รวม

Probability ความนา่จะเปน็ จัดทำโดย 1.นายปุณวัฒน์บุญประคองเลขที่22 2.นางสาวรจิตามารอด เลขที่25 3.นางสาวศตพรเหมือนปั้นเลขที่31 4.นางสาวสิริยาดำรงค์ศักดิ์เลขที่36

คำนำ   หนงั สอื อเิ ลก็ ทรอนกิ ส(์ E-book)เร่ืองความน่าจะเป็น (Probability) น้ี เป็นส่วนหน่ึงของวชิ าคณติ ศาสตร์ ในระดับช้ันมัธยมศึกษาปี ท่5ี โดยมีจุดประสงค์เพ่ือถ่ายทอด ความร้แู ละใช้เป็นส่อื การเรียนการสอนในเร่ืองของความ น่าจะเป็ น  คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่งิ ว่าหนังสอื อเิ ลก็ ทรอนกิ ส(์ E- book)เล่มน้ีจะสามารถเป็นเคร่ืองมอื ท่ที าให้ผู้อ่าน หรือ ผู้เรยี นน้นั เกดิ การเรียนร้ไู ด้อย่างเตม็ ศกั ยภาพของตนและ นาความร้ทู ่นี ้ีไปใช้ในการเรียนได้อย่างเหมาะสม คณะผู้จัดทา 29 มกราคม 2564

สำรบัญ หน้าท่ี 1 กฏเกณฑเ์ บ้อื งต้นเก่ยี วกบั การนับ 3 4 แฟกทอเรยี ล 7 9 วิธกี ารเรียงสบั เปล่ียน 10 การจัดหมู่ 12 การแบ่งส่งิ ของท่แี ตกต่างกนั เป็นกลุ่มย่อย 14 การแบ่งส่งิ ของท่เี หมือนกนั ออกเป็นกลุ่มย่อย ความน่าจะเป็ น 16 ทฤษฏบี ททวินาม 22 แบบฝึ กหัด 25 เฉลยแบบฝึ กหัด บรรณานุกรม

1 กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกย่ี วกบั กำรนับ  แบ่งเป็นกฏการบวกกบั กฏการคูณ  กฏการบวก กฏการบวกจะนามาใช้เม่อื กรณหี รืองานได้ทาจบแล้วหรืออธบิ ายได้อกี อย่างหน่งึ คอื เป็นการนากรณ1ี กบั อกี กรณี 1มาบวกกนั  กฏการคูณ กฏการคูณจะนามาใช้เม่อื กรณหี รืองานยงั ทาไม่จบหรืออธบิ ายได้อกี อย่างหน่งึ คอื เป็นการท่กี รณนี ้นั มขี ้อกาหนดอยู่ในเหตุการณ์

กฏเกณฑ์เบือ้ งต้นเกย่ี วกบั กำรนับ 2 ตวั อย่าง บ้านพักละสถานท่ที างานของขวญั ต้งั อยู่ริมฝ่งั แม่นา้ เจ้าพระยา ขวญั โดยสารเรือไปทางานตอนเช้าและกลับท่พี ักในตอน เยน็ ถ้าเรือยนตม์ ีขนาด คอื ขนาดใหญ่ 5ลา,ขนาดกลาง 8ลา และ ขนาดเลก็ 4ลา จานวนวิธที ้งั หมดท่ขี วัญจะโดยสารเรือไปทางานและ กลับบ้านพักด้วยเรอื ขนาดเดยี วกนั แต่ไม่ใช่เรือลาเดียวกนั น้คี ่าเท่ากบั ค่าในข้อใด 1.)28วธิ ี 2.)48วิธี 3.)68วิธี 4.)88วิธี วิธที า ให้แยกกรณที ้งั หมด จะได้3กรณี คือ  กรณ1ี โดยสารเรือไปทางานและกลับบ้านพักด้วยเรือขนาดใหญ่ จะได้ 5x4 =20 เพราะห้ามใช้เรอื ลาเดยี วกนั กบั ตอนไป(ห้ามซา้ )  กรณ2ี โดยสารเรือไปทางานและกลับบ้านพักด้วยเรอื ขนาดกลาง จะได้ 8x7 =56 เพราะห้ามใช้เรือลาเดยี วกนั กบั ตอนไป(ห้ามซา้ )  กรณ3ี โดยสารเรือไปทางานและกลับบ้านพักด้วยเรือขนาดเลก็ จะได้ 4x3 =12 เพราะห้ามใช้เรือลาเดยี วกนั กบั ตอนไป(ห้ามซา้ )  เม่อื แยกกรณเี สรจ็ แล้ว กน็ ากรณที ้งั หมดมาบวกกนั จะได้ กรณ1ี +กรณ2ี + กรณ3ี คอื 20+56+12 = 88วิธี

3 แฟกทอเรียล  แฟกทอเรียล คอื จานวนท่คี ูณกนั ลงไปจนถงึ หน่ึงหรือผลคูณเลข ติดๆกนั เขียนแทนด้วยn!  เช่น 10!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1  n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…1 ตัวอย่างท่1ี 20! =20������19������18!=20������19=10������19=190 18!2! 18!(2������1) 2������1 1  หมายเหตุ:0!=1 ตัวอย่างท่2ี 6! =6������5������4!=6������5=30 4!0! 4!������1 1  หมายเหตุ:ในกรณที ่โี จทย์ให้เศษจากการหารผลบวกของแฟคทอเรียล ให้เราหาตวั ท่หี ารแล้วลงตัว ตวั แรก ตวั อย่างท่3ี เศษจากการนา12ไปหาร 1!+2!+3!+...+60! เป็นค่าเท่าใด วิธีทำ ตัวท่1ี 2หารแล้วลงตวั ตวั แรก ตวั น้นั คอื 4!=24 จะได้ว่าต้ังแต่4! เป็นต้นไป 12สามารถหารได้ลงตัว กจ็ ะเหลือ1!+2!+3!=9 เพราะฉะน้นั เศษจากการนา12ไปหาร 1!+2!+3!+...+60! เป็นค่า 9

4 วธิ ีกำรเรียงสับเปลยี่ น  คือ การจัดเรียงส่งิ ของ ซ่ึงอาจนามาเรียงเพียงบางส่วนหรือ ท้งั หมด โดยคานงึ ถงึ ลาดบั  วิธกี ารเรียงสบั เปล่ียนมี2แบบ คอื วธิ กี ารเรียงสบั เปล่ียนเชิงเส้น กบั วิธกี ารเรียงสบั เปล่ียนเชิงวงกลม  วธิ กี ารเรียงสบั เปล่ียนเชิงเส้น แบ่งเป็น2แบบ คอื 1.) วธิ กี ารเรียงสบั เปล่ียนเชิงเส้น โดยส่งิ ของท้งั หมดแตกต่างกนั โดย มีจานวนวธิ ใี นการสบั เปล่ียน เท่ากบั n! ตัวอย่างท่1ี มีนักว่ิงแข่งอยู่6คน โดนนักว่งิ เข้าเส้นชัยในอนั ดบั ต่างๆกนั ได้ท้งั หมดก่วี ิธี ในกรณที ่ไี ม่มนี กั ว่ิงเข้าเส้นชัยพร้อมกนั วิธีทำ มีนักแข่ง6คน=6! โดย6!=6x5x4x3x2x1=720วิธี ตวั อย่างท่2ี มชี าย6คน หญงิ 6คน โดยนามาเรียงเป็นเส้นตรง จะ สามารถทาได้ก่วี ธิ ี 1.)ถ้าผู้หญงิ ท้งั 6คนยนื ตดิ กนั เสมอ 2.) ถ้าผู้หญิง ท้งั 6คนยนื แยกกนั เสมอ วิธีทำ1.) จับผู้หญิง6คนมารวมกนั เป็นหน่งึ และแยกชายออกเป็น6 คนจะได้ ญ,ญ,ญ,ญ,ญ,ญ ,ช,ช,ช,ช,ช,ช =7!6! โดย6!มาจากการ ท่หี ญิงท้งั 6คนสามารถสลับตาแหน่งกนั ได้อกี วิธีทำ2.) จบั ผู้ชายมายืนไว้แล้วนาผู้หญงิ เข้ามาแทรก จะได้ ช ช ช ช ช ช =6!7! โดย เป็นสญั ลักษณแ์ ทนตวั ผู้หญงิ ท่สี ามารถเข้า มาอยู่ได้

5 วธิ ีกำรเรียงสับเปลย่ี น  2.) วธิ กี ารเรียงสบั เปล่ียนเชิงเส้น โดยส่งิ ของไม่แตกต่างกนั ท้งั หมด (มขี องซา้ ) โดยมีจานวนวิธใี นการสบั เปล่ียน เท่ากบั ������! ������1! ������2! … ������������! โดยตวั ส่วนน้นั จะหมายถงึ การหารออกด้วยจานวนท่ซี า้ กนั เป็นชุดๆ ตัวอย่างท่1ี จานวนวิธที ่จี ะจัดตัวเลข2,3,5,5,6,7,7,7,7,9ให้ได้จานวน 10หลักต่างๆกนั ได้ก่วี ิธี วิธีทำ 21!04!!=75,600วธิ ี โดย2!มาจากเลข5ท่ซี า้ กนั 2ตัว และ4!มาจาก เลข7ท่ซี า้ กนั 4ตวั นามาหารออก ตวั อย่างท่2ี จะมีวธิ เี รียงลาดับอกั ษรจากคาว่าelectronicsให้ แตกต่างกนั ได้ก่วี ธิ ี โดยไม่คานงึ ถงึ ความหมายและeท้งั 2ตัวแยกกนั วิธีทำ ������! โดยเป็นค่าท้งั หมดท่ไี ม่ได้รวมตวั e x 9������8 โดยเป็ นค่าของe ������! 2! จะได้29!!x92������!8 = 6,531,840วธิ ี ตัวอย่างท่3ี ต้องการสร้างจานวนท่มี ีค่ามากกว่า5ล้าน จากตัวเลข 0,1,3,5,5,6,6,6 จะได้จานวนท่แี ตกต่างกนั ก่จี านวน วิธีทำ กรณที ่1ี หลัก5ล้าน จะได้ 7!=840 3! กรณท่2ี หลกั 6ล้าน จะได้27!2! !=1,260 นา840+1,260=2100

6 วธิ ีกำรเรียงสับเปลยี่ น  วธิ กี ารเรียงสบั เปล่ียนเชิงวงกลม โดยจานวนของแตกต่างกนั nส่งิ = (n-1)!  หมายเหตุ:ไม่ต้องสนใจรปู ทรง กล่าวคือวิธกี ารเรียงสบั เปล่ียน เชิงวงกลมไม่จาเป็นต้องเป็นวงกลม สนใจเพียงแค่มันเป็นท่ปี ิ ด ล้อมรอบจะเป็นวงรี ห้าเหล่ียมหือหกเหล่ียมกไ็ ด้  ตวั อย่าง ครอบครัวหน่งึ มีสมาชิกอยู่10คนเป็นผู้ชาย5คน ผู้หญงิ 5คน ครอบครัวน้กี าลังรับประทานอาหารค่าพร้อมกนั ถ้าโตะ๊ อาหารเป็นโตะ๊ กลม จงหาว่า1.)มกี ่วี ธิ ที ่ที ้งั 10คนจะน่งั รอบโตะ๊ น้ี 2.) มกี ่วี ธิ ที ่สี าม-ี ภรรยา คู่หน่งึ ต้องน่งั ติดกนั เสมอ 1.)มกี ่วี ิธที ่ที ้งั 10คนจะน่งั รอบโตะ๊ น้ี วิธีทำ (10-1)!=9!=362,880วิธี 2.) มีก่วี ธิ ที ่สี ามี-ภรรยา คู่หน่งึ ต้องน่งั ตดิ กนั เสมอ วิธีทำ =(10-1)!2! โดย(10-1)!คอื จากสตู ร และ 2!มาจากการท่ี ส,ภ สามี-ภรรยาสามารถสลับตาแหน่ง กนั ได้

การจดั หมู่ 7  ถ้ามีส่งิ ของอยู่nส่งิ เรียงกนั เป็นเส้นตรงคราวละrส่งิ จะได้Pn,r ������! ������ − ������ !  สมบตั ขิ องPn,r Pn,0=1 Pn,1=n Pn,n=n!  วธิ กี ารจดั หมู่ของส่งิ ของnส่งิ โดยเลือกมาrส่งิ จะได้Cn,r ������! !������!หรือ(������������) ������−������  สมบัติของCn,r Cn,0=1 Cn,1=n Cn,n=1  สมบตั ิของ(������������) ������ (������������)=(������ − ������) *ถ้า(���0���)+(���1���)+(���2���)+…+(������������)จะมคี ่าเท่ากบั 2������

การจดั หมู่ 8  หมายเหตุ:Pn,rมคี วามสมั พันธก์ บั Cn,r คอื Pn,r=Cn,r x r! ������! = ������! x r! ������−������ ! ������−������ !������!  ตวั อย่าง1 P15,7 มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ไร วิธีทำ จากสตู รPn,r= ������! 15! =15! ������−������ ! จะได้ 15−7 ! 8! =15x14x13x12x11x10x9=32,432,400  ตัวอย่าง2 C17,5 มีค่าเทา่ กบั เทา่ ไร วิธีทำ จากสตู รCn,r= ������! !������! จะได้ 17! = 17! ������−������ 17−5 !5! 12!5! =17���5���1���6���4������������135������������21���4���1������13=17x2x14x13=6,188  ตัวอย่าง3 (100) + (110) + (120) + ⋯ + (1100) มี ค่าเท่ากบั เทา่ ไร วิธีทำ จากสตู ร(���0���) + (���1���) + (���2���) + ⋯ + (������������)=2������ จะได้ 210 = 1024

9 กำรแบ่งสิ่งของทแ่ี ตกต่ำงกนั เป็ นกล่มุ ย่อย  โดยสามารถแบ่งออกเป็น 2 กรณี คือ 1.)แต่ละกลุ่มมจี านวนท่ไี ม่ เท่ากนั และ2.)เม่อื แบ่งแล้วมีบางกลุ่มท่มี ีส่งิ ของจานวนเท่ากนั  กรณที ่1ี แต่ละกลุ่มมีจานวนท่ไี ม่เทา่ กนั ������! จานวนวิธเี ท่ากบั ������1!������2!…������������! โดยท่สี ่วน คือ จานวนของส่งิ ของแต่ละช้ิน  กรณที ่2ี เม่ือแบ่งแล้วมีบางกลุ่มท่มี ีส่งิ ของจานวนเท่ากนั ������! จานวนวธิ เี ท่ากบั (������1!������2!…������������!)(������1!������2!…������������!) โดยท่สี ่วน คือ จานวนของส่งิ ของแต่ละช้ินxกลุ่มส่งิ ของท่มี จี านวนเท่ากนั  ตวั อย่างท่1ี มีหนังสอื ท่แี ตกต่างกนั อยู่25เล่ม จะมีก่วี ิธที ่แี บ่งได้เป็น3 กองๆละ 7เล่ม,8เล่ม และ10เล่ม วิธีทำ วิเคราะห์ว่าอยู่ในกรณใี ด ซ่ึงในข้อน้อี ยู่ในกรณที ่1ี จะได้ว่า 25! 7! 8! 10! = 21,034,470,600วธิ ี  ตัวอย่างท่2ี มหี นงั สอื ท่แี ตกต่างกนั อยู่25เล่ม จะมกี ่วี ธิ ที ่แี บ่งได้เป็น5 กองๆละ5เล่ม วิธีทำ วเิ คราะห์ว่าอยู่ในกรณใี ด ซ่ึงในข้อน้อี ยู่ในกรณีท่2ี จะได้ว่า 25! 5! 5! 5! 5! 5! (5!) = 5,194,672,859,376

10 กำรแบ่งส่ิงของทเี่ หมือนกนั ออกเป็ นกล่มุ ย่อย  โดยสามารถแบ่งออกเป็น 2 กรณี คือ 1.)มขี องเหมอื นกนั nช้ิน แบ่งเป็นkกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มจะมีส่งิ ของอย่างน้อย1ช้ินและ2.) มี ของเหมือนกนั nช้ิน แบ่งเป็นkกลุ่ม แต่อาจมีบางกลุ่มไม่มสี ่งิ ของกไ็ ด้  กรณที ่1ี มีของเหมอื นกนั nช้ิน แบ่งเป็นkกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มจะมี ส่งิ ของอย่างน้อย1ช้ิน สูตร (������������ − 11) มาจากCn,r โดยท่nี คือ n—1 และ r คือk-1 −  กรณที ่2ี มีของเหมือนกนั nช้ิน แบ่งเป็นkกลุ่ม แต่อาจมบี างกลุ่มไม่มี ส่งิ ของกไ็ ด้ สูตร (������ + ������ − 1)มาจากCn,r โดยท่nี คือ n+k—1 และ r ������ − 1 คือ k-1  ตวั อย่าง1 เดก็ คนหน่งึ มลี ูกโปร่งอยู่20ลูก จะแจกลูกโปร่งท้งั หมดให้ เพ่ือน5คน โดยทุกคนต้องได้ลูกโปร่งอย่างน้อย1ลูก ได้ก่วี ิธี วิธีทำ วิเคราะห์ว่าอยู่ในกรณใี ด ซ่ึงในข้อน้อี ยู่ในกรณที ่1ี จะได้ว่า (250−−11)=(149)=3,876วิธี

11 กำรแบ่งสิ่งของทเ่ี หมือนกนั ออกเป็ นกลุ่มย่อย  ตวั อย่าง2 นายชู มีเหรียญเหมือนกนั 10เหรียญ จะแบ่งเหรียญ ท้งั หมดให้นายชัย นายช่า นายชองและนายชุยโดยบางคนอาจ ไม่ได้รับเหรียญเลยได้ก่วี ิธี วิธีทำ วิเคราะห์ว่าอยู่ในกรณใี ด ซ่ึงในข้อน้อี ยู่ในกรณีท่2ี จะได้ว่า (104+−41− 1)=(133)=286วิธี ตอบ 286 วธิ ี

12 ความน่าจะเป็ น  P(E)=������(������) ������(������)  โดยP(E)คือ ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่สี นใจมีสตู รคือ  โดยN(E)คือ จานวนของเหตุการณท์ ่สี นใจ  โดยN(S)คอื จานวนของเหตุการณท์ ้งั หมด  0≤ P(E)≤1  ถ้าP(E)=0คือ เหตกุ ารณไ์ ม่เกดิ ข้ึนอย่างแน่นอน  ถ้าP(E)=1คอื เหตุการณจ์ ะเกดิ ข้ึนอย่างแน่นอน  P(E)+P(E’)=1  ตัวอย่าง1 ข้าวสารบรรจุถุงแล้วกองหน่งึ ประกอบด้วย ข้าวหอม มะลิ6 ถุง ข้าวเสาไห้ 5ฤง ข้าวขาวตาแห้ง 4 ถุง ข้าวขาว3ถุง ข้าว เหนียว2ถุง และข้าวบัสมาตี 1ฤง ส่มุ หยิบข้าวจากกองน้มี า6 ถุง ความนาจะเป็นท่จี ะได้ข้าวครบทกุ ชนดิ เท่ากบั เท่าใด วิธีทำ (������������)(������������)((���������������)������������(���������)������)(������������)(������������)=187,25064=1,65047 โดยเศษท้งั หมดคือจานวนของเหตกุ ารณท์ ่ขี ้าวครบทุกชนิด และ ส่วน คือ จานวนของเหตกุ ารณท์ ้งั หมด

13 ความน่าจะเป็ น  ตวั อย่าง2 สลากชุดหน่ึงมี15ใบ มหี มายเลข1-15กากบั ถ้า ต้องการหยิบสลาก12ใบ พร้อมกนั โดยให้ได้สลากท่มี ีหมายเลข ต่ากว่า7อยู่ 5ใบเท่าน้นั ความนาจะเป็นท่จี ะหยบิ สลากได้ค่า ดังกล่าว เท่ากบั เทา่ ใด วธิ ที า (65)(79) = 216 (1125) 455 โดยเศษคือจานวนของเหตุการณท์ ่หี ยบิ สลากได้ค่าดังกล่าว และ ส่วน คือ จานวนของเหตุการณท์ ้งั หมด

14 ทฤษฏีบททวนิ าม  ต้องเท้าความถงึ เร่ืองการใช้(หน้า + หลงั )2=หน้า2+2หน้าหลัง+หลงั 2 โดยเกดิ จากสามเหล่ียมปาสคาล  เข้าส่ทู ฤษฎบี ททวินาม โดยใช้Cn,rเข้ามาใช้ (น + ล)������=(���0���)น������ล0+(���1���)น������−1ล1+(���2���)น������−2ล2+...+(������������)น0ล������  ตวั อย่างท่1ี จงใช้ทฤษฎีบททวินามกระจาย(2������ + ������3)3 (2������ + ������3)3=(03)2������3(������3)0+(13)2������2(������3)1+(32)2������1(������3)2 +(33)2������0(������3)3 จะได้ 2������3+3(2������2������3)+3(2x������6)+������9 จะได้ 2������3+6������23������3+6x3������6+������9 จะกระจายได้ 2������3+18������2������3+18x������6+������9

ทฤษฏีบททวนิ าม 15  ตวั อย่างท่2ี จากการกระจาย (������3 + 5������)5 จงหา  2.1)ผลบวกของสมั ประสทิ ธ์ทิ วินามของทุกพจน์ (������3 + 5������)5=(05)(������3)5(5������)0+(51)(������3)4(5������)1+ (52)(������3)3(5������)2+(35)(������3)2(5������)3+(54)(������3)1(5������)4 +(55)(������3)0(5������)5 โดยตัวสแี ดงคือสมั ประสทิ ธ์ทิ วินาม จะได้1+5+10+10+5+1=32  2.2)ผลบวกของสมั ประสทิ ธ์ขิ องทุกพจน์ วิธีทำ จากข้อ2.1) จะได้������15+5(������125������1)+10(������925������2)+10(������6125������3)+ 5(������3625������4)+ 3125������5 จะได้������15+25(������12������1)+250(������9������2)+1250(������6������3)+ 3125(������3������4)+ 3125������5 โดยตวั สแี ดงคือสมั ประสทิ ธ์ิ จะได้ 25+250+1250+3125+3125=7775  หมายเหตุ:ถ้าโจทย์ต้องการสมั ประสทิ ธ์ทิ วินาม เราต้องตอบด้วย สมั ประสทิ ธ์ทิ วินาม เพราะสมั ประสทิ ธ์ทิ วินามกบั สมั ประสทิ ธ์ไิ ม่ เหมือนกนั

16 แบบฝึ กหดั  มตี วั เลือก4ตัวเลือก ให้เลือกคาตอบท่ถี ูกต้องท่สี ดุ  1. กล่องใบหน่งึ มีสลากอยู่ 5 ใบ คือ สลากหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 ถ้าส่มุ หยบิ สลากจากกล่องน้ขี ้นึ มาสองใบพร้อมกนั เหตกุ ารณใ์ นข้อใดมีโอกาสเกดิ ข้ึนได้น้อยท่สี ดุ 1.)ได้สลากหมายเลขค่ีท้งั สองใบ 2.)ได้สลากท่มี หี มายเลขต่างกนั อยู่ 3 3.)ได้สลากท่มี ีหมายเลขน้อยกว่า 4 ท้งั สองใบ 4.)ได้สลากท่มี ผี ลรวมของหมายเลขมากกว่า 5  2.จัดคน 8 คน ซ่ึงมีสมชาย สมคดิ และสมศรีรวมอยู่ด้วยกนั เข้า น่ังเรียงกนั เป็นแถวตรง โดยท่สี มศีน่งั กลางติดกบั สมชายและ สมคดิ เสมอ จานวนวิธที ่ตี ิดกบั ท่นี ่ังดงั กล่าวมคี ่าเทา่ กบั ข้อใด 1.)360 วิธี 2.)720 วธิ ี 3.)1,440 วธิ ี 4.)1,080 วธิ ี

แบบฝึ กหดั 17  3.)ในการจดั งานของบริษทั แห่งหน่งึ ได้แจกบัตรแก่ผู้ร่วมงาน 100 ใบซ่ึงมีต้งั แต่เลข 00 ถงึ 99กากบั อยู่ส่มุ หยิบต้นข้วั ของบตั ร ข้ึนมา 1ใบเพ่ือให้รางวลั แก่ผู้ร่วมชมงาน ผู้ซ่ึงมีบตั รท่หี มายเลข ตรงกบั ต้นข้วั จะได้รับรางวลั ท่ี 1 ส่วนผู้ท่มี ีหมายเลขหลักหน่วย หรือหลักสบิ ตรงกบั ต้นข้ัวเพียงหลักเดยี วจะได้รับรางวลั ท่ี 2 ถ้า สมชายไดรับแจกบตั รมา 1 ใบ ความน่าจะเป็นท่สี มชายจะได้รับ รางวัลคือข้อใด 1.)1/100 2.)1/10 3.)19/100 4.)19/10  4. สลากชุดหน่งึ มี 10 ใบ มหี มายเลข 1 – 10 กากบั ความ น่าจะเป็นท่จี ะหยิบสลากพร้อมกนั 3 ใบโดย ให้แต้มรวมเป็น 10 และไม่มสี ลากใบใดท่หี มายเลขสงู กว่า 5 เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1.) 1/60 2.) 1/40 3.) 1/30 4.) 1/20

18 แบบฝึ กหดั  5.)คน 8 คน ซ่ึงมี สมศักด์ิ สมชาย และ สมหญงิ รวมอยู่ด้วย เข้าน่งั รอบโตะ๊ กลมซ่ึงมี 8 ท่นี ่ัง ความน่าจะเป็นท่สี มชายได้น่งั ตดิ กบั สมหญิง และสมศกั ด์ไิ ม่น่งั ตดิ กบั สมชายเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี 1.) 1/7 2.) 5/21 3.)11/42 4.)5/42  6.)มีขนมอยู่ 7 กล่อง โดยแต่ละกล่องมแี ตกต่างกนั หมด ถ้า นามาเรียงในกลองแก้ววงกลม ได้ท้งั หมดก่วี ธิ ี 1.) 180 วธิ ี 2.) 360 วิธี 3.) 720 วธิ ี 4.) 1444 วธิ ี

19 แบบฝึ กหดั  7.)คน 16 คนประกอบด้วยหมอ วศิ วกร ครู และตารวจอย่างละ 4 คน จะสามารถจดั กลุ่มคณะกรรมการจานวน 3 คน โดยมี 2 คนมาจากอาชีพเดียวกนั ได้ก่แี บบ 1.)224 แบบ 2.)248 แบบ 3.)288 แบบ 4.)304 แบบ  8.)ในเขตเลือกต้งั หน่งึ มีผู้แทนราษฎรได้ 3 คน มผี ู้สมคั ร 4 พรรค พรรคละ 3คน วธิ ที ่จี ะได้ราษฎรมาจากต่างพรรคกนั คือ เท่าใด 1.)648 วิธี 2.)548 วธิ ี 3.)748 วิธี 4.)448 วธิ ี

แบบฝึ กหดั 20  9.)จากการกระจาย (2������ + 3������)2 จงหาผลบวกของ สมั ประสทิ ธ์ทิ วินามของทุกพจน์คอื ข้อใด 1.)4 2.)8 3.)16 4.)32  10.)ถ้าต้องการเลือกผลไม้ 3 ชนิด จากผลไม้ 6 ชนดิ คือ ส้ม ชมพู่ มงั คุด ละมุด มะม่วง และน้อยหน่า โดยมีข้อแม้ว่า สาหรับ มังคุดกบั ละมุดน้นั ถ้าเลือกจะต้องเลือกท้งั สองชนดิ จะมวี ธิ เี ลือก ท้งั หมดก่วี ิธี 1.)28 2.)8 3.)16 4.)32

แบบฝึ กหดั 21  จงแสดงวิธที า  1.) คุณครจู บั สลากรายช่ือนกั เรียน 4 คน ได้แก่ กล้วย,ชมพู่,ส้ม และอง่นุ เพ่ือจัดลาดบั การนาเสนอผลงาน ถ้าคุณครสู ่มุ หยิบ สลากคร้ังละ1ใบ โดยไม่ใส่คืนจนครบท้งั 4ใบ แล้วเหตกุ ารณท์ ่ไี ด้ สลากท่มี ชี ่ือส้มจากการหยบิ คร้ังท่หี น่งึ มสี มาชิกอยู่ท้งั หมดก่ตี วั  2.)สลาก 25 ใบ มีหมายเลข 1 ถงึ 25 กากบั ใบละ 1 หมายเลข โดยไม่ซา้ กนั ถ้าสลากถูกส่มุ ข้ึนมา 1 ใบ ความน่าจะเป็นท่จี ะได้ สลากหมายเลขท่หี ารด้วย 2 หรือ 5 ลงตัว เท่ากบั เท่าใด  3.)จงกระจาย (2������ + 3������2)4 โดยใช้ทฤษฎบี ททวินาม  4.) บริษัทหน่ึง คัดเลือกพนักงานหญิง 4 คน ต้องการจดั หญงิ 4 คนน้ไี ปประจาท่ภี าคใต้เมืองหาดใหญ่และยะลา เมอื งละ 2 คน จะมีวิธจี ดั พนกั งานท้งั 4 คนน้ไี ด้ท้งั หมดก่วี ิธี  5.) มขี อง 4 ส่งิ คอื A B C Dต้องการแบ่งเป็น 2 กลุ่มๆละ 2 ส่งิ ได้ก่วี ิธี

22 เฉลยแบบฝึ กหดั  แบบเลือก4ตัวเลือก ข้อท่1ี .) 4 ข้อท่2ี .) 3 ข้อท่3ี .) 3 ข้อท่4ี .) 1 ข้อท่6ี .) 2 ข้อท่5ี .) 2 ข้อท่7ี .) 3 ข้อท่8ี .) 1 ข้อท่9ี .) 2 ข้อท่1ี 0.) 2  แบบแสดงวธิ ที า  1.)วธิ ที า ใบท่ี 1 หยิบได้ส้ม เลอื กได้ 1 วิธี ใบท่ี 2 หยิบใครกไ็ ด้ 3 คนท่เี หลือ เลือกได้ 3 วธิ ี ใบท่ี 3 หยิบใครกไ็ ด้ 2 คนท่เี หลือ เลอื กได้ 2 วิธี ใบท่ี 4 หยิบใครกไ็ ด้ 1 คนท่เี หลือ เลอื กได้ 1 วธิ ี ดงั น้ัน เหตกุ ารณท์ ่ไี ด้สลากช่ือส้มในคร้ังท่หี น่ึงเท่ากบั 1 × 3 × 2 × 1 = 6 แบบ  2.)วธิ ที า จานวนสลากท่หี ารด้วย 2 หรือ 5 ลงตวั = จานวนสลากท่หี ารด้วย 2 ลงตวั + จานวนสลากท่หี ารด้วย 5 ลงตวั - จานวนสลากท่หี ารด้วย 2 และ 5 ลงตวั จานวนสลากท่หี ารด้วย 2 ลงตวั = (2, 4, 6, ... , 24) = 12 จานวนสลากท่หี ารด้วย 5 ลงตวั = (5, 10, 15, 20, 25) = 5 จานวนสลากท่หี ารด้วย 2 และ 5 ลงตวั = (10, 20) = 2 = 12 + 5 - 2 =15 ใบ ดังน้ัน ความน่าจะเป็ นท่ีจะได้สลากหมายเลขท่ีหารด้วย 2 หรือ 5 ลงตัว = ¹⁵⁄₂₅ = 0.6

23 เฉลยแบบฝึ กหดั  3.)วธิ ที า (2������ + 3������2)4=(40)2������4(3������2)0+(14)2������3(3������2)1+ (42)2������2(3������2)2+(34)2������1(3������2)3 +(44)2������0(3������2)4 จะได้ 2������4+4(2������33������2)+6(2������29������4)+4(2x27������6)+81������8 จะได้ 2������4+8������312������2+12������254������4+8x108������6+81������8 จะกระจายได้ 2������4+96(������3������2)+648������2������4+864x������6+81������8 ตอบ 2������4+96(������3������2)+648������2������4+864x������6+81������8  4.)วิธที า ให้แบ่งพนักงานออกเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 2 คน เน่อื งจากกลุ่ม หน่งึ ไปทางานท่หี าดใหญ่ อกี กลุ่มหน่ึงไปทางานท่ยี ะลา ดงั น้นั 2 กลุ่มน้มี ีลักษณะไม่เหมอื นกนั ดังน้นั จากหลักการดังกล่าวข้างต้น จานวนวธิ จี ดั ท้งั หมด =24!2! !=24���!������3���2������������21! = 6 วิธี ตอบ 6วิธี

24 เฉลยแบบฝึ กหดั  5.)วิธที า หากใช้วธิ คี ดิ ตามข้างต้น โดยถือว่าท้งั สองกล่มุ มีลักษณะ แตกต่างกนั  จะได้จานวนวธิ ี = = 6 วธิ ี สามารถแสดงให้เหน็ ภาพดงั น้ี วิธที ่ี กล่มุ แรก กล่มุ หลงั 1 AB CD 2 AC BD 3 AD CB 4 CB AD 5 BD AC 6 CD AB พิจารณา ส่งิ ของของแต่ละกล่มุ จาก 6 วิธี จะพบว่า การแบ่งกล่มุ วิธที ่ี 1 เหมอื นกบั วธิ ที ่ี 6 การแบ่งกล่มุ วธิ ที ่ี 2 เหมือนกบั วธิ ที ่ี 5 การแบ่งกลุ่มวธิ ที ่ี 3 เหมอื นกบั วธิ ที ่ี 4 เน่ืองจากของ 2 กลุ่มมีจานวนส่งิ ของเท่ากนั สลบั ท่กี นั ได้ 2! วิธี แต่การสลับ ท่กี นั ไม่ถอื ว่าเป็นวิธที ่แี ตกต่างกนั จานวนวิธแี บ่ง 6 วธิ ขี ้างต้น จงึ เป็นจานวนท่เี กดิ จากการนับซา้ ดงั น้ันเม่ือ ต้องการหาจานวนวธิ ที ่ตี ่างกนั จะต้องนา 2! ไปหารจานวนวิธแี บ่งท่หี าไว้แต่เดมิ 4! จานวนวิธแี บ่งของ 4 ส่งิ ออกเป็น 2 กล่มุ ๆละ 2 ส่งิ = 2!2!(2!)= 3 วธิ ี ตอบ 3วธิ ี

25 บรรณานุกรม   ความน่าจะเป็น ม.5 [online]. Avallabel: http://www.tewlek.com/anet_prob.h tml#change สบื ค้นเม่ือ29 มกราคม 2564  2545, เร่ืองวธิ จี ดั หมู่ [online]. Avallabel: http://www.thaigoodview.com/library /teachershow/yala/ampornpan/matho nline/learn/fifth.html สบื ค้นเม่ือ31 มกราคม 2564

Thank you