พหุนาม

พหุนาม หนา 1 พหุนาม เอกนาม ในการเขยี นสญั ลักษณแ ทนจาํ นวนเราจะใชต วั เลข แตใ นบางคร้ังเราไมส ามารถเขียนแทน จํานวนดวยตวั เลขได เชน 1. จาํ นวน จํานวนหนึ่งบวก 4 2. จาํ นวน จาํ นวนหนึง่ คณู 5 3. จาํ นวน จํานวนหนง่ึ หารดว ย 10 4. ผลคูณของจาํ นวนหนึง่ กับ 2 จะเห็นวา เราไมส ามารถแทนจาํ นวนหน่ึงดวยตวั เลขได เพราะเราไมทราบคา ของจํานวนน้นั ซึ่งเราจะใชตวั อกั ษรภาษาองั กฤษตวั เลก็ เชน x, y, z แทนคาํ วาจาํ นวนหนง่ึ และเรียก อักษรท่ีใชแทนจําวนวนเหลานั้นวา ตวั แปร และตัวเลขทีแ่ ทนจํานวน เรียกวา คา คงตวั ดงั น้ันจาก 1. จาํ นวน จํานวนหนง่ึ บวก 4 ถา เราแทนจาํ นวนหน่ึงดวยตวั อักษร x เราจะเรยี ก x วาตวั แปร x และมี 4 เปนคาคงตวั ซ่งึ เขยี นในรูปสญั ลกั ษณไดด งั นี้ x + 4 หรอื 4 + x ดงั นัน้ เมอื่ เราเหน็ สญั ลกั ษณ x + 4 จะหมายความวา จํานวน จํานวนหนึง่ บวกกับ 4 2. จํานวน จํานวนหนงึ่ คณู 5 ถาเราแทนจํานวนหนง่ึ ดวยตวั อกั ษร y เราจะเรียก y วา ตวั แปร y และมี 5 เปน คา คงตวั ซ่ึงเขยี นในรปู สัญลักษณไดด งั น้ี y ×5 หรือ 5y ดังนน้ั เมอ่ื เราเห็นสัญลักษณ 5y จะหมายความวา จาํ นวน จํานวนหนึง่ คณู ดว ย 5 เราจะเรียกขอความในรูปสัญลักษณ เชน −5, 10, x + 4,5y, z , x2, x + y, x2 y วา 10 นิพจน การลดรปู หรือรูปทสี่ น้ั นิพจน x2 มาจากการ x× x แลว เปล่ยี นใหอยูในรปู เลขชีก้ ําลงั ดงั นนั้ x2 = x× x นพิ จน xy มาจากการ x× y แลว ลดรูป ดงั น้ัน xy = x× y นพิ จน x2 y มาจากการ x× x× y แลว ลดรปู ดงั นน้ั x2 y = x × x × y นพิ จน x เราอาจเขียนเปน x ⋅1ได ดังนัน้ x = x ⋅1 = 1⋅ x จาก 2× x เม่อื เขียนในรปู ท่ีสัน้ จะไดดงั นี้ 2x

หนา 2 พหุนาม x× y× x× y × x × ⎛ − 3 ⎞ เมอ่ื เขยี นในรปู ทส่ี ั้นจะไดด ังนี้ −3 x3 y2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 1× x เม่อื เขียนในรปู ทีส่ ั้นจะไดด งั นี้ x −1× x เมอ่ื เขยี นในรปู ท่ีส้นั จะไดดังนี้ −x นยิ าม เอกนาม นิพจนที่สามารถเขียนใหอ ยใู นรูปการคูณของคาคงตัวกบั ตวั แปรตัง้ แตห นง่ึ ตัวขนึ้ ไป โดยที่ เลขชี้กาํ ลงั ของตัวแปรแตละตัวเปนศนู ย หรอื จํานวนเตม็ บวก เรียกวา เอกนาม ตวั อยา ง นพิ จนต อ ไปนเี้ ปนเอกนาม 3, − 4, 5x, − 2x3, 6x2 y5 พจิ ารณา 3 สามารถเขียนอยูในรูป 3⋅1 = 3⋅ x0 จะเห็นวา กําลังของตวั แปร x เปน จํานวน เตม็ บวกหรอื ศนู ย ซงึ่ ในตวั อยา งนจ้ี ะมีคาเทา กบั ศนู ย ตัวอยาง นิพจนต อ ไปน้ีไมเปนเอกนาม 5 , − 2 , 6x2 y−5 , 5x + 3y, 10 − 4y x 2x3 พิจารณา 5 ไมเ ปนเอกนามเพราะเม่ือเราจดั รูปใหอยูในรูปเลขชกี้ าํ ลงั จะไดวา x 5 = 5 ⋅ 1 = 5 ⋅ x−1 = 5x−1 xx จะเหน็ วา กําลงั ของตวั แปร x มคี าเทา กบั -1 ซงึ่ ไมเ ปนไปตามนิยามของเอกนาม ทีก่ ําลงั ของตวั แปรจะตองเปน จาํ นวนเตม็ บวกหรอื ศูนย เทานั้น พจิ ารณา 2 ไมเ ปนเอกนามเพราะกาํ ลงั ของตวั แปร x เปน เศษสว นซึง่ มคี าเทากบั 2 −2x 3 3 พจิ ารณา 6x2 y−5 ไมเปน เอกนามเพราะกําลังของตัวแปร y เปนจาํ นวนเต็มลบ (-5) พจิ ารณา 5x + 3y ไมเ ปน เอกนามเพราะเอกนามจะอยใู นรปู ผลคูณเทานั้น แตใ นตวั อยา งน้ี เปน รูปของผลบวก ถาเราแยกพิจารณาแตล ะพจน จะเหน็ วา เปน เอกนาม แตเมอื่ นาํ เอก นามมาบวกกนั จะไมเปน เอกนาม แตจะเรียกวา พหนุ าม ซง่ึ จะอธิบายตอไปในภายหลัง สรปุ เอกนามประกอบดวยสองสว น คอื สว นทเ่ี ปน คาคงตวั คณู กบั สว นทสี่ องทอ่ี ยใู นรูปของตัวแปร โดยเลขช้ีกําลงั ของตวั แปรจะตอ งเปนจํานวนเตม็ บวกหรือศนู ย จะเรียกสวนของคา คงตัววา สมั ประสิทธข์ิ องเอกนาม และเรยี กผลบวกของเลขชีก้ าํ ลงั ของตวั แปรท้งั หมดในเอกนามวา ดกี รขี องเอกนาม ถาเอกนามทไ่ี มมสี ว นของคาคงตัว จะไดว าสมั ประสิทธขิ์ องเอกนามน้นั มี คาเทา กับ 1 เพราะ 1 เปนเอกลักษณข องการคณู

พหุนาม หนา 3 ตัวอยาง จงบอกสัมประสิทธแ์ิ ละดกี รขี องเอกนามตอ ไปนี้ เอกนาม สมั ประสทิ ธิ์ ดกี รี 1. 3x 3 1 2. −0.5x2 -0.5 2 3. 7 0 4. x3 yz2 7 6 1 5. 0 - 0 0 วาเปนเอกนามท่มี ีสมั ประสิทธเ์ิ ทากับ 0 สวนดกี รีของดกี รีไมส ามารถระบุได เพราะ 0 = 0⋅ xn โดยท่ี n เปนจํานวนเตม็ บวกหรือศูนย ซึ่งเราไมท ราบคาแนนอนของ n ดงั นั้นจึง ไมส ามารถบอกดกี รีของเอกนามนไี้ ด การบวกและการลบเอกนาม นิยาม เอกนามคลายกนั เอกนามสองเอกนามคลา ยกนั ตอ เมอ่ื 1. เอกนามท้งั สองมีตวั แปรชดุ เดยี วกัน และ 2. เลขชก้ี ําลังของตัวแปรตวั เดียวกันในแตล ะเอกนามเทากัน ตวั อยา ง จงพิจารณาวา เอกนามแตล ะคูต อ ไปนค้ี ลา ยกันหรอื ไม คลายกัน เหตผุ ล 1. 3x −2x 9 2. 9 3. 4 2 ± 4. 9 5. 2x2 y 2xy2 ± 3x2 y2 6. 3x2 y2 9 6x2 y 6x2z 7. 1 x3 ± 1 x2 y0 2 หมายเหตุ 3 −2x 3x2 9 คลา ยกัน ± ไมค ลา ยกนั ผลบวกของเอกนามทคี่ ลา ยกนั = (ผลบวกของสมั ประสทิ ธ์)ิ ± (สว นท่อี ยใู นรปู การคูณของตวั แปร) หมายเหตุ เราไมสามารถบวกเอกนามที่ไมค ลายกนั

หนา 4 พหุนาม ตวั อยา ง จงหาผลบวกของเอกนามตอไปน้ี 1. 3x2 + 4x2 = (3 + 4) x2 = 7x2 2. 6x2 y + 8x2 y = (6 + 8) x2 y = 14x2 y 3. 3s3t 2 + 5s3t 2 = (3 + 5) s3t2 = 8s3t 2 4. 2x − 4x = 2x + (−4) x = (2 + (−4)) x = (2 − 4) x = −2x 5. 15x2 y − 8x2 y = (15 − 8) x2 y = 7x2 y แบบฝก หดั จงหาผลบวกของเอกนามตอ ไปน้ี 1. 3x4 − x4 2. x2 y − 5x2 y 3. 6rt − 4rt 4. 10 y2 − 5y2 เฉลย 1. 2x4 2. −4x2 y 3. 2rt 4. 5y2 นิยาม พหนุ าม นพิ จนท ่สี ามารถเขยี นในรปู เอกนามหรือ สามารถเขียนอยใู นรูปผลบวก(หรือผลลบ)ของเอก นามตั้งแตส องเอกนามข้นึ ไปเรียกวา พหนุ าม หมายเหตุ เพ่ือความสะดวก ตอ ไปนี้จะเรยี กเอกนามวา พจน ในกรณที ีเ่ อกนามคลา ยกัน จะเรยี กวา พจนท ่คี ลายกนั เชน 3x2 − 6x + 4 + x2 + 2x − 5 Ç ÇÇÇ ÇÇ พจนที่ 1 2 3 4 5 6 จะเห็นวา พจนท ี่ 1 (3x2 ) จะคลายกับพจนท ี่ 4 ( x2 ) พจนที่ 2 (−6x) จะคลายกบั พจนท่ี 5 (2x) และ พจนท ่ี 3 (4) จะคลายกบั พจนท ่ี 6 (−5) ถา พหุนามใดมพี จนบางพจนทคี่ ลายกนั เราควรรวมพจนเ หลา น้ันเขา ดว ยกนั เพอื่ ใหไ ดพ หุ นามอยูใ นรปู ทไี่ มม พี จนทค่ี ลา ยกัน เชน 3x2 − 6x + 4 + x2 + 2x − 5

พหนุ าม หนา 5 รวมพจนท่ีคลา ยจะไดด งั น้ี 3x2 − 6x + 4 + x2 + 2x − 5 = 3x2 + x2 − 6x + 2x + 4 − 5 = (3 +1) x2 + (−6 + 2) x + (4 − 5) = 4x2 − 4x −1 เรียกพหุนามทีไ่ มมีพจนท คี่ ลายกนั เลยวา พหนุ ามในรูปผลสาํ เรจ็ เม่ือเขียนพหุนามใหอยใู นรูปพหุนามในรปู ผลสาํ เร็จแลว จะถือวา ดกี รสี งู สดุ ของพจนใ นพหุ นามเปน ดีกรขี องพหนุ าม ตัวอยาง จงเขียนพหนุ ามใตแตล ะขอ ตอ ไปนี้ใหเปน พหุนามในรูปผลสําเร็จ และบอกดกี รขี องพหนุ าม 1. −3x4 + 4x3 − x2 −10x + 5 + 2x4 + 5x2 + 2x + 6 = −3x4 + 2x4 + 4x3 − x2 + 5x2 −10x + 2x + 5 + 6 = (−3 + 2) x4 + 4x3 + (−1+ 5) x2 + (−10 + 2) x + (5 + 6) = (−1) x4 + 4x3 + (4) x2 + (−8) x + (11) = −x4 + 4x3 + 4x2 − 8x +11 พหุนามรูปสําเร็จคอื −x4 + 4x3 + 4x2 − 8x +11 ดีกรีของพหนุ ามนีค้ ือ 4 2. 3x2 y2 + 6xy2 + 4 y2 − x2 y2 − 2xy2 + y2 = 3x2 y2 − x2 y2 + 6xy2 − 2xy2 + 4 y2 + y2 = (3 −1) x2 y2 + (6 − 2) xy2 + (4 +1) y2 = (2) x2 y2 + (4) xy2 + (5) y2 = 2x2 y2 + 4xy2 + 5y2 พหนุ ามรปู สาํ เรจ็ คอื 2x2 y2 + 4xy2 + 5y2 ดกี รขี องพหุนามนี้คือ 4 การบวกและการลบพหนุ าม ผลบวกของพหุนามหาไดโดยการนาํ พหนุ ามมาเขยี นในรปู การบวกและถา มีพจนท ่ีคลายกัน ใหบ วกพจนท คี่ ลา ยกนั เขาดวยกนั ตัวอยา ง จงหาผลบวกของพหุนามตอไปนี้ 1. x2 + 3x − 4 กบั 4x3 − 2x2 + 5 ( ) ( )x2 + 3x − 4 + 4x3 − 2x2 + 5 = 4x3 + x2 − 2x2 + 3x − 4 + 5 = 4x3 + (1− 2) x2 + 3x + (−4 + 5) = 4x3 + (−1) x2 + 3x + (1) = 4x3 − x2 + 3x +1

หนา 6 พหนุ าม 2. x2 − 2xy + 3y2 กับ 2x2 + 4xy − 7 y2 ( ) ( )x2 − 2xy + 3y2 + 2x2 + 4xy − 7 y2 = x2 − 2xy + 3y2 + 2x2 + 4xy − 7 y2 = x2 + 2x2 − 2xy + 4xy + 3y2 − 7 y2 = (1+ 2) x2 + (−2 + 4) xy + (3 − 7) y2 = (3) x2 + (2) xy + (−4) y2 = 3x2 + 2xy − 4 y2 จํานวนตรงขามของพหนุ าม จํานวนตรงขามของพหุนามใด คอื ผลบวกของจาํ นวนตรงขา มของพจนแตละพจนในพหุ นามน้นั ตวั อยา ง จํานวนตรงขา มของเอกนาม และพหุนาม 1. 5 มีจาํ นวนตรงขา มคือ −5 2. x มจี าํ นวนตรงขา มคอื −x 3. x + y มีจํานวนตรงขา มคอื −( x + y) = (−x) + (− y) = −x − y จะเห็นวา −x เปน จาํ นวนตรงขามของ x และ −y มจี ํานวนตรงขา มกบั y ดังน้นั จาํ นวนตรงขา มของ x + y คือ ผลบวกของจํานวนตรงขามของ x และ y ซง่ึ กค็ อื = −x − y เอกนาม / พหนุ าม จํานวนตรงขาม 1. x2 −x2 2. x − 5 −(x − 5) = −x + 5 3. −s + 3t − (−s + 3t ) = s − 3t −x(x − 2) = −x2 + 2x 4. x ( x − 2) การลบพหนุ าม การลบพหุนามดวยพหุนามทําไดโดยการบวกพหุนามท่ีเปนตวั ตัง้ ดวยจํานวนตรงขามของ พจนแตล ะพจนของพหนุ ามท่ีเปน ตวั ลบ ตัวอยา ง จงหาผลลบของพหนุ ามตอ ไปน้ี โดยใชพ หุนามแรกเปนตวั ตง้ั 1. x + 4, x − 2 จํานวนตรงขามของตัวลบคอื −( x − 2) = −x + 2 (x + 4) −(x − 2) = (x + 4) + (−x + 2) = x − x + 4 + 2 = 6

พหนุ าม หนา 7 2. x3 − 4x2 + 3x + 4, x3 − 5x + 2 จํานวนตรงขา มของตวั ลบคอื − x3 + 5x − 2 ( ) ( )x3 − 4x2 + 3x + 4 − x3 − 5x + 2 ( ) ( )= x3 − 4x2 + 3x + 4 + −x3 + 5x − 2 = x3 − 4x2 + 3x + 4 − x3 + 5x − 2 = x3 − x3 − 4x2 + 3x + 5x + 4 − 2 = −4x2 + 8x + 2 แบบฝก หดั จงหาผลบวกหรอื ผลลบของพหนุ ามตอ ไปน้ี ( ) ( )1. 2x2 − 4x + 3 + x2 + x −1 ( ) ( )2. 3x2 y − 2xy + 3 − 5x2 y + 3xy + 2 ( ) ( )3. 5rt3 − 4rt2 − 2r + r + 3rt2 − 2rt3 ( ) ( )4. 5x3 − 2x2 + 4x + 6 − 2x3 − x2 + 4 เฉลย 1. 3x2 − 3x + 2 2. −2x2 y − 5xy +1 3. 3rt3 − rt2 − r 4. 3x3 − x2 + 4x + 2 การคูณพหุนาม การหาผลคูณระหวางพหนุ ามกับพหุนาม ทาํ ไดโ ดยคูณแตล ะพจนข องพหุนามหนงึ่ กบั ทกุ ๆ พจนข องอีกพหนุ ามหน่งึ แลวนําผลคณู เหลานน้ั มาบวกกนั ตัวอยาง จงหาผลคณู ของเอกนามกับพหุนามตอ ไปนี้ 1. x ( x − 4) = x ( x + (−4)) = x ⋅ x + x ⋅(−4) = x2 + (−4) x = x2 − 4x หรือ x(x − 4) = x⋅ x − x⋅4 = x2 − 4x 2. 3x2 ( x − 2 y) = 3x2 ( x + (−2) y) = 3x2 ⋅ x + x ⋅(−2) y = x3 + (−2) xy = x3 − 2xy หรอื 3x2 ( x − 2 y) = 3x2 ⋅ x − x ⋅ 2 y = 3x3 − 2xy ( )3. x + y2 (2xy) = x ⋅ 2xy + y2 ⋅ 2xy = 2x2 y + 2xy3

หนา 8 พหนุ าม ตวั อยา ง จงหาผลคณู ของพหุนามตอไปนี้ 1. ( x +1)( x − 2) = x ( x − 2) + (1)( x − 2) = x ⋅ x − x ⋅ 2 +1⋅ x +1⋅(−2) = x2 − 2x + x + (−2) = x2 + (−2 +1) x − 2 2. ( x + y)(a + b) = x2 − x − 2 = x(a +b)+ y⋅(a +b) = x⋅a + x⋅b + y⋅a + y⋅b 3. ( x + y)(s + r − t ) = ax + bx + ay + by = x(s+r −t)+ y(s+r −t) = sx + rx − tx + sy + ry − ty 4. ( x − 3y)( x + 2y − z) = x ( x + 2 y − z) − 3y ( x + 2 y − z) = x⋅x + x⋅2y + x⋅(−z)−3y⋅x −3y⋅2y −3y⋅(−z) = x2 + 2xy − xz − 3xy − 6 y2 + 3yz = x2 + 2xy − 3xy − xz − 6 y2 + 3yz = x2 − 6 y2 + (2 − 3) xy − xz + 3yz = x2 − 6 y2 − xy − xz + 3yz แบบฝกหัด จงหาผลคูณของพหนุ ามตอ ไปน้ี 1. ( x + 3)( x −1) ( )2. x2 +1 ( x + 3) 3. x ( x + 4)( y − 2) ( )( )4. x3 − 2x +1 x2 + 4 เฉลย 1. x2 + 2x − 3 2. x3 + 3x2 + x + 3 3. x2 y − 2x2 + 4xy − 8x 4. x5 + 2x3 − 8x + x2 + 4

พหุนาม หนา 9 การหารพหุนาม ให A และ B เปนพหุนามใดๆ โดยที่ B ≠ 0 การหารพหุนาม A ดว ย B เขียนแทนดวย A ÷ B หรอื A B ซง่ึ มีทัง้ การหาลงตวั และไมล งตัว(เหลือเศษ) การหาผลคูณระหวา งพหนุ ามกบั พหุนาม ทาํ ไดโดยคูณแตล ะพจนข องพหุนามหนง่ึ กบั ทุกๆ พจนของอีกพหุนามหนง่ึ แลวนําผลคูณเหลานนั้ มาบวกกัน ตัวอยาง จาก x2 − 3x + 2 = x −1 x−2 เราจะเรียกวา พหุนาม x2 − 3x + 2 หารดว ย พหุนาม x − 2 จะไดผลลพั ธท่ีเรยี กวา ผลหารเทากบั x −1 ในการหารพหุนามดว ยเอกนาม ใหน าํ ตัวหารไปหารทกุ พจนข องตัวตง้ั แลว นาํ ผลท่ไี ดมา บวกกนั ตวั อยาง (การหารพหุนามดว ยเอกนาม) จงหาผลหารของ ตวั อยา ง วธิ ที ํา 1. 2x + 4 = 2x + 4 = x + 2 2 22 2. 3x2 − 5x = 3x2 − 5x = 3x − 5 x xx 3. 3x2 y − 6xy + 3y = 3x2 y − 6xy + 3y = x2 − 2x +1 3y 3y 3y 3y (การหารพหุนามดวยพหุนาม) จงหาร −6x + 4 + 2x2 ดวย x −1 1. เรยี งกาํ ลงั ของตวั ตง้ั และตัวหารจากมากไปนอย แลวเขยี นการตัง้ หารดังนี้ x −1 2x2 − 6x + 4 2. นําพจนแ รกของตัวหาร ( x) ไปหารพจนแ รกของตวั ตงั้ (2x2 ) เขยี นผลหาร (2x) ไวบ รรทัดเหนอื ตวั ตงั้ 2x x −1 2x2 − 6x + 4 3. นาํ ผลทีไ่ ดจากขอ 2 (2x) ไปคณู ตัวหาร ( x −1) ได (2x2 − 2x) แลว เขยี นผลคูณไว บรรทดั ใตต วั ตัง้ ดังน้ี

หนา 10 พหนุ าม 2x x −1 2x2 − 6x + 4 2x2 − 2x 4. นาํ ผลลพั ธทไ่ี ดในขอ 3 (2x2 − 2x) ไปลบออกจากตวั ตงั้ (2x2 − 6x + 4) ได (−4x + 4) ดงั นี้ 2x x −1 2x2 − 6x + 4 2x2 − 2x − 4x + 4 5. ดูดีกรีของตวั ตงั้ ใหม (−4x + 4) นอยกวา ดกี รีของตัวหาร ( x −1) หรอื ยงั ถายังให ทําตอ 6. นาํ พจนแรกของตวั หาร ( x) ไปหารพจนแรกของตวั ตงั้ ใหม (−4x) ได (−4) แลว ทาํ ซาํ้ ตามขั้นตอนท่ี 3 ข้ันที่ 4 และขน้ั ท่ี 5 จนกวาดีกรีของตัวตงั้ นอยกวา ตวั หารดังนี้ 2x − 4 2x − 4 x −1 2x2 − 6x + 4 x −1 2x2 − 6x + 4 2x2 − 2x 2x2 − 2x − 4x + 4 − 4x + 4 −4x + 4 ← (−4)( x −1) ดังน้นั 2x2 − 6x + 4 จะไดผ ลหารเทา กบั 2x − 4 x −1 ในการทดสอบวาผลหารทไี่ ดถ กู ตองหรือไม ใหน าํ ผลหารคูณกบั ตวั หาร จะไดต วั ตั้ง (2x − 4)( x −1) = 2x2 − 6x + 4 จากตัวอยางนจ้ี ะเห็นวา ผลหารทไี่ ดไมเ หลอื เศษ หรอื จะเรยี กวา การหารลงตวั ถา ผลหาร เหลอื เศษ จะเรยี กวาการหารท่ไี มล งตวั พหนุ าม A หารดวย พหุนาม B จะไดว ามพี หนุ าม C และพหนุ าม D (เศษของการหาร) ท่ี A = BC + D โดยท่ีดกี รีของ D นอ ยกวา ดีกรีของ B และ B ≠ 0 เรียก C วา ผลหาร และ D วา เศษ ตวั ตั้ง = (ตวั หาร × ผลหาร) + เศษ ถาเศษเปน ศนู ย จะเรียกวา การหารน้ีเปน การหารลงตวั ถาเศษไมเ ปน ศูนย จะเรียกวา การหารนี้เปน การหารทีไ่ มล งตัว

พหนุ าม หนา 11 ตัวอยาง (การหารไมลงตวั ) x วิธีทาํ จงหาร x2 − 4x + 5 ดว ย x + 2 x + 2 x2 − 4x + 5 x + 2 x2 − 4x + 5 x x2 + 2x x + 2 x2 − 4x + 5 −6x +5 x2 + 2x x −6 x −6 x + 2 x2 − 4x + 5 x + 2 x2 − 4x + 5 x2 + 2x x2 + 2x −6x +5 −6x +5 −6x −12 −6x −12 17 ดงั นนั้ x2 − 4x + 5 = x − 6 เหลือเศษ 17 และจะเขยี นไดดังนี้ x+2 หรือ x2 − 4x + 5 = x − 6 + 17 x+2 x+2 x2 − 4x + 5 = ( x + 2)( x − 6) +17 ตวั อยาง จงหาร x3 + 2x2 −1 ดวย x +1 วิธที ํา x +1 x3 + 2x2 + 0x −1 x2 x2 x +1 x3 + 2x2 + 0x −1 x +1 x3 + 2x2 + 0x −1 x3 + x2 x3 + x2 x2 + 0x x2 + x x2 + x x +1 x3 + 2x2 + 0x −1 x +1 x3 + 2x2 + 0x −1 x3 + x2 x3 + x2 x2 + 0x x2 + 0x x2 + x x2 + x − x −1

หนา 12 พหุนาม ดงั นัน้ x2 + x − 1 x +1 x3 + 2x2 + 0x −1 x3 + x2 x2 + 0x x2 + x − x −1 −x− 1 x3 + 2x2 −1 = x2 + x −1 x +1 แบบฝกหัด จงหาผลหารของพหนุ ามตอ ไปนี้ ( )1. x2 − 3x − 4 ÷ ( x +1) ( )2. x3 − 2x2 −11x +12 ÷ ( x − 4) ( ) ( )3. x3 + 6x2 + 3x −10 ÷ x2 + x − 2 ( )4. x3 − x2 + 5x − 5 ÷ ( x +1) ( ) ( )5. x4 + 2x2 − 5 ÷ x2 + 3 x − 4 เฉลย 1. x − 4 2. x2 + 2 x − 3 3. x + 5 4. x2 − 2 x + 7 − 12 5. x2 − 1 − 2 x+1 x2 + 3 ขอ มูลอางองิ หนงั สือรยี น วชิ าคณติ ศาสตร ค๐๑๑ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาตอนตน พุทธศักราช 2521 (ฉบับ ปรับปรุง พ.ศ. 2533) จัดทาํ โดย สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ โปรแกรม Maple 8 ผจู ัดทาํ วิรัตน ศริ ิมงั คลานรุ ักษ