กลศาสตร์ของไหล 02

หนว่ ยที่ 2 ความดัน และ แรงทเ่ี กดิ จากความดนั (Pressure and Force of Pressure)

2-2 แผนการสอนประจำหนว่ ย ชอ่ื วชิ า กลศาสตร์ของไหล รหัสวชิ า 3100-0102 ช่ือหน่วยการสอน ความดัน และ แรงทเ่ี กิดจากความดนั (Pressure and Force of Pressure) ตอนท่ี 2.1 ความดนั 2.2 การวดั คา่ ความดัน 2.3 แรงท่ีกระทำกบั วตั ถทุ จ่ี มใตข้ องไหล 2.4 แรงพยงุ และแรงลอยตวั แนวคดิ 1. ความดนั (Pressure) เปน็ แฟคเตอร์ที่สำคญั ในการศึกษาเกีย่ วกับวิชากลศาสตรข์ องไหล ความ ดันของของเหลวจะแปรผนั ไปตามความลึกดังน้ันในการสร้างเขื่อนจึงต้องพิจารณาถึงความดันทกี่ น้ อา่ ง มากกวา่ ความดนั บรเิ วณใกลผ้ วิ นำ้ หรือต้องพจิ ารณาถงึ ความดันของของเหลวในการสร้างเรอื ดำน้ำเป็นตน้ 2. แรงที่กระทำกับวตั ถุ ทงั้ ๆ ท่ีของเหลวที่สมั ผัสยงั ไมเ่ คลื่อนที่หรือไหลก็มรแรงกระทำกบั วตั ถอุ ยู่ ไมว่ ่าวัตถนุ ัน้ จะมีลักษณะผวิ ราบเรยี บหรือผิวโค้งก็ตาม 3. แรงท่ีชว่ ยใหว้ ัตถไุ มจ่ ม เกิดจากเน้อื ของวตั ถุเอง โดยเราเรียนว่า แรงพยงุ วตั ถปุ ระสงค์ 1. อธิบายความหมายและคำนวณคา่ หาคา่ ของความดนั ได้ 2. คำนวณหาคา่ ของแรงบนวตั ถทุ ่จี มใต้ของไหลได้ 3. คำนวณหาคา่ แรงพยุงของของไหลกบั วัตถไุ ด้ 4. คำนวณหาคา่ แรงลอยตัวเมือ่ วัตถอุ ยู่บนของไหลได้ กิจกรรมการเรียน 1. ขัน้ นำเข้าสบู่ ทเรยี นดว้ ยการ ถาม-ตอบ ใช้ส่อื ประกอบ 2. ขั้นสนใจปญั หา 3. ขนั้ ศึกษาขอ้ มลู 4. ขั้นพยายาม 5. ขัน้ สำเร็จผล 6. ขน้ั ประเมินผลหลงั การเรยี น สอ่ื การสอน 1. เอกสารการสอน 2. สอื่ แผน่ ใส/Power point 3. แบบฝกึ หัด การประเมนิ ผล 1. ประเมนิ ผลจากแบบทดสอบกอ่ นและหลังเรียน 2. ประเมนิ ผลจากกิจกรรมและแนวตอบท้ายหนว่ ยการเรยี น 3. ประเมินผลจากการทดสอบตามสภาพจริง

2-3 ตอนท่ี 2.1 ความดัน (Pressure) หวั เรื่อง 2.1.1 หลักการของปาสคาล 2.1.2 แรงท่ีเกิดจากความดัน 2.1.3 การเปล่ยี นแปลงความดนั ในของไหล 2.1.4 การคำนวณคา่ ความดนั ตามหลักการของปาสคาล แนวคดิ 1. กฎของปาสคาล กลา่ ววา่ “การสง่ ความดนั ผา่ นของเหลวที่ถกู กักไว้จะไม่มีการสญู เสีย” 2. จากหลักการของปาสคาล (ความดันเฉพาะจดุ ) “ของไหลขณะที่อยนู่ ่ิง ท่ีระดับความลึกเท่ากัน (ทีต่ ำแหน่งใดๆ) ความดันของไหลจะเท่ากันทุกทิศทุกทาง” เป็นสิ่งสำคัญมากท่ีจะต้องเข้าใจ เพ่ือนำไปใช้ แกป้ ญั หาตา่ งๆ เกย่ี วกับความดันของของไหลต่อไป 3. ในทางวศิ วกรรม ถ้ากล่าวถงึ ความดนั จะหมายถึง หน่วยความดัน ซง่ึ ก็หมายถงึ แรงที่กระทำ ต่อหนว่ ยพนื้ ท่ี ถ้าแรงกระจายอยา่ งสมำ่ เสมอตลอดพ้ืนที่แล้ว หน่วยความดนั หาได้จากแรงหารด้วยพืน้ ที่ วัตถปุ ระสงค์ 1. บอกความหมายความดันตามหลกั การของปาสคาลได้ 2. อธบิ ายแรงท่ีเกิดจากความดันได้ 3. บอกหลกั การเปลย่ี นแปลงความดนั ในของไหลได้ 4. คำนวณค่าความดันตามหลกั การของปาสคาลได้

2-4 2.1.1 หน่วยความดัน (Unit pressure) F lb N ……………….. 2.1 p = A in2 , m2 Pa เมอื่ p = หน่วยความดนั หรอื เรยี กส้ันๆ ว่า ความดนั F = แรง A = พ้นื ท่ีหนา้ ตดั *1 lb N = 47.88 Pa ft 2 = 47.88 m2 1 Pa = 1 N/m2 = 0.02089 lb/ft2 รูปท่ี 2.1 การสมดุลของสามเหล่ียมรูปล่ิม FX = 0 PX . dy − PS . ds. sin = 0 ………… ก.  FY = 0 PY . dx − PS . ds. cos = 0 ………… ข. PX = PY = PS

2-5 ความดันของของไหลเปลีย่ นแปลงไปตามความลกึ รูปท่ี 2.2 แสดงการเปล่ยี นแปลงความดนั ตามความลึก P = h …………………….. 2.2 P = ความดันของของไหล  = นำ้ หนกั จำเพาะของของไหล h = ระดับความลึก * สมการ 2.2 ใช้กับแกส๊ ไม่ได้เพราะ  ของแก๊สเปลย่ี นไปตามความลึก จากสมการ 2.2 จะเหน็ ได้ว่า P ……………….. 2.3 h= 

2-6 ความดันของของไหลในรูปความสงู สมการ 2.3 เรยี กวา่ ความดันในรปู ความสูง (Pressure head) ดังนนั้ หน่วยของความดันอาจจะ เขียนเป็นมลิ ลเิ มตรปรอท (mm.Hg) หรือ มิลลิเมตรนำ้ เมตรนำ้ ( )mm.H2O, m.H2O * 1 m.H2 O = 0.102 kN m2 ตวั อย่างท่ี 2.1 ถงั บรรจกุ ลีเซอรีน ความสงู 2 m. อยภู่ ายใต้ความดัน 50 kPa ตามรูปท่ี 3.2ให้ คำนวณหาความดันที่กน้ ถัง 50 KPa. Glycerin. γ= 12.34 kN/m2 รูปท่ี 2.3 ถังบรรจกุ ลีซอลนี วธิ ที ำ P = h + 50kPa = 12. 34 kN  2m + 50kPa m3 = 24.68kPa + 50kPa = 74.68kPa 

2-7 ตอนที่ 2.2 การวัดคา่ ความดนั หัวเรอ่ื ง 2.2.1 ความดันสุญญากาศ 2.2.2 ความดันบรรยากาศ 2.2.3 ความดนั เกจ 2.2.4 ความดันสมั บูรณ์ 2.2.5 เครือ่ งมือวัดความดนั 2.2.6 คำนวณค่าความสมั พนั ธ์จากการวดั คา่ ของความดนั แนวคิด 1. ความดันเกจ (Gauge pressure) คือค่าความดันท่ีวัดได้ภายใต้ความดันบรรยากาศ ความ ดนั ที่วัดได้อาจจะสูงกว่าหรือต่ำกว่าความดนั บรรยากาศก็ได้ เกจวัดความดันจะอ่านค่าไดศ้ ูนย์ (0) ขณะท่ี เปิดสู่บรรยากาศ ค่าท่ีอ่านได้เกิดจากความแตกต่างระหว่างความดันของของไหลท่ีต่อเกจกับความดัน บรรยากาศสงู กวา่ ตำแหนง่ ศูนย์สมั บูรณ์ (absolute zero) 2. บาโรมิเตอร์ เป็นเคร่ืองมือวัดท่ีใช้วัดความดันบรรยากาศ ประกอบด้วย หลอดแก้วยาว มากกว่า 30 นิ้ว หรือยาว 1 เมตร บรรจุปรอทและคว่ำลงในอ่างปรอท ปรอทในหลอดแก้วจะลดลง ระดับหน่ึงจนกระทั่งหยุดน่ิง วัดระดับความสูงจากผิวบนของปรอทในอ่างถึงระดับปรอทในหลอดแก้ว จะเปน็ คา่ ความดนั บรรยากาศขณะน้นั จากคา่ ท่ีไดจ้ ะนำมาแปลงเปน็ ความดันได้ 3. มาโนมิเตอร์ เป็นเคร่ืองมือวัดที่ใช้หลักการสมดุลของลำของเหลวที่ต้องการวัดความดัน กับลำของของเหลวอยา่ งเดยี วกนั วตั ถปุ ระสงค์ 1. บอกความหมายของความดนั สญุ ญากาศได้ 2. บอกความหมายของความดนั บรรยากาศได้ 3. บอกความหมายของความดนั เกจได้ 4. บอกความหมายของความดนั สัมบูรณไ์ ด้ 5. อธิบายการทำงานของเครือ่ งมอื วดั ความดนั ตามหลักการสถติ ศาสตร์ของของได้ 6. คำนวณค่าความสมั พนั ธจ์ ากการวัดค่าของความดนั ได้

2-8 องคป์ ระกอบการวดั คา่ ความดัน ความดันสุญญากาศ (Vacuum) ความดนั บรรยากาศ (Atmospheric pressure, Patm) ความดนั เกจ (Gauge pressure) ความดนั สมั บรู ณ์ = ความดันบรรยากาศ + ความดนั เกจ Pabs = Patm + Pg รปู ท่ี 2.4 ความสมั พันธ์ของความดนั

2-9 2.3 เคร่ืองมือวัดความดันทีใ่ ชห้ ลกั การของของไหลสถติ บาโรมเิ ตอร์ (Barometer) จากสมการ h = P  P = h รูปที่ 2.5 การวัดความดันบรรยากาศ ตัวอยา่ งท่ี 2.2 บาโรมเิ ตอร์อ่านคา่ ได้ 742 มม.ปรอท ให้คำนวณหาค่าความดนั บรรยากาศ เป็น กิโลปาสคาล (kPa) วธิ ที ำ จากสตู ร P = (h )Hg = 13. 6  9. 81 kN  742mm  m m3 103 mm = 98.8 kN m 2 (kPa ) 

2-10 อปุ กรณ์การวัดความดนั (Pressure measurement) มาโนมิเตอร์ (Manometer) เบอร์ดันเกจ(Bourdon gauge) มโนมิเตอร์อยา่ งง่าย ไพโซมิเตอร์ (Piezometer) มาโนมเิ ตอรแ์ บบวดั ความแตกต่าง (Differential manometer) แบบหลอดแกว้ รปู ตัวยู (U-tube) แบบลำเด่ียว (Single column) รูปท่ี 2.6 ไพโซมิเตอร์

2-11 ตวั อยา่ งท่ี 2.3 วัดความดนั ของของเหลวภายในถงั เปิดโดยใชไ้ พโซมิเตอร์ติดตัง้ ด้านข้าง ตามรูปให้คำนวณหา ก. ระดับของเหลวในหลอดแกว้ A และ B ข. ความดนั รวมที่กน้ ถงั รูปที่ 2.7 การวัดความดันภายในถงั เปดิ วิธีทำ ก. ระดับของเหลวในหลอดแก้ว A และ B 1. ระดับของเหลวในทอ่ A เท่ากบั ระดบั ของเหลว A ในถงั 2. พจิ ารณาของเหลว A P = h kN = 0.72x9.81x1.7 m3 xm = 12 kN m2 ความสงู ของของเหลวในหลอดแก้ว B เท่ากบั 0.3 m + ความสูงเนอื่ งจากความดันของ ของเหลว A  hB = 0.3 + PA B 12 kN m2 = 0.3 + 2.36x9.81kN m3 = 0.3 + 0.5183m = 0.8183m  ข. ความดันก้นถัง  PBottom = PAA + PB = 438.64 lb ft 2

2-12 มาโนมิเตอรแ์ บบวัดความแตกตา่ ง (Differential manometer) คอื มาโนมเิ ตอรท์ ่ีใช้ความดนั แตกต่างระหว่างสองจดุ หลักการคำนวณใช้ หลกั การเหมอื นกบั มาโนมิเตอรด์ งั ที่ได้กลา่ ว มาแล้ว โดยพิจารณาท่ีตำแหนง่ c และ c ตามรปู ที่ 2.14 รูปท่ี 2.8 มาโนมิเตอร์แบบวัดความดนั แตกต่าง Pc = Pc PA +  1h1 = PB +  2 h2 +  3h3 ( )จะได้ PA − PB =  2 h2 −  3h3 −  1h1 = ความดันท่แี ตกต่างระหว่าง A กบั B หรือพิจารณารูปที่ 3.15 PD = PD P A − 1h1 −  2 h2 = PB −  3h3 ( )PA − PB =  1h1 +  2 h2 −  3h3 รูปที่ 2.9 มาโนมิเตอร์แบบวัดความดนั แตกต่าง ตวั อย่างท่ี 2.4 ถา้ ของเหลวท่ี A คอื นำ้ ของเหลวท่ี B คือนำ้ มัน ถ.พ. 0.80 h1 = 300 mm, h2 = 200 mm.Hg. h3 = 600 mm ให้คำนวณหาความดนั แตกต่าง (PA-PB) วิธีทำ พจิ ารณา c และ c Pc = Pc Pa +  1h1 = PB +  2 h2 +  3h3 PA − PB =  3h3 −  1h1 +  2 h2 = 9.81( 0.8x0.6 − 0.3 + 13.6x0.2) kN m2 = 28.449 kN m2 

2-13 มาโนมิเตอร์แบบละเอียด (Micro manometer) คือมาโนมิเตอร์ท่ีใช้วัดค่าความแตกต่าง ความดันท่ีมีค่าต่ำมากหรือสูงมากได้อย่างละเอียด ตามรูป 2.10 มาโนมิเตอร์แบบน้ีจะประกอบด้วย ของเหลว 2 ชนิด ที่มนี ้ำหนกั จำเพาะต่างกนั มาก ทำใหส้ ามารถอ่านคา่ ความดนั แตกตา่ งนอ้ ยๆ ได้งา่ ย เพราะค้าความต่างระดับ R มคี า่ สูงของเหลว ท่ีมี ถ.พ สูงกว่า จะบรรจุอยู่ในส่วนกลางของ หลอดแก้วตัวยูขึ้นมาถึงระดับ 0-0 ส่วนของเหลวที่ เบากวา่ จะบรรจลุ งไปท้ังสองข้างของหลอดจนขึ้นมา ทก่ี ระเปราะถงึ ระดับ 1-1 สว่ นทเ่ี หลือจะบรรจแุ ก๊ส เมื่อความดันท่ี C มากกว่า D เพยี งเล็กน้อยเท่าน้ัน ค ว า ม ดั น ก็ จ ะ ท ำ ให้ ผิ ว ข อ ง ข อ ง เห ล ว ที่ ห นั ก ก ว่ า เคลื่อนย้ายไป ปริมาตรของของเหลวท่ีถ่ายเทออก จากกระเปาะ c จะเท่ากับปริมาตรของของเหลว ทเี่ พม่ิ ข้นึ ในกระเปาะ D  เขียนเป็นสมการไดว้ ่า รูปท่ี 2.10 มาโนมิเตอร์แบบละเอียด y. A = (R / 2).a A และ a คือพน้ื ท่หี นา้ ตัดของกระเปราะ และหลอดแกว้ ตามลำดับ Y คือ ระดบั ที่เพม่ิ ขน้ึ และลดลงในกระเปราะทัง้ สองดา้ น จากหลักการความดัน P2 = P2 จะไดว้ ่า ( )( ) ( ) R Pc + k1 + y  1 + k2 − y + 2 . 3 = PD + k2 + y . 1 ( ) ( )k2 R . + y − 2 2 + k1 − y  1 แทนค่า y แลว้ จัดรูปใหม่จะได้  PC − PD = R  3 −  2 (1 − a / A) −  1(a / A) ค่าในวงเลบ็ เปน็ ค่าคงที่ ดังนน้ั จึงกล่าวไดว้ ่า ค่าความแตกต่างของความดันเป็นสัดสว่ นโดยตรง กับ R  1 , 2 , 3 คอื นำ้ หนักจำเพาะของของเหลวในหลอดแกว้ ถือเปน็ ค่าคงท่ี

2-14 ตอนท่ี 2.3 แรงที่กระทำกับวัตถุทีจ่ มใตข้ องไหล หวั เร่อื ง 2.3.1 แรงกระทำต่อวตั ถุท่จี มอยูใ่ นของเหลว 2.3.2 ลักษณะการจมของวตั ถุใตข้ องไหล 2.3.3 คำนวณค่าแรงจากวตั ถุที่จมใต้ของไหลลกั ษณะแผ่นราบเรียบ 2.3.4 คำนวณค่าแรงจากวตั ถทุ ี่จมใต้ของไหลลกั ษณะแผ่นโค้ง แนวคดิ 1. วตั ถุท่ีจมอยู่ในของเหลวมีทั้งลกั ษณะแนวต้ัง แนวนอน และ ในพนื้ เอียง ซ่ึงจะมหี ลกั การ พิจารณาขนาดของแรงและจุดทก่ี ระทำคล้ายกนั 2. คำนวณค่าแรงจากวัตถทุ ี่จมใต้ของไหลลักษณะแผ่นราบเรยี บและแผน่ โคง้ ใช้วิธีการ เหมอื นกนั โดยจัดแรงทเี่ กิดขึน้ ให้อยู่ในระนาบทีส่ ามารถคำนวณได้ ซ่งึ ในส่วนโค้งต้องอาศัยความชำนาญใน เร่ืองตรโี กณเพ่ิมเติม 3. จุดศนู ยก์ ลางความดนั คือ ตำแหน่งท่แี รงลัพธก์ ระทำบนพนื้ ทผ่ี ิวของระนาบที่จมอยใู่ น ของไหล สามารถคำนวณหาได้จากสมการโมเมนตข์ องแรงลพั ธ์ท่ีกระทำกบั ผวิ ระนาบ คือผลรวมของ โมเมนต์ของแรงท่ีกระทำบนพื้นทีต่ ่าง ๆ วตั ถปุ ระสงค์ 1. อธิบายลกั ษณะการจมของวัตถใุ ต้ของไหลได้ 2. คำนวณค่าแรงจากวัตถุท่ีจมใต้ของไหลลักษณะแผ่น ราบเรียบได้ 3. คำนวณค่าแรงจากวัตถทุ ่ีจมใต้ของไหลลกั ษณะแผน่ โคง้ ได้

2-15 …………….. 2.4 …………….. 2.5 2.3.1 แรงกระทำต่อวัตถทุ ่จี มอยูใ่ นของเหลว P = h F = P. A = h. A F = แรงลพั ธท์ กี่ ระทำกับพื้นที่ A P = หน่วยความดนั A = พนื้ ทีร่ วมของผวิ ระนาบ  = น้ำหนกั จำเพาะของของไหล h = ความลึกของของไหล h = ความสูงเฉลี่ย = h1 + h2 2  P = ( ) 2 h1 + h2 / 2 รปู ท่ี 2.11 ประตนู ำ้ เอยี งอยภู่ ายใตค้ วามดนั ของของไหล การหาผลรวมของแรงทก่ี ระทำกับทกุ ๆ จุดของผิวระนาบซึ่งหาไดจ้ ากสมการ การอนิ ทเิ กรต จะได้ว่า F =  PdA …….. (2.6) =  hdA …….. (2.7) รปู ท่ี 2.12 ผวิ ระนาบทจี่ มอยู่ในน้ำ

2-16 h = ความลกึ จากผิวของของไหลถึง Centroid ของพ้ืนท่ีตา่ งๆ dA = xdy  hdA …………… 2.8 hcg = A …………… 2.9 hcg . A =  hdA จากสมการ 4.5 และ 4.6 จะไดว้ ่า …………… 2.10 F =  . hcg . A F = แรงลัพธ์รวมท่กี ระทำกับพน้ื ที่ A  = น้ำหนักจำเพาะของของไหล hcg = ความลกึ จากผวิ ของของไหลถงึ จดุ ศนู ยถ์ ่วงของผิวระนาบ A = พนื้ ที่รวมของผวิ ระนาบ ตัวอยา่ งที่ 2.5 เข่ือนแห่งหนึง่ ยาว 20 m สนั เขอ่ื นเอยี งทำ มมุ 60O กบั แนวดิ่ง บรรจนุ ำ้ ลึก 7 m ให้ คำนวณหา 1. แรงลพั ธ์ที่กระทำกบั สันเขอื่ น 2.ตำแหน่งของจดุ ศนู ยก์ ลางความดัน รปู ที่ 2.13 สันเขอื่ นทำมมุ เอียง 60 องศา วธิ ที ำ 1. จาก F = hA h = ความสูงเฉล่ีย = 0+ 7 A = พื้นทผี่ ิวสันเข่ือน = 3.50m 2  = 20  7 = 161.7m 2 sin 60O F = 9. 80  3.5 161.7 kN m m2 m3 = 5550.69kN  2. ตำแหนง่ ทแ่ี รงลัพธก์ ระทำ = 7  2 sin 60O 3 7 = 3 2 23 = 5.388 (แนวเอยี ง) = 4.6667 (แนวด่งิ ) 

2-17 รปู ท่ี 2.14 แรงลพั ธ์ที่กระทำกับสนั เข่ือน การหาขนาดและตำแหนง่ ของแรงท่ขี องเหลวกระทำตอ่ วัตถุทจี่ มอย่ใู นของเหลว จุดศนู ยก์ ลางความดัน คอื ตำแหนง่ ท่ีแรงลัพธ์กระทำบนพื้นทผ่ี ิวของระนาบทีจ่ มอย่ใู นของไหล สามารถคำนวณหาไดจ้ ากสมการโมเมนต์ของแรงลพั ธ์ทีก่ ระทำกับผวิ ระนาบ คอื ผลรวมของโมเมนตข์ อง แรงทีก่ ระทำบนพืน้ ท่ตี า่ ง ๆ กัน ตามสมการ hcp .F =  h(hdA) ………………. 2.11 hcp =  h 2 dA ………………. 2.12 F hcp .F = โมเมนต์ของแรงลพั ธ์ hcp = ระยะความลกึ จากผิวของของไหลถงึ จดุ ศูนยก์ ลางความดนั  h(hdA) = ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทีก่ ระทำกบั พนื้ ท่ีตา่ งๆ ผลคูณของ แรงท่กี ระทำกับพน้ื ท่ีต่างๆ (h.dA) ด้วยความลึกจากผิวของของ ไหลกับจุดศูนยก์ ลางความดนั ทีต่ ำแหนง่ ต่างๆ (h) ผลรวมน้หี าได้จาก การอินทเิ กรต จากสมการ 3.9  h 2dA = I S = Moment inertia ของผวิ ระนาบ  hcp =  Is ………………. 2.13 F =  Is  . hcg . A =hcp Is ………………. 2.14 hcg . A

2-18 แต่คา่ Moment inertia ของผิวระนาบจะหาให้อยู่ในรูปของ Moment inertia รอบ จดุ ศูนย์ถว่ ง (Icg) จะไดว้ ่า Is = Icg + Ahc2g ……………….. 2.15 จากสมการ 2.11 และ 2.12 จะไดว้ ่า hcg  hcp  A = I cg + Ahc2g ……………….. 2.16 = ……………….. 2.17 h cp hcg + I cg hcg  A คา่ I cg bh 3 I = d 4 I = bh 3 I= 64 36 12 ตวั อย่างที่ 2.6 จากตัวอย่างท่ี 2.5 ให้คำนวณหาจุดศูนย์กลางความดนั ( hcp ) วิธีทำ จากสมการ hcp =   h 2 dA F 9.81 1.2 = h2 dA 84.7584 0 9. 81 1. 2 = (3 + y ) 2 (2dy ) 84.7584 0 1. 2 = 0.23148  (9 + 6y + y 2 )dy 0 = 0. 23148  + 3y 2 + y 3 1.2 9y   3 0 = 3.633 m 

2-19 แรงทขี่ องเหลวกระทำตอ่ วตั ถุผวิ โคง้ ทจี่ มอยู่ในของเหลว ตามรูป 4.4 แรงลัพธ์ F ทกี่ ระทำกบั ประตูนำ้ ที่จมอยูภ่ ายใต้ของไหลจะประกอบด้วยแรง ในแนวแกน x และแกน y, Fx, Fy ดังน้นั ถา้ ผวิ ท่ีจม อยู่ใตข้ องไหลนเ้ี ปน็ ผวิ โคง้ กจ็ ะพจิ ารณาแรงใน แนวแกน y และแกน x ในแนวดิง่ และแนวระดบั เชน่ เดียวกนั ตามรูป 4.5 รูปที่ 2.15 ทิศทางของแรงที่กระทำต่อวตั ถุ แรงประกอบในแนวระดบั กระทำท่ีตำแหน่งใด ๆ ของผิวโค้ง AB จะเท่ากบั แรงลพั ธร์ วมท่กี ระทำ บนภาพฉายของผิวระนาบในแนวด่ิงตามรปู จะ เห็นว่า แนวแรงจะผ่านศนู ย์กลางของความดนั สำหรับภาพฉายในแนวด่ิง (จดุ C.G ของ EFBG) รูป 2.16 แรงกระทำทผี่ วิ โคง้ ของภาชนะ สว่ นแรงประกอบของแรงลพั ธใ์ นแนวดงิ่ (Fy) ทกี่ ระทำกับท่ตี ำแหนง่ ใด ๆ กบั ผิวของระนาบจะ เทา่ กับนำ้ หนักของปรมิ าตรของของเหลวแนวดงิ่ เหนือผิว (ปรมิ าตรของ ABCD x นำ้ หนกั จำเพาะของ ของเหลว) แรงประกอบนจี้ ะกระทำผ่านจดุ ศูนยถ์ ่วงของปริมาตรของเหลว ABCD ในแนวดิง่ การหาขนาดและตำแหนง่ ของแรงท่ีของเหลวกระทำตอ่ วัตถุผวิ โคง้ ทีจ่ มอยู่ในของเหลว ตัวอย่างท่ี 2.7 ตามรปู 2.17 ผิวโค้งจมอยใู่ ตข้ องเหลว 1 ของวงกลมรศั มี (r) 4 ft ระยะทางทต่ี ้ัง 4 ฉากกบั ระนาบ6 ft ให้คำนวณหา 1.แรงประกอบ Fxและ Fy 2. ตำแหนง่ ของแรง Fx กับ Fy รูปที่ 2.17 ผิวโค้งจมอยู่ใต้ของเหลว

2-20 วธิ ีทำ รูปที่ 2.18 รูปแรงลพั ธ์ที่กระทำกับผิวโค้ง 1. แรงประกอบในแนวระดับของแรงลัพธ์ท่ีกระทำกับส่วนโค้ง AB จะเท่ากับแรงลพั ธร์ วมท่กี ระทำบนภาพ ฉายของผิวโคง้ AB ในแนวดิ่ง (ในรปู คือระยะ BF) ภาพฉายของผิวโค้งในแนวด่ิงจะเป็นรปู ส่ีเหลย่ี มผนื ผ้า ยาว 6 ฟตุ สูง 4 ฟตุ แรงประกอบ Fx จำคำนวณไดด้ งั น้ี - ตามรูปสเ่ี หลย่ี มคางหมู BGEF แบ่งออกเป็นรูป  GHE และรปู สี่เหลี่ยม BHEF พจิ ารณา  BHEF จะมีแรงกระทำในแนวระดบั F1 = p1  A1 =  h  A1 = 62.4 lb  81 ft  6 ft  4 ft ft 3 = 11980 lb พจิ ารณารปู  GHE มีแรงกระทำในแนวระดับ (F2) F2 = p2 A =  h  A1 = 62.4 lbx  0 + 4 ft  6 ft  4 ft ft 3 2 = 3000 lb  Fx = F1 + F2 lb = (11980 + 3000) lb = 14980

2-21 แรงประกอบในแนวดงิ่ ท่กี ระทำกับผวิ โคง้ AB เท่ากับนำ้ หนักของปริมาตรของของเหลวในแนวด่ิง เหนือผวิ โค้ง AB ปรมิ าตรนี้ประกอบดว้ ย พ.ท.ส่เี หลีย่ ม AFCD (4 ft  8 ft = 32 ft 2 ) กบั พ.ท.ของ 1 4 ของวงกลม ABF รศั มี 4 ft พ.ท.ทัง้ 2 ยาว 6 ft  ปริมาตรของน้ำ =  2   (4ft )2   6 ft = 267.4 ft 3 Fy = 32ft 4     .v = 62.4 lb  267.4 ft 3 = 16,690 lb ft 3 2. ตำแหนง่ ของแรงประกอบในแนวระดบั (Fx) จะผา่ นจุดศูนยก์ ลางความเคน้ สำหรับภายฉายในแนวดิง่ (จดุ ศูนย์ถ่วงของ EFBG) ซง่ึ หาได้โดยหารผลรวมของผลคณู แต่ละแรงดว้ ยแรงรวมในแนวระดับ  hcp = F1  h + 4  + F2  h + 2  4   2   3  Fx 11980 lb 8 + 4 ft + 3000 lb 8 + 2  4 ft =  2  3 14,980 lb = 10.13 ft  hcp คอื ตำแหนง่ ของแรงประกอบในแนวระดับทกี่ ระทำกับผวิ โค้ง AB วดั จากผิวน้ำ 10.13 ft หรือ 1.87 ft วัดจากจุด B ตำแหนง่ ของแรงประกอบในแนวดง่ิ (x) ทีก่ ระทำกับผวิ โค้ง AB จะกระทำผ่านจุดศูนยถ์ ว่ งของ กอ้ นน้ำเหนือผวิ AB (จุด C.G ของ ABCD) หาได้จากสมการผลรวมของโมเมนต์ของ พ.ท.สีเ่ หลยี่ ม AFCD กับ พ.ท.ของ 1 วงกลม ABF กับโมเมนตข์ องพน้ื ที่รวมในแนวเดยี วกนั 4  จะได้ (8  (4)2   (4 ft) 2 4 4 ft  4   4  3  x   4) ft + ft 2  = (8  4  2) ft 3 +  x = 1.91 ft 

2-22 ตอนที่ 2.4 แรงพยงุ และแรงลอบตัว หัวเรื่อง 2.4.1 ลักษณะของแรงพยงุ 2.4.2 ลกั ษณะของแรงลอยตัว 2.4.3 การคำนวณค่าของแรงพยุงและแรงลอยตัว แนวคิด 1. น้ำหนักของวัตถุน้อยกว่าน้ำหนักของปริมาตรท่ีเท่ากันของของไหล วัตถุจะลอยขึ้นบนผิว ของของไหล 2. วัตถุที่ลอย ยกตัวอย่างเช่น เรือ ซึ่งมีความสำคัญมากท่ีจะต้องทำให้เกิดมีเสถียรภาพ การ วเิ คราะห์เกี่ยวกับเสถียรภาพของวัตถุท่ีลอยจะแตกตา่ งไปจากวัตถทุ ่ีจม การคำนวณหาว่าจุดศูนย์ถ่วงของ วตั ถอุ ยเู่ หนือกวา่ หรือตำ่ กว่าเมตาเซนเตอร์ วัตถปุ ระสงค์ 1. อธิบายลักษณะของแรงพยงุ ได้ 2 อธบิ ายลกั ษณะของแรงลอยตัวได้ 3. คำนวณคา่ ของแรงพยงุ และแรงลอยตวั ได้

2-23 2.4.1 การพยงุ และการลอยตัว(Buoyancy and Floatation) รปู ท่ี 2.19 ก. รปู ที่ 2.19 ข. รูปท่ี 2.19 การพยุงตัวของวัตถุ Fu - Fd = Fb ถา้ วัตถอุ ย่ใู นสภาวะสมดุลย์ Fb = Wวตั ถุ Fu > Fd เนือ่ งจากระดับความลกึ W > Fb วตั ถจุ ะจม W < Fb วัตถุจะลอย Fd = น้ำหนกั ของของไหลส่วนทีอ่ ยู่บนวัตถุ เทา่ กับ น้ำหนกั ของของไหลท่มี ปี ริมาตรตามรูป ABCDGA Fu = นำ้ หนกั ของของไหลสว่ นที่กระทำกับส่วนลา่ ง เท่ากับ น้ำหนักของของไหลท่มี ปี รมิ าตร ABCDGA จากรูป 4.9 ข ABCDEA - ABCDGA = AGDE = ปริมาตรของวตั ถุ (V)  จะได้ Fu - Fd = Fb Fb =  สาร x Vวตั ถุ รูปที่ 2.20 การลอยตัวของวัตถุ

2-24 ถา้ น้ำหนักของวตั ถนุ ้อยกว่าน้ำหนกั ของปริมาตรท่ีเท่ากันของของไหล วัตถุจะลอยขน้ึ บนผิวของ ของไหลตามรปู 2.35 แรงลัพธ์สุทธิจะกระทำในทศิ ทางดันข้นึ (Fu) เหมอื นกบั กรณีในรูป 2.34 ก แตจ่ ะไม่ มีแรงกระทำในทิศทางกดลง Fd จะไดว้ ่า Fu = Fb = นำ้ หนักของปรมิ าตรของไหล ABCDA = นำ้ หนกั ของวัตถุส่วนทเ่ี ข้าไปแทนทน่ี ำ้ หนักของของไหลส่วนที่มัน ลอยตัว การแกป้ ัญหาเกีย่ วกบั การพยุง และการลอยตวั จะทำไดโ้ ดยการประยกุ ต์ หลักการเบอื้ งตน้ ของ สถิติศาสตร์ ตัวอย่างท่ี 2.8 กอ้ นหนิ กอ้ นหนึ่งเมือ่ ชัง่ ในอากาศหนง่ึ 105 lbs เมื่อจมลงในนำ้ ช่ังน้ำหนักได้ 67 lbs ใหค้ ำนวณหาปรมิ าตร และความถ่วงจำเพาะของก้อนหินนี้ วธิ ที ำ จาก แรงพยงุ Fb = Fu - Fd = 105 - 67 = 38 lbs Fb = w จากหลกั ของอาดิเมดิส แรงลอยตัวเท่ากับนำ้ หนกั ของน้ำที่ถกู แทนท่ี  w =  .v v =w = 38 lb 3  62. 4 lb ft = 0.609 ft 3 ปริมาตรของหิน = Vน้ำ ท่ีถกู แทนที่ = 0.609 ft3  ถ.พ หนิ = Wหนิ Wนำ้ ที่ปริมาตรเทา่ กัน = 105 = 2.76  38 ตัวอยา่ งที่ 2.9 กอ้ นวตั ถุกอ้ นหนง่ึ ซึ่งในอากาศหนกั 300 Nขณะท่จี มอยู่ในนำ้ ชงั่ ได้ 232.5 N ให้ คำนวณหาปริมาตร วธิ ที ำ V = ?  จาก Fb = W 300-232.5 = [ ( 9.79)(1000)(V) ] V = 0.00698 m3

2-25 ตัวอย่างท่ี 2.10 ท่อนไมร้ ูปปริมาตรยาวด้านละ 1.25 ft ลอยในน้ำตามรปู 3.36 มี ถ.พ. 0.60 ใหค้ ำนวณหาความลึกที่ทอ่ นไม้นี้จมลงไปในน้ำ วธิ ที ำ ตามรปู 2.21 จะได้ W = Fb Wไม้ = ไม้ x Vน้ำท่ถี กู แทนท่ี = 0. 6  62.4  (1. 25) lb  ft 3 ft 3 = 73.1 lb Fb =  H2O x V(ไม้ท่มี ีปรมิ าตรเทา่ กนั ) รปู ท่ี 2.21 ท่อนไมล้ กู บาศก์ 73. 1lb = 62.4 1.25 1.25  h lb  ft 2 ft 3 h = 73.1 ft  lb 97.5 lb = 0.75 ft 

2-26 2.4.2 เสถยี รภาพของวตั ถทุ ี่จม (Stability of submerged bodies) รปู ท่ี 2.22 วตั ถุจมในของไหล เสถียรภาพของวัตถทุ ลี่ อย (Stability of floating bodies) วัตถุที่ลอย ยกตวั อยา่ งเช่น เรือ ซง่ึ มีความสำคญั มากท่ีจะต้องทำให้เกิดมเี สถียรภาพ การ วิเคราะห์เกี่ยวกบั เสถียรภาพของวัตถุท่ีลอยจะแตกตา่ งไปจากวัตถทุ ี่จม การหาค่าความสูงมาตราเซนตรกิ การคำนวณหาวา่ จุดศูนยุถ่วงของวตั ถอุ ยู่เหนอื กว่าหรือตำ่ กวา่ เมตาเซนเตอร์ สามารถคำนวณ ไดจ้ ากสตู ร I ………………. 2.18 MB = Vd

2-27 ตัวอย่างที่ 2.11 ท่อนไม้รูปทรงกระบอกเส้นผ่าศูนยก์ ลาง 0.666 m สงู 1.30 m มี ถ.พ. 0.61 ลอยอยู่ในน้ำมันในแนวดงิ่ ท่อนไมจ้ ะมเี สถียรภาพหรอื ไม่ ถ้านำ้ มนั มี ถ.พ. 0.85 รูปท่ี 2.23 ทอ่ นไมล้ อยในนำ้ มัน วิธีทำ จาก W = Fb แทนคา่ ใน A W = ( v )ไม้ = 0.61  9. 81 kN   (0. 666 )2  1. 3 m3 m3 4 = 2.705 Fb =  oil Vd = 0. 85  9. 81 kN   (0. 666 )2 D m2 m3 4 = 2.899D kN m 2.899D kN = 2.705kN m  D = 0.933m MB = ระยะทางจากศนู ยก์ ลางของการลอยตวั ถึงเมตาเซนเตอร์ ตามรูป 2.23 I = โมนเมนตข์ องความเฉ่อื ย (Moment of inertia) ของภาพตัดในแนวระดับของวตั ถทุ ี ผวิ ของของเหลว Vd = ปริมาตรของของเหลวที่ถูกแทนที่ (Volume of fluid displaced) การทท่ี ราบวา่ ท่อนไมน้ ี้มีเสถยี รภาพหรือไม่ ตอ้ งคำนวณหาตำแหนง่ ของเมตาเซนเตอร์ (MB) จากสมการ MB = I vd

2-28  (d )4 m4 = 64  (d )2  D m3 4 =  (d )2  D m 4 =  (0.666)2  0.933 m 4 = 0.030 m วัดจาก CB จากการคำนวณพบว่า เมตาเซนเตอร์ อยตู่ ่ำกวา่ จุด C.G ท่อนไม้ไม่มีเสถียรภาพ ตัวอยา่ งท่ี 2.12 เรือรูปร่างส่ีเหล่ยี ม ตามรปู ท่ี 2.24 เม่ือเรอื บรรทุกนำ้ หนักเตม็ ท่ีจะจมนำ้ ลึก 6 ft จดุ ศูนย์ กลางของเรืออยบู่ นแกนท่ีสมมาตร เหนือระดับน้ำขึน้ ไป 1 ft ให้ คำนวณหา 1. เรอื น้มี เี สถยี รภาพหรือไม่ 2. ถ้าเรือมเี สถียรภาพให้คำนวณหา โมเมนตแ์ รงคคู่ วบ เมอื่ เรอื เอยี งทำมุม 12O รูปท่ี 2.24 แบบโครงเรือ วธิ ีทำ 1. จากรูปท่โี จทย์กำหนดจะหาค่าเมตาเซนเตอรไ์ ด้จากสมการ I MB = Vd I = 6h 3 = 42  253 12 12 = 54,688 ft 4 Vd = 25  46  6ft 3 = 6300 ft 3  MB = 54,688 ft 4 6300 ft 3 = 8.68 ft

2-29 จากการคำนวณไดว้ า่ เมตาเซนเตอร์ อยเู่ หนอื ศนู ยก์ ลางลอยตวั ตามรปู ที่ 4.15 และอยูเ่ หนอื จุดศูนยถ์ ่วง 8.68 - 4 = 4.68 ft เรอื มีเสถยี รภาพ รปู ที่ 2.25 การเสถยี รภาพของเรอื 2. เมอื่ เรือมเี สถียรภาพ จากรูปท่ี 2.25 เมือเรือเอียง 12O จะเกดิ โมเมนตข์ องแรงค่คู วบเทา่ กับ Fb xX Fb =  H2O Vd แต่ = 62.4 lb ft 3  6300ft 3 = 393,120lb  โมเมนตแ์ รงค่คู วบ X = 468 sin12O = 0.973ft = 393120  0.973lb − ft รปู ที่ 2.26 การเสถยี รภาพของเรือ

2-30 คำถามท้ายหน่วยการเรียนที่ 1 คำถามข้อที่2.1 1. จงหาคา่ ความดันท่ีจุด A A 0.8 m 0.95 m น้ำมัน ถ.พ. 0.93 นำ้ ทะเล ถ.พ. 1.242 คำถามขอ้ ท่ี2.2 Air A Air 0.4 m จงหาความดนั ที่ 0.6 m จุด A , B , C และ D B C 0.5 m น้ำมนั ถ.พ. 0.78 น้ำมนั 0.9 m ถ.พ. 0.92 D คำถามขอ้ ท่ี2.3 จงหาความดนั ที่จุด A เมื่อจุด B มคี วามดนั 2.5 bar 2 กำหนดให้ h2 h1 = 0.25 m h2 = 0.135 m 1 h1 h3 = 0.95 m 1 และ 3 = น้ำ 2 = น้ำมนั ถ.พ.0.84 h3 3

2-31 คำถามข้อที่2.4 จงหาขนาดของแรงลพั ท์และจุดท่แี รงกระทำกับประตู จากน้ำมัน ตามภาพ A 1.6 m 2.8 m Cน้ำมนั ถ.พ. 0.92 น้ำมนั 6.5 m ถ.พ. 0.88 คำถามข้อที่2.5 B ถังใบหนึ่งมี พ.ท. หน้าตัด จัตุรัส 2.8 m ด้านล่างถังมีน้ำมัน ถ.พ. 0.92 บรรจอุ ยสู่ งู 1.3 m ส่วนด้านบนมนี ำ้ มัน ถ.พ. 0.78 ลอยอยสู่ งู 1.5 m จงหาขนาดของแรงทกี่ ระทำตอ่ ข้างถังและจุดทีแ่ รงลัพท์กระทำ วัดจากกน้ ถงั ถ.พ. 0.78 F1 1.5 m F3 FR F2 1.3 m ถ.พ. 0.92

2-32 คำถามขอ้ ท่ี2.6 จงหาขนาดและทิศทางพร้อมตำแหน่งของแรงเนือ่ งจากน้ำมัน ถ.พ. 0.85 ที่กระทำบน แผ่นโคง้ AB ซึ่งเปน็ สว่ นโค้งทรงกระบอกทีม่ คี วามโต 1.8 m และ ยาว 2.5 m ตามรปู หาคา่ แรงท่ี FAC = 1.2 m A 0.9 m หาค่าแรงท่ี FBC = B

2-33 แบบเฉลยคำถามท้ายหน่วยการเรียนท่ี 2 คำถามขอ้ ท่ี2.1 1. จงหาคา่ ความดันทจี่ ดุ A A 0.8 m 0.95 m น้ำมนั ถ.พ. 0.93 นำ้ ทะเล ถ.พ. 1.242 PC = .h ) 0.95 kN/ = (1.242 = 11.575 PA = PB + .h = 11.575 + [(0.93 9.81)(0.5+0.8) = 23.4353 kN/ คำถามข้อท่ี2.2 จงหาความดันท่จี ุด A , B , C และ D Air A Air 0.4 m 0.6 m B C 0.5 m น้ำมนั ถ.พ. 0.78 น้ำมนั 0.9 m ถ.พ. 0.92 D PA = -(0.4+0.6)(0.78)(9.81) = -7.652 kN/

2-34 PB = 0.5(0.78 9.81) = 3.826 kN/ PC = PB PD = PC + (1.1)(0.92 9.81)(0.9+0.5+0.6) = = 3.826 + 19.8554 23.6814 kN/ คำถามขอ้ ท่ี2.3 จงหาความดนั ทีจ่ ุด A เมอื่ จุด B มีความดนั 2.5 bar 2 กำหนดให้ h2 h1 = 0.25 m h2 = 0.135 m 1 h1 h3 = 0.95 m 1 และ 3 = น้ำ 2 = นำ้ มนั ถ.พ.0.84 h3 3 PA - (9.81)(0.25)-[(0.84)(9.81)](0.135)+9.81(0.95) = PB PA - 2.4525 – 1.11245 + 9.3195 = 250 PA = 250 + 2.4525 + 1.11245 - 9.3195 PA = 239.34045 kN/ PA = 2.3934 bar

2-35 คำถามขอ้ ที่2.4 จงหาขนาดของแรงลัพท์และจุดทีแ่ รงกระทำกบั ประตู จากนำ้ มนั ตามภาพ A 1.6 m 2.8 m Cน้ำมนั ถ.พ. 0.92 น้ำมนั 6.5 m ถ.พ. 0.88 Bพิจารณาจากด้ายซา้ ย ก. หาขนาดของแรงทก่ี ระทำ [ F1 ] F1 = .hC.A kN = (0.92 9.81)(5.1)(1.6 2.8) = 206.208 ข. หาจุดที่แรงกระทำ [ lp1 ] Lp1 = = 5.1 + = 5.2281 m จากผิวนำ้ = 1.528 m จากจดุ หมุน พจิ ารณาจากดา้ ยขวา ค. หาขนาดของแรงทกี่ ระทำ [ F2 ] F2 = .hC.A = (0.88 9.81)(1.4)(1.6 2.8) = 54.145 kN ง. หาจดุ ที่แรงกระทำ [ lp2 ] 1.4 + Lp2 = =

2-36 = 1.867 m จากจุดหมนุ จ. หาขนาดของแรงลพั ท์ท่ีกระทำ [ FR ] kN FR = F1 - F2 = 206.208 - 54.145 = 152.063 ฉ. หาจุดทแ่ี รงลัพท์กระทำ [ lp ] FR lp = (F1 lp1) - (F2 lp2) 152.063 lp = (206.208 1.528) - (54.145 1.867) lp = 315.086 - 101.0887 = 1.4073 m จากจดุ หมุน คำถามขอ้ ที่2.5 ถงั ใบหนึ่งมี พ.ท. หน้าตัด จัตุรัส 2.8 m ด้านลา่ งถงั มนี ำ้ มัน ถ.พ. 0.92 บรรจุ อย่สู ูง 1.3 m ส่วนดา้ นบนมีน้ำมัน ถ.พ. 0.78 ลอยอยสู่ ูง 1.5 m จงหาขนาดของแรงทก่ี ระทำตอ่ ขา้ ง ถงั และจุดท่แี รงลัพทก์ ระทำ วัดจากก้นถงั ถ.พ. 0.78 1.5 m F1 FR F3 1.3 m ถ.พ. 0.92 F2 หาคา่ แรงท่ี F1 = kN หาค่าแรงที่ F2 = = 24.10 =

2-37 = = 21.35 kN ระยะจากกน้ ถงั = 1.3 /3 = 0.43 m หาค่าแรงที่ F3 = ระยะจากก้นถัง = (0.92 9.81)(1.5)(1.3 2.8) = 38.44 kN = 1.3 /2 = 0.65 m หาคา่ แรงลพั ท์ท่กี ระทำ FR = 24.10 + 21.35 + 38.44 83.89 kN = = หาจดุ ท่ีแรงลัพท์กระทำ [h] = ( )+( )+( ) 83.89 = m h = 0.95

2-38 คำถามขอ้ ที่2.6 จงหาขนาดและทิศทางพรอ้ มตำแหน่งของแรงเนอื่ งจากนำ้ มัน ถ.พ. 0.85 ท่กี ระทำบน แผน่ โค้ง AB ซ่งึ เป็นสว่ นโคง้ ทรงกระบอกทีม่ คี วามโต 1.8 m และ ยาว 2.5 m ตามรูป หาคา่ แรงที่ FAC 1.2 m = C A = (0.85 9.81)(1.2)(0.9 2.5) 0.9 m = 22.51 kN B หาคา่ แรงที่ FBC = = (0.85 9.81)(1.2+0.45)(0.9 2.5) 30.96 kN หาคา่ แรงจาก WABC == = = . .D.L = (0.85 9.81) .(1.8).(2.5) = 29.47 kN หาคา่ แรงในแนวดงิ่ FV =+ = 22.51 + 29.47 = 51.98 kN หาค่าแรงในแนวระดบั FH = kN = 30.96 หาค่าแรงลัพท์ท่ีกระทำ FR

2-39 = kN = = 60.50 หาจดุ ท่ีแรงกระทำ จดุ ทีแ่ รง FAC กระทำหา่ งจากจดุ C = 1.2 m จดุ ทแี่ รง FBC กระทำห่างจากจุด C = = (1.2+0.45) + = 1.97 m จากจุด A = 0.77 m จุดทแ่ี รง WABC กระทำหา่ งจากจุด C = m = = 0.38 หาคา่ มุมทแ่ี รงลัพธ์กระทำต่อแนวราบ [  ] = = = = 59 13  17