)21.5 การแปลงระหว่างเลขฐานสองกับเลขฐานสิบหก1.5.1 การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก การแปลงเลขฐานสองใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหก ทาไดโ้ ดยการแบ่งเลขฐานสองออกเป็ นกลุ่มๆ ละ 4 ตวั แลว้ แปลงเลขแต่ละกลุ่มน้นั เป็ นเลขฐานสิบหก ดูไดจ้ ากตารางที่ 1.3ตวั อย่างที่ 1.26 จงแปลงเลข (10110101)2 เป็นเลขฐานสิบหก วธิ ีทา 1011 0101 B5 ดงั น้นั (10110101)2 = (B5)16

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 17ตวั อย่างที่ 1.27 จงแปลงเลข (10011110.1101)2 เป็นเลขฐานสิบหก วธิ ีทา 1001 1110 . 1101 9 E.D ดงั น้นั (10011110.1101)2 = (9E.D)161.5.2 การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขฐานสิบหกเป็ นฐานสองทาตรงกนั ขา้ มกบั การแปลงเลขฐานสองเป็ นฐานสิบหกคือนาเลขแตล่ ะตวั ของฐานสิบหกไปแปลงเป็นฐานสองทลี ะตวั และนาเลขฐานสองทไี่ ดม้ าเรียงกนัตวั อย่างที่ 1.28 จงแปลงเลข (5E)16 เป็ นเลขฐานสองวธิ ีทา 5 E 0101 1110ดงั น้นั (5E)16 = (01011110)2ตัวอย่างท่ี 1.29 จงแปลงเลข (6AF.7B)16 เป็ นเลขฐานสองวธิ ีทา 6 A F .7 B 10110110 1010 1111 . 0111ดงั น้นั (6AF.7B)16 = (011010101111.01111011)21.6 การแปลงระหว่างเลขฐานแปดกับเลขฐานสิบหก1.6.1 การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหก การแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหกทาไดโ้ ดยการแปลงจากเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสองก่อน จากน้นั จงึ ทาการแปลงจากฐานสองเป็ นฐานสิบหก

18 การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลขตวั อย่างท่ี 1.30 จงแปลงเลข (265.34)8 เป็นเลขฐานสิบหกวธิ ีทา 2 65 .3 4 100010 110 101 . 011ดงั น้นั (265.34)8 = (010110101.011100)2 0000 0000 1011 0101 . 01110 B 5 .7 0ดงั น้นั (265.34)8 = (0B5.70)161.6.2 การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานแปด การแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานแปดทาไดโ้ ดยการแปลงจากเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐาน สองก่อน จากน้นั จงึ ทาการแปลงจากฐานสองเป็ นฐานแปดตวั อย่างที่ 1.31 จงแปลงเลข (AF.7B)16 เป็ นเลขฐานแปดวธิ ีทา A F .7 B 10111010 1111 . 0111 110 110ดงั น้นั (AF.7B)16 = (10101111.01111011)2 66 010 101 111 . 0112 5 7.3ดงั น้นั (AF.7B)16 = (257.366)8

การแปลงเลขฐานในระบบตวั เลข 19 แบบฝึ กหดั 11. จงแปลงเลขตอ่ ไปน้ีเป็นเลขฐานสิบ (ก) (1011.1101)2 (ข) (236.74)8 (ค) (1A7.C8)162. จงแปลงเลขต่อไปน้ีเป็นเลขฐานสอง(ก) 14.375 (ข) 11.8125 (ค) 126.1433. จงแปลงเลขตอ่ ไปน้ีเป็นเลขฐานแปด(ก) 158.9375 (ข) 549.3125 (ค) 291.414. จงแปลงเลขต่อไปน้ีเป็นเลขฐานสิบหก(ก) 148.5 (ข) 423.78125 (ค) 687.455. จงแปลงเลขต่อไปน้ีเป็นเลขฐานสอง(ก) (637.42)8 (ข) (7D.2E) 166. จงแปลงเลขตอ่ ไปน้ีเป็นเลขฐานแปดและฐานสิบหก (ก) (101110101.10111)2 (ข) (11010110.110111)2