พาลินโดรม

ชือ่ -สกุล……………………………………………….………………………..ชนั้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… ใบความร้ทู ่ี 1.1 เร่อื ง พาลินโดรม( palindrome ) พาลนิ โดรม( palindrome ) คาหรือวลีทส่ี ามารถเขียนตวั อกั ษรเรียงย้อนกลบั จากหลงั ไป หน้า หรือจากขวาไปซ้าย แล้วยงั คงอ่านออกเสียงไดเ้ หมือนเดมิ เชน่ กก กนก ยาย นาน บวบ DAD MOM EYE เรียกวา่ พาลินโดรม คาว่าพาลนิ โดรมเปน็ ภาษากรีก แปลวา่ วง่ิ กลับไปท่เี ดมิ อีก (running back again) ไมใ่ ชแ่ ต่ภาษาเท่านั้นที่มีพาลนิ โดรม คณติ ศาสตร์ก็มีกับเขาเหมือนกนั อย่างปี ค.ศ.2002 กเ็ ป็น เลขพาลินโดรม (palindromic number) คือดตู วั เลขจากหลังไปหนา้ กไ็ ดเ้ หมอื นเดมิ แต่ นักคณติ ศาสตรร์ ู้ดวี า่ แบบนมี้ ันหมูไปหนอ่ ย กเ็ ลยคิดสตู รข้ึนมาว่า ถ้ายกตัวเลขจานวนเต็มข้ึนมา เชน่ 38 แลว้ นาไปบวกกบั ตัวเลขอา่ นย้อนกลับ คือ 83 จะได้วา่ 38 + 83 = 121 ซงึ่ เปน็ เลขพาลินโดรม (แบบบวก แคค่ รั้งเดียว) ในทางคณิตศาสตร์ พาลนิ โดรม เปน็ จานวนนบั ท่ีเม่ือเขยี นเลขโดดเรียงย้อนกลับจาก หลังไปหน้าหรอื จากขวาไปซ้าย แลว้ ไดจ้ านวนเดมิ เช่น 8, 22, 101 และ 252 พาลินโดรมทีม่ หี นึ่งหลัก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, และ 9 พาลนิ โดรมท่ีมีสองหลกั ไดแ้ ก่ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 และ 99 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 4 เร่ืองการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 หนา้ 1

ชือ่ -สกลุ ……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ใบความรู้ที่ 1.2 เรอื่ ง สร้างพาลินโดรม วธิ สี รา้ งพาลินโดรมทางคณติ ศาสตร์ท่รี ู้จักกนั แพรห่ ลายคือ เม่ือนาจานวนนับท่ีมีสองหลกั มาบวกกับจานวนท่ีได้จากการเขยี นเลขโดดเรยี งย้อนกลบั จากหลังไปหนา้ ของจานวนเดมิ ถ้าผลลัพธย์ ังไม่ เป็นพาลนิ โดรม ใหน้ าผลลัพธ์น้ันไปบวกกับจานวนท่ีไดจ้ ากการเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหนา้ ของผลลัพธ์นัน้ อกี ทาเชน่ น้ีไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้พาลินโดรม ตวั อย่าง สร้างพาลินโดรมจาก 14 ได้ดังน้ี 14 + 41 = 55 เป็นพาลนิ โดรม ตัวอย่าง สร้างพาลินโดรมจาก 97 ได้ดังน้ี ครัง้ ท่ี 1 97 + 79 = 176 ไมเ่ ป็นพาลินโดรม คร้ังท่ี 2 176 + 671 = 847 ไมเ่ ปน็ พาลินโดรม ครั้งที่ 3 847 + 748 = 1595 ไม่เปน็ พาลินโดรม ครงั้ ท่ี 4 1595 + 5951 = 7546 ไมเ่ ปน็ พาลินโดรม ครง้ั ท่ี 5 7546 + 6457 = 14003 ไมเ่ ปน็ พาลินโดรม ครั้งท่ี 6 14003 + 30041 = 44044 เป็นพาลนิ โดรม การสรา้ งพาลนิ โดรมน้ันสามารถทาได้ดว้ ยการบวกดว้ ยจานวนเดมิ ทเี่ ขียนย้อนกลับได้ โดยอาจจะ บวกเพยี งคร้ังเดยี ว หรือหลายคร้งั และบางจานวนนั้นอาจจะบวกหลายครัง้ มากๆ จนเราหมดความอดทน คิดวา่ ทาไม่ได้ เช่น 89 ต้องบวกถึง 24 คร้ัง จงึ จะได้ 8813200023188 ซง่ึ เป็นพาลนิ โดรม นอกจากนี้การสรา้ งพาลนิ โดรม อาจจะใช้วกี ารนาจานวนที่เป็นพาลนิ โดรมอยู่แลว้ มายกกาลงั สองกส้ ามารถได้พาลินโดรมอื่นๆ เช่น 121 222 = 484 112 = 10201 2022 = 40804 1012 = 1002001 20022 = 4008004 10012 = หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 เร่ืองการประยุกต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1 หนา้ 2

ชือ่ -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ใบงานที่ 1 พาลนิ โดรม( palindrome ) 1. จงวงกลมจานวนที่เป็นพาลินโดรม 1 44 96 5 47 33 909 577 757 398 412 114 3393 3033 14241 3553 9888 4444 5995 5991995 3674 2121 3878 4256 4 100 13931 2233 8800 676 2. ให้ยกตัวอย่างคาในภาษาไทยทีเ่ ป็นพาลินโดรมมา 5 คา …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 3. ใ ห้ยกตวั อย่างคาในภาษาองั กฤษท่ีเปน็ พาลนิ โดรมมา 5 คา …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 4. ใหเ้ ขยี นจานวนทเี่ ป็นพาลนิ โดรมทมี่ ี 5 หลัก มา 3 จานวน …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 5. จงเติมคาตอบลงในชอ่ งวา่ งแลว้ สงั เกตผลลพั ธท์ ่ไี ด้เป็นพาลนิ โดรมหรือไม่ 1) 22 =……………………………………………………………………………………. 2) 32 =………………………………………………………………………………….. 3) 2022 =………………………………………………………………………………….. 4) 20000002 =………………………………………………………………………………….. 5) 10000012 =………………………………………………………………………………….. 6) 3032 7) 2022 =………………………………………………………………………………….. 8) 11112 =………………………………………………………………………………….. =………………………………………………………………………………….. 9) 52 =………………………………………………………………………………….. 10) 4042 =………………………………………………………………………………….. หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 4 เรื่องการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1 หนา้ 3

ชื่อ-สกลุ ……………………………………………….………………………..ช้ัน ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… 6. จงเขียนพาลนิ โดรมทมี่ ีสห่ี ลักใหค้ รบทกุ จานวน …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 7. จงสรา้ งพาลินโดรมจากตัวเลขท่กี าหนดให้ต่อไปนี้ 1) 31 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 2) 42 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 3) 71 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 4) 82 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 หนา้ 4

ชือ่ -สกลุ ……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… 5) 56 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 6) 34 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 7) 12 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 8) 23 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 9) 73 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 10) 79 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………..… หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 4 เร่อื งการประยุกต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1 หน้า 5

ชอ่ื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… บทความเสริมความรู้ จุดประกาย ไขปญั หา คณติ ศาสตร์ : นาฬกิ า Palindromes Palindromes คือ คา หรือวลี หรือจานวนทเ่ี หมอื นกนั เมื่ออ่านจากข้างหนา้ ไปข้างหลัง หรืออา่ น กลบั จากขา้ งหลงั มาข้างหนา้ เช่น mom, noon, radar ทีเ่ ปน็ วลี เช่น \"Able was ere saw Elba\" หรอื ท่เี ป็นจานวนเช่น 1991 หรอื 23 + 32 = 55 เปน็ ตน้ นาฬกิ า Palindromes เป็นกิจกรรมหน่งึ ทท่ี ้าทายเด็กๆ นาฬกิ าดิจิทลั สว่ นใหญ่จะบอกเวลา 12 ชั่วโมงต่อรอบ ฉะนน้ั ถา้ จะใหเ้ ดก็ ๆ ค้นหาเวลาทเ่ี หมือนกันเม่ืออ่านกลบั หน้ากลับหลงั ในรอบ 12 ชัว่ โมง ต้งั แตเ่ ที่ยงวนั ไปถึงเท่ียงคนื จะมีท้ังหมด 57 เวลาทเ่ี หมือนกัน 57 เวลา Palindromes มดี งั ต่อไปนี้ เวลา 10, 11 และ 12:00 น. คือ 10:01, 11:11 และ 12:21 สว่ นเวลา 1 ถงึ 9.00 น. จะมี 6 เวลา ในแตล่ ะชว่ั โมง คือ 1:01, 1:11, 1:21, 1:31, 1:41, 1:51 2:02, 2:12, 2:22, … 9:39, 9:49, 9:59 เรยี บเรยี งจากเร่อื ง Clock Palindromes ของ Dave Youngs ในวารสาร AIMS ฉบบั เดือน January 1998 หนา้ 5-6 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 1 หน้า 6

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ช้นั ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ใบงาน : นาฬิกา Palindromes Palindromes คือ คา หรือวลี หรือจานวนทีเ่ หมือนกันเมื่ออา่ นจากข้างหนา้ ไปขา้ งหลงั หรืออา่ น กลับจากขา้ งหลงั มาข้างหนา้ เช่น mom และ dad 343 และ 1991 เป็นตน้ ให้นักเรยี นลองคิดถงึ คาอน่ื ๆ หรือจานวนอ่นื ๆ ในรูปแบบเดียวกนั นีแ้ ลว้ เขียนลงในที่วา่ งข้างล่าง สาหรบั กิจกรรมนาฬกิ า Palindromes ใช้นาฬกิ าดิจิทัลทีบ่ อกเวลา 12 ชวั่ โมงตอ่ รอบ เรมิ่ จาก เทีย่ งวนั ไปถงึ เท่ียงคนื จะมเี วลา Palindromes เชน่ 12:21 และ 3.03 เปน็ ตน้ จงหาเวลา Palindromes ทง้ั สิ้นว่ามีก่ีเวลา บนั ทึกเวลาท่ีได้ลงในที่วา่ งข้างลา่ ง ............................................................................................................................. ............................................ ....................................................................................... .................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................ .................................................................................................................................. ....................................... ............................................................................................ ............................................................................. ............................................................................................................................. ............................................ ...................................................................................................................................... ................................... ................................................................................................ ......................................................................... ............................................................................................................................. ............................................ ........................................................................................................................................... .............................. ..................................................................................................... .................................................................... เรียบเรียงจากเร่อื ง Clock Palindromes ของ Dave Youngs ในวารสาร AIMS ฉบับเดือน January 1998 หน้า 5-6 หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 4 เรอื่ งการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 หนา้ 7

ชอ่ื -สกุล……………………………………………….………………………..ชั้น ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… ใบความรทู้ ่ี 2 ลำดบั ฟโิ บนกั ชี ( fibonacci sequence ) ลีโอนาโด ฟโิ บนกั ซี (Leonado Fibonacci) อยู่ในประเทศอิตาลชี ่วง ค.ศ. 1170 – 1240 เป็น ผูค้ ดิ คน้ ลาดบั ฟีโปนักชี ซึ่งเป็นลาดบั ทก่ี าหนดให้เทอมที่ 1 คือ a1 = 1 เทอมที่ 2 คอื a2 = 1 เทอมที่ 3 คอื a3 = 2 เทอมท่ี n = an โดยที่ an = an-2 + an-1 n จะเปน็ จานวนนับและ n ³ 3 จะได้ลาดบั 1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 ,… (ตัวเลขตาแหน่งที่ n เทา่ กบั ตวั เลขตาแหน่งท่ี n-1 บวกกบั ตัวเลขตาแหนง่ ที่ n-2, หรอื an = an-2 + an-1 ) เมื่อนกั เรยี นพิจารณาจานวนที่เรยี งกันในลาดับฟโิ บนกั ชี 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, n-2, n-1, n , … จะสงั เกตเห็นแบบรปู ของจานวนเป็นดงั นี้ จานวนที่หน่งึ คอื 1 จานวนที่สอง คอื 1 จานวนที่สาม คอื 2 ซงึ่ เทา่ กบั ผลบวกของจานวนที่หน่งึ กับจานวนทส่ี อง จานวนทส่ี ่ี คือ 3 ซึง่ เท่ากับผลบวกของจานวนท่ีสองกับจานวนท่ีสาม จานวนทีห่ ้า คือ 5 ซงึ่ เทา่ กับผลบวกของจานวนท่ีสามกับจานวนท่ีส่ี จานวนที่หก คือ 8 ซงึ่ เท่ากับผลบวกของจานวนที่สี่กับจานวนทห่ี า้ จานวนทเ่ี จ็ด คือ 13 ซึง่ เท่ากับผลบวกของจานวนท่ีห้ากบั จานวนทหี่ ก .. .. .. จานวนท่ี n คอื ซ่ึงเท่ากับผลบวกของจานวนที่ n-2 กับจานวนท่ี n-1 หน่วยการเรียนรูท้ ่ี 4 เรื่องการประยกุ ต์ 2 วิชา คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 1 หนา้ 8

ช่ือ-สกลุ ……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… ถ้านักเรยี นเคยนบั จานวนสงิ่ ต่างๆ บางชนิดในธรรมชาติ ก็จะพบจานวนบางจานวนในลาดับ ฟโิ บนกั ชปี รากฏอยู่ เช่น เมลด็ ของดอกทานตะวนั ในวงที่มีเกลียวการหมนุ ตามเข็มนาฬิกา มีจานวนทงั้ สนิ้ 55 เมลด็ (เครอ่ื งหมายสแี ดง) ในขณะท่ีวงท่มี ีเกลียว การหมุนทวนเข็มนาฬกิ า มจี านวนทั้งส้นิ 89 เมลด็ (เครื่องหมายสีเขยี ว) (โดยท่ีทั้ง 55 และ 89 ต่างกส็ อดคล้องกบั ลาดับเลขฟีโบนกั ชี) ต้นตะบองเพชรที่มลี กั ษณะการจัดเรยี งตวั ของปุ่มหนามสอดคลอ้ งกับเลขฟโี บนักชี โดยมวี งเกลยี ว ของปุ่มหนามทห่ี มุนตามเขม็ นาฬกิ า 3 วง (เส้นสีแดง)และมีวงเกลียวท่ีหมุนทวนเข็มนาฬิกาจานวน 5 วง (เส้นสเี หลือง) โดยที่ 3 และ 5 ก็คือลาดับเลขฟีโบนกั ชี หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 4 เร่ืองการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 1 หน้า 9

ชอ่ื -สกุล……………………………………………….………………………..ชนั้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… ทานองเดียวกนั ลกู สน (Pine Cone) ทแี่ สดงเซตของเกลยี ว ฟโิ บนกั ซี มีเซตของเกลียวเปน็ สองสว่ นสว่ นหนงึ่ ท่มี ีทดิ ทางทีห่ มนุ ตามเขม็ นาฬกิ า และอีกสว่ นหนึ่งจะหมนุ ทางตรงข้าม ถา้ นับตาม เกลยี วทงั้ สองเราจะพบวา่ จานวนทไ่ี ดจ้ ะเป็นจานวนฟีโบนกั ซที ตี่ ดิ กนั หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 4 เร่ืองการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1 หนา้ 10

ชอ่ื -สกลุ ……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… สเี่ หล่ยี มทองคา (Golden Rectangular) ในการสรา้ งรูปสเี่ หล่ียมผนื ผา้ แล้วหารความยาวดว้ ยความกวา้ งจะไดอ้ ตั ราส่วนทองคา ดังรปู ตามรปู สเ่ี หลย่ี มผืนผ้าซึง่ มีลักษณะเปน็ สเี่ หลีย่ มทองคาจะมีคุณสมบตั ทิ ว่ี า่ y = 1.618...หรือด้าน x ยาวหารด้วย ดา้ นกว้าง = 1.618... รูป a จะเป็นส่ีเหลีย่ มจตั ุรสั ท่ีอย่ใู นสเ่ี หลีย่ มผนื ผา้ ด้วยอัตราสว่ น x x และส่วนทเี่ ป็นรูป b จะเป็นรูปส่ีเหลี่ยมทองคาอีกรปู ดว้ ยอัตราสว่ น y x x  หรือจะพูดอีกอยา่ งว่า  อัตราสว่ นของ ด้านยาวของรูป b กับความสูงซึ่งเปน็ ดา้ นอีกด้านหนึ่งของรูปสี่เหลย่ี มจะเป็นอัตราส่วน ทองคา นัน่ คอื บนดา้ นที่มอี ตั ราส่วนทองคาถา้ สรา้ งรูปสี่เหล่ียมจัตรุ ัสดา้ นยาวด้านท่เี หลือจะเป็นรูป สี่เหลย่ี มผนื ผา้ ซงึ่ มอี ตั ราส่วน เทา่ กับรปู เดิม หน่วยการเรยี นรู้ที่ 4 เรื่องการประยกุ ต์ 2 วิชา คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 1 หนา้ 11

ชอื่ -สกุล……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ฟีโปนกั ชแี ละเกลยี วทองคา (Fibonacci and Spiral Golden) ถ้าหาอัตราสว่ นของสองจานวนในลาดบั ฟีโปบกั ชีโดยหารแต่ละเทอมดว้ ยจานวนทีม่ ากอ่ นด้วย จานวนน้ันเสมอ 1 1 , 2  2 , 3 1.5 , 5 1.66... , 8 1.6 , 13 1.62 , .... 112 3 58 รปู เกลียวจำกลำดบั ฟิโบนักซี เราสามารถสร้างรปู ท่ีแสดงจานวนในลาดบั ฟโี ปนักชี (1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,… ) โดยเร่มิ ทจี่ านวนสองจานวนท่มี ีขนาด 1 และจานวนต่อไปจะสร้างส่ีเหลีย่ มรปู จัตุรสั ทมี่ ีพ้ืนท่ี 2(1 + 1) ดงั รูป สร้างรปู สีเ่ หล่ยี มจตั ุรัสใหม่ให้ส่วนทีแ่ ตะกบั ขอบของทงั้ 2 รปู สเี่ หลีย่ มมีคา่ เป็น 3 หน่วยและอกี รปู หนึ่งจะแตะกับด้านทง้ั 2 ที่มคี ่าเท่ากับ 5 หน่วย เราสามารถสรา้ งรปู สเ่ี หล่ียมไปรอบ ๆ รูปโดยท่ดี ้านของ รปู สเี่ หลย่ี มใหมม่ ีความยาวเท่ากบั ดา้ นของรปู สี่เหลย่ี มเกา่ 2 รปู บวกกัน จะเห็นวา่ สเ่ี หลี่ยมผืนผ้าที่ได้ซ่ึง มดี า้ น 2 ดา้ นเปน็ จานวนในลาดับฟโี ปนกั ชี 2 จานวนตดิ กัน ซงึ่ เราอาจจะเรียกวา่ สี่เหลีย่ มผนื ผา้ ของ ฟโี ปนกั ชี หน่วยการเรียนรูท้ ่ี 4 เรื่องการประยกุ ต์ 2 วิชา คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1 หน้า 12

ชือ่ -สกุล……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… จะเห็นวา่ สเี่ หล่ียมผืนผ้าในรูปเปน็ สี่เหลยี่ มทองคา เราสร้างเกลียวได้โดยนาหนงึ่ ในส่ขี องวงกลม มาต่อกบั สว่ นหนึ่งจะเปน็ รูปของสเ่ี หลีย่ มจตั ุรัส รปู เกลยี วทองคาน้เี รยี กอีกอย่างหนงึ่ ว่า Fibonacci Spiral จะมีสว่ นของโค้งทีเ่ หมือน ๆ กนั ทเ่ี กิดในธรรมชาติ เช่นในรูปของหอยทะเล ไดแ้ ก่ หอย Chambered Nautillus , หอย Ammouite Ammouite Chambered Nautillus จานวนฟิโบนกั ซีกับสดั สว่ นของร่างกาย ลองมองดูที่มอื ของเรา จะเหน็ ว่า เรามี 2 มอื แต่ละมอื มี 5 น้วิ แตล่ ะนวิ้ มี 3 สว่ น แตล่ ะส่วนมี 2 ข้อ แต่ละขอ้ มีกระดกู 1 ชิ้น ถา้ เราวัดระยะของกระดูกในน้วิ มือ จะเหน็ วา่ อัตราส่วนความยาวระหวา่ งกระดกู สว่ นท่ยี าวทีส่ ุดกบั ส่วนที่มขี นาดกลางจะมคี ่า 1.618... อัตราสว่ นความยาวระหว่างกระดกู ส่วนทม่ี ีขนาดกลางกับส่วนทีส่ ั้นท่ีสุดจะมีค่า 1.618...ดว้ ย ถา้ ดตู ามสัดส่วนของรา่ งกายธรรมชาตจิ ะใหม้ าเป็นอัตราส่วนทองคาเช่น อัตราสว่ นของ ความสูงจากระดบั เอวถึงเทา้ กบั หัวถงึ เอว เปน็ อัตราส่วนทองคา อตั ราส่วนของระยะ ศอกถึงปลายนิ้ว กับระยะ ตน้ แขนถึงศอก ก็เป็นอัตราสว่ นทองคา เรานยิ มนาอัตราส่วนทองคาไปใชใ้ นเรื่องท่วั ไปเพราะ ทาใหม้ ีสดั สว่ นสวยงาม เช่นการทาไวโอลิน การทาเฟอรน์ เิ จอร์ ตา่ งๆ เชน่ การทา เตยี ง โต๊ะทางาน เก้าอี้ หรอื แม้แตเ่ ตียงสาหรบั นวดตวั หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 เร่อื งการประยุกต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 1 หนา้ 13

ช่ือ-สกลุ ……………………………………………….………………………..ช้ัน ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ใบงานที่ 2 ลำดับฟิโบนักชี ( fibonacci sequence ) 1. ใหเ้ ขยี นจานวนในลาดับฟิโบนักชี ต้งั แตต่ วั ที่ 1 ถึง ตวั ที่ 20 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ถ้า F(n) เปน็ จานวนท่ี n ในลาดบั ฟโิ บนักชี ให้ตอบคาถามต่อไปนี้ 1) F(15) = 610 และ F(16) = 987 จงหา F(20) = ……………………………………………… 2) F(21) = 10,946 และ F(22) = 17,711 จงหา F(23) = ……………………………………………… 3) F(24) = 46,368 และ F(26) = 121,393 จงหา F(25) = ……………………………………………… 4) F(27) = 196,418 และ F(28) = 317,811 จงหา F(26) = ……………………………………………… 5) F(30) = 832,040 และ F(31) = 1,346,269 จงหา F(32) = ……………………………………………… 6) F(30) = 832,040 และ F(31) = 1,346,269 จงหา F(29) = ……………………………………………… 3. ให้เตมิ รูปภาพต่อไปน้ีอกี 1 รปู จากรปู ทก่ี าหนดให้ต่อไปนี้ 5 1 11 11 11 11 2 32 32 12 3 4 5 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 4 เร่อื งการประยุกต์ 2 วิชา คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 หน้า 14 1

ช่ือ-สกุล……………………………………………….………………………..ช้ัน ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ใบความรทู้ ่ี 3 ข่ายงาน (Network) ข่ายงาน (Network) ประกอบดว้ ยจุดยอด ซ่ึงมีการเช่ือมระหวา่ งจุดด้วยเสน้ เช่ือม ตวั อย่างขา่ ยงานท่ีมีจดุ A , B , C และ D เปน็ จดุ ยอด AD BC ตัวอยา่ งข่ายงานทเ่ี สน้ เชอื่ มอาจเกิดท่ีจดุ เดียว ซึ่งเรยี กเสน้ เช่ือมลักษณะนี้วา่ รูปบ่วง (Loop) F E G ข่ายงานทสี่ ามารถลากตามเส้นเชื่อมทกุ เสน้ ไดโ้ ดยตลอดอยา่ งต่อเนื่อง และไม่ซา้ เส้นเดมิ เรียกว่า “ข่ายงานท่ีผา่ นได้” ตวั อยา่ งขา่ ยงานท่ีผา่ นได้ A D เร่มิ ตน้ จาก B C D A DBA BC หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 1 หนา้ 15

ชอ่ื -สกลุ ……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… ตัวอย่างขา่ ยงานทไี่ มเ่ ป็นขา่ ยงานทผ่ี า่ นได้ การพจิ ารณาวา่ ขา่ ยงานทกี่ าหนดใหเ้ ป็นขา่ ยงานทีผ่ า่ นได้หรือไม่ นอกจากจะทาไดโ้ ดยการลอง ลากเสน้ เช่ือมทุกเสน้ ตามเงอื่ นไขแลว้ เพ่ือความสะดวกและรวดเรว็ เราสามารถพจิ ารณาจากจดุ ยอดของ ขา่ ยงานไดด้ ้วย จุดยอดของขา่ ยงานมี 2 ชนดิ คอื จุดยอดคี่ และจดุ ยอดคู่ จดุ ยอดค่ี หมายถงึ จานวนเสน้ เชอื่ มทีม่ าพบกนั ณ จดุ ยอดน้ันเปน็ จานวนคี่ จดุ ยอดคู่ หมายถงึ จานวนเสน้ เชื่อมท่ีมาพบกนั ณ จุดยอดนน้ั เปน็ จานวนคู่ ขา่ ยงาน จะเปน็ ขา่ ยงานท่ผี ่านได้กต็ ่อเมอ่ื จานวนของจดุ ยอดคใ่ี นขา่ ยงานนน้ั เปน็ 0 หรือ 2 หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 4 เรื่องการประยุกต์ 2 วิชา คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 1 หนา้ 16

ช่ือ-สกลุ ……………………………………………….………………………..ชน้ั ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… ใบงานที่ 3 ขา่ ยงาน (Network) ตอนท่ี 1 จงพิจารณาว่าจดุ ยอดต่อไปน้เี ปน็ จุดยอดคู่ หรือจุดยอดคี่ 1. 2. …………………………………………… …………………………………………… 3. 4. …………………………………………… …………………………………………… ตอนที่ 2 จงพจิ ารณาว่า ในแต่ละข่ายงานต่อไปน้ี จุดยอดใดบ้างท่เี ปน็ จุดยอดคี่ และจดุ ยอดใดบ้างท่ี เป็นจุดยอดคู่ 5. 6. A B B C A จดุ ยอดค่ี ………………………………… จดุ ยอดค่ี ………………………………….. B จุดยอดคู่……………………………………. จุดยอดคู่……………………………………. 7. 8. A B E AC F D DC จุดยอดคี่ ………………………………….. จุดยอดค่ี ………………………………….. จดุ ยอดคู่……………………………………. จดุ ยอดคู่……………………………………. หน่วยการเรียนรูท้ ่ี 4 เร่อื งการประยกุ ต์ 2 วชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม 1 หนา้ 17

ชอื่ -สกุล……………………………………………….………………………..ชนั้ ม. 1 / ………. เลขท…ี่ ………… ใบงานที่ 4 ขา่ ยงาน (Network) จงนับจานวนจุดยอดคี่ แล้วเติมจานวนลงในช่องว่างใหถ้ ูกต้อง ขา่ ยงาน จานวนจดุ ยอดค่ี ชนดิ ของข่ายงาน เป็นข่ายงานทผ่ี า่ นได้ 1. เป็นข่ายงานที่ผ่านได้ เปน็ ขา่ ยงานที่ผ่านได้  เป็นขา่ ยงานที่ผ่านได้  เป็นขา่ ยงานท่ีผา่ นได้ ไมเ่ ป็นข่ายงานท่ีผ่านได้ 2.          3.    4.    5.      6.         หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 เร่อื งการประยุกต์ 2 วิชา คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 1 หน้า 18

ชื่อ-สกุล……………………………………………….………………………..ช้นั ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… จงนบั จานวนจดุ ยอดค่ีของข่ายงานต่อไปนี้ แล้วพจิ ารณาว่าเปน็ ข่ายงานที่ผ่านได้หรือไมเ่ ปน็ ถ้าเปน็ ข่ายงานท่ีผา่ นได้ใหล้ ากเส้นดว้ ย ขา่ ยงาน จานวนจุดยอดค่ี เปน็ ขา่ ยงานทผี่ ่านได้หรอื ไม่เปน็ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 4 เร่ืองการประยุกต์ 2 วชิ า คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1 หน้า 19

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 20

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 21

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 22

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 23

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 24

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 25

ช่อื -สกุล……………………………………………….………………………..ชัน้ ม. 1 / ………. เลขท…่ี ………… หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4 เรือ่ งการประยกุ ต์ 2 วิชา คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1 หนา้ 26