คณิตศาสตร์ ม.ต้น กศน. เรื่องเลขยกกำลัง

หนงั สอื เรยี นสาระความรพู ืน้ ฐาน รายวิชา คณิตศาสตร (พค21001) ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2554) หลักสตู รการศกึ ษานอกระบบระดบั การศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551 สาํ นกั งานสง เสรมิ การศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอธั ยาศยั สาํ นกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธกิ าร กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

46 บทท่ี 3 เลขยกกาํ ลงั สาระสําคัญ สญั ลักษณข องการเขยี นแทนการคูณจาํ นวนเดยี วกนั ซํา้ ๆ หลาย ๆ ครงั้ เขยี นแทนดว ย an อา นวา a ยกกําลัง n และการเขยี นแสดงจาํ นวนในรปู สัญกรณว ิทยาศาสตรได ผลการเรยี นรูทคี่ าดหวัง 1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่ กาํ หนดใหได 2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชใ นการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได 3. อธิบายการคณู และหารของเลขยกกาํ ลังทมี่ ีฐานเดียวกนั และเลขชกี้ าํ ลงั เปน จํานวนเต็มได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

47 เรอื่ งที่ 1 ความหมายและการเขยี นเลขยกกําลงั เลขยกกาํ ลัง หมายถึง การใชส ญั ลกั ษณ เขยี นแทนจาํ นวนทเ่ี กิดข้ึนจากการคูณ ซ้าํ ๆ กนั หลายๆ ครัง้ เชน 3× 3× 3× 3 สามารถเขยี นแทนไดด ว ย 34 อานวา สามยกกาํ ลังส่ี ซึ่งมีบทนิยาม ดงั นี้ บทนิยาม ถา a แทนจาํ นวนใด ๆ และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a กําลงั n” เขยี นแทนดว ย an = a×a×a×......×a n เรียก an วาเลขยกกําลงั ทมี่ ี a เปน ฐานและ n เปน เลขช้ีกาํ ลงั เชน 45 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4 45 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชกี้ ําลงั สัญลกั ษณ 45 อานวา “สย่ี กกําลังหา” หรือ “สกี่ ําลงั หา ” หรือกําลังหา ของสี่ (− 2)6 แทน (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) × (− 2) (− 2)6 มี (− 2) เปน ฐาน และมี 6 เปนเลขชีก้ ําลงั ในทาํ นองเดียวกันสญั ลักษณ (− 2)6 อา นวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง หกของลบสอง จงพจิ ารณาตารางตอ ไปน้ี เลขยกกาํ ลงั ฐาน เลขช้กี ําลงั เขยี นในรปู ของการคูณ แทนจาํ นวน 33 3 3 3×3×3 27 4 5 4×4×4×4×4 1,024 45 -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 2 1×1 (− 2)4 1 1 22  1 2 2 4 2 y X×X×X…(y ครงั้ ) x X×X×X…(y คร้งั ) xy ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้ วธิ ที ํา 1. 83 อา นวา 8 ยกกําลัง 3 1. 83 อานวาอยางไร 2. 103 มี 10 เปน ฐาน 2. 103 มจี าํ นวนใดเปน ฐาน 3. 115 มี 5 เปน เลขช้กี าํ ลัง 3. 115 มีจาํ นวนใดเปน เลขช้กี าํ ลัง 4. 53 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5 4. 53 มีความหมายอยางไร 5. (− 5)5 อา นวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา 5. (− 5)5 อา นวา อยางไร

48 แบบฝกหดั ที่ 1 1. จงเขยี นจาํ นวนตอ ไปนใ้ี นรูปเลขยกกาํ ลงั ทม่ี เี ลขชีก้ ําลงั เปน จํานวนเต็มท่มี ากกวา 1 พรอมท้งั บอกฐานและเลขชก้ี ําลงั 1.1 25 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขชก้ี าํ ลัง 1.2 64 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขช้ีกาํ ลัง 1.3 169 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชีก้ ําลัง 1.4 729 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชก้ี าํ ลัง 1.5 -32 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชี้กาํ ลัง 1.6 -243 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปน เลขชี้กําลัง 1.7 0.125 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปน ฐานและ.................................เปนเลขชกี้ าํ ลัง 2. จงเขยี นจาํ นวนทแ่ี ทนดว ยสญั ลกั ษณตอไปน้ี 2.1 28 =…………………………………=……………………………… 2.2 (− 3)4 =…………………………………=……………………………… 2.3 (0.3)5 =…………………………………=……………………………… 2.4 (0.02)6 =…………………………………=……………………………… 2.5  1 3 =…………………………………=……………………………… 3 2.6  2 3 =…………………………………=……………………………… 7 =…………………………………=……………………………… =…………………………………=……………………………… 2.7 (− 5)4 2.8 − 23 2.9  1 5 =…………………………………=……………………………… 10  2.10 (0.5)6 =…………………………………=………………………………

49 เรอ่ื งที่ 2 การเขยี นแสดงจํานวนในรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตร การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยใู นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร มีรปู ท่ัวไปเปน A × 10n เม่ือ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเตม็ พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอ ยูใ นรูปสญั กรณว ทิ ยาศาสตรตอไปน้ี 1. 2,000 = 2 × 1,000 = 2 × 103 2. 800,000 = 8 × 100,000 = 8 × 105 ตวั อยางท่ี 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอ ยใู นรปู สัญกรณว ิทยาศาสตร วธิ ีทาํ 600,000,000 = 6 × 100,000,000 = 6 × 108 ตอบ 6 × 108 ตวั อยา งท่ี 2 จงเขยี น 73,200,000 ใหอยูใ นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร วธิ ที ํา 73,200,000 = 732 × 100,000 = 7.32 × 100 × 100,000 = 7.32 × 102 × 105 = 7.32 × 107 ตวั อยา งท่ี 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขยี นใหอ ยใู น รูปสัญกรณวิทยาศาสตร วธิ ที าํ ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร 113,000,000 = 113 × 1,000,000 = 113 × 100 × 1,000,000 = 1.13 × 102 × 106 = 1.13 × 108 ตอบ 1.13 × 108 เมตร

50 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงเขยี นจาํ นวนตอ ไปนใ้ี นรปู สัญกรณวทิ ยาศาสตร 1. 400,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. 23,000,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. 639,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 4. 247,500,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กโิ ลเมตร จงเขียนใหอยใู นรปู สัญกรณ วิทยาศาสตร 1,430,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. สัญกรณวิทยาศาสตรใ นแตละขอตอไปนแ้ี ทนจาํ นวนใด 3.1 2 × 106 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.2 4.8 × 1013 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.3 4.03 × 109 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.4 9.125 × 105 =……………………………………………………………… =………………………………………………………………

51 3. การคูณและการหารเลขยกกาํ ลงั ท่มี ฐี านเดยี วกนั และเปน เลขชก้ี ําลังเปน จาํ นวนเตม็ 3.1 การคณู เลขยกกาํ ลงั เมื่อเลขชี้กําลงั เปน จาํ นวนเตม็ พจิ ารณาการคูณเลขยกกาํ ลังท่ีมฐี านเปน จํานวนเดยี วกนั ตอไปน้ี 23 × 24 = ( 2× 2× 2 )×( 2× 2× 2× 2 ) = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 27 หรือ 23+4 32 × 33 = (3× 3)× (3× 3× 3) = 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 35 หรอื 32+3  1 3 ×  1 2 =  1  ×  1  ×  1  ×  1  ×  1  3 3  3   3   3   3   3  =  1  ×  1  ×  1  ×  1  ×  1  3 3 3 3 3 =  1 5 หรือ  1 3 + 2 3 3 การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้ เมอื่ a แทนจาํ นวนใด ๆ m และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก =am × an am+n

52 แบบฝก หดั ที่ 3 1. จงเขยี นจาํ นวนทีแ่ ทนดว ยสญั ลกั ษณตอ ไปนี้ 1.1 25 × 26 =……………………………=………………………………… 1.2 25 × 32 =……………………………=………………………………… 1.3 (2 × 3)3 =……………………………=………………………………… 1.4 (0.75)2 =……………………………=………………………………… 1.5  −12 × 32 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 3 1.6 (− 3× 2)3 1.7  2 3 ×  5 4 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 5 2 =……………………………=………………………………… =……………………………=………………………………… 1.8  1 6 ×  7 5 7 2 1.9 (0.5)3  1 4 2 1.10 (−11)2 (−11)3 2. จงเขียนผลคูณของจาํ นวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกาํ ลงั =……………………………=………………………………… 2.1 22 × 23 × 27 2.2 (− 3)3 × (− 3)× (− 3)5 =……………………………=……………………………… 2.3 5 × 625 × 5 2 =……………………………=………………………………… 2.4 121 × 11 ×112 =……………………………=………………………………… 2.5 (− 3)4 × (− 3)3 × (− 3)7 =……………………………=………………………………

53 3.2 การหารเลขยกกาํ ลังเม่อื เลขช้กี าํ ลงั เปน จาํ นวนเตม็ การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน จํานวนเต็มบวกในรูปของ am ÷ an จะพจิ ารณาเปน 3 กรณี คือ เมอ่ื m > n , m = n และ m < n ดงั น้ี กรณีท่ี 1 am ÷ an เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศ นู ย m,n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้ 1. 25 = 2×2×2×2×2 22 2×2 2. 37 35 = 2×2×2 = 23 หรือ 25−2 = 3×3×3×3×3×3×3 3×3×3×3×3 = 3 2 หรอื 3 7−5 3. (− 5)8 = (− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5) (− 5)3 (− 5)(− 5)(− 5) = (− 5)(− 5)(− 5)(− 5)(− 5) = (− 5)5 หรอื (− )5 8−3 จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กาํ ลังของตัวตั้ง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ การหารเลขยกกําลังดังนี้ เมอ่ื a แทนจาํ นวนใด ๆ ทีไ่ มใ ชศ ูนย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m > n am ÷ an = am−n

54 ตวั อยางที่ 1 จงหาผลลพั ธ 510 ÷ 54 วิธีทํา 510 = 510−4 54 = 56 ตอบ 56 ตวั อยา งที่ 2 จงหาผลลัพธ (0.2)6 ÷ (0.2)3 วิธีทาํ (0.2)6 = (0.2)6−3 (0.2)3 = (0.2)3 = (0.2)(0.2)(0.2) = 0.008 ตอบ 0.008 กรณีท่ี 2 am ÷ an เมอื่ a แทนจาํ นวนใด ๆ ทไี่ มใ ชศนู ย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m = n พิจารณา 54 ÷ 54 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลังจะได 54 = 5× 5× 5× 5 54 5×5×5×5 =1 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = am−n , a ≠ o ในกรณีที่ m = n จะได =54 54−4 54 = 50 แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังดังที่แสดงไวขางตน เราไดวา 54 ÷ 54 = 1 ดังนนั้ เพื่อใหสมบัตขิ องการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = am−n ใชไ ดใ นกรณีที่ m = n ดวยจึงตองให 50 = 1 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ a0 ดงั น้ี บทนยิ าม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศ ูนย a0 = 1 จะเหน็ วา am ÷ an = am−n , a ≠ o เปนจริงในกรณที ่ี m = n ดว ย

55 ตวั อยางท่ี 1 จงหาผลลพั ธ 73 × 75 78 วธิ ที ํา 73 × 75 = 73+8 78 78 = 78 78 = 78−8 = 70 =1 ตอบ 1 กรณีที่ 3 am ÷ an เม่อื a แทนจาํ นวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจาํ นวนเตม็ บวก และ m < n พิจารณา 25 ÷ 28 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง จะได 25 = 2×2×2×2×2 28 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 =1 2×2×2 = 1 23 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง am ÷ an = ,am−n a ≠ 0 ในกรณที ี่ m < n จะได 25 = 25−8 28 2 −3 = แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 25 ÷ 28 = 1 ดงั นั้นเพ่ือให 23 สมบัติของการหารเลขยกกําลัง =am ÷ an am−n ใชไ ดในกรณที ี่ m < n ดวยจงึ ตองให 2−3 = 1 ในกรณที ัว่ ๆ ไปมบี ทนยิ ามของ a−n ดงั น้ี 23 บทนยิ าม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ทีไ่ มใชศนู ยแ ละ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก a−n = 1 an

56 ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลพั ธ 116 ×114 ×117 ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก 1113 ×113 ×112 วิธีทาํ 116 ×114 ×117 = 116+4+7 1113 ×113 ×112 1113+3+2 = 1117 1118 = = 1117−18 = 11−1 ตอบ 1 1 11 11

57 แบบฝก หัดที่ 4 1. จงหาผลลัพธ 1.1 29 ÷ 22 1.2 36 ÷ 3 1.3 113 ÷116 1.4  1  4 ÷  1  2 5  5  1.5 (0.03)5 ÷ (0.03)4 1.6 (0.8)5 ÷  4 7 5 1.7 ( )53 × 54 ÷ 57 1.8 ( )76 × 7 ÷ 74 ( )1.9 132 × 134 ÷135 1.10 (m6 ÷ m7 )× m4 เมอ่ื m ≠ 0 2. จงหาผลลัพธตอ ไปน้ีในรูปทม่ี ีเลขชี้กําลังเปน จาํ นวนเต็มบวก 2.1 53 × 5−4 2.2 38 × 3−6 32 2.3 4−6 ÷ 4 2.4 26 × 2−1 (− 2)0 2.5 (1.5)2 (1.5)3 2.6 x2 ÷ x5 เมอ่ื x ≠ 0 2.7 (a3 × a)÷ (a0 × a5 ) เมอ่ื a ≠ 0 2.8 m −7 เมอ่ื m ≠ 0 m −5

213 แบบฝกหดั ท่ี 2 1 จงเขียนจํานวนตอ ไปน้ใี นรูปสัญกรณว ิทยาศาสตร 1. 4 x 105 2. 2.3 x 1010 3. 6.39 x 108 4. 2.475 x 108 2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยใู นรูปสญั กรณ วิทยาศาสตร ตอบ 1.43 x 109 3. สญั กรณว ิทยาศาสตรใ นแตล ะขอตอไปนแ้ี ทนจํานวนใด 3.1 2,000,000 3.2 48,000,000,000,000 3.3 4,030,000,000 3.5 912,500 แบบฝก หัดที่ 3 1 จงเขียนจํานวนทแี่ ทนดว ยสญั ลกั ษณต อ ไปน้ี 1.1 25+6 = 2,048 1.2 32 x 9 = 288 1.3 63 = 216 1.4 0.752 = 0.5625 1.5  1  × 9 =1 = -216 9 1.6 (− 6)3 1.7 8 × 625 = 5 = 1 2 125 16 22 1.8 1 × 16807 = 1 224 117649 32 1.9 (0.125) 1  = 0.0078125 16  1.10 (−11)5 = 161051

214 2. จงเขยี นผลคณู ของจาํ นวนในแตละขอ ตอไปนใี้ นรปู เลขยกกาํ ลงั 2.1 22+3+7 = 212 2.2 ( )− 3 3+1+5 = (− 3)9 2.3 5× 5 4 × 5 2 = =5 1+4+2 5 7 2.4 11 2 ×11×11 2 = =11 2+1+2 11 5 2.5 ( )− 3 4+3+7 = (− )3 14 แบบฝก หัดที่ 4 = 27 1. จงหาผลลัพธ = 35 1.1 29−2 1.2 36−1 1.3 113−6 = 11−3 = 1 1.4  1 4−2 11 3 5 =  1 2 1.5 (0.03)5−4 5 = (0.03) 1.6 ( 0.8 ) 5 ÷ ( 0.8 ) 7 = ( 0.8 ) 5−7 = ( 0.8 ) −2 = 1 ( 0.8 ) 2 1.7 5(3+4)−7 = 50 =1 1.8 7(6+1)−4 = 73 1.9 132+(4−5) = 13 1.10 m(6−7)+4 = m3 2. จงหาผลลพั ธตอไปนี้ในรูปทมี่ เี ลขช้ีกําลังเปนจาํ นวนเต็มบวก 2.1 53+(−4) = 5−1 =1 2.2 38+(−6)−2 = 30 = 15 2.3 4(−6)−1 = 4−7 = 1 2.4 26+(−1) = 25 47 2.5 (1.5)2−3 = (1.5)−1 =1 1 2.6 x2−5 = x −3 a = a 4−5 1.5 ( ) ( )2.7 a3+1 ÷ a0+5 =1 x3 = =a −1 2.8 =m−7−(−5) m −7+5 = m−2 = 1 m2