Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore แคลคูลัส

แคลคูลัส

Published by onair.2531, 2020-06-14 06:22:06

Description: แคลคูลัส

Search

Read the Text Version

แคลคลู สั 49 มอี ีกวธิ ี ทจี่ ะใช้บอกได้วา่ จดุ วกกลบั เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ โดยการดู “เครื่องหมาย” ของ ������′(������) ดงั นี ้ ������′(������) เป็นลบ ������′(������) เป็นบวก จดุ วกกลบั แบบสงู สดุ ฟังก์ชนั ลด ฟังก์ชนั เพ่ิม กราฟขาลง กราฟขาขนึ ้ ������′(������) เป็นบวก ������′(������) เป็นลบ ฟังก์ชนั เพิ่ม ฟังก์ชนั ลด จดุ วกกลบั แบบตา่ สดุ กราฟขาขนึ ้ กราฟขาลง สรุป ������′(������) เปลยี่ นจาก ลบ เป็น บวก → จดุ ตา่ สดุ ������′(������) เปลยี่ นจาก บวก เป็น ลบ → จดุ ต่าสดุ โดยเราจะใช้เส้นจานวนมาพจิ ารณาเครื่องหมายของ ������′(������) เหมือนกบั ตอนท่แี ก้อสมการ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี ้ ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ หรือจดุ ตา่ สดุ ของ ������(������) = ������3 + 3������2 − 9������ + 5 วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = 3������2 + 6������ − 9 (������ + 3)(������ − 1) +− + −3 1 สงู สดุ ท่ี ������ = −3 ขนึ ้ ลง ขนึ ้ ������(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − 9(−3) + 5 = 32 ต่าสดุ ที่ ������ = 1 ������(1) = 13 + 3(1) − 9(1) + 5 = 0 ดงั นนั้ จดุ สงู สดุ คือ (−3 , 32) และจดุ ตา่ สดุ คอื (1 , 0) # นอกจากนี ้เรายงั สามารถใช้ ������′′(������) มาชว่ ยได้ด้วย จะเหน็ วา่ ������′(������) เปลย่ี นจาก ลบ เป็น บวก แสดงวา่ ������′(������) เพิ่มขนึ ้ → จะได้ ������′′(������) เป็นบวก แตถ่ ้า ������′(������) เปลยี่ นจาก บวก เป็น ลบ แสดงวา่ ������′(������) ลดลง → จะได้ ������′′(������) เป็นลบ สรุป ถ้าจดุ วกกลบั ทไี่ ด้ ทาให้ ������′′(������) > 0 แปลวา่ จดุ นนั่ เป็นจดุ ตา่ สดุ แตถ่ ้า ทาให้ ������′′(������) < 0 แปลวา่ จดุ นน่ั เป็นจดุ สงู สดุ และถ้าทาให้ ������′′(������) = 0 จะยงั ไมร่ ู้วา่ เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ ต้องพจิ ารณาเครื่องหมายแบบเก่า ตวั อยา่ ง จากตวั อยา่ งท่ีแล้ว จงใช้ ������′′(������) ในการพิจารณาจดุ วกกลบั (−3 , 32) และ (1 , 1) ของ ������(������) วา่ จดุ ใดเป็น จดุ สงู สดุ และจดุ ใดเป็นจดุ ต่าสดุ วธิ ีทา จาก ������′(������) = 3������2 + 6������ − 9 → ดิฟตอ่ ไปอกี ที จะได้ ������′′(������) = 6������ + 6 ที่ ������ = −3 จะได้ ������′′(−3) = 6(−3) + 6 = −12 เป็นลบ ดงั นนั ้ (−3 , 32) เป็นจดุ สงู สดุ ที่ ������ = 1 จะได้ ������′′(1) = 6(1) + 6 = 12 เป็นบวก ดงั นนั้ (1 , 1) เป็นจดุ ตา่ สดุ # ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ หรือจดุ ตา่ สดุ ของ ������(������) = 4 − 4������ − ������2 โดยใช้ ������′′(������) วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = −4 − 2������ จดุ สงู สดุ หรือจดุ ตา่ สดุ จะเป็นจดุ ท่ี ������′(������) = 0 ดงั นนั้ ต้องแก้สมการ −4 − 2������ = 0 − 2������ = 4 ������ = −2

50 แคลคลู สั หาคา่ ������(������) ที่ ������ = −2 จะได้ ������(−2) = 4 − 4(−2) − (−2)2 = 8 # ดงั นนั้ จดุ วกกลบั คอื (−2 , 8) ตอ่ ไปจะหาวา่ จดุ (−2 , 8) เป็นจดุ ตา่ สดุ หรือจดุ สงู สดุ โดยใช้ ������′′(������) # ดิ๊ฟ ������′(������) ตอ่ ไปอกี ที จะได้ ������′′(������) = −2 จะเห็นวา่ ������′′(������) เป็นลบ โดยไมข่ นึ ้ กบั คา่ ������ ดงั นนั้ (−2 , 8) เป็นจดุ สงู สดุ โดยโจทย์ในเรื่องนี ้จะถามได้ 2 แบบ คอื “จดุ ” กบั “คา่ ” → ถ้าโจทย์ถาม “จดุ ” สงู สดุ (หรือต่าสดุ ) ให้ตอบเป็นคอู่ นั ดบั (������, ������) → ถ้าโจทย์ถาม “คา่ ” สงู สดุ (หรือตา่ สดุ ) ให้ตอบคา่ ������(������) ตวั อยา่ ง จงหาคา่ สงู สดุ หรือคา่ ตา่ สดุ ของ ������(������) = 3������4 − 8������3 − 6������2 + 24������ + 8 วธิ ีทา จะได้ ������′(������) = 12������3 − 24������2 − 12������ + 24 ลง ขนึ ้ ลง ขนึ ้ −+ −+ = 12(������3 − 2������2 − ������ + 2) = 12(������2(������ − 2) − (������ − 2)) = 12(������ − 2)(������2 − 1) = 12(������ − 2)(������ − 1)(������ + 1) −1 1 2 ดงั นนั้ จดุ ต่าสดุ เกิดท่ี ������ = −1 กบั 2 และจดุ สงู สดุ เกิดท่ี ������ = 1 ������ = −1 จะได้ ������(−1) = 3(−1)4 − 8(−1)3 − 6(−1)2 + 24(−1) + 8 = −11 ������ = 1 จะได้ ������(1) = 3(1)4 − 8(1)3 − 6(1)2 + 24(1) + 8 = 21 ������ = 2 จะได้ ������(2) = 3(2)4 − 8(2)3 − 6(2)2 + 24(2) + 8 = 16 ดงั นนั ้ “จดุ ” ตา่ สดุ คอื (−1, −11) และ (2, 16) “จดุ ” สงู สดุ คือ (1, 21) จะได้ “คา่ ” ตา่ สดุ คือ −11 และ 16 “คา่ ” สงู สดุ คอื 21 จากตวั อยา่ งที่แล้ว ถ้าลองวาดกราฟของ ������(������) = 3������4 − 8������3 − 6������2 + 24������ + 8 ดู จะได้ดงั รูป ดงั นนั้ คาตอบท่ไี ด้วา่ (1, 21) เป็นจดุ สงู สดุ กบั (2, 16) เป็นจดุ ตา่ สดุ นนั้ ไมจ่ ริงซะทเี ดยี ว จดุ พวกนี ้แคส่ งู หรือตา่ กวา่ จดุ ข้างๆเทา่ นนั้ แตไ่ มใ่ ชจ่ ดุ สงู ทีส่ ดุ หรือตา่ ที่สดุ อยา่ งแท้จริง  จดุ ทส่ี งู (หรือตา่ ) กวา่ จดุ ข้างๆ จะเรียกวา่ จดุ สงู สดุ (หรือตา่ สดุ ) สมั พทั ธ์ จดุ สมั บรู ณ์ จะเป็นสมั พทั ธ์ด้วย  จดุ ท่ีสงู (หรือตา่ ) ท่สี ดุ อยา่ งแท้จริง จะเรียกวา่ จดุ สงู สดุ (หรือตา่ สดุ ) สมั บรู ณ์ เพราะถ้าจะเป็นทีส่ ดุ จริงๆได้ ก็ ต้องชนะจดุ ข้างๆอยแู่ ล้ว ดงั นนั้ (1, 21) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ และ (2, 16) กบั (−1, 11) เป็นจดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ (−1, 11) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ และ ������(������) ไมม่ จี ดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ (เพราะกราฟพงุ่ ขนึ ้ อยา่ งไมม่ ขี อบเขต)

แคลคลู สั 51 ปกตเิ รามกั จะไมค่ อ่ ยชอบจดุ แบบสมั พทั ธ์เทา่ ไหร่ เพราะมนั ไมเ่ ป็นทส่ี ดุ จริงๆ ในกรณีทีโ่ จทย์ให้หาจดุ แบบสมั บรู ณ์ เราจะต้องหาจดุ แบบสมั พทั ธ์ออกมากอ่ น แล้วคอ่ ยคดั เลอื กจดุ สมั บรู ณ์ออกมา โดย  จดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ จะหาได้จากจดุ ทสี่ งู ทีส่ ดุ ในบรรดาจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ และจดุ ขอบ  จดุ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ จะหาได้จากจดุ ทตี่ ่าท่ีสดุ ในบรรดาจดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ และจดุ ขอบ ในเรื่องนี ้โจทย์มกั จะกาหนดขอบเขตของคา่ ������ มาให้ (แตถ่ ้าไมไ่ ด้กาหนดขอบเขตมา จะใช้ ������ → ∞ กบั ������ → −∞) ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ และจดุ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ ของ ������(������) = 2������3 − 3������2 + 5 เม่อื ������ ∈ [−2, 3] วิธีทา หาจดุ สงู สดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ กอ่ น ������′(������) = 6������2 − 6������ = 0 จดุ สมั พทั ธ์ จดุ ขอบ ������2 − ������ = 0 ������(������ − 1) = 0 ������ = 0 , 1 ดงั นนั้ คา่ ������ ที่ “ต้องสงสยั ” วา่ จะทาให้เกิดคา่ สงู สดุ หรือตา่ สดุ สมั บรู ณ์ คอื 0 , 1 , −2 , 3 แทนคา่ ������ ท่ตี ้องสงสยั เพื่อหา ������(������) มาเทียบกนั ������ = 0: จะได้ ������(0) = 2(0)3 − 3(0)2 + 5 = 5 ������ = 1: จะได้ ������(1) = 2(1)3 − 3(1)2 + 5 = 4 ������ = −2: จะได้ ������(−2) = 2(−2)3 − 3(−2)2 + 5 = −23 ������ = 3: จะได้ ������(3) = 2(3)3 − 3(3)2 + 5 = 32 ดงั นนั้ จดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ คอื (3 , 32) และจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ คือ (−2, −23) # สง่ิ ที่สร้างปัญหาให้กบั นกั เรียนสว่ นใหญ่ในเรื่องนี ้กค็ อื “โจทย์ปัญหา” โดยโจทย์จะสร้างเรื่องราวและเงอื่ นไขตา่ งๆมาให้ แล้วให้เราหาคา่ สงู สดุ หรือต่าสดุ ของปริมาณทต่ี ้องการ โดยขนั้ ตอนการทาคร่าวๆ จะเป็นดงั นี ้ 1. ให้ปริมาณท่โี จทย์ต้องการหาคา่ สงู สดุ หรือตา่ สดุ เป็น ������(������) 2. สมมตุ ิให้ตวั แปร ������ แทนปริมาณซกั อยา่ ง ทม่ี ผี ลตอ่ ������(������) 3. ลยุ อา่ นโจทยใ์ หม่ เขียนปริมาณอน่ื ๆทม่ี ผี ลตอ่ ������(������) ให้อยใู่ นเทอมของ ������ 4. เขียนสมการของ ������(������) ในเทอมของ ������ 5. ใช้ความรู้ในเรื่องอนพุ นั ธ์ เพอื่ หาคา่ สงู สดุ หรือตา่ สดุ “สมั บรู ณ์” ของ ������(������) ขนั้ ตอนท่ียากทส่ี ดุ คอื ขนั้ ท่ี 3 เพราะเราต้องทาทกุ อยา่ งให้อยใู่ นเทอมของ ������ ซงึ่ ถ้าสมมตติ วั แปร ������ ในขนั้ ท่ี 2 ไว้ไมด่ ี ก็จะลาบากในขนั้ ที่ 3 ตวั อยา่ ง มลี วดยาว 20 เมตร นามาล้อมเป็นสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากได้พนื ้ ที่มากทส่ี ดุ เทา่ กบั เทา่ ไร วิธีทา ขนั้ ท่ี 1 โจทย์ต้องการหา “พนื ้ ท”ี่ มากสดุ ดงั นนั้ เราจะให้ ������(������) แทนพนื ้ ที่ของสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากท่ีล้อมได้ ขนั้ ท่ี 2 ให้ ������ แทน “ด้านยาว” ของสเ่ี หลยี่ ม เราต้องเขยี น ������(������) ในเทอมของ ������ ขนั้ ที่ 3 หา “ด้านกว้าง” ในเทอมของ ������ ด้านยาวมี 2 ด้าน ดงั นนั้ เสยี ลวดไปกบั ด้านยาว = 2������

52 แคลคลู สั # เหลอื ลวดสาหรับด้านกว้างที่เหลอื = 20 − 2������ แตด่ ้านกว้างมี 2 ด้าน ดงั นนั ้ จะได้วา่ ด้านกว้าง = 20−2������ = 10 − ������ 2 ขนั ้ ที่ 4 จากสตู ร พนื ้ ทส่ี เ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก = กว้าง × ยาว ดงั นนั ้ ������(������) = ������(10 − ������) = 10������ − ������2 ขนั้ ที่ 5 หาคา่ สงู สดุ ต่าสดุ ของ ������(������) ให้ ������′(������) = 10 − 2������ = 0 จะได้ ������ = 5 แทนใน ������(������) จะได้ ������(5) = 5(10 − 5) = 25 และสดุ ท้าย ������′′(������) = −2 เป็นลบ แปลวา่ ได้คา่ สงู สดุ ดงั นนั้ ต้องล้อมให้สเี่ หลย่ี มยาว 5 เมตร จงึ จะได้พนื ้ ทีม่ ากที่สดุ คอื 25 ตารางเมตร แบบฝึกหดั 1. จงหาจดุ สงู สดุ / ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ ของฟังก์ชนั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = ������3 + 3������2 − 9������ + 15 2. ������(������) = (������ + 1)(3 − ������) 2. จงหาคา่ สงู สดุ / ต่าสดุ สมั บรู ณ์ ของฟังก์ชนั ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้ 1. ������(������) = ������2 + 4������ − 4 เม่อื ������ ∈ [−4, 2]

แคลคลู สั 53 2. ������(������) = 10 + 12������ + 3������2 − 2������3 เมอ่ื ������ ∈ [0, ∞] 3. ถ้าเส้นโค้ง ������ = ������(������) มีความชนั ของเส้นสมั ผสั ท่ีจดุ (������, ������) เทา่ กบั ������ − 2 และ ������(������) มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั 5 แล้ว จงหาคา่ ของ ������(2) 4. มีลวดยาว 12 เมตร ต้องการล้อมท่ดี นิ ริมแมน่ า้ ให้เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก โดยล้อมแค่ 3 ด้าน เว้นด้านท่ีตดิ ริมแมน่ า้ ไมต่ ้องล้อม จงหาวา่ จะล้อมได้พนื ้ ทีม่ ากท่ีสดุ เทา่ ไร

54 แคลคลู สั มีลวดยาว 20 เมตร ต้องการล้อมทีด่ นิ รูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผ้า โดยแบง่ เป็น 4 ช่องตามรูป จะ สามารถล้อมได้พนื ้ ทมี่ ากท่ีสดุ เทา่ ไร 5. 6. โรงงานผลติ ต๊กุ ตาแหง่ หนง่ึ มตี ้นทนุ ในการผลติ ต๊กุ ตา ������ ตวั โรงงงานจะต้องเสยี คา่ ใช้จา่ ย ������3 − 450������2 + 60,200������ + 10,000 บาท ถ้าขายต๊กุ ตาราคาตวั ละ 200 บาท โรงงานจะต้องผลติ ต๊กุ ตากต่ี วั จึงจะได้กาไรมากทสี่ ดุ [PAT 1 (ก.ค. 53)/36] 7. กาหนดให้ ℝ เป็นเซตของจานวนจริง ให้ ������ : ℝ → ℝ และ ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ทมี่ ีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั และ สอดคล้องกบั ������(������) = ������������(������) และ ������′(������) = 4������3 + 9������2 + 2 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (ม.ี ค. 59)/28] 1. คา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของ ������ เทา่ กบั 6 2. คา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ของ ������ เทา่ กบั 2 3. อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ (������ + ������)(������) เทยี บกบั ������ ขณะท่ี ������ = 1 เทา่ กบั 12

แคลคลู สั 55 8. ให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และกาหนดให้ ������(������) = ������������ + ������ เมือ่ ������ ≠ 0 โดยที่ ������ = ������(������) เป็นเส้นโค้งท่สี มั ผสั ������ กบั เส้นตรง ������ = 1 ทจี่ ดุ (1, 1) ข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (พ.ย. 57)/7] 1. ������ มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ที่ ������ = −1 2. lim (������ ∘ ������)(������) = ������(2������2 + 2������2) x 1 9. กาหนดให้ ������(������) = 4������3 เมอ่ื ������ เป็นจานวนจริงบวกใดๆ ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง ������6−3������3+64 [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/19] 1. ������ เป็นฟังก์ชนั เพิ่มบนชว่ ง (0, 3) 2. คา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ของ ������ เทา่ กบั 4 13

56 แคลคลู สั ปฏยิ านพุ นั ธ์ เร่ืองนจี ้ ะเป็นกระบวนการท่ี ตรงข้ามกบั การดฟ๊ิ “ปฏิยานพุ นั ธ์ของ ������(������)” เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ ∫ ������(������) ������������ หมายถงึ ฟังก์ชนั ที่ดฟิ๊ แล้วได้ ������(������) คาวา่ “ปฏยิ านพุ นั ธ์” บางทเี รียกวา่ “ปริพนั ธ์” หรือ “อนิ ทกิ รัล” หรือ “อินทิเกรต” ก็ได้ ด๊ฟิ ดฟิ๊ ดฟ๊ิ ∫ ������(������) ������������ ������(������) ������′(������) ������′′(������) ปฏิยานพุ นั ธ์ อนพุ นั ธ์ อนพุ นั ธ์อนั ดบั สอง อนิ ทิเกรต อนิ ทิเกรต อนิ ทเิ กรต หมายเหต:ุ เรานิยมใช้สญั ลกั ษณ์ ������(������) แทน ปฏิยานพุ นั ธ์ของ ������(������) ตวั อยา่ งเช่น ถ้าเราต้องการหา ∫ 2������ − 3 ������������ เราจะต้องหาวา่ อะไรท่ีด๊ิฟแล้วได้ 2������ − 3 จะได้คาตอบคือ ������2 − 3������ นนั่ เอง อยา่ งไรกต็ าม นอกจาก ������2 − 3������ แล้ว จะเหน็ วา่ ������2 − 3������ + 1 ก็ด๊ิฟแล้วได้ 2������ − 3 เหมอื นกนั ������2 − 3������ + 2 ก็ด้วย ������2 − 3������ − 8 ก็ได้ เพราะสว่ นทเ่ี ป็นตวั เลข ไมว่ า่ จะเป็นเลขอะไร ด๊ิฟแล้วก็หายไปเหมอื นกนั ดงั นนั้ จะได้ผลการอินทเิ กรต ∫ 2������ − 3 ������������ เทา่ กบั ������2 − 3������ + ������ เม่ือ ������ เป็นตวั เลขคงทใี่ ดๆนน่ั เอง สตู รสาหรับอินทิเกรตท่คี วรจาได้แก่ ∫ ������������������ ������������ = ������ ������������+1 + ������ ������+1 โดยเรามกั จะทอ่ งวา่ เพิ่มกาลงั เพมิ่ ขนึ ้ หนง่ึ แล้วเอากาลงั ลงมาหาร เช่น ∫ 8������3 ������������ = 8 ������4 + ������ = 2������4 + ������ ∫ 6������ ������������ = 6 ������2 + ������ = 3������2 + ������ 4 2 ∫ 2 ������������ = 2������ + ������ ∫ 3������ − 3 ������������ = 3 ������− 1 = −6������− 1 + ������ 2 2 2 1 − 2 เราสามารถกระจายอินทเิ กรตในการบวกลบได้ แตห่ ้ามกระจายในการคณู หาร เชน่ ∫ ������2 − 4������ + 2 ������������ = ������3 − 2������2 + 2������ + ������ 3 (������2 + ������ + ������) (������2 − 3������ + ������) แต่ ∫(������ + 1)(2������ − 3) ������������ ≠ 2 ถ้าจะหา ∫(������ + 1)(2������ − 3) ������������ ต้องกระจายเป็น ∫ 2������2 − ������ − 3 ������������ กอ่ น และจะเห็นวา่ เราต้องติด ������ ในผลลพั ธ์การอินทเิ กรตเสมอ เพราะไมว่ า่ ������ เป็นตวั เลขอะไร มนั จะหายไปเม่อื ถกู ดฟ๊ิ แตส่ ว่ นใหญ่ โจทย์มกั จะบอกข้อมลู บางอยา่ งเพ่ิมเตมิ เพื่อให้หาคา่ ������ ได้ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������′(������) = 2������ + 1 ถ้า ������(1) = 5 จงหา ������(������) วธิ ีทา วธิ ีทาคือ เราจะอินทิเกรต ������′(������) กลบั ไปให้กลายเป็น ������(������) นนั่ คือจะได้ ������(������) = ∫ 2������ + 1 ������������ = ������2 + ������ + ������

แคลคลู สั 57 แตโ่ จทย์บอกวา่ ������(1) = 5 แปลวา่ 12 + 1 + ������ = 5 # ดงั นนั ้ ������ = 5 − 1 − 1 = 3 นนั่ คือจะได้ ������(������) = ������2 + ������ + 3 แบบฝึกหดั 2. ∫ 2������3 + 6������2 − 3������ + 5 ������������ 1. จงหาคา่ ของอนิ ทิกรัลตอ่ ไปนี ้ 1. ∫ 4������ − 3 ������������ 3. ∫ √������ ������������ 4. ∫ 1 ������������ 5. ∫(������ + 1)(������ − 1) ������������ √������ 6. ∫ ������2+2������ ������������ ������ 2. กาหนดให้ ������′(������) = 6������2 − 1 ถ้า ������(−1) = 0 แล้ว จงหา ������(1) 3. กาหนดให้ ������′′(������) = 6������ + 2 ถ้า ������′(0) = 1 และ ������(1) = 0 แล้ว จงหา ������(0)

58 แคลคลู สั 4. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของจานวนจริง โดยท่อี ตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ������(������) เทยี บกบั ������ เทา่ กบั ������������3 + ������������ เมือ่ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง และให้ ������(������) = (������3 + 2������)������(������) ถ้า ������′(1) = 18 , ������′′(0) = 6 และ ������(2) = ������(1) + ������(0) แล้วคา่ ของ ������′(−1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/39] 5. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ ������′′(������) = 3 + 6������ สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และ ความชนั ของเส้นสมั ผสั โค้ง ������ = ������(������) ณ จดุ (2, 22) เทา่ กบั 20 แล้วคา่ ของ lim ������(������) เทา่ กบั เทา่ ใด x4 [PAT 1 (มี.ค. 57)/42] 6. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี ������′(������) = 3√������ + 5 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และ ������(1) = 5 แล้วคา่ ของ lim ������(������2)−2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/38] ������(������) x4

แคลคลู สั 59 7. กาหนดให้ ������ = ������(������) เป็นฟังก์ชนั ซงึ่ มคี า่ สงู สดุ ที่ ������ = 1 ถ้า ������′′(������) = −4 ทกุ ������ และ ������(−1) + ������(3) = 0 แล้ว ������ มีคา่ สงู สดุ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-19] 8. กาหนดให้ ������ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������: ������ → ������ เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี ������′′(������) = 6������ + 4 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ และความชนั ของเส้นสมั ผสั โค้ง ������ = ������(������) ที่จดุ (2, 19) เทา่ กบั 19 แล้ว คา่ ของ ������(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/39] 9. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามทมี่ ี ������′′(������) = ������������ + ������ เมื่อ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้า ������(0) = 2 และกราฟ ของ ������ มีจดุ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ที่ (1, −5) แล้ว 2������ + 3������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/19]

60 แคลคลู สั 10. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ท่ีนิยามบนช่วง (0, ∞) โดยท่ี ������(2) = 2������(1) และ ������ ′ (������) = 27������ − 1 ������2 ถ้า L เป็นเส้นสมั ผสั กราฟของ ������ = ������(������) ทจี่ ดุ (1, ������(1)) แล้ว จดุ ในข้อใดตอ่ ไปนอี ้ ยบู่ น L [A-NET 51/1-19] 1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96) 11. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้ ������ : R → R เป็นฟังก์ชนั ทม่ี ีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั โดยที่ ������′′(������) = 2������ + 1 และ ������′(2) = 2 สมการของเส้นตรงทต่ี งั้ ฉากกบั เส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ท่ีจดุ (1, 3) คือข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 55)/16] 1. ������ = − 1 ������ + 2 2. ������ = 1 ������ + 5 2 22 3. ������ = − 1 ������ + 5 4. ������ = 1 ������ + 2 22 2

แคลคลู สั 61 12. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามกาลงั สาม ซง่ึ นิยามบนชว่ ง [−2, 2] โดยที่ ������(0) = 1, ������(1) = 0 และ ������ มคี า่ ตา่ สดุ ที่ ������ = 1, มีคา่ สงู สดุ ท่ี ������ = −1 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู บ้าง [A-NET 51/1-20] 1. ������(−2) ≤ ������(������) ทกุ ������ ∈ [−2, 2] 2. ������(2) ≥ ������(������) ทกุ ������ ∈ [−2, 2] 13. กาหนดให้ ℎ(������) = ������(������)������(������) โดยทคี่ วามชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ที่จดุ (������, ������) เทา่ กบั 2 − 2������ และเส้นโค้ง ������ = ������(������) มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ เทา่ กบั 5 ถ้า ������ เป็นฟังก์ชนั พหนุ าม ซง่ึ มีสมบตั ิ ������(2) = ������′(2) = 5 แล้ว ℎ′(2) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/38]

62 แคลคลู สั 14. กาหนดให้ ������(������) เป็นพหนุ ามโดยท่ี ������(0) = 1 และสอดคล้องกบั lim 3ℎ������+2ℎ = 1 ������(������+ℎ+2)+������(ℎ+2)−������(������+2)−������(2) h0 คา่ ของ ������(12) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/39] 15. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ ������ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 1. (������������)(������) = 2������ + 3 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ 2. ฟังก์ชนั ������ และ ������ มีอนพุ นั ธ์ทกุ อนั ดบั สาหรับทกุ จานวนจริง ������ 3. ฟังก์ชนั ������ มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั 2 ที่ ������ = 1 4. ������′′(������) = 2 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ ฟังก์ชนั ������ มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/37]

แคลคลู สั 63 อินทิกรัลจากดั เขต ในกรณีท่ีมตี วั เลขปิดหวั ปิดท้ายเครื่องหมายอินทกิ รัล เชน่ 3 3������ + 5 ������������ (อา่ นวา่ อินทติ เกรต 3������ + 5 ตงั ้ แต่ 1 ถึง 3)  1 อินทิกรัลแบบท่ีมตี วั เลขปิดหวั ท้ายแบบนี ้จะเรียกวา่ อินทกิ รัลแบบ “จากดั เขต” (ถ้าไมม่ ตี วั เลขปิดหวั ท้ายแบบหวั ข้อกอ่ นหน้านี ้จะเรียกกวา่ อินทิกรัลแบบ “ไมจ่ ากดั เขต”) 3 วิธีหา  3������ + 5 ������������ คอื ให้หา ∫ 3������ + 5 ������������ ออกมาก่อน หลงั จากนนั ้ “แทน ������ = 3” ลบด้วย “แทน ������ = 1” 1 ตวั อยา่ ง จงหา 3 4������ ������������  2 วิธีทา หา ∫ 4������ ������������ ออกมากอ่ น ได้ 2������2 + ������ จากนนั ้ “แทน ������ = 3” ลบด้วย “แทน ������ = −2” นนั่ คอื 3 4������ ������������ = [2(3)2 + ������] − [2(−2)2 + ������]  2 = (18 + ������) − (8 + ������) = 10 # ถ้าสงั เกตดีๆ อินทิกรัลแบบจากดั เขต ตอนท่ีแทนคา่ หวั ท้ายมาลบกนั จะพบวา่ คา่ ������ จะตดั กนั เองหายไปหมดเสมอ ดงั นนั้ ในการอนิ ทิกรัลแบบจากดั เขต เราไมต่ ้องมี ������ ตอนอนิ ทเิ กรตเลยก็ได้ โดยประโยค “แทน ������ = ������ ลบด้วย แทน ������ = ������” สามารถใช้สญั ลกั ษณ์ ������ แทนได้ | ������ เชน่ 2 1 + 2������ ������������ 2 แทน ������ = 2 ลบด้วย แทน ������ = 1 ������2  =  ������−2 + 2������ ������������ 1 1 2 = −������−1 + ������2 | 1 = [−2−1 + 22] − [−(−1)−1 + (−1)2] = 7−2 =3 # 2 2 สมบตั ทิ ่สี าคญั ของการอินทิกลั แบบจากดั เขต คือ เราสามารถแบง่ ช่วงอินทเิ กรตเป็นหลายชว่ งได้ตามใจชอบ ตราบใดท่ี ������(������) ตอ่ เนอ่ื งตรงจดุ ท่จี ะแบง่ 2 02 เชน่  ������(������) ������������ จะแบง่ เป็น  ������(������) ������������ +  ������(������) ������������ ก็ได้ 1 1 0 12 หรือจะแบง่ เป็น  ������(������) ������������ +  ������(������) ������������ ก็ได้ 1 1 0 12 หรือจะแบง่ เป็น  ������(������) ������������ +  ������(������) ������������ +  ������(������) ������������ ก็ได้ 1 0 1 หรือจะไมแ่ บง่ ก็ได้ → ทกุ แบบ จะได้คาตอบเทา่ กนั (เมอื่ กาหนดให้ ������(������) ตอ่ เนอื่ ง) และในกรณีท่ี ������(������) แบง่ เป็นหลายสตู รตามเง่ือนไขตา่ งๆ จะต้องแบง่ อินทเิ กรตตามช่วงเง่ือนไขของสตู ร

64 แคลคลู สั ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������(������) = {3������42���+��� 1 , ������ ≥ 1 จงหา 3 ������(������) ������������ , ������ < 1  2 วิธีทา จะเห็นวา่ lim ������(������) = lim ������(������) = ������(1) = 4 → ������(������) ตอ่ เนอ่ื งที่ ������ = 1 x 1 x 1 ดงั นนั้ ข้อนจี ้ ะแบง่ อินทเิ กรตตรงจดุ ������ = 1 เพอ่ื ให้เลอื กใช้สตู รได้ ดงั นี ้ 3 13  ������(������) ������������ =  ������(������) ������������ +  ������(������) ������������ 2 2 1 13 =  4������ ������������ +  3������2 + 1 ������������ 2 1 = 2������2 | 1 + ������3 + ������ 3 | −2 1 = 2 − 8 + (27 + 3) − (1 + 1) = 22 # แบบฝึกหดั 2 1. จงหาคา่ ของอินทิกรัลตอ่ ไปนี ้ 2.  ������2 − 1 ������������ 3 1 1.  2������ + 1 ������������ 1 3. 4 2 + 1 ������������ 4. 1 ������2+2 ������������ ������2   0 √������ 1 2. กาหนดให้ ������′(������) = ������2 + 2������ + 1 จงหา 2 ������′′(������) ������������  1 3 3. กาหนดให้ ������′(������) = 2������ − 4 ถ้า ������(0) = 1 จงหา  ������(������) ������������ 0

แคลคลู สั 65 4. ถ้า ������′(������) = 3������2 + ������ − 5 และ ������(0) = 1 แล้ว 1 ������(������) ������������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/32]  1 5. ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยท่ี ������(2������ − 1) = 4������2 − 10������ + ������ 4 เม่อื ������ เป็นจานวนจริง และ ������(0) = 12 คา่ ของ  ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/41] 1 6. ให้ ������ และ ������ เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง โดยที่ ������ ′(������ ) = 2������4−������ เมอ่ื ������ ≠ 0 ������3 2 ������(������) = (1 + ������2)������(������) และ ������(1) = 2 คา่ ของ  ������3������′′(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/40] 1

66 แคลคลู สั ������3 , ������ < −1 7. กาหนดให้ฟังก์ชนั ������(������) = { ������������ + ������ , −1 ≤ ������ < 1 เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง 3������2 + 2 , ������ ≥ 1 ถ้าฟังก์ชนั ������ ตอ่ เนื่อง สาหรับทกุ จานวนจริง ������ แล้วคา่ 2 ������(������)������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/34]  2 8. กาหนดให้ ������ : R → R ������′′(������) = 0 ทกุ ๆจานวนจริง ถ้า ������(0) = 23 และ ������(1) = 103 แล้ว จงหาคา่ ของ 1 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/38]  ������(������) ������������ 0 9. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจริง และ ������, ������ เป็นจานวนจริง และให้ ������ : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั ทนี่ ยิ ามโดย ������(������) = ������ + ������������ + ������3 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ ถ้าเส้นตรง 5������ − ������ + 13 = 0 สมั ผสั กราฟของ ������ ที่ ������ = 1 2 แล้ว  ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/41] 0

แคลคลู สั 67 10. กาหนดให้ ������(������) = ������2 + ������������ + ������ เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง 2 ถ้า ������(1) = 2 และ (������ ∘ ������)(0) = 10 แล้วคา่ ของ  ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/38] 1 2 11. ถ้า  |������2 − 7������ + 6| ������������ = ������ เมอื่ ������ และ ������ เป็นจานวนเต็มที่ ������ ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ ������ และ ������ เทา่ กบั 1 2 ������ แล้วคา่ ของ ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/18] 12. คา่ ของ 2 ������3+������2+������ ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 59)/34] ������|������+2|−������2−2  4

68 แคลคลู สั 13. กาหนดให้ ������(������) เป็นฟังก์ชนั พหนุ ามกาลงั สอง ถ้าความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ������ = ������(������) ทจ่ี ดุ (1, 2) มีคา่ เทา่ กบั 4 และ 2 ������(������) ������������ = 12 แล้ว ������(−1) + ������′′(−1) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/37]  1 14. ถ้า ������ ′(������) = ������2 −1 และ 1 ������(������) ������������ =0 แล้ว |������(1)| มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-17]  0 15. กาหนดให้ ������(������) = 4������3 + ������������2 + ������������ + ������ เมอื่ ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจริง โดยที่ 2 ������(������) ������������ = − 64 2 3  ถ้า ������(������) เป็นพหนุ ามซงึ่ ������′(������) = ������(������) และ ������′(1) = ������′(0) = ������(0) = 0 แล้ว ������′′(������) = ������′(������) + ������(������) ตรงกบั สมการในข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/19] 1. ������4 − 4������3 + 12������2 − 6������ = 0 2. ������4 − 8������3 − 12������2 − 6������ = 0 3. 3������4 − 16������3 + 48������2 − 24������ = 0 4. 3������4 + 8������3 − 48������2 + 24������ = 0

แคลคลู สั 69 16. กาหนดให้ ������(������) = ������3 + ������������ + ������ เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ถ้าอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของ ������(������) เทยี บ 1 กบั ������ เมอ่ื คา่ ของ ������ เปลย่ี นจาก −1 เป็น 1 เทา่ กบั −2 และ  ������(������) ������������ = 2 1 แล้วคา่ ของ lim ������(3+ℎ)−������(3−ℎ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 59)/40] ℎ h0 b 17. กาหนดให้ ������ > 1 และ  ������−1 ������������ = 4 คา่ ของ 1 + ������ + ������2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/18] 1 ������+√������ 18. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า ������ : R → R และ ������ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ ������(������) = 2������ + 3 และ (������ ∘ ������)(������) = 8������3 + 44������2 + 80������ + 48 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ แล้วคา่ ของ ∫06 ������(������(������)) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/37]

70 แคลคลู สั 19. กาหนดให้เส้นโค้ง ������ = ������(������) สมั ผสั กบั เส้นตรง 2������ − ������ + 3 = 0 ทจ่ี ดุ (0, 3) และ 2 ������′′(������) ������������ = −3  0 ถ้า ������(������) = √������ + 2 ������(������) และ ������′(2) = 0 แล้ว ������(2) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/43] x 20. กาหนดให้ ������(������) เป็นพหนุ ามทส่ี อดคล้องกบั ������(������2 + 3) = 3������4 + 24������2 + 40 และให้ ������(������) =  ������(������) ������������ 0 คา่ ของ lim √������(������) − ������(������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/38] x2

แคลคลู สั 71 21. กาหนดให้ ������(������) เป็นพหนุ ามกาลงั สอง โดยท่ี ������(0) = 1 และ ������(������ + 1) = ������(������ − 1) + ������ + 1 สาหรับ 1 จานวนจริง ������ ใดๆ คา่ ของ  ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/20] 2 22. กาหนดให้ ������(������) = a (������2 − 1) ������������ สาหรับ ������ ∈ [0, ∞)  a ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนมี ้ คี า่ ความจริงเป็นจริง เมอ่ื เอกภพสมั พทั ธ์คอื ชว่ ง [0, ∞) [A-NET 51/1-2] 1. ∀������[������(������) > 0] 2. ∀������[(������(������) = 0) → (������ = 0)] 3. ∃������[(������ > 2) ∧ (������(������) < 0)] 4. ∃������[(������ ≠ 0) ∧ (������(������) = 0)]

72 แคลคลู สั 23. กาหนดให้ ������(������) = ������3 + ������������ + ������ เม่อื ������ และ ������ เป็นจานวนจริงทแ่ี ตกตา่ งกนั และให้ L1 และ L2 เป็นเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ท่ี ������ = ������ และ ������ = ������ ตามลาดบั ถ้า L1 ขนานกบั L2 และ lim 9ℎ = 1 ������(1+ℎ)−������(1) h0 2 แล้วคา่ ของ  ������(������) ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/39] 0 24. กาหนดให้ ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ เป็นพหนุ ามกาลงั สอง เม่ือ ������, ������, ������ เป็นจานวนจริง และ ������ ≠ 0 โดยที่ ������(1) = 0 และ ������ มคี า่ สงู สดุ ที่ ������ = 1  3 ให้ ������(������, ������) =  ������(������) ������������ โดยท่ี ������(0, ������) = ������(1, ������) + 1  สาหรับจานวนจริง ������ > 1 ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้องบ้าง [PAT 1 (เม.ย. 57)/19] 1. ������(1,2) = ������(2,3) + 10 2. อนพุ นั ธ์ของ ������(������) เทา่ กบั −3������2−2������−2 ������2 ������3

แคลคลู สั 73 พนื ้ ที่ท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง พนื ้ ทที่ ี่อยรู่ ะหวา่ งกราฟ ������(������) กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = ������ ถึง ������ = ������ จะเทา่ กบั b ������(������) ������������  a b พนื ้ ท่สี ว่ นทีแ่ รเงา =  ������(������) ������������ a ������ ������ b สง่ิ ทีต่ ้องระวงั ก็คอื ถ้าพนื ้ ทีท่ แ่ี รเงาอยใู่ ต้แกน X เราจะได้  ������(������) ������������ เป็นคา่ ตดิ ลบ a แตพ่ นื ้ ท่ี เป็นคา่ ตดิ ลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ เราต้องกลบั เครื่องหมายให้เป็นบวกก่อนตอบด้วย ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี ปี่ ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = ������2 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = 1 ถึง ������ = 3 13 3 วธิ ีทา พนื ้ ท่ีสว่ นที่แรเงา จะเทา่ กบั  ������2 ������������ 1 จะได้ 3 = 1 ������3 |13 = [13 (3)3] − [31 (1)3] = 9 − 1 = 26 3 3 3  ������2 ������������ 1 ดงั นนั้ พนื ้ ที่ทแี่ รเงา เทา่ กบั 26 # 3 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี ีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = −������2 − 1 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = 1 ถึง ������ = 3 13 วิธีทา ทาเหมือนเดิม แตเ่ นอื่ งจากพนื ้ ทอ่ี ยใู่ ต้แกน X ดงั นนั้ คาตอบจะออกมาเป็นเลขตดิ ลบ จะได้ 3 −������2 − 1 ������������ = − 1 ������3 − ������ |31 = [− 1 (3)3 − 3] − [− 1 (1)3 − 1] 3  33 1 = (−12) − (− 4) = − 32 33 ก่อนตอบ ให้เปลย่ี นคา่ ที่ได้ ให้เป็นบวกกอ่ น ดงั นนั้ จะได้พนื ้ ทีใ่ ต้กราฟเทา่ กบั 32 # 3

74 แคลคลู สั กรณีทีส่ ร้างความลาบากให้เรามากที่สดุ คอื กรณีทม่ี ีบางสว่ นอยเู่ หนอื แกน X และบางสว่ นอยใู่ ต้แกน X ������ ������ ������ จากรูป ถ้าโจทย์ถามพนื ้ ทสี่ ว่ นทแ่ี รเงา เราจะอนิ ทเิ กรต รวดเดียวตงั้ แต่ ������ ถึง ������ เลย ไมไ่ ด้ เพราะพนื ้ ทเี่ หนือแกน (เป็นบวก) กบั ใต้แกน (เป็นลบ) จะหกั ล้างกนั ทาให้คา่ ท่ีได้น้อยกวา่ คาตอบทโ่ี จทย์ต้องการ วธิ ีทาโจทย์ประเภทนี ้จะต้องแยกอินทเิ กรต โดยอินทิเกรตจาก ������ ถึง ������ หนง่ึ ครัง้ และอินทิเกรตจาก ������ ถึง ������ อีกหนง่ึ ครัง้ ถ้า อนั ไหนได้คา่ ตดิ ลบ ให้เปลย่ี นเป็นบวกก่อน แล้วเอาผลการอนิ ทิเกรตทีเ่ ปลย่ี นเป็นบวกแล้ว มารวมกนั ท่ยี ากกค็ อื ปกติโจทย์มกั จะไมใ่ ห้รูปกราฟมา ทาให้เราต้องหาจดุ ������ เอาเอง จะเห็นวา่ จดุ ������ ก็คอื จดุ ท่กี ราฟตดั แกน X ซง่ึ วธิ ีหาคือ ให้แก้สมการ ������(������) = 0 โดยอาศยั การแยกตวั ประกอบ หรือใช้สตู ร ������ = −������±√������2−4������������ 2������ ดงั นนั้ สง่ิ ท่ีต้องทาเป็นอนั ดบั แรกในการทาโจทย์เรื่องนคี ้ อื ต้องแก้สมการ ������(������) = 0 เพื่อหาจดุ ที่กราฟตดั แกน X ก่อน ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ที่ท่ปี ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������(������) = ������2 − 1 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3 วธิ ีทา ก่อนอ่ืน หาวา่ กราฟตดั แกน X ทีไ่ หนบ้าง โดยการแก้สมการ ������2 − 1 = 0 (������ − 1)(������ + 1) = 0 ������ = −1 , 1 ดงั นนั้ กราฟตดั แกน X ท่ี ������ = −1 และ ������ = 1 เน่อื งจากเราต้องการหาพนื ้ ท่ีตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3 จงึ ต้องแบง่ อินทเิ กรตตรงจดุ ������ = 1 1 ������2 − 1 ������������ = 1 ������3 − ������ |10 = [31 (1)3 − 1] − [31 (0)3 − 0] = − 2 → ทาให้เป็นบวก ได้ 2 3 3 3  0 3 ������2 − 1 ������������ = 1 ������3 − ������ |13 = [1 (3)3 − 3] − [1 (1)3 − 1] = 20 3 3  33 1 ดงั นนั ้ จะได้พนื ้ ที่ คอื 2 + 20 = 22 # 33 3 อยา่ งไรกต็ าม มขี ้อสงั เกตจากตวั อยา่ งข้อทีผ่ า่ นมาดงั นี ้  ถ้าโจทยต์ ้องการหาพนื ้ ทตี่ งั้ แต่ ������ = −5 ถึง ������ = 3 คราวนตี ้ ้องแบง่ อนิ ทเิ กรตตรง ������ = −1 ด้วย 1 1 3 นนั่ คือ ต้องอนิ ทเิ กรต 3 เทย่ี ว คือ  ,  และ  5 1 1 5  ถ้าโจทยต์ ้องการหาพนื ้ ทตี่ งั้ แต่ ������ = 2 ถึง ������ = 5 แบบนอี ้ นิ ทเิ กรตรวดเดยี ว  ได้เลย 2 เพราะจาก ������ = 2 ถึง ������ = 5 ไมม่ จี ดุ ตดั แกน X  ถ้าโจทยใ์ ห้หา “พนื ้ ทรี่ ะหวา่ ง ������(������) กบั แกน X” เฉยๆ โดยไมบ่ อกวา่ จะเอาพืน้ ทต่ี งั้ แต่ ������ เป็นเทา่ ไหร่ถงึ เทา่ ไหร่ แบบนใี ้ ห้หาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั แกน X ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทก่ี ราฟตดั แกน X เช่นในตวั อยา่ งข้อทผี่ า่ นมา ก็ต้องหาตงั้ แต่ ������ = −1 ถงึ ������ = 1

แคลคลู สั 75 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทีท่ ป่ี ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = ������2 − ������ + 2 กบั แกน X ตงั้ แต่ ������ = −1 ถงึ ������ = 1 วธิ ีทา หาจดุ ตดั แกน X ก่อนโดยแก้สมการ ������2 − ������ + 2 = 0 จะเหน็ วา่ สมการนี ้แยกตวั ประกอบไมอ่ อก ถ้าลองใช้สตู ร ������ = −������±√������2−4������������ = −(−1)±√(−1)2−4(1)(2) จะพบวา่ หาคา่ ไมไ่ ด้ เพราะในรูทตดิ ลบ 2������ 2(1) นนั่ คือ สมการนี ้ไมม่ ีคาตอบ → แปลวา่ กราฟนี ้ไมต่ ดั แกน X ดงั นนั้ อินทเกรตรวดเดียว ตงั้ แต่ −1 ถงึ 1 ได้เลย 1 = 1 ������3 − 1 ������2 + 2������ |−11 ดงั นนั ้ พนื ้ ที่ =  ������2 − ������ + 2 ������������ 3 2 1 = [1 (1)3 − 1 (1)2 + 2(1)] − [1 (−1)3 − 1 (−1)2 + 2(−1)] = 14 # 32 32 3 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี ่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������(������) = 4������3 − 4������ และแกน X วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ก่อน โดยแก้สมการ 4������3 − 4������ = 0 4������(������2 − 1) = 0 4������(������ − 1)(������ + 1) = 0 ������ = −1 , 0 , 1 ข้อนี ้โจทย์ไมไ่ ด้บอกวา่ จะเอาพนื ้ ทตี่ งั้ แตต่ รงไหนถึงตรงไหน ในกรณีนี ้ให้หาตงั้ แต่จดุ แรกทก่ี ราฟตดั แกน X ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทกี่ ราฟตดั แกน X นน่ั คอื ตงั้ แต่ ������ = −1 ถึง ������ = 1 แตร่ ะหวา่ งทาง กราฟตดั แกน X ที่ ������ = 0 จงึ ต้องแบง่ อนิ ทิเกรตด้วย 0 = ������4 − 2������2 |0−1 = [(0)4 − 2(0)2] − [(−1)4 − 2(−1)2] = 1  4������3 − 4������ ������������ 1 1 4������3 − 4������ ������������ = ������4 − 2������2 |01 = [(1)4 − 2(1)2] − [(0)4 − 2(0)2] = −1 → ทาให้เป็นบวก ได้ 1  0 ดงั นนั้ พนื ้ ท่ี = 1 + 1 = 2 # 1 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ  √1 − ������2 ������������ 1 วิธีทา ข้อนี ้อินทิเกรตตรงๆไมไ่ ด้ เพราะเรากระจาย ∫ เข้าไปในรูทไมไ่ ด้ ข้อนี ้ต้องทากลบั กนั คอื แทนทจ่ี ะใช้การอนิ ทเิ กรตเพ่ือหาพนื ้ ที่ เราต้องใช้พนื ้ ที่ มาหาคา่ อนิ ทิเกรตแทน จะเห็นวา่ 1 √1 − ������2 ������������ ก็คอื พนื ้ ท่ที ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = √1 − ������2 ตงั้ แต่ ������ = −1 ถงึ ������ = 1 นนั่ เอง  1 วาดกราฟ ������ = √1 − ������2 ได้ดงั รูป ������2 = 1 − ������2 ; ������ ≥ 0 ������2 + ������2 = 1 ; ������ ≥ 0 −1 1 จะเห็นวา่ 1 √1 − ������2 ������������ ก็คือพนื ้ ทีค่ รึ่งวงกลมที่มรี ัศมี 1 นน่ั เอง  1 ดงั นนั้ 1 = 1 × ������(1)2 = ������ #  √1 − ������2 ������������ 1 2 2

76 แคลคลู สั 2. ������(������) = 2������ − 4 ตงั ้ แต่ ������ = 1 ถงึ 3 แบบฝึกหดั 1. จงหาพนื ้ ทท่ี ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งตอ่ ไปนี ้กบั แกน X 1. ������(������) = ������ + 1 ตงั ้ แต่ ������ = 2 ถึง 4 3. ������(������) = 6������2 − 6������ − 12 ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถงึ 3 4. ������(������) = ������2 + 1 ตงั ้ แต่ ������ = −1 ถงึ 2 5. ������(������) = ������2 − 1 6. ������(������) = 3������3 − 9������2 + 6������

แคลคลู สั 77 2. จงหาคา่ ของ 2  √4 − ������2 ������������ 2 3. พนื ้ ท่ีของบริเวณท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = ������3 − 2������2 + 2������ และแกน X จาก ������ = 0 ถงึ ������ = 4 เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-22] 4. กาหนดให้ ������(������) = {������ + 3 เม่อื ������ < −1 เมอ่ื ������ ≥ −1 −2������3 พนื ้ ท่ีทป่ี ิดล้อมด้วยกราฟของ ������ บนชว่ ง [−4, 0] มีคา่ เทา่ ใด [A-NET 51/2-10] 5. กาหนดให้ กราฟของ ������ = ������(������) มีความชนั ที่จดุ (������, ������) ใดๆ เป็น 2������ + 2 และ ������ มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์เทา่ กบั −3 พนื ้ ที่ของอาณาบริเวณท่ปี ิดล้อมด้วยกราฟของ ������ = ������(������) แกน X เส้นตรง ������ = −1 และเส้นตรง ������ = 0 เทา่ กบั กี่ตารางหนว่ ย [A-NET 49/1-19]

78 แคลคลู สั 6. ให้ L เป็นเส้นตรงทผี่ า่ นจดุ (0, 10) และมีความชนั มากกวา่ −1 แตน่ ้อยกวา่ 0 ถ้าพนื ้ ท่ขี องอาณาบริเวณทถี่ กู ปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กบั แกน ������ จาก ������ = 0 ถึง ������ = 6 มีคา่ เทา่ กบั 51 ตารางหนว่ ย แล้ว จงหาพนื ้ ท่ขี องอาณาบริเวณทถี่ กู ปิดล้อมด้วยเส้นตร L กบั แกน ������ จาก ������ = 0 ถึง ������ = 3 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/39] 7. กาหนดให้ ������ แทนพนื ้ ที่ของอาณาบริเวณท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ������ = 1 − ������2 และแกน X ������ แทนพนื ้ ที่ของอาณาบริเวณทใ่ี ต้เส้นโค้ง ������ = ������2 เหนอื แกน X จาก ������ = −������ ถึง ������ = ������ 4 คา่ ของ ������ ท่ีทาให้ ������ = ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/32] 8. กาหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ C( 1 , √3 ) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ ม ABC 22 ถ้ากราฟของ ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ ผา่ นจดุ A(0, 0), B(1, 0) โดยท่ี AC และ BC เป็นเส้นสมั ผสั กราฟของ ������ ทีจ่ ดุ A(0, 0), B(1, 0) ตามลาดบั แล้วพน่ื ทที่ ่ปี ิดล้อมด้วยกราฟของ ������ และเส้นตรง AB มคี า่ เทา่ ใด [PAT 1 (ธ.ค. 54)/18]

แคลคลู สั 79 พนื ้ ท่ีระหวา่ งเส้นโค้ง # ทผี่ า่ นมา เป็นการหาพนื ้ ทร่ี ะหวา่ งเส้นโค้งเส้นหนง่ึ กบั แกน X นอกจากนี ้การอนิ ทเิ กรต ยงั สามารถใช้หาพนื ้ ทรี่ ะหวา่ งเส้นโค้งสองเส้นได้ด้วย b พนื ้ ทีร่ ะหวา่ งเส้นโค้ง ������(������) กบั ������(������) ตงั ้ แต่ ������ = ������ ถึง ������ = ������ จะหาได้จากสตู ร  ������(������) − ������(������) ������������ a ������ = ������(������) ������ = ������(������) b พนื ้ ที่สว่ นที่แรเงา =  ������(������) − ������(������) ������������ a ������ ������ ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทท่ี อี่ ยรู่ ะหวา่ งเส้นโค้ง ������ = ������3 + 1 และ ������ = ������2 ตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 2 ดงั รูป ������ = ������3 + 1 ������ = ������2 2 2 = 1 ������4 + ������ − 1 ������3 2 | วิธีทา พนื ้ ทร่ี ะหวา่ งโค้ง =  ������3 + 1 − ������2 ������������ 43 0 0 = [1 (2)4 + 2 − 1 (2)3] − [1 (0)4 + 0 − 1 (0)3] = 10 4 34 3 3 อยา่ งไรก็ตาม การใช้สตู ร b ������(������) − ������(������) ������������ มีสง่ิ ท่ีต้องระวงั คอื  a  บริเวณท่ี ������(������) อยเู่ หนือ ������(������) ผลอนิ ทเิ กรตจะเป็นบวก  บริเวณท่ี ������(������) อยู่ ใต้ ������(������) ผลอนิ ทเิ กรตจะเป็นลบ เนือ่ งจาก พนื ้ ทีเ่ ป็นลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ก่อนตอบต้องเปลย่ี นเครื่องหมายเป็นบวกด้วย ปัญหาจะเกิดเมอ่ื บางสว่ น ������(������) อยเู่ หนือ ������(������) และบางสว่ น ������(������) อยใู่ ต้ ������(������) ดงั รูปตอ่ ไปนี ้ ������(������) ������ ������ ������ ������(������) cb เวลาหาพนื ้ ทที่ ี่แรเงาในรูปข้างบน จะต้องแยกอินทิเกรต  หนงึ่ เที่ยว และ  อกี หนง่ึ เทย่ี ว ac โดยถ้าอนั ไหนเป็นลบกเ็ ปลย่ี นให้เป็นบวกกอ่ น แล้วคอ่ ยเอามารวมกนั อยา่ งไรก็ตาม ปกติโจทยก์ ็จะไมใ่ จดบี อกจดุ ������ มาให้ จะเห็นวา่ จดุ ������ ก็คอื จดุ ที่ ������(������) ตดั กบั ������(������) นน่ั เอง วิธีหาจดุ ตดั ของ ������(������) กบั ������(������) ก็คือให้แก้สมการ ������(������) = ������(������)

80 แคลคลู สั ดงั นนั้ สง่ิ ทต่ี ้องทาเป็นอนั ดบั แรกในการทาโจทยเ์ รื่องนคี ้ อื ต้องแก้สมการ ������(������) = ������(������) เพ่ือหาจดุ ตดั กราฟกอ่ น ถ้าแก้สมการ ������(������) = ������(������) แล้วไมม่ คี าตอบ แสดงวา่ ������(������) กบั ������(������) ไมต่ ดั กนั นนั่ เอง และสดุ ท้าย ถ้าโจทย์ไมบ่ อกวา่ ต้องการพนื ้ ทตี่ งั้ แต่ ������ เป็นเทา่ ไหร่ถงึ เทา่ ไหร่ ก็ให้หาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั กนั ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทก่ี ราฟตดั กนั ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ทร่ี ะหวา่ ง ������ = ������2 และ ������ = ������ ตงั ้ แต่ ������ = −1 ถึง ������ = 1 วธิ ีทา ก่อนอน่ื หาจดุ ตดั กนั ของสองกราฟนกี ้ ่อน โดยแก้สมการ ������2 = ������ ������2 − ������ = 0 ������(������ − 1) = 0 ������ = 0 , 1 จะเหน็ วา่ จาก ������ = −1 ถงึ ������ = 1 ต้องผา่ นจดุ ตดั กราฟที่ ������ = 0 ดงั นนั้ ต้องแยกกินทเิ กรตท่ี ������ = 0 0 = 1 ������3 − 1 ������2 |0−1 3 2  ������2 − ������ ������������ 1 = [13 (0)3 − 1 (0)2] − [13 (−1)3 − 1 (−1)2] = 5 2 2 6 1 = 1 ������3 − 1 ������2 |01 3 2  ������2 − ������ ������������ 0 = [31 (1)3 − 1 (1)2] − [31 (0)3 − 1 (0)2] = −1 → เปลย่ี นเป็นบวก ได้ 1 2 2 6 6 ดงั นนั้ พนื ้ ทท่ี งั้ หมด คอื 5 + 1 = 1 # 66 ตวั อยา่ ง จงหาพนื ้ ที่ระหวา่ ง ������ = √������ และ ������ = ������ √������ = ������ วิธีทา หาจดุ ตดั กนั ของสองกราฟนกี ้ ่อน โดยแก้สมการ ������ = ������2 0 = ������2 − ������ 0 = ������(������ − 1) อยา่ ลืมตรวจ คาตอบด้วย ! ������ = 0 , 1 ข้อนโี ้ จทย์ไมไ่ ด้บอกวา่ ให้หาพนื ้ ทตี่ งั้ แตต่ รงไหนถงึ ตรงไหน ดงั นนั้ ต้องหาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั กนั ไปจนถงึ จดุ สดุ ท้ายทกี่ ราฟตดั กนั นน่ั คอื ตงั้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 1 จะได้ พนื ้ ที่ = 1 = 2 3 − 1 ������ 2 |01 2  √������ − ������ ������������ 3 ������2 0 = [2 3 − 1 (1)2] − [2 3 − 1 (0)2] = 1 # (1)2 (0)2 32 32 6 แบบฝึกหดั 1. จงหาพนื ้ ที่ระหวา่ ง ������ = ������ − 2 และ ������ = 2 − ������ ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3

แคลคลู สั 81 2. จงหาพนื ้ ทีร่ ะหวา่ ง ������ = 3������2 + 2 และ ������ = 1 − ������ ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 2 3. จงหาพนื ้ ทีร่ ะหวา่ ง ������ = 2������2 − ������ − 4 และ ������ = ������2 + ������ − 1 ตงั ้ แต่ ������ = 0 ถึง ������ = 3 4. จงหาพนื ้ ที่ระหวา่ ง ������ = ������2 − 1 และ ������ = 1 − ������2

82 แคลคลู สั 5. จงหาคา่ ������ > 0 ที่เป็นไปได้ทงั้ หมด ท่ที าให้พนื ้ ท่ขี องบริเวณทปี่ ิดล้อมโดยกราฟของพาราโบลา ������ = ������ − ������������2 และ ������ = ������2 มคี า่ มากสดุ ������

แคลคลู สั 83 ลมิ ติ ของฟังก์ชนั 1. 1. 6 2. −1 3. หาไมไ่ ด้ 4. − 1 5. หาไมไ่ ด้ 6. −5 2 7. 3 ������2−√������ = (√������)4 − √������ = √������((√������)3−1) = √������(√������−1)((√������)2+√������+1) = √������((√������)2 + √������ + 1) √������−1 √������−1 √������−1 √������−1 ดงั นนั้ lim ������2−√������ = √1((√1)2 + √1 + 1) = 1(3) = 3 √������−1 x 1 2. 1 3. 6 4. 3 5. 330 ลมิ ติ ทางซ้าย – ลมิ ติ ทางขวา 1. 3 2. หาไมไ่ ด้ 3. −2 4. หาไมไ่ ด้ 5. 32 6. หาไมไ่ ด้ 7. −1 8. 3 9. 0 10. − 1 11. 12 12. 9 13. 2 2 การหาลมิ ติ จากกราฟ 1. 1 , 1 , 1 , 1 2. หาไมไ่ ด้ , 4 , 4 , 4 3. 3 , 1 , 3 , หาไมไ่ ด้ 4. 1 , หาไมไ่ ด้ , หาไมไ่ ด้ , หาไมไ่ ด้ ความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั 1. ตอ่ เนอื่ ง / ตอ่ เน่อื ง 6. ������ = 2, ������ = −1 2. ตอ่ เนื่อง / ไมต่ อ่ เนอ่ื ง 8. 8 3. ตอ่ เนอ่ื ง / ตอ่ เนอ่ื ง 10. 18 4. ตอ่ เนอื่ ง / ไมต่ อ่ เนือ่ ง 12. −10 5. 1 14. 8 7. 2, 4 16. √7 − 2 9. 24 11. 0.125 13. 53 15. 15 อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี 1. 1. 2 2. 1 3. 8 4. 2������ + 1 5 อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ 1. 1. −4 2. −6 2. 1. 4 2. 12

84 แคลคลู สั อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั 1. 1. 2������ + 2 2. 12������3 − 2������ + 1 3. −1 + 2������ − 3������2 4. 1 5. 3√������ − 1 2√������ 2 6. 3√������ − 1 7. − 3 2 √������ 2������2√������ 2. 1. 4������ − 3 3. − 2������ 4. 2 3. 6 2. 6������2 − 6������ + 2 (������2+2)2 (������+1)2 5 4. 3 5. 88 6. 5 9 3 7. 6 8. 4 9. 12 10. 1, 2 11. 1.5 12. 16 13. 3 กฎลกู โซ่ 5 1. 1. 100(2������3 + 1)99(6������2) 2. − 2������+2 (������2+2������−5)2 3. 2������+3 2√������2+3������ 4. (2������2 + 4������ − 3)(2������ + 2) 2. 1. 2������3 2. 2������ √������4+3 4. 2 3. 1 5. 1.5 6. 1 2 3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั แฝง 1. 1. 3 2. 8 3. 5 อนพุ นั ธ์อนั ดบั สงู 3 4 1. 6������ + 2 2. − 6 3. 105 4. 120 5. 1 ������4 3 6. 35 ระยะทาง ความเร็ว ความเร่ง 1. 7, 8 2. 12 3. 4 กฎของโลปิตาล 1. 1. 2 2. −6 3. หาไมไ่ ด้ 4. −3 2. 5 3. 634 ความชนั เส้นโค้ง 1. 1. −2 2. 1 2. ������ = −2������ + 2 4 6. 1 15 3. ������ = 4������ + 2 4. 8√82 5. 4 8. 3 7. 2

แคลคลู สั 85 ฟังก์ชนั เพ่ิม – ฟังก์ชนั ลด 1. 1. เพ่ิม 2. ลด 3. เพม่ิ 4. เพ่มิ 2. 1. (3, ∞) 3. 3 2. (−∞, 1) ∪ (3, ∞) 4. 1, 3 คา่ สงู สดุ ตา่ สดุ 1. 1. สงู สดุ (−3, 42) / ต่าสดุ (1, 10) 2. สงู สดุ (1, 4) 2. 1. สงู สดุ (2, 8) / ต่าสดุ (−2, −8) 2. สงู สดุ (2, 30) / ไมม่ จี ดุ ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ 3. 5 4. 18 5. 10 6. 0 7. 1, 2 8. 1, 2 9. 2 ปฏยิ านพุ นั ธ์ 1. 1. 2������2 − 3������ + ������ 2. ������4 + 2������3 − 3������2 + 5������ + ������ 3. 2������√������ + ������ 22 3 4. 2√������ + ������ 5. ������3 − ������ + ������ 6. ������2 + 2������ + ������ 2. 2 32 5. 100 6. 6 3. −3 4. 354 9. 42 10. 2 13. 10 14. 157 7. 8 8. 7 11. 2 12. 1, 2 15. 2.25 อนิ ทิกรัลจากดั เขต 1. 1. 10 2. 0 3. 12 4. −2 2. 5 3. −6 4. 7 5. 34.5 6. 132 7. 9.25 9. 38 10. 12 11. 104 3 13. 18 14. 0.25 15. 4 17. 91 18. 990 19. 8 8. 63 21. 3 22. 4 23. 4 12. 3 16. 48 20. 3 24. 1 พนื ้ ทีท่ ี่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 1. 1. 8 2. 2 3. 31 4. 6 5. 4 6. 3 5. 8 4. 3 3 2 8. √3 3 2. 2������ 3. 37.33 6 6. 27.75 7. 2

86 แคลคลู สั พนื ้ ทีร่ ะหวา่ งเส้นโค้ง 1. 5 2. 12 3. 9 4. 8 3 5. 1 หาจดุ ตดั ของทงั ้ สองกราฟก่อน โดยการแก้สมการ ������ − ������������2 = ������2 → ������ − (������ + 1) ������2 = 0 ������ ������ → ������ (1 − (������2+1) ������) = 0 ได้ ������ = 0 หรือ 1 − (������2+1) ������ = 0 → ������ ������ ������ = 0 , ������ ������2+1 ดงั นนั้ พท ใต้กราฟ เอาสองเส้นมาลบกนั แล้วอินทเิ กรต ตงั้ แต่ ถึง ������ = 0 ������2+1 สองเส้นลบกนั ได้ ������ − ������������2 − ������2 → อนิ ทิเกรตได้ ������2 − ������������3 − ������3 แล้วแทน ������ = ������ ลบด้วยแทน ������ =0 ������2+1 (������2���+��� 1)2 ������ 2 3 3������ (������2���+��� 1)3 (������2���+��� 1)3 (������2���+��� 1)2 (������2���+��� 1)3 (������2���+��� 1)2 ได้ พท = 1 − ������ − 1 = 1 − 1 (������2+1) = (21 − 31) 2 3 3������ 2 3 2 ������ = 1 (������2���+��� 1)2 = 1 (������+1 ���1���) = 1 → มากสดุ เมอื่ ������2 + 1 น้อยสดุ 6 6 6(������2+������12+2) ������2 ดฟิ ได้ 2������ − 2 =0 → ������4 = 1 → ������ = ±1 → ������ = 1 ������3 เครดิต ขอบคณุ คณุ ครูเบริ ์ด จาก กวดวิชาคณิตศาสตร์ครูเบริ ์ด ยา่ นบางแค 081-8285490 คณุ Buz SetthaponView คณุ Kanjana Pednok คณุ Theerat Piyaanangul ท่ชี ่วยตรวจสอบความถกู ต้องของเอกสาร


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook