เอกสารประกอบการเรียน วชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 3 ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 5 ชื่อ .............................................................. โดย ครูขนิษฐา พง่ึ ไพร By ครูจี
ทบทวนความรู ฉาก ขา้ ม สามเหลี่ยมมุมฉาก ������������������������������������������������ = ขา้ ม ������������������������������������������������������������������������ = ฉาก ฉาก ������������������������������������������������ = ชิด ������������������������������������������������ = ชิด ฉาก ชิด ������������������������������������������������ = ขา้ ม ������������������������������������������������ = ขา้ ม ชิด ตวั อยาง กาํ หนด ������������������������������������������������ = 3 จงหาคาของ ������������������������������������������������ , ������������������������������������������������ , ������������������������������������������������������������������������ , ������������������������������������������������ , และ ������������������������������������������������ 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….. วงกลมหนงึ่ หนว ย Quadrant By ครูจี
มมุ ทวนเข็ม / มุมตามเข็ม ทวนเขม็ = ตามเขม็ = มุมในวงกลม => เพิม่ 90° => เพม่ิ 45° => เพ่มิ 30° By ครูจี
ฟงกชนั ไซนและฟงกชันโคไซน ������ = ������������������������������������������������ ������ = ������������������������������������������������ วงกลมหนึ่งหนว ยซง่ึ มจี ุดศูนยกลางอยูท่ีจดุ กาํ เนดิ เปน กราฟของความสมั พันธ {(������, ������) ∈ ℝ × ℝ |������2 + ������2 = 1} จะเห็นวา −1 ≤ ������ ≤ 1 และ −1 ≤ ������ ≤ 1 ดงั นั้น คาของฟงกชนั ไซนแ ละฟง กชนั โตไซนจ ะเปน จาํ นวนจรงิ ต้งั แต -1 ถึง 1 จากสมการ ������2 + ������2 = 1 , ������ = ������������������������������������������������ และ ������ = ������������������������������������������������ จะไดความสมั พันธของ ������������������������������������������������ และ ������������������������������������������������ ดังน้ี (������������������������������������������������)2 + (������������������������������������������������)2 = 1 เม่อื ������������ เปนจาํ นวนจรงิ หรอื ������������������������������������2������������ + (������������������������������������������������)2 = 1 เม่อื ������������ เปนจํานวนจริง หมายเหตุ : ������������������������������������2������������ หมายถึง ������������������������������������������������2 หมายถึง คาของฟง กช นั ไซนและโคไซนของจํานวนจริงใดๆ ������������������������������������(������������ + ������������) = − ������������������������������������������������ เมอื่ 0 < ������������ < ������������ cos(������������ + ������������) 2 ������������������������������������(−������������) = −������������������������������������������������ cos(−������������) = ������������������������������������������������ ������������ 2 = −������������������������������������������������ เมอ่ื 0 < ������������ < ������������������������������������(2������������������������ + ������������) = ������������������������������������������������ ������������������������������������(2������������ − ������������) −������������������������������������������������ เมือ่ ������������ ������������ cos(2������������������������ + ������������) = ������������������������������������������������ cos(2������������ − ������������) 2 = 0 < < ������������������������������������(������������ − ������������) = ������������������������������������������������ เม่ือ 0 < ������������ < ������������ = ������������������������������������������������ เมือ่ 0 < ������������ < ������������ 2 2 cos(������������ − ������������) = −������������������������������������������������ เมื่อ 0 < ������������ < ������������ 2 By ครูจี
แบบฝกหดั ท่ี 1 จงหาคาของ ������������������������������������������������ และ ������������������������������������������������ เม่อื ������������ เปน จํานวนจรงิ ตอ ไปน้ี 1. 8π 4. − 7π 2 ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ 2. −8π 5. 57������������ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ 3. 7π 6. −57������������ 2 ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ By ครูจี
2. จงหาจาํ นวนจรงิ ������������ มา 5 จํานวนทีท่ ําให 1. ������������������������������������������������ = 0 ....................................................................................................................................................... 2. ������������������������������������������������ = 1 ....................................................................................................................................................... 3. ������������������������������������������������ = −1 ....................................................................................................................................................... 4. ������������������������������������������������ = −1 ....................................................................................................................................................... 5. ������������������������������������������������ = 1 ....................................................................................................................................................... 2 6. ������������������������������������������������ = − √2 ....................................................................................................................................................... 2 7. ������������������������������������������������ = − √3 ....................................................................................................................................................... 2 8. ������������������������������������������������ = 1 ....................................................................................................................................................... 2 3. จงหาคา ของ ������������������������������������������������ และ ������������������������������������������������ เม่อื ������������ เปนจาํ นวนจรงิ ตอ ไปนี้ 1. − 5π .......................... .......................... 2. − 7π .......................... .......................... 4 4 3. 2π + π .......................... .......................... 4. 2π + 3π .......................... .......................... 4 4 5. 3π + π .......................... .......................... 6. − 7π ......................... .......................... 3 6 7. − 7π .......................... .......................... 8. 13������ .......................... .......................... 3 3 9. 37π .......................... .......................... 10. π − π .......................... .......................... 6 3 By ครูจี
ฟง กชนั ตรีโกณมิตอิ น่ื ๆ บทนิยาม สาํ หรับจาํ นวนจรงิ ������������ ใดๆ ������������������������������������������������ = ������������������������ เม่ือ ������������������������������������������������ ≠ 0 ������������������������ ������������������������������������������������ = 1 เมอื่ ������������������������������������������������ ≠ 0 ������������������������ ������������������������������������������������������������������������ = 1 เมอื่ ������������������������������������������������ ≠ 0 ������������������������ ������������������������������������������������ = ������������������������ เมื่อ ������������������������������������������������ ≠ 0 ������������������������ ตารางแสดงคา ของฟงกช นั ตรโี กณมติ ิของจาํ นวนจรงิ ������ บางจํานวน เมอ่ื ������ ≤ ������ ≤ ������ ������ ������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������������������ 0 ������������ 6 ������������ 4 ������������ 3 ������������ 2 By ครูจี
ตวั อยา งที่ 1 จงหาคาของ ������������������������������������������������ และ ������������������������������������������������ ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ตวั อยางที่ 2 จงหาคา ของ ������������������������������������ �− 32������������� และ ������������������������������������ �− 32������������� ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ตัวอยา งที่ 3 จงหาคาของ ������������������������������������������������������������ �52������������� และ ������������������������������������ �52������������� ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ตวั อยางที่ 4 จงหาคา ของ ������������������������������������ ������ ������������������������������������ 5������ + ������������������������������������ 4������ ������������������������������������ ������ 3 6 3 6 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
แบบฝก หดั ที่ 2 เรื่อง ฟง กช นั ตรีโกณมิติอนื่ ๆ จงหาคาของ 1. ������������������������������������2 ������ + ������������������������������������2 ������ + ������������������������������������2 ������ + ������������������������������������2 11������ 4 4 6 6 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. 2. ������������������������������������ ������ ������������������������������������ ������ + ������������������������������������ ������ ������������������������������������ ������ + ������������������������������������ 5������ − ������������������������������������ 5������ 3 6 3 6 3 3 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
3. ������������������������������������ 3������ + ������������������������������������������������������������������������������������ ������ − ������������������������������������ 5������ − ������������������������������������ 7������ 2 2 6 6 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. 4. ������������������������������������ ������ − ������������������������������������ 5������ + ������������������������������������ 9������ − ������������������������������������ 5������ + ������������������������������������ 7������ 2 3 4 6 6 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
5. ������������������������������������ 5������ + ������������������������������������ 7������ − ������������������������������������ 3������ ������������������������������������ 4������ 6 6 4 3 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
แบบทดสอบ ครัง้ ที่ 1 1. จงหาคาของฟง กชันตรีโกณมิติทุกฟงกชนั ของจาํ นวนจรงิ ตอ ไปน้ี 1. −53π ......................................... 5. 35π ........................................ ........................................ 6 ........................................ ........................................ ........................................ 2. 11π ........................................ 6. − 11π ........................................ 2 3 3. 11π 7. − 19π 4 6 4. 14π 8. − 49π 3 4 2. จงหาคาของ 1. ������������������������������������ 5������ + ������������������������������������������������������������ 7������ − ������������������������������������ 4������ 6 3 3 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
2. ������������������������������������ �− 76������� + ������������������������������������ �− ���3���� + ������������������������������������ 5������ 4 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. 3. ������������������������������������ 2������ ������������������������������������ 2������ − ������������������������������������ �− ���6���� ������������������������������������ 2������ 3 3 6 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
4. ������������������������������������2 ������ + ������������������������������������2 11������ − ������������������������������������2 23������ − ������������������������������������������������������������2 13������ 12 12 12 12 ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................. By ครูจี
ฟงกช ันตรโี กณมิติของมมุ 1. หนวยการวดั มมุ ในระบบเรเดียน หนวยที่ใชใ นการวดั มมุ ในทน่ี ี้ คอื องศา โดยทอี่ งศา เขียนแทนดว ย ° ซึ่งมีหนว ยยอยเปน ลิปดา ( ′ ) และ พิลปิ ดา ( ′ ′ ) โดย 1° เทา กบั 60′ และ 1′ เทากบั 60° หนวยวัดมุมที่สําคัญอีกหนวยหนึ่ง คือ เรเดียน โดยมุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมซึ่งรองรับดวยสวนโคง ของวงกลมทยี่ าวเทากบั รัศมขี องวงกลมนัน้ ถอื วา เปนมมุ ที่มีขนาด 1 เรเดยี น 2. ฟง กชันตรโี กณมติ ิของมมุ ฟ ง ก ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ ข อ ง มุ ม แ ล ะ ค ว า ม สั ม พั น ธ ร ะ ห ว า ง ฟ ง ก ชั น ต รี โ ก ณ มิ ติ ข อ ง จํ า น ว น จ ริ ง กั บ ฟงกช ันตรโี กณมิติของมุม ตองเขยี นมุมในวงกลม 1 หนว ย ดังนี้ จากรูป ก จะเห็นวา ������������������̂������������������ มีจุดยอดมุมอยูที่จุด (0,0) มี ���������������������������� และ ���������������������������� เปนแขนของมุมโดยท่ี ���������������������������� ทบั แกน ������ ทางบวก เรียก ������������������̂������������������ วา มมุ ทอ่ี ยใู นตําแหนงมาตรฐาน จากรูป ข จะเห็นวา ������������������̂������������������ เปนมุมที่จดุ ศูนยกลางของวงกลมรัศมยี าว 1 หนวย ซ่ึงมีขนาด ������������ เรเดียน และ จากเรอื่ งหนวยการวัดมมุ ในระบบเรเดยี นสว นโคง ของวงกลมหน่ึงหนวยทีร่ องรบั มุมที่จดุ ศูนยกลางขนาด 1 เรเดยี น จะตอ งยาว 1 หนว ย ดงั น้ัน สว นโคงทร่ี องรบั ������������������̂������������������ จึงยาว ������������ หนว ย และจะเห็นวา ���������������������������� ซึ่งเปนแขนของ ������������������̂������������������ ตัดกับวงกลมหน่ึงหนว ยเพยี งจดุ เดียว และเปนจดุ เดียวกันกับจดุ ปลายของสว นโคง ที่วัดจากจดุ (1,0) เปนระยะ |������������| หนว ย ในทศิ ทางเดียวกันกับ ������������ จึงกลา วไดวา บนวงกลมหน่ึงหนวย ������������������������������������ ของจํานวนจริง ������������ หมายถึง ������������������������������������ ของมุม ������������ เรเดียน ������������������������������������ ของจาํ นวนจรงิ ������������ หมายถึง ������������������������������������ ของมุม ������������ เรเดยี น By ครูจี
3. ฟงกชนั ตรีโกณมิตขิ องมุมของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก กาํ หนดรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ������������������������������������ ดังรูป ดาน ������������������������ เรียกวา ดา นประชดิ มุม ������������ ยาว ������������ หนว ย ดาน ������������������������ เรียกวา ดานตรงขา มมุม ������������ ยาว ������������ หนว ย ดาน ������������������������ เรยี กวา ดา นตรงขามมุมฉาก ยาว ������������ หนว ย ความสัมพนั ธของคาฟงกชนั ตรีโกณมติ กิ บั ความยาวของรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากสรปุ ไดดังน้ี แบบฝก หัดที่ 6 1. เปลย่ี นหนว ยการวัดมมุ จากลปิ ดาและองศาเปนเรเดยี น 1.) 150° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2.) −880° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
3.) 81′ .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 4.) 100°48′ .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2. เปล่ยี นหนว ยการจดั มุมจากเรเดยี นเปน องศา 1.) 2������������ .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2.) 5������ 6 .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 3.) 7������ 4 .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 4.) 11������ 6 .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
5.) 13������ 5 .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 6.) 3������������ .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 7.) − 14������ 3 .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 8.) − 5������ 4 .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 3. หาคา ของฟงกช ันตรโี กณมิตขิ องมมุ ������������ ในแตล ะขอตอ ไปนี้ 1.) ������������������������������������120° และ ������������������������������������120° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2.) ������������������������������������210° และ ������������������������������������210° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
3.) ������������������������������������225° และ ������������������������������������������������������������225° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 4.) ������������������������������������330° และ ������������������������������������330° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 5.) cot(−135°) และ ������������������������������������������������������������(−135°) .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 6.) cos(−315°) และ tan(−315°) .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
4. หาคาของฟงกชันตรโี กณมิตติ อ ไปนี้ โดยใชโ คฟงกช ัน 1.) ������������������������������������120° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2.) ������������������������������������135° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 3.) ������������������������������������210° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 4.) ������������������������������������315° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 5.) ������������������������������������225° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 6.) ������������������������������������������������������������150° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
5. หาคา ของฟงกชันตรีโกณมิติในแตล ะขอ ตอไปน้ี 1.) ������������������������������210°+������������������150° 4������������������300°������������������270° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2.) sec(−420°)−sin(−405°) tan(−390°) .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
3.) ������������������120°+������������������225°������������������������������405° ������������������330° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 4.) 9������������������������������2(−315°)−12tan(−480°) 3������������������150°������������������930° .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... By ครูจี
กราฟของฟงกช ันตรีโกณมิติ ฟง กช ันตรีโกณมิตเิ ปนฟง กช ันทเี่ ปน คาบ โดยสามารถแบงแกน ������ ออกเปน ชวงยอยทม่ี ีความยาวเทากัน และกราฟในแตล ะชวงยอยมีลกั ษณะเหมือนกนั เรยี กความยาวของชวงยอยท่สี ัน้ ทสี่ ดุ ที่มีสมบตั ิดงั กลาววา คาบของฟงกชัน และเรียกคาทเ่ี ทากบั ครง่ึ หนงึ่ ของผลตางระหวา งคา ตํ่าสดุ และคา สงู สุดของฟง กช ันคาบวา แอมพลจิ ูด ทีม่ า : หนังสือแบบฝกหัด รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ม.5 เลม 1 สํานกั พิมพอ ักษร By ครูจี
1. หาคาบและแอมพลจิ ดู ของฟงกช ันตอไปน้ี ขอ ฟงกชัน คาบ แอมพลจิ ูด 1 ������ = 4������������������������������������������ 2 ������ = ������������������������������������4������ 3 ������ = 2������������������������������������ ������������ 3 4 ������ = −5������������������������������������������ 5 ������ = 2������������������������������������������ 6 ������ = 4������������������������������������ ������ 2 7 ������ = −������������������������������������8������ 8 ������ = ������������������������������������������ + 3 9 ������ = 41−���2������������������������������������������������������2���������������4�������� ���−��� +���3�������������3���������� − 3 10 ������ = 2. เขยี นกราฟของฟง กช ันตอ ไปนี้ 1.) ������ = ������������������������������������ ������ 2 ������ −������������ −������������ −������ ������ ������ ������������ ������������ ������ = ������������������ ������ ������ By ครูจี
2.) ������ = ������������������������������������ ������ 2 3.) ������ = ������������������������������������2������ + 3 By ครูจี
Search
Read the Text Version
- 1 - 25
Pages: