Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore Logic

Logic

Published by fameluncher1, 2021-02-24 03:29:15

Description: Logic

Search

Read the Text Version

ตรรกศาสตร์ 14 Jun 2020

สารบัญ ประพจน์ ................................................................................................................................................................................... 1 การเช่ือมประพจน์.................................................................................................................................................................... 2 ตารางคา่ ความจรงิ ................................................................................................................................................................... 8 สมมลู ..................................................................................................................................................................................... 10 การทาประพจนเ์ ป็นรูปอยา่ งงา่ ย .......................................................................................................................................... 13 สจั นิรนั ดร.์ .............................................................................................................................................................................. 23 การอา้ งเหตผุ ล....................................................................................................................................................................... 27 ตวั บง่ ปรมิ าณ ........................................................................................................................................................................ 31 ประโยคเปิดสองตวั แปร......................................................................................................................................................... 35 นเิ สธของตวั บง่ ปรมิ าณ ......................................................................................................................................................... 41

ตรรกศาสตร์ 1 ประพจน์ ในเรอื่ งตรรกศาสตรน์ ี้ เราจะสนใจหาวา่ ประโยคตา่ งๆ เป็นจรงิ หรอื เท็จ แตก่ อ่ นอ่ืน ตอ้ งรูว้ า่ ไมใ่ ชท่ กุ ประโยค ทจี่ ะเอามาหาความจรงิ ได้ เชน่ ถา้ อยากรูว้ า่ ประโยค “กินอะไรดี” เป็น จรงิ หรอื เทจ็ คงตอบลาบาก “ประพจน”์ คือ ประโยคท่เี ป็นจรงิ หรอื เท็จ ไดอ้ ยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ เพียงอยา่ งเดยี ว เช่น ประเทศไทยอยใู่ นทวีปเอเชยี → เป็นประพจน์ เพราะบอกไดว้ า่ เป็นจรงิ 3 > 5 → เป็นประพจน์ เพราะบอกไดว้ า่ เป็นเทจ็ ขณะนี้ มีผหู้ ญิง 3,674,196 คน ใน กทม. → เป็นประพจน์ ถึงจะไมร่ ูว้ า่ จรงิ หรอื เท็จ แตถ่ า้ ชว่ ยกนั นบั ดกู ็จะรูว้ า่ จรงิ หรอื เท็จซกั อยา่ ง แนน่ อน ประโยคทไี่ มใ่ ชป่ ระพจน์ คือ ประโยคทีท่ ายงั ไงก็บอกไมไ่ ดว้ า่ จรงิ หรอื เท็จ เชน่ ประโยคคาถาม คาส่งั คาขอรอ้ ง คาอทุ าน สภุ าษิต รวมถึงประโยคท่มี ีตวั แปร เช่น กินอะไรดี → ไมใ่ ช่ประพจน์ เพราะเป็นประโยคคาถาม ������ > 5 → ไมใ่ ชป่ ระพจน์ เพราะมตี วั แปร (ถา้ ������ เป็น 8 จะจรงิ แตถ่ า้ ������ เป็น 1 จะเท็จ) ในเรอ่ื งตรรกศาสตรน์ ี้ เราจะสนใจศกึ ษาเฉพาะประโยคทเ่ี ป็นประพจนเ์ ทา่ นนั้ โดยเรานิยมใช้ ตวั อกั ษร ������, ������, ������ เป็นสญั ลกั ษณแ์ ทนประโยคที่เป็นประพจน์ เช่น ให้ ������ แทนประพจน์ “เมอ่ื วานฝนตก” ให้ ������ แทนประพจน์ “ประเทศไทยมี 76 จงั หวดั ” เป็นตน้ แบบฝึกหดั 2. 4 + 7 = 12 1. จงพิจารณาวา่ ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นประพจน์ 4. เชียงใหม่ ไมใ่ ชเ่ มอื งหลวงของไทย 6. สนุ ขั ปกตมิ ี 3 ขา 1. ปิดหนา้ ตา่ งใหห้ นอ่ ย 8. หนงึ่ วนั มี 30 ช่วั โมง 3. หนงั สอื เรยี นวชิ าคณิตศาสตร์ 5. สนุ ขั ปกติ มี 4 ขา 7. เขาเป็นคนดี

2 ตรรกศาสตร์ การเชื่อมประพจน์ เราสามารถนาประพจนต์ า่ งๆ มา “เชื่อม” กนั ได้ เชน่ “เมอื่ วานฝนตก และ ประเทศไทยมี 76 จงั หวดั ” คาเชื่อมท่จี ะไดเ้ รยี นในบทนี้ ไดแ้ ก่  ...... และ ......  ...... หรอื ......  ถา้ ...... แลว้ ......  ...... ก็ตอ่ เมอ่ื ......  ไม่ ...... และ ประพจนท์ เ่ี ช่ือมดว้ ย “และ” จะเป็นจรงิ เมอ่ื ทกุ ประพจนท์ ่ีมาเชื่อม เป็นจรงิ เช่น 2 > 1 และ 4 < 5 เป็นจรงิ เพราะ ทงั้ 2 > 1 กบั 4 < 5 เป็นจรงิ ประเทศไทยมี 76 จงั หวดั และ เชียงใหมอ่ ยภู่ าคใต้ เป็นเท็จ เพราะ เชียงใหมอ่ ยภู่ าคใต้ เป็นเทจ็ 2+2 = 5 และ คนปกตมิ ี 6 ขา เป็นเทจ็ เพราะ 2+2 = 5 เป็นเทจ็ เราจะแทนตวั เช่ือม “และ” ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∧ ������ ������ ������ ∧ ������ เชน่ ถา้ ให้ ������ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ ������ แทนประพจน์ “4 < 5” “2 > 1 และ 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น ������ ∧ ������ TT T จะเหน็ วา่ ������ ∧ ������ จะเป็นจรงิ เมอ่ื ������ กบั ������ เป็นจรงิ ทงั้ คนู่ ่นั เอง TF F FT F FF F หรอื ประพจนท์ เ่ี ช่ือมดว้ ย “หรอื ” จะเป็นจรงิ เมอ่ื อยา่ งนอ้ ยหนงึ่ ประพจนท์ ี่มาเชื่อม เป็นจรงิ เชน่ ประเทศไทยอยใู่ นทวปี ยโุ รป หรอื 2+5 > 4 เป็นจรงิ เพราะ 2+5 > 4 เป็นจรงิ 1 วนั มี 24 ช่วั โมง หรอื เม่ือวานฝนตก เป็นจรงิ เพราะ 1 วนั มี 24 ช่วั โมง เป็นจรงิ 2+2 = 5 หรอื คนปกติมี 6 ขา เป็นเทจ็ เพราะ ทกุ ประพจนท์ ม่ี าเช่ือม เป็นเทจ็ เราจะแทนตวั เชื่อม “หรอื ” ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∨ ������ ������ ������ ∨ ������ เช่น ถา้ ให้ ������ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ ������ แทนประพจน์ “4 < 5” “2 > 1 หรอื 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น ������ ∨ ������ TT T จะเห็นวา่ ������ ∨ ������ จะเป็นจรงิ เมอื่ ������ กบั ������ เป็นจรงิ อยา่ งนอ้ ย 1 ประพจนน์ ่นั เอง TF T FT T FF F ถา้ แลว้ ประพจนท์ เี่ ช่ือมดว้ ย “ถา้ ...... แลว้ ......” จะมีความหมายในลกั ษณะของ ถา้ (เง่ือนไข) แลว้ (ผลลพั ธ)์ ถา้ เง่ือนไข เป็นจรงิ ผลลพั ธต์ อ้ งจรงิ แตถ่ า้ เงื่อนไขเป็นเทจ็ ผลลพั ธจ์ ะเป็นยงั ไงก็ได้ ดงั นนั้ ประพจนท์ เ่ี ช่ือมดว้ ย “ถา้ ...... แลว้ ......” จะเป็นเทจ็ ไดเ้ พียงกรณีเดยี ว คือ เมอ่ื ขา้ งหนา้ เป็นจรงิ แตข่ า้ งหลงั เป็นเทจ็ กรณีทปี่ ระพจนห์ นา้ เป็นเท็จ เราไมต่ อ้ งสนใจประพจนห์ ลงั ใหต้ อบไดเ้ ลยวา่ ผลลพั ธเ์ ป็นจรงิ หรอื กรณีท่ีประพจนห์ ลงั เป็นจรงิ ก็ไมต่ อ้ งสนใจประพจนห์ นา้ ใหต้ อบไดเ้ ลยวา่ ผลลพั ธเ์ ป็นจรงิ เช่น ถา้ ฉนั เป็นคนปกติ แลว้ ฉนั มี 6 ขา เป็นเทจ็ เพราะ ประพจนห์ นา้ เป็นจรงิ ประพจนห์ ลงั เป็นเท็จ ถา้ ฉนั เป็นคนปกติ แลว้ ฉนั มี 2 ขา เป็นจรงิ เพราะ ประพจนห์ ลงั เป็นจรงิ ถา้ หมบู นิ ได้ แลว้ ฉนั สอบไดท้ ่ีหนงึ่ เป็นจรงิ เพราะ ประพจนห์ นา้ เป็นเท็จ

ตรรกศาสตร์ 3 ถา้ หมบู ินได้ แลว้ ฉนั มี 2 ขา เป็นจรงิ เพราะ ประพจนห์ นา้ เป็นเทจ็ เราจะแทนตวั เชื่อม “ถา้ ...... แลว้ ......” ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ → (หรอื ⇒ ก็ได)้ ������ ������ ������ → ������ เชน่ ถา้ ให้ ������ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ ������ แทนประพจน์ “4 < 5” “ถา้ 2 > 1 แลว้ 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น ������ → ������ TT T จะเหน็ วา่ ������ → ������ จะเป็นเทจ็ เพียงกรณีเดยี ว คอื เมอ่ื ������ เป็นจรงิ และ ������ เป็นเท็จ TF F FT T FF T ก็ตอ่ เมอ่ื ประพจนท์ ่เี ชื่อมดว้ ย “ก็ตอ่ เมอื่ ” จะเป็นจรงิ เมอ่ื ทงั้ สองประพจนท์ ม่ี าเช่ือม เป็นจรงิ หรอื เทจ็ เหมือนๆกนั เช่น ไทยเป็นแชมป์ บอลโลก ก็ตอ่ เมอื่ หมบู นิ ได้ เป็นจรงิ เพราะ ทงั้ สองประพจน์ เป็นเทจ็ เหมือนกนั 2 < 9 ก็ตอ่ เมอ่ื 6 + 8 = 14 เป็นจรงิ เพราะ ทงั้ สองประพจน์ เป็นจรงิ เหมือนกนั ชา้ งออกลกู เป็นไข่ ก็ตอ่ เมอ่ื ชา้ งกินกลว้ ย เป็นเทจ็ เพราะ ประพจนห์ นา้ เป็นเทจ็ แตป่ ระพจนห์ ลงั เป็นจรงิ เราจะแทนตวั เชื่อม “ก็ตอ่ เมือ่ ” ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ↔ ������ ������ ������ ↔ ������ เช่น ถา้ ให้ ������ แทนประพจน์ “2 > 1” ให้ ������ แทนประพจน์ “4 < 5” “2 > 1 ก็ตอ่ เมอื่ 4 < 5” จะเขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น ������ ↔ ������ TT T จะเห็นวา่ ������ ↔ ������ จะเป็นจรงิ เมื่อ ������ กบั ������ เป็นจรงิ หรอื เทจ็ เหมอื นกนั น่นั เอง TF F FT F FF T ไม่ “ไม”่ หรอื บางคนนิยมเรยี กสนั้ ๆวา่ “not” หรอื มีอกี ช่ือวา่ “นิเสธ” จะทากบั ประพจนแ์ คป่ ระพจนเ์ ดยี ว โดย ประพจน์ ทเ่ี ตมิ “ไม”่ เขา้ ไป จะเปลยี่ นจากจรงิ เป็นเท็จ เทจ็ เป็นจรงิ เชน่ หมบู นิ ไมไ่ ด้ เป็นจรงิ เพราะ ประพจน์ “หมบู นิ ได”้ เป็นเท็จ 2 ไมน่ อ้ ยกวา่ 3 เป็นเทจ็ เพราะ ประพจน์ “2 นอ้ ยกวา่ 3” เป็นจรงิ เราจะแทน “ไม”่ ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ~ เช่น ถา้ ให้ ������ แทนประพจน์ “2 มากกวา่ 1” ������ ~������ “2 ไมม่ ากกวา่ 1” จะเขียนเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น ~������ TF จะเหน็ วา่ ������ กบั ~������ จะมคี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกนั เสมอ FT กอ่ นอื่น ตอ้ งจาตารางผลลพั ธ์ ∧ , ∨ , → , ↔ , ~ ทงั้ 5 ตารางใหไ้ ดก้ ่อน T ∧ F เป็น ......... T → T เป็น ......... F ∨ F เป็น ......... T ↔ T เป็น ......... T ↔ F เป็น ......... F → T เป็น ......... T ∧ T เป็น ......... ~F เป็น ......... T ∨ T เป็น ......... F → F เป็น ......... T ∨ F เป็น ......... F ∧ T เป็น ......... T → F เป็น ......... F ↔ F เป็น ......... ~T เป็น ......... F ∧ F เป็น ......... อยา่ งไรกต็ าม โจทยม์ กั จะนา ตวั เชื่อมหลายๆแบบมาถามผสมๆกนั เช่น ~T → (~F ∧ T) เป็น ......... ลาดบั การทาคอื ถา้ มวี งเลบ็ ใหท้ าในวงเลบ็ ก่อน ถา้ มี “ไม”่ ใหท้ า “ไม”่ เป็นลาดบั ถดั มา ตามดว้ ย “และ” , “หรอื ” , “ถา้ แลว้ ” , “ก็ตอ่ เมือ่ ” ตามลาดบั

4 ตรรกศาสตร์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ เป็นจรงิ , ������ เป็นเท็จ , ������ เป็นจรงิ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ������ → (������ ∧ ������ ↔ ~������ ∨ ������) วธิ ีทา ������ → (������ ∧ ������ ↔ ~������ ∨ ������) แทนคา่ ความจรงิ ใหก้ บั ประพจนแ์ ตล่ ะตวั T TF TF แลว้ คอ่ ยๆหาผลลพั ธ์ ตามลาดบั ดงั รูป FF F T จะได้ ������ → (������ ∧ ������ ↔ ~������ ∨ ������) เป็นจรงิ # T บอ่ ยครงั้ เราไมจ่ าเป็นตอ้ งรู้ ������, ������, ������ ครบทกุ ตวั กย็ งั สามารถหาคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ เี่ กิดจาก ������, ������, ������ ได้ เช่น ไมว่ า่ ������ เป็นอะไรก็ตาม T ∨ ������ เป็นจรงิ เสมอ F ∧ ������ เป็นเท็จเสมอ F → ������ เป็นจรงิ เสมอ ������ → T เป็นจรงิ เสมอ ไมว่ า่ ������ จะเป็นอะไร ������ ∧ ~������ เป็นเทจ็ เสมอ ������ ∨ ~������ เป็นจรงิ เสมอ ������ → ������ เป็นจรงิ เสมอ ������ ↔ ������ เป็นจรงิ เสมอ ������ ↔ ~������ เป็นเท็จเสมอ และบางครงั้ ถา้ เรารูค้ า่ ความจรงิ ของประพจนท์ ่เี กิดจาก ������, ������, ������ เราอาจยอ้ นกลบั ไปหา ������, ������, ������ ได้ เช่น ถา้ ������ ∧ ������ เป็นจรงิ แปลวา่ ทงั้ ������ กบั ������ ตอ้ งเป็นจรงิ ถา้ ������ ∨ ������ เป็นเทจ็ แปลวา่ ทงั้ ������ กบั ������ ตอ้ งเป็นเท็จ ถา้ ������ → ������ เป็นเทจ็ แปลวา่ ������ ตอ้ งเป็นจรงิ , ������ ตอ้ งเป็นเทจ็ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ เป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ (������ → ������) → ((������ → ������) ∨ ������) วิธีทา (������ → ������) → ((������ → ������) ∨ ������) ขอ้ นี้ บอกแค่ ������ ตวั เดยี ว แตโ่ ชคดที ่ยี งั พอจะทาได้ เพราะ F → ? ได้ T เสมอ F T T ∨ ? ได้ T เสมอ T ? → T ได้ T เสมอ T ดงั นนั้ จะได้ (������ → ������) → ((������ → ������) ∨ ������) เป็นจรงิ # ตวั อยา่ ง กาหนดให้ (������ ↔ ~������) → (~������ ∨ ������) เป็นเทจ็ จงหา ������, ������, ������ วิธีทา ขอ้ นี้ รูผ้ ลลพั ธส์ ดุ ทา้ ย โจทยใ์ หเ้ ราสบื กลบั ไปหา ������, ������, ������ (������ ↔ ~������) → (~������ ∨ ������) การที่ (������ ↔ ~������) → (~������ ∨ ������) จะเป็นเทจ็ ได้ F เป็นไปไดก้ รณีเดียว คอื (������ ↔ ~������) ตอ้ งเป็นจรงิ และ (~������ ∨ ������) ตอ้ งเป็นเทจ็ TF การท่ี (������ ↔ ~������) จะเป็นจรงิ มไี ดห้ ลายกรณี (������ ↔ ~������) → (~������ ∨ ������) คอื T ↔ T กบั F ↔ F ดงั นนั้ อนั นยี้ งั ไปตอ่ ไมไ่ ด้ F ขา้ มมาอีกฝ่ัง (~������ ∨ ������) เป็นเท็จ จะมีไดก้ รณีเดียว คอื ~������ เป็นเท็จ และ ������ เป็นเท็จ TF ดงั นนั้ จะไดว้ า่ ������ ตอ้ งเป็นจรงิ และ ������ ตอ้ งเป็นเทจ็ ?? FF T

ตรรกศาสตร์ 5 กลบั มาท่ี (������ ↔ ~������) ใหม่ คราวนเี้ รารูแ้ ลว้ วา่ ������ เป็นจรงิ (������ ↔ ~������) → (~������ ∨ ������) ดงั นนั้ (T ↔ ~������) ตอ้ งเป็นจรงิ F จะได้ ~������ ตอ้ งเป็นจรงิ ซง่ึ ทาให้ ������ ตอ้ งเป็นเทจ็ ดงั นนั้ ������ เป็นจรงิ ������ เป็นเท็จ และ ������ เป็นเทจ็ TF TT FF FT # แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������ เป็นเท็จ , ������ เป็นจรงิ , ������ เป็นจรงิ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ 1. ~������ ∧ (������ ∨ ~������) 2. ~(������ → ������) → (~������ → ������) 3. (~������ ∧ ~������) ↔ (������ ↔ ������) 4. ~ ((~������ ∨ ~������) → (������ → (������ ∧ ������))) 2. กาหนดให้ ������ เป็นจรงิ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้ 1. (~������ ∧ ������) → (~������ ∨ ������) 2. (������ ∨ ������) ↔ (������ ∧ ~������) 3. (������ → ������) → (������ → ������) 4. (~������ → ������) ↔ (������ ∨ ~������)

6 ตรรกศาสตร์ 2. (������ → (������ → ������)) ∨ (������ ↔ ~������) เป็นเท็จ 3. จงหาคา่ ความจรงิ ของ ������, ������, ������ เมอ่ื กาหนดให้ 1. (������ → ~������) ∧ ~(������ → ������) เป็นจรงิ 3. (������ ∧ ~������) → (~������ ∨ ~������) เป็นเทจ็ 4. ������ ↔ (������ ∧ ������) เป็นเท็จ 4. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ โดยท่ี ������������ > 0 ให้ ������ แทนประพจน์ “ถา้ ������ < ������ แลว้ 1 > 1 ” และ ������ แทนประพจน์ “√������������ = √������√������ ” ������ ������ ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนีม้ คี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ [PAT 1 (มี.ค. 57)/2] 1. (������ ⇒ ������) ∨ (������ ∧ ~������) 2. (~������ ⇒ ~������) ∧ (~������ ∨ ������) 3. (������ ∧ ~������) ∧ (������ ⇒ ������) 4. (~������ ⇒ ������) ⇒ (������ ∧ ������) 5. กาหนดให้ ������, ������, ������ และ ������ เป็นประพจนท์ ี่ ประพจน์ (������ ∨ ������) ⇒ (������ ∨ ������) มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ และ ประพจน์ ������ ⇔ ������ มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ ประพจนใ์ นขอ้ ใดมคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ [PAT 1 (ก.ค. 53)/1] 1. (������ ⇒ ������) ∧ (������ ⇒ ������) 2. ������ ⇒ [������ ∨ (������ ∧ ~������)] 3. (������ ⇒ ������) ⇔ (������ ⇔ ������) 4. (������ ⇔ ������) ∧ [������ ⇒ (������ ∧ ������)]

ตรรกศาสตร์ 7 6. กาหนดให้ ������, ������ และ ������ เป็นประพจนใ์ ดๆ โดยที่ ~������ → ������ มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ ขอ้ สรุปใดถกู ตอ้ ง [PAT 1 (ธ.ค. 54)/1] 1. (������ ↔ ������) → [(������ ∨ ������) → ������] มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ 2. (������ → ������) → (~������ → ������) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ 7. กาหนดให้ ������, ������, ������, ������ และ ������ เป็นประพจน์ ซงึ่ ������ → (������ ∧ ������) มคี า่ ความจรงิ เป็น เทจ็ ������ ↔ (������ ∨ ������) มีคา่ ความจรงิ เป็น จรงิ ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็น จรงิ [PAT 1 (เม.ย. 57)/3] 1. (������ ∧ ������) → (������ ∧ ������) 2. (������ ∧ ������) → ~������ 3. (������ ∨ ������) ↔ ������ 4. (������ → ������) → ������

8 ตรรกศาสตร์ ตารางคา่ ความจรงิ เราเรยี กตารางทบ่ี อกคา่ ความจรงิ ในทกุ ๆกรณี ของประพจนท์ ่ีสนใจ วา่ “ตารางคา่ ความจรงิ ” ในหวั ขอ้ ทแี่ ลว้ เราไดเ้ ห็นตารางคา่ ความจรงิ ของ ������ ∧ ������ , ������ ∨ ������ , ������ → ������ , ������ ↔ ������ และ ~������ มาแลว้ ������ ������ ������ ∧ ������ ������ ������ ������ ∨ ������ ������ ������ ������ → ������ ������ ������ ������ ↔ ������ ������ ~������ TF TT T TT T TT T TT T FT TF F TF T TF F TF F FT F FT T FT T FT F FF F FF F FF T FF T ในเรอื่ งนี้ เราจะหดั สรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจนอ์ ื่นๆ ทซี่ บั ซอ้ นมากขนึ้ เนอ่ื งจาก ตารางคา่ ความจรงิ จะตอ้ งคลมุ ทกุ กรณีของตวั แปร ������, ������, ������ ดงั นนั้ จานวนแถวในตาราง จะเป็นทวคี ณู ของจานวนตวั แปร โดย สตู รในการหาจานวนแถว คอื จานวนแถว = 2จานวนตวั แปร 1 ตวั แปร 2 ตวั แปร 3 ตวั แปร ������ 4 ตวั แปร ������ ������ ������ ������ ������ T ������ ������ ������ ������ T TT TT F F TF TT T TTTT FT TF F TTTF FF TF T TTFT FT F TTFF FT T TFTT FF F TFTF FF TFFT TFFF FTTT FTTF FTFT FTFF FFTT FFTF FFFT FFFF และเรามกั นิยมเพิ่มช่องสาหรบั “ทดคา่ ” ลงในตาราง เพือ่ ชว่ ยใหก้ ารคิดง่ายขนึ้ อีกดว้ ย ตวั อยา่ ง จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ~������ → (~������ ∧ ������) วธิ ีทา เน่ืองจาก ~������ → (~������ ∧ ������) มี 2 ตวั แปร คือ ������ กบั ������ ดงั นนั้ จะมกี รณีทเ่ี ป็นไปไดท้ งั้ หมด 4 กรณี และ เนอ่ื งจากประพจนน์ ี้ มคี วามซบั ซอ้ น เราจะสรา้ งชอ่ ง ~������ กบั ~������ ∧ ������ สาหรบั ทดคา่ ดงั นี้ ������ ������ ~������ ~������ ∧ ������ ~������ → (~������ ∧ ������) TT TF FT FF โดยเราจะ ใชช้ ่อง ������ หาคา่ ของ ~������ ใชช้ อ่ ง ~������ และชอ่ ง ������ หาคา่ ของ ~������ ∧ ������ ใชช้ อ่ ง ~������ และช่อง ~������ ∧ ������ หาคา่ ของ ~������ → ~������ ∧ ������

ตรรกศาสตร์ 9 และจะไดต้ ารางทเ่ี ติมเสรจ็ สมบรู ณ์ ดงั นี้ # ������ ������ ~������ ~������ ∧ ������ ~������ → (~������ ∧ ������) # TT F F T TF T T T FT F F T FF T F F ตวั อยา่ ง จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ (������ → ~������) ∨ ~(������ ↔ ~������) วิธีทา ขอ้ นมี้ ี ������, ������, ������ รวมเป็น 3 ตวั แปร ดงั นนั้ จะมีทงั้ หมด 8 กรณี ดงั นี้ ������ ������ ������ ~������ ������ → ~������ ~������ ������ ↔ ~������ ~(������ ↔ ~������) (������ → ~������) ∨ ~(������ ↔ ~������) TTT F F F F T T TTF F F F T F F TFT T T F F T T TFF T T F T F T FTT F T T T F T FTF F T T F T T FFT T T T T F T FFF T T T F T T แบบฝึกหดั 1. จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ~������ → ������ 2. จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ (������ ↔ ������) ↔ (~������ ↔ ������)

10 ตรรกศาสตร์ สมมลู “สมมลู ” แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “≡” แปลวา่ “มคี า่ ความจรงิ เหมือนกนั ” เราจะใชเ้ ครอื่ งหมาย “≡” กบั ประพจน์ คลา้ ยๆกบั ทเ่ี ราใชเ้ ครอ่ื งหมาย “=” เช่น “������ เป็นจรงิ ” จะแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������ ≡ T “������ เป็นเทจ็ ” จะแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������ ≡ F “������ มีคา่ ความจรงิ เหมอื น ������” จะแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������ ≡ ������ ในกรณีทีป่ ระพจนส์ องประพจน์ มีตารางคา่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทกุ กรณี เราจะกลา่ ววา่ สองประพจนน์ นั้ สมมลู กนั ในกรณีทป่ี ระพจนส์ องประพจน์ มตี ารางคา่ ความจรงิ ตรงขา้ มกนั ทกุ กรณี เราจะกลา่ ววา่ สองประพจนน์ นั้ เป็นนเิ สธกนั ตวั อยา่ ง จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพือ่ ตรวจสอบวา่ ~������ → ~������ กบั ������ ∨ ~������ สมมลู หรอื เป็นนเิ สธกนั หรอื ไม่ วิธีทา เราจะเขียนตารางคา่ ความจรงิ ของ ~������ → ~������ กบั ������ ∨ ~������ ลงในตารางเดยี วกนั ������ ������ ~������ ~������ ~������ → ~������ ������ ∨ ~������ TT F F T T T TF F T T F T FT T F F FF T T T จะเหน็ วา่ ชอ่ ง ~������ → ~������ กบั ������ ∨ ~������ มคี า่ เหมือนกนั ทกุ กรณี ดงั นนั้ ~������ → ~������ ≡ ������ ∨ ~������ # ตวั อยา่ ง จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพอ่ื ตรวจสอบวา่ ~������ ∧ ~������ กบั ������ → ~������ สมมลู หรอื เป็นนเิ สธกนั หรอื ไม่ วิธีทา เราจะเขียนตารางคา่ ความจรงิ ของ ~������ → ~������ กบั ������ ∨ ~������ ลงในตารางเดยี วกนั ������ ������ ~������ ~������ ~������ ∧ ~������ ������ → ~������ TT F F F F TF F T F T FT T F F T FF T T T T จะเหน็ วา่ ช่อง ~������ ∧ ~������ กบั ������ → ~������ มคี า่ เหมอื นบา้ ง ไมเ่ หมอื นบา้ ง # ดงั นนั้ ~������ ∧ ~������ กบั ������ → ~������ ไมม่ คี วามเกย่ี วขอ้ งกนั (ไมส่ มมลู และ ไมเ่ ป็นนเิ สธกนั ) ตวั อยา่ ง จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพื่อตรวจสอบวา่ ������ ∧ (������ → ������) กบั (������ → ������) → ~������ สมมลู หรอื เป็นนิเสธกนั หรอื ไม่ วิธีทา เราจะเขียนตารางคา่ ความจรงิ ของ ������ ∧ (������ → ������) กบั (������ → ������) → ~������ ลงในตารางเดยี วกนั ������ ������ ������ → ������ ������ ∧ (������ → ������) ~������ (������ → ������) → ~������ TT T TF F TF T TF F FT F FT T FF T FT T จะเหน็ วา่ ชอ่ ง ������ ∧ (������ → ������) กบั (������ → ������) → ~������ มีคา่ ตรงขา้ มกนั ทกุ กรณี # ดงั นนั้ ������ ∧ (������ → ������) เป็นนเิ สธของ (������ → ������) → ~������

ตรรกศาสตร์ 11 แบบฝึกหดั 1. จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพื่อตรวจสอบวา่ ������ ∧ (������ ∨ ������) สมมลู หรอื เป็นนเิ สธกบั ������ ∨ (������ ∧ ������) หรอื ไม่ 2. จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพ่ือตรวจสอบวา่ ������ → (������ → ������) สมมลู หรอื เป็นนเิ สธกบั (������ → ������) → ������ หรอื ไม่ 3. จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพอ่ื ตรวจสอบวา่ ������ ∧ (������ → ������) สมมลู หรอื เป็นนเิ สธกบั (������ → ������) → ~������ หรอื ไม่

12 ตรรกศาสตร์ 4. กาหนดให้ ������, ������ และ ������ แทนประพจนใ์ ดๆ ให้ ������(������, ������, ������) แทนประพจนท์ ปี่ ระกอบดว้ ยประพจน์ ������, ������ และ ������ และคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ������(������, ������, ������) แสดงดงั ตารางตอ่ ไปนี้ ������ ������ ������ คา่ ความจรงิ ของ ������(������, ������, ������) TTT T TTF T TFT F TFF F FTT T FTF T FFT T FFF T ประพจน์ ������(������, ������, ������) สมมลู กบั ประพจนใ์ ดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/1] 1. (������ → ������) ∨ (������ ∧ ������) 2. (������ → ������) → (������ → ~������) 3. (������ ∧ ~������) → (������ ∧ ������) 4. (������ ∧ ~������) → (������ → ~������)

ตรรกศาสตร์ 13 การทาประพจนเ์ ป็นรูปอยา่ งงา่ ย ในเรอ่ื งนี้ โจทยจ์ ะใหป้ ระพจนท์ ีม่ คี วามซบั ซอ้ นมา แลว้ ใหเ้ ราทาเป็นรูปทงี่ ่ายขนึ้ ในการทาเป็นรูปอยา่ งง่าย เราตอ้ งรูส้ มบตั ิตา่ งๆของ ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ ซง่ึ จะมที งั้ สมบตั งิ า่ ยๆ และสมบตั ยิ ากๆ สมบตั ิพนื้ ฐานท่วั ๆไป ทค่ี วรรู้ (โดยไมต่ อ้ งทอ่ ง) ไดแ้ ก่ 1. สมบตั ิการตดั ตวั ซา้ ������ ∧ ������ ≡ ������ ������ ∨ ������ ≡ ������ แตร่ ะวงั ใหด้ ี ������ → ������ ≢ ������ ������ ↔ ������ ≢ ������ 2. สมบตั ิสลบั ที่ ������ ∧ ������ ≡ ������ ∧ ������ ������ ∨ ������ ≡ ������ ∨ ������ ������ ↔ ������ ≡ ������ ↔ ������ แตร่ ะวงั ใหด้ ี ������ → ������ ≢ ������ → ������ 3. สมบตั ิการเปลย่ี นกลมุ่ ได้ (������ ∧ ������) ∧ ������ ≡ ������ ∧ (������ ∧ ������) ≡ ������ ∧ ������ ∧ ������ (������ ∨ ������) ∨ ������ ≡ ������ ∨ (������ ∨ ������) ≡ ������ ∨ ������ ∨ ������ (������ ↔ ������) ↔ ������ ≡ ������ ↔ (������ ↔ ������) ≡ ������ ↔ ������ ↔ ������ แตร่ ะวงั ใหด้ ี (������ → ������) → ������ ≢ ������ → (������ → ������) 4. สมบตั ิการหกั ลา้ งกนั ของนเิ สธ ~(~������) ≡ ������ สมบตั ติ อ่ ไปนี้ เป็นสมบตั ทิ ต่ี อ้ งทอ่ ง 1. สตู รกระจาย ∼ เขา้ ไปใน ∧ , ∨ ~(������ ∧ ������) ≡ ~������ ∨ ~������ ~(������ ∨ ������) ≡ ~������ ∧ ~������ 2. สตู รกระจาย ∧ , ∨ เขา้ ไปใน ∨ , ∧ ������ ∧ (������ ∨ ������) ≡ (������ ∧ ������) ∨ (������ ∧ ������) ������ ∨ (������ ∧ ������) ≡ (������ ∨ ������) ∧ (������ ∨ ������) 3. สตู ร → ������ → ������ ≡ ~������ ∨ ������ *** สตู รแรก จายากหนอ่ ย แตใ่ ชบ้ อ่ ยสดุ ๆ ������ → ������ ≡ ~������ → ~������ 4. สตู ร ↔ ������ ↔ ������ ≡ (������ → ������) ∧ (������ → ������) ~(������ ↔ ������) ≡ ~������ ↔ ������ ≡ ������ ↔ ~������

14 ตรรกศาสตร์ และเน่อื งจาก ∧ กบั ∨ เป็นเครอ่ื งหมายทเ่ี ราเจอเกือบทกุ ขอ้ จงึ ควรจาสมบตั ิพเิ ศษของ ∧ กบั ∨ เพมิ่ ดงั นี้ 1. T หรอื กบั อะไรก็ตาม จะได้ T F และ กบั อะไรก็ตาม จะได้ F เชน่ T ∨ ������ ≡ T ������ ∨ T ≡ T T ∨ (������ ∧ (������ → ������)) ≡ T F ∧ ������ ≡ F ������ ∧ F ≡ F F ∧ (������ ∧ (������ → ������)) ≡ F 2. T และ กบั อะไรก็ตาม จะไดเ้ ทา่ เดมิ F หรอื กบั อะไร จะไดเ้ ทา่ เดมิ เช่น T ∧ ������ ≡ ������ ������ ∧ T ≡ ������ T ∧ (������ ∧ (������ → ������)) ≡ ������ ∧ (������ → ������) F ∨ ������ ≡ ������ ������ ∨ F ≡ ������ F ∨ (������ ∧ (������ → ������)) ≡ ������ ∧ (������ → ������) 3. ตวั ตรงขา้ มกนั และกนั ได้ F เสมอ ตวั ตรงขา้ มกนั หรอื กนั ได้ T เสมอ เช่น ������ ∧ ~������ ≡ F ~������ ∧ ������ ≡ F (������ ∨ ������) ∧ (~������ ∧ ~������) ≡ F ������ ∨ ~������ ≡ T ~������ ∨ ������ ≡ T (������ ∨ ������) ∨ (~������ ∧ ~������) ≡ T เราจะใชส้ ตู รทก่ี ลา่ วมาทงั้ หมด เพื่อเปลยี่ นรูปประพจนใ์ หอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย โดยเรามกั จะพยายามกาจดั ( ) , → , ↔ ใหก้ ลายเป็น ∧ , ∨ , ∼ เช่น ~������ → ������ ≡ ~(~������) ∨ ������ ������ → (������ ∨ ������) ≡ ~������ ∨ (������ ∨ ������) ≡ ������ ∨ ������ ≡ ~������ ∨ ������ ∨ ������ ������ → (������ ∧ ������) ≡ ~������ ∨ (������ ∧ ������) (������ ∧ ������) → ������ ≡ ~(������ ∧ ������) ∨ ������ ≡ (~������ ∨ ������) ∧ (~������ ∨ ������) ≡ (~������ ∨ ~������) ∨ ������ ≡ ~������ ∨ ~������ ∨ ������ (������ → ������) → ������ ≡ (~������ ∨ ������) → ������ (������ ∨ ������) → ������ ≡ ~(������ ∨ ������) ∨ ������ ≡ ~(~������ ∨ ������) ∨ ������ ≡ (~������ ∧ ~������) ∨ ������ ≡ (������ ∧ ~������) ∨ ������ ≡ (~������ ∨ ������) ∧ (~������ ∨ ������) ������ → ~(������ ∧ ������) ≡ ������ → (~������ ∨ ~������) ≡ T ∧ (~������ ∨ ������) ≡ ~������ ∨ (~������ ∨ ~������) ≡ ~������ ∨ ������ ≡ ~������ ∨ ~������ ∨ ~������ ������ ∨ (������ ∧ ������) ≡ (������ ∧ T) ∨ (������ ∧ ������) ≡ ~������ ∨ ~������ ≡ ������ ∧ (T ∨ ������) (������ ∧ ������) ↔ ������ ≡ ((������ ∧ ������) → ������) ∧ (������ → (������ ∧ ������)) ≡ ������ ∧ T ≡ (~(������ ∧ ������) ∨ ������) ∧ (~������ ∨ (������ ∧ ������)) ≡ ������ ≡ ((~������ ∨ ~������) ∨ ������) ∧ ((~������ ∨ ������) ∧ (~������ ∨ ������)) ~������ → F ≡ ~(~������) ∨ F ≡ ������ ∨ F ≡ (~������ ∨ ~������ ∨ ������) ∧ ( T ∧ (~������ ∨ ������)) ≡ ������ ≡T ∧ ( ~������ ∨ ������ ) ≡ ~������ ∨ ������

ตรรกศาสตร์ 15 โจทยย์ อดนิยมในเรอ่ื งนี้ คอื การตรวจสอบวา่ ประพจนส์ องอนั ทก่ี าหนด สมมลู / เป็นนเิ สธ กนั หรอื ไม่ คาศพั ทท์ ี่ควรรู้ คือ “������ มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกบั ������” แปลวา่ “������ สมมลู กบั ������” แปลวา่ ������ ≡ ������ “������ มคี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ������” แปลวา่ ”������ เป็นนิเสธของ ������” แปลวา่ ������ ≡ ~������ วิธีทาคือ เราตอ้ งแปลงประพจนท์ งั้ สองฝ่ัง ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย แลว้ ดวู า่ ไดร้ ูปอยา่ งงา่ ยเหมือนกนั หรอื ไม่ ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ ������ → (������ → ������) ≡ (������ ∧ ������) → ������ # วิธีทา เราจะใชส้ ตู ร เพอ่ื แปลงประพจนท์ งั้ สองขา้ ง ใหเ้ ป็นรูปอยา่ งงา่ ย ดงั นี้ ������ → (~������ ∨ ������) ≡ ~(������ ∧ ������) ∨ ������ ~������ ∨ (~������ ∨ ������) ≡ (~������ ∨ ~������) ∨ ������ ~������ ∨ ~������ ∨ ������ ≡ ~������ ∨ ~������ ∨ ������ จะเห็นวา่ แปลงแลว้ ไดเ้ หมือนกนั เลย ดงั นนั้ ������ → (������ → ������) ≡ (������ ∧ ������) → ������ ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ ������ ∧ (������ → ������) เป็นนิเสธของ (������ → ������) → ~������ # วธิ ีทา ประพจน์ จะเป็นนิเสธกนั เม่อื ประพจนห์ นง่ึ สมมลู กบั ~(อกี ประพจนห์ นง่ึ ) ������ ∧ (������ → ������) ≡ ~((������ → ������) → ~������) ������ ∧ (~������ ∨ ������) ≡ ~(~(~������ ∨ ������) ∨ ~������) ≡ (~������ ∨ ������) ∧ ������ ดงั นนั้ ������ ∧ (������ → ������) เป็นนเิ สธของ (������ → ������) → ~������ ตวั อยา่ ง จงแสดงวา่ ขอ้ ความ “ถา้ สมชายไป แลว้ สมหญิงไปแตส่ มศรไี มไ่ ป” เหมอื นกนั กบั ขอ้ ความ “ถา้ สมหญิงไมไ่ ป หรอื สมศรไี ป แลว้ สมชายไมไ่ ป” วธิ ีทา เราจะแปลงขอ้ ความใหเ้ ป็นสญั ลกั ษณก์ ่อน ให้ ������ แทน “สมชายไป” ให้ ������ แทน “สมหญิงไป” ให้ ������ แทน “สมศรไี ป” ดงั นนั้ “ถา้ สมชายไป แลว้ สมหญิงไปแตส่ มศรไี มไ่ ป” จะกลายเป็น ������ → (������ ∧ ~������) “แต”่ ในประโยคนี้ จะเหมือนกบั “และ” “ถา้ สมหญิงไมไ่ ปหรอื สมศรไี ป แลว้ สมชายไมไ่ ป” จะกลายเป็น (~������ ∨ ������) → ~������ ตรวจสอบวา่ ขอ้ ความเหมือนกนั ตอ้ งตรวจสอบวา่ ������ → (������ ∧ ~������) ≡ (~������ ∨ ������) → ~������ หรอื ไม่ ������ → (������ ∧ ~������) ≡ (~������ ∨ ������) → ~������ ~������ ∨ (������ ∧ ~������) ≡ ~(~������ ∨ ������) ∨ ~������ ~������ ∨ (������ ∧ ~������) ≡ (������ ∧ ~������) ∨ ~������ ดงั นนั้ ขอ้ ความทงั้ สอง เหมือนกนั # อีกจดุ ทต่ี อ้ งระวงั คอื การนา “มากกวา่ ” กบั “นอ้ ยกวา่ ” มาใชร้ ว่ มกบั คาวา่ “ไม”่ เดก็ สว่ นใหญ่ มกั คิดวา่ “ไมม่ ากกวา่ ” ก็คอื “นอ้ ยกวา่ ” ซงึ่ เป็นความคดิ ทผี่ ดิ อยนู่ ิดหนอ่ ย จรงิ ๆแลว้ “ไมม่ ากกวา่ ” จะแปลวา่ “นอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั ”

16 ตรรกศาสตร์ ดงั นนั้ ถา้ ให้ ������ แทน “3 > 2” จะได้ ~������ คอื “3 ≤ 2” ถา้ ให้ ������ แทน “4 ≥ 6” จะได้ ~������ คือ “4 < 6” ถา้ ให้ ������ แทน “1 < 5” จะได้ ~������ คอื “1 ≥ 5” เป็นตน้ แบบฝึกหดั 2. ~(~(~������)) ≡ 1. จงเติมประโยคตอ่ ไปนใี้ หส้ มบรู ณ์ 4. ������ ∨ (������ ∧ ������) ≡ 1. ������ ∧ ������ ≡ 3. ~(������ ∧ ������) ≡ 6. ~������ → ~������ ≡ 5. ������ → ������ ≡ 7. ������ ↔ ������ ≡ 8. ������ ∧ T ≡ 9. ������ ∨ T ≡ 11. ������ ∨ ~������ ≡ 10. ������ ∧ ~������ ≡ 13. ������ ∧ F ≡ 12. F ∨ ������ ≡ 2. จงทาประพจนต์ อ่ ไปนเี้ ป็นรูปอยา่ งงา่ ย 1. ~(������ ∧ ������) 2. ������ → ~������ 3. ~(������ → ������) 4. (������ ∨ ������) → ������ 5. ������ → (������ → ������) 6. ������ → T 7. ~������ → (������ ∧ ~������) 8. F → ������

ตรรกศาสตร์ 17 9. (������ ∨ T) → ((������ ∧ ������) ↔ ������) 10. (������ ∧ ������) → ������ 11. ������ → (������ ∧ ������) 12. ~������ → (������ ∨ ������) 13. (������ ∧ ������) → (������ ∨ ������) 14. ~(~(������ ∧ ~������) ∧ ������) 15. ~(������ → ������) → (������ ∧ ������) 16. ������ ∧ (������ ∨ ������) 3. ประพจนใ์ นขอ้ ใด สมมลู กนั 2. ������ ↔ ������ กบั (~������ ∨ ������) ∧ (������ ∨ ~������) 1. ������ ∨ ������ กบั ~������ → ������

18 ตรรกศาสตร์ 4. ������ → (������ ∧ ������) กบั (������ → ������) ∧ (������ → ������) 3. (������ ∧ ������) → ������ กบั (������ → ������) ∧ (������ → ������) 5. ������ → (������ ∨ ������) กบั (������ → ������) ∨ (������ → ������) 6. ������ → (������ → ������) กบั (������ → ������) → ������ 7. ������ → (������ → ������) กบั (������ ∧ ������) → ������ 8. ~������ ∧ (������ ∨ ������) กบั ~(������ → ������) 9. “ถา้ ฉนั ไมท่ าการบา้ น แลว้ ฉนั จะโดนแมด่ ุ” กบั “ฉนั ทาการบา้ น หรอื ฉนั โดนแมด่ ”ุ 10. “ถา้ ������ > 0 และ ������ > 0 แลว้ ������������ > 0” กบั “ถา้ ������������ ≤ 0 แลว้ ������ ≤ 0 และ ������ ≤ 0”

ตรรกศาสตร์ 19 11. “วนั นฝี้ นไมต่ ก กต็ อ่ เมือ่ เม่ือวานหนุ้ ขนึ้ ” กบั “วนั นฝี้ นตกหรอื เมื่อวานหนุ้ ขนึ้ และ วนั นฝี้ นไมต่ กหรอื เมื่อวานหนุ้ ตก” 4. จงตรวจสอบวา่ ประพจนต์ อ่ ไปนี้ เป็นนเิ สธกนั หรอื ไม่ 2. ������ → ������ กบั ������ ∧ ~������ 1. ~������ → ������ กบั ~������ → ������ 3. ~������ → ������ กบั ~������ ∧ ~������ 4. ������ กบั ~(~������) 5. ������ → (������ → ������) กบั ������ ∧ ������ ∧ ������ 6. ~������ ∧ (������ → ~������) กบั ~������ → (������ ∧ ������) 7. “ฉนั ไปดหู นงั หรอื ไปชอ้ ปปิ้ง” กบั “ฉนั ไมไ่ ปดหู นงั และไมไ่ ปชอ้ ปปิ้ง” 8. “ถา้ ������ > ������ หรอื ������ ≥ ������ แลว้ ������ < ������” กบั “������ ≤ ������ หรอื ������ ≥ ������”

20 ตรรกศาสตร์ 9. “ถา้ หมมู ีปีก แลว้ หมบู ินได”้ กบั “หมมู ปี ีก แตห่ มบู ินไมไ่ ด”้ 5. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นประพจนใ์ ดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/1] 1. (������ ⇒ ������) ∨ ������ 2. (~������ ∧ ������) ⇒ ������ 3. [(������ ⇒ ������) ∧ ������] ⇒ ������ 4. (~������ ⇒ ������) ⇔ (~������ ∧ ~������) 6. กาหนดให้ ������, ������, ������ เป็นประพจน์ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นจรงิ [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-2] 1. ถา้ ������ ∧ ������ มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ แลว้ ������ และ ������ ∨ [(������ ∧ ������) ⇒ ������] มีคา่ ความจรงิ เหมอื นกนั 2. ถา้ ������ มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ แลว้ ������ และ (������ ⇒ ������) ∧ ������ มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกนั 7. กาหนดให้ ������, ������, ������ เป็นประพจน์ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู [PAT 1 (ม.ี ค. 52)/1] 1. ประพจน์ ������ → (������ → (������ ∨ ������)) สมมลู กบั ประพจน์ ������ → (������ ∨ ������) 2. ประพจน์ ������ ∧ (������ → ������) สมมลู กบั ประพจน์ (������ → ������) ∨ ~(������ → ~������)

ตรรกศาสตร์ 21 8. กาหนดให้ ������, ������, ������ และ ������ เป็นประพจนใ์ ดๆ ขอ้ ความใดถกู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (มี.ค. 57)/3] 1. ถา้ ประพจน์ (������ ∨ ������) ⇔ (������ ∧ ������) และประพจน์ ������ มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ แลว้ สรุปไดว้ า่ ประพจน์ ������ มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 2. ประพจน์ (������ ∧ ������) ⇒ (������ ∧ ������) สมมลู กบั ประพจน์ [������ ⇒ (������ ⇒ ������)] ∧ [������ ⇒ (������ ⇒ ������)] 9. กาหนดให้ ������, ������, ������ และ ������ เป็นประพจนใ์ ดๆ ประพจน์ [(������ ∧ ~������) ∨ ~������] ⇒ [(������ ∨ ������) ∧ (������ ∨ ~������)] สมมลู กบั ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 55)/2] 1. ������ ⇒ ������ 2. ������ ⇒ ������ 3. (������ ∨ ������) ∧ (������ ∨ ������) 4. (������ ∨ ������) ∧ (������ ∨ ������) 10. ให้ ������, ������, ������ เป็นประพจน์ ถา้ ประพจน์ ������ → (������ ∨ ������) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ และ ������ ∨ (������ ∧ ������) มีคา่ ความจรงิ เป็น เท็จ แลว้ ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ [A-NET 49/10] 1. ~������ ∨ (������ → ������) 2. ~������ → (~������ ∨ ������) 3. (������ ∨ ������) → ~������ ∨ (������ ∧ ������) 4. [(~������) ∨ (~������)] → [������ ∧ (������ ∨ ������)]

22 ตรรกศาสตร์ 11. กาหนดให้ ������, ������ และ ������ เป็นประพจนโ์ ดยที่ ������ ⇒ (������ ⇒ ������) , ������ ∨ ~������ และ ������ มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ ประพจนใ์ น ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/1] 1. [������ ⇒ (������ ⇒ ~������)] ⇔ ~(������ ∧ ������) 2. [������ ⇒ (������ ⇒ q)] ⇔ [(������ ⇒ ������) ⇒ ������] 3. [������ ⇒ ~(������ ∧ ������)] ⇔ [������ ⇒ (������ ∧ ������)] 4. [������ ∨ ~(������ ⇒ ������)] ⇔ [������ ⇒ (������ ⇒ ������)] 12. ถา้ ������, ������ และ ������ เป็นประพจนโ์ ดยท่ี ������ ⇒ (������ ∧ ������) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ แลว้ จงหาคา่ ความจรงิ ของ ������ ⇒ [(������ ⇒ ������) ∧ (~������ ⇒ ������)] [PAT 1 (ต.ค. 55)/3*]

ตรรกศาสตร์ 23 สจั นริ นั ดร์ สจั นริ นั ดร์ คอื ประพจนท์ เี่ ป็นจรงิ ในทกุ กรณี เชน่ ถา้ พจิ ารณาตารางคา่ ความจรงิ ของ ������ → (������ ∨ ������) ������ ������ ������ ∨ ������ ������ → (������ ∨ ������) TT T T TF T T FT T T FF F T จะเห็นวา่ ������ → (������ ∨ ������) เป็นจรงิ ในทกุ กรณี ไมว่ า่ ������ กบั ������ จะเป็นอะไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราจะกลา่ ววา่ ������ → (������ ∨ ������) เป็นสจั นิรนั ดร์ ตวั อยา่ ง จงใชต้ ารางคา่ ความจรงิ เพือ่ ตรวจสอบวา่ ~(������ ∧ ������) ↔ (������ ↔ ~������) เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ วธิ ีทา ������ ������ ������ ∧ ������ ~(������ ∧ ������) ~������ ������ ↔ ~������ ~(������ ∧ ������) ↔ (������ ↔ ~������) TT T F FF T TF F T TT T FT F T FT T FF F T TF F จะเห็นวา่ ~(������ ∧ ������) ↔ (������ ↔ ~������) สามารถเป็นเท็จได้ ในกรณีที่ ������ ≡ F และ ������ ≡ F # ดงั นนั้ ~(������ ∧ ������) ↔ (������ ↔ ~������) ไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์ อยา่ งไรกต็ าม เราไมค่ อ่ ยชอบสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ เพราะใชแ้ รงเยอะ วธิ ียอดนยิ มในการตรวจสอบสจั นิรนั ดร์ คือ ใชว้ ธิ ี “ยดั เยยี ดความเทจ็ ” ซงึ่ มขี นั้ ตอนดงั นี้ 1. กาหนดใหป้ ระพจนท์ ่ตี อ้ งการตรวจสอบ เป็นเทจ็ ไปกอ่ นเลย 2. ลยุ ยอ้ นกลบั หา ������, ������, ������ เพื่อดวู า่ มนั ยอมรบั ความเทจ็ ทเี่ รายดั เยยี ดใหไ้ ดไ้ หม  ถา้ หา ������, ������, ������ ไดส้ าเรจ็ แปลวา่ ยดั เยยี ดความเทจ็ สาเรจ็ ดงั นนั้ ไมใ่ ช่สจั นิรนั ดร์  ถา้ เกิดขอ้ ขดั แยง้ ตอนลยุ ยอ้ นหา ������, ������, ������ แปลวา่ ยดั เยยี ดความเทจ็ ไมส่ าเรจ็ ดงั นนั้ เป็นสจั นิรนั ดร์ จะใชว้ ธิ ีนี้ ตอ้ งระวงั ใหด้ ี เพราะขอ้ สรุปมนั จะสวนทางกนั กบั ผลลพั ธท์ ีเ่ ราทาได้ กลา่ วคอื “สาเรจ็ แปลวา่ ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร”์ แต่ “ไมส่ าเรจ็ แปลวา่ เป็นสจั นริ นั ดร”์ ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ������ → (������ ∨ ������) เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ วธิ ีทา กาหนดให้ ������ → (������ ∨ ������) เป็นเทจ็ ไปกอ่ นเลย แลว้ ลยุ กลบั หา ������, ������ ������ → (������ ∨ ������) F จะเหน็ วา่ ������ → (������ ∨ ������) เป็นเทจ็ ไดก้ รณีเดยี ว คือ ������ เป็นจรงิ กบั ������ ∨ ������ เป็นเท็จ TF แตจ่ ะเหน็ วา่ การที่ ������ เป็นจรงิ จะไมส่ ามารถหา ������ มาทาให้ ������ ∨ ������ เป็นเท็จได้ T ? เพราะ จรงิ ∨ กบั อะไร จะไดจ้ รงิ หมด ไมว่ า่ ������ เป็นอะไรก็ตาม เกิดขอ้ ขดั แยง้ ดงั นนั้ ������ → (������ ∨ ������) เป็นสจั นริ นั ดร์ #

24 ตรรกศาสตร์ ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ (������ → ~������) ∨ (������ ∧ ������) เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ วธิ ีทา (������ → ~������) ∨ (������ ∧ ������) ยดั เยยี ดความเทจ็ ใหก้ ่อน แลว้ ลยุ หา ������, ������, ������ จะเหน็ วา่ ได้ ������ เป็นจรงิ , ������ เป็นจรงิ , ������ เป็นเทจ็ F F F ดงั นนั้ หา ������, ������, ������ ไดส้ าเรจ็ T F TF แปลวา่ (������ → ~������) ∨ (������ ∧ ������) เป็นเท็จได้ T ดงั นนั้ (������ → ~������) ∨ (������ ∧ ������) ไมใ่ ช่สจั นิรนั ดร์ # ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ วิธีทา (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) กาหนดใหป้ ระพจนเ์ ป็นเทจ็ กอ่ น แตค่ ราวนมี้ ีปัญหา เพราะ กต็ อ่ เมอื่ เป็นเทจ็ ได้ 2 แบบ F ? ? คอื T ↔ F กบั F ↔ T เราจะแยกคิดเป็น 2 กรณี ถา้ มซี กั กรณีที่ลยุ หา ������, ������ ไดส้ าเรจ็ แปลวา่ ประพจนน์ ไี้ มเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) กรณี T ↔ F F ������ ∧ ������ เป็นจรงิ มไี ดก้ รณีเดยี ว คือ ������ เป็นจรงิ และ ������ เป็นจรงิ T F แตถ่ า้ ������ เป็นจรงิ และ ������ เป็นจรงิ จะไมท่ าให้ ������ ∨ ������ เป็นเทจ็ TT ดงั นนั้ กรณี T ↔ F เกิดขอ้ ขดั แยง้ ยดั เยยี ดความเท็จไมส่ าเรจ็ ถึงตรงนี้ เรายงั สรุปไมไ่ ด้ วา่ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ ยา้ อกี เทยี่ ววา่  จะเป็นสจั นนั ดรไ์ ด้ ตอ้ งยดั เยียดความเทจ็ ไมส่ าเรจ็ ในทกุ กรณี  ถา้ ยดั เยยี ดความเทจ็ สาเรจ็ แคเ่ พยี งซกั กรณี จะไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์ ทนั ที ถา้ กรณีแรก ยดั เยียดความเทจ็ สาเรจ็ ขอ้ นตี้ อบไดเ้ ลยวา่ ไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์ แตโ่ ชครา้ ย กรณี T ↔ F เกิดขอ้ ขดั แยง้ ดงั นนั้ ตอ้ งทากรณี F ↔ T ตอ่ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) กรณี F ↔ T F จะได้ ������ ∧ ������ เป็นเทจ็ กบั ������ ∨ ������ เป็นจรงิ ������ ∧ ������ เป็นเทจ็ แปลวา่ ใน ������ กบั ������ ตอ้ งมี เท็จซกั ตวั (หรอื ทงั้ ค)ู่ FT ������ ∨ ������ เป็นจรงิ แปลวา่ ใน ������ กบั ������ ตอ้ งมี จรงิ ซกั ตวั (หรอื ทงั้ ค)ู่ ดงั นนั้ ถา้ ใน ������ กบั ������ มีจรงิ หนงึ่ ตวั เท็จหนง่ึ ตวั (เช่น ������ เป็นจรงิ ������ เป็นเท็จ หรอื ������ เป็นเทจ็ ������ เป็นจรงิ ) ก็จะทาให้ ������ ∧ ������ เป็นเทจ็ กบั ������ ∨ ������ เป็นจรงิ ไดส้ าเรจ็ น่นั คือ กรณีนี้ ยดั เยยี ดความเทจ็ สาเรจ็ ดงั นนั้ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์ # จะเห็นวา่ ขอ้ ทแ่ี ลว้ วนุ่ วายมาก เพราะ “ก็ตอ่ เมื่อ เป็นเทจ็ ไดห้ ลายแบบ” ทาใหต้ อ้ งแบง่ กรณีคิด โดยปกติ เราจะตอ้ งแบง่ กรณีคดิ ในกรณีตอ่ ไปนี้ ∧ ≡F ∨ ≡T → ≡T ↔ ≡ T, F ถา้ เจอกรณีเหลา่ นี้ ใหข้ า้ มไปทาทอ่ นอน่ื ก่อน เผอ่ื จะไดข้ อ้ มลู อ่นื เพิม่ เติมในการลยุ ประโยคเหลา่ นไี้ ดโ้ ดยไมต่ อ้ งแบง่ กรณี

ตรรกศาสตร์ 25 ในกรณีทเ่ี ป็นประพจนใ์ นรูป ↔ เราจะมีอกี วิธีทงี่ ่ายกวา่ ในการตรวจสอบสจั นิรนั ดร์ ถา้ โจทยถ์ ามวา่ ↔ เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ ใหเ้ ราพจิ ารณาวา่ กบั สมมลู กนั หรอื ไม่  ถา้ ≡ ใหส้ รุปวา่ ↔ เป็นสจั นิรนั ดร์  ถา้ ≢ ใหส้ รุปวา่ ↔ ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์ หมายเหต:ุ วิธีนี้ งา่ ยกวา่ วิธียดั เยยี ดความเทจ็ แตใ่ ชไ้ ดก้ บั ประพจนใ์ นรูป ↔ เทา่ นนั้ ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ (������ → ~������) ↔ ~(������ ∧ ������) เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ วิธีทา จะเหน็ วา่ ขอ้ นี้ ประพจนอ์ ยใู่ นรูป ↔ ดงั นนั้ เราใชว้ ิธีเช็คสมมลู ได้ น่นั คอื ถา้ (������ → ~������) กบั ~(������ ∧ ������) สมมลู กนั จะสรุปไดท้ นั ทวี า่ (������ → ~������) ↔ ~(������ ∧ ������) เป็นสจั นิรนั ดร์ (������ → ~������) ≡ ~(������ ∧ ������) # ~������ ∨ ~������ ≡ ~������ ∨ ~������ จะเห็นวา่ แปลงเป็นรูปอยา่ งงา่ ยไดเ้ หมอื นกนั เลย ดงั นนั้ (������ → ~������) ≡ ~(������ ∧ ������) ดงั นนั้ (������ → ~������) ↔ ~(������ ∧ ������) เป็นสจั นิรนั ดร์ ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ # วธิ ีทา ขอ้ นี้ เราเคยทาดว้ ยวิธียดั เยยี ดความเท็จมาแลว้ แตย่ งุ่ ยาก เพราะ ก็ตอ่ เมอื่ เป็นเท็จไดห้ ลายแบบ จะเหน็ วา่ ขอ้ นี้ ประพจนอ์ ยใู่ นรูป ↔ ดงั นนั้ เราใชว้ ธิ ีเช็คสมมลู ได้ เนื่องจาก ������ ∧ ������ ≢ ������ ∨ ������ ดงั นนั้ (������ ∧ ������) ↔ (������ ∨ ������) ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์ แบบฝึกหดั 2. (������ ∧ ������) → (������ ∨ ������) 1. ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นสจั นิรนั ดร์ 1. ~������ ∨ (������ → ������) 3. (������ → ~������) ∨ (������ → ~������) 4. ~(((������ ∧ ������) → ������) ∧ ~(������ → ������)) 5. (������ ∨ ������) → (~������ → ������) 6. (������ ∨ ������) → (������ ∧ ������)

26 ตรรกศาสตร์ 8. (������ → (������ → ������)) ↔ ((������ ∧ ������) → ������) 7. (������ ∨ (������ → ������)) ↔ (������ ∨ (������ → ������)) 9. ((������ ∧ ������) → ������) ∧ ~(������ ∧ (������ → ������)) 2. กาหนดให้ ������ , ������ และ ������ เป็นประพจนใ์ ดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ต.ค. 53)/1] 1. ถา้ ������ ⇔ ������ มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ แลว้ (������ ∧ ������) ⇒ (~������ ⇒ ������) มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ 2. ประพจน์ ������ ⇒ [(������ ∧ ������) ∨ (������ ∨ ������)] เป็นสจั นริ นั ดร์ 3. ประพจน์ [(������ ∧ ������) ⇒ ������] ⇒ [(������ ⇒ ������) ⇒ (������ ⇒ ������)] เป็นสจั นริ นั ดร์ 4. ประพจน์ (������ ⇒ ������) ∧ (������ ⇒ ������) สมมลู กบั ประพจน์ (������ ∧ ������) ⇒ ������ 3. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นประพจน์ ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นสจั นริ นั ดร์ [PAT 1 (ต.ค. 55)/2] 1. (������ ⇒ ������) ⇒ (������ ⇒ ������) 2. (~������ ∨ ~������) ⇒ (������ ⇒ ������) 3. [(������ ∧ ~������) ⇒ ~������] ⇒ (������ ⇒ ������) 4. [(������ ∧ ������) ⇒ ~������] ⇒ (������ ⇒ ������)

ตรรกศาสตร์ 27 การอา้ งเหตผุ ล การอา้ งเหตผุ ล คือ การหาผลสรุป จากเหตทุ ี่กาหนด 1. ������ → ������ เช่น ถา้ กาหนดเหตคุ อื 1. ถา้ ฉนั ชว่ ยแมก่ วาดบา้ น แลว้ แมจ่ ะพาฉนั ไปเท่ยี ว 2. ������ ผลสรุป คอื ������ 2. ฉนั ชว่ ยแมก่ วาดบา้ น เราจะไดผ้ ลสรุปคือ แมจ่ ะพาฉนั ไปเท่ียว เรามวี ิธีทาโจทยใ์ นเรอ่ื งนีไ้ ด้ 2 วธิ ี คือ “วธิ ีโยงรูปแบบพนื้ ฐาน” และ “วธิ ีตรวจสอบดว้ ยสจั นิรนั ดร”์ วธิ ีโยงรูปแบบพนื้ ฐาน จะใช้ “รูปแบบพนื้ ฐาน” มาสรุปตอ่ กนั เป็นทอดๆ เพือ่ ไดผ้ ลสรุปท่ซี บั ซอ้ นมากขนึ้ รูปแบบการสรุปเหตผุ ลพนื้ ฐาน ทค่ี วรทราบ มดี งั นี้  การรวมเหตุ - แตกเหตุ ถา้ เหตหุ นงึ่ คอื ������ อกี เหตหุ นง่ึ คอื ������ เราสามารถสรุป ������ ∧ ������ ได้ (Conjunction) ถา้ เหตุ อยใู่ นรูป ������ ∧ ������ เราสามารถสรุป ������ ได้ (Simplification) เราสามารถสรุป ������ ได้  ตดั ตวั เลอื ก - เพมิ่ ตวั หลอก ถา้ เหตุ อยใู่ นรูป ������ ∨ ������ ถา้ เรามี ~������ เราสามารถสรุป ������ ได้ (Disjuctive Syllogism) ถา้ เรามี ~������ เราสามารถสรุป ������ ได้ ถา้ เหตุ อยใู่ นรูป ������ เราสามารถสรุป ������ ∨ ������ ได้ (Addition)  คาสญั ญา ถา้ เหตุ อยใู่ นรูป ������ → ������ เราสามารถสรุป ������ → (������ ∧ ������) ได้ (Absorption) ถา้ เรามี ������ เราสามารถสรุป ������ ได้ (Modus Ponens) ถา้ เรามี ~������ เราสามารถสรุป ~������ ได้ (Modus Tollens) ถา้ เรามี ������ → ������ เราสามารถสรุป ������ → ������ ได้ (Hypothetical Syllogism) ถา้ เหตุ อยใู่ นรูป ������ → ������ และ ������ → ������ ถา้ เรามี ������ ∨ ������ เราสามารถสรุป ������ ∨ ������ ได้ (Constructive Dilemma)  การเหมอื นกนั ถา้ เหตุ อยใู่ นรูป ������ ↔ ������ ถา้ เรามี ������ เราสามารถสรุป ������ ได้ ถา้ เรามี ������ เราสามารถสรุป ������ ได้ ถา้ เรามี ~������ เราสามารถสรุป ~������ ได้ ถา้ เรามี ~������ เราสามารถสรุป ~������ ได้ ตวั อยา่ ง ขอ้ ใดไมใ่ ช่ผลสรุปที่สมเหตสุ มผล ของเหตตุ อ่ ไปนี้ เหตุ 1. ~������ 2. ������ → ������ 3. ������ ∨ ������ ผล ......... 1. ������ 2. ~������ 3. ������ → ������ 4. ������ ∨ ������ วิธีทา จากเหตขุ อ้ 1 กบั 2 เราใช้ Modus Tollens สรุป ~������ ได้ ดงั นนั้ ขอ้ 2 ไมใ่ ชค่ าตอบ จาก ~������ กบั เหตขุ อ้ 3 เราใชก้ ารตดั ตวั เลอื ก สรุป ������ ได้ ดงั นนั้ ขอ้ 1 ไมใ่ ชค่ าตอบ

28 ตรรกศาสตร์ # ตวั เลอื กขอ้ 3 คอื ������ → ������ ซงึ่ แปลงใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่ายไดเ้ ป็น ~������ ∨ ������ จากเหตขุ อ้ 1 เราใชก้ ารเพ่ิมตวั หลอก จะสรุป ~������ ∨ ������ ได้ ดงั นนั้ ขอ้ 3 ไมใ่ ชค่ าตอบ และจะเหน็ วา่ ทายงั ไงก็สรุปออกมาเป็นขอ้ 4 ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ขอ้ 4 คือเป็นผลสรุปทไ่ี มส่ มเหตสุ มผล วิธีตรวจสอบดว้ ยสจั นิรนั ดร์ จะใชเ้ ทคนคิ ยดั เยยี ดความเท็จในเรอื่ งสจั นิรนั ดรม์ าชว่ ย เน่ืองจาก “สมเหตสุ มผล” หมายความวา่ “ถา้ เหตทุ กุ เหตเุ กิดขนึ้ แลว้ ผลสรุปตอ้ งเกิดตาม” ดงั นนั้ การอา้ งเหตผุ ล จะสมเหตสุ มผล เมือ่ “(เหตุ ∧ เหตุ ∧ เหตุ ∧ … ∧ เหต)ุ → ผล” เป็นจรงิ ในทกุ กรณี พดู ง่ายๆก็คือ ใหไ้ ปตรวจสอบวา่ “(เหตุ ∧ เหตุ ∧ เหตุ ∧ … ∧ เหต)ุ → ผล” เป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่ น่นั เอง (เหตุ ∧ เหตุ ∧ เหตุ ∧ ... ∧ เหต)ุ → ผล F TF T TT T จะเห็นวา่ เมอื่ ยดั เยยี ดความเทจ็ ให้ เราจะลงเอยท่กี ารสมมตใิ หเ้ หตทุ งั้ หมดเป็นจรงิ แตย่ ดั เยยี ดใหผ้ ลเป็นเท็จ สรุป การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลดว้ ยวธิ ีสจั นิรดั ร์ จะมีขนั้ ตอนดงั นี้ 1. ยดั เยยี ดให้ “เหตทุ กุ เหตเุ ป็นจรงิ ” แต่ “ผลเป็นเท็จ” 2. ลยุ ยอ้ นกลบั หา ������, ������, ������  ถา้ หา ������, ������, ������ ไดส้ าเรจ็ แปลวา่ ยดั เยียดสาเรจ็ ดงั นนั้ ไมส่ มเหตสุ มผล  ถา้ เกิดขอ้ ขดั แยง้ ตอนลยุ ยอ้ นหา ������, ������, ������ แปลวา่ ยดั เยียดไมส่ าเรจ็ ดงั นนั้ สมเหตสุ มผล หมายเหต:ุ จะใชว้ ธิ ีนี้ ตอ้ งระวงั ตอนสรุป เหมือนท่ตี อ้ งระวงั ในเรอ่ื งสจั นริ นั ดร์ กลา่ วคอื “สาเรจ็ แปลวา่ ไมส่ มเหตสุ มผล” แต่ “ไมส่ าเรจ็ แปลวา่ สมเหตสุ มผล” ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาวา่ การอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนี้ สมเหตสุ มผล หรอื ไม่ เหตุ 1. ������ → ������ 2. ������ → ������ 3. ~������ ผล ~(������ ∨ ������) วธิ ีทา ยดั เยยี ดใหเ้ หตทุ กุ เหตเุ ป็นจรงิ แตผ่ ลเป็นเทจ็ จาก เหตุ (3) ~������ ตอ้ งเป็นจรงิ จะได้ ������ ≡ F แทน ������ ≡ F ใน เหตุ (2) จะได้ ������ → F ตอ้ งเป็นจรงิ ดงั นนั้ ������ ≡ F แทน ������ ≡ F ใน เหตุ (1) จะได้ ������ → F ตอ้ งเป็นจรงิ ดงั นนั้ ������ ≡ F แทน ������ ≡ F และ ������ ≡ F ในผล จะได้ ผล ≡ ~(F ∨ F) ≡ T ขดั แยง้ กบั ท่ีตอ้ งยดั เยียดใหผ้ ลเป็นเทจ็ ดงั นนั้ การอา้ งเหตผุ ลนี้ สมเหตสุ มผล #

ตรรกศาสตร์ 29 ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาวา่ การอา้ งเหตผุ ลตอ่ ไปนี้ สมเหตสุ มผล หรอื ไม่ เหตุ 1. ถา้ สมชาย เป็นคนไทย แลว้ สมชายรกั สงบ 2. สมชาย ไมใ่ ชค่ นไทย ผล สมชายชอบความรุนแรง วธิ ีทา ให้ ������ แทน “สมชายเป็นคนไทย” และให้ ������ แทน “สมชายรกั สงบ” ดงั นนั้ การอา้ งเหตผุ ลนี้ เขียนเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดว้ า่ เหตุ 1. ������ → ������ 2. ~������ ผล ~������ ยดั เยยี ดใหเ้ หตทุ กุ เหตเุ ป็นจรงิ แตผ่ ลเป็นเท็จ เหตุ 1. ������ → ������ ≡ T 2. ~������ ≡ T ผล ~������ ≡ F จาก เหตุ (2) ~������ ตอ้ งเป็นจรงิ จะได้ ������ ≡ F จาก ผล ~������ ตอ้ งเป็นเทจ็ จะได้ ������ ≡ T แทน ������ ≡ F และ ������ ≡ T ใน เหตุ (1) จะได้ F → T ซงึ่ เป็นจรงิ ตามการยดั เยียด จะเห็นวา่ ได้ ������ ≡ F และ ������ ≡ T สาเรจ็ ดงั นนั้ การอา้ งเหตผุ ลนี้ ไมส่ มเหตสุ มผล # ตวั อยา่ ง ขอ้ ใดไมใ่ ช่ขอ้ สรุปท่ีสมเหตสุ มผล ของเหตตุ อ่ ไปนี้ เหตุ 1. ~������ 2. ������ → ������ 3. ������ ∨ ������ ผล ......... 1. ������ 2. ~������ 3. ������ → ������ 4. ������ ∨ ������ วธิ ีทา ขอ้ นี้ เราเคยทาดว้ ยวิธีโยงรูปแบบพนื้ ฐานไปแลว้ คราวนี้ เราจะทาดว้ ยวิธีสจั นิรนั ดร์ จะเหน็ วา่ เรายงั ไมร่ ูข้ อ้ สรุป แตไ่ มเ่ ป็นไร ทาไปแบบไมร่ ูข้ อ้ สรุปกอ่ นก็ได้ ยดั เยยี ดใหเ้ หตทุ กุ เหตเุ ป็นจรงิ แตผ่ ลเป็นเท็จ จาก เหตุ (1) ~������ ตอ้ งเป็นจรงิ จะได้ ������ ≡ F แทน ������ ≡ F ใน เหตุ (2) จะได้ ������ → F ตอ้ งเป็นจรงิ ดงั นนั้ ������ ≡ F แทน ������ ≡ F ใน เหตุ (3) จะได้ ������ ∨ F ตอ้ งเป็นจรงิ ดงั นนั้ ������ ≡ T ถดั มา ลองไลแ่ ทน ������ ≡ F , ������ ≡ T , ������ ≡ F ไปท่ีผลในตวั เลอื กแตล่ ะขอ้ เพ่ือดวู า่ ขอ้ ไหนยอมรบั ความเท็จ ขอ้ 1. ถา้ ผลสรุปคอื ������ จะทาใหผ้ ลสรุปเป็นเทจ็ ไมไ่ ด้ (เพราะ ������ เป็นจรงิ ) เกิดขอ้ ขดั แยง้ ขอ้ 2. ถา้ ผลสรุปคือ ~������ จะทาใหผ้ ลสรุปเป็นเท็จไมไ่ ด้ (เพราะ ������ เป็นเท็จ) เกิดขอ้ ขดั แยง้ ขอ้ 3. ถา้ ผลสรุปคอื ������ → ������ จะทาใหผ้ ลสรุปเป็นเทจ็ ไมไ่ ด้ (เพราะ ������ เป็นเท็จ) เกิดขอ้ ขดั แยง้ ขอ้ 4. ถา้ ผลสรุปคือ ������ ∨ ������ จะทาใหผ้ ลสรุปเป็นเทจ็ ได้ (เพราะ ������ เป็นเทจ็ , ������ เป็นเทจ็ ) จะเห็นวา่ ขอ้ 1, 2, 3 เกิดขอ้ ขดั แยง้ จงึ เป็นขอ้ สรุปที่สมเหตสุ มผล แตข่ อ้ 4 สามารถยดั เยยี ดความเทจ็ ไดส้ าเรจ็ จงึ เป็นขอ้ สรุปที่ไมส่ มเหตสุ มผล #

30 ตรรกศาสตร์ แบบฝึกหดั 2. เหตุ 1. (������ ∧ ������) → ~������ 1. การอา้ งเหตผุ ลในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ สมเหตสุ มผล 2. ������ → ������ 1. เหตุ 1. ������ → (������ ∨ ������) ผล ������ → ~������ 2. ~������ ∧ ~������ ผล ������ → ������ 3. เหตุ 1. ������ → (������ ∧ ������) 4. เหตุ 1. ������ → (������ ∨ ������) 2. ~������ ∧ (������ → ������) 2. ������ → ������ 3. ~������ ∧ (������ → ������) 3. ������ ∨ ������ ผล ������ ผล ������ ∨ ������ 5. เหตุ 1. ถา้ ฉนั สนทิ กบั เพอื่ น แลว้ ฉนั จะไมเ่ กรงใจเพื่อน 2. ฉนั ไมเ่ กรงใจเพอื่ น ผล ฉนั ไมส่ นิทกบั เพ่อื น 6. เหตุ 1. ถา้ ฉนั กินกลว้ ย แลว้ ฉนั หนา้ เหมอื นลงิ 2. ถา้ ฉนั กินปลา แลว้ ฉนั ฉลาด 3. ถา้ ฉนั หนา้ เหมอื นลงิ แลว้ ฉนั ไมฉ่ ลาด ผล ถา้ ฉนั กินกลว้ ย แลว้ ฉนั ไมก่ ินปลา 2. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [A-NET 51/1-1] 1. ถา้ (������ ∨ ������) → ������ และ (������ → ������) → ������ ตา่ งมคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ แลว้ (������ ∨ ������) → (������ ∨ ������) มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 2. การอา้ งเหตผุ ลขา้ งลา่ งนีส้ มเหตสุ มผล เหตุ 1) ~������ → ~(������ ∨ ������) 2) ������ ∧ ������ 3) ~������ ผล ������ → ������

ตรรกศาสตร์ 31 ตวั บง่ ปรมิ าณ หวั ขอ้ นี้ มคี าศพั ทใ์ หม่ 2 คา คือ “ประโยคเปิด” กบั “ตวั บง่ ปรมิ าณ” ประโยคเปิด คอื ประโยคท่มี ีตวั แปร เช่น 2������ + 3 > 5 , ������2 ≥ 0 , เขาขายกลว้ ยปิ้ง ตวั บง่ ปรมิ าณ คือ คาท่ีแปะหนา้ ประโยคเปิด เพอ่ื ระบวุ า่ อยากใหม้ ี ������ กี่ตวั ที่ตอ้ งทาใหป้ ระโยคเป็นจรงิ ในหวั ขอ้ นี้ จะมตี วั บง่ ปรมิ าณอยู่ 2 ชนดิ คือ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ” กบั “มี ������ บางตวั ท”่ี  สาหรบั ������ ทกุ ตวั เชน่ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั 2������ + 3 > 5” , “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ������2 ≥ 0” ถา้ แปะ “ทกุ ตวั ” แปลวา่ ทกุ คา่ ตอ้ งแทนใน ������ แลว้ จรงิ หมด ถึงจะทาใหป้ ระโยคเป็นจรงิ ถา้ มบี างคา่ ทีแ่ ทนใน ������ แลว้ เป็นเทจ็ จะทาใหป้ ระโยคเป็นเทจ็ ทนั ที เช่น “สาหรบั ������ ทกุ ตวั 2������ + 3 > 5” เป็นเทจ็ เพราะ ถา้ แทน ������ = 0 จะได้ 3 > 5 ซง่ึ เป็นเทจ็ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ������2 ≥ 0” เป็นจรงิ เพราะ ไมว่ า่ ������ เป็นอะไร ก็จะทาให้ ������2 ≥ 0 เสมอ  มี ������ บางตวั ที่ เชน่ “มี ������ บางตวั ที่ 2������ + 3 > 5” , “มี ������ บางตวั ท่ี ������2 ≥ 0” ถา้ แปะ “บางตวั ” แปลวา่ ขอใหม้ ซี กั คา่ ที่แทน ������ แลว้ เป็นจรงิ ก็จะทาใหป้ ระโยคเป็นจรงิ ทนั ที ถา้ ไมม่ ซี กั คา่ ท่แี ทน ������ แลว้ เป็นจรงิ จงึ จะทาใหป้ ระโยคเป็นเทจ็ เชน่ “มี ������ บางตวั ที่ 2������ + 3 > 5” เป็นจรงิ เพราะ ถา้ แทน ������ = 10 จะได้ 23 > 5 เป็นจรงิ “มี ������ บางตวั ท่ี ������2 ≥ 0” เป็นจรงิ เพราะ ถา้ แทน ������ = 1 จะได้ 1 ≥ 0 เป็นจรงิ “มี ������ บางตวั ท่ี ������2 = −1” เป็นเท็จ เพราะ ไมม่ ี ������ คา่ ไหน ที่ยกกาลงั สองแลว้ ตดิ ลบ จะเหน็ วา่ ตวั บง่ ปรมิ าณ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ” จะเป็นจรงิ ยากกวา่ “มี ������ บางตวั ” เพราะ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ” ตอ้ งจรงิ หมดทกุ ตวั แต่ “มี ������ บางตวั ” ขอแคจ่ รงิ ซกั ตวั (หรอื ทกุ ตวั ก็ได)้ กลา่ วคอื ถา้ ประโยคเปิดไหนใช้ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ” แลว้ จรงิ ก็มกั จะใชก้ บั “มี ������ บางตวั ” แลว้ จรงิ ดว้ ย เรานิยมแทน ประโยคเปิดทมี่ ี ������ เป็นตวั แปร ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������(������) , ������(������) , ������(������) ตวั บง่ ปรมิ าณ “สาหรบั ������ ทกุ ตวั ” แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∀������[ ] “มี ������ บางตวั ท่ี” แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∃������[ ] เชน่ ถา้ ให้ ������(������) แทนประโยคเปิด 2������ + 3 > 5 , ให้ ������(������) แทนประโยคเปิด ������2 ≥ 0 สาหรบั ������ ทกุ ตวั 2������ + 3 > 5 เขียนไดเ้ ป็น ∀������[������(������)] มี ������ บางตวั ที่ ������2 ≥ 0 เขยี นไดเ้ ป็น ∃������[������(������)] สรุป ∀������[������(������)] เป็นจรงิ เมื่อ ������ ทกุ ตวั ทาให้ ������(������) เป็นจรงิ หมด เป็นเทจ็ เม่อื มี ������ ซกั ตวั ทที่ าให้ ������(������) เป็นเท็จ ∃������[������(������)] เป็นจรงิ เม่ือ มี ������ ซกั ตวั (หรอื ทกุ ตวั ก็ได)้ ทที่ าให้ ������(������) เป็นจรงิ เป็นเท็จ เมื่อ ������ ทกุ ตวั ทาให้ ������(������) เป็นเทจ็ หมด

32 ตรรกศาสตร์ เรอ่ื งตวั บง่ ปรมิ าณ มกั ใช้ “เอกภพสมั พทั ธ”์ หรอื U จากเรอ่ื งเซต เพอ่ื บอกขอบเขตของตวั แปร ถา้ โจทยก์ าหนด U มาให้ หมายความวา่ ตวั แปรในขอ้ นนั้ ๆ มีสทิ ธิ์เป็นไดเ้ ฉพาะภายใน U เช่น ถา้ กาหนดให้ U = {1, 2 ,3, 4} ∀������[4 − ������ ≥ 0] เป็นจรงิ เพราะ ถา้ ไลแ่ ทน ������ = 1, 2, 3, 4 จะจรงิ หมด (ไมต่ อ้ งแทน 5 เพราะไมอ่ ยใู่ น U) ∀������[������2 − 1 > 0] เป็นเท็จ เพราะ แทน ������ = 1 ป๊ บุ เทจ็ เลย ∃������[������ − 4 > 0] เป็นเทจ็ เพราะ ไลแ่ ทน ������ = 1, 2, 3, 4 แลว้ ไมจ่ รงิ ซกั ตวั ∃������[������2 > 0] เป็นจรงิ เพราะ แทน ������ = 1 ป๊ บุ จรงิ เลย ถา้ โจทยไ์ มไ่ ดก้ าหนด U มาให้ แปลวา่ โจทยล์ ะขอบเขตไวใ้ นฐานที่เขา้ ใจ (ขอบเขต = จานวนจรงิ อะไรก็ได)้ นอกจากนี้ เรายงั สามารถเอาขอบเขตมาแปะหลงั ตวั แปรในตวั บง่ ปรมิ าณได้ เชน่ ∀������ ∈ {1, 2, 3, 4} [4 − ������ ≥ 0] เป็นจรงิ เพราะ ไลแ่ ทน ������ = 1, 2, 3, 4 แลว้ จรงิ หมด ∀������ ∈ N [������ + 1 > 0] เป็นจรงิ เพราะ จานวนนบั (N) ทกุ ตวั บวก 1 แลว้ มากกวา่ 0 หมด ∃������ ∈ {−1, 1}[������2 > 1] เป็นเท็จ เพราะ ทงั้ −1 และ 1 ยกกาลงั สองได้ = 1 ไมถ่ ือวา่ > 1 ∃������[2������ + 3 = 2] เป็นจรงิ เพราะ มี ������ = −0.5 ทแ่ี ทนแลว้ จรงิ (ไมบ่ อกขอบเขต แปลวา่ ������ เป็นจานวนจรงิ อะไรก็ได)้ ในกรณีท่ปี ระโยคเปิดดา้ นหลงั เป็นประโยคทซี่ บั ซอ้ น เราจะเรม่ิ หาคา่ ความจรงิ ลาบาก ถา้ ไมร่ ูจ้ ะเรมิ่ ยงั ไง ใหล้ องแทนคา่ ������ หลายๆแบบ (บวก , ลบ , ศนู ย,์ ทศนยิ ม) ดู พอไดไ้ อเดียครา่ วๆของประโยคเปิดนนั้ ๆ แลว้ คอ่ ยเจาะลงไปหากรณีทีต่ อ้ งการ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∀������ [������ > 1 → ������ > 0] วธิ ีทา ขอ้ นี้ ไมก่ าหนดเอกภพสมั พทั ธ์ ดงั นนั้ ������ เป็นจานวนจรงิ อะไรก็ได้ เราจะลองสมุ่ ������ หลายๆคา่ มาแทนดู วา่ จะทาให้ ������ > 1 → ������ > 0 เป็นจรงิ หรอื ไม่ ������ = −3 −3 > 1 → −3 > 0 ≡ F→F ≡ T ������ = 0 0 >1 → 0 >0 ≡ F→F ≡ T ������ = 0.5 0.5 > 1 → 0.5 > 0 ≡ F→T ≡ T ������ = 2 2 >1 → 2 >0 ≡ T→T ≡ T ไดจ้ รงิ หมดเลย ดงั นนั้ ประโยคนี้ มีแนวโนม้ วา่ จะเป็นจรงิ # เม่ือวเิ คราะหด์ ู จะเหน็ วา่ ตอ้ งแทนไดเ้ ป็น T → F เทา่ นนั้ ประโยคนถี้ ึงจะเป็นเทจ็ แต่ ถา้ ������ >1 เป็นจรงิ จะเห็นวา่ ������ > 0 ไมม่ ที างเป็นเทจ็ ได้ ดงั นนั้ จึงไมม่ ีทางเกิดกรณี T → F ได้ ดงั นนั้ ∀������ [������ > 1 → ������ > 0] เป็นจรงิ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∃������ ∈ R− [������ ≥ 0 → ������2 < 0] วธิ ีทา เราจะลองสมุ่ ������ หลายๆคา่ ท่ีเป็นจานวนจรงิ ลบ (R−) มาแทนดู ������ = −3 −3 ≥ 0 → (−3)2 < 0 ≡ F → F ≡ T ไมต่ อ้ งทาตอ่ แลว้ เพราะมี ������ = −3 ทแี่ ทนแลว้ จรงิ ดงั นนั้ ∃������ ∈ R−[������ ≥ 0 → ������2 < 0] เป็นจรงิ #

ตรรกศาสตร์ 33 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∃������[������ ≥ 0] → ∃������[������2 < 0] วิธีทา ขอ้ นมี้ ี ∃������ สองเที่ยว จงึ ตอ้ งหาคา่ ความจรงิ จากตวั บง่ ประมาณ 2 เท่ยี ว คือหา ∃������[������ ≥ 0] วา่ จรงิ หรอื เทจ็ หนงึ่ ครงั้ และหา ∃������[������2 < 0] วา่ จรงิ หรอื เท็จอกี หนงึ่ ครงั้ แลว้ คอ่ ยมา → กนั ∃������[������ ≥ 0] เป็นจรงิ เชน่ ������ = 1 ∃������[������2 < 0] เป็นเทจ็ เพราะ ผลยกกาลงั สองจะไมม่ ที างติดลบ ดงั นนั้ ∃������[������ ≥ 0] → ∃������[������2 < 0] ≡ T → F ≡ F # แบบฝึกหดั 2. ∃������[������ เป็นจานวนเฉพาะ และ ������ เป็นจานวนค]ู่ 1. ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นจรงิ 1. ∀������[������ > 0] เมอ่ื U = {1, 2, 3, 4} 3. ∃������[������2 + ������ − 2 = 0] เมือ่ U = {−1, 0, 1} 4. ∀������ ∈ I−[������ > 2������] 5. ∀������ ∈ N[2������ ≥ ������ + 1] 6. ∃������ ∈ I[������2 + 1 = 0] 7. ∀������[������ ≠ 0 ∨ ������2 = 0] 8. ∀������[������ ≠ 0] ∨ ∀������[������2 = 0] 9. ∃������[������ ≠ 0 ↔ ������2 = 0] 10. ∃������[������ ≠ 0] ↔ ∃������[������2 = 0] 11. ∀������[������(������)] → ∃������[������(������)] เมื่อ ������ ≠ ∅

34 ตรรกศาสตร์ 2. กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตของจานวนจรงิ และ ������(������) แทน √(������ + 1)2 = ������ + 1 ������(������) แทน √������ + 1 > 2 ขอ้ ใดตอ่ ไปนีม้ คี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์ ∃������[������(������)] ⇒ ∀������[������(������)] [PAT 1 (ต.ค. 53)/2] 1. ∃������[~������(������)] ⇒ ∀������[~������(������)] 2. ∃������[������(������)] ⇒ ∃������[������(������)] 3. ∃������[������(������) ∧ ������(������)] ⇒ ∀������[������(������)] 4. ∃������[������(������) ∨ ������(������)] ⇒ ∀������[������(������)] 3. กาหนดให้ ������(������) และ ������(������) เป็นประโยคเปิด ถา้ ∀������[������(������)] ∧ ∀������[~������(������)] มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ แลว้ ประพจนใ์ นขอ้ ใดมคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/2] 1. ∀������[������(������) → ������(������)] 2. ∃������[~������(������) ∨ ~������(������)] 3. ∃������[������(������) ∧ ~������(������)] 4. ∀������[������(������) → ~������(������)] 4. กาหนดเหตใุ หด้ งั นี้ [A-NET 50/1-3] 1. เอกภพสมั พทั ธไ์ มเ่ ป็นเซตวา่ ง 2. ∀������[������(������) → ������(������)] 3. ∀������[������(������) ∨ ������(������)] 4. ∃������[~������(������)] ขอ้ ความในขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นผลทที่ าใหก้ ารอา้ งเหตผุ ล สมเหตสุ มผล 1. ∃������[������(������)] 2. ∃������[������(������)] 3. ∀������[������(������)] 4. ∀������[������(������)]

ตรรกศาสตร์ 35 ประโยคเปิดสองตวั แปร ประโยคเปิดท่ีผา่ นๆมา จะมแี คต่ วั แปรเดยี ว หวั ขอ้ นี้ จะพดู ถงึ ประโยคเปิดทม่ี ีสองตวั แปร ตวั อยา่ งประโยคเปิดสองตวั แปร เชน่ ������ + ������ < 5 , ������2 + ������2 ≥ 0 , 1 + 1 > 1 ������ ������ เรานิยมแทนประโยคเปิดที่มี ������ กบั ������ เป็นตวั แปร ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ������(������, ������) , ������(������, ������) , ������(������, ������) ประโยคเปิดสองตวั แปร จะมีตวั บง่ ปรมิ าณได้ 4 แบบ ดงั นี้  ∀������∀������[������(������, ������)] เป็นจรงิ เมื่อ ������ ทกุ ตวั ������ ทกุ ตวั แทนแลว้ ตอ้ งจรงิ หมด เป็นเท็จ เมอื่ มี ������ กบั ������ ซกั คู่ ทีแ่ ทนแลว้ เป็นเทจ็  ∃������∃������[������(������, ������)] เป็นจรงิ เม่ือ มี ������ กบั ������ ซกั คู่ ทแี่ ทนแลว้ จรงิ เป็นเท็จ เม่อื มี ������ ทกุ ตวั ������ ทกุ ตวั แทนแลว้ เป็นเท็จหมด  ∃������∀������[������(������, ������)] เป็นจรงิ เมือ่ มี ������ บางตวั ทจี่ บั คกู่ บั ������ ไดท้ กุ ตวั (∃ ตอ้ งเป็นตวั เดยี วกนั สาหรบั ∀ แตล่ ะตวั ) เป็นเท็จ เมื่อ ไมว่ า่ ������ ตวั ไหนก็ตาม จะมี ������ บางตวั ท่คี กู่ บั มนั ไมไ่ ด้  ∀������∃������[������(������, ������)] เป็นจรงิ เมื่อ ������ ทกุ ตวั มี ������ บางตวั มาคดู่ ว้ ยได้ (∃ ไมต่ อ้ งเป็นตวั เดยี วกนั สาหรบั ∀ แตล่ ะตวั ) เป็นเทจ็ เมือ่ มี ������ บางตวั ท่ีไมส่ ามารถหา ������ ตวั ไหนมาคกู่ บั มนั ไดเ้ ลย ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U = {−1, 0, 1} จงพิจารณาวา่ ประพจนต์ อ่ ไปนี้ เป็นจรงิ หรอื เทจ็ 1. ∀������∀������[������ + ������ ≥ 0] 2. ∃������∃������[������ + ������ ≥ 0] 3. ∃������∀������[������ + ������ ≥ 0] 4. ∀������∃������[������ + ������ ≥ 0] วธิ ีทา ขอ้ 1. ∀������∀������ ตอ้ งลองแทนดวู า่ ������ ทกุ ตวั ������ ทกุ ตวั จะทาให้ ������ + ������ ≥ 0 เป็นจรงิ หมดไหม จะเห็นวา่ มกี รณี ������ = −1 , ������ = −1 ซงึ่ ได้ (−1) + (−1) ≥ 0 เป็นเท็จ ดงั นนั้ ∀������∀������[������ + ������ ≥ 0] เป็นเท็จ ขอ้ 2. ∃������∃������ ตอ้ งหาวา่ มี ������ กบั ������ ซกั คู่ ที่ทาให้ ������ + ������ ≥ 0 เป็นจรงิ ไหม จะเห็นวา่ มหี ลายแบบเลย เช่น ������ = 0 , ������ = 1 ซง่ึ ได้ 0 + 1 ≥ 0 จรงิ ดงั นนั้ ∃������∃������[������ + ������ ≥ 0] เป็นจรงิ ขอ้ 3. ∃������∀������ ลองหาวา่ มี ������ ซกั ตวั ทีจ่ บั คกู่ บั ������ ไดท้ กุ ตวั ไหม โดยที่ ������ ตอ้ งเป็นตวั เดยี วกนั สาหรบั ������ แตล่ ะตวั ∃������ ∀������ 1 + −1 ≥ 0 1+0 ≥0 1+1 ≥0 จะเหน็ วา่ มี ������ = 1 ทจ่ี บั คกู่ บั ������ ทกุ ตวั ดงั นนั้ ∃������∀������[������ + ������ ≥ 0] เป็นจรงิ ขอ้ 4. ∀������∃������ ลองหาวา่ ������ ทกุ ตวั หา ������ มาจบั คกู่ บั มนั ไดไ้ หม โดยท่ี ������ แตล่ ะตวั ไมจ่ าเป็นตอ้ งคกู่ บั ������ ตวั เดียวกนั ∀������ ∃������ # −1 + 1 ≥ 0 0+0 ≥0 1+0 ≥0 จะเห็นวา่ ������ ทกุ ตวั มี ������ มาคกู่ บั มนั ได้ ดงั นนั้ ∀������∃������[������ + ������ ≥ 0] เป็นจรงิ

36 ตรรกศาสตร์ ∀∀ กบั ∃∃ จะคอ่ นขา้ งเขา้ ใจงา่ ย อยา่ งไรกต็ าม เด็กสว่ นใหญ่ มกั สบั สนระหวา่ ง ∃∀ กบั ∀∃  ถา้ เรยี ง ∃ ไวก้ อ่ น ∀ จะไดว้ า่ ∃ ตอ้ งเป็นตวั เดียวกนั สาหรบั ∀ ทกุ ตวั  ถา้ เรยี ง ∀ ไวก้ ่อน ∃ จะไดว้ า่ ∃ ไมจ่ าเป็นตอ้ งเป็นตวั เดยี วกนั สาหรบั ∀ ทกุ ตวั สงั เกตวา่ ∀∀ จะเป็นจรงิ ยากที่สดุ เพราะ ตอ้ งแทนทกุ ตวั แลว้ เป็นจรงิ เทา่ นนั้ สว่ น ∃∀ จะจรงิ ยากกวา่ ∀∃ เพราะ ∃ ใน ∃∀ ตอ้ งเป็นตวั เดยี วกนั แตใ่ น ∀∃ ไมจ่ าเป็นตอ้ งเป็นตวั เดยี วกนั และ ∃∃ จะจรงิ งา่ ยทสี่ ดุ เพราะ ขอแคซ่ กั คจู่ รงิ ก็พอ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∀������∀������[������2 + ������2 ≥ 0] # วธิ ีทา ขอ้ นี้ ไมบ่ อกเอกภพสมั พทั ธม์ าให้ แปลวา่ ������ กบั ������ เป็นจานวนจรงิ อะไรก็ได้ ∀������∀������ ตอ้ งพิจารณาวา่ ������ ทกุ ตวั ������ ทกุ ตวั แทนแลว้ จรงิ หมดไหม เน่อื งจากผลการยกกาลงั สอง จะเป็นลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ������2 + ������2 ≥ 0 เสมอ ไมว่ า่ ������ กบั ������ จะเป็นอะไร ดงั นนั้ ∀������∀������[������2 + ������2 ≥ 0] เป็นจรงิ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U = I− จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∃������∃������[������������ ≤ 0] # วธิ ีทา ขอ้ นี้ เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นจานวนเต็มลบ ดงั นนั้ ������ กบั ������ ตอ้ งเป็นจานวนเตม็ ลบเทา่ นนั้ เน่อื งจากจานวนเตม็ ลบสองตวั คณู กนั จะเป็นบวกเสมอ ดงั นนั้ จะไมม่ ี ������ กบั ������ ไหนเลย ทีท่ าให้ ������������ ≤ 0 ดงั นนั้ ∃������∃������[������������ ≤ 0] เป็นเท็จ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∃������∀������[������ − 2������ ≠ 0] # วิธีทา ∃������∀������ ตอ้ งหาวา่ มี ������ ซกั ตวั ทจ่ี บั คกู่ บั ������ ไดท้ กุ ตวั หรอื ไม่ โดยท่ี ������ ตอ้ งเป็นตวั เดยี วกนั สาหรบั ������ แตล่ ะตวั ถา้ ������ = 1 จะคกู่ บั ������ ไดห้ มด ยกเวน้ ������ = 2 ถา้ ������ = 5 จะคกู่ บั ������ ไดห้ มด ยกเวน้ ������ = 10 ถา้ ������ = −0.2 จะคกู่ บั ������ ไดห้ มด ยกเวน้ ������ = 0.4 จะเห็นวา่ ไมว่ า่ ������ เป็นอะไรก็ตาม จะมี ������ ท่จี บั คกู่ บั มนั ไมไ่ ดอ้ ยตู่ วั หนง่ึ เสมอ ดงั นนั้ ∃������∀������[������ − 2������ ≠ 0] เป็นเทจ็ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∀������∃������[������ ≥ ������ → ������ + ������ > ������������] วธิ ีทา ∀������∃������ ตอ้ งหาวา่ ������ ทกุ ตวั สามารถหา ������ มาคกู่ บั มนั ไดไ้ หม โดยที่ ������ แตล่ ะตวั ไมจ่ าเป็นตอ้ งคกู่ บั ������ ตวั เดยี วกนั ประโยคนอี้ ยใู่ นรูป ถา้ ... แลว้ ... ซง่ึ จะจรงิ ได้ 2 แบบใหญ่ๆ คอื เมอ่ื ขา้ งหนา้ เป็นเทจ็ ในรูป F → ? กบั เมอ่ื ขา้ งหลงั เป็นจรงิ ในรูป ? → T จะเห็นวา่ ������ ≥ ������ ขา้ งหนา้ ซบั ซอ้ นนอ้ ยกวา่ ������ + ������ > ������������ ขา้ งหลงั ดงั นนั้ เราจะพยายามทาให้ ������ ≥ ������ เป็นเท็จ เพ่ือใหป้ ระโยคนเี้ ป็นจรงิ ∀������∃������ ������ ≥ ������ → ������ + ������ > ������������ ������ = 0 มีคู่ ������ = 1 ท่ี 0 ≥ 1 → …. ≡ F→? ≡ T ≡ F→? ≡ T ������ = 3 มีคู่ ������ = 4 ท่ี 3 ≥ 4 → …. ≡ F→? ≡ T ������ =−2 มคี ู่ ������ = −1 ท่ี −2 ≥ −1 → ….

ตรรกศาสตร์ 37 สงั เกตวา่ ไมว่ า่ ������ เป็นอะไร จะหา ������ ท่ีทาให้ ������ ≥ ������ เป็นเท็จได้ ทาใหป้ ระโยคอยใู่ นรูป F → ? ซง่ึ เป็นจรงิ # ดงั นนั้ ������ ทกุ ตวั สามารถหา ������ มาคกู่ บั มนั เพอ่ื ทาให้ ������ ≥ ������ → ������ + ������ > ������������ เป็นจรงิ ได้ ดงั นนั้ ∀������∃������[������ ≥ ������ → ������ + ������ > ������������] เป็นจรงิ แบบฝึกหดั 2. ∃������∃������[������ + ������ = 0] 1. ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นจรงิ 1. ∀������∀������[������ + ������ = 0] 3. ∃������∀������[������ + ������ = 0] 4. ∀������∃������[������ + ������ = 0] 5. ∀������∀������[������ + ������ < ������������] 6. ∃������∃������[������ + ������ = ������������] 7. ∃������∀������[������ + ������ > ������������] 8. ∀������∃������[������ + ������ = ������������] 9. ∀������∀������[������ + ������ ≥ ������] 10. ∃������∀������[������ + ������ ≥ ������] 11. ∃������∀������[������ + ������ ≥ ������] 12. ∀������∃������[������ + ������ ≥ ������] 13. ∀������∃������[������ + ������ ≥ ������] 14. ∃������∃������[������ + ������ < ������] 15. ∃������∀������[������2������ ≥ 0] 16. ∃������∀������[������2������ > 0] 17. ∀������∃������[������2������ < 5] 18. ∀������∃������[������2������ ≥ 0] 19. ∃������∀������[������2 + 3������ + 4 = ������] 2. กาหนดให้ ������ = {−2, −1, 0, 1, 2} ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นจรงิ 1. ∀������∀������[������ > ������ → |������ + ������| ≤ 3] 2. ∃������∀������[������ = ������ ↔ |������| = |������|]

38 ตรรกศาสตร์ 4. ∀������∃������[������ + ������ = 0 ∧ ������������ = 0] 3. ∃������∃������[������ = ������ ∧ |������| ≠ |������|] 3. ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เป็นจรงิ 2. ∃������∃������[������ > ������ ∧ ������������ ≤ 1] 1. ∀������∀������[������ > ������ ∨ ������ > ������] 3. ∃������∀������[������������ = 1] ∨ ∀������∃������[������������ = 1] 4. ∀������∃������[������ ≠ ������ ∧ |������| = |������|] 4. กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ คอื {−1, 0, 1} ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ก.ค. 53)/2] 1. ∀������∀������[������ + ������ + 2 > 0] มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 2. ∀������∃������[������ + ������ ≥ 0] มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ 3. ∃������∀������[������ + ������ = 1] มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ 4. ∃������∃������[������ + ������ > 1] มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ 5. กาหนดให้ เอกภพสมั พทั ธค์ ือ ������ = {−3, − 2, − 1, 1, 2, 3} ขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ [A-NET 49/1-9] 2. ∃������∀������[������ − ������2 < ������] 4. ∃������∀������[������2������ = ������] 1. ∃������∀������[������ + ������ < ������] 3. ∃������∀������[������������2 = ������]

ตรรกศาสตร์ 39 6. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธค์ ือ { ������ ∈ ℝ | 0 < ������ < 1 } ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (พ.ย. 57)/2] 1. ประพจน์ ∃������∀������ [ ������2 − ������2 < ������ − ������ ] มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ 2. ประพจน์ ∀������∀������ [ |������ − ������| < 1 − ������������ ] มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ 7. กาหนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธค์ ือเซต {−2, −1, 1, 2} ประโยคในขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-1] 1. ∃������∃������[������ ≤ 0 ∧ |������| = ������ + 1] 2. ∃������∀������[������ ≤ ������ ∧ −(������ + ������) ≥ 0] 3. ∀������∃������[������ + ������ = 0 ∨ ������ − ������ = 0] 4. ∀������∀������[|������| < |������| ∨ |������| > |������|]

40 ตรรกศาสตร์ 8. กาหนดให้ U = {������ ∈ ������+ | ������ ≤ 10} ประโยคในขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ [PAT 1 (ก.ค. 52)/2] 1. ∀������∀������[(������2 = ������2) → (������ = ������)] 2. ∀������∃������[(������ ≠ 1) → (������ > ������2)] 3. ∃������∀������[������������ ≤ ������ + ������] 4. ∃������∃������[(������ − ������)2 ≥ ������2 + 9������������] 9. กาหนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธค์ ือ ������ = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู [PAT 1 (ม.ี ค. 52)/2] 1. ∀������∀������[������ ∩ ������ ≠ ∅] 2. ∀������∀������[������ ∪ ������ = ������] 3. ∀������∃������[������ ≠ ������ ∧ ������ ⊂ ������] 4. ∃������∀������[������ ≠ ������ ∧ ������ ⊂ ������]

ตรรกศาสตร์ 41 นเิ สธของตวั บง่ ปรมิ าณ เรอื่ งสดุ ทา้ ย เป็นเรอื่ งเบาๆ เก่ยี วกบั สตู รการใส่ นิเสธ (~) ใหต้ วั บง่ ปรมิ าณ หลกั คอื ใหก้ ลบั ตวั บง่ ปรมิ าณ (เปลยี่ น ∀ เป็น ∃ เปลยี่ น ∃ เป็น ∀) แลว้ ลยุ แจกนิเสธไปทปี่ ระโยคเปิด ไดเ้ ลย กลา่ วคอื ~∀������[������(������)] ≡ ∃������[~������(������)] ~∃������[������(������)] ≡ ∀������[~������(������)] ~∀������∀������[������(������, ������)] ≡ ∃������∃������[~������(������, ������)] ~∃������∃������[������(������, ������)] ≡ ∀������∀������[~������(������, ������)] ~∃������∀������[������(������, ������)] ≡ ∀������∃������[~������(������, ������)] ~∀������∃������[������(������, ������)] ≡ ∃������∀������[~������(������, ������)] ตวั อยา่ ง จงหานเิ สธของ ∀������[������ > 0 ∨ ������ + 1 ≤ 0] # วิธีทา ~∀������[������ > 0 ∨ ������ + 1 ≤ 0] ≡ ∃������[~(������ > 0 ∨ ������ + 1 ≤ 0)] # ≡ ∃������[������ ≤ 0 ∧ ������ + 1 > 0] # ตวั อยา่ ง จงหานเิ สธของ ∃������[������ > 2] → ∀������∃������[������ + ������ ≤ 0] วธิ ีทา ~(∃������[������ > 2] → ∀������∃������[������ + ������ ≤ 0]) ≡ ~(~∃������[������ > 2] ∨ ∀������∃������[������ + ������ ≤ 0]) ≡ ∃������[������ > 2] ∧ ~∀������∃������[������ + ������ ≤ 0] ≡ ∃������[������ > 2] ∧ ∃������∀������[������ + ������ > 0] ตวั อยา่ ง จงหานเิ สธของขอ้ ความ “ลกู ๆทกุ คน รกั พอ่ ที่ทาดกี บั แม”่ วิธีทา ประโยคนี้ เขยี นใหมไ่ ดเ้ ป็น “สาหรบั ลกู ๆทกุ คน ถา้ พอ่ ทาดีกบั แม่ แลว้ ลกู จะรกั พอ่ ” เนือ่ งจากประโยคนี้ ใชต้ วั บง่ ปรมิ าณกบั ลกู ดงั นนั้ เราจะให้ ������ แทนลกู  “ลกู ๆทกุ คน” แทนดว้ ย ∀������  “พอ่ ของ ������ ทาดกี บั แมข่ อง ������” แทนดว้ ย ������(������)  “������ รกั พอ่ ของ ������” แทนดว้ ย ������(������) ดงั นนั้ ประโยคนี้ เขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น ∀������[������(������) → ������(������)] ซงึ่ จะหานิเสธได้ ~∀������[������(������) → ������(������)] ≡ ∃������[~(������(������) → ������(������))] ≡ ∃������[~(~������(������) ∨ ������(������))] ≡ ∃������[������(������) ∧ ~������(������)] แปลง ∃������[������(������) ∧ ~������(������)] กลบั เป็นขอ้ ความ จะนิเสธของขอ้ ความ “ลกู ๆทกุ คน รกั พอ่ ที่ทาดีกบั แม”่ คอื “มลี กู บางคน ทพ่ี อ่ ทาดกี บั แม่ แตก่ ็ยงั ไมร่ กั พอ่ แบบฝึกหดั 2. ∃������∃������[������ ≠ ������] 1. จงหานเิ สธของประพจนต์ อ่ ไปนี้ 1. ∀������[|������| = 0]

42 ตรรกศาสตร์ 4. ∃������[������ ≠ 1] → ∀������[������ เป็นจานวนตรรกยะ] 3. ∃������[������ + 1 > 0 ∧ ������ ≤ 0] 5. ลกู ทกุ คนรกั พอ่ 6. ลกุ ทกุ คนไมร่ กั พอ่ 7. นกั เรยี นบางคน ไมต่ งั้ ใจเรยี น หรอื ชอบเลน่ 8. นกั เรยี นบางคน จะทาการบา้ น ถา้ แมไ่ มใ่ หเ้ ลน่ เกม 2. กาหนดให้ ������(������) และ ������(������) เป็นประโยคเปิด ประโยค ∀������[������(������)] → ∃������[~������(������)] สมมลู กบั ประโยคในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ก.ค. 52)/1] 1. ∀������[~������(������)] → ∃������[������(������)] 2. ∀������[������(������)] → ∃������[~������(������)] 3. ∃������[������(������)] → ∀������[������(������)] 4. ∃������[~������(������)] → ∀������[������(������)]

ตรรกศาสตร์ 43 3. ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู [A-NET 50/1-2] 1. ใหเ้ อกภพสมั พทั ธค์ อื เซตของจานวนเฉพาะบวก ขอ้ ความ ∀������∃������[������2 + ������ + 1 = ������] มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 2. นิเสธของขอ้ ความ ∀������[������(������) → [������(������) ∨ ������(������)]] คอื ∃������[������(������) ∧ ~������(������) ∧ ~������(������)] 4. ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/2*] 1. ถา้ เอกภพสมั พทั ธ์ คอื {−1, 0, 1} คา่ ความจรงิ ของ ∀������∃������[������2 + ������ = ������2 + ������] เป็นเท็จ 2. ถา้ เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเซตของจานวนจรงิ นิเสธของขอ้ ความ ∀������∃������[(������ > 0 ∧ ������ ≤ 0) ∧ (������������ < 0)] คือ ∃������∀������[(������������ < 0) ⇒ (������ ≤ 0 ∨ ������ > 0)] 3. ถา้ เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นเซตของจานวนเตม็ นิเสธของขอ้ ความ ∀������[������ > 0 ⇒ ������3 ≥ ������2] คอื ∃������[(������ ≤ 0) ∧ (������3 < ������)]

44 ตรรกศาสตร์ ประพจน์ 1. 2, 4, 5, 6, 8 การเช่ือมประพจน์ 1. 1. T 2. T 3. T 4. F 3. T 4. T 2. 1. T 2. F 2. ������ เป็น T , ������ เป็น F , ������ เป็น F 4. ������ เป็น T , ������ เป็น F 3. 1. ������ เป็น T , ������ เป็น F , ������ เป็น F 6. - 7. 1 3. ������ เป็น T , ������ เป็น T , ������ เป็น F 4. 3 5. 2 ตารางคา่ ความจรงิ 1. ������ ������ ~������ ~������ → ������ TT F T TF F T FT T T FF T F 2. ������ ������ ������ ↔ ������ ~������ ~������ ↔ ������ (������ ↔ ������) ↔ (~������ ↔ ������) TT T F F F TF F F T F FT F T T F FF T T F F สมมลู 1. สมมลู 2. ไมส่ มมลู และ ไมเ่ ป็นนิเสธ 3. เป็นนิเสธ 4. 3 การทาประพจนเ์ ป็นรูปอยา่ งงา่ ย 1. 1. ������ 2. ~������ 3. ~������ ∨ ~������ 4. (������ ∨ ������) ∧ (������ ∨ ������) 5. ~������ ∨ ������ 6. ������ → ������ 8. ������ 9. T 7. (������ → ������) ∧ (������ → ������) 12. ������ 13. F 2. ~������ ∨ ~������ 10 F 11. T 2. 1. ~������ ∨ ~������ 6. T 5. ~������ ∨ ~������ ∨ ������ 10. T 3. ������ ∧ ~������ 4. (~������ ∧ ~������) ∨ ������ 9. ~������ 14. (������ ∧ ~������) ∨ ~������ 7. ������ 8. T 13. T 11. ~������ ∨ ������ 12. ������ ∨ ������ 15. ~������ ∨ ������ 16. ������ 3. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11

ตรรกศาสตร์ 45 4. 2, 3, 6, 7, 9 6. 1, 2 7. 1 8. 1, 2 5. 4 10. 4 11. 3 12. T 9. 3 3. 3 สจั นริ นั ดร์ 1. 1, 2, 5, 8 2. 3 การอา้ งเหตผุ ล 1. 1, 2, 4, 6 2. 2 ตวั บง่ ปรมิ าณ 1. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11 2. 2 3. 1 4. 2 ประโยคเปิดสองตวั แปร 1. 2, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 17, 18 2. 1, 2 3. 2 4. 3 5. 3 6. 2 7. 4 8. 4 9. 1 นเิ สธของตวั บง่ ปรมิ าณ 1. 1. ∃������[|������| ≠ 0] 2. ∀������∀������[������ = ������] 3. ∀������[������ + 1 ≤ 0 ∨ ������ > 0] 4. ∃������[������ ≠ 1] ∧ ∃������[������ เป็นจานวนอตรรกยะ] 5. ลกู บางคนไมร่ กั พอ่ 6. ลกู บางคนรกั พอ่ 7. นกั เรยี นทกุ คน ตงั้ ใจเรยี น และ ไมช่ อบเลน่ 8. นกั เรยี นทกุ คน แมไ่ มใ่ หเ้ ลน่ เกม แตก่ ็ยงั ไมท่ าการบา้ น 4. 2 2. 2 3. 2 เครดิต ขอบคณุ คณุ Tunyaluck Martjutasaeranee และ คณุ ครูเบิรด์ จาก กวดวิชาคณิตศาสตรค์ รูเบิรด์ ยา่ นบางแค 081-8285490 และ คณุ Theerat Piyaanangul ท่ีชว่ ยตรวจสอบความถกู ตอ้ งของเอกสารครบั


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook