สรุป เรื่องความน่าจะเป็นล่าสุด

สรปุ เรอ่ื ง ความนาจะเปน

คาํ นํา e-book ฉบบั นี้เปนสว นหนงึ่ ของวิชา คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 โดยมจี ุดประสงค เพื่อ การศกึ ษาความรูที่ไดจากเร่อื ง ความนาจะเปน ทัง้ นี้ ในรายงานน้มี เี นอ้ื หาประกอบดว ยความรูเกีย่ วกบั ความ นาจะเปน ตลอดจนการประยุกตใ ชค วามนาจะเปน ผูจัดทําไดเลือกหัวขอนี้ในการทํารายงาน เนื่องมาจากเปนเรื่องท่ีนาสนใจ รวมทั้งแสดงใหเห็นถึง ความสําคัญของวิชาคณิตศาสตร ผูจัดทําตองขอขอบคุณคุณครูผูใหความรู และแนวทางการศึกษา หวังวา รายงานฉบับน้ีจะใหความรู และเปนประโยชนแกผูอานทุก ๆ ทาน หากมีขอเสนอผิดพลาดประการใด ผูจ ัดทาํ ขออภัยไว ณ ทีน่ ้ี คณะผูจดั ทาํ

ความนาจะเปน ความนาจะเปน ของเหตุการณ ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ คอื จาํ นวนท่ีแสดงใหทราบวา เหตกุ ารณใดเหตุการณห นึ่งมโี อกาส เกิดขึ้น มากหรือนอยเพียงใด ความนาจะเปน ของเหตุการณใ ด ๆ เทา กบั อตั ราสวนของจาํ นวนเหตกุ ารณ ท่ีเราสนใจ (จะใหเกิดข้นึ หรือไมเ กิดขนึ้ กไ็ ด) ตอจาํ นวนผลลพั ธท ัง้ หมดที่อาจจะเกดิ ขึ้นได ซ่ึงมสี ตู รในการ คิดคาํ นวณดงั น้ี สูตรความนา จะเปนของเหตกุ ารณ เม่อื ผลทงั้ หมดท่ีอาจจะเกิดข้นึ จากการทดลองสมุ แตล ะตัวมโี อกาสเกิดข้ึนได เทา ๆ กัน กําหนดให E แทน เหตุการณท่เี ราสนใจ P(E) แทน ความนาจะเปน ของเหตุการณ n แทน จาํ นวนสมาชกิ ของเหตุการณ S แทน ผลลัพธทั้งหมดท่อี าจจะเกดิ ขนึ้ ได N แทน จาํ นวนสมาชกิ ของผลลพั ธท งั้ หมดท่อี าจจะเกดิ ขน้ึ ได

การทดลองสมุ และเหตกุ ารณ การทดลองสุม (random experiment) คอื การทดลองซึง่ ทราบผลวา ผลลพั ธอาจจะเปน อะไรไดบ างแตไมส ามารถบอกไดอยางแนนอนวา ในแตละ ครงั้ ที่ทดลอง ผลทจี่ ะเกิดขน้ึ คืออะไรในบรรดาผลลัพธท ี่อาจจะเปนไดเ หลา นั้น เชน ในการทอดลูกเตาหนึง่ คร้ัง แตมที่ ปรากฏหนาลูกเตา อาจจะเปน 1,2,3,4,5 หรือ 6 แตไ มส ามารถบอกไดอยางแนนอนวา แตม ท่จี ะไดเปนแตมใด เรียก การทอดลกู เตาดงั กลาววา “การทดลองสุม” และเรียกเวทของแตม ที่ปรากฏบนหนา ลูกเตา ท่เี ปน ไปไดท ั้งหมดวา ปริภูมิ ตัวอยาง หรือ แซมเปล สเปช (sample space) เหตกุ ารณ (event) คือ เซทของผลลัพธ หรือ สบั เซทของปรภิ มู ติ วั อยาง บทนยิ ามของการทดลองสุม และเหตกุ ารณ 1. ปริภมู ิตัวอยา ง คอื เซทที่มีสมาชิกเปน ผลลพั ธทอ่ี าจจะเปน ไปไดท้ังหมดของการสมุ 2. เหตุการณ คอื สบั เซท ของปริภูมติ วั อยาง

ตวั อยา ง

1. กลอ งใบหนง่ึ มบี ตั ร 5 ใบ ซงึ่ เขียนหมายเลข 1,2,3,4,5 กาํ กบั ไว ถาหยิบบตั รจากกลอ งใบนพี้ รอม กัน 3 ใบ จงหาความนาจะเปนทีผ่ ลรวมของแตม บนบัตรมากกวา 10 วธิ ที ํา n(S) คือ จํานวนวธิ ที ั้งหมดในการหยบิ บัตร 5 ใบโดยหยิบพรอมกันครงั้ ละ 3 ใบ ดังน้ัน ������������ ������������ = ������������5 3 = 5! 5 − 3 ! 3! = 10������������(������������) = ������������5 3 = 5! 5 − 3 ! 3! = 10 n(E) คอื จํานวนวิธีท่บี ัตร 3 ใบทหี่ ยบิ มาพรอ มกนั ผมรวมของหมายเลขในบตั รมากกวา 10 ดงั นั้น ������������ ������������ = 3,4,5 4,5,2 = 2 ������������ ������������ = 210 = 15������������ ������������ = 210 = 15 ความนาจะเปน ท่ีผลรวมของแตม มากกวา 10 คอื 15

2. นักเรียนชาย 4 คน นกั เรียนหญิง 4 คน ยนื เรยี งแถวหนา กระดาน จงหาความนา จะเปน ที่ นักเรยี นชายและนกั เรยี นหญงิ จะยืนสลบั กนั วธิ ที ํา ������������(������������) คือ จํานวนวิธีจดั คน 8 คนยนื สลับทก่ี นั ������������ ������������ = 8! ������������(������������) คอื จํานวนวธิ ีจัดคนใหยนื โดยท่ีหญงิ ชาย ยืนสลบั กนั ������������ ������������ = 4! 4! 2 ดังนั้นขอ นี้ตอบ ������������ ������������ = 4! 4! 28!

3. กลองใบหนึ่งมีลูกแกว ขนาดเดยี วกัน 13 ลูก เปน สแี ดง 6 ลูก สขี าว 4 ลกู และสีเหลือง 3 ลูก โดยที่ ลกู แกวทุกลกู แตกตา งกนั ถาสมุ หยิบลูกแกว ออกมา 3 ลูก จงหาความนา จะเปน ที่จะไดลูกแกว สีตางกนั ทงั้ 3 ลูก วธิ ีทาํ ������������ ������������ = 133 = 13! 13 − 3 ! 3! = 286������������ ������������ = (133) = 13! 13 − 3 ! 3! = 286 ������������ ������������ = (61)(41)(31) = 72������������ ������������ = (61)(41)(31) = 72 ������������ ������������ = 72286

4. ชายคนหน่ึงมเี สอื้ อยู 5 ตวั เปนเส้อื สีขาว 3 ตวั สีฟา 2 ตัว และมีกางเกงขายาว 4 ตัว เปน กาเกงสีขาว 1 ตัว สีเทา 3 ตัว ถาชายคนนี้แตง ตัวออกจากบานโดยไมเ จาะจงแลว จงหาความนา จะเปน ทช่ี ายคนนจ้ี ะสวมเสือ้ และกางเกงสตี างกนั วธิ ที าํ n(S) คือจาํ นวนวธิ ีในการแตง่ ตวั ทงั้ หมด มีเสือ้ ใหเ้ ลือก 5 ตวั และมีกางเกงใหเ้ ลือก 4 ตวั ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ ีในการแตง่ ตวั มีทงั้ หมดคอื 5 × 4 = 205 205 × 4 = 20 วธิ ี อันน้ีใชก ฎการคณู ในการคิด นนั้ คอื ������������ ������������ = 20 n(E) คอื จาํ นวนวิธที ีช่ ายคนนีแ้ ตง ตวั โดยเส้ือและกางเกงสตี างกัน จะแบง การคดิ ออกเปน 2 กรณี กรณี 1 คอื ชายคนนี้แตง ตัวโดยใสเ สอ้ื สีขาว เพราะฉะนั้นเขาเลอื กใสเ ส้ือได 3 วธิ แี ตกางเกงเขาหามเปนสีขาวฉน้ันเขาตอ งใสกางเกงเทาเลือกได 3 วิธเี พราะกางเกงสเี ทามีสามตัว จาํ นวนวิธีทั้งหมดในการแตงตวั แบบน้คี ือ 3 × 3 = 9 กรณี 2 คอื ชายคนนแี้ ตง ตวั โดยใสเ สือ้ สีฟา เพราะฉะนัน้ เขาเลอื กใสเสือ้ ได 2 วิธีและกางเกงเขาใสก างเกงสีขาวก็ได สเี ทาก็ไดทําได 4 วธิ ี เพราะฉะน้นั จํานวนวิธใี นการแตงตวั แบบนี้คือ 2 × 4 = 8 ดงั นนั้ ������������ ������������ = 9 + 88 = 17 ความนาจะเปนทช่ี ายคนนจ้ี ะสวมเสื้อและกางเกงสีตา งกันคือ ������������ ������������ = 1720

5. ตะกราใบหนึง่ มสี ม มงั คดุ และมะมวงรวมกัน 10 ลกู โดยที่จํานวนสม เปนสองเทาของจาํ นวน มงั คดุ และมมี ะมวง 1 ลูก โดยทผ่ี ลไมท ุกลูกแตกตางกัน ถาหยบิ ผลไมอยา งไมเ จาะจงจากตะกราใบนี้ จาํ นวน 3 ลูก จงหาความนาจะเปน ท่จี ะหยิบไดผ ลไมชนิดละ 1 ลูก วธิ ที าํ มะมว งมจี ํานวน 1 ลูก มังคุดไมรมู ีก่ีลูกใหมงั คุดมจี ํานวน x ลกู ฉะนั้นสมมีจาํ นวนเปน 2x ผลไมรวมกนั มจี าํ นวน 10 ลูก จะไดวา 1 +× +2 ×= 10 ×= 3 นนั้ คือมงั คดุ 3 ลกู สม้ 6 ลกู จงึ ไดวา ������������ ������������ = 103 = 240 ������������ ������������ = 11 31 61 = 18 ความนา จะเปน ท่ีจะหยบิ ไดผลไมชนิดละหนง่ึ ลูก คือ ������������ ������������ = 1824 = 340