แคลคลู สั 49 มอี ีกวธิ ี ทจี่ ะใช้บอกได้วา่ จดุ วกกลบั เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ โดยการดู “เครื่องหมาย” ของ ������′(������) ดงั นี ้ ������′(������) เป็นลบ ������′(������) เป็นบวก จดุ วกกลบั แบบสงู สดุ ฟังก์ชนั ลด ฟังก์ชนั เพ่ิม กราฟขาลง กราฟขาขนึ ้ ������′(������) เป็นบวก ������′(������) เป็นลบ ฟังก์ชนั เพิ่ม ฟังก์ชนั ลด จดุ วกกลบั แบบตา่ สดุ กราฟขาขนึ ้ กราฟขาลง สรุป ������′(������) เปลยี่ นจาก ลบ เป็น บวก → จดุ ตา่ สดุ ������′(������) เปลยี่ นจาก บวก เป็น ลบ → จดุ ต่าสดุ โดยเราจะใช้เส้นจานวนมาพจิ ารณาเครื่องหมายของ ������′(������) เหมือนกบั ตอนท่แี ก้อสมการ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้ ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ หรือจดุ ตา่ สดุ ของ ������(������) = ������3 + 3������2 − 9������ + 5 วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = 3������2 + 6������ − 9 (������ + 3)(������ − 1) +− + −3 1 สงู สดุ ท่ี ������ = −3 ขนึ ้ ลง ขนึ ้ ������(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − 9(−3) + 5 = 32 ต่าสดุ ที่ ������ = 1 ������(1) = 13 + 3(1) − 9(1) + 5 = 0 ดงั นนั้ จดุ สงู สดุ คือ (−3 , 32) และจดุ ตา่ สดุ คอื (1 , 0) # นอกจากนี ้เรายงั สามารถใช้ ������′′(������) มาชว่ ยได้ด้วย จะเหน็ วา่ ������′(������) เปลย่ี นจาก ลบ เป็น บวก แสดงวา่ ������′(������) เพิ่มขนึ ้ → จะได้ ������′′(������) เป็นบวก แตถ่ ้า ������′(������) เปลยี่ นจาก บวก เป็น ลบ แสดงวา่ ������′(������) ลดลง → จะได้ ������′′(������) เป็นลบ สรุป ถ้าจดุ วกกลบั ทไี่ ด้ ทาให้ ������′′(������) > 0 แปลวา่ จดุ นนั่ เป็นจดุ ตา่ สดุ แตถ่ ้า ทาให้ ������′′(������) < 0 แปลวา่ จดุ นน่ั เป็นจดุ สงู สดุ และถ้าทาให้ ������′′(������) = 0 จะยงั ไมร่ ู้วา่ เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ ต้องพจิ ารณาเครื่องหมายแบบเก่า ตวั อยา่ ง จากตวั อยา่ งท่ีแล้ว จงใช้ ������′′(������) ในการพิจารณาจดุ วกกลบั (−3 , 32) และ (1 , 1) ของ ������(������) วา่ จดุ ใดเป็น จดุ สงู สดุ และจดุ ใดเป็นจดุ ต่าสดุ วธิ ีทา จาก ������′(������) = 3������2 + 6������ − 9 → ดิฟตอ่ ไปอกี ที จะได้ ������′′(������) = 6������ + 6 ที่ ������ = −3 จะได้ ������′′(−3) = 6(−3) + 6 = −12 เป็นลบ ดงั นนั ้ (−3 , 32) เป็นจดุ สงู สดุ ที่ ������ = 1 จะได้ ������′′(1) = 6(1) + 6 = 12 เป็นบวก ดงั นนั้ (1 , 1) เป็นจดุ ตา่ สดุ # ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ หรือจดุ ตา่ สดุ ของ ������(������) = 4 − 4������ − ������2 โดยใช้ ������′′(������) วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = −4 − 2������ จดุ สงู สดุ หรือจดุ ตา่ สดุ จะเป็นจดุ ท่ี ������′(������) = 0 ดงั นนั้ ต้องแก้สมการ −4 − 2������ = 0 − 2������ = 4 ������ = −2
50 แคลคลู สั หาคา่ ������(������) ที่ ������ = −2 จะได้ ������(−2) = 4 − 4(−2) − (−2)2 = 8 # ดงั นนั้ จดุ วกกลบั คอื (−2 , 8) ตอ่ ไปจะหาวา่ จดุ (−2 , 8) เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ โดยใช้ ������′′(������) # ดิ๊ฟ ������′(������) ตอ่ ไปอกี ที จะได้ ������′′(������) = −2 จะเห็นวา่ ������′′(������) เป็นลบ โดยไมข่ นึ ้ กบั คา่ ������ ดงั นนั้ (−2 , 8) เป็นจดุ สงู สดุ โดยโจทย์ในเรื่องนี ้จะถามได้ 2 แบบ คอื “จดุ ” กบั “คา่ ” → ถ้าโจทย์ถาม “จดุ ” สงู สดุ (หรือต่าสดุ ) ให้ตอบเป็นคอู่ นั ดบั (������, ������) → ถ้าโจทย์ถาม “คา่ ” สงู สดุ (หรือตา่ สดุ ) ให้ตอบคา่ ������(������) ตวั อยา่ ง จงหาคา่ สงู สดุ หรือคา่ ตา่ สดุ ของ ������(������) = 3������4 − 8������3 − 6������2 + 24������ + 8 วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = 12������3 − 24������2 − 12������ + 24 ลง ขนึ ้ ลง ขนึ ้ −+ −+ = 12(������3 − 2������2 − ������ + 2) = 12(������2(������ − 2) − (������ − 2)) = 12(������ − 2)(������2 − 1) = 12(������ − 2)(������ − 1)(������ + 1) −1 1 2 ดงั นนั้ จดุ ต่าสดุ เกิดท่ี ������ = −1 กบั 2 และจดุ สงู สดุ เกิดท่ี ������ = 1 ������ = −1 จะได้ ������(−1) = 3(−1)4 − 8(−1)3 − 6(−1)2 + 24(−1) + 8 = −11 ������ = 1 จะได้ ������(1) = 3(1)4 − 8(1)3 − 6(1)2 + 24(1) + 8 = 21 ������ = 2 จะได้ ������(2) = 3(2)4 − 8(2)3 − 6(2)2 + 24(2) + 8 = 16 ดงั นนั ้ “จดุ ” ตา่ สดุ คอื (−1, −11) และ (2, 16) “จดุ ” สงู สดุ คือ (1, 21) จะได้ “คา่ ” ตา่ สดุ คือ −11 และ 16 “คา่ ” สงู สดุ คอื 21 จากตวั อยา่ งที่แล้ว ถ้าลองวาดกราฟของ ������(������) = 3������4 − 8������3 − 6������2 + 24������ + 8 ดู จะได้ดงั รูป ดงั นนั้ คาตอบท่ไี ด้วา่ (1, 21) เป็นจดุ สงู สดุ กบั (2, 16) เป็นจดุ ตา่ สดุ นนั้ ไมจ่ ริงซะทเี ดยี ว จดุ พวกนี ้แคส่ งู หรือตา่ กวา่ จดุ ข้างๆเทา่ นนั้ แตไ่ มใ่ ชจ่ ดุ สงู ทีส่ ดุ หรือตา่ ที่สดุ อยา่ งแท้จริง จดุ ทส่ี งู (หรือตา่ ) กวา่ จดุ ข้างๆ จะเรียกวา่ จดุ สงู สดุ (หรือตา่ สดุ ) สมั พทั ธ์ จดุ สมั บรู ณ์ จะเป็นสมั พทั ธ์ด้วย จดุ ท่ีสงู (หรือตา่ ) ท่สี ดุ อยา่ งแท้จริง จะเรียกวา่ จดุ สงู สดุ (หรือตา่ สดุ ) สมั บรู ณ์ เพราะถ้าจะเป็นทีส่ ดุ จริงๆได้ ก็ ต้องชนะจดุ ข้างๆอยแู่ ล้ว ดงั นนั้ (1, 21) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ และ (2, 16) กบั (−1, 11) เป็นจดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ (−1, 11) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ และ ������(������) ไมม่ จี ดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ (เพราะกราฟพงุ่ ขนึ ้ อยา่ งไมม่ ขี อบเขต)
แคลคลู สั 51 ปกตเิ รามกั จะไมค่ อ่ ยชอบจดุ แบบสมั พทั ธ์เทา่ ไหร่ เพราะมนั ไมเ่ ป็นทส่ี ดุ จริงๆ ในกรณีทีโ่ จทย์ให้หาจดุ แบบสมั บรู ณ์ เราจะต้องหาจดุ แบบสมั พทั ธ์ออกมากอ่ น แล้วคอ่ ยคดั เลอื กจดุ สมั บรู ณ์ออกมา โดย จดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ จะหาได้จากจดุ ทสี่ งู ทีส่ ดุ ในบรรดาจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ และจดุ ขอบ จดุ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ จะหาได้จากจดุ ทตี่ ่าท่ีสดุ ในบรรดาจดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ และจดุ ขอบ ในเรื่องนี ้โจทย์มกั จะกาหนดขอบเขตของคา่ ������ มาให้ (แตถ่ ้าไมไ่ ด้กาหนดขอบเขตมา จะใช้ ������ → ∞ กบั ������ → −∞) ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ และจดุ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ ของ ������(������) = 2������3 − 3������2 + 5 เม่อื ������ ∈ [−2, 3] วิธีทา หาจดุ สงู สดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ กอ่ น ������′(������) = 6������2 − 6������ = 0 จดุ สมั พทั ธ์ จดุ ขอบ ������2 − ������ = 0 ������(������ − 1) = 0 ������ = 0 , 1 ดงั นนั้ คา่ ������ ที่ “ต้องสงสยั ” วา่ จะทาให้เกิดคา่ สงู สดุ หรือตา่ สดุ สมั บรู ณ์ คอื 0 , 1 , −2 , 3 แทนคา่ ������ ท่ตี ้องสงสยั เพื่อหา ������(������) มาเทียบกนั ������ = 0: จะได้ ������(0) = 2(0)3 − 3(0)2 + 5 = 5 ������ = 1: จะได้ ������(1) = 2(1)3 − 3(1)2 + 5 = 4 ������ = −2: จะได้ ������(−2) = 2(−2)3 − 3(−2)2 + 5 = −23 ������ = 3: จะได้ ������(3) = 2(3)3 − 3(3)2 + 5 = 32 ดงั นนั้ จดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ คอื (3 , 32) และจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ คือ (−2, −23) # สง่ิ ที่สร้างปัญหาให้กบั นกั เรียนสว่ นใหญ่ในเรื่องนี ้กค็ อื “โจทย์ปัญหา” โดยโจทย์จะสร้างเรื่องราวและเงอื่ นไขตา่ งๆมาให้ แล้วให้เราหาคา่ สงู สดุ หรือต่าสดุ ของปริมาณทต่ี ้องการ โดยขนั้ ตอนการทาคร่าวๆ จะเป็นดงั นี ้ 1. ให้ปริมาณท่โี จทย์ต้องการหาคา่ สงู สดุ หรือตา่ สดุ เป็น ������(������) 2. สมมตุ ิให้ตวั แปร ������ แทนปริมาณซกั อยา่ ง ทม่ี ผี ลตอ่ ������(������) 3. ลยุ อา่ นโจทยใ์ หม่ เขียนปริมาณอน่ื ๆทม่ี ผี ลตอ่ ������(������) ให้อยใู่ นเทอมของ ������ 4. เขียนสมการของ ������(������) ในเทอมของ ������ 5. ใช้ความรู้ในเรื่องอนพุ นั ธ์ เพอื่ หาคา่ สงู สดุ หรือตา่ สดุ “สมั บรู ณ์” ของ ������(������) ขนั้ ตอนท่ียากทส่ี ดุ คอื ขนั้ ท่ี 3 เพราะเราต้องทาทกุ อยา่ งให้อยใู่ นเทอมของ ������ ซงึ่ ถ้าสมมตติ วั แปร ������ ในขนั้ ท่ี 2 ไว้ไมด่ ี ก็จะลาบากในขนั้ ที่ 3 ตวั อยา่ ง มลี วดยาว 20 เมตร นามาล้อมเป็นสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากได้พนื ้ ที่มากทส่ี ดุ เทา่ กบั เทา่ ไร วิธีทา ขนั้ ท่ี 1 โจทย์ต้องการหา “พนื ้ ท”ี่ มากสดุ ดงั นนั้ เราจะให้ ������(������) แทนพนื ้ ที่ของสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากท่ีล้อมได้ ขนั้ ท่ี 2 ให้ ������ แทน “ด้านยาว” ของสเ่ี หลยี่ ม เราต้องเขยี น ������(������) ในเทอมของ ������ ขนั้ ที่ 3 หา “ด้านกว้าง” ในเทอมของ ������ ด้านยาวมี 2 ด้าน ดงั นนั้ เสยี ลวดไปกบั ด้านยาว = 2������
52 แคลคลู สั # เหลอื ลวดสาหรับด้านกว้างที่เหลอื = 20 − 2������ แตด่ ้านกว้างมี 2 ด้าน ดงั นนั ้ จะได้วา่ ด้านกว้าง = 20−2������ = 10 − ������ 2 ขนั ้ ที่ 4 จากสตู ร พนื ้ ทส่ี เ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก = กว้าง × ยาว ดงั นนั ้ ������(������) = ������(10 − ������) = 10������ − ������2 ขนั้ ที่ 5 หาคา่ สงู สดุ ต่าสดุ ของ ������(������) ให้ ������′(������) = 10 − 2������ = 0 จะได้ ������ = 5 แทนใน ������(������) จะได้ ������(5) = 5(10 − 5) = 25 และสดุ ท้าย ������′′(������) = −2 เป็นลบ แปลวา่ ได้คา่ สงู สดุ ดงั นนั้ ต้องล้อมให้สเี่ หลย่ี มยาว 5 เมตร จงึ จะได้พนื ้ ทีม่ ากที่สดุ คอื 25 ตารางเมตร แบบฝึกหดั 1. จงหาจดุ สงู สดุ / ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ ของฟังก์ชนั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = ������3 + 3������2 − 9������ + 15 2. ������(������) = (������ + 1)(3 − ������) 2. จงหาคา่ สงู สดุ / ต่าสดุ สมั บรู ณ์ ของฟังก์ชนั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = ������2 + 4������ − 4 เม่อื ������ ∈ [−4, 2]
แคลคลู สั 53 2. ������(������) = 10 + 12������ + 3������2 − 2������3 เมอ่ื ������ ∈ [0, ∞] 3. ถ้าเส้นโค้ง ������ = ������(������) มีความชนั ของเส้นสมั ผสั ท่ีจดุ (������, ������) เทา่ กบั ������ − 2 และ ������(������) มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั 5 แล้ว จงหาคา่ ของ ������(2) 4. มีลวดยาว 12 เมตร ต้องการล้อมท่ดี นิ ริมแมน่ า้ ให้เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก โดยล้อมแค่ 3 ด้าน เว้นด้านท่ีตดิ ริมแมน่ า้ ไมต่ ้องล้อม จงหาวา่ จะล้อมได้พนื ้ ทีม่ ากท่ีสดุ เทา่ ไร
54 แคลคลู สั มีลวดยาว 20 เมตร ต้องการล้อมทีด่ นิ รูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผ้า โดยแบง่ เป็น 4 ช่องตามรูป จะ สามารถล้อมได้พนื ้ ทมี่ ากท่ีสดุ เทา่ ไร 5. 6. โรงงานผลติ ต๊กุ ตาแหง่ หนง่ึ มตี ้นทนุ ในการผลติ ต๊กุ ตา ������ ตวั โรงงงานจะต้องเสยี คา่ ใช้จา่ ย ������3 − 450������2 + 60,200������ + 10,000 บาท ถ้าขายต๊กุ ตาราคาตวั ละ 200 บาท โรงงานจะต้องผลติ ต๊กุ ตากต่ี วั จึงจะได้กาไรมากทสี่ ดุ [PAT 1 (ก.ค. 53)/36] 7. กาหนดให้ ℝ เป็นเซตของจานวนจริง ให้ ������ : ℝ → ℝ และ ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ทมี่ ีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั และ สอดคล้องกบั ������(������) = ������������(������) และ ������′(������) = 4������3 + 9������2 + 2 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ม.ี ค. 59)/28] 1. คา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของ ������ เทา่ กบั 6 2. คา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ของ ������ เทา่ กบั 2 3. อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ (������ + ������)(������) เทยี บกบั ������ ขณะท่ี ������ = 1 เทา่ กบั 12
แคลคลู สั 55 8. ให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และกาหนดให้ ������(������) = ������������ + ������ เมือ่ ������ ≠ 0 โดยที่ ������ = ������(������) เป็นเส้นโค้งท่สี มั ผสั ������ กบั เส้นตรง ������ = 1 ทจี่ ดุ (1, 1) ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (พ.ย. 57)/7] 1. ������ มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ที่ ������ = −1 2. lim (������ ∘ ������)(������) = ������(2������2 + 2������2) x 1 9. กาหนดให้ ������(������) = 4������3 เมอ่ื ������ เป็นจานวนจริงบวกใดๆ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง ������6−3������3+64 [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/19] 1. ������ เป็นฟังก์ชนั เพิ่มบนชว่ ง (0, 3) 2. คา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของ ������ เทา่ กบั 4 13
56 แคลคลู สั ปฏยิ านพุ นั ธ์ เร่ืองนจี ้ ะเป็นกระบวนการท่ี ตรงข้ามกบั การดฟ๊ิ “ปฏิยานพุ นั ธ์ของ ������(������)” เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ∫ ������(������) ������������ หมายถงึ ฟังก์ชนั ที่ดฟิ๊ แล้วได้ ������(������) คาวา่ “ปฏยิ านพุ นั ธ์” บางทเี รียกวา่ “ปริพนั ธ์” หรือ “อนิ ทกิ รัล” หรือ “อินทิเกรต” ก็ได้ ด๊ฟิ ดฟิ๊ ดฟ๊ิ ∫ ������(������) ������������ ������(������) ������′(������) ������′′(������) ปฏิยานพุ นั ธ์ อนพุ นั ธ์ อนพุ นั ธ์อนั ดบั สอง อนิ ทิเกรต อนิ ทิเกรต อนิ ทเิ กรต หมายเหต:ุ เรานิยมใช้สญั ลกั ษณ์ ������(������) แทน ปฏิยานพุ นั ธ์ของ ������(������) ตวั อยา่ งเช่น ถ้าเราต้องการหา ∫ 2������ − 3 ������������ เราจะต้องหาวา่ อะไรท่ีด๊ิฟแล้วได้ 2������ − 3 จะได้คาตอบคือ ������2 − 3������ นนั่ เอง อยา่ งไรกต็ าม นอกจาก ������2 − 3������ แล้ว จะเหน็ วา่ ������2 − 3������ + 1 ก็ด๊ิฟแล้วได้ 2������ − 3 เหมอื นกนั ������2 − 3������ + 2 ก็ด้วย ������2 − 3������ − 8 ก็ได้ เพราะสว่ นทเ่ี ป็นตวั เลข ไมว่ า่ จะเป็นเลขอะไร ด๊ิฟแล้วก็หายไปเหมอื นกนั ดงั นนั้ จะได้ผลการอินทเิ กรต ∫ 2������ − 3 ������������ เทา่ กบั ������2 − 3������ + ������ เม่ือ ������ เป็นตวั เลขคงทใี่ ดๆนน่ั เอง สตู รสาหรับอินทิเกรตท่คี วรจาได้แก่ ∫ ������������������ ������������ = ������ ������������+1 + ������ ������+1 โดยเรามกั จะทอ่ งวา่ เพิ่มกาลงั เพมิ่ ขนึ ้ หนง่ึ แล้วเอากาลงั ลงมาหาร เช่น ∫ 8������3 ������������ = 8 ������4 + ������ = 2������4 + ������ ∫ 6������ ������������ = 6 ������2 + ������ = 3������2 + ������ 4 2 ∫ 2 ������������ = 2������ + ������ ∫ 3������ − 3 ������������ = 3 ������− 1 = −6������− 1 + ������ 2 2 2 1 − 2 เราสามารถกระจายอินทเิ กรตในการบวกลบได้ แตห่ ้ามกระจายในการคณู หาร เชน่ ∫ ������2 − 4������ + 2 ������������ = ������3 − 2������2 + 2������ + ������ 3 (������2 + ������ + ������) (������2 − 3������ + ������) แต่ ∫(������ + 1)(2������ − 3) ������������ ≠ 2 ถ้าจะหา ∫(������ + 1)(2������ − 3) ������������ ต้องกระจายเป็น ∫ 2������2 − ������ − 3 ������������ กอ่ น และจะเห็นวา่ เราต้องติด ������ ในผลลพั ธ์การอินทเิ กรตเสมอ เพราะไมว่ า่ ������ เป็นตวั เลขอะไร มนั จะหายไปเม่อื ถกู ดฟ๊ิ แตส่ ว่ นใหญ่ โจทย์มกั จะบอกข้อมลู บางอยา่ งเพ่ิมเตมิ เพื่อให้หาคา่ ������ ได้ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������′(������) = 2������ + 1 ถ้า ������(1) = 5 จงหา ������(������) วธิ ีทา วธิ ีทาคือ เราจะอินทิเกรต ������′(������) กลบั ไปให้กลายเป็น ������(������) นนั่ คือจะได้ ������(������) = ∫ 2������ + 1 ������������ = ������2 + ������ + ������
แคลคลู สั 57 แตโ่ จทย์บอกวา่ ������(1) = 5 แปลวา่ 12 + 1 + ������ = 5 # ดงั นนั ้ ������ = 5 − 1 − 1 = 3 นนั่ คือจะได้ ������(������) = ������2 + ������ + 3 แบบฝึกหดั 2. ∫ 2������3 + 6������2 − 3������ + 5 ������������ 1. จงหาคา่ ของอนิ ทิกรัลตอ่ ไปนี ้ 1. ∫ 4������ − 3 ������������ 3. ∫ √������ ������������ 4. ∫ 1 ������������ 5. ∫(������ + 1)(������ − 1) ������������ √������ 6. ∫ ������2+2������ ������������ ������ 2. กาหนดให้ ������′(������) = 6������2 − 1 ถ้า ������(−1) = 0 แล้ว จงหา ������(1) 3. กาหนดให้ ������′′(������) = 6������ + 2 ถ้า ������′(0) = 1 และ ������(1) = 0 แล้ว จงหา ������(0)
58 แคลคลู สั 4. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจานวนจริง โดยท่อี ตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ������(������) เทยี บกบั ������ เทา่ กบั ������������3 + ������������ เมือ่ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และให้ ������(������) = (������3 + 2������)������(������) ถ้า ������′(1) = 18 , ������′′(0) = 6 และ ������(2) = ������(1) + ������(0) แล้วคา่ ของ ������′(−1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/39] 5. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ ������′′(������) = 3 + 6������ สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และ ความชนั ของเส้นสมั ผสั โค้ง ������ = ������(������) ณ จดุ (2, 22) เทา่ กบั 20 แล้วคา่ ของ lim ������(������) เทา่ กบั เทา่ ใด x4 [PAT 1 (มี.ค. 57)/42] 6. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี ������′(������) = 3√������ + 5 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และ ������(1) = 5 แล้วคา่ ของ lim ������(������2)−2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/38] ������(������) x4
แคลคลู สั 59 7. กาหนดให้ ������ = ������(������) เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ มคี า่ สงู สดุ ที่ ������ = 1 ถ้า ������′′(������) = −4 ทกุ ������ และ ������(−1) + ������(3) = 0 แล้ว ������ มีคา่ สงู สดุ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-19] 8. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี ������′′(������) = 6������ + 4 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และความชนั ของเส้นสมั ผสั โค้ง ������ = ������(������) ที่จดุ (2, 19) เทา่ กบั 19 แล้ว คา่ ของ ������(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/39] 9. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามทมี่ ี ������′′(������) = ������������ + ������ เมื่อ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้า ������(0) = 2 และกราฟ ของ ������ มีจดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ที่ (1, −5) แล้ว 2������ + 3������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/19]
60 แคลคลู สั 10. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ท่ีนิยามบนช่วง (0, ∞) โดยท่ี ������(2) = 2������(1) และ ������ ′ (������) = 27������ − 1 ������2 ถ้า L เป็นเส้นสมั ผสั กราฟของ ������ = ������(������) ทจี่ ดุ (1, ������(1)) แล้ว จดุ ในข้อใดตอ่ ไปนอี ้ ยบู่ น L [A-NET 51/1-19] 1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96) 11. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้ ������ : R → R เป็นฟังก์ชนั ทม่ี ีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั โดยที่ ������′′(������) = 2������ + 1 และ ������′(2) = 2 สมการของเส้นตรงทต่ี งั้ ฉากกบั เส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ท่ีจดุ (1, 3) คือข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 55)/16] 1. ������ = − 1 ������ + 2 2. ������ = 1 ������ + 5 2 22 3. ������ = − 1 ������ + 5 4. ������ = 1 ������ + 2 22 2
แคลคลู สั 61 12. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามกาลงั สาม ซง่ึ นิยามบนชว่ ง [−2, 2] โดยที่ ������(0) = 1, ������(1) = 0 และ ������ มคี า่ ตา่ สดุ ที่ ������ = 1, มีคา่ สงู สดุ ท่ี ������ = −1 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู บ้าง [A-NET 51/1-20] 1. ������(−2) ≤ ������(������) ทกุ ������ ∈ [−2, 2] 2. ������(2) ≥ ������(������) ทกุ ������ ∈ [−2, 2] 13. กาหนดให้ ℎ(������) = ������(������)������(������) โดยทคี่ วามชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ที่จดุ (������, ������) เทา่ กบั 2 − 2������ และเส้นโค้ง ������ = ������(������) มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ เทา่ กบั 5 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั พหนุ าม ซง่ึ มีสมบตั ิ ������(2) = ������′(2) = 5 แล้ว ℎ′(2) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/38]
62 แคลคลู สั 14. กาหนดให้ ������(������) เป็นพหนุ ามโดยท่ี ������(0) = 1 และสอดคล้องกบั lim 3ℎ������+2ℎ = 1 ������(������+ℎ+2)+������(ℎ+2)−������(������+2)−������(2) h0 คา่ ของ ������(12) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/39] 15. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 1. (������������)(������) = 2������ + 3 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ 2. ฟังก์ชนั ������ และ ������ มีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั สาหรับทกุ จานวนจริง ������ 3. ฟังก์ชนั ������ มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั 2 ที่ ������ = 1 4. ������′′(������) = 2 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ ฟังก์ชนั ������ มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/37]
แคลคลู สั 63 อินทิกรัลจากดั เขต ในกรณีท่ีมตี วั เลขปิดหวั ปิดท้ายเครื่องหมายอินทกิ รัล เชน่ 3 3������ + 5 ������������ (อา่ นวา่ อินทติ เกรต 3������ + 5 ตงั ้ แต่ 1 ถึง 3) 1 อินทิกรัลแบบท่ีมตี วั เลขปิดหวั ท้ายแบบนี ้จะเรียกวา่ อินทกิ รัลแบบ “จากดั เขต” (ถ้าไมม่ ตี วั เลขปิดหวั ท้ายแบบหวั ข้อกอ่ นหน้านี ้จะเรียกกวา่ อินทิกรัลแบบ “ไมจ่ ากดั เขต”) 3 วิธีหา 3������ + 5 ������������ คอื ให้หา ∫ 3������ + 5 ������������ ออกมาก่อน หลงั จากนนั ้ “แทน ������ = 3” ลบด้วย “แทน ������ = 1” 1 ตวั อยา่ ง จงหา 3 4������ ������������ 2 วิธีทา หา ∫ 4������ ������������ ออกมากอ่ น ได้ 2������2 + ������ จากนนั ้ “แทน ������ = 3” ลบด้วย “แทน ������ = −2” นนั่ คอื 3 4������ ������������ = [2(3)2 + ������] − [2(−2)2 + ������] 2 = (18 + ������) − (8 + ������) = 10 # ถ้าสงั เกตดีๆ อินทิกรัลแบบจากดั เขต ตอนท่ีแทนคา่ หวั ท้ายมาลบกนั จะพบวา่ คา่ ������ จะตดั กนั เองหายไปหมดเสมอ ดงั นนั้ ในการอนิ ทิกรัลแบบจากดั เขต เราไมต่ ้องมี ������ ตอนอนิ ทเิ กรตเลยก็ได้ โดยประโยค “แทน ������ = ������ ลบด้วย แทน ������ = ������” สามารถใช้สญั ลกั ษณ์ ������ แทนได้ | ������ เชน่ 2 1 + 2������ ������������ 2 แทน ������ = 2 ลบด้วย แทน ������ = 1 ������2 = ������−2 + 2������ ������������ 1 1 2 = −������−1 + ������2 | 1 = [−2−1 + 22] − [−(−1)−1 + (−1)2] = 7−2 =3 # 2 2 สมบตั ทิ ่สี าคญั ของการอินทิกลั แบบจากดั เขต คือ เราสามารถแบง่ ช่วงอินทเิ กรตเป็นหลายชว่ งได้ตามใจชอบ ตราบใดท่ี ������(������) ตอ่ เนอ่ื งตรงจดุ ท่จี ะแบง่ 2 02 เชน่ ������(������) ������������ จะแบง่ เป็น ������(������) ������������ + ������(������) ������������ ก็ได้ 1 1 0 12 หรือจะแบง่ เป็น ������(������) ������������ + ������(������) ������������ ก็ได้ 1 1 0 12 หรือจะแบง่ เป็น ������(������) ������������ + ������(������) ������������ + ������(������) ������������ ก็ได้ 1 0 1 หรือจะไมแ่ บง่ ก็ได้ → ทกุ แบบ จะได้คาตอบเทา่ กนั (เมอื่ กาหนดให้ ������(������) ตอ่ เนอื่ ง) และในกรณีท่ี ������(������) แบง่ เป็นหลายสตู รตามเง่ือนไขตา่ งๆ จะต้องแบง่ อินทเิ กรตตามช่วงเง่ือนไขของสตู ร
64 แคลคลู สั ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = {3������42���+��� 1 , ������ ≥ 1 จงหา 3 ������(������) ������������ , ������ < 1 2 วิธีทา จะเห็นวา่ lim ������(������) = lim ������(������) = ������(1) = 4 → ������(������) ตอ่ เนอ่ื งที่ ������ = 1 x 1 x 1 ดงั นนั้ ข้อนจี ้ ะแบง่ อินทเิ กรตตรงจดุ ������ = 1 เพอ่ื ให้เลอื กใช้สตู รได้ ดงั นี ้ 3 13 ������(������) ������������ = ������(������) ������������ + ������(������) ������������ 2 2 1 13 = 4������ ������������ + 3������2 + 1 ������������ 2 1 = 2������2 | 1 + ������3 + ������ 3 | −2 1 = 2 − 8 + (27 + 3) − (1 + 1) = 22 # แบบฝึกหดั 2 1. จงหาคา่ ของอินทิกรัลตอ่ ไปนี ้ 2. ������2 − 1 ������������ 3 1 1. 2������ + 1 ������������ 1 3. 4 2 + 1 ������������ 4. 1 ������2+2 ������������ ������2 0 √������ 1 2. กาหนดให้ ������′(������) = ������2 + 2������ + 1 จงหา 2 ������′′(������) ������������ 1 3 3. กาหนดให้ ������′(������) = 2������ − 4 ถ้า ������(0) = 1 จงหา ������(������) ������������ 0
แคลคลู สั 65 4. ถ้า ������′(������) = 3������2 + ������ − 5 และ ������(0) = 1 แล้ว 1 ������(������) ������������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/32] 1 5. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยท่ี ������(2������ − 1) = 4������2 − 10������ + ������ 4 เม่อื ������ เป็นจานวนจริง และ ������(0) = 12 คา่ ของ ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/41] 1 6. ให้ ������ และ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยที่ ������ ′(������ ) = 2������4−������ เมอ่ื ������ ≠ 0 ������3 2 ������(������) = (1 + ������2)������(������) และ ������(1) = 2 คา่ ของ ������3������′′(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/40] 1
66 แคลคลู สั ������3 , ������ < −1 7. กาหนดให้ฟังก์ชนั ������(������) = { ������������ + ������ , −1 ≤ ������ < 1 เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง 3������2 + 2 , ������ ≥ 1 ถ้าฟังก์ชนั ������ ตอ่ เนื่อง สาหรับทกุ จานวนจริง ������ แล้วคา่ 2 ������(������)������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/34] 2 8. กาหนดให้ ������ : R → R ������′′(������) = 0 ทกุ ๆจานวนจริง ถ้า ������(0) = 23 และ ������(1) = 103 แล้ว จงหาคา่ ของ 1 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/38] ������(������) ������������ 0 9. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง และ ������, ������ เป็นจานวนจริง และให้ ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ทนี่ ยิ ามโดย ������(������) = ������ + ������������ + ������3 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ ถ้าเส้นตรง 5������ − ������ + 13 = 0 สมั ผสั กราฟของ ������ ที่ ������ = 1 2 แล้ว ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/41] 0
แคลคลู สั 67 10. กาหนดให้ ������(������) = ������2 + ������������ + ������ เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง 2 ถ้า ������(1) = 2 และ (������ ∘ ������)(0) = 10 แล้วคา่ ของ ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/38] 1 2 11. ถ้า |������2 − 7������ + 6| ������������ = ������ เมอื่ ������ และ ������ เป็นจานวนเต็มที่ ������ ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ ������ และ ������ เทา่ กบั 1 2 ������ แล้วคา่ ของ ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/18] 12. คา่ ของ 2 ������3+������2+������ ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 59)/34] ������|������+2|−������2−2 4
68 แคลคลู สั 13. กาหนดให้ ������(������) เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามกาลงั สอง ถ้าความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ทจ่ี ดุ (1, 2) มีคา่ เทา่ กบั 4 และ 2 ������(������) ������������ = 12 แล้ว ������(−1) + ������′′(−1) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/37] 1 14. ถ้า ������ ′(������) = ������2 −1 และ 1 ������(������) ������������ =0 แล้ว |������(1)| มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-17] 0 15. กาหนดให้ ������(������) = 4������3 + ������������2 + ������������ + ������ เมอื่ ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจริง โดยที่ 2 ������(������) ������������ = − 64 2 3 ถ้า ������(������) เป็นพหนุ ามซงึ่ ������′(������) = ������(������) และ ������′(1) = ������′(0) = ������(0) = 0 แล้ว ������′′(������) = ������′(������) + ������(������) ตรงกบั สมการในข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/19] 1. ������4 − 4������3 + 12������2 − 6������ = 0 2. ������4 − 8������3 − 12������2 − 6������ = 0 3. 3������4 − 16������3 + 48������2 − 24������ = 0 4. 3������4 + 8������3 − 48������2 + 24������ = 0
แคลคลู สั 69 16. กาหนดให้ ������(������) = ������3 + ������������ + ������ เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้าอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของ ������(������) เทยี บ 1 กบั ������ เมอ่ื คา่ ของ ������ เปลย่ี นจาก −1 เป็น 1 เทา่ กบั −2 และ ������(������) ������������ = 2 1 แล้วคา่ ของ lim ������(3+ℎ)−������(3−ℎ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 59)/40] ℎ h0 b 17. กาหนดให้ ������ > 1 และ ������−1 ������������ = 4 คา่ ของ 1 + ������ + ������2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/18] 1 ������+√������ 18. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������ : R → R และ ������ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ ������(������) = 2������ + 3 และ (������ ∘ ������)(������) = 8������3 + 44������2 + 80������ + 48 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ แล้วคา่ ของ ∫06 ������(������(������)) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/37]
70 แคลคลู สั 19. กาหนดให้เส้นโค้ง ������ = ������(������) สมั ผสั กบั เส้นตรง 2������ − ������ + 3 = 0 ทจ่ี ดุ (0, 3) และ 2 ������′′(������) ������������ = −3 0 ถ้า ������(������) = √������ + 2 ������(������) และ ������′(2) = 0 แล้ว ������(2) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/43] x 20. กาหนดให้ ������(������) เป็นพหนุ ามทส่ี อดคล้องกบั ������(������2 + 3) = 3������4 + 24������2 + 40 และให้ ������(������) = ������(������) ������������ 0 คา่ ของ lim √������(������) − ������(������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/38] x2
แคลคลู สั 71 21. กาหนดให้ ������(������) เป็นพหนุ ามกาลงั สอง โดยท่ี ������(0) = 1 และ ������(������ + 1) = ������(������ − 1) + ������ + 1 สาหรับ 1 จานวนจริง ������ ใดๆ คา่ ของ ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/20] 2 22. กาหนดให้ ������(������) = a (������2 − 1) ������������ สาหรับ ������ ∈ [0, ∞) a ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นจริง เมอ่ื เอกภพสมั พทั ธ์คอื ชว่ ง [0, ∞) [A-NET 51/1-2] 1. ∀������[������(������) > 0] 2. ∀������[(������(������) = 0) → (������ = 0)] 3. ∃������[(������ > 2) ∧ (������(������) < 0)] 4. ∃������[(������ ≠ 0) ∧ (������(������) = 0)]
72 แคลคลู สั 23. กาหนดให้ ������(������) = ������3 + ������������ + ������ เม่อื ������ และ ������ เป็นจานวนจริงทแ่ี ตกตา่ งกนั และให้ L1 และ L2 เป็นเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ท่ี ������ = ������ และ ������ = ������ ตามลาดบั ถ้า L1 ขนานกบั L2 และ lim 9ℎ = 1 ������(1+ℎ)−������(1) h0 2 แล้วคา่ ของ ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/39] 0 24. กาหนดให้ ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ เป็นพหนุ ามกาลงั สอง เม่ือ ������, ������, ������ เป็นจานวนจริง และ ������ ≠ 0 โดยที่ ������(1) = 0 และ ������ มคี า่ สงู สดุ ที่ ������ = 1 3 ให้ ������(������, ������) = ������(������) ������������ โดยท่ี ������(0, ������) = ������(1, ������) + 1 สาหรับจานวนจริง ������ > 1 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (เม.ย. 57)/19] 1. ������(1,2) = ������(2,3) + 10 2. อนพุ นั ธ์ของ ������(������) เทา่ กบั −3������2−2������−2 ������2 ������3
แคลคลู สั 73 พนื ้ ที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง พนื ้ ทที่ ี่อยรู่ ะหวา่ งกราฟ ������(������) กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = ������ ถึง ������ = ������ จะเทา่ กบั b ������(������) ������������ a b พนื ้ ท่สี ว่ นทีแ่ รเงา = ������(������) ������������ a ������ ������ b สง่ิ ทีต่ ้องระวงั ก็คอื ถ้าพนื ้ ทีท่ แ่ี รเงาอยใู่ ต้แกน X เราจะได้ ������(������) ������������ เป็นคา่ ตดิ ลบ a แตพ่ นื ้ ท่ี เป็นคา่ ตดิ ลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ เราต้องกลบั เครื่องหมายให้เป็นบวกก่อนตอบด้วย ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี ปี่ ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = ������2 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = 1 ถึง ������ = 3 13 3 วธิ ีทา พนื ้ ท่ีสว่ นที่แรเงา จะเทา่ กบั ������2 ������������ 1 จะได้ 3 = 1 ������3 |13 = [13 (3)3] − [31 (1)3] = 9 − 1 = 26 3 3 3 ������2 ������������ 1 ดงั นนั้ พนื ้ ที่ทแี่ รเงา เทา่ กบั 26 # 3 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี ีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = −������2 − 1 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = 1 ถึง ������ = 3 13 วิธีทา ทาเหมือนเดิม แตเ่ นอื่ งจากพนื ้ ทอ่ี ยใู่ ต้แกน X ดงั นนั้ คาตอบจะออกมาเป็นเลขตดิ ลบ จะได้ 3 −������2 − 1 ������������ = − 1 ������3 − ������ |31 = [− 1 (3)3 − 3] − [− 1 (1)3 − 1] 3 33 1 = (−12) − (− 4) = − 32 33 ก่อนตอบ ให้เปลย่ี นคา่ ที่ได้ ให้เป็นบวกกอ่ น ดงั นนั้ จะได้พนื ้ ทีใ่ ต้กราฟเทา่ กบั 32 # 3
74 แคลคลู สั กรณีทีส่ ร้างความลาบากให้เรามากที่สดุ คอื กรณีทม่ี ีบางสว่ นอยเู่ หนอื แกน X และบางสว่ นอยใู่ ต้แกน X ������ ������ ������ จากรูป ถ้าโจทย์ถามพนื ้ ทสี่ ว่ นทแ่ี รเงา เราจะอนิ ทเิ กรต รวดเดียวตงั้ แต่ ������ ถึง ������ เลย ไมไ่ ด้ เพราะพนื ้ ทเี่ หนือแกน (เป็นบวก) กบั ใต้แกน (เป็นลบ) จะหกั ล้างกนั ทาให้คา่ ท่ีได้น้อยกวา่ คาตอบทโ่ี จทย์ต้องการ วธิ ีทาโจทย์ประเภทนี ้จะต้องแยกอินทเิ กรต โดยอินทิเกรตจาก ������ ถึง ������ หนง่ึ ครัง้ และอินทิเกรตจาก ������ ถึง ������ อีกหนง่ึ ครัง้ ถ้า อนั ไหนได้คา่ ตดิ ลบ ให้เปลย่ี นเป็นบวกก่อน แล้วเอาผลการอนิ ทิเกรตทีเ่ ปลย่ี นเป็นบวกแล้ว มารวมกนั ท่ยี ากกค็ อื ปกติโจทย์มกั จะไมใ่ ห้รูปกราฟมา ทาให้เราต้องหาจดุ ������ เอาเอง จะเห็นวา่ จดุ ������ ก็คอื จดุ ท่กี ราฟตดั แกน X ซง่ึ วธิ ีหาคือ ให้แก้สมการ ������(������) = 0 โดยอาศยั การแยกตวั ประกอบ หรือใช้สตู ร ������ = −������±√������2−4������������ 2������ ดงั นนั้ สง่ิ ท่ีต้องทาเป็นอนั ดบั แรกในการทาโจทย์เรื่องนคี ้ อื ต้องแก้สมการ ������(������) = 0 เพื่อหาจดุ ที่กราฟตดั แกน X ก่อน ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ที่ท่ปี ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������(������) = ������2 − 1 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3 วธิ ีทา ก่อนอ่ืน หาวา่ กราฟตดั แกน X ทีไ่ หนบ้าง โดยการแก้สมการ ������2 − 1 = 0 (������ − 1)(������ + 1) = 0 ������ = −1 , 1 ดงั นนั้ กราฟตดั แกน X ท่ี ������ = −1 และ ������ = 1 เน่อื งจากเราต้องการหาพนื ้ ท่ีตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3 จงึ ต้องแบง่ อินทเิ กรตตรงจดุ ������ = 1 1 ������2 − 1 ������������ = 1 ������3 − ������ |10 = [31 (1)3 − 1] − [31 (0)3 − 0] = − 2 → ทาให้เป็นบวก ได้ 2 3 3 3 0 3 ������2 − 1 ������������ = 1 ������3 − ������ |13 = [1 (3)3 − 3] − [1 (1)3 − 1] = 20 3 3 33 1 ดงั นนั ้ จะได้พนื ้ ที่ คอื 2 + 20 = 22 # 33 3 อยา่ งไรกต็ าม มขี ้อสงั เกตจากตวั อยา่ งข้อทีผ่ า่ นมาดงั นี ้ ถ้าโจทยต์ ้องการหาพนื ้ ทตี่ งั้ แต่ ������ = −5 ถึง ������ = 3 คราวนตี ้ ้องแบง่ อนิ ทเิ กรตตรง ������ = −1 ด้วย 1 1 3 นนั่ คือ ต้องอนิ ทเิ กรต 3 เทย่ี ว คือ , และ 5 1 1 5 ถ้าโจทยต์ ้องการหาพนื ้ ทตี่ งั้ แต่ ������ = 2 ถึง ������ = 5 แบบนอี ้ นิ ทเิ กรตรวดเดยี ว ได้เลย 2 เพราะจาก ������ = 2 ถึง ������ = 5 ไมม่ จี ดุ ตดั แกน X ถ้าโจทยใ์ ห้หา “พนื ้ ทรี่ ะหวา่ ง ������(������) กบั แกน X” เฉยๆ โดยไมบ่ อกวา่ จะเอาพืน้ ทต่ี งั้ แต่ ������ เป็นเทา่ ไหร่ถงึ เทา่ ไหร่ แบบนใี ้ ห้หาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั แกน X ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทก่ี ราฟตดั แกน X เช่นในตวั อยา่ งข้อทผี่ า่ นมา ก็ต้องหาตงั้ แต่ ������ = −1 ถงึ ������ = 1
แคลคลู สั 75 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทีท่ ป่ี ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = ������2 − ������ + 2 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = −1 ถงึ ������ = 1 วธิ ีทา หาจดุ ตดั แกน X ก่อนโดยแก้สมการ ������2 − ������ + 2 = 0 จะเหน็ วา่ สมการนี ้แยกตวั ประกอบไมอ่ อก ถ้าลองใช้สตู ร ������ = −������±√������2−4������������ = −(−1)±√(−1)2−4(1)(2) จะพบวา่ หาคา่ ไมไ่ ด้ เพราะในรูทตดิ ลบ 2������ 2(1) นนั่ คือ สมการนี ้ไมม่ ีคาตอบ → แปลวา่ กราฟนี ้ไมต่ ดั แกน X ดงั นนั้ อินทเกรตรวดเดียว ตงั้ แต่ −1 ถงึ 1 ได้เลย 1 = 1 ������3 − 1 ������2 + 2������ |−11 ดงั นนั ้ พนื ้ ที่ = ������2 − ������ + 2 ������������ 3 2 1 = [1 (1)3 − 1 (1)2 + 2(1)] − [1 (−1)3 − 1 (−1)2 + 2(−1)] = 14 # 32 32 3 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี ่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������(������) = 4������3 − 4������ และแกน X วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ก่อน โดยแก้สมการ 4������3 − 4������ = 0 4������(������2 − 1) = 0 4������(������ − 1)(������ + 1) = 0 ������ = −1 , 0 , 1 ข้อนี ้โจทย์ไมไ่ ด้บอกวา่ จะเอาพนื ้ ทตี่ งั้ แตต่ รงไหนถึงตรงไหน ในกรณีนี ้ให้หาตงั้ แต่จดุ แรกทก่ี ราฟตดั แกน X ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทกี่ ราฟตดั แกน X นน่ั คอื ตงั้ แต่ ������ = −1 ถึง ������ = 1 แตร่ ะหวา่ งทาง กราฟตดั แกน X ที่ ������ = 0 จงึ ต้องแบง่ อนิ ทิเกรตด้วย 0 = ������4 − 2������2 |0−1 = [(0)4 − 2(0)2] − [(−1)4 − 2(−1)2] = 1 4������3 − 4������ ������������ 1 1 4������3 − 4������ ������������ = ������4 − 2������2 |01 = [(1)4 − 2(1)2] − [(0)4 − 2(0)2] = −1 → ทาให้เป็นบวก ได้ 1 0 ดงั นนั้ พนื ้ ท่ี = 1 + 1 = 2 # 1 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ √1 − ������2 ������������ 1 วิธีทา ข้อนี ้อินทิเกรตตรงๆไมไ่ ด้ เพราะเรากระจาย ∫ เข้าไปในรูทไมไ่ ด้ ข้อนี ้ต้องทากลบั กนั คอื แทนทจ่ี ะใช้การอนิ ทเิ กรตเพ่ือหาพนื ้ ที่ เราต้องใช้พนื ้ ที่ มาหาคา่ อนิ ทิเกรตแทน จะเห็นวา่ 1 √1 − ������2 ������������ ก็คอื พนื ้ ท่ที ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = √1 − ������2 ตงั้ แต่ ������ = −1 ถงึ ������ = 1 นนั่ เอง 1 วาดกราฟ ������ = √1 − ������2 ได้ดงั รูป ������2 = 1 − ������2 ; ������ ≥ 0 ������2 + ������2 = 1 ; ������ ≥ 0 −1 1 จะเห็นวา่ 1 √1 − ������2 ������������ ก็คือพนื ้ ทีค่ รึ่งวงกลมที่มรี ัศมี 1 นน่ั เอง 1 ดงั นนั้ 1 = 1 × ������(1)2 = ������ # √1 − ������2 ������������ 1 2 2
76 แคลคลู สั 2. ������(������) = 2������ − 4 ตงั ้ แต่ ������ = 1 ถงึ 3 แบบฝึกหดั 1. จงหาพนื ้ ทท่ี ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งตอ่ ไปนี ้กบั แกน X 1. ������(������) = ������ + 1 ตงั ้ แต่ ������ = 2 ถึง 4 3. ������(������) = 6������2 − 6������ − 12 ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถงึ 3 4. ������(������) = ������2 + 1 ตงั ้ แต่ ������ = −1 ถงึ 2 5. ������(������) = ������2 − 1 6. ������(������) = 3������3 − 9������2 + 6������
แคลคลู สั 77 2. จงหาคา่ ของ 2 √4 − ������2 ������������ 2 3. พนื ้ ท่ีของบริเวณท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = ������3 − 2������2 + 2������ และแกน X จาก ������ = 0 ถงึ ������ = 4 เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-22] 4. กาหนดให้ ������(������) = {������ + 3 เม่อื ������ < −1 เมอ่ื ������ ≥ −1 −2������3 พนื ้ ท่ีทป่ี ิดล้อมด้วยกราฟของ ������ บนชว่ ง [−4, 0] มีคา่ เทา่ ใด [A-NET 51/2-10] 5. กาหนดให้ กราฟของ ������ = ������(������) มีความชนั ที่จดุ (������, ������) ใดๆ เป็น 2������ + 2 และ ������ มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั −3 พนื ้ ที่ของอาณาบริเวณท่ปี ิดล้อมด้วยกราฟของ ������ = ������(������) แกน X เส้นตรง ������ = −1 และเส้นตรง ������ = 0 เทา่ กบั กี่ตารางหนว่ ย [A-NET 49/1-19]
78 แคลคลู สั 6. ให้ L เป็นเส้นตรงทผี่ า่ นจดุ (0, 10) และมีความชนั มากกวา่ −1 แตน่ ้อยกวา่ 0 ถ้าพนื ้ ท่ขี องอาณาบริเวณทถี่ กู ปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กบั แกน ������ จาก ������ = 0 ถึง ������ = 6 มีคา่ เทา่ กบั 51 ตารางหนว่ ย แล้ว จงหาพนื ้ ท่ขี องอาณาบริเวณทถี่ กู ปิดล้อมด้วยเส้นตร L กบั แกน ������ จาก ������ = 0 ถึง ������ = 3 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/39] 7. กาหนดให้ ������ แทนพนื ้ ที่ของอาณาบริเวณท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = 1 − ������2 และแกน X ������ แทนพนื ้ ที่ของอาณาบริเวณทใ่ี ต้เส้นโค้ง ������ = ������2 เหนอื แกน X จาก ������ = −������ ถึง ������ = ������ 4 คา่ ของ ������ ท่ีทาให้ ������ = ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/32] 8. กาหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ C( 1 , √3 ) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ ม ABC 22 ถ้ากราฟของ ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ ผา่ นจดุ A(0, 0), B(1, 0) โดยท่ี AC และ BC เป็นเส้นสมั ผสั กราฟของ ������ ทีจ่ ดุ A(0, 0), B(1, 0) ตามลาดบั แล้วพน่ื ทที่ ่ปี ิดล้อมด้วยกราฟของ ������ และเส้นตรง AB มคี า่ เทา่ ใด [PAT 1 (ธ.ค. 54)/18]
แคลคลู สั 79 พนื ้ ท่ีระหวา่ งเส้นโค้ง # ทผี่ า่ นมา เป็นการหาพนื ้ ทร่ี ะหวา่ งเส้นโค้งเส้นหนง่ึ กบั แกน X นอกจากนี ้การอนิ ทเิ กรต ยงั สามารถใช้หาพนื ้ ทรี่ ะหวา่ งเส้นโค้งสองเส้นได้ด้วย b พนื ้ ทีร่ ะหวา่ งเส้นโค้ง ������(������) กบั ������(������) ตงั ้ แต่ ������ = ������ ถึง ������ = ������ จะหาได้จากสตู ร ������(������) − ������(������) ������������ a ������ = ������(������) ������ = ������(������) b พนื ้ ที่สว่ นที่แรเงา = ������(������) − ������(������) ������������ a ������ ������ ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี อี่ ยรู่ ะหวา่ งเส้นโค้ง ������ = ������3 + 1 และ ������ = ������2 ตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 2 ดงั รูป ������ = ������3 + 1 ������ = ������2 2 2 = 1 ������4 + ������ − 1 ������3 2 | วิธีทา พนื ้ ทร่ี ะหวา่ งโค้ง = ������3 + 1 − ������2 ������������ 43 0 0 = [1 (2)4 + 2 − 1 (2)3] − [1 (0)4 + 0 − 1 (0)3] = 10 4 34 3 3 อยา่ งไรก็ตาม การใช้สตู ร b ������(������) − ������(������) ������������ มีสง่ิ ท่ีต้องระวงั คอื a บริเวณท่ี ������(������) อยเู่ หนือ ������(������) ผลอนิ ทเิ กรตจะเป็นบวก บริเวณท่ี ������(������) อยู่ ใต้ ������(������) ผลอนิ ทเิ กรตจะเป็นลบ เนือ่ งจาก พนื ้ ทีเ่ ป็นลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ก่อนตอบต้องเปลย่ี นเครื่องหมายเป็นบวกด้วย ปัญหาจะเกิดเมอ่ื บางสว่ น ������(������) อยเู่ หนือ ������(������) และบางสว่ น ������(������) อยใู่ ต้ ������(������) ดงั รูปตอ่ ไปนี ้ ������(������) ������ ������ ������ ������(������) cb เวลาหาพนื ้ ทที่ ี่แรเงาในรูปข้างบน จะต้องแยกอินทิเกรต หนงึ่ เที่ยว และ อกี หนง่ึ เทย่ี ว ac โดยถ้าอนั ไหนเป็นลบกเ็ ปลย่ี นให้เป็นบวกกอ่ น แล้วคอ่ ยเอามารวมกนั อยา่ งไรก็ตาม ปกติโจทยก์ ็จะไมใ่ จดบี อกจดุ ������ มาให้ จะเห็นวา่ จดุ ������ ก็คอื จดุ ที่ ������(������) ตดั กบั ������(������) นน่ั เอง วิธีหาจดุ ตดั ของ ������(������) กบั ������(������) ก็คือให้แก้สมการ ������(������) = ������(������)
80 แคลคลู สั ดงั นนั้ สง่ิ ทต่ี ้องทาเป็นอนั ดบั แรกในการทาโจทยเ์ รื่องนคี ้ อื ต้องแก้สมการ ������(������) = ������(������) เพ่ือหาจดุ ตดั กราฟกอ่ น ถ้าแก้สมการ ������(������) = ������(������) แล้วไมม่ คี าตอบ แสดงวา่ ������(������) กบั ������(������) ไมต่ ดั กนั นนั่ เอง และสดุ ท้าย ถ้าโจทย์ไมบ่ อกวา่ ต้องการพนื ้ ทตี่ งั้ แต่ ������ เป็นเทา่ ไหร่ถงึ เทา่ ไหร่ ก็ให้หาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั กนั ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทก่ี ราฟตดั กนั ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทร่ี ะหวา่ ง ������ = ������2 และ ������ = ������ ตงั ้ แต่ ������ = −1 ถึง ������ = 1 วธิ ีทา ก่อนอน่ื หาจดุ ตดั กนั ของสองกราฟนกี ้ ่อน โดยแก้สมการ ������2 = ������ ������2 − ������ = 0 ������(������ − 1) = 0 ������ = 0 , 1 จะเหน็ วา่ จาก ������ = −1 ถงึ ������ = 1 ต้องผา่ นจดุ ตดั กราฟที่ ������ = 0 ดงั นนั้ ต้องแยกกินทเิ กรตท่ี ������ = 0 0 = 1 ������3 − 1 ������2 |0−1 3 2 ������2 − ������ ������������ 1 = [13 (0)3 − 1 (0)2] − [13 (−1)3 − 1 (−1)2] = 5 2 2 6 1 = 1 ������3 − 1 ������2 |01 3 2 ������2 − ������ ������������ 0 = [31 (1)3 − 1 (1)2] − [31 (0)3 − 1 (0)2] = −1 → เปลย่ี นเป็นบวก ได้ 1 2 2 6 6 ดงั นนั้ พนื ้ ทท่ี งั้ หมด คอื 5 + 1 = 1 # 66 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ที่ระหวา่ ง ������ = √������ และ ������ = ������ √������ = ������ วิธีทา หาจดุ ตดั กนั ของสองกราฟนกี ้ ่อน โดยแก้สมการ ������ = ������2 0 = ������2 − ������ 0 = ������(������ − 1) อยา่ ลืมตรวจ คาตอบด้วย ! ������ = 0 , 1 ข้อนโี ้ จทย์ไมไ่ ด้บอกวา่ ให้หาพนื ้ ทตี่ งั้ แตต่ รงไหนถงึ ตรงไหน ดงั นนั้ ต้องหาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั กนั ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทกี่ ราฟตดั กนั นน่ั คอื ตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 1 จะได้ พนื ้ ที่ = 1 = 2 3 − 1 ������ 2 |01 2 √������ − ������ ������������ 3 ������2 0 = [2 3 − 1 (1)2] − [2 3 − 1 (0)2] = 1 # (1)2 (0)2 32 32 6 แบบฝึกหดั 1. จงหาพนื ้ ที่ระหวา่ ง ������ = ������ − 2 และ ������ = 2 − ������ ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3
แคลคลู สั 81 2. จงหาพนื ้ ทีร่ ะหวา่ ง ������ = 3������2 + 2 และ ������ = 1 − ������ ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 2 3. จงหาพนื ้ ทีร่ ะหวา่ ง ������ = 2������2 − ������ − 4 และ ������ = ������2 + ������ − 1 ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3 4. จงหาพนื ้ ที่ระหวา่ ง ������ = ������2 − 1 และ ������ = 1 − ������2
82 แคลคลู สั 5. จงหาคา่ ������ > 0 ที่เป็นไปได้ทงั้ หมด ท่ที าให้พนื ้ ท่ขี องบริเวณทปี่ ิดล้อมโดยกราฟของพาราโบลา ������ = ������ − ������������2 และ ������ = ������2 มคี า่ มากสดุ ������
แคลคลู สั 83 ลมิ ติ ของฟังก์ชนั 1. 1. 6 2. −1 3. หาไมไ่ ด้ 4. − 1 5. หาไมไ่ ด้ 6. −5 2 7. 3 ������2−√������ = (√������)4 − √������ = √������((√������)3−1) = √������(√������−1)((√������)2+√������+1) = √������((√������)2 + √������ + 1) √������−1 √������−1 √������−1 √������−1 ดงั นนั้ lim ������2−√������ = √1((√1)2 + √1 + 1) = 1(3) = 3 √������−1 x 1 2. 1 3. 6 4. 3 5. 330 ลมิ ติ ทางซ้าย – ลมิ ติ ทางขวา 1. 3 2. หาไมไ่ ด้ 3. −2 4. หาไมไ่ ด้ 5. 32 6. หาไมไ่ ด้ 7. −1 8. 3 9. 0 10. − 1 11. 12 12. 9 13. 2 2 การหาลมิ ติ จากกราฟ 1. 1 , 1 , 1 , 1 2. หาไมไ่ ด้ , 4 , 4 , 4 3. 3 , 1 , 3 , หาไมไ่ ด้ 4. 1 , หาไมไ่ ด้ , หาไมไ่ ด้ , หาไมไ่ ด้ ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั 1. ตอ่ เนอื่ ง / ตอ่ เน่อื ง 6. ������ = 2, ������ = −1 2. ตอ่ เนื่อง / ไมต่ อ่ เนอ่ื ง 8. 8 3. ตอ่ เนอ่ื ง / ตอ่ เนอ่ื ง 10. 18 4. ตอ่ เนอื่ ง / ไมต่ อ่ เนือ่ ง 12. −10 5. 1 14. 8 7. 2, 4 16. √7 − 2 9. 24 11. 0.125 13. 53 15. 15 อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี 1. 1. 2 2. 1 3. 8 4. 2������ + 1 5 อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ 1. 1. −4 2. −6 2. 1. 4 2. 12
84 แคลคลู สั อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั 1. 1. 2������ + 2 2. 12������3 − 2������ + 1 3. −1 + 2������ − 3������2 4. 1 5. 3√������ − 1 2√������ 2 6. 3√������ − 1 7. − 3 2 √������ 2������2√������ 2. 1. 4������ − 3 3. − 2������ 4. 2 3. 6 2. 6������2 − 6������ + 2 (������2+2)2 (������+1)2 5 4. 3 5. 88 6. 5 9 3 7. 6 8. 4 9. 12 10. 1, 2 11. 1.5 12. 16 13. 3 กฎลกู โซ่ 5 1. 1. 100(2������3 + 1)99(6������2) 2. − 2������+2 (������2+2������−5)2 3. 2������+3 2√������2+3������ 4. (2������2 + 4������ − 3)(2������ + 2) 2. 1. 2������3 2. 2������ √������4+3 4. 2 3. 1 5. 1.5 6. 1 2 3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั แฝง 1. 1. 3 2. 8 3. 5 อนพุ นั ธ์อนั ดบั สงู 3 4 1. 6������ + 2 2. − 6 3. 105 4. 120 5. 1 ������4 3 6. 35 ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง 1. 7, 8 2. 12 3. 4 กฎของโลปิตาล 1. 1. 2 2. −6 3. หาไมไ่ ด้ 4. −3 2. 5 3. 634 ความชนั เส้นโค้ง 1. 1. −2 2. 1 2. ������ = −2������ + 2 4 6. 1 15 3. ������ = 4������ + 2 4. 8√82 5. 4 8. 3 7. 2
แคลคลู สั 85 ฟังก์ชนั เพ่ิม – ฟังก์ชนั ลด 1. 1. เพ่ิม 2. ลด 3. เพม่ิ 4. เพ่มิ 2. 1. (3, ∞) 3. 3 2. (−∞, 1) ∪ (3, ∞) 4. 1, 3 คา่ สงู สดุ ตา่ สดุ 1. 1. สงู สดุ (−3, 42) / ต่าสดุ (1, 10) 2. สงู สดุ (1, 4) 2. 1. สงู สดุ (2, 8) / ต่าสดุ (−2, −8) 2. สงู สดุ (2, 30) / ไมม่ จี ดุ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ 3. 5 4. 18 5. 10 6. 0 7. 1, 2 8. 1, 2 9. 2 ปฏยิ านพุ นั ธ์ 1. 1. 2������2 − 3������ + ������ 2. ������4 + 2������3 − 3������2 + 5������ + ������ 3. 2������√������ + ������ 22 3 4. 2√������ + ������ 5. ������3 − ������ + ������ 6. ������2 + 2������ + ������ 2. 2 32 5. 100 6. 6 3. −3 4. 354 9. 42 10. 2 13. 10 14. 157 7. 8 8. 7 11. 2 12. 1, 2 15. 2.25 อนิ ทิกรัลจากดั เขต 1. 1. 10 2. 0 3. 12 4. −2 2. 5 3. −6 4. 7 5. 34.5 6. 132 7. 9.25 9. 38 10. 12 11. 104 3 13. 18 14. 0.25 15. 4 17. 91 18. 990 19. 8 8. 63 21. 3 22. 4 23. 4 12. 3 16. 48 20. 3 24. 1 พนื ้ ทีท่ ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 1. 1. 8 2. 2 3. 31 4. 6 5. 4 6. 3 5. 8 4. 3 3 2 8. √3 3 2. 2������ 3. 37.33 6 6. 27.75 7. 2
86 แคลคลู สั พนื ้ ทีร่ ะหวา่ งเส้นโค้ง 1. 5 2. 12 3. 9 4. 8 3 5. 1 หาจดุ ตดั ของทงั ้ สองกราฟก่อน โดยการแก้สมการ ������ − ������������2 = ������2 → ������ − (������ + 1) ������2 = 0 ������ ������ → ������ (1 − (������2+1) ������) = 0 ได้ ������ = 0 หรือ 1 − (������2+1) ������ = 0 → ������ ������ ������ = 0 , ������ ������2+1 ดงั นนั้ พท ใต้กราฟ เอาสองเส้นมาลบกนั แล้วอินทเิ กรต ตงั้ แต่ ถึง ������ = 0 ������2+1 สองเส้นลบกนั ได้ ������ − ������������2 − ������2 → อนิ ทิเกรตได้ ������2 − ������������3 − ������3 แล้วแทน ������ = ������ ลบด้วยแทน ������ =0 ������2+1 (������2���+��� 1)2 ������ 2 3 3������ (������2���+��� 1)3 (������2���+��� 1)3 (������2���+��� 1)2 (������2���+��� 1)3 (������2���+��� 1)2 ได้ พท = 1 − ������ − 1 = 1 − 1 (������2+1) = (21 − 31) 2 3 3������ 2 3 2 ������ = 1 (������2���+��� 1)2 = 1 (������+1 ���1���) = 1 → มากสดุ เมอื่ ������2 + 1 น้อยสดุ 6 6 6(������2+������12+2) ������2 ดฟิ ได้ 2������ − 2 =0 → ������4 = 1 → ������ = ±1 → ������ = 1 ������3 เครดิต ขอบคณุ คณุ ครูเบริ ์ด จาก กวดวิชาคณิตศาสตร์ครูเบริ ์ด ยา่ นบางแค 081-8285490 คณุ Buz SetthaponView คณุ Kanjana Pednok คณุ Theerat Piyaanangul ท่ชี ่วยตรวจสอบความถกู ต้องของเอกสาร
Search