Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore ลำดับและอนุกรม

ลำดับและอนุกรม

Published by praw12370, 2021-02-28 18:57:49

Description: ลำดับและอนุกรม

Search

Read the Text Version

ลำดบั และ อนกุ รม Sequence and Series

ลำดับ (Sequence ) บทนิยำม 1 ฟังก์ชันทม่ี ีโดเมนเป็นเซต {1,2,3,...,n} หรือมโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก ลำดบั จำกดั โดเมนเปน็ เซต {1,2,3,...,n} (finite sequence) โดเมนเป็นเซตของ ลำดับอนนั ต์ จำนวนเต็มบวก (infinite sequence) กำรเขียนแสดงลำดับ เขียนพจน์ทว่ั ไปของลำดบั เขยี นแจกแจงพจน์ของลำดบั ใช้ควำมสัมพนั ธ์เวยี นเกิด กำรบอกเงอ่ื นไขของลำดบั หรอื สมบัตขิ องพจน์ของลำดบั

ลำดับเลขคณติ (arithmetic sequence) ลำดับซึง่ มีผลต่ำงท่ไี ดจ้ ำกกำรนำพจน์ที่ ������ + 1 บทนิยำม 2 ลบด้วยพจนท์ ี่ ������ เปน็ ค่ำคงตวั ทเี่ ท่ำกัน สำหรับทุก จำนวนเต็มบวก ������ และเรยี กคำ่ คงตัวทีเ่ ป็นผลต่ำงนี้ว่ำ ผลตำ่ งรว่ ม (common difference) จำกบทนิยำม ลำดับ ������1,������2, ������3,…,������������,… จะเป็นลำดับเลขคณติ ก็ตอ่ เมื่อ มคี ่ำคงตวั ������ ที่ ������������−1 − ������������ = ������ สำหรบั ทุกจำนวนเต็มบวก ������ สตู ร ������������ = พจนท์ ี่ n ������1 = พจนท์ ี่ 1 ������������ = ������1 + ������ − 1 ������ ������ = ตำแหนง่ ของพจน์ท่ี n ������ = ผลต่ำงรว่ ม

ลำดบั เลขคณติ (arithmetic sequence) Ex. ถำ้ ลำดบั เลขคณติ มี ������1 = 22 และ ������2 = 35 จงหำพจนท์ ่ี 100 ของลำดับนี้ วธิ ีทำ เน่ืองจำก ������1 = 22 และ ������2 = 35 ดังน้ันผลตำ่ งร่วมคือ ������ = 35 − 22 = 13 จำก ������������ = ������1 + ������ − 1 ������ จะได้ ������100 = 22 + 100 − 1 13 = 1309 นัน่ คือพจน์ท่ี 100 ของลำดับน้คี อื 1309

ลำดบั เรขำคณิต (geometric sequence) บทนิยำม 3 ลำดบั ซึง่ มีอตั รำส่วนของพจนท์ ่ี ������ + 1 ต่อพจนท์ ี่ ������ เป็นคำ่ คงตัวทเี่ ท่ำกัน สำหรบั ทุก จำนวนเต็มบวก ������ และเรยี กคำ่ คงตัวทีเ่ ปน็ อตั รำสว่ นนวี้ ำ่ อตั รำสว่ นรว่ ม (common ratio) จำกบทนิยำม ลำดบั ������1,������2, ������3,…,������������,… จะเปน็ ลำดับเรขำคณติ ก็ตอ่ เมอื่ ������������+1 มคี ่ำคงตัว ������ ที่ ������������ = ������ สำหรับทกุ จำนวนเต็มบวก ������ สูตร ������������ = พจน์ที่ n ������1 = พจนท์ ี่ 1 ������������ = ������1������������−1 ������ = ตำแหน่งของพจน์ที่ n ������ = อตั รำส่วนรว่ ม

ลำดบั เรขำคณติ (geometric sequence) Ex. จงหำพจน์ทัว่ ไปของลำดับเรขำคณติ 8,16,32,64,… วธิ ที ำ จำกลำดบั เรขำคณิต 8,16,32,64,… จะได้ ������1 = 8 และ ������ = 16 = 2 8 จำก ������������ = ������1������������−1 จะได้ ������������= 8 2������−1 = 23 2������−1 = 2������+2 ดังนนั้ พจน์ที่ ������ ของลำดับเรขำคณิตนี้คือ 2������+2

อนุกรม (Series) ถ้ำ ������1,������2, ������3,…,������������ เป็นลำดับจำกัดที่มี ������ พจน์ จะเรียกกำรเขียนแสดงกำรบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องลำดับในรูป ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ ว่ำ อนกุ รมจำกดั (finite series) ให้ ������������ แทนผลบวก ������ พจนแ์ รก ของอนกุ รม

อนุกรมเลขคณติ ให้ ������1,������2, ������3,…,������������ (arithmetic series) เปน็ ลำดับเลขคณติ ซึง่ มี ������ เปน็ ผลตำ่ งรว่ ม ผลบวก ������ พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต สตู ร ������������ = ������ (������1 + ������������) 2 ������ ������������ = 2 (2������1 + ������ − 1 ������) ������������= ผลบวก n พจน์แรก ������ = ตำแหนง่ ของพจน์ที่ n ������1 = พจน์ท่ี 1 ������������ = พจนท์ ่ี n ������ = ผลต่ำงรว่ ม

อนุกรมเลขคณติ (arithmetic series) Ex. จงหำผลบวก 7 พจนแ์ รก ของอนุกรมทีไ่ ดจ้ ำกลำดับเลขคณติ 7,15,23,… วิธีทำ ลำดบั ทก่ี ำหนดให้มี ������1 = 7 และ ������ = 8 แทน ������ ด้วย 7 ใน ������������ = ������1 + ������ − 1 ������ จะได้ ������7 = 7 + 7 − 1 8 = 55 ������ จำก ������������ = 27 (������1 + ������������) จะได้ ������7 = 2 (7 + 55) = 217 ดังนั้น ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตน้ี คือ 217

อนุกรมเรขำคณิต (geometric series) ให้ ������1,������2, ������3,…,������������ เป็นลำดับเรขำคณติ ซ่ึงมี ������ เปน็ อัตรำส่วนรว่ ม ผลบวก ������ พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณิต ������������= ผลบวก n พจน์แรก ������ = ตำแหน่งของพจน์ท่ี n ������1 = พจน์ที่ 1 สตู ร ������ = อตั รำสว่ นรว่ ม ������������ = ������1(1−������������) เมื่อ ������ ≠ 1 1−������ ������������ = ������1(������������−1) เม่ือ ������ ≠ 1 ������−1

อนุกรมเรขำคณติ (geometric series) Ex. จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมท่ีได้จำกลำดับเรขำคณติ 1,2,4,8,… วธิ ที ำ ลำดบั ท่กี ำหนดใหม้ ี ������1 = 1 และ ������ = 2 ������1(1−������������) แทน ������ ดว้ ย 8 ใน ������������ = 1−������ จะได้ ������8 = 1(1−28) 1−2 28−1 = 2−1 = 255 ดังนน้ั ผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมเรขำคณติ นคี้ ือ 255

กำรประยุกต์ ดอกเบีย้ ทบต้น ถ้ำเรม่ิ ฝำกเงนิ ด้วยเงินต้น ������ บำท ทฤษฎีบท 9 ไดร้ บั อตั รำดอกเบยี้ ������% ตอ่ ปี โดยกำรคดิ ดอกเบ้ียแบบทบต้นทกุ ปี (ปีละครง้ั ) แลว้ เมื่อส้นิ ปี ������ ������ จะได้ เงนิ รวม ������(1 + ������)������ บำท เมอ่ื ������ = 100 ถ้ำเรม่ิ ฝำกเงินด้วยเงินตน้ ������ บำท ทฤษฎบี ท 10 ได้รับอตั รำดอกเบย้ี ������% ต่อปี โดยกำรคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตน้ ปีละ k ครั้ง แล้วเมื่อฝำกเงนิ ครบ ������ ปี ������������)������������ ������ จะได้ เงนิ รวม ������(1 + บำท เมื่อ ������ = 100 ������ = เงนิ ต้น ������ = อัตรำดอกเบ้ยี คดิ เป็นรอ้ ยละต่อปี ������ = ระยะเวลำ ������ = ดอกเบย้ี ทบตน้ ������ ครงั้ ตอ่ ปี

กำรประยกุ ต์ มูลค่ำปัจจุบนั และมลู คำ่ อนำคต มลู คำ่ ปัจจบุ ัน ������ = ������(1 + ������������)−������������ มูลค่ำอนำคต ������ = ������(1 + ������������)������������ ������ = เงนิ รวม ������ = เงินตน้ คำ่ งวด ������ = อตั รำดอกเบ้ีย รอ้ ยละต่อปี ������ = ระยะเวลำ รำยงวด(ตน้ งวด) ������ = ดอกเบยี้ ทบตน้ ������ คร้ังตอ่ ปี ������ = ������(1+������)( 1+������ ������−1) ������ รำยงวด(สน้ิ งวด) ������ ������( 1 + ������ − 1) ������ = ������

น.ส. ธวลั หทัย ตุ่นฝั้น ม.5/8 เลขท่ี 6


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook