แคลคูลัส

1 ภาคตัดกรวย (Conic Section) กำเนิดภาคตดั กรวย ภาคตัดกรวย (conic section) หมายถึง เส<นโค<งที่ได<จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด<วยระนาบแบน ภาค ตัดกรวยนี้ถูกตั้งเปOนหัวข<อศึกษาตั้งแตTสมัย 200 ปWกTอนคริสตXศักราชโดย อะพอลโลเนียสแหTงเพอรXกา (Apollonius of Perga) ผู<ที่มีชีวิตอยูTในชTวง 262 – 190 ปWกTอนคริสตXศักราช ผู<ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค<นพบสมบัติหลาย ประการของภาคตัดกรวย พบวTาภาคตัดกรวยไมTเพียงแตTเปOนเส<นโค<งที่สวยงามแตTนำไปใช<ประโยชนXได<หลายด<าน ตTอมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช<ประโยชนXหลายแบบ ไดแ< กT • ค.ศ.1590 กาลิเลโอ (Galileo Galile) พบวTาขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนท่ี เปนO พาราโบลา • ค.ศ.1609 เคปเลอรX (Kapler) พบวTาวงโคจรของดาวเคราะหรX อบดวงอาทิตยเX ปนO วงรี • ค.ศ.1668 ไอแซค นิวตัน (Isaac Newton) เปOนบุคคลแรกที่ประดิษฐXกล<องโทรทรรศนXชนิด สะท<อนแสงโดยอาศัยหลักการที่มีพื้นฐานจากสมบัติของพาราโบลาและไฮเพอรXโบลา ในปwจจุบันมี การศึกษาเกี่ยวกับการนำสมบัติของภาคตัดกรวยไปใช<ประโยชนXในด<านตTางๆ เพิ่มเติมตลอดเวลา เชTน ใช<จานทรงพาราโบลา (รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตร ของพาราโบลา) เปOนอุปกรณXเก็บรวบรวมสัญญาณ เชTน จานรับสTงสัญญาณในระบบโทรคมนาคม หรือใช<เปOนอุปกรณXเก็บพลังงานจากดวงอาทิตยX หรือใช<เปOนอุปกรณXสำหรับสะท<อนแสง เชTน โคม ไฟ การหาตำแหนTงของเรือในทะเลโดยใช<จุดตัดของไฮเพอรXโบลา การทำงานของอุปกรณXที่ใช< สลายก<อนนิว่ ในไตใชส< มบัตกิ ารสะทอ< นของวงรี การศึกษาเรื่องภาคตดั กรวย การศึกษาภาคตัดกรวยสามารถศึกษาได<หลายแนวทาง ในที่นี้จะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช<วิธีทาง เรขาคณติ วิเคราะหX การศกึ ษาภาคตัดกรวย

2 กรวยเปนB รปู เรขาคณิตทม่ี วี ธิ ีการสรKางในเชงิ คณิตศาสตรN ดงั นี้ ให< a และ b เปOนเส<นตรงใดๆ สองเส<นตัดกันที่จุด V เปOนมุมแหลม ให<เส<นตรง a และจุด V ตรึงอยูTกับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส<นตรง b รอบเส<นตรง a (โดยมุม ระหวTางเส<นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกวTา กรวย กลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเทTานั้นและจะเรียกสั้นๆ วาT กรวย เสน< ตรงทต่ี รงึ อยูกT บั ที่ เรียกวาT แกน (axis) ของกรวย จดุ V เรยี กวTา จุดยอด (vertex) เส<นตรง b ที่ผTานจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกวTา ตัวกTอกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบงT กรวยออกเปOนสองข<าง (nappes) ซง่ึ อยTคู นละด<านของจุดยอด ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจาก ระนาบที่ไมTผTานจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข<างเดียว ได<ภาคตดั กรวยท่เี รยี กวาT วงกลม (circle) เมื่อระนาบไมTตั้งฉากกับแกนของกรวยแตTทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญTกวTา ระนาบจะตัดกรวย ข<างเดียวได<ภาคตดั กรวยทเ่ี รยี กวาT วงรี (ellipse) เมื่อระนาบขนานกับตัวกTอกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข<างเดียว ได<ภาคตัดกรวยที่เรียกวTา พาราโบลา (parabola) และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข<างได<ภาคตัดกรวยสองข<างได<ภาคตัดกรวย ทเี่ รียกวTา ไฮเพอรโX บลา (hyperbola) ภาคตดั กรวยชนิดตTาง ๆ

3 ถ<าระนาบผTานจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเปOนจุด หรือเส<นตรงหนึ่งเส<น หรือเส<นตรง สองเสน< ตัดกัน ซ่ึงเรยี กลักษณะดงั กลาT ววาT ภาคตัดกรวยลดรปู (degenerate conics) ภาคตดั กรวยลดรูป วงกลม (Circle) วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดซึ่งหTางจากจุดคงที่จุดหนึ่งเปOนระยะทางคงตัว จุดคงที่ เรียกวTา จุดศูนยXกลาง สTวนระยะคงทีเ่ รยี กวTา รัศมี นิยามของสมการวงกลม คือ วงกลม (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หTางจากจุดๆหนึ่งตรึงอยTู กับที่เปOนระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยูTกับท่ีนี้เรียกวTา จุดศูนยXกลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัว ดังกลาT วเรยี กวาT รศั มี (radius) ของวงกลม สมการวงกลม จุด C(h,k) เปOนจดุ คงที่ เรียกวาT จดุ ศูนยกX ลาง |CP| = ระยะทางคงที่ เรียกวTารัศมี รปู แบบของสมการวงกลม จดุ ศูนยNกลาง รศั มี รปู แบบสมการวงกลม (0, 0) r x\" + y\" = r\" r (h, k) (x − h)\" + (y − k)\" = r\" 2D\" + E\" − 4F x\" + y\" + Dx + Ey + F = 0 (− D , − E2) 2 2 รูปแบบของสมการวงกลม

4 ข<อสงั เกตุ 1. ถา< D\" + E\" – 4F = 0 กราฟท่ีไดจ< ะเปนO จุดวงกลม 2. ถ<า D2 + E2 – 4F > 0 กราฟทีไ่ ด<จึงเปOนวงกลม 3. ถ<า D2 + E2 – 4F < 0 จะไมเT กดิ กราฟในระบบจำนวนจริง ขอ< สำคญั การหาจดุ ศนู ยกX ลางของวงกลม จะหาได<ด<วยวิธดี งั ตTอไปน้ี 1. โจทยกX ำหนดมาให<โดยตรง เชนT ใหจ< ุดศูนยกX ลางคอื C(h,k) 2. โจทยกX ำหนดมาใหท< างออ< ม เชนT จุดที่เสน< ตรงตัดกัน 3. โจทยXหำหนดมาให< โดยมีความสมั พนั ธXกับกราฟอ่นื ๆ การหาความยาวรศั มี การหาความยาวรศั มี จะหาไดด< ว< ยวิธีดงั ตอT ไปนี้ 1. โจทยกX ำหนดมาใหโ< ดยตรง (2¶������) 2. โจทยXกำหนดมาให<ทางออ< ม เชนT ความยาวระหวาT งจุดสองจุด หาได<จากสตู ร |������:������\"| = ;(������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" 3. โจทยXกำหนดจุดศูนยกX ลาง (h, k) และเสน< สัมผสั Ax + By + C = 0 เราจะหาท้งั เส<นผาT น ศนู ยXกลางและรศั มไี ด<จากสตู รตอT ไปน้ี เสKนผYานศนู ยกN ลาง ������ = |������������������B������������������B������| ;������������B������������ รศั มี ������ = |������������B������������B������| ;������������B������������

5 ความยาวของเสนK สัมผสั ให< |PQ| เปOนความยาวของเส<นสมั ผสั ท่ลี ากจากจดุ P มาสัมผัสวงกลมท่ีจดุ Q 1. ถ<าสมการวงกลมคือ x\" + y\" = r\" แล<ว |PQ| = ;x:\" + y:\" − r\" ดงั รูป PQx:, y:R 2. ถา< สมการวงกลมคอื (x − h)\" + (y − k)\" = r\" แล<ว |PQ| = ;(������: − ℎ)\" + (������: − ������)\" − ������\" ดังรปู PQx:, y:R 3. ถ<าสมการวงกลมคือ x\" + y\" + Dx + Ey + F = 0 แลว< |PQ| = ;x\" + y\" + Dx + Ey + F ดังรปู D E2T PQx:, y:R 2 D S− , − ตัวอยาY งโจทยN ตัวอยาY งท่ี 1 จงเขยี นกราฟของสมการ (x + 2)\" + (y – 3)\" = 16 (������ + 2)\" + (������ − 3)\" = 16 Q������ − (−2)R\" + (������ − 3)\" = 16 (x − h)\" + (y − k)\" = r\"

6 วิธีทำ กราฟของสมการที่กำหนดให<เปOนวงกลม ในการเขียนกราฟ จะต<องทราบตำแหนTงของจุด ศูนยXกลางและความยาวของรัศมีของวงกลม ซึ่งหาได<โดยการเทียบสมการที่กำหนดให<กับรูปแบบมาตรฐานของ สมการวงกลม จะพบวาT h = -2, k = 3 และ r – 4 ดังน้นั วงกลมมจี ดุ ศูนยกX ลางอยTูที่ (-2, 3) และรศั มียาว 4 หนวT ย การเขียนวงกลมขั้นแรก ลงจุดศูนยXกลางที่จุด (-2, 3) และเนื่องจากรัศมีของวงกลมยาว 4 หนTวย ลงจุดอีก 4 จุด หTางไปจากจุดศูนยXกลางไปทางด<านซ<าย ทางด<านขวา ทางด<านลTาง และทางด<านบน 4 หนTวย แล<ววาดวงกลมผTาน จดุ 4 จุดน้ีจะไดว< งกลมดังแสดงในรปู ตัวอยาY งท่ี 2 จงเขียนรปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรศั มียาว 3 หนวT ย และจุดศนู ยXกลาง อยูTที่ (2, -1) วิธที ำ จากรปู แบบมาตรฐานของวงกลม (x – h) \" + (y – k)\" = r\" แทน r, h และ k ดว< ย 3, 2 และ -1 ตามลำดบั (x – 2)\" + (y – (−1))\" = 32 (x – 2)\" + (y + 1)\" = 9 รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว r หนTวย และจุดศูนยXกลางอยูTที่จุดกำเนิด (0, 0) คอื x2 + y2 = r2 วงกลมที่มีจุดศูนยXกลางอยูTที่จุดกำเนิดและรัศมียาว 1 หนTวย เรียกวTา วงกลมหนึ่งหนTวย (unit circle) และมีสมการเปOน x2 + y2 = 1 ดงั แสดงในรูป

7 จากสมการของวงกลมในตวั อยTางที่ 2 (x – 2)\" + (y + 1)\" = 9 เมือ่ หาผลการยกกำลังสองของ x – 2 และ y + 1 จะได< x\"– 4x + 4 + y\" + 2y + 1 = 9 หรือ x\" + y\" – 4x + 2y – 4 = 0 ซึ่งเปOนกรณีหนึ่งของสมการ x\" + y\" + ax + by + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปOนคTาคง ตัว สามารถพิสูจนXได<วTาสมการในรูปแบบ x\" + y \" + ax + by + c = 0 มีกราฟเปOน วงกลม หรอื จุดหน่ึงจดุ หรือไมTมกี ราฟ ตัวอยTางเชTน กราฟของสมการ x\" + y\" = 0 คือจุดหนึ่งจุดคือ จุด (0, 0) สมการ x \" + y\" + 5 = 0 หรือ x\" + y\" = −5 ไมTมีกราฟ เพราะวTาผลบวกของกำลังสองของ จำนวนจรงิ เปนO จำนวนลบไมไT ด< ในกรณีท่ีสมการ x \" + y\" + ax + by + c = 0 มกี ราฟเปนO วงกลม เรยี กสมการนว้ี Tา รูปแบบทัว่ ไปของสมการวงกลม ถ<าสมการของวงกลมอยูTในรูปแบบทั่วไป สามารถเขียนสมการใหมTให<อยูTในรูปแบบมาตรฐานได< โดยใชว< ิธีการทำให<เปOนกำลังสองสมบูรณX วงรี (Ellipse) วงรี คือ เสน< โคง< รปู ไขทT เ่ี หมอื นการดงึ วงกลมใหย< ืดออกตามเสน< ผาT นศูนยXกลางเสน< ใดเส<นหนง่ึ นิยามสมการวงรี วงรี (Ellipse) คือเซตของจุดท1งั หมดในระนาบซ:ึงผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆจุดหน:ึงในเซตไปยงั จุด คงที: 2 จุดมีค่าคงตวั P:F: + P:F\" = P\"F: + P\"F\" = คา่ คงตวั จากบทนิยามนี้ มีวิธีงTายๆ ในการวาดรูปวงรี (ดูรูปที่ 2) วางกระดาษบนกระดานวาดรูปปwกหมุด 2 ตัวที่จุดตTางกัน ใช<เปOนโฟกัสของวงรี ตัดเชือกเส<นหนึ่งยาวกวTาระยะทางระหวTางหมุดทั้งสอง ผูกปลายเชือกแตTละ ข<างกับหมุด โดยใช<ดินสอรั้งเชื่อให<ตึงตลอดเวลา ขณะที่คTอยๆ เคลื่อนดินสอรอบโฟกัส รอยดินสอที่เกิดขึ้นจะเปOน รูปวงรีเพราะผลบวกของระยะทางจากจุดปลายดินสอถึงโฟกัสทั้งสองเทTากับความยาวของเชือกที่มีความยาวคงตัว เสมอ

8 ถ<าเชือกยาวกวTาระยะหTางระหวTางโฟกัสเพียงเล็กน<อย วงรีที่วาดได<จะมีรูปรTางเรียวยาว ดังเชTนใน รูปที่ 3ก แตTถ<าโฟกัสอยูTใกล<กันเมื่อเปรียบเทียบกับความยาวของเชือก (เชือกยาวกวTาระยะหTางระหวTางโฟกัสมาก) วงรีทวี่ าดไดจ< ะเกือบกลม ดังเชนT ในรูปทางขวา ยงิ่ ถ<าจุดโฟกัสใกล<กนั เทTาไหรT กจ็ ะยง่ิ กลมขึ้น ๆ สYวนประกอบของวงรี F, F’ เปนO จดุ คงท่ี เรยี กวTาจุดโฟกัส (Focus) V, V’ เปOนเส<นตรงท่ีผTานจุดโฟกสั และมจี ดุ ปลายท้ังสองเปนO จุดยอด เรยี กวTา แกนนอก B, B’ เปOนเส<นตรงที่ผTานจุดศูนยXกลางและตั้งฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยูTบนวงรี เรียกวาT แกนโท m1m2, m1‘m2‘เปนO เส<นตรงทผ่ี Tานจดุ โฟกัส และตั้งฉากกนั แกนของรปู เรียกวาT เส<นลาตัสเรกตมั วงรีที่มจี ดุ ศนู ยกN ลางอยทYู ่จี ดุ (0,0)

9 วงรที ีม่ จี ดุ ศนู ยNกลางอยทYู จี่ ดุ กำเนิดและแกนเอกอยูYบนพกิ ัด Z[ Z[ ][ ^[ ][ สมการรปู แบบมาตรฐาน \\[ + ^[ = 1, a > b > 0 + \\[ = 1, a > b > 0 จุดยอด (−a, 0), (a, 0) (0, −a, ), (0, a) แกนเอก อยูบT นแกน X อยTบู นแกน Y มีความยาว 2a หนวT ย มีความยาว 2a หนTวย แกนโท อยบูT นแกน X อยTบู นแกน X มีความยาว 2b หนวT ย มีความยาว 2b หนTวย โฟกสั (−c, 0), (c, 0) ; c\" = a\" − b\" (0, −c), (0, c) ; c\" = a\" − b\" กราฟ สรุปสมการวงรี ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ + ������������ = ������ รปู สมการ ������������ + ������������ = ������ (0, 0) จุดศูนยกX ลาง (0, 0) จดุ ยอด V(a, 0), Vf(−a, 0) จุด Focus V(0, a), Vf(0, −a) ความยาวแกนเอก F(c, 0), Ff(−c, 0) ความยาวแกนโท F(0, c), Ff(0, −c) จุดปลายแกนโท |2a| ความยาวลาตัสเรกตัม |2a| ขอK ความจำ b\" = a\" − c\" |2b| |2b| B(0, b), Bf(0, −b) B(������, 0), Bf(−������, 0) 2b\" 2b\" |a| |a|

10 ตัวอยาY งโจทยN Z[ ][ :i j ตวั อยYางที่ 1 วงรีรปู หนึ่งมีสมการเปนO + = 1 จงหาโฟกสั จุดยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท และเขียนวงรี ][ Z[ ][ Z[ ^[ วธิ ีทำ จากสมการ :i + j = 1 เมื่อเทียบกับรปู แบบมาตรฐาน \\[ + = 1 จะได<วTา a\" = 16, b\" = 4 นัน่ คือ a = 4, b = 2 เนอ่ื งจากพจนX a\" เปนO ตัวสTวนของพจนX x\" แกนเอกจงึ อยบูT นแกน X ถา< ให<จดุ (−c, 0) และ (c, 0) เมื่อ c > 0 เปOนโฟกัส จะได<วTา c\" = a\"– b\" = 16 – 4 = 12 นั่นคือ c = √12 ดงั น้ัน สรุปได<วาT โฟกัสของวงรี คือ (−√12, 0) และ (√12, 0) จดุ ยอด คือ (−4, 0) และ (4, 0) แกนเอกมีความยาว 8 หนวT ย แกนโทมีความยาว 4 หนTวย กราฟวงรแี สดงไดด< งั รูปน้ี พาราโบลา (Parabola) นยิ ามของสมการพาราโบลา พาราโบลา คอื เซตของจุดบนพ้นื ระนาบซงึ่ มีระยะหาT งจากจุดคงท่ี เทาT กับระยะที่หาT งจากเส<นคงท่ี

11 จดุ คงที่ คอื จุดโฟกัส (Focus) เสKนตรงที่คงท่ี คอื เสน< ไดเรกตรกิ ซX (Directrix) เสKนลาตัสเลกตัม (Latus Rectum) คือเสน< ตรงทีล่ ากผาT นจดุ โฟกสั และตง้ั ฉากกบั แกนของรปู แกนของรูปหรอื แกนสมมาตร คอื เส<นตรงทีล่ ากผTานจุดยอดและผTานจดุ โฟกัส คอรดN ของพาราโบลา คือเสน< ตรงท่ีลากเชือ่ มจุด 2 จุด ทต่ี าT งกนั ของพาราโบลาและคอรXดท่ลี าก ผาT นจุดโฟกัสเรยี กวาT Focul สวT นคอรXดท่ีลากผTานจดุ โฟกสั ดว< ย และต้งั ฉากกับแกนของรูปด<วย เรียกวTา ลาตัสเรก ตัม (Latus Recrum) ขKอสังเกตุ จากสมการ จะต<องมตี ัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยูใT นรปู กำลังสอง และอกี ตวั หนงึ่ ยกกำลังหนง่ึ และอยTู ท่เี ทอมที่บวกลบกัน กราฟทไ่ี ดจ< งึ จะเปOนกราฟพาราโบลา รูปแบบของพาราโบลาทีม่ จี ุดศนู ยXกลางอยูทT จ่ี ุด (0,0) พาราโบลาซ:ึงมีจุดยอดท:ีจุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน y พาราโบลาซ:ึงมีจุดยอดท:ีจุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน x

12 สามารถสรปุ สมการพาราโบลาออกมาไดดK งั น้ี y\" = 4cx ������������ = ������������������ รปู สมการ V(0, 0) F(c, 0) v(0, 0) จุดยอด x = −c F(0, c) จุด Focus |4c| y = −c สมการเส<นไดเรกตรกิ ซX รูปตะแคงขวา (เปด› ขวา) รปู ตะแคงซ<าย (เปด› ซา< ย) |4c| ความยาวเสน< ลาตัสเรกตัม รูปหงาย (เปด› บน) ถ<า c > 0 (c, 2c), (c, −2c) รปู หงาย (เป›ดบน) ถา< c < 0 (−2c, c), (2c, c) จุดปลายเส<นลาตสั เรกตัม ขอK ความจำ b\" = a\" − c\" ตัวอยYางโจทยN ตัวอยYางท่ี 1 จงหาสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดโฟกสั (0,3) และจุดยอด (0,0) วิธีทำ จากโจทยXทกี่ ำหนดให< เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได<ดังน้ี จากรปู เปOนพาราโบลาหงาย มีจดุ ยอดคือ (0,0) จดุ โฟกัสคอื (0,3) และได<คาT c=3 สมการพาราโบลาของกราฟน้คี อื x\" = 4cy แทนคTา c=3 ในสมการจะได< x\" = (4)(3)y x\" = 12y

13 ไฮเพอรโN บลา (Hyperbola) นยิ ามของสมการไฮเพอรโN บลา ไฮเพอรXโบลา (Hyperbola) คือเซตของจุดท้ังหมดในระนาบซึง่ ผลตTางของระยะทางจากจดุ ใด ๆ ไปยงั จุด F1 และ F2 ทีต่ รงึ อยTูกบั ทมี่ ีคTาคงตัว โดยคาT คงตัวนอ< ยกวาT ระยะหTางระหวTางจดุ คงทท่ี ต่ี รงึ อยTกู ับทท่ี ง้ั สอง จุด F1 และ F2 ดังกลTาวนเ้ี รยี กวาT โฟกสั (Focus) ของไฮเพอรXโบลา ใหร< ะยะทางจากจดุ F1 และ F2 ไปยังเสน< กราฟมคี TาเทาT กบั r1=F1 และ r2=F2 และระยะทาง ระหวTางจุด F และจุด F2 มคี าT เทาT กับ 2c หรือเรียกอีกอยTางวTาคาT k ซง่ึ คTา k นี้จะมีคาT เปนO บวกเสมอ r2-r1 = k ถา< จดุ P ซง่ึ อยูบT นเส<นกราฟด<านซ<ายมอื อยTบู นแกน x แล<ว k = (c+a) – (c-a) = 2a ดังน้นั สามารถคำนวณคาT k=2a ได< หรอื นน่ั ก็คอื ระยะทางระหวTางจดุ ยอดของกราฟไฮเพอรXโบลา ทั้งสอง ขอ< สงั เกตุคอื เส<นกราฟพาราโบลาทเ่ี กิดจาดจดุ โฟกัส F1 จะมีเส<นกราฟทเี่ กิดจาด F2 สะท<อนเหมอื นกันอยูT ในฝžwงตรงขา< มเสมอ

14 สมการไฮเพอรNโบลา รปู แบบของสมการไฮเพอรXโบลาจะแบTงออกตามรปู กราฟสมการสองแบบ คือไฮเพอรโN บลาแบบ ตะแคง (ซ<ายขวา) และไฮเพอรโN บลาแบบต้ัง (บนลาT ง) โดยทั้งสองรูปแบบมสี มการดงั นี้ ไฮเพอรNโบลาตะแคง ไฮเพอรNโบลาตง้ั สมการไฮเพอรXโบลาคอื สมการไฮเพอรโX บลาคอื (x − h)\" (y − k)\" a\" − b\" (y − k)\" − (x − h)\" = 1 a\" b\" ถ<าจุดศูนยXกลางของสมการ c อยูทT จ่ี ุด (0,0) เราจะได< ถา< จดุ ศนู ยกX ลางของสมการ c อยูTทีจ่ ดุ (0,0) เราจะได< สมการไฮเพอรXโบลาท่จี ุดกำเนดิ ดงั น้ี x\" y\" สมการไฮเพอรโX บลาทีจ่ ดุ กำเนดิ ดังน้ี a\" b\" y\" x\" − = 1 a\" − b\" = 1 สงั เกตวาT หน<า x เปOนบวก ดังน้ันแกนตามขวางจึง สังเกตวาT หน<า x เปOนบวก ดังน้นั แกนตามขวางจงึ วางตวั ในแนวแกน x (a อยูกT ับ x)แกนตามขวาง (แกน วางตัวในแนวแกน x (a อยกTู บั x)แกนตามขวาง (แกน ท่ีลากตัดก่งึ กลางของกราฟ) มคี วามยาวเปนO 2a ทลี่ ากตดั กงึ่ กลางของกราฟ) มคี วามยาวเปOน 2a แกนสงั ยคุ มีความยาวเปนO 2b แกนสงั ยคุ มคี วามยาวเปนO 2b ระยะโฟกสั มคี วามยาว ระยะโฟกัส มีความยาว c = ;(a\" + b\") c = ;(a\" + b\") ขอK สังเกตุ: a ไมTจำเปนO ต<องยาวกวTา b เหมอื นในสมการวงรี แตTถา< a=b จะได<สเ่ี หลีย่ มจัตรุ สั อยูตT รงกลาง จะ เรียกวTาเปOน ไฮเพอรXโบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)

15 ตวั อยYางโจทยN ตัวอยYางท่ี 1 จงหาจุดศนู ยกX ลาง จดุ โฟกสั จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยคุ ความยาวเส<นลาตสั เรกตมั คาT เอ็คเซนตริกซติ ี (e) และสมการเส<นกำกับของไฮเพอรXโบลาตTอไปนี้ พร<อมทง้ั วาดกราฟ x\" y\" 16 − 9 = 1 วิธีทำ ตัวเลขสวT นของสมการไฉเพอรโX บลาท่โี จทยXใหม< าเปOนกำลงั หนึ่ง แตTเราตอ< งการกำลังสอง เพ่อื เข<าสตู รไฮเพอรXโบลา จึงแปลงสมการน้ใี ห<อยTใู นรปู กำลังสองไดด< ังนี้ x\" y\" x\" y\" 16 − 9 = 1 → 4\" − 3\" = 1 ซ่งึ เม่ือนำไปเทยี บกบั สมการมาตรฐานของไฮเพอรXโบลา x\" y\" a\" − b\" = 1 เราจะไดค< Tา a = 4, b = 3 ใช<สตู รพธี ากอรสั เพื่อหาคาT c ไดด< งั น้ี c\" = a\" + b\" c\" = 4 \" + 3\" c\" = 25 c = 5 เมือ่ เราไดค< Tา a, b, และ c มาครบแลว< จะสามารถเขยี นรูปกราฟได<ดงั นี้ จากรปู และสมบตั ขิ องไฮเพอรXโบลา จะได< จดุ ศนู ยNกลางคอื (0,0) จุดโฟกัส คือ (±5,0) จุดยอด คอื (±4,0) ความยาวของแกนตามขวาง 2a = 8 ความยาวแกนสงั ยุค 2b = 3

16 ความยาวเสKนเลตัสเรกตมั \"^[ = \"×r[ = 4.5 \\ j ±^Z rZ สมการเสKนกำกับ y = \\ = ± j คYาเอ็คเซนตริกซติ ี (e) = c/a = 5/4 = 1.25 การเลอ่ื นแกนขนานของกราฟ การเขียนกราฟโดยการเลื่อนแกนทางขนานไปที่จุด (h, k) ที่เหมาะสม จะเขียนงTายกวTาการ เขียนกราฟในระบบพิกัดฉากที่มีจุดกำเนิดที่จุด (0, 0) โดยเปลี่ยนพิกัดจุด P(x, y) ใด ๆ ในระบบเดิมเปOน P(x’, y’) ในระบบ ใหมT โดยที่ x’ = x – h และ y’ = y – k จะทำให<สมการเทียบกับแกนใหมTมีรูปซึ่งสะดวกตTอการ เขยี นกราฟ ดังนี้ ตวั อยYางโจทยN ตัวอยาY งท่ี 1 จงเขยี นกราฟของสมการตอT ไปนี้ y = | x + 3 | + 4 วิธที ำ จากสมการ y = | x + 3 | + 4 จดั ไดเ< ปนO y – 4 = | x + 3 | และเล่ือนแกนไปท่จี ดุ (– 3, 4) ดังนนั้ จะไดส< มการเทยี บกบั แกนใหมT คือ y’ = | x’| ตัวอยYางโจทยN ตัวอยาY งที่ 2 จงเขยี นกราฟของสมการตTอไปน้ี y = xr + 3x\" + 3x + 3 วธิ ีทำ จากสมการ y = x\" + 3xr + 3x + 3 จดั ไดเ< ปนO y = (xr + 3xr + 3x + 1) + 2 y – 2 = xr + 3x\" + 3x + 1

17 y – 2 = (x + 1)r และเลื่อนแกนไปที่จดุ (–1, 2) ดงั น้นั จะได<สมการเทียบกบั แกนใหมT คอื y′ = (x′)r สมการอิงตวั แปรเสรมิ (Parametric Equations) การวาดกราฟในระนาบโดยใช สองตัวแปร x และ y ในระบบพิกัดฉาก หรือ ������ และ ������ ใน ระบบ พิกัดเชงิ ขวั้ เมือ่ กาํ หนดความสมั พนั ธ ของสองตัวแปรนั้น นน่ั คอื ������ = ������(������) เมอื่ ������ เป นฟ งก ชนั ของ ������ หรอื ������ = ������(������) เมอ่ื ������ เป นฟ งก ชนั ของ ������ จะหาความสัมพันธ ของตัวแปร x และ y ในเทอมของตัวแปรที่สามซึ่งเรียกว า ตัวแปรเสริม ปwจจุบันเทคโนโลยีด านคอมพิวเตอร ได พัฒนาโปรแกรมช วยวาดกราฟทั้งในสองมิติ และสามมิติ เป นจาํ นวนมาก และการกาํ หนดเส นโค งในระนาบ XY นิยมกําหนดเส นโค งในรปู สมการองิ ตัวแปรเสรมิ 1. โค<งระนาบและสมการองิ ตวั แปรเสริม กำหนดให<พิกัด P(x, y) เปOนจุดบนเส<นโค<ง ซึ่งกำหนดด<วยฟwงกXชัน x = f (t) และ y = g(t) แล<วสมการ x = f (t) และ y = g(t) จะถูกเรียกวTา สมการอิงตัวแปรเสริม (Parametric Equation) และ t เรียกวาT ตัวแปรเสรมิ (Parameter) ตวั อยาT งท่ี 1 จงเขียนกราฟของสมการองิ ตัวแปรเสริม x = 3 − 4t และ y = 2 + 5t ทกุ คTาของ t วธิ ีทำ จาก x = 3 − 4t ! # จะได< t = \" − \" ดังน้นั y = −2 + 5 ~rj − jZ• y = 7 −45x

18 หรือ 5x + 4y − 7 = 0 ซงึ่ มีกราฟเปOนเสน< ตรง $ \" ทุก ๆ จุด (x, y) บนเส<นตรง 5x + 4y − 7 = 0 จะมีความขันเทTากับ − และมรี ะยะตัดแกน y เทาT กบั % \" 2. อนพุ ันธXของสมการองิ ตวั แปรเสรมิ กำหนดให< x = f(t) และ y = g(t) เปOนสมการเส<นโค<งของความสัมพันธXในระนาบ xy ถ<าเส<นโคง< น้ันเปOนเสน< โค<งเรยี บ จะสามารถหาเสน< สัมผัสเส<นโคง< ณ จุดใด ๆ ได<เสมอ จาก x = f(t) และ y = g(t) อาศัยกฎลูกโซT จะได<วTา •] = •] ∙ •‚ •Z •‚ •Z = •]/•‚ •Z/•‚ ในทำนองเดยี วกัน •[] •Z[ = • ~••]Z• •Z • ~••]Z• •‚ = •‚ •Z =&'( ))*+)),-. &#' )- )*

19 ปรภิ ูมสิ ามมติ ิ (Three-Dimensional Space) ระบบพิกัดฉาก การบอกตำแหนTงของจุดในปริภูมิสามมิติทำได<จากการอ<างอิงเส<นตรงสามเส<น คือ แกน X แกน Y และ แกน Z ซง่ึ ตัดกนั ทจ่ี ุด O เรยี กวาT จดุ กำเนิด (origin) และเรียก ระนาบทผ่ี Tานแกน X และแกน Y วาT ระนาบ XY (XY-plane) ระนาบทผ่ี Tานแกน X และแกน Z วTา ระนาบXZ (XZ-plane) ระนาบทผี่ าT นแกน Y และแกน Z วาT ระนาบYZ (YZ-plane) ระนาบพกิ ัดฉากทง้ั สามจะแบงT ปริภูมิสามมิตอิ อกเปOน 8 สวT นเรียกวTาอัฐภาค (Octance) การเลือกทิศทางท่ีเปOนบวกของพิกัดฉากเรานิยมใช<กฎมือขวาโดยให<นิ้วหัวแมTมือไปทางแกน Z บวก น้ิวช้ี ไปทางแกน X บวก และน้ิวกลาง ชี้ไปทางแกน Y บวก ต้ังฉากกันเสมอ ตัวอยTางดังรูปตTอไปนี้ เราจะเลือกใช<แบบใด แบบหนงึ่ ตามความเหมาะสม

20 การบอกตำแหนTงของจุด P ในปริภูมิสามมิติมีแกนพิกัดเปOนที่อ<างอิงบอกได<โดยใช<จำนวนจริง (x, y, z) เรียกวาT พิกัดฉากของจุด P และใช< Rr แทนเซตของจุด (x, y, z) ในปริภมู ิสามมิติ จากจุด P(x, y, x) ลากขนานระนาบ XY ไปยังแกน Z จะได<จุด (0,0,z) เราเรียกจุดนีวTาภาพฉาย (projection) ของ P แกน Z จากจุด P(x, y, x) ลากขนานระนาบ YZ ไปยังแกน X จะได<จุด (x,0,0) เราเรียกจุดนี้วTาภาพฉายของ P แกน X จากจดุ P(x, y, x) ลากขนานระนาบ XZ ไปยงั แกน Y จะไดจ< ุด (0,y,0) เราเรยี กจุดนว้ี าT ภาพฉายของ P แกนY จากจุด P(x, y, x) ลากขนานแกน Z ไปท่ีระนาบ XY จะได<จุด (x,y,0) เราเรียกจุดนี้วTาภาพฉายของ P บน ระนาบ XY จากจุด P(x, y, x) ลากขนานแกน X ไปท่ีระนาบ YZ จะได<จุด (0,y,z) เราเรียกจุดนี้วTาภาพฉายของ P บน ระนาบ YZ จากจุด P(x, y, x) ลากขนานแกน Y ไปท่ีระนาบ XZ จะได<จุด (x,0,z) เราเรียกจุดน้ีวTาภาพฉายของ P บน ระนาบ XZ จดุ แกนพิกดั ทั้งสามตัดกนั ทําให เกิดระนาบพกิ ดั (Coordinate Planes) ดังน้ี ระนาบ XY (แนวนอน) เมื่อ z = 0 ระนาบ YZ (แนวต้งั ) เมื่อ x = 0 และ ระนาบ XZ (แนวตงั้ ) เมอ่ื y = 0 จดุ P(x, y, z) ในปริภมู ิ 3 มิติ เรยี กว า พกิ ัดฉาก (Rectangular Coordinates) ถ า x เป นระยะห างทีม่ ีเครื่องหมายจากระนาบ YZ y เป นระยะห างท่มี เี ครอ่ื งหมายจากระนาบ XZ และ z เป นระยะห างทม่ี เี ครอื่ งหมายจากระนาบ XY

21 ในกรณีนี้เราจะพิจารณาตําแหน งของจุด P ซึ่งเราเรียกว าจุด P(x, y, z) ซึ่งมีการ จับคู หนึ่งต อหนึ่งระหว างสามลําดับ (x, y, z) ของจํานวนจริง กับจุด P เราเรียกระบบ นี้ว า ระบบพิกัดฉาก (Rectangular Coordinate System) ใน 3 มิติ มีตําแหน งอยู ในอัฐ ภาคที่ 1 (First Octant) ซึ่งเป นหนึ่ง ในแปดของปริภูมิ 3 มิติ แกนพิกัดทั้งสามมีค าเป นบ วก จดุ P(x, y, z) ในปริภมู ิ 3 มติ ิ มีค าเปO นบวก ตวั อยาT งท่ี 1 จงแสดงขน้ั ตอนการลงจุดซ่งึ มีพิกดั เป น A(−3,4,1), B(3,2,4) และ C(2,3,4) วธิ ีทาํ พิจารณาพิกัด x, y ก อนลงจุดเหมือนกับในพิกัดฉาก 2 มิติ จากนั้นพิจารณาพิกัด z โดยให ตั้ง ฉากกับแกน X และ แกน Y เหนือขึ้นไปถ าเป นบวก ลงข างล าง เมอื่ เป นลบ A(−3,4,1), B(3,2,4) และ C(2,3,4)

22 1. ระยะทางระหว างจุดสองจดุ (Distance Between Two Points) ทฤษฎีบท ให< P:(x:, y:, z:) และ P\"(x\", y\", z\") เปนO จดุ สองจุดใด ๆ ระยะทางระหวTางจุดสองจุด เขยี นแทน ดว< ย |P:P\"| คือ |������:������\"| = ;(������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" พิสูจน สร างกล องรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากในปริภูมิ 3 มิติ ให จุด P: และจุด P\" อยู ที่มุมกล อง ทะแยงมุมกันโดยให พิกัด (x:, y:, z:) และ (x\", y\", z\") ตามลําดับ และให จุด Q มีพิกัดเป น (x:, y:, z\") และ จุด R มีพิกัดเป น (x:, y\", z\") ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม P:QP\" และรูปสามเหลี่ยมP\"QR เป นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได ว า |P:P\"|\" = |P:Q|\" + |P\"Q|\" = ˆP1Q2ˆ2 + |P2R|2 + |������������|2 = (������1 − ������2)2 + (������1 − ������2)2 + Q������1 − ������2R2 = ;(������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" ดงั น้ัน ระยะทางระหว างจดุ P: และจดุ P: คือ ;(������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" กล องรปู ทรงส่ีเหลยี่ มมมุ ฉาก ตัวอยาT งที่ 1 จงหาระยะทางระหว างจดุ สองจุด A(0, 0, 0) และจุด B(4, 3, 0)

23 วธิ ีทำ จากโจทย จะได A(x:, y:, z:) = A(0, 0, 0) และ B(x\", y\", z\") = B(4, 3, 0) โดยทฤษฎีบทจะได ว า |������������| = ;(������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" + (������: − ������\")\" |������������| = ;(0 − 4)\" + (0 − 3)\" + (0 − 0)\" |������������| = ;(−4)\" + (−3)\" + 0\" |������������| = √16 + 9 + 0 |������������| = √25 |������������| = 5 ดังนั้น ระยะห างระหว างจุด A(0, 0, 0) กับจุด B(4, 3, 0) เท ากบั 5 หน วย 2. จุดกึ่งกลางและจดุ แบ งส วนของส วนของเส นตรง ทฤษฎีบท 1 ถ<า P(x, ������, ������) เปOนจุดก่ึงกลางของสวT นของเสน< ตรงทเี่ ชือ่ มจดุ P:(x:, y:, z:) และจุด P\"(x\", y\", z\") แล<วจะไดว< าT x = x: + x\" , y = y: + y\" , z = z: + z\" 2 2 2 ทฤษฎบี ท 2 ถ<า P(x, ������, ������) แบงT สวT นของสTวนของเสน< ตรงที่เชอื่ มจุด P:(x:, y:, z:) และจดุ P\"(x\", y\", z\") ออกเปOนอตั ราสTวน ������ = Ž•••••Ž• แลว< จะไดว< Tา Ž•••Ž•[• x = x: + r(x\" − x:) y = y: + r(y\" − y) z = z: + r(z\" − z:) การพิสูจน ทฤษฎีบท 1 และ ทฤษฎีบท 2 นี้ สามารถพิสูจน ได ทํานองเดียวกับการ พิสูจน ทฤษฎีบทในเรขาคณติ วเิ คราะห ในระนาบสองมติ ิ

24 ตัวอยาT งที่ 1 จงหาจุดกึ่งกลางของส วนของเส นตรงที่เชื่อมระหว างจุด A(1, 2, 3) และB(3, −4, 1) วิธีทำ จากทฤษฎบี ท 1 จะได ว า x: + x\" x = 2 x = 1y:+2+3y=\" 2 y = 2 x = 2 + (−4) = −1 z = z: +2z\" 2 3 + 1 x = 2 = 2 ดังนัน้ จดุ ก่งึ กลางของส วนของเส นตรง คอื จดุ (2, −1,2) ตวั อยTางที่ 2 จงหาจุดแบ งส วนของส วนของเส นตรงซึ่งแบ งส วนของเส นต รงที่เช่ือมระหว าง

จุด A(1, 3, −2) และ B(7, 6, 1) ออกเปOนอตั ราสวT น 1 : 3 25 : วิธีทำ จากทฤษฎีบท 2 และ r = r จะได ว า x = ������: + r(������\" − ������:) 1 x = 1 + 3 (7 − 1) y = ������: + ������(������\" − ������:) 1 x = 3 + 3 (6 − 3) x=4 ���−���:2+31���Q���(1������−\" −(−������:2))R z = x = x = −1 ดังน้ัน จดุ แบ งส วนของส วนของเส นตรงน้ี คอื จดุ (3,4, −1) เสKนตรง ดํารง ทิพย โยธา สุรชัย สมบัติบริบูรณ และนัฏฐนาถ ไตรภพ และ Varberg, Dale, Purcell, Edwin J & Rigdon, Steven E ได กล าวว า ในหัวข อนี้ ต องการหา สมการของเส นตรงในปริภูมิ 3 มิติ โดยใช เวกเตอร ในการพิจารณา สมการเส นตรง ให L เป นเส นตรงที่ ผ านจุด P‘(x‘, y‘, z‘) และขนานกับเวกเตอร ’v⃗ = 〈a, b, c〉 ถ า P〈x, y, z〉 เป นจุดใด ๆ บนเส นตรง L จะได เวกเตอร r⃗ ซึ่งเชื่อมจุดกําเนิดกับจุด P มีส วนประกอบเป น r⃗ = 〈x, y, z〉และเวกเตอร r⃗‘ ซึ่งเชื่อมจุดกําเนิดกับจุด P‘ มสี วนประกอบเป น r⃗‘〈x0, y0, z0〉 จากนยิ ามการบวกเวกเตอร จะได ว า ���⃗��� = r⃗‘ + ���’’���’’‘’’���’⃗��� ถ า ’���’���’’‘’’���’⃗��� มที ิศทางเดยี วกบั ’v⃗ จะได ’���’���’’‘’’���’⃗��� = ���������⃗��� เม่ือ t เป นสเกลาร น่ันคือ r⃗ = r⃗‘ + ’P’’‘’’’P⃗

26 〈x, y, z〉 = 〈x‘, y‘, z‘〉 + t〈a, b, c〉 〈x, y, z〉 = 〈x‘ + at, y‘ + bt, z‘ + ct〉 เพราะฉะนน้ั 〈x, y, x〉 = x‘ + at, y = y‘ + bt, z = z‘ + ct #/#0 (/(0 3/30 หรือ 1 = 2 = 4 ดงั นนั้ 〈x, y, z〉 = 〈x‘ + at, y‘ + bt, z‘ + ct〉 เรยี กวTา สมการในรูปเวกเตอรX x = x‘ + at, y = y‘ + bt, z = z‘ + ct เรยี กวาT สมการอิงตัวแปรเสริม Z˜Z™ = ]˜]™ = š˜š™ เรียกวาT สมการสมมาตร \\ ^ › หา ตวั อยาT งท่ี 1 จงหาสมการเส นตรงที่ผ านจุ P‘(1, 2, 3) ขนานกับเวกเตอร ’v⃗(3, −4, 7) และ จดุ ทเี่ ส นตรงน้ตี ัดกบั ระนาบ XY วิธีทำ ให P(x y z) เป นจุดใด ๆ บนเส นตรง จากโจทย เส นตรงผ านจดุ P‘(1, 2, 3) และขนานกบั ’v⃗ = 〈3, −4, 7〉 จะได ว า 〈x, y, z〉 = 〈1 + 3t, 2 − 4t, 3 + 7t〉 สมการในรปู เวกเตอร หรือ x = 1 + 3t, y = 2 − 4t, z = 3 + 7t สมการอิงตัวแปรเสริม 5/6 7/8 9/! ! = /\" = % สมการสมมาตร หาจุดตัดบนระนาบ XY โดยให z = 0 แทนในสมการองิ ตวั แปรเสรมิ จะได ว า r 0 = 3 + 7t หรือ t = − • ถ า t = − r จะได x = 1 + 3 ~− •r• = − \" และ y = 2 − 4 ~− r•• = \"i • • • \" \"i ดังน้ัน จุดทเ่ี ส นตรงนต้ี ัดกับระนาบ XY คอื จดุ ~− • , • , 0• 1. ระยะทางจากจุดมายังเส<นตรง บทนิยาม ให d เป นระยะตั้งฉากจากจุด Q มายังเส นตรง L จุด P เป นจุดหนึ่งบนเส นตรง L เวกเตอร v’⃗ เปนO เวกเตอรทX ่ีขนานกบั เส<นตรง Lจะไดว< าT d = ˆP’’’’Q’⃗ + ’v⃗ˆ ’v⃗

27 พสิ จู น จาก d = ˆP’’’’Q’⃗ˆ sin θ เพราะว า ˆP’’’’Q’⃗ˆ × v’⃗ = ˆP’’’’Q’⃗ˆ sin θ |’v⃗| จะได ˆP’’’’Q’⃗ˆ sin θ = ˆ£’’’’¤’’⃗×¥’⃗ˆ |’¥⃗| ˆ’P’’’Q’⃗ˆ sin θ ใน d = ˆ���’’���’’���’⃗���ˆ sin ������ จะได ว า แทนค า d = ˆ’���’���’’���’⃗���ˆ sin ������ d = ˆ’£’’’¤’’⃗×¥’⃗ˆ |’¥⃗| ˆ’£’’’¤’’⃗×¥’⃗ˆ ดังนนั้ ระยะทางจากจุด Q มายงั เส นตรง L คือ d = |¥’⃗| ตัวอยTางที่ 1 จงหาระยะทางจากจุด (1,1,5) ไปยังเส นตรง L ∶ x = 1 + t, y = 3 − t, z = 2t วิธีทำ จากเส นตรง L จะได v’⃗ = 〈1, −1, 2〉 และจดุ Q(1, 3, 0) ให P(1, 1, 5) เป นที่ไม ได อยู บนเส นตรง L จะได ว า P’’’’Q’⃗ = 〈0, 2, −5〉 จากทฤษฎบี ท จะได ว า |〈‘,\",˜¨〉×〈:,˜:,\"〉| d = ;:[B(˜:)[B\"[ ������ = |〈6,$,8〉| √6?6?\" d = √!@ = √5 √A ดังนั้น ระยะทางจากจุด (1,1,5) ไปยังเส นตรง L ∶ x = 1 + t, y = 3 − t, z = 2t คือ 5 หน วย

28 ระนาบ การประยกุ ต ของผลคูณเชิงสเกลาร ท่ีสําคัญในทางเรขาคณติ วิเคราะห ในปรภิ ูมิ 3 มิตอิ ีกอย าง หนง่ึ กค็ ือ สามารถใช หาสมการของระนาบโดยกาํ หนดเงื่อนไข ดังนี้ จดุ หนึ่งจุดและเวกเตอร ทตี่ ้งั ฉากกบั ระนาบ หรอื จุดสามจุดบนระนาบท่ไี ม ได อยู บนระนาบเดยี วกัน บทนิยาม ถ าระนาบ S ผ านจุด P‘(x‘, y‘, z‘) จุด P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนระนาบ S และระนาบ S ตง้ั ฉากกับเวกเตอร n’⃗ = 〈a, b, c〉 แล วสมการรูปทว่ั ไปของสมการระนาบ คือ ax + by + cz + d = 0 เมื่อ a, b, c และ d เป นค าคงที่ โดยที่ a, b และ c ไม เป นศนู ย พร อมกัน พิสูจน ให จุด P‘(x‘, y‘, z‘) เป นจุดที่อยู บนระนาบ P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนระนาบ และระนาบ S ตั้งฉากกับเวกเตอร n’⃗ = 〈a, b, c〉 จากสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร จะได ว า ’n⃗ ∙ ’P’’‘’’’P⃗ = 0 〈A, b, c〉 ∙ 〈x − x‘, y − y‘, z − z‘〉 = 0 ax + by + cz − 〈ax‘ + by‘ + cz‘〉 = 0 ให d = −〈ax‘ + by‘ + cz‘〉 = 0 น่ันคอื ax + by + cz + d = 0

29 ตัวอยาT งท่ี 1 จงหาสมการระนาบ S ที่ผ านจุด (3,0,7) และต้งั ฉากกบั เวกเตอรX n’⃗ = 〈4, 2, −5〉 วธิ ีทำ ให P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนระนาบ S และ P‘(3,0,7) เป นจุด ทอี่ ยู บนระนาบ S ∴ P’’’‘’’P’⃗ = 〈x − 3, y − 0, z − 7〉 จากทฤษฎบี ท จะได ว า n’⃗ ∙ P’’’‘’’P’⃗ = 0 〈4,2, −5〉 ∙ 〈x − 3, y − 0, z − 7〉 = 0 4(������ − 3) + 2(������ − 0) − 5(������ − 7) = 0 4������ − 12 + 2������ − 0 − 5������ + 35 = 0 4������ + 2������ − 5������ + 23 = 0 ดังนัน้ สมการระนาบ S คือ 4������ + 2������ − 5������ + 23 = 0 1 มุมระหว างระนาบ บทนิยาม ให N’’’’:⃗ และ N’’’’\"⃗ เป น Normal Vector ของระนาบ S: และระนาบ S\" ตามลําดับ มุมระหว างระนาบ S: และระนาบ S\"หมายถงึ มุมระหว าง N’’’’:⃗ และ N’’’’\"⃗ โดยที cos θ = ®’’’’•⃗∙®’’’’[⃗ |®’’’’•⃗||’®’’’[⃗|

30 ตวั อยาT งที่ 1 จงหามมุ ระหว างระนาบ 5x − 2y + 5z = 12 และระนาบ 2x + y − 7z = −11 วธิ ีทำ ให N’’’’:⃗ = 〈5, −2,5〉 และ N’’’’\"⃗ = 〈2,1, −7〉 จากนยิ าม จะได ว า :‘˜\"˜r¨ cos θ = ;¨[B(˜\")[B¨[;\"[B:[B(˜•)[ cos θ = − : \" cos θ = 120° ดังน้ัน มุมระหว าง 2 ระนาบน้ี คอื ������ = 120° 2. เสน< ตรงท่เี กดิ จากการตดั กันของระนาบ ระนาบสองระนาบถ าไม ขนานกันจะต องตัดกันเสมอ และรอยตัดของทั้งสองระนาบเป นเส นตรงใน 3 มิติ ถ าให N’’’’:⃗และ N’’’’\"⃗ เป น Normal Vector จะได ว า N’’’’:⃗ × N’’’’\"⃗ จะเป นเวก เตอร ท่ีขนานกบั สมการทเี่ กิด จากการตดั กันของระนาบ ตวั อยาT งที่ 1 จงหาสมการเส นตรงที่เกิดจากการตัดกนั ของระนาบ 4x − 2y + 4z − 10 = 0 และระนาบ 3x + 6y − 2z = 0 วธิ ีทำ ให N’’’’:⃗ = 〈4, −2,4〉 และ N’’’’\"⃗ = 〈3, −6, −2〉 หาเวกเตอร ทข่ี นานกับเส นตรงนีจ้ าก ������ ̂ ������ ̂ ���´��� ∴ เวกเตอร N’’’’:⃗ × N’’’’\"⃗ = °4 − 2 4° 3−6−2 N’’’’:⃗ × N’’’’\"⃗ = 〈28, 20, −20〉 ที่ขนานกับเส นตรงนี้ คอื v’’’:⃗ = 〈28,20, −20〉 หรือv’⃗ = 〈7,5, −5〉 หาจุดบนรอยตัดของระนาบ 4x − 2y + 4z − 10 = 0 และ 3x − 6y − โดยให x = 0 จะได ว า 2z = 0

31 −2y + 4z − 10 = 0 ________________________________________(1) −6y + 2z − 2 = 0 ________________________________________(2) นาํ (1) × 3 − (2) จะได 14z = 28 14z = 2 จาก x = 0 และ z = 2 แทนใน 3x − 6y − 2z − 2 = 0 จะได 3(0) + 6y − 2(2) − 2 = 0 −6y − 6 = 0 6y = −6 6y = −1 เพราะฉะนน้ั จดุ ทอ่ี ยู บนรอยตัดของสองระนาบนี้ คอื จดุ ������‘(0, −1,2) ดงั นี้ ให P(x, y, z) เป นจุดใด ๆ บนรอยตัดของสองระนาบนี้ จะได สมการเส นตรง ’P’’‘’’’P⃗ = tv’⃗ 〈������ − 0, ������ + 1, ������ − 2〉 = t〈7,5, −5〉 〈������, ������ + 1, ������ − 2〉 = t〈7������, 5������, −5������〉 จากสมบตั ิการเท ากนั ของเวกเตอร จะได x = 7t, y + 1 = 5t, z − 2 = −5t เม่ือ −∞ ≤ t ≤ ∞ Z ]B: š˜\" หรือ • = ¨ = ˜¨ ดังน้นั สมการเส นตรงท่ีเกิดจากการตัดกนั ของระนาบ 4x − 2y + 4z − 10 = 0 Z ]B: š˜\" และ ระนาบ 3x − 6y − 2z − 2 = 0 คอื • = ¨ = ˜¨ 3. ระยะทางจากจดุ ไปยงั ระนาบ บทนยิ าม ระยะทางระหว างจุด P‘(x‘, y‘, z‘) กับระนาบ ax + by + cz + d = 0 คอื |¹º™B»¼™B½¾™B¿| ������ = √¹[B»[B½[ พิสจู น กําหนดให P‘(x‘, y‘, z‘) เป นจุดที่ไม ได อยู บนระนาบ P:(x:, y:, z:) เป นจดุ ทีอ่ ยู บนระนาบ ’N⃗ = 〈a, b, c〉 เป นเวกเตอร ที่ตั้งฉาก กับระนาบ และ D เป นระยะทางจากจุด P‘(x‘, y‘, z‘) ไปตั้งฉาก กับระนาบ จากสมบตั ขิ องภาพฉากเชงิ สเกลาร จะได

32 D = ˆ£’’’’•’’’£’’’™⃗∙’À’⃗ˆ ˆÀ’’⃗ˆ D = |〈º™˜º•,¼™˜¼•,¾™˜¾•〉 ∙ 〈¹,»,½〉| √¹[B»[B½[ |¹º™B»¼™B½¾™ 〈¹º•B»¼•B½¾•〉| D = √¹[B»[B½[ ให d = (ax: + by: + cz:) จะได ว าD = |¹º™B»¼™B½¾™B¿| √¹[B»[B½[ 14 = 0 ตัวอยTางท่ี 1 จงหาระยะตัง้ ฉากจากจุด (2, −3,1 ) กับระนาบ 2x − 3y − 6z − 14 = 0 วิธีทำ ให D เป นระยะตง้ั ฉากจากจุด (2, −3,1 ) ไปยังระนาบ 2x − 3y − 6z − จากทฤษฎีบท จะได ว า |¹º™B»¼™B½¾™B¿ | D = √¹[B»[B½[ D = |(\")(\")B(˜r)(˜r)B(˜i)(:)B(˜:j) | ;\"[B(˜r)[Bi[ |˜• | D = √jÁ D=1 ดังน้นั ระยะต้ังฉากจากจุด(2, −3,1 ) กับระนาบ 2x − 3y − 6z − 14 = 0 คอื 1 หน วย

33 4 ระยะทางระหว างระนาบท่ขี นานกนั สองระนาบ บทนิยาม ระยะทางระหว างระนาบ ax + by + cz + d: = 0 กับระนาบ ax + by + cz + d\" = 0 คอื |••˜•[| D = √\\[B^[B›[ พสิ ูจน กําหนดให ระนาบ ������:: ax + by + cz + d: = 0 และระนาบ ������\": ax + by + cz + d\" = 0 D เป นระยะตง้ั ฉากระหว างระนาบ ������: และ ˜\\Z˜^]˜¿[ ระนาบ ������\" และให จุด P = x, y, › เป นจุดทอี่ ยู บนระนาบ ������\" จากทฤษฎบี ท ระยะห าง ระหว างจดุ P ไปยงั ระนาบ ������: คอื D = B1#?2(?4+CD-CEF,C)'.?&GB √1'?2'?4' |1#?2(/1#/2(/&'?&G| D = √1'?2'?4' D = |&G/&'| √1'?2'?4' |&G/&'| ดังน้นั ระยะห างระหว างระนาบ ������:และระนาบ ������\" คือ D = √1'?2'?4'

34 ตัวอยTางที่ 1 จงหาระยะห างระหว างระนาบ 2x − 3y + 6z + 1 = 0 และระนาบ 2x − 3y + 6z + 15 = 0 วิธีทำ ให D เป นระยะตั้งฉากระหว างระนาบ 2x − 3y + 6z + 1 = 0 และระนาบ 2x − 3y + 6z + 15 = 0 จากทฤษฎบี ท จะได ว า |¿•B¿[ | D = √¹[B»[B½[ D = |:˜:¨ | ;\"[B(˜r)[Bi[ D=2 หน วย ดังนั้น ระยะห างระหว าง 2x − 3y + 6z + 1 = 0 กับ 2x − 3y + 6z + 15 = 0 คอื 2 พื้นผวิ ทรงกระบอก บทนิยาม ให C เป นเส นโค งเส นหนึ่ง และ L เป นเส นตรงเส นหนึ่ง (ซึ่งไม ได อยู บนระนาบ เดียวกับเส นโค ง) เซตของจุดที่อยู บนเส นตรงที่ขนานกับเส นต รง L และตัดเส นโค ง C เรียกว า ทรงกระบอก (Cylinder) เรียกเส นโค ง C ว าเส นบังคับ (Directrix) เรียกเส นตรงแต ละเส นที่ขนาน กับเส นตรง L และผ านเส นโค ง C ว า ตัวก อกําเนิด (Generatrix) และตัวก อกําเนิดแต ละเส น เป น สมาชกิ ของทรงกระบอก เรยี กเส นตรง L ว า แกนของทรงกระบอก ลกั ษณะของ ทรงกระบอกแต ละรปู ขึ้นอยู กับเส นบงั คับร วม และตัวก อกาํ เนิด เช น ถ าเส นบงั คับร วมเป นวงกลม วงรี พาราโบลา หรอื ไฮเพอร โบลา เราจะเรยี ก ทรงกระบอกนั้นว า ทรงกระบอกกลม ทรงกระบอกวงรี ทรงกระบอกพาราโบลคิ หรือ ทรงกระบอกไฮเพอร โบลคิ ตามลาํ ดับ เช น

35 ในที่นี้เราต องการหาสมการของทรงกระบอก กําหนดให ทรงกระบอกมีเส นบังคับ C เป นเส นโค ง ท่มี ีสมการเป น F(x, y, z) = 0 และตัวก อกาํ เนดิ ขนานกบั เวกเตอร u’⃗ = 〈a, b, c〉 ให P(x, y, z) = 0 เป นจุดใด ๆ บนทรงกระบอก จากบทนิยาม จะต องมีตัวก อกําเนิดเส นหนึ่งที่ผ านจุด P(x, y, z) = 0 ขนานกับ u’⃗ และตัดกับ เส นบังคบั C ท่ีจุด P:(x:, y:, z:) = 0 จะได ’P’’:’’’P⃗ ขนานกบั ’u⃗ เพราะฉะนั้น P’’’:’’P’⃗ = ������’u⃗ สาํ หรบั สเกลาร t บางค า เพราะว า P’’’:’’P’⃗ = 〈������ − ������:, ������ − ������:, ������ − ������:〉 จะได สมการ Z˜Z• ]˜]• š˜š• \\ = ^ = › = t ____________________________(1) เน่ืองจาก จุด P:(x:, y:, z:) เป นจุดอยู บนเส นโค ง C เพราะฉะน้ัน F(x:, y:, z:) = 0 _________________________________(2) จากสมการ (1) และ (2) เราสามารถกําจัดค าคงที่ x:, y: และ z: ได และสมการที่เหลือเป นสมการของตวั แปร x, y และ z ซ่ึงเป นสมการของทรงกระบอกตามต องการ ตวั อยาT งท่ี 1 จงหาสมการของทรงกระบอกที่มีเส นบังคับเป นเส นโค ง ][ + š[ = 1, x = 0 และ j :i ตัวก อกําเนิดขนานกับเวกเตอร u’⃗ = 〈4,1,0〉 พร อมทั้งวาด กราฟของทรงกระบอก วิธีทำ ให P(x, y, z) เป นจดุ ใด ๆ บนทรงกระบอก จะมีตัวก อกําเนิดซงึ่ ผ านจุด P(x, y, z) = 0 ตัดกับ เส นบงั คับทีจ่ ุด P:(x:, y:, z:) และขนานกบั เวกเตอร ’u⃗ = 〈4,1,0〉 จะ ได ว า 〈x − x:, y − y:, z − z:〉 = t〈4,1,0〉 x − x: = 4t x: = x − 4t หรอื y: = y − t y − y: = t z − z: = 0 z: = z ][ š[ เพราะว าจดุ P:(x:, y:, z:) อยู บนเส นโค ง j + :i = 1, x = 0 จะได ว า ][ + š[ = 1, x = 0 j :i (]˜‚)[ š[ เพราะฉะนัน้ j + :i = 1 _________________________________(1) จาก x: = x − 4t และจาก x: = 0 จะได ว า 0 = x − 4t หรอื t = Z j แทนค า Z ในสมการ (1) จะได t = j ~]˜ÅÆ•\" + ¾[ = 1 j :i

36 ~ÆÇÆÈÉ•\" + ¾[ = 1 j :i x\" + 16y\" + 4z\" − 8xy = 64 ดงั น้ัน สมการของทรงกระบอกน้คี อื x\" + 16y\" + 4z\" − 8xy = 64 สมการพ้นื ผิวกาํ ลังสอง พน้ื ผวิ กําลังสอง คอื พน้ื ผวิ ของสมการกาํ ลงั สองของสามตวั แปร , x y และ z ท่ีมี ความสัมพนั ธ กันใน รูปทั่วไป ดงั น้ี Ax\" + By\" + Cz\" + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 เมอ่ื A, B, C, D, E และ F ไม เป นศนู ย พร อมกนั และพื้นผวิ น้นั ไม เป นเซตว าง จุด เส นตรง หรือรหะนมาายบเหตุ จุด เส นตรง และระนาบ เรยี กว าภาคตัดกรวยลดรูป (Degenerate Conic) พนื้ ผิวทเ่ี กดิ จากสมการพื้นผิวกาํ ลงั สอง ทไี่ ม ใช ภาคตัดกรวยลดรูป มที ้ังหมด 9 แบบซงึ่ ขน้ึ อยู กบั ค าคงท่ี A, B, C, D, E, F, G, H, I และ J ดังน้ี 1. ทรงรี (Ellipsoid) ทรงรี คอื ผิวกําลงั สอง ทีม่ ีสมการในรปู มาตรฐาน เป นดังนี้ (x − x‘)\" (y − y‘)\" (z − z‘)\" a\" + b\" + c\" = 1 เมื่อ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ เรียกจุด (x‘, y‘, z‘) ว าจุดศูนย กลาง ของทรงรี ถ า a = b = c ทรงรมี ชี ่ือเฉพาะว า ทรงกลม (Sphere)

37 2. ทรงไฮเพอร โบลาเชงิ วงรีแบบเชื่อมโยง (Elliptic Hyperboloid of One Sheet) ทรงไฮเพอร โบลาเชิงวงรีแบบเชื่อมโยง คือ ผิวกําลังสอง ที่มีสมการในรูปมาตรฐานแบบใด แบบหน่งึ ดังต อไปน้ี (ΘZ™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ \\[ + ^[ − ›[ = 1 (Z˜Z™)[ − (]˜]™)[ + (š˜š™)[ = 1 \\[ ^[ ›[ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ − \\[ + ^[ + ›[ = 1 เม่ือ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจรงิ ใด ๆ 3. ทรงไฮเพอร โบลาเชงิ วงรีแบบไม เช่อื มโยง (Elliptic Hyperboloid of Two Sheet)

38 ทรงไฮเพอร โบลาเชิงวงรีแบบไม เชื่อมโยง คือ ผิวกําลังสอง ที่มีสมการในรูปมาตรฐาน แบบ ใดแบบหนึ่งดงั ต อไปนี้ (ΘZ™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ \\[ + ^[ − ›[ = −1 (Z˜Z™)[ − (]˜]™)[ + (š˜š™)[ = −1 \\[ ^[ ›[ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ − \\[ + ^[ + ›[ = −1 เมื่อ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจรงิ ใด ๆ 4. ทรงพาราโบลาเชิงวงรี (Elliptic Paraboloid) ทรงพาราโบลาเชงิ วงรี คอื ผิวกาํ ลังสองที่มสี มการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหน่ึง ดงั ต อไปน้ี (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ \\[ ^[ + = ±c(z − z‘) (Z˜Z™)[ − (š˜š™)[ = ±b(y − y‘) \\[ ^[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ \\[ + ^[ = ±a(x − x‘) เมอื่ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจาํ นวนจริงใด ๆ

39 5. ทรงพาราโบลาเชงิ ไฮเพอร โบลา (Hyperbolic Paraboloid) ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร โบลา คือ ผวิ กาํ ลงั สอง ท่มี ีสมการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบ หนง่ึ ดังต อไปน้ี (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ \\[ − ^[ = ±c(z − z‘) (Z˜Z™)[ − (š˜š™)[ = ±b(y − y‘) \\[ ^[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ \\[ − ^[ = ±a(x − x‘) เมอ่ื x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ 6. กรวยเชงิ วงรี (Elliptic Cone) กรวยเชิงวงรี คอื ผวิ กําลังสองท่มี สี มการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหนึง่ ดงั ต อไปนี้ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ \\[ + ^[ = ›[ (]˜]™)[ + (š˜š™)[ = (Z˜Z™)[ ^[ ›[ \\[ (š˜š™)[ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ ›[ + \\[ = ^[

40 เมื่อ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ 7. ทรงกระบอกเชิงพาราโบลา (Parabolic Cylinder) ทรงกระบอกเชิงพาราโบลา คือ ผิวกําลังสองทมี่ สี มการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหน่งึ ดังต อไปนี้ (x − x‘)\" = ±4c(y − y‘) (x − x‘)\" = ±4c(z − z‘) (y − y‘)\" = ±4c(x − x‘) (y − y‘)\" = ±4c(z − z‘) (z − z‘)\" = ±4c(x − x‘) (z − z‘)\" = ±4c(y − y‘) เมื่อ x‘, y‘, z‘ และ c เป นจาํ นวนจริงใด ๆ 8 ทรงกระบอกเชิงวงรี (Elliptic Cylinder)

41 ทรงกระบอกวงรี คอื ผวิ กําลงั สองทม่ี สี มการในรูปมาตรฐานแบบใดแบบหนึง่ ดงั ต อไปนี้ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ \\[ − ^[ = 1 (Z˜Z™)[ − (š˜š™)[ = 1 \\[ ›[ (]˜]™)[ (š˜š™)[ ^[ − ›[ = 1 เม่ือ x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจํานวนจริงใด ๆ 9. ทรงกระบอกเชงิ ไฮเพอร โบลา (Hyperbolic Cylinder) ทรงกระบอกเชงิ ไฮเพอร โบลา คอื ผิวกําลงั สองทม่ี ีสมการในรปู มาตรฐานแบบใดแบบหน่งึ ดังต อไปนี้ (Z˜Z™)[ (]˜]™)[ \\[ − ^[ = ±1 (]˜]™)[ − (š˜š™)[ = ±1 ^[ ›[ (š˜š™)[ (Z˜Z™)[ ›[ + \\[ = ±1 เมอ่ื x‘, y‘, z‘, a, b และ c เป นจาํ นวนจริงใด ๆ

42