หลักการนับเบื้องต้น

หลักการนับเบื้องต้น จัดทำโดย นาย กรณW์Eว'RศิE EกXCนิIตTEศD รTีบOำWเEพL็CญOMเEลขที่26 นางสาว อYOริUสBรAาCKมTาOพ OรU้อR มSALONSเ!ลขที่34 AS WE OPERATE AT LIMITED CAPACITY TO ENSURE EVERYONE'SเสSAนFอETY, WE ARE อาจาOรANยNL์DYนOBงFLOFลัEWกRDIษRNYGณ์SHEARอIV่RIำCCสUุEพTSSรรณ UNTIL FURTHER NOTICE. รายงานเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30202 ภาคเรียนที่2 ปีการศึกษา 2564 โรงเรียนตลุกดู่

คำนำ รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่5 เพื่อให้ ได้ศึกษาอย่างเข้าใจเพื่อเป็นประโยชน์กับการเรียน ผู้จัดทำหวังว่า รายงานเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้ อ่าน หรือนักเรียนที่กำลังศึกษาหาข้อมูลเรื่องนี้อยู่ ไม่มากก็น้อย หากผิดพลาดประการใดต้องขออภัย มา ณ ที่นี้ด้วย ผู้จัดทำ นายกรณ์วศิ กนิตศรีบำเพ็ญ นางสาวอริสรา มาพร้อม

สารบัญ เรื่อง หน้า 1-3 1 หลักการบวก 4-6 2 หลักการคูณ 7-11 3 การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น 4 การจัดหมู่ 12-13 5 เอกสารอ้างอิง 14

หลักการบวก (Addition principle) ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่าง แรกทำได้วิธี งานอย่างที่สองได้วิธี และงานทั้งสอง อย่างที่ไม่สามารถทำพร้อมๆกันได้แล้ว จำนวนวิธีที่จะ เลือกทำงานทั้งหมดจะเท่ากับ วิธี ดังนั้นถ้ามีงานมากกว่า 2 งาน สมมุติว่าเป็น ที่สามารถทำได้ วิธี จำนวนวิธีที่ จะเลือกทำงานจากงานทั้งหมดเท่ากับ 1

ตัวอย่างที่ 1 นักศึกษาสามารถที่จะเลือกทำโปรเจ็ค คอมพิวเตอร์ได้จาก 3 หัวข้อหลักและแต่ละหัวข้อ ประกอบด้วยหัวข้อย่อย 23 15 และ 19 ตามลำดับ ดั้ง นั้นจะมีโปรเจคทั้งหมดที่นักศึกษาสามารถเลือกทำได้กี่ หัวข้อ วิธีทำ นักศึกษาสามารถเลือกทำโปรเจค จากหัวข้อแรกได้ 23 หัวข้อ จากหัวข้อที่สองได้ 15 หัวข้อ จากหัวข้อที่สามได้ 19 หัวข้อ ดังนั้น นักศึกษามีหัวข้อโปรเจ็คให้เลือกได้ทั้งหมด 23 + 15 + 19 = 57 หัวข้อ 2

ตัวอย่างที่ 2 บี้ต้องการเดินทางไปเชียงใหม่ ซึ่งสามารถไปได้โดยขึ้นรถ ทัวร์รถไฟ และเครื่องบิน ถ้าในวันหนึ่ง ๆ มีรถทัวร์ไป เชียงใหม่ 5 เที่ยว รถไฟ 3 เที่ยว และเครื่องบิน 2 เที่ยว บี้มี วิธีในการเดินทางไปเชียงใหม่ได้แตกต่างทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ต้องหาวิธีการเดินทางไปเชียงใหม่โดยรถทัวร์ รถไฟ และเครื่องบิน ดังนั้น การทำงานในข้อนี้มี 3 วิธี คือ เดินทางโดยรถทัวร์, เดินทางโดยรถไฟ หรือเดินทาง โดยเครื่องบิน เลือกเดินทางโดยรถทัวร์ได้ 5 วิธี (มี5 เที่ยว) เลือกเดินทางโดยรถไฟได้ 3 วิธี (มี3 เที่ยว) เลือกเดินทางโดยเครื่องบินได้ 2 วิธี (มี2 เที่ยว) ดังนั้น จำนวนวิธีการในการเดินทางไปเชียงใหม่มีทั้งหมด 5+3+2 = 10 วิธี 3

หลักการคูณ (Multiplication Principle) ถ้าต้องการการทำงาน 2 อย่างโดยที่งานอย่างแรก ทำได้วิธีและในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่ ทำงานอย่างที่ 2 ได้ วิธี จํานวนวิธีที่จะ เลือกทํางาน ทั้งสองอย่างเท่ากับ วิธี ดังนั้นถ้าเราต้องทํางาน k อย่างโดยที่งาน อย่างแรกมีทางเลือกทําได้ แบบ และในแต่ละแบบก็ เลือกทํางานอย่างที่สองได้ แบบและในแต่ละแบบ ... (ไปเรื่อยๆ) จะมีจํานวนวิธีเลือกทํางานจนครบทุกอย่าง เท่ากับ วิธี 4

ตัวอย่างที่ 1 โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันโดยให้นักเรียนเลือก อาหารคาวและขนมได้หนึ่งอย่าง ถ้าโรงเรียนจัดอาหารคาว 4 อย่าง และขนม 3 อย่าง นักเรียนจะมีวิธีเลือกทานอาหารกลางวันได้ ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา การเลือกอาหารกลางวันจะต้องเลือกอาหารคาว 1 อย่าง จาก 4 อย่างและ เลือกขนม 1 อย่างจากขนม 3 อย่างดังนั้นการ เลือกอาหารกลางวันเป็นการทํางาน 2 อย่างโดยที่ มีวิธีในการเลือกอาหารคาวได้ 4 วิธี และแต่ละวิธีที่เลือกอาหารคาว จะเลือกขนมหวานได้อีก 3 วิธี ดังนั้นจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกอาหารกลางวันเท่ากับ 3 × 4 = 12 วิธี 5

ตัวอย่างที่ 2 การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ เหรียญอาจขึ้นหัวหรือ ก้อยก็ได้ ถ้าชายคนหนึ่งโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้งจะได้ผลต่างๆ กันทั้งหมด กี่วิธี วิธีทำ การทำงานในกรณีนี้ คือการโยนเหรียญ 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง มีการทำงาน 3 ขั้นตอนดังนี้ -ขั้นตอนที่ 1 การโยนเหรียญอันที่ 1 จะเลือกได้ 2 วิธี คือ หัวหรือก้อย -ขั้นตอนที่ 2 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันที่ 1 เหรียญ อันที่ 2 จะเลือกได้อีก 2 วิธี -ขั้นตอนที่ 3 ในแต่ละวิธีที่โยนเหรียญอันที่ 1 และ โยน เหรียญอันที่ 2 เหรียญอันที่ 3 จะเลือกได้อีก 2 วิธี ดังนั้นชายคนนี้โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง จะได้ ผลต่างๆ กันทั้งหมด 2 ×2 ×2 = 8 วิธี 6

แฟกทอเรียล (Factorial) การคำนวณโดยใช้กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จะพบว่า คำ ตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกชุดหนึ่ง ซึ่งถ้าคำตอบเกิด จากการคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n บทนิยาม ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบกแล้ว ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนี้ 1•2•3• … •n เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n! อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็น แฟกทอเรียล นั่นคือ n! = 1•2•3• … •n หรือ n! = n•(n-1)•(n-2)• … •2•1 และเพื่อให้คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n จึงต้อง กำหนดค่า 0! เพิ่มเติม โดยการแทน n=1 ใน (1) จะได้ 1! = 1(1-1)! 1! = 1 • 0! เพราะว่า 1! = 1 และ 1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ จะได้ว่า 1 = 0! 7

ตัวอย่างเช่น 1! = 1 2! = 2•1 = 2 3! = 3•2•1 = 6 4! = 4•3•2•1 = 24 5! = 5•4•3•2•1 = 120 6! = 6•5•4•3•2•1 = 720 7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5,040 8! = 8•7! , 7! = 7•6! 6! = 6•5! , 5! = 5•4! 4! = 4•3! , 3! = 3•2! , 2! = 2•1! ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ = = = 8

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดย คำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บท นิยามที่ว่า \"ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!\" วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น สามารถเเบ่งได้เป็น 2 เเบบคือ 1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดย หากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Pn.r วิธีโดย Pn,r = n! (n - r)! 2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกัน ทั้งหมด กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของ ในเเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n! n1!n2!n3!....nk! 9

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกัน ทั้งหมด 1. มีหนังสือที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เล่มเพื่อ จัดเรียงเป็นเเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี วิธีทำ ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด 1. จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคำว่า \"PROBABLY\" ที่เเตกต่างกัน โดยไม่ คำนึงถึงความหมาย วิธีทำ 10

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่ง จะเท่ากับ (n-1)! วิธี ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 1. หากต้องการจัดนักเรียน 5 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 5 ที่ นั่งนั้นได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ 2. กำหนดให้นักเรียน 6 คนนั้นนั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ที่นั่งโดยมีชาย 3 คน เเละหญิง 3 คน ถ้ากำหนดว่า ชายเเละหญิงต้องนั่งสลับกัน จะนั่งได้ ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ 11

วิธีการจัดหมู่ วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกมาเป็นหมู่ หรือชุดโดยไม่คำนึงเเต่อย่างใดว่าจะได้สิ่งใดออกมาก่อนหรือหลัง กำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งนั้น โดยเลือกคราวละ r สิ่ง (โดย 10≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ Cn.r วิธีโดย Cn,r = n! (n - r)!r! หรือ 12

ตัวอย่างของวิธีการจัดหมู่ 1. จงหาว่าจำนวนวิธีเลือกนักเรียน 4 คนจากกลุ่มนักเรียน 12 คนนั้นมี ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ 2. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลทั้งหมด 9 ลูก ลูกบอลเเต่ละลูกเเตกต่างกันเป็น ลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีเเดง 2 ลูกเเละสีดำ 2 ลูก ถ้าต้องการจะหยิบลูกบอล จำนวน 2 ลูกพร้อมกันจากกล่องใบนี้ จะหยิบลูกบอลที่จะได้ลูกบอกสีเเดงอ ย่างน้อย 1 ลูก วิธีทำ 13

เอกสารอ้างอิง https://sites.google.com/a/tupr.ac.th/maths-thai-04/unit3/unit3-2 http://119.46.166.126/self_all/selfaccess11/m5/math5_2/more/item2 _1.php https://www.trueplookpanya.com/knowledge/conten t/63639/-blo-edu-otherknowledge- 14

Thyoaun!k