กลศาสตร์ของไหล 04

หน่วยท่ี 4 โมเมนตัมและแรงทเี่ กดิ จากการเคลื่อนท่ีของของไหล (Momentum and Dynamic Forces in Fluid Flow)

4-2 แผนการสอนประจำหนว่ ย ชือ่ วิชา กลศาสตรข์ องไหล รหัสวิชา 3100-0102 ชอื่ หนว่ ยการสอน โมเมนตมั และแรงทีเ่ กิดจากการเคลอื่ นท่ขี องของไหล (Momentum and Dynamic Forces in Fluid Flow) ตอนท่ี 4.1 กฎเกณฑข์ อง Impulse Momentum 4.2 แรงทเี่ กิดจากการเคล่อื นทีข่ องของไหลบนวตั ถุ 4.3 การขบั เคล่ือนด้วยเจต แนวคิด 1. ถ้าวัตถุเคลื่อนที่อยู่ในกรอบอ้างองิ ใด ๆ ก็ตาม วัตถุนั้นจะมีโมเมนตัมอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น ๆ ค่า ของโมเมนตัมของวัตถุจะขึ้นอยู่กับสองตัวแปร คือมวลกับความเร็วดังท่ีได้กลา่ วมาแล้ว ความสัมพันธ์ของตัว แปรทั้งสองเขียนได้เป็น: โมเมนตัม = มวล × ความเร็ว 2. กฎข้อที่สองของนิวตันมีใจความว่า อัตราการเปลี่ยนแปลง Linear momentum เป็นสัดส่วน โดยตรงกับแรงทีก่ ระทำกับวตั ถนุ นั้ โดยที่การเปล่ียนแปลงโมเมนตมั นัน้ จะอยู่ในทศิ ทางแรงกระทำ 3. ในกรณีที่เป็นของไหลในจินตนาการนั้นแรงปฏิกิริยาของเจ๊ตจะมีค่าเป็นสองเท่าของแรงท่ีกระทำ บนพืน้ ทีท่ ่ีมีขนาดเท่ากบั เจต๊ และ อยลู่ กึ เทา่ กบั Orifice วตั ถุประสงค์ 1. กฎเกณฑข์ อง Impulse Momentum 2. แรงท่ีเกิดจากการเคล่อื นทขี่ องของไหลบนวัตถุ 3. การขับเคล่ือนด้วยเจต กจิ กรรมการเรยี น 1. ขัน้ นำเขา้ สบู่ ทเรยี นด้วยการ ถาม-ตอบ ใชส้ ่อื ประกอบ 2. ข้ันสนใจปญั หา 3. ขัน้ ศึกษาขอ้ มลู 4. ขัน้ พยายาม 5. ขัน้ สำเรจ็ ผล 6. ขน้ั ประเมนิ ผลหลังการเรยี น สือ่ การสอน 1. เอกสารการสอน 2. ส่ือแผ่นใส / Power point 3. แบบฝกึ หัด

4-3 การประเมินผล 1. ประเมินผลจากแบบทดสอบกอ่ นและหลังเรียน 2. ประเมินผลจากกิจกรรมและแนวตอบท้ายหน่วยการเรยี น 3. ประเมนิ ผลจากการทดสอบตามสภาพจริง

4-4 ตอนท่ี 1.1 กฎเกณฑข์ อง Impulse Momentum หัวเรื่อง 4.1.1 หลักการของ Impulse Momentum 4.1.2 การคำนวณปญั หาตามหลักการโมเมนตัมของของไหล แนวคิด 1. คา่ ของแรงลัพธค์ ณู กบั เวลา เราเรียกปริมาณนวี้ ่า การดล มหี นว่ ยเป็นนวิ ตัน.วนิ าทหี รือกิโลกรมั . เมตร/วนิ าที ซง่ึ ก็เปน็ ปรมิ าณทีบ่ อกถงึ การเปลี่ยนโมเมนตัมของวัตถนุ ่นั เอง โดยอธิบายได้วา่ สำหรบั การ เปลย่ี นโมเมนตัมของวตั ถทุ ี่เท่ากนั ถา้ ออกแรงมากเวลาที่ใช้กน็ ้อย แตถ่ ้าเวลาทใี่ ช้มากแรงท่ีใชก้ ม็ ีค่านอ้ ย 2. การดลทีอ่ าจพบเห็นในชีวติ ประจำวันไดแ้ ก่ ลกู กระสนุ ปนื วง่ิ กระทบเปา้ รถยนตช์ นกัน การ ตอกตะปูดว้ ยค้อน การตีลูกเทนนิสหรือลูกขนไก่ ลกู กระทบกนั ของลูกบิลเลียด การดลท่ยี กตัวอยา่ งนี้ เป็น การดลที่ใชเ้ วลาสน้ั ๆ แรงซง่ึ กระทำในชว่ งเวลาสั้น ๆ น้เี ราเรียกวา่ แรงดล มีหนว่ ยเป็นนิวตัน วตั ถปุ ระสงค์ 1. อธบิ ายหลักการของ Impulse Momentum ได้ 2. คำนวณปัญหาตามหลกั การโมเมนตัมของของไหลได้

4-5 4.1.1 โมเมนตมั (Momentum) กฎข้อที่สองของนิวตันมีใจความว่า อัตราการเปล่ียนแปลง Linear momentum เป็น สัดส่วนโดยตรงกับแรงท่ีกระทำกับวัตถุนั้น โดยท่ีการเปล่ียนแปลงโมเมนตัมนั้นจะอยู่ในทิศทางแรงกระทำ กฎขอ้ ท่ีสองของนวิ ตนั นี้สามารถเขยี นเป็นสมการได้ว่า F = ma = m dv dt ………….( 4.1 ) หรือเขียนใหมไ่ ดว้ ่า F dt = m dv เทอม F dt มีช่ือเรยี กว่า impulse m dv คอื คา่ การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ในกรณีที่ของไหลไหลผ่าน vane ผิวโค้งอย่าง steady ดังรปู ท่ี 4.1 ก แรงลพั ธ์ F ท่ี vane กระทำกับของไหลจะเท่ากับผลบวกของแรงย่อยบนผิวของ vane ท้ังหมด ผลบวกของแรง ยอ่ ยเหล่าน้สี ามารถหาได้โดยการเอาไพโซมเิ ตอร์มาวดั ท่ีจดุ ตา่ ง ๆ บนผวิ ของ vane รูปที่ 4.1 ก. ผวิ โคง้ อยา่ ง steady รูปท่ี 4.1 ข. Control volume รูปที่ 4.1 ข แสดงให้เห็น control volume ของของไหลในช่วงที่สัมผัสกับ vane ( ของไหลท่ีอยู่ในหน้าตัด 1 และ 2 ) ของไหลใน control volume นี้เคล่ือนท่ีจากตำแหน่ง MNไปยัง M’N’ ในเวลา dt ในช่วงเวลา dt น้ีอนุภาคของของไหลที่หน้าตัด M จะเคลื่อนท่ีได้เป็น ระยะทาง ds1 ส่วนอนภุ าคของของไหลทหี่ น้าตดั N ก็เคลอื่ นท่เี ป็นระยะทาง ds2 ในกรณีท่เี ปน็ การไหลแบบ Steady flow ท้ังมวลและความเร็วของของไหลระหว่างหน้าตัด 1 และ 2 จะคงท่ีด้วยเหตุนโี้ มเมนตัมของมันก็จะคงท่ดี ้วย ดังน้ันการเปลี่ยนแปลง โมเมนตัมของอนุภาคของไหลท่ีอยู่ภายใน Control volume ก็จะตอ้ งเป็นความแตกต่างระหวา่ ง

4-6 โมเมนตัมของของไหลทางเขา้ กับของไหลทางออกจาก Control volume แทนคา่ ในสมการ 4.1 F = ρ·Q ∆ v ……….( 4.2 ) เมอ่ื F และ v เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ สำหรบั แรงย่อยในแนวแกนนอน ( แกน X ) Fx = ρ Q ( v2 cosθ2 - v1 cosθ1) = ρQ ∆vx …….…...( 4.3 ) สำหรบั แรงยอ่ ยในแนวแกนตัง้ ( แกน Y ) Fy = ρQ ( v2 sinθ1 - v1 sinθ2 ) = ρQ ∆ vy ..……………( 4.4 ) เนอ่ื งจาก F = Fx + Fy และ v = ∆vx + ∆vy ดังนั้นแรงลพั ธท์ ี่เกดิ จากการเคลื่อนท่ีทีว่ ตั ถุกระทำกบั ของไหลกม็ ีค่า ……………….( 4.5 ) F = ρ Q ∆v หมายเหตุ สำหรับทิศทางของแรงปฏกิ ิรยิ าจะเปน็ ไปตามแนว ∆v ( ตามรปู 4.1ก และ 4.1 ข ) ส่วนแรงกริยาทขี่ องเหลวกระทำนั้น จะมขี นาดเท่ากบั แรงปฏิกริ ยิ าแต่ทิศทางตรงขา้ มกัน แฟคเตอร์แก้ไขค่าโมเมนตัม (Momentum Correction Factor) ถา้ ความเรว็ ของของไหลไมส่ ม่ำเสมอทั่วพนื้ ทห่ี นา้ ตดั แลว้ โมเมนตัมท่ีถา่ ยเทข้ามพื้นที่ หน้าตดั น้ันก็จะมากกวา่ โมเมนตัมทคี่ ำนวณไดจ้ ากความเร็วเฉลย่ี ของหนา้ ตัดนน้ั เนื่องจากโมเมนตัมท่ีถ่ายเท ขา้ มพน้ื ทหี่ นา้ ตดั เลก็ ๆ dt เมื่อมคี วามเรว็ u มคี ่า ( ρ u dA ) u = ρ u2 dA โมเมนตัมท่ีถ่ายเทข้ามพืน้ ท่ีหนา้ ตดั ทั้งหมด = ρ ∫A u2 dA ส่วน โมเมนตมั ทถี่ ่ายเทข้ามพื้นที่หน้าตดั ที่คำนวณจากความเร็วเฉล่ีย = ρ Q V = ρ A v2 ดงั นั้นตัวแก้ค่าโมเมนตมั ท่ีจะต้องนำมาคูณกบั คา่ โมเมนตัมท่คี ำนวณ จากความเร็ว เฉลยี่ กจ็ ะมีคา่ β = ρ ∫ u2 dA/ ρ A v2

4-7 = ( 1/ Av2 ) ∫A u2 dA …………….( 4.6 ) สำหรับทอ่ กลมท่มี ีการไหลแบบ ลามนิ ารน์ ้ันค่า β = 4/3 ถา้ ค่ามกี ารไหลแบบ เทอรบ์ แู ลนด์ β ก็จะมีค่าอยูร่ ะหวา่ ง 1.005 - 1.05 สำหรับการไหลแบบ open channel น้นั β จะมีค่ามากกวา่ นี้การทำโจทย์หากไมก่ ำหนดคา่ β ให้ กใ็ หใ้ ช้ค่า β = 1.0 แรงจากการไหล (Dynamic Force) การหาปรมิ าณและทศิ ทางของแรงจากการไหลกระทบผนังโค้ง จากกฏขัอท่ี 2 ของนวิ ตนั มใี จความว่า”อัตราการเปล่ียนแปลง Linear Momentum เปน็ สัดสว่ นโดยตรงกับ แรงที่กระทำกับวัตถุนั้น โดยที่การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมน้ันจะต้องอยู่ในทิศทางท่ีแรงกระทำ กฎข้อ 2 ของนิวตันนีส้ ามารถเขยี นเป็นสมการได้ว่า F = ma = m(dv/dt) หรือเขยี นใหม่ได้ว่า F dt = m dv เทอม F dt มีชอ่ื เรยี กว่า impulse m dv คือค่าการเปลย่ี นแปลงโมเมนตมั ในกรณขี องไหลๆผ่าน vane ผวิ โคง้ อยา่ ง steady ดังรูป

4-8 ตอนที่ 4.2 แรงท่ีเกิดจากการเคล่อื นท่ขี องของไหลบนวัตถุ หวั เรือ่ ง 4.2.1 โมเมนตมั และแรงทเี่ กดิ จากการเคลื่อนทีข่ องของไหล 4.2.2 การเคลอ่ื นท่ีของของไหลบนวตั ถรุ ูปแบบต่าง ๆ 4.2.3 สมการของแรงจากของไหลบนวตั ถุ 4.2.4 คำนวณแรงทเ่ี กิดจากการเคลอ่ื นทข่ี องของไหล แนวคิด 1. กรณีท่ีเป็นการไหลแบบ steady flow ท้ังมวลและความเรว็ ของของไหลระหว่างหน้าตัด 1 และ 2 จะคงที่ด้วยเหตุน้ีโมเมนตัมของมันก็จะคงที่ด้วย ดังน้ันการเปล่ียนแปลงโมเมนตัมของอนุภาค ของไหลที่อยู่ภายใน control volume กจ็ ะต้องเป็นความแตกต่างระหว่างโมเมนตัมของของไหลทางเข้า กบั ของไหลทางออกจาก control volume 2. ในกรณีที่ของไหลไหลผ่าน vane ผวิ โคง้ อย่าง steady แรงลัพธ์ F ท่ี vane กระทำกับ ของไหลจะเท่ากับผลบวกของแรงย่อยบนผิวของ vane ทั้งหมด ผลบวกของแรงย่อยเหล่านี้สามารถหาได้ โดยการเอาไพโซมเิ ตอรม์ าวดั ทจ่ี ดุ ต่าง ๆ บนผิวของ vane 3. กฎข้อท่ี 2 ของนิวตันมีใจความว่า”อัตราการเปล่ียนแปลง Linear Momentum เป็น สดั ส่วนโดยตรงกับแรงท่ีกระทำกับวัตถุนั้น โดยที่การเปล่ียนแปลงโมเมนตัมนั้นจะต้องอยู่ในทิศทางที่แรง กระทำ กฎข้อ 2 ของนวิ ตนั วตั ถปุ ระสงค์ 1. อธิบายการเคลอ่ื นที่ของของไหลบนวตั ถุรปู แบบต่าง ๆ ได้ 2. จำแนกสมการของแรงจากของไหลบนวัตถุได้ 3. คำนวณแรงทเ่ี กดิ จากการเคลื่อนที่ของของไหลได้

4-9 โมเมนตัมและแรงท่ีเกิดจากการเคล่อื นที่ของของไหล (Momentum and Dynamic Forces in Fluid Flow) แรงจากการเคลือ่ นท่ีที่กระทำกับวัตถทุ อ่ี ย่นู ง่ิ (DYNAMIC FORCE ON A STATIONARY BODY) ในการหาแรงท่เี จ๊ตกระทำกับวตั ถุท่ีอยู่น่งิ จะตอ้ งหาคา่ ∆v ในสมการ 4.3 เสียกอ่ น ทิศทางของแรงท่ี กระทำกบั วัตถุน้นั จะตรงกนั ขา้ มกบั ทิศทางของ ∆v น้ี ตวั อย่างตอ่ ไปนจ้ี ะแสดงการหาแรงดงั กล่าวนั้น ตวั อยา่ งท่ี 4.1 จากรูป 4.2 กำหนดให้มุม θ = 300 , เจต๊ ของน้ำขนาดเส้นผ่า ศูนย์กลาง 50 mm ว่ิงเข้าชน vane ทอ่ี ยู่น่งิ ด้วยความเร็วเท่าเดิม v1 = 30 m/s ถ้าหากแรงเสียดทานบน vane ทำใหค้ วามเรว็ ทีอ่ อกจาก vane ซึง่ เป็น v2 = 25 m/s จงหาแรงจากการเคลอ่ื นท่ที น่ี ำ้ กระทำกบั vane รูปท่ี 4.2 ลกั ษณะของ vane. วิธที ำ การทำโจทยแ์ บบนี้ควรเขียน Free body diagram ของของไหลก้อนท่สี ัมผัสกับ vane นั้นด้วยและ ถ้าหากไมค่ ิดแรงโนม้ ถ่วงของโลกและแรงดึงดดู ตา่ ง ๆ ที่กระทำกบั กอ้ นของไหลกจ็ ะมีลกั ษณะดังในรูปทางด้าน ขวามือ จากรูป : ( FB / W )x = แรงยอ่ ยที่ vane กระทำกบั น้ำตามแกน X (FB / W)y = แรงยอ่ ยท่ี vane กระทำกับน้ำตามแกน Y นำสมการ 5.3 มาใชก้ ันแกน X จะได้ : ( FB / W)x = p Q ( v2x – v1x) = p A1 v1 (v2 cosθ2 – v1 cosθ1) = 1000  ¶/4 (0.05 )2  30 ( 25 cos30’– 30 cos0’) = 58.9 (-8.34) = - 491.23 N

4-10 เคร่ืองหมายลบแสดงว่าทิศทางของ ( FB /W)x น้ันถูกต้องตาม diagram สำหรับแรงที่น้ำกระทำกับ vane (FB /W)x จะมที ิศทางตรงขา้ มกับ ( FB /W )x นำสมการ 4.3 มาใช้กบั แกน y จะได้ ( FB /W )y = p Q (v2y – v1y) = p Q (v2 sinθ2 – v1 sinθ1) = 58.9 (25 sin30’ –30 sin0’) = 736.25 N เครื่องหมายบวก แสดงว่าทิศทางของ ( FB /W)y ถูกต้องตาม diagram สำหรับแรงท่ีน้ำกระทำ vane , ( FB /W )y จะมที ิศทางตรงข้ามกบั ( FB /W )y ดังนน้ั แรงที่นำ้ กระทำกบั vane ก็จะมีลักษณะดงั รปู : รปู ที่ 4.3 เส้นแรงกระทำกบั vane ขนาดของแรงท่ีน้ำกระทำกบั vane มคี ่า : FB /W = √(FW/B)2x + (FW/B)2y = √(491.23)2 + (736.25)2 = 885.08 N  แรงที่น้ำกระทำกับ vane น้ีทำมมุ กับแนวนอนเปน็ มมุ : tan α = ( FB /W)y / ( FW /B)x = 736.25 / 491.23 = 56.29○ จะเหน็ ได้ว่าแรง FW / B ทีห่ าได้นีเ้ ปน็ เพียงแรงทเี่ กิดจากการเคลอ่ื นท่ีของน้ำเท่านนั้ ดังนัน้ ถ้าต้องการหาแรงรวมที่ของไหลกระทำกับ vane ก็จะต้องรวมน้ำหนักของของเหลวที่อยู่บน vane เข้ากับ ( FB /W)y { ตอ้ งคิดทิศทางของน้ำหนกั และของ ( FB /W)y } เพ่ือหาแรงรวมตามแกน y

4-11 แรงจากการเคลื่อนท่ีท่กี ระทำบนแผ่นแบน ( DYNAMIC FORCE ON FLAT PLATE ) ตามกรณีของตัวอย่างที่แล้วให้พิจารณา รูป 4.4 ซึ่งเป็นเจ๊ตกลมมีพื้นที่หน้าตัด A มี ความเรว็ v ว่งิ ชนแผน่ แบนในแนวตง้ั ฉาก รูปท่ี 4.4 เจต๊ วิ่งชนแผน่ แบนในแนวตัง้ ฉาก ตามสมการ 4.6 แรงจากการเคลื่อนท่ีท่กี ระทำกับแผน่ แบนนน้ั จะมคี ่า : ………………(4.7) F =  Q ∆v = y/g Av.v =  A V2/g =  A v2 ในทีน่ ส้ี มมตุ ิวา่ v นน้ั สมำ่ เสมอตลอดพ้ืนที่หน้าตดั ของเจต๊ ซ่ึงในทางปฎิบัตคิ วามเร็วของเจต๊ จากหวั ฉีด กส็ ม่ำเสมอจรงิ ๆ ดังน้ันตัวแกค้ ่าโมเมนตมั β จึงมคี ่าประมาณเท่ากับ 1 Streamlines และความดันท่ีเปลยี่ นแปลงบนแผ่นแบนนั้นพลอตโดยย่อส่วนมาจากค่าท่ีวัดได้จริง ๆ สมการ 4.7 นนั้ ได้สมมตุ วิ า่ ของไหลทงั้ หมดเปลยี่ นทศิ ทางเป็นมุม 90 องศา จงึ ทำให้ ∆v = v ขอ้ สมมตุ ิน้คี วามจริงไม่คอ่ ยถกู ตอ้ งนัก ด้วยเหตุท่ีของไหล ไหลแผ่ออกตามแนวรัศมีในทุกทิศทาง ดังนั้นถ้าหากพื้นที่หน้าตัดสำหรับไหลมี ขนาดคงท่ีแล้ว ความหนาของมนั กจ็ ะค่อย ๆ ลดนอ้ ยลงจนกระทั่งความเร็วของมันหมดไปโดยความเสียดทาน ดงั นัน้ แรงรวมท่ีวัดได้จากแผ่นแบนน้กี ็จะน้อยกว่าค่าที่คำนวณได้จากสมการ 4.7 อย่างไรก็ตามในทางปฎิบัติ นั้น streamlines ท่ีอยู่ในรัศมีประมาณ 4 เท่าของเจ๊ตนั้นเกือบจะขนานกับแผ่นแบน และความดันท่ีเกิด จากการเคลอื่ นทต่ี รงจุดดังกล่าวก็จะมคี า่ ใกลศ้ ูนย์ ถา้ หากแผ่นแบนน้ีมีขนาดเล็กกวา่ 4 เท่าของเจ๊ตก็ไม่ควรใชส้ มการ 4.7 สำหรับหาแรง ควรใช้ สมั ประสิทธ์ิทไ่ี ด้จากการทดสอบลว้ น ๆ แทน ความดันท่ีเน่ืองจากการเคลื่อนที่ของของไหลตรงจุดศูนย์กลาง ของแผ่นแบนซ่ึงเป็น Stagnation pressure นม้ี ีคา่ PS =  V2/ 2 =  2V2/g

4-12 ความดนั นี้จะค่อย ๆ ลดน้อยลงจนเกือบเปน็ ศูนย์ในขณะทรี่ ัศมีเพมิ่ ขนึ้ ดังรปู 4.4 ถ้า P’ เป็นความดันที่เนื่องจากการเคล่ือนที่ของ ของไหลบนแผ่นแบนที่รัศมี r ใด ๆ แล้วแรงที่เน่ืองจากการ เคล่อื นท่ีที่กระทำบนแผ่นแบนท่ีมรี ัศมี R โดยมีจุดศนู ยก์ ลางร่วมกับเจ๊ต ถ้า R นี้ใหญ่พอจนของไหลสามารถหักเหในทิศทางเป็นมุม 90 องศาแล้วค่าที่ได้จาก integrate ก็จะเท่ากับค่าท่ีได้จากสมการ 4.7 จะเห็นได้ว่าถ้าต้องการหาแรงรวมที่ของไหลกระทำกับแผ่นแบนแล้วก็ จะต้องบวกน้ำส่วนท่ีอยู่บนแผ่นแบนนี้ เข้ากับแรงที่เนื่องจากการเคล่ือนท่ี น้ำหนักดังกล่าวนี้จะต้องเป็น น้ำหนกั ของน้ำส่วนทอ่ี ยู่ใต้เจต๊ จนถงึ สว่ นท่ี streamlines ไม่ขนานกัน

4-13 ตอนที่ 4.3 การขบั เคล่อื นด้วยเจต หวั เรือ่ ง 4.3.1 วิธกี ารขับเคลอ่ื นดว้ ยเจต 4.3.2 การคำนวณการขับเคล่ือนดว้ ยเจต 4.3.3 การคำนวณแรงท่ีกระทำกบั ท่อความดัน 4.3.4 การคำนวณแรงทก่ี ระทำกบั วัตถุท่ีกำลังเคลื่อนที่ แนวคิด 1. เมื่อของไหลถูกอัดตัวให้ไหลในภาชนะปิด เช่น ในท่อก็จะมีแรงต่าง ๆ มากระทำกับท่อน้ัน แรงดังกลา่ วไดแ้ ก่ แรงจากความดนั สถิต(Static pressure) และแรงที่เกิดจากการเคลือ่ นที่ของของไหล 2. ในการหาแรงท่ีเจ๊ตกระทำกับวตั ถุท่ีอย่นู งิ่ จะต้องหาค่าความเร็วเดิมเสยี ก่อน ทิศทางของแรงท่ี กระทำกบั วตั ถุนน้ั จะตรงกนั ข้ามกบั ทิศทางของความเร็วเดมิ 3. ดว้ ยเหตุทขี่ องไหล ไหลแผ่ออกตามแนวรัศมใี นทุกทิศทาง ดงั น้ันถ้าหากพืน้ ท่หี น้าตัดสำหรับ ไหลมีขนาดคงที่แล้ว ความหนาของมันก็จะค่อย ๆ ลดน้อยลงจนกระทั่งความเร็วของมันหมดไปโดย ความเสียดทาน ดังน้ันแรงรวมท่ีวัดได้จากแผ่นแบนนี้ก็จะน้อยกว่าค่าที่คำนวณได้จากสมการ 5.5 อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัตินั้น streamlines ท่ีอยู่ในรัศมีประมาณ 4 เท่าของเจ๊ตน้ันเกือบจะขนานกับ แผน่ แบน และความดนั ท่เี กดิ จากการเคลือ่ นท่ีตรงจุดดงั กล่าวก็จะมคี ่าใกล้ศนู ย์ วตั ถุประสงค์ 1. อธิบายวธิ กี ารขบั เคลอ่ื นด้วยเจตได้ 2. คำนวณการขบั เคล่ือนดว้ ยเจตได้ 3. คำนวณแรงทีก่ ระทำกับท่อความดันได้ 4. คำนวณแรงที่กระทำกบั วตั ถุทก่ี ำลังเคล่ือนที่ได้

4-14 4.3.1 แรงปฎิกรยิ าของเจต๊ (Reaction of a jet) (a) (b) รปู ที่ 4.5 แรงปฏกิ ริ ิยาของเจ๊ต จากรูปให้ : A2 = พืน้ ทห่ี นา้ ตดั ของเจ๊ต v2 = ความเร็วของเจ๊ต สมมตวิ ่าเป็นของไหลในจินตนาการ ดังนนั้ ความเร็วของเจ๊ตก็จะเปน็ v2 = 2gh เม่ือนำหลักการของ impulse momentum มาใช้ก็จะได้แรงท่ีกระทำกับของไหลเพ่ือ เปลี่ยนความเรว็ จาก O → v2 เป็น : F2 =  Q(v2 – 0) =  A2v22 =  A2(2gh) = 2  h A2 …………….(4.8) ในกรณีท่มี ีหวั ฉดี ฉีดน้ำลงถงั ในอตั รา  Q ดว้ ยความเร็ว v1 ดงั รูป 4.5 (b) แล้ว เนอื่ งจากความเร็ว v1 น้จี ะลดลงเป็นศนู ยเ์ ม่อื อยูใ่ นถัง ค่า Δv จึงเปน็ v1 ดังนั้นแรงที่เจต๊ กระทำกับถงั ก็จะมีคา่ : F1 =  A 1 v1 Fx =  Q (v2 cosθ2 - v1 cosθ1 ) = Q Δvx และ Fy =  Q (v2 sinθ2 - v1 cosθ1 ) = Q Δvy

4-15 แรงจากการเคลอ่ื นท่ีท่กี ระทำกับท่อทม่ี ีความดนั (DYNAMIC FORCE EXERTED ON PRESSURE CONDUITS) เมื่อของไหลถูกอัดตัวให้ไหลในภาชนะปิด เช่น ในท่อก็จะมีแรงต่าง ๆ มากระทำกับท่อน้ันแรง ดงั กลา่ วไดแ้ ก่ แรงจากความดันสถิต (Static pressure) และแรงทเี่ กิดจากการเคลื่อนทข่ี องของไหล รปู ท่ี 4.6 การไหลภายในภาชนะปิด ให้พิจารณาของของไหลท่ีกำลังไหลตามแนวนอนจากซ้ายไปขวาในรูปที่ 4.6 แรงรวมที่กระทำกับไหลในท่อ คอื : F = Q (v2 -v1) p1A1 - p2A2 - Nx =  Q (v2 - v1) …………………….(4.9) Nx = p1A1 - p2A2 -  Q (v2 - v1) ……………………(4.10) รูป 4.7 แสดงให้เห็นการกระจายความดนั

4-16 รปู ที่ 4.8 แรงทกี่ ระทำบนข้องอลดขนาด Fx = p1A1 - p2A2 cosθ - Nx …………………(4.11) …..……………...(4.12) Nx = p1A1 - p2A2 cosθ - Q (v2 cosθ –v1) ในทำนองเดียวกนั ในแกน y กจ็ ะได้ : Fy = Ny -p2A2 = Q (v2sinθ - 0) Ny = p2A2 sinθ + Qv2 sinθ ตัวอย่างที่ 4.2 ในรูป 4.9 แสดงให้เห็นท่อโค้งที่ต่ออยู่กับท่อตรง จงหาแรงท่ีเน่ืองจากการ เคลื่อนท่ีท่ีของไหล (s = 0.85) กระทำกับท่อโคง้ และจงหาแรงปฏิกริ ิยาของเจ๊ตในแนวนอน ข้อมูล ทีส่ ำคัญต่าง ๆ นน้ั กำหนดไว้ในรูป และสมมตุ ิวา่ ของไหลนั้นเปน็ ของไหลในจินตนาการ วิธีทำ นำสมการพลังงานมาใช้ระหว่างหนา้ ตดั 1 และ 3 จะได้ : รูปท่ี 4.9 แรงปฏิกริ ยิ าของเจ๊ตเมอ่ื อยู่ในภาชนะ

4-17 วธิ ีทำ นำสมการพลังงานมาใชร้ ะหว่างหน้าตดั 1 และ 3 จะได้ : P1 + v1 2 + z1 = P3 + v32 + z3  2g  2g 2  105 + 0 + 10 = 0 + v32 + 6 0.85(1000  9.81) 2 v3 = 23.5 m/s ; ( ความเรว็ ของเจ๊ต) Q = A3v3 = ¶/4 (0.075)2  23.5 = 0.104 m3/s v2 = Q/A2 = 0.104 /¶ (0.1)2/ 4 = 13.2 m/s ใชส้ มการพลังงานระหว่างหนา้ ตดั 2 และ 3 : P2 + v2 + z2 = P3 + v2 + z3  2g  2g P2 + (13.2)2 + 3 = 0 + (23.5)2 + 6 0.85(1000  9.81) 2g 2g P2 = 186000 N/m2 = 1.86 bar free body diagram ของแรงต่าง ๆ ที่กระทำกับของเหลวภายในท่อโค้งนั้นมีลักษณะดังในรูป (b) ส่วนแรงที่ท่อโคง้ กระทำกับของเหลวตามแกน x นน้ั หาไดจ้ ากสมการ 10.3 คอื p2A2 - p3A3cos20˚ - (FN/L)x = Q(v3cos20˚- v2) (FN/L)x = p2A2 - p3A3cos20˚ - Q (v3cos20 ˚ - v2) = 186000  (0.1)2 - 0 - 0.85  1000  0.104 (23.5cos20 -13.2) = 675.6 ค่า บวก แสดงวา่ ทศิ ทางของ (FN/L)x ท่ีสมมตุ ิไวน้ น้ั ถูกต้อง

4-18 สำหรับในแกน y นน้ั จะไมม่ ีแรงยอ่ ยของ P2A2 และเม่ือไมค่ ดิ แรงโนม้ ถ่วงของโลกกจ็ ะสามารถ หาแรงที่ท่อโค้งกระทำกับของเหลวตามแกน y หรอื (FN/L)y ไดจ้ าก : (FN/L) - p3A3 sin 20 ˚ = Q(v3sin20˚) (FN/L) = p3A3sin20˚ + Q (v3sin20˚) = 0 + (0.85  1000) 0.104 (23.5sin20˚) = 710.5 N ดงั น้ันแรงลัพธ์ทีท่ อ่ โคง้ กระทำกับของเหลงกจ็ ะมคี ่า FN/L = √(FN/L)2 + (FN/L)2 = √(675.6)2 + (710.5)2 = 980.4 N  ทศิ ทางของแรงลัพธ์ FN/L นี้หาได้จาก : tan α = (FN/L)y / (FN/L)x = 710.5 / 675.6 α = 46.44˚ นัน่ กค็ อื แรงลพั ธ์ทท่ี อ่ โค้งกระทำกบั ของเหลวในลกั ษณะหันขน้ึ ไปทางซ้ายมอื โดยทำมุมกับแนวนอน 46.44˚ แรงที่ของเหลวกระทำกับท่อโค้งจะมีขนาดเท่าแต่ทิศทางตรงข้ามกับ FN/L นั่นก็คือจะหันลงไป ทางขวามอื โดยทำมมุ กบั แนวนอนเป็นมมุ 46.44˚ วิธีหาแรงปฏิกิริยาของเจ๊ตในแนวนอนน้ัน วิธีท่ีดีที่สุดควรเขียน free body diagram ของ ของเหลวในระบบนั้นดว้ ยดังรูป C ซึง่ จะได้ : (FS/L)x = Q (v3cos20˚ - v1) = (0.85  1000) 0.104 (23.5 cos20˚ - 0) = 1952.1 N  ในท่ีน้ี (FS/L)x เป็นแรงที่ระบบกระทำกับของเหลวตามแกนนอน แรง (FS/L)x นี้เป็นผลกระทบ รวมของแรงที่เกิดจากความดนั (pressure vector) ในแนวนอนของรูป C ส่วนแรงที่ของเหลวกระทำกับ ระบบซึ่งเรียกวา่ แรงปฏิกรยิ าของเจต๊ น้ันจะมขี นาดเท่าแตม่ ีทิศทางตรงกนั ข้ามกบั (FS/L)x ฉะน้ัน แรงปฏิกริ ิยาของเจต๊ ในแนวนอนจงึ มคี ่า 1652.1 N และมที ิศทางหนั ไปทางซ้ายมือ ก็จะมี แรงขนาด 675.6 N พยายามดนั ให้หัวฉีด (nozzle) ออกจากท่อไปทางขวามอื ในขณะเดียวกันก็จะมีแรง ขนาด 1952.1 N พยายามดันใหร้ ะบบทง้ั ระบบเคลอื่ นทีไ่ ปทางซ้าย

4-19 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความเรว็ สัมบูรณก์ บั ความเร็วสมั พัทธ์ (RELATION BETWEEN ABSOLUTE AND RELATIVE VELOCITIES) v= u +U ………………………………….(4.13) รูปที่ 4.10 แสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ งความเร็วสมั บรู ณก์ บั ความเร็วสัมพัทธ์ กำหนดให้ α ≡ มมุ ทคี่ วามเร็วสมั บรู ณ์ v ของของไหลกระทำกบั ความเรว็ สมั บูรณ์ u ของวัตถุ β ≡ มุมทีค่ วามเร็วสมั พัทธ์ U ของของไหลกระทำกบั ความเรว็ สัมบรู ณ์ u ของวัตถุ v sinα = U sinβ v cosα = u + U cosβ

4-20 แรงจากการเคล่อื นท่ที ่กี ระทำกบั วตั ถุทกี่ ำลังเคล่ือนไหว (DYNAMIC FORCE UPON BODY IN TRANSLATION) ขอ้ แตกต่างทสี่ ำคัญระหวา่ งแรงทีก่ ระทำกบั วตั ถุที่อยนู่ ่ิงกบั วตั ถทุ ่ีมกี ารเคล่อื นไหวกค็ ือ 1. จะต้องพจิ ารณาท้งั ความเรว็ สัมบรู ณ์ และความเร็วสัมพทั ธซ์ ่งึ จะทำใหก้ ารหา Δv ยากขนึ้ 2. ต้องคดิ ถงึ ปริมาณของของไหลทว่ี ิ่งชนวตั ถทุ ่ีกำลงั เคลือ่ นไหว (ชนิดเดียว) ในชว่ ง เวลาใด ๆ ถ้า : A1 = พน้ื ท่ีหนา้ ตัดของของไหล v1 = ความเรว็ ของของไหล  = น้ำหนกั จำเพาะของของไหล G = อัตราการไหลโดยนำ้ หนกั ของของไหลทฉ่ี ีดจากหวั ฉีด =  A1 v1 U1 = v1 - u1 ให้ G’ = อัตราการไหลโดยน้ำหนักที่ของไหลชนกับวัตถุท่ีเคล่ือนท่ีด้วยความเร็ว u ไปในทศิ ทางเดยี วกบั เจ๊ตทม่ี ีความเร็วเป็น v1 ดงั นั้น G’ =  Q’ =  A1(v1 - u) =  A1U1 ………………………………..(4.14) ความแตกต่างระหว่าง G กบั G’ สามารถอธิบายจากรูปที่ 4.11 รปู ท่ี 4.11 แสดงให้เหน็ เจ๊ตท่ฉี ดี ใส่ vane ทก่ี ำลงั เคลอื่ นท่ี Fu = G’/g Δvu =  A1U1 . Δvu =  A1v1 Δvu ………………(4.15) g

4-21 ตวั อกั ษร u ท่เี ขยี นไว้ขา้ งท้ายน้ันหมายถึงส่วนประกอบที่อยูใ่ นทิศทางเดียวกับความเร็ว u เราสามารถพิสูจนไ์ ดว้ า่ Δvu = ΔUu ดังจะได้พิสจู นใ์ หเ้ หน็ ตอ่ ไป จากรูป 4.11 จะเหน็ ได้ว่า: v2u = v2 cosα2 และ v1u = v1 cosα1 = v1 Δvu = v2u - v1u = v2 cosα2 - v1 …………………… (4.16) แต่ v1 = u + U ดังนัน้ Δvu = v2 cosα2 - (u + U1) = v2 cosα2 - u - U1 ………………..….(4.17) เมอ่ื พิจารณาจาก U2 ก็จะเห็นได้วา่ U2u = U2 cosβ2 U1u = U1 cosβ1 = U1 ΔUu = U2u - U1u = U2 cosβ2 - U1 …………………….(4.18) แต่ U2 cosβ2 = v2 cosα2 - u และเม่ือแทนค่าลงใน (3) กจ็ ะได้ : ΔUu = (v2 cosα2 - u) - U1 ..…………………..(4.19) จะเหน็ ได้ว่าค่าทางดา้ นขวามือของ (2) และ (4) น้ันเทา่ กนั Δvu = ΔUu แทนค่า Δvu ในสมการ 4.19 ก็จะได้ : ………………(4.20) ……………….(4.21) Fu = G’/g . ΔUu =  A1U1 . ΔUu Fu = G/g . Δvu =  A1 v1 . vu =  A1 v1 . ΔUu gg

4-22 ตวั อยา่ งท่ี 4.3 water jet มีขนาดเสน้ ผ่าศูนยก์ ลาง 50 mm มีความเร็ว 30 m/s วิ่งเข้าชน vane ทอี่ ยโู่ ดด ๆ และเคล่อื นทไ่ี ปในทศิ ทางเดยี วกันเจ๊ตน้ันดว้ ย ความเรว็ 20 m/s ถา้ มุม β2 = 150˚ และการสญู เสยี ทีเ่ นือ่ งจากความเสียดทานในขณะไหลผา่ น vane ทำให้ U2 = 0.9U1 จงหาขนาดและ ทิศทางของแรงทนี่ ้ำกระทำกบั vane รูปท่ี 4.12 ลักษณะของ vane. วธิ ที ำ ไดอะแกรมของเวคเตอรค์ วามเร็วที่ทางเขา้ และทางออกจาก vane น้นั แสดงดงั ในรูปจากโจทย์ : U2 = 0.9 U1 U2 = 0.9 (v1 - u) = 0.9 (30 - 20) = 9 m/s จากความสมั พันธ์ : v sinα = U sin β v2 sinα2 = U2 sinβ2 = 9 sin 150 ˚ = 4.5 m/s …...…………(4.22) และ v cosα = u + U cosβ v2 cosα2 = u + U2 cosβ2 ……..………(4.23) = 20 + 9 cos150˚ = 20 + 9 (-0.866) = 12.2 m/s (1) ÷ (2) ; tanα2 = 4.5/12.2 = 0.369 α2 = 20.2 ˚ แทนค่า α2 ใน (1) ก็จะได้ v2 = 4.5 sin20.2˚ = 13 m/s Fu = Q’Δvu = Q ‘(v2 cosα2 - v1) =  A (v1 - u) (v2 cosα2 - v1)

4-23 = 1000¶/4 (0.05)2(30 - 20) (12.2 -30) = 19.6 (12.2 - 30) = -348.9 N = แรงท่ี vane กรทำกับน้ำในแกน x เครื่องหมายลบ ดังนั้นแรงทีน่ ้ำกระทำกบั vane ในทิศทางของ u ก็จะมีค่าเท่ากับ 348.9 N แตม่ ีทิศทางไปทาง ขวามือ Fy = Q’ Δvy = Q’(v2 sinα2 - 0) = 19.6(13 sin 20.2˚) Fy = 88 N = แรงท่ี vane กระทำกับนำ้ ในแกน y เครื่องหมายบวกแสดงว่ามีทศิ ทางหนั หัวขึ้น ดงั นัน้ แรงทน่ี ้ำกระทำกบั vane ในแกน y กจ็ ะมีคา่ เท่ากับ 88 N แต่จะมีทิศทางหนั หัวลง แรงลัพธ์ทน่ี ำ้ กระทำกบั vane มีค่า F = √Fu2 + Fy2 = √348.92 + 882 = 359.8 N. ทิศทางของแรงลพั ธ์ tanθ = Fy / Fu = 88 / 348.9 θ = 14.16˚ น่ันกค็ อื แรงลัพธท์ ี่นำ้ กระทำ Vane จะอยู่ในลกั ษณะหนั หัวลงไปทางขวาโดยทำมมุ กบั แนวนอนเป็น มุม 14.16˚ ถา้ vane ดังกล่าวเป็นเพียง vane หน่งึ ของ vane ที่อยู่กันเปน็ ชุดแรง Fu นี้กจ็ ะมีค่า : Fu =  Q (v2 cosα2 - v1) =  A v1 (v2 cos α2 - v1) = 1000  ¶/4 (0.05)2  30 (12.2 - 30) = -1048.5 N ในกรณที ี่ vane อยู่กันเปน็ ชุดเราสามารถแกป้ ัญหาไดโ้ ดยพิจารณาจากพลังงานของของไหลกำลังเดิมของนำ้ : (Power)in = K,E. = m v12 =  Q v12 22 = {1000  ¶/4 (0.05)2  30} 302 2 = (58.9) 450 = 26505 W = 26.5 KW กำลังของน้ำตอนออกจาก vane (Power)out =  Q v22

4-24 2 = 4977 W = 58.9  132/2 = 5 KW กำลงั ของน้ำทถ่ี า่ ยเทให้แก่ vane ; (Power)transfer = Fu  u = 1048.5  20 = 20970 W = 21 KW จากกฎการอนุรักษ์พลงั งาน : (Power)in = (Power)out + (Power)transfer + (Power)friction loss 26.5 = 5 + 21 + (Power)friction loss (Power)friction loss = 0.5 KW = เปน็ กำลงั ของน้ำท่ีตอ้ งสูญเสียไปกับความเสยี ดทานกำลังทสี่ ญู เสียไปกบั ความ เสียดทานนีย้ งั สามารถคำนวณได้จาก (Power)friction loss =  Q U12 -  Q U22 22 = 58.9 (102 -92) W 2 = 0.5 KW จะเห็นไดว้ ่ากำลงั ท่สี ญู เสียไปกับความเสยี ดทานน้มี ีคา่ นอ้ ยมาก

4-25 คำถามทา้ ยหนว่ ยการเรยี นท่ี 4 คำถามข้อท่4ี .1 จงเขยี นสมการการหาคา่ แรงย่อยในแนวแกนทก่ี ำหนดให้ 1. สำหรับแรงย่อยในแนวแกนนอน ( แกน X ) 2. สำหรับแรงย่อยในแนวแกนตั้ง ( แกน Y ) คำถามข้อท่ี 4.2 จากรูป กำหนดให้มุม θ = 20 0 , เจต๊ ของน้ำขนาดเส้นผ่า ศูนย์กลาง 40 mm วิ่งเขา้ ชน vane ท่ีอยู่ นง่ิ ด้วยความเรว็ เทา่ เดิม v1 = 20 m/s ถ้าหากแรงเสียดทานบน vane ทำให้ความเร็วท่ีออกจาก vane ซ่ึง เป็น v2 = 15 m/s จงหาแรงย่อยที่ vane กระทำกบั นำ้ ตามแกน X และ แกน Y รูปประกอบคำถามข้อท4ี่ .2 ลกั ษณะของ vane.

4-26 คำถามข้อที่ 4.3 water jet มขี นาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 40 mm มีความเรว็ 20 m/s ว่งิ เขา้ ชน vane ทอ่ี ยโู่ ดด ๆ และเคล่ือนที่ไปในทิศทางเดียวกันเจต๊ น้ันดว้ ย ความเร็ว 12 m/s ถ้ามุม β2 = 120˚และการสูญเสียท่ีเนอื่ งจากความเสียดทานในขณะ ไหลผ่าน vane ทำให้ U2 = 0.8U1 จงหา ขนาดและทิศทางของแรงทน่ี ้ำกระทำกบั vane รปู ประกอบคำถามขอ้ ท่ี4.3 (ลกั ษณะของ vane.)

4-27 แบบเฉลยคำถามทา้ ยหนว่ ยการเรยี นท่ี 4 คำถามข้อที่4.1 จงเขยี นสมการการหาคา่ แรงย่อยในแนวแกนที่กำหนดให้ 3. สำหรับแรงยอ่ ยในแนวแกนนอน ( แกน X ) Fx = ρ Q ( v2 cosθ2 - v1 cosθ1) = ρQ ∆vx 4. สำหรบั แรงยอ่ ยในแนวแกนตง้ั ( แกน Y ) Fy = ρQ ( v2 sinθ1 - v1 sinθ2 ) = ρQ ∆ vy คำถามขอ้ ท่ี 4.2 จากรูป กำหนดให้มุม θ = 20 0 , เจต๊ ของนำ้ ขนาดเส้นผ่า ศนู ย์กลาง 40 mm ว่งิ เข้าชน vane ที่อยู่ น่ิงด้วยความเรว็ เท่าเดิม v1 = 20 m/s ถ้าหากแรงเสียดทานบน vane ทำใหค้ วามเร็วท่ีออกจาก vane ซ่ึง เปน็ v2 = 15 m/s จงหาแรงย่อยท่ี vane กระทำกับน้ำตามแกน X และ แกน Y รปู ประกอบคำถามข้อที่4.2 ลกั ษณะของ vane. วธิ ีทำ การทำโจทย์แบบนี้ควรเขียน free body diagram ของของไหลก้อนที่สัมผัสกับ vane นั้นด้วย และถ้าหากไม่คิดแรงโน้มถ่วงของโลกและแรงดึงดูดต่าง ๆ ท่ีกระทำกับก้อนของไหลก็จะมีลักษณะดังในรูป ทางด้านขวามอื จากรปู :

4-28 ( FB / W )x = แรงย่อยที่ vane กระทำกับน้ำตามแกน X (FB / W)y = แรงยอ่ ยท่ี vane กระทำกับน้ำตามแกน Y นำสมการ 8.3 มาใช้กนั แกน X จะได้ : ( FB / W)x = p Q ( v2x – v1x) = p A1 v1 (v2 cosθ2 – v1 cosθ1) = 1000  ¶/4 (0.04 )2  20 ( 15 cos20’– 20 cos0’) = 32.0 (-5.904) = - 188.9475 N เครื่องหมายลบแสดงว่าทิศทางของ ( FB /W)x น้ันถูกต้องตาม diagram สำหรับแรงท่ีน้ำกระทำกับ vane (FB /W)x จะมีทศิ ทางตรงข้ามกบั ( FB /W )x นำสมการ 8.4 มาใช้กบั แกน y จะได้ ( FB /W )y = p Q (v2y – v1y) = p Q (v2 sinθ2 – v1 sinθ1) = 32.0 (15 sin20’ –20 sin0’) = 164.1697 N การหาค่าแรงลพั ธ์และมมุ ที่กระทำจากการเคล่อื นทีท่ ีน่ ำ้ กระทำกับ vane เคร่ืองหมายบวก แสดงว่าทิศทางของ ( FB /W)y ถูกต้องตาม diagram สำหรับแรงท่ีน้ำกระทำ vane , ( FB /W )y จะมีทิศทางตรงขา้ มกบั ( FB /W )y ดงั นน้ั แรงทีน่ ำ้ กระทำกับ vane กจ็ ะมีลักษณะดังรปู : รูปท่ี 4.14 เส้นแรงกระทำกบั vane ขนาดของแรงทีน่ ้ำกระทำกับ vane มีคา่ :

4-29 FB /W = √(FW/B)2x + (FW/B)2y = √(- 188.9475 )2 + (164.1697 )2 = 250.3 N  แรงทีน่ ้ำกระทำกับ vane นีท้ ำมุมกับแนวนอนเป็นมุม : tan α = ( FB /W)y / ( FW /B)x = 164.1697 / 188.9475 = 40.98○ สรุป จะเห็นได้วา่ แรง FW / B ท่ีหาได้นี้เป็นเพียงแรงท่ีเกิดจากการเคล่ือนท่ีของน้ำเท่าน้ัน ดงั นั้นถ้า ต้องการหาแรงรวมท่ีของไหลกระทำกับ vane ก็จะต้องรวมน้ำหนักของของเหลวที่อยู่บน vane เข้ากับ ( FB /W)y { ต้องคิดทิศทางของนำ้ หนกั และของ ( FB /W)y } เพ่ือหาแรงรวมตามแกน y คำถามข้อท่ี 4.3 water jet มีขนาดเส้นผา่ ศูนยก์ ลาง 40 mm มีความเรว็ 20 m/s วง่ิ เข้าชน vane ท่ีอยู่โดด ๆ และเคล่ือนท่ไี ปในทศิ ทางเดยี วกนั เจต๊ น้นั ด้วย ความเรว็ 12 m/s ถ้ามมุ β2 = 120˚และการสูญเสยี ที่เน่อื งจากความเสยี ดทานในขณะ ไหลผา่ น vane ทำให้ U2 = 0.8U1 จงหา ขนาดและทศิ ทางของแรงท่นี ้ำกระทำกับ vane รปู ประกอบคำถามขอ้ ท่ี4.3 (ลกั ษณะของ vane.) วิธที ำ ไดอะแกรมของเวคเตอร์ความเรว็ ทีท่ างเขา้ และทางออกจาก vane นั้นแสดงดังในรูปจากโจทย์ : U2 = 0.8 U1 U2 = 0.8 (v1 - u) = 0.8 (20 - 12) = 9 m/s จากความสมั พนั ธ์ : v sinα = U sin β

4-30 v2 sinα2 = U2 sinβ2 …...……………(1) = 9 sin 120 ˚ = 4.5 m/s และ v cosα = u + U cosβ v2 cosα2 = u + U2 cosβ2 = 20 + 9 cos120˚ = 20 + 9 (-0.866) = 12.2 m/s …………………(2) (1) ÷ (2) ; tanα2 = 4.5/12.2 = 0.369 α2 = 20.2 ˚ แทนค่า α2 ใน (1) ก็จะได้ v2 = 4.5 sin20.2˚ = 13 m/s Fu = Q’Δvu = Q ‘(v2 cosα2 - v1) =  A (v1 - u) (v2 cosα2 - v1) = 1000¶/4 (0.05)2(30 - 20) (12.2 -30) = 19.6 (12.2 - 30) = -348.9 N = แรงที่ vane กรทำกบั น้ำในแกน x เครือ่ งหมายลบ ดังนนั้ แรงท่ีน้ำกระทำกับ vane ในทิศทางของ u ก็จะมคี ่าเท่ากับ 348.9 N แตม่ ีทิศทางไปทาง ขวามือ Fy = Q’ Δvy = Q’(v2 sinα2 - 0) = 19.6(13 sin 20.2˚) Fy = 88 N = แรงที่ vane กระทำกับน้ำในแกน y เครอ่ื งหมายบวกแสดงว่ามีทศิ ทางหนั หวั ขน้ึ ดังน้ันแรงท่ีนำ้ กระทำกับ vane ในแกน y ก็จะมคี า่ เทา่ กบั 88 N แตจ่ ะมที ิศทางหนั หวั ลง แรงลพั ธ์ที่น้ำกระทำกบั vane มคี ่า F = √Fu2 + Fy2 = √348.92 + 882 = 359.8 N. ทิศทางของแรงลัพธ์ tanθ = Fy / Fu = 88 / 348.9 θ = 14.16˚ น่ันก็คือ แรงลัพธ์ที่น้ำกระทำ vane จะอยู่ในลักษณะหันหัวลงไปทางขวาโดยทำมุมกับแนวนอน เปน็ มุม 14.16˚ ถ้า vane ดังกล่าวเปน็ เพียง vane หนึง่ ของ vane ที่อยกู่ นั เปน็ ชุดแรง Fu น้ีกจ็ ะมีค่า : Fu =  Q (v2 cosα2 - v1) =  A v1 (v2 cos α2 - v1) = 1000  ¶/4 (0.05)2  30 (12.2 - 30) = -1048.5 N

4-31 ในกรณีที่ vane อย่กู นั เปน็ ชุดเราสามารถแก้ปัญหาไดโ้ ดยพิจารณาจากพลงั งานของของไหลกำลังเดิมของนำ้ : (Power)in = K,E. = m v12 =  Q v12 2 2 = {1000  ¶/4 (0.05)2  30} 302 2 = (58.9) 450 = 26505 W = 26.5 KW กำลงั ของน้ำตอนออกจาก vane (Power)out =  Q v22 2 = 58.9  132/2 = 4977 W = 5 KW กำลังของนำ้ ท่ถี า่ ยเทใหแ้ ก่ vane ; (Power)transfer = Fu  u = 1048.5  20 = 20970 W = 21 KW จากกฎการอนุรกั ษพ์ ลังงาน : (Power)in = (Power)out + (Power)transfer + (Power)friction loss 26.5 = 5 + 21 + (Power)friction loss (Power)friction loss = 0.5 KW = เป็นกำลังของนำ้ ที่ตอ้ งสญู เสยี ไปกับความเสยี ดทานกำลังที่สูญเสยี ไปกับ ความ เสยี ดทานนี้ยงั สามารถคำนวณไดจ้ าก (Power)friction loss =  Q U12 -  Q U22 22 = 58.9 (102 -92) W 2 = 0.5 KW  จะเหน็ ไดว้ า่ กำลงั ที่สูญเสียไปกับความเสยี ดทานน้ีมีค่านอ้ ยมาก