induction_01Dec2015

คณิตศาสตรป รนยั (ฉบับพเิ ศษ) อุปนยั เชิงคณติ ศาสตร Mathematical Induction รองศาสตราจารย ดาํ รงค ทิพยโ ยธา ภาควชิ าคณิตศาสตรแ ละวทิ ยาการคอมพิวเตอร คณะวทิ ยาศาสตร จฬุ าลงกรณมหาวทิ ยาลยั รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 1 อปุ นยั เชิงคณิตศาสตร Mathematical Induction 1 อปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร อุปนัยเชิงคณิตศาสตรเปน เครื่องมอื ในการพสิ ูจนส ตู รหรอื ขอความทางคณิตศาสตรท ส่ี ําคญั เชน 1. 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1) 2 2. 5 | ( n5 - n) 3. a + b หาร a2n - b2n ลงตวั ให P(n) เปนขอ ความในพจนข อง n การพิสูจนวา P(n) เปน จริง เราเลือกใชอ ปุ นัยเชิงคณิตศาสตรไดห ลายแบบ แบบที่ 1 ถา (1) P(1) เปน จริง (2) ถา P(k) เปน จรงิ เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ แลว P(n) เปนจรงิ ทกุ คา n ∈ N แบบท่ี 2 ให m ≥ 1 ถา (1) P(m) เปน จรงิ (2) ถา P(k) เปน จรงิ เม่อื k ≥ m แลว P(k + 1) เปน จรงิ แลว P(n) เปนจรงิ ทุกคา n = m, m + 1, m + 2, ... แบบท่ี 3 ถา (1) P(1) เปนจรงิ (2) ถา P(k) เปน จรงิ ทุกคา k < n แลว P(n) เปน จรงิ แลว P(n) เปนจรงิ ทกุ คา n ∈ N เทคนิควธิ ใี นการพิสูจนโ ดยใชอ ุปนยั เชิงคณติ ศาสตรมหี ลายแบบดงั ตอไปนี้ รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

2 Mathematical Induction 2 การจัดรปู พชี คณติ จากซา ยไปเทากับขวาหรือจัดรปู เขา มาหากนั ตรงกลาง ตวั อยาง 2.1 จงแสดงวา 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1) ทุกคา n ∈ N 2 แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1) ” 2 (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา (1)(1+1) = 1 เพราะฉะนน้ั P(1) เปน จรงิ 2 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จริง เมื่อ k ≥ 1 เพราะฉะนนั้ 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k +1) 2 เพราะฉะนัน้ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k +1) + (k + 1) 2 = (k + 1)( k + 1) 2 = (k + 1)(k + 2) 2 = (k + 1)((k + 1) + 1) 2 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปนจริง โดยอปุ นัยเชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนัน้ 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1) ทุกคา n ∈ N † 2 ตัวอยา ง 2.2 จงแสดงวา 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1) ทกุ คา n ∈ N 6 แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1) ” 6 (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา 1 (1 + 1)(2 (1) + 1) = 12 เพราะฉะนน้ั P(1) เปน จริง 6 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เม่อื k ≥ 1 เพราะฉะนนั้ 12 + 22 + 32 + ... + k2 = k (k + 1)(2k + 1) 6 บวกทั้งสองขางดวย (k + 1) 2 จะได 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 = k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1) 2 6 = (k + 1)( k(2k +1) + (k + 1)) 6 = k + 1 (2 k 2 + k + 6k + 6) 6 = k +1 (2 k2 + 7k + 6) 6 = k +1 (2k + 3)(k + 2) 6 = k +1 ((k + 1) + 1)(2 (k + 1) + 1) 6 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปน จริง รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 3 โดยอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1) ทกุ คา n ∈ N † 6 ตวั อยาง 2.3 จงแสดงวา 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( n (n + 1)) 2 ทุกคา n ∈ N 2 แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( n (n + 1)) 2 ” 2 (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา ( 1 (1 + 1)) 2 = 13 เพราะฉะนั้น P(1) เปนจริง 2 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 เพราะฉะนน้ั 13 + 23 + 33 + ... + k3 = ( k (k + 1)) 2 2 บวกทง้ั สองขา งดว ย (k + 1) 3 จะได 13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k + 1) 3 = ( k (k + 1)) 2 + (k + 1) 3 2 = (k + 1) 2 ( k2 + (k + 1)) 4 = (k +1)2 ( k2 + 4k + 4) 4 = (k +1)2 (k + 2) 2 4 = ( (k +1)((k + 1) +1) ) 2 2 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปนจริง โดยอุปนยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( n (n + 1)) 2 ทุกคา n∈ N † 2 ตวั อยาง 2.4 จงแสดงวา 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ... + n(n!) = (n + 1)! - 1 ทกุ คา n ∈ N แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) = (n + 1)! - 1 ” (1) การแสดงวา P(1) เปนจรงิ เพราะวา 1(1!) = 1 = (1 + 1)! - 1 เพราะฉะนน้ั P(1) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เมอ่ื k ≥ 1 เพราะฉะนน้ั 1(1!) + 2(2!) + ... + k(k!) = (k + 1)! - 1 เพราะวา 1(1!) + 2(2!) + ... + k(k!) + (k + 1)((k + 1)!) = ((k + 1)! - 1) + (k + 1)((k + 1)!) = (k + 1)! - 1 + (k + 1)(k + 1)! = (k + 2)(k + 1)! - 1 = ((k + 1) + 1)! - 1 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปน จริง โดยอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทกุ คา n ∈ N † เพราะฉะนั้น 1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) = (n + 1)! - 1 เปนจริง ทกุ คา n ∈ N รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

4 Mathematical Induction ตัวอยา ง 2.5 จงแสดงวา 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n (3n - 1) ทุกคา n ∈ N 2 แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n (3n - 1) ” 2 (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา 1 (3(1) - 1) = 1 เพราะฉะน้ัน P(1) เปน จริง 2 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปน จริง เมือ่ k ≥ 1 เพราะฉะนั้น 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) = k (3k - 1) 2 บวกทั้ง 2 ขางดวย (3(k + 1) - 2) จะได 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) + (3(k + 1) - 2) = k (3k - 1) + (3(k + 1) - 2) 2 = k (3k - 1) + 3k + 1 2 = 3k2 − k + 6k +1 2 = 3k2 + 5k + 2 2 = (k +1) (3k + 2) 2 = (k +1)(3(k +1) −1) 2 เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปน จรงิ โดยอุปนัยเชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n (3n - 1) ทุกคา n ∈ N † 2 ตัวอยา ง 2.6 จงแสดงวา 13 + 33 + 53 + ... + (2n - 1) 3 = n2 (2 n2 - 1) ทกุ คา n ∈ N แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 13 + 33 + 53 + ... + (2n - 1) 3 = n2 (2 n2 - 1) ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จรงิ เพราะวา (1) 2 (2(1) 2 - 1) = 1 = 13 เพราะฉะนนั้ P(1) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจริง เมื่อ k ≥ 1 เพราะฉะนน้ั 13 + 33 + 53 + ... + (2k - 1) 3 = k2 (2 k2 - 1) บวกดวย (2(k + 1) - 1) 3 ท้งั สองขางจะได 13 + 33 + 53 + ... + (2k - 1) 3 + (2(k + 1) - 1) 3 = k2 (2 k2 - 1) + (2(k + 1) - 1) 3 = 2 k4 - k2 + (8 k3 + 12 k2 + 6k + 1) = 2 k4 + 8 k3 + 11 k2 + 6k + 1 = (2 k4 + 4 k3 + k2 ) + (4 k3 + 8 k2 + 2k) + (2 k2 + 4k + 1) = ( k2 + 2k + 1)(2 k2 + 4k + 1) = (k + 1) 2 (2(k + 1) 2 - 1) เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนนั้ 13 + 33 + 53 + ... + (2n - 1) 3 = n2 (2 n2 - 1) ทกุ คา n ∈ N † รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 5 3 การจดั รปู แบบทางพีชคณิตทีต่ องมกี ารบวกเขา และลบออก ตวั อยา ง 3.1 จงแสดงวา a + b หาร a2n - b2n ลงตวั ทุกคา n ∈ N แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ (a + b) | ( a2n - b2n ) ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จรงิ เพราะวา a2 - b2 = (a + b)(a - b) เพราะฉะน้นั (a + b) | ( a2 - b2 ) เพราะฉะนนั้ P(1) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปน จรงิ เมอื่ k ≥ 1 เพราะฉะน้ัน a + b หาร a2k - b2k ลงตวั - = -a2(k +1) b2(k +1) a2 a2k b2 b2k = a2 a2k - a2 b2k + a2 b2k - b2 b2k (บวกเขาและลบออก) = a2 ( a2k - b2k ) + b2k ( a2 - b2 ) เพราะวา (a + b) | ( a2k - b2k ), (a + b) | ( a2 - b2 ) เพราะฉะนั้น (a + b) | ( a2(k+1) - )b2(k+1) เพราะฉะน้นั P(k + 1) เปน จริง โดยอุปนัยเชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนั้น a + b หาร a2n - b2n ลงตวั ทกุ คา n ∈ N หมายเหตุ a2 - b2 = (a + b)(a - b) a4 - b4 = ( a2 - b2 )( a2 + b2 ) = (a + b)(a - b)( a2 + b2 ) : an - bn = (a + b)( an−1 - an−2 b + an−3 b2 - … + bn−1) เมื่อ n เปน เลขคู โดยใชสูตรผลบวกของลําดบั เรขาคณิตเมอ่ื พจนแ รก = an −1 และอัตราสวนรว ม = - b a เพราะฉะนน้ั an−1 - an−2 b + an−3 b2 - … + bn−1 = (an −1)(1 − (− b )n ) (เพราะวา n เปนเลขคู เพราะฉะน้ัน (- b )n = bn ) a a an 1 − (− b ) a = an − bn † a+b ตัวอยาง 3.2 จงแสดงวา a - b หาร an - bn ลงตัว ทุกคา n ∈ N แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ (a - b) | ( an - bn ) ” (1) การแสดงวา P(1) เปนจรงิ เพราะวา (a - b) | (a - b) เพราะฉะน้นั P(1) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จริง เม่ือ k ≥ 1 เพราะฉะน้ัน a - b หาร ak - bk ลงตัว (บวกเขาและลบออก) ak+1 - bk +1 = a ak - bk b = a ak - a bk + a bk - bk b = a( ak - bk ) + bk (a - b) รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

6 Mathematical Induction เพราะวา (a - b) | ( ak - bk ) และ (a - b) | (a - b) เพราะฉะนัน้ (a - b) | ( ak+1 - bk+1 ) เพราะฉะนั้น P(k + 1) เปน จริง โดยอุปนยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนัน้ (a - b) | ( an - bn ) ทุกคา n ∈ N หมายเหตุ 1. an − bn = an −1 + an−2 b + an−3 b2 +…+ bn −1 a−b 2. โดยใชส ตู รผลบวกของลําดบั เรขาคณติ จะได an −1 + an −2 b + an −3 b2 + … + bn −1 =a n −1(1 − ( b )n ) a 1 − ( b ) a = an − bn † a−b ตัวอยาง 3.3 จงแสดงวา a + b หาร a2n−1 + b2n−1 ลงตัว ทุกคา n ∈ N แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ (a + b) | ( a2n−1 + )b2n−1 ” (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา a2(1)−1 + b2(1)−1 = a + b เพราะฉะน้นั (a + b) | ( a2(1)−1 + )b2(1)−1 เพราะฉะนั้น P(1) เปน จริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจริง เม่อื k ≥ 1 เพราะฉะนั้น a + b หาร a2k−1 + b2k−1 ลงตัว + = +a2(k +1)−1 b2(k +1)−1 a2k +1 b2k +1 = +a2 a2k −1 b2 b2k −1 = + - +a2 a2k−1 a2 b2k−1 a2 b2k−1 b2 b2k−1 (บวกเขาและลบออก) = (a2 a2k −1 + b2k −1 ) - (b2k −1 a2 - b2 ) เพราะวา (a + b) | ( a2 - b2 ), (a + b) | ( a2k−1 + b2k−1 ) เพราะฉะนั้น (a + b) | ( a2(k+1)−1 + )b2(k+1)−1 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปน จริง โดยอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนั้น a + b หาร a2n−1 + b2n−1 ลงตวั ทุกคา n ∈ N หมายเหตุ เม่ือ n เปนเลขค่ี a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2 ) a5 + b5 = (a + b)( a4 - a3 b + a2 b2 - a b3 + b4 ) a7 + b7 = (a + b)( a6 - a5 b + a4 b2 - a3 b3 + a2 b4 - a b5 + b6 ) โดยใชส ตู รผลบวกของลําดับเรขาคณิตเม่ือ พจนแ รก = an−1 และ อัตราสว นรว ม = (- b ) a จะได an−1 - an−2 b + an−3 b2 - an−4 b3 + an−5 b4 - … + bn−1 บรรทดั นตี้ องปรบั ปรุง = (an −1)(1 − (− b )n ) (เพราะวา n เปนเลขคี่ เพราะฉะนน้ั (- b ) n = - bn ) a a an 1 − (− b ) a = an + bn † a+b รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 7 4 ใชเ หตุผลเฉพาะ ตัวอยาง 4.1 กําหนดให x1 , x2 , ... , xn เปนจํานวนจรงิ ทุกคา n ∈ N จงแสดงวา | x1 + x2 + ... + xn | ≤ | x1 | + | x2 | + ... + | xn | แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ | x1 + x2 + ... + xn | ≤ | x1 | + | x2 | + ... + | xn | ” เพราะวา | x1 | ≤ | x1 | เพราะฉะน้ัน P(1) เปนจริง (1) การแสดงวา P(2) เปน จริง เพราะวา | a + b | 2 = a2 + 2ab + b2 ≤ | a|2 + 2 | a | | b | +| b |2 = (|a | +| b |)2 เพราะฉะนน้ั | a + b | ≤ | a | + | b | เพราะฉะน้ัน | x1 + x2 | ≤ | x1 | + | x2 | เพราะฉะนน้ั P(2) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เม่อื k ≥ 2 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 2 เพราะฉะนนั้ | x1 + x2 + x3 + ... + xk | ≤ | x1 | + | x2 | + ... + | xk | (P(2) เปน จรงิ ) | x1 + x2 + ... + xk + xk+1 | = | ( x1 + x2 + ... + xk ) + ( xk+1 ) | (P(k) เปนจรงิ ) ≤ | x1 + x2 + ... + xk | + | xk+1 | ≤ | x1 | + | x2 | + ... + | xk | + | xk+1 | เพราะฉะนั้น P(k + 1) เปนจริง โดยอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทกุ คา n = 2, 3, 4, ... เพราะฉะนนั้ | x1 + x2 + ... + xn | ≤ | x1 | + | x2 | + ... + | xn | เปน จริง ทกุ คา n ∈ N † ตวั อยา ง 4.2 จงแสดงวา (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx ทุกคา n ∈ N แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา (cos x + i sin x)1 = cos x + i sin x เพราะฉะนัน้ P(1) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เมอื่ k ≥ 1 เพราะฉะนั้น (cos x + i sin x) k = (cos kx + i sin kx) ... (1) (cos x + i sin x) k+1 = (cos x + i sin x)(cos x + i sin x) k = (cos x + i sin x)(cos kx + i sin kx) (จาก (1)) = cos x cos kx + i cos x sin kx + i sin x cos kx - sin x sin kx = (cos x cos kx - sin x sin kx) + i(cos x sin kx + sin x cos kx) = cos(x + kx) + i sin(x + kx) รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

8 Mathematical Induction = cos(k + 1)x + i sin(k + 1)x † เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปน จรงิ โดยอุปนยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะน้ัน (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx ทุกคา n = 1, 2, 3, ... หมายเหตุ ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟ กลาววา ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว zn = rn (cos nθ + i sin nθ) ทกุ คา n = 1, 2, 3, ... ตวั อยาง 4.3 กําหนดให a1 , a2 , a3 , ... , an เปน จํานวนจริงบวก จงแสดงวา คาเฉล่ยี เรขาคณติ นอ ยกวาหรือเทากบั คา เฉลีย่ เลขคณิต แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ คาเฉลี่ยเรขาคณติ ของ a1 , a2 , a3 , ... , an นอ ยกวาหรอื เทากับคา เฉล่ยี เลขคณิตของ a1 , a2 , a3 , ... , an ” (1) การแสดงวา P(2) เปนจรงิ เพราะวา 0 ≤ ( x - y )2 =x-2 x y +y 2 x y ≤x+y xy ≤ x+y 2 เพราะฉะน้ัน a1a 2 ≤ a1 + a2 เพราะฉะนัน้ P(2) เปน จรงิ 2 (2) การแสดงวา ถา P(n) เปนจริง เมอ่ื n ≥ 2 แลว P(n + 1) เปน จรงิ สมมติ P(n) เปนจรงิ เมื่อ n ≥ 2 ให a1 , a2 , a3 , ... , an , an+1 เปน จํานวนจรงิ บวก และ 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 เพราะฉะน้นั a n +1 ≥ a1 + a2 + a3 + ... + an ... (1) n ให An = a1 + a2 + a3 + ... + an และ An+1 = a1 + a2 + a3 + ... + an + an+1 ... (2) n n +1 ... (3) จาก (1) และ (2) จะได an+1 ≥ An เพราะฉะนั้นมีจํานวนจริง b ≥ 0 ทท่ี ําให an+1 = An + b จาก (2) จะได =An+1 nAn + An + b n +1 = An + b n +1 ( An+1 ) n+1 = ( An + b ) n+1 n+1 = ( An ) n+1 + ⎛⎝⎜ n + 1⎞⎠⎟ ( An ) n ( b ) + ⎜⎝⎛ n + 1⎞⎟⎠ ( An ) n −1 ( b ) 2 + ...+ 1 +1 2 n +1 n + ⎝⎛⎜ n + 1⎟⎞⎠ An ( b ) n + ( b ) n +1 n n +1 +1 n เพราะวา ⎛⎜⎝ n + 1⎞⎟⎠ ( An ) n −1 ( b ) 2 + ...+ ⎛⎝⎜ n + 1⎠⎞⎟ An ( b ) n + ( )b n+1 ≥0 2 n +1 n n +1 n +1 เพราะฉะน้ัน ( An+1 ) n+1 ≥ ( An ) n+1 + (n + 1)( An ) n ( b ) + n 1 = ( An ) n+1 + ( An ) n b รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 9 = ( An ) n ( An + b) (จาก (3)) = ( An ) n an+1 ... (4) เพราะฉะน้นั ( An+1 ) n+1 ≥ ( An ) n an+1 1 เพราะวา P(n) เปน จริง เพราะฉะนน้ั a1 + a2 + ... + an ≥ ( a1 a2 ... an ) n n 1 An ≥ ( a1 a2 ... an ) n ( An ) n ≥ a1 a2 ... an ( An ) n an+1 ≥ a1 a2 ... an an+1 ( An+1 ) n+1 ≥ a1 a2 ... an an+1 (จาก (4)) 1 An+1 ≥ ( a1 a2 ... an+1 ) n+1 1 a1 + a2 + ... + an+1 ≥ ( a1 a2 ... ) n+1 n +1 a n +1 เพราะฉะนน้ั P(n + 1) เปน จริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทกุ คา n = 2, 3, 4, ... เพราะฉะนน้ั คาเฉล่ยี เรขาคณิตของ a1 , a2 , a3 , ... , an นอยกวา หรือเทา กบั คา เฉล่ียเลขคณติ † ของ a1 , a2 , a3 , ... , an เปนจรงิ ทกุ คา n = 2, 3, 4, ... ตัวอยา ง 4.4 จงแสดงวา { a1 , a2 , ... , an } มีสับเซตทัง้ หมด 2n เซต ... (1) แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ { a1 , a2 , ... , an } มีสับเซตท้ังหมด 2n เซต ” † (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา { a1 } มสี บั เซต 2 เซต คือ ∅ และ { a1 } เพราะฉะน้ัน P(1) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปน จริง เมื่อ k ≥ 1 ให { a1 , a2 , ... , ak , ak+1 } เปน เซตท่มี ีสมาชกิ k + 1 ตวั จาก (1) จะได { a1 , a2 , ... , ak } มสี ับเซตทั้งหมด 2k เซต ให A1, A2 , A3 , ... , A2k เปนสับเซตของ { a1 , a2 , ... , ak } เพราะวา A1 ∪ { ak+1 }, A2 ∪ { ak+1 }, A3 ∪ { ak+1 }, ... , A2k ∪ { ak+1 } และ A1, A2 , A3 , ... , A2k เปน สับเซตของ { a1 , a2 , ... , ak , ak+1 } เพราะฉะน้ัน { a1 , a2 , ... , ak , ak+1 } มีสับเซตท้งั หมด 2k+1 เซต เพราะฉะน้นั P(k + 1) เปน จริง โดยอุปนัยเชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทุกคา n ∈ N เพระฉะนนั้ { a1 , a2 , ... , an } มสี บั เซตท้งั หมด 2n เซต ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนั้น ถา | A | = n แลว | P(A) | = 2n รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

10 Mathematical Induction ตัวอยา ง 4.5 จงแสดงวา dn (xn ) = n! ทกุ คา n ∈ N dx n แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ dn (xn ) = n! ” dx n (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา dx = 1 = 1! เพราะฉะนน้ั P(1) เปน จริง dx (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปน จรงิ เมือ่ k ≥ 1 เพราะวา ( )dk+1 x k +1 = dk ( d ( xk+1 )) dx k dx dx k +1 = dk ((k + 1) xk ) dx k = (k + 1) dk ( xk ) (P(k) เปน จริง ⇒ dk ( xk ) = k!) dx k dx k = (k + 1)(k!) = (k + 1)! เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปนจริง โดยอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนนั้ dn (xn ) = n! ทุกคา n ∈ N † dx n หมายเหตุ โดยผลจากขางตน จะได dn (x + c)n = n! dx n ขอ พิสูจน เพราะวา (x + c) n = ⎜⎝⎛ n ⎟⎞⎠ xn + ⎛⎝⎜ n ⎞⎟⎠ xn−1 c + ⎜⎝⎛ n ⎠⎟⎞ xn−2 c2 + ... + ⎛⎜⎝ n n 1⎠⎟⎞ x cn + ⎛⎝⎜ n ⎞⎠⎟ cn 0 1 2 − n และ dn ( x n −1) = 0, dn (xn−2) = 0, ... , dn (x) = 0, dn (cn ) =0 dx n dx n dx n dx n เพราะฉะนั้น dn (x + c)n = dn ⎝⎜⎛ n ⎞⎟⎠ xn = dn (xn ) = n! dx n dx n 0 dx n ในทํานองเดียวกนั จะได dn (x - c) n = n! dx n รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 11 แบบฝก หัด อุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร 1. จงแสดงวา 7 | ( 8n - 14n + 27) ทุกคา n ∈ N 2. จงแสดงวา 6 | ( n3 + 11n) ทกุ คา n ∈ N 3. จงแสดงวา 3n > n4 ทกุ คา n ≥ 8 4. จงแสดงวา 4n > n4 ทกุ คา n ≥ 5 5. จงแสดงวา n3 ≤ 2n ทกุ คา n ≥ 10 6. จงแสดงวา n4 ≤ 2n ทกุ คา n ≥ 16 7. จงแสดงวา 3 | ( 7n + 2) ทกุ คา n ∈ N 8. จงแสดงวา 4 | ( 5n + 3) ทกุ คา n ∈ N 9. จงแสดงวา 9 | ( n3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 ) ทกุ คา n ∈ N 10. จงแสดงวา 1 + 5 + 52 + ... + 5n−1 = 1 ( 5n - 1) ทุกคา n ∈ N 4 11. กําหนดให m เปนจํานวนเตม็ บวก จงแสดงวา m! n! < (m + n)! ทุกคา n ∈ N 12. จงแสดงวา 1 + 1 +1 + ... + 1 = n ทกุ คา n ∈ N 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 13. จงแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 =n ทกุ คา n ∈ N 1⋅ 4 4⋅7 7 ⋅ 10 (3n − 2)(3n + 1) 3n +1 14. จงแสดงวา (1 - 1 )(1 - 1 )(1 - 1 ) ... (1 - n 1 ) = 1 ทกุ คา n ∈ N +1 n +1 2 3 4 15. จงแสดงวา 12 + 22 + 32 + ... + (n - 1) 2 < n3 ทุกคา n ∈ N 3 16. จงแสดงวา n3 < 12 + 22 + 32 + ... + n2 ทกุ คา n ∈ N 3 17. จงแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 =n ทุกคา n ∈ N 1⋅2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 18. จงแสดงวา -12 + 22 - 32 + 42 + ... + (−1)n n2 = (−1)n n(n + 1) ทกุ คา n ∈ N 2 19. จงแสดงวา 5 + 6 + 7 + ... + n+4 = n(3n + 7) ทุกคา n ∈ N 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 n(n + 1)(n + 2) 2(n + 1)(n + 2) 20. จงแสดงวา (n + 1)(n + 2)(n + 3) ... (2n - 1)(2n) = 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) ทกุ คา n ∈ N 21. จงแสดงวา 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + n(n + 1) = n(n +1)(n + 2) ทกุ คา n ∈ N 3 22. จงแสดงวา 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n +1)(n + 2)(n + 3) ทุกคา n ∈ N 4 23. กําหนดให p เปนจํานวนเต็มบวก จงแสดงวา (1⋅2⋅3 ... p) + (2⋅3⋅4 ... (p + 1)) + (3⋅4⋅5 ... (p + 2)) + ... + (n(n + 1) ... (n + p - 1)) = n(n +1)(n + 2)...(n + p) ทกุ คา n ∈ N p +1 24. จงแสดงวา 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - 1 ), n ≥ 4 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (n − 3)(n − 2)(n −1)n 36 (n − 2)(n −1)n 25. จงแสดงวา 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n 1 ) ทกุ คา n ∈ N 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n − 1)n 22 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

12 Mathematical Induction 26. จงแสดงวา (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 ) = 3 (1 - 1 ) ทุกคา n ∈ N 3 9 81 38 32n 2 32n +1 27. จงแสดงวา 1 +2 +4 + ... + 2n = 1 + 2n+1 ทุกคา n ∈ N 1+ x 1+ x2 1+ x4 1 + x2n x −1 1− x2n+1 28. จงแสดงวา a + ar + a r2 + ... + a rn−1 = a(1 − rn ) ทุกคา n ∈ N 1− r 29. จงแสดงวา 1 + x + x2 + x3 + ... + xn = 1− xn+1 ทุกคา n ∈ N 1− x 30. จงแสดงวา dn (xn ) = n! dx n 31. จงแสดงวา dk (x - c) n x = c = 0 ทุกคา k = 0, 1, 2, ... , n - 1 dx k 32. จงแสดงวา dk (q(x)(x - c) n ) x = c = 0 ทกุ คา k = 0, 1, 2, ... , n - 1 dx k 33. จงแสดงวา 2 | n(n + 1) ทุกคา n ∈ N 34. จงแสดงวา 3 | n(n + 1)(n + 2) ทุกคา n ∈ N 35. จงแสดงวา 4 | n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ทกุ คา n ∈ N 36. ให m เปนจํานวนเต็มบวก จงแสดงวา m | n(n + 1)(n + 2) ... (n + m - 1) 37. จงแสดงวา 3 | ( n3 - n) ทุกคา n ∈ N 38. จงแสดงวา 5 | ( n5 - n) ทกุ คา n ∈ N 39. จงแสดงวา 7 | ( n7 - n) ทกุ คา n ∈ N 40. จงแสดงวา 11 | ( n11 - n) ทกุ คา n ∈ N 41. จงแสดงวา 3 | n( n2 + 2) ทกุ คา n ∈ N 42. จงแสดงวา 24 | (2n - 1)((2n - 1) 2 - 1) ทกุ คา n ∈ N 43. จงแสดงวา 6 | n(n + 1)(2n + 1) ทุกคา n ∈ N 44. จงแสดงวา p| ⎜⎛ p ⎟⎞ ทุกจํานวนเฉพาะ p และ r = 1, 2, ..., p - 1 ⎝ r ⎠ 45. กําหนดให p เปนจํานวนเฉพาะ จงแสดงวา p | ( np - n) ทุกคา n ∈ N 46. จงแสดงวา 35 | ( 36n - 26n ) ทกุ คา n ∈ N 47. จงแสดงวา 30 | ( 24n+1 - 2) ทกุ คา n ∈ N 48. จงแสดงวา 20 | (112n - 1) ทกุ คา n ∈ N 49. จงแสดงวา 8 | n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ทุกคา n ∈ N 50. จงแสดงวา 120 | ( n5 - 5 n3 + 4n) ทกุ คา n ∈ N 51. จงแสดงวา 7 | ( 32n+1 + 2n+2 ) ทุกคา n ∈ N 52. จงแสดงวา 6 | (n( n2 + 5)) ทุกคา n ∈ N 53. จงแสดงวา 5 | ( 22n−1 + )32n−1 ทุกคา n ∈ N รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 13 54. ให k เปน จํานวนเตม็ บวกคี่ จงแสดงวา n (n + 1) | (1k + 2k + 3k + ... + nk ) ทุกคา n ∈ N 2 55. จงแสดงวา ทกุ จํานวนจริง a ≥ 2 จะได an > n ทกุ คา n ∈ N 56. จงแสดงวา 3n ≥ 1 + 2n ทกุ คา n ∈ N 57. ให m เปนจํานวนเตม็ บวก จงแสดงวา 1 + n ≤ (1 + 1 ) n ทุกคา n ∈ N mm 58. ให m เปนจํานวนจรงิ บวก จงแสดงวา (1 + 1 ) n < 1 + n + n2 ทกุ คา n ∈ N และ n ≤ m m m m2 59. จงแสดงวา 2 ≤ (1 + 1 ) n ≤ 3 ทุกคา n ∈ N n 60. จงแสดงวา n! > ( n ) n ทกุ คา n ∈ N e 61. จงแสดงวา n! < n( n ) n ทุกคา n ≥ 7 e 62. จงแสดงวา ( n ) n < n! < n( n ) n ทกุ คา n = 7, 8, ... ee 63. จงแสดงวา 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n −1) < 1 ทุกคา n ∈ N 2 4 6 2n 3n +1 64. กําหนดให a1 = 1 และ an = (n) an−1 จงแสดงวา an = n! 65. กําหนดให an =-n a n −1 + n!, a0 = 1 จงแสดงวา an = ⎪⎧ n! ; n เปน เลขคู ⎨ 0 ; n เปนเลขค่ี ⎪⎩ 66. กําหนดให an =2 a n −1 + (−1)n , a0 = 2 จงแสดงวา an = 5 ( 2n ) + 1 (−1)n 3 3 67. กําหนดให an+1 = an ( an + 2), a1 = 3 จงแสดงวา an = (2)2n - 1 68. กําหนดให an = an−1 + 3(n - 1), a0 = 1 จงแสดงวา an = 1 (n - 1)n + 1 2 69. กําหนดให a1 = 3, a2 = 7, an = 3 an−1 - 2 an−2 จงแสดงวา an = 2n+1 - 1 70. กําหนดให an = an−2 , a0 = 1 จงแสดงวา a2n = 1− 2n (2n)! n(n − 3) 71. กําหนดให (2n + 1)(2n) an - 7 an−1 = 0, a1 = 7 จงแสดงวา an = 7n 6 (2n +1)! 72. กําหนดให n an + 2 an−2 = 0, a0 = 0, a1 = 1 จงแสดงวา a2n = (−1)n n! 73. กําหนดให an = 2 an−1 + 3 an−2 , a0 = 1, a1 = 1 จงแสดงวา an = - 1 ( 3n + (−1)n ) 2 74. กําหนดให an = 3 an−1 + 4 an−2 , a0 = 1, a1 = 1 จงแสดงวา an = 2 ( 4n ) + 3 (−1)n 5 5 75. กําหนดให a1 = 2 และ an = an−1 + n จงแสดงวา an = 1 + 1 n(n + 1) 2 76. กําหนดให an = a n −1 + n(n - 1), a0 = 3 จงแสดงวา an = 2 ⎝⎜⎛ n + 1⎠⎟⎞ +3 3 77. กําหนดให an = 3 an−1 - 2, a0 = 0 จงแสดงวา an = - 3n + 1 78. กําหนดให an = a n −1 + 3 n2 , a0 = 0 จงแสดงวา an = 6 ⎜⎝⎛ n + 2 ⎞⎠⎟ - 3 ⎛⎜⎝ n + 1⎞⎟⎠ 3 2 79. กําหนดให an = 2 an−1 + n, a0 = 1 จงแสดงวา an = 3( 2n ) - n - 2 80. กําหนดให an = 2 an−1 + 1, a1 = 1 จงแสดงวา an = 2n - 1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

14 Mathematical Induction 81. จงแสดงวา 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + ... + (1 + 3 + 5 + ... + (1 + 2(n - 1)) = n (n + 1)(2n + 1) 6 82. ให S1 = { 1 } S2 = { 2, 3 } S3 = { 4, 5, 6 } S4 = { 7, 8, 9, 10 } : จงหาผลบวกของสมาชิกในเซต Sn 83. จงแสดงวา 2n < n! ทุกคา n ≥ 4 84. จงแสดงวา (2n)! < 22n (n!) 2 ทกุ คา n ∈ N 85. จงแสดงวา 2304 | ( 72n - 48n - 1) ทกุ คา n ∈ N 86. จงแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 ≤ 2 n - 1 ทุกคา n ∈ N 12 3 n 87. จงแสดงวา 6400 | ( 92n - 80n - 1) ทกุ คา n ∈ N 88. จงแสดงวา 3 | ( 4n + 2) ทกุ คา n ∈ N 89. จงแสดงวา 13 | ( 42n+1 + 3n+2 ) ทุกคา n ∈ N 90. จงแสดงวา 24 | (713( 93n−2 ) + 15) ทกุ คา n ∈ N 91. จงแสดงวา 24 | (16n + 93n−2 - 1) ทกุ คา n ∈ N 92. จงแสดงวา 9 | (2⋅10n + 3⋅10n−1 + 4) ทุกคา n ∈ N 93. จงแสดงวา 11 | (8⋅102n + 6⋅102n−1 + 9) ทกุ คา n ∈ N 94. จงแสดงวา 1 + n < 2n ทุกคา n ≥ 2 95. จงแสดงวา 14 + 24 + 34 ... + (n - 1) 4 < n5 ทกุ คา n ∈ N 5 96. จงแสดงวา n5 < 14 + 24 + 34 ... + (n - 1) 4 + n4 ทกุ คา n ∈ N 5 97. จงแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 ≥ n ทกุ คา n ∈ N 12 3 n 98. จงแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 ≤2- 1 ทกุ คา n ∈ N 12 22 32 n2 n 99. กําหนดให an +1 = 2 n an , a0 = 1 จงแสดงวา an = 2( 3n−1 ) ทุกคา n ∈ N ∑ i=0 100. กําหนดให an +1 = 4an - 1, a0 = 1 จงแสดงวา an = 2 ( 4n ) + 1 ทุกคา n ∈ N 3 3 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 15 เฉลยแบบฝก หัด อุปนยั เชงิ คณิตศาสตร 1. จงแสดงวา 7 | ( 8n - 14n + 27) ทกุ คา n ∈ N 1. แนวคิด ให an = 8n - 14n + 27 เพราะฉะนัน้ a1 = 81 - 14(1) + 27 = 21 ให P(n) แทนขอ ความ “ 7 | an ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา a1 = 21 เพราะฉะนั้น 7 | a1 เพราะฉะนัน้ P(1) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปนจรงิ เมือ่ k ≥ 1 เพราะฉะนน้ั 7 | ak -ak+1 ak = ( 8k+1 - 14(k + 1) + 27) - ( 8k - 14k + 27) = 8k+1 - 8k - 14 = 8k (8 - 1) - 14 = 7( 8k - 2) เพราะฉะนั้น ak+1 = 7( 8k - 2) + ak เพราะวา 7 | ak เพราะฉะนน้ั 7 | (7( 8k - 2) + ak ) เพราะฉะน้นั 7 | ak+1 เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปน จรงิ โดยอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนั้น 7 | ( 8n - 14n + 27) ทกุ คา n ∈ N † รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

16 Mathematical Induction 2. จงแสดงวา 6 | ( n3 + 11n) ทุกคา n ∈ N 2. แนวคดิ ให an = n3 + 11n เพราะฉะนน้ั a1 = 12 ให P(n) แทนขอความ “ 6 | an ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา a1 = 12 เพราะฉะน้นั 6 | a1 เพราะฉะน้ัน P(1) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เมือ่ k ≥ 1 เพราะฉะนัน้ 6 | ak ak+1 - ak = ((k + 1) 3 + 11(k + 1)) - ( k3 + 11k) = (k + 1) 3 - k3 + 11 = k3 + 3 k2 + 3k + 1 - k3 + 11 = 3( k2 + k + 4) = 3(k(k + 1) + 4) เพราะฉะน้นั ak+1 = 3(k(k + 1) + 4) + ak เพราะวา k(k + 1) เปน เลขคู เพราะฉะนัน้ 2 | k(k + 1) เพราะฉะนน้ั 2 | (k(k + 1) + 4) เพราะวา gcd(2, 3) = 1 และ 2 | (k(k + 1) + 4) และ 3 | (3(k(k + 1) + 4)) เพราะฉะนัน้ 6 | (3(k(k + 1) + 4)) เพราะวา 6 | (3(k(k + 1) + 4)) และ 6 | ak เพราะฉะน้นั 6 | (3(k(k + 1) + 4) + ak ) เพราะฉะนน้ั 6 | ak+1 เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนั้น 6 | ( n3 + 11n) ทกุ คา n ∈ N † รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 17 3. จงแสดงวา 3n > n4 ทกุ คา n ≥ 8 3. แนวคดิ ให bn = 3n ทุกคา n ≥ 1 n4 ให P(n) แทนขอ ความ “ bn > 1 ” (1) การแสดงวา P(8) เปนจริง เพราะวา 38 = 6561 > 4096 = 84 เพราะฉะนั้น b1 > 1 เพราะฉะน้นั P(8) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปน จริง เม่ือ k ≥ 1 เพราะฉะน้ัน bk > 1 ... (1) ... (2) 3k +1 3k k4 k4 (k + 1)4 k4 (k + 1)4 (k + 1)4 = = 3 = 3bk+1 bk จากหมายเหตจุ ะได k4 > 1 ... (3) (k + 1)4 3 จาก (1), (2) และ (3) จะได bk+1 > 1 เพราะฉะน้นั P(k + 1) เปนจรงิ โดยอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทุกคา n ≥ 8 เพราะฉะน้นั 3n > n4 ทกุ คา n ≥ 8 หมายเหตุ การแสดงวา k4 > 1 (k + 1)4 3 แบบท่ี 1 ให xn = ( 1 n n )4, n ≥1 + เพราะฉะนน้ั xn+1 = ( n + 1 ) 4 ( 1 + n ) 4 = ( n + 1 1 + n ) 4 = ( n2 + 2n + 1 ) 4 = (1 + 1 ) 4 xn 1 + (n + 1) n n+2 n n2 + 2n n2 + 2n เพราะฉะน้นั xn +1 > 1 เพราะฉะนั้น xn +1 > xn xn เพราะวา lim ( n ) 4 = lim (1 - 1 )4 = 1 และ xn +1 > xn ทุกคา n ≥ 8 n→∞ 1+ n n→∞ 1+ n เพราะฉะน้ัน xn > 1 ทุกคา n ≥ 8 เพราะฉะนั้น ( 1 n n )4 > 1 ทุกคา n ≥ 8 + 3 แบบท่ี 2 4 3 = 3 > 1.732 > 1.69 = 1.3 4 3 > 1.3 ⇒ 4 3 - 1 > 0.3 ⇒ n( 4 3 - 1) > (0.3)n เม่ือ n ≥ 1 ⇒ 43n - n > 1 เมื่อ n ≥ 4 ⇒ 43n > n + 1 เมอ่ื n ≥ 4 ⇒ n > 1 เมอ่ื n ≥ 4 1+ n 43 เมอ่ื n ≥ 4 ⇒ ( n ) 4 > 1 † + 3 1 n รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

18 Mathematical Induction 4. จงแสดงวา 4n > n4 ทกุ คา n ≥ 5 4. แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ 4n > n4 ” (1) การแสดงวา P(5) เปนจริง เพราะวา 45 = 1024 > 625 = 54 เพราะฉะนั้น P(5) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 4k +1 = 4 4k > 4( k4 ) (P(k) เปน จริง ⇒ 4k > k4 ) = k4 + k4 + k4 + k4 > k4 + 4 k3 + 6 k2 + 4k + 1 = (k + 1) 4 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปนจริง โดยอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ≥ 5 เพราะฉะน้นั 4n > n4 ทกุ คา n ≥ 5 † รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 19 † 5. จงแสดงวา n3 ≤ 2n ทกุ คา n ≥ 10 5. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ n3 ≤ 2n ” (1) การแสดงวา P(10) เปนจริง เพราะวา 103 = 1000 ≤ 1024 = 210 เพราะฉะนัน้ P(10) เปน จริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เม่ือ k ≥ 10 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปน จริง เม่ือ k ≥ 10 (k + 1) 3 = k3 + 3 k2 + 3k + 1 ≤ 2k + 3 k2 + 3k + 1 ≤ 2k + 3 k2 + 3 k2 + 3 k2 ≤ 2k + 9 k2 ≤ 2k + k3 (เพราะวา k ≥ 10) ≤ 2k + 2k (P(k) เปน จริง ⇒ k3 ≤ 2k ) ≤ 2k +1 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปน จรงิ โดยอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทกุ คา n ≥ 16 เพราะฉะนั้น n3 ≤ 2n ทกุ คา n ≥ 10 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

20 Mathematical Induction 6. จงแสดงวา n4 ≤ 2n ทกุ คา n ≥ 16 6. แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ n4 ≤ 2n ” (1) การแสดงวา P(16) เปนจรงิ เพราะวา 164 = 216 เพราะฉะน้ัน P(16) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เมอื่ k ≥ 16 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปน จรงิ เมอ่ื k ≥ 16 (k + 1) 4 = k4 + 4 k3 + 6 k2 + 4k + 1 ≤ 2k + 4 k3 + 6 k2 + 4k + 1 ≤ 2k + 4 k3 + 6 k3 + 4 k3 + k3 ≤ 2k + 15 k3 ≤ 2k + k4 (เพราะวา k ≥ 16) ≤ 2k + 2k (P(k) เปนจริง ⇒ k4 ≤ 2k ) ≤ 2k +1 † เพราะฉะนั้น P(k + 1) เปน จริง โดยอุปนัยเชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทุกคา n ≥ 16 เพราะฉะน้ัน n4 ≤ 2n ทุกคา n ≥ 16 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 21 † 7. จงแสดงวา 3 | ( 7n + 2) ทกุ คา n ∈ N 7 แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 3 | ( 7n + 2) ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา 3 | (7 + 2) เพราะฉะนัน้ P(1) เปนจริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปน จริง เมอ่ื k ≥ 1 7k+1 + 2 = 7 7k + 2 = 7( 7k + 2) - 7(2) + 2 = 7( 7k + 2) - 12 เพราะวา (P(k) เปน จรงิ ⇒ 3 | ( 7k + 2)) และ 3 | 12 เพราะฉะนนั้ 3 | ( 7k+1 + 2) เพราะฉะนั้น P(k + 1) เปน จรงิ โดยอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนั้น 3 | ( 7n + 2) ทกุ คา n ∈ N รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

22 Mathematical Induction 8. จงแสดงวา 4 | ( 5n + 3) ทกุ คา n ∈ N † 8. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 4 | ( 5n + 3) ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จรงิ เพราะวา 4 | (5 + 3) เพราะฉะนั้น P(1) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปนจริง เม่อื k ≥ 1 5k+1 + 3 = 5 5k + 3 = 5( 5k + 3) - 15 + 3 = 5( 5k + 3) - 12 เพราะวา (P(k) เปนจริง ⇒ 4 | ( 5k + 3)) และ 4 | 12 เพราะฉะน้นั 4 | ( 5k+1 + 3) เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปน จริง โดยอุปนยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะน้นั 4 | ( 5n + 3) ทกุ คา n ∈ N รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 23 9. จงแสดงวา 9 | ( n3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 ) ทุกคา n ∈ N ... (1) 9. แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 9 | ( n3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3) ” ... (2) (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง ... (3) เพราะวา (13 + 23 + 33 ) = 36 เพราะฉะนนั้ 9 | (13 + 23 + 33 ) เพราะฉะน้นั P(1) เปนจริง ... (4) (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปนจริง เมอื่ k ≥ 1 † เพราะฉะนัน้ 9 | ( k3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 ) (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 = k3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 - k3 (k + 3) 3 - k3 = (k + 3 - k)((k + 3) 2 + (k + 3)k + k2 ) = (3)( k2 + 6k + 9 + k2 + 3k + k2 ) = (3)(3 k2 + 9k + 9) = (9)( k2 + 3k + 3) จาก (2) และ (3) จะได (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 = k3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (9)( k2 + 3k + 3) จาก (1) และ (4) จะได 9 | ((k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3) เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจรงิ โดยอปุ นัยเชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 9 | ( n3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 ) ทุกคา n ∈ N รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

24 Mathematical Induction 10. จงแสดงวา 1 + 5 + 52 + ... + 5n−1 = 1 ( 5n - 1) ทกุ คา n ∈ N 4 10. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 1 + 5 + 52 + ... + 5n−1 = 1 ( 5n - 1) ” 4 (1) การแสดงวา P(1) เปนจรงิ เพราะวา 1 ( 51 - 1) = 4 = 1 เพราะฉะนั้น P(1) เปนจรงิ 44 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปนจรงิ เมอ่ื k ≥ 1 1 + 5 + 52 + ... + 5k−1 = 1 ( 5k - 1) (P(k) เปนจรงิ ) 4 (บวกดว ย 5k ท้ังสองขา ง) 1 + 5 + 52 + ... + 5k−1 + 5k = 1 ( 5k - 1) + 5k 4 = 1 ( 5k - 1 + 4⋅ 5k ) 4 = 1 (5⋅ 5k - 1) 4 = 1 ( 5k+1 - 1) 4 เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนัยเชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนัน้ 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5n−1 = 1 ( 5n - 1) ทุกคา n ∈ N † 4 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 25 † 11. กําหนด m เปนจํานวนเต็มบวก จงแสดงวา m! n! < (m + n)! ทุกคา n ∈ N 11. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ m! n! < (m + n)! ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา m! 1! = m! < (m + 1)! เพราะฉะน้นั P(1) เปน จริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จริง เม่อื k ≥ 1 m! (k + 1)! = m! k! (k + 1) ≤ (m + k)! (k + 1) (P(k) เปน จริง ⇒ m! k! < (m + k)!) < (m + k)! (m + k + 1) = (m + k + 1)! เพราะฉะน้นั P(k + 1) เปน จริง โดยอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนนั้ m! n! < (m + n)! ทกุ คา n ∈ N รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

26 Mathematical Induction 12. การแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ทกุ คา n ∈ N 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 12. แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ” 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 (1) การแสดงวา P(1) เปน จรงิ เพราะวา 1 = 1 = 1 เพราะฉะน้นั P(1) เปนจรงิ 1+1 2 1⋅ 2 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 เพราะฉะน้ัน 1 + 1 + 1 + ... + 1 = k บวกดว ย 1 ท้ังสองขา งจะได 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 k(k +1) k +1 (k + 1)(k + 2) 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = k k 1 + 1 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 k(k +1) (k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = k (k + k k 2 ) k +1 + = k ( k2 + 2k +1 ) k +1 k + 2 = (k +1)2 (k +1)(k + 2) = (k +1) (k +1) +1 เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนนั้ 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ทกุ คา n ∈ N † 1⋅ 2 3⋅4 4⋅5 n(n + 1) n +1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 27 † 13. การแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 =n ทุกคา n ∈ N 1⋅ 4 4⋅7 7 ⋅10 (3n − 2)(3n + 1) 3n +1 13. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 1 + 1 + 1 + ... + 1 =n ” 1⋅ 4 4⋅7 7 ⋅10 (3n − 2)(3n + 1) 3n +1 (1) การแสดงวา P(1) เปน จรงิ เพราะวา 1 = 1 เพราะฉะน้ัน P(1) เปนจรงิ (3(1) − 2)(3(1) +1) (1)(4) (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จริง เมอ่ื k ≥ 1 เพราะฉะน้นั 1 + 1 + 1 + ... + 1 =k 1⋅ 4 4⋅7 7 ⋅10 (3k − 2)(3k +1) 3k +1 บวกท้ังสองขางดว ย 1 จะได (3(k +1) − 2)(3(k +1) +1) 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 1⋅ 4 4⋅7 7 ⋅10 (3k − 2)(3k +1) (3(k +1) − 2)(3(k +1) +1) =k+ 1 3k +1 (3(k +1) − 2)(3(k +1) +1) =k+ 1 3k +1 (3k +1)(3k + 4) = 1 (k + 1 4 ) 3k +1 3k + = 1 ( 3k2 + 4k +1 ) 3k +1 3k +4 = 1 (3k +1)(k +1) 3k +1 3k + 4 = k +1 3(k +1) +1 เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปน จรงิ โดยอุปนัยเชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนน้ั 1 + 1 + ... + 1 = n ทุกคา n ∈ N 1⋅ 4 4⋅7 (3n − 2)(3n + 1) 3n +1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

28 Mathematical Induction 14. จงแสดงวา (1 - 1 )(1 - 1 )(1 - 1 ) ... (1 - n 1 ) = 1 ทกุ คา n ∈ N 2 3 4 +1 n +1 14. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ (1 - 1 )(1 - 1 )(1 - 1 ) ... (1 - n 1 ) = 1 ” 2 3 4 +1 n +1 (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา 1 = 1 =1- 1 เพราะฉะนน้ั P(1) เปนจริง 1+1 2 2 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 เพราะฉะนนั้ (1 - 1 )(1 - 1 )(1 - 1 ) ... (1 - 1 )= 1 คณู ทั้งสองขางดวย (1 - (k 1 +1 ) จะได 2 3 4 k +1 + 1) k +1 (1 - 1 )(1 - 1 )(1 - 1 ) ... (1 - k 1 )(1 - (k 1 + 1 ) = ( k 1 1 )(1 - (k 1 + 1 ) 2 3 4 +1 + 1) + + 1) = ( 1 )( k + 2 −1 ) k +1 (k +1) +1 =1 (k +1) +1 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปนจริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนัน้ (1 - 1 )(1 - 1 )(1 - 1 ) ... (1 - 1 1 ) = 1 ทกุ คา n ∈ N † 2 3 4 n+ n +1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 29 † 15. จงแสดงวา 12 + 22 + 32 + ... + (n - 1) 2 < n3 ทกุ คา n ∈ N 3 15. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 12 + 22 + 32 + ... + (n - 1) 2 < n3 ” 3 (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา (1 - 1) 2 =0< 13 เพราะฉะนนั้ P(1) เปนจริง 3 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เมือ่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เม่ือ k ≥ 1 เพราะฉะนัน้ 12 + 22 + 32 + ... + (k - 1) 2 < k3 3 เพราะฉะนน้ั 12 + 22 + 32 + ... + (k - 1) 2 + k2 < k3 + k2 3 = k3 + 3k2 3 < k3 + 3k2 + k + 1 33 = k3 + 3k2 + 6k + 3 3 = (k +1)3 3 เพราะฉะนั้น 12 + 22 + 32 + ... + (k - 1) 2 + k2 < (k +1)3 3 โดยอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 12 + 22 + 32 + ... + (n - 1) 2 < n3 ทุกคา n ∈ N 3 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

30 Mathematical Induction 16. การแสดงวา n3 < 12 + 22 + 32 + ... + n2 ทกุ คา n ∈ N 3 16. แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ n3 < 12 + 22 + 32 + ... + n2 ” 3 (1) การแสดงวา P(1) เปนจรงิ เพราะวา 13 = 1 <1= 12 เพราะฉะนัน้ P(1) เปน จรงิ 3 3 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจริง สมมติ P(k) เปนจริง เมอื่ k ≥ 1 เพราะฉะนัน้ 12 + 22 + 32 + ... + k2 > k3 เพราะฉะน้ัน 3 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 > k3 + (k + 1) 2 3 = k3 + k2 + 2k + 1 3 = k3 + 3k2 + 6k + 3 3 = k3 + 3k2 + 3k +1 + 3k + 2 3 33 > k3 + 3k 2 + 3k +1 3 = (k +1)3 3 เพราะฉะนนั้ 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 > (k +1)3 เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจริง 3 โดยอุปนัยเชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนัน้ n3 < 12 + 22 + 32 + ... + n2 ทุกคา n ∈ N † 3 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 31 † 17. จงแสดงวา 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ทกุ คา n ∈ N 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 17. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ” 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา 1 = 1 = 1 เพราะฉะนั้น P(1) เปนจริง 1⋅2 2 1+1 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จริง เมอ่ื k ≥ 1 เพราะฉะน้นั 1 + 1 + 1 + ... + 1 = k 1⋅2 2⋅3 3⋅4 k(k +1) k +1 เพราะฉะน้ัน 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = k + 1 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 k(k +1) (k + 1)(k + 2) k +1 (k + 1)(k + 2) = k(k + 2) +1 (k +1)(k + 2) = k2 + 2k +1 (k + 1)(k + 2) = (k +1)2 (k +1)(k + 2) = (k +1) (k +1) +1 เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปน จริง โดยอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนั้น 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ทกุ คา n ∈ N 1⋅ 2 2⋅3 3⋅4 n(n + 1) n +1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

32 Mathematical Induction 18. การแสดงวา -12 + 22 - 32 + 42 + ... + (−1)n n2 = (−1)n n(n + 1) ทุกคา n ∈ N 2 18. แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ -12 + 22 - 32 + 42 + ... + (−1)n n2 = (−1)n n(n + 1) ” 2 (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา -12 = -1 = (-1)1 (1)(1+1) เพราะฉะน้ัน P(1) เปนจริง 2 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จรงิ เมอ่ื k ≥ 1 เพราะฉะนนั้ -12 + 22 - 32 + 42 + ... + (−1)k k2 = (−1)k k(k +1) 2 เพราะฉะน้ัน -12 + 22 - 32 + 42 + ... + (−1)k k2 + (−1)k+1 (k + 1) 2 = (−1)k k(k +1) + (−1)k+1 (k + 1) 2 2 = (−1)k +1 (- k(k + 1) + (k + 1) 2 ) 2 = ((−1)k+1 − k2 − k + 2k2 + 4k + 2 ) 2 = (−1)k+1 ( k2 + 3k + 2 ) 2 = (−1)k+1 (k +1)((k +1) +1) 2 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปนจริง โดยอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะน้นั -12 + 22 - 32 + 42 + ... + (−1)n n2 = (−1)n n(n + 1) ทุกคา n ∈ N † 2 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 33 19. จงแสดงวา 5 + 6 + 7 + ... + n+4 = n(3n + 7) ทุกคา n ∈ N 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 n(n + 1)(n + 2) 2(n +1)(n + 2) 19. แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 5 + 6 + 7 + ... + n+4 = n(3n + 7) ” 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 n(n + 1)(n + 2) 2(n +1)(n + 2) (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา 5 = =(1)(3 + 7) 10 = 5 เพราะฉะนั้น P(1) เปน จริง 1⋅ 2 ⋅ 3 12 6 2(1+1)(1+ 2) (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปน จริง เมอ่ื k ≥ 1 เพราะฉะน้ัน 5 + 6 + 7 + ... + k+4 = k(3k + 7) 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 k(k + 1)(k + 2) 2(k +1)(k + 2) เพราะฉะน้ัน 5 + 6 + 7 + ... + k+4 + k+5 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 k(k + 1)(k + 2) (k +1)(k + 2)(k + 3) = +k(3k + 7) k+5 2(k +1)(k + 2) (k +1)(k + 2)(k + 3) = (1 k(3k + 7) + k+5 ) (k + 1)(k + 2) 2 k+3 = ( )1 k(3k + 7)(k + 3) + 2(k + 5) (k + 1)(k + 2) 2(k + 3) = 3k3 + 16k2 + 21k + 2k + 10 2(k + 1)(k + 2)(k + 3) = 3k3 +16k2 + 23k +10 2(k +1)(k + 2)(k + 3) = (3k +10)(k2 + 2k +1) 2(k +1)(k + 2)(k + 3) = (k +1)2 (3k +10) 2(k + 2)(k + 3)(k +1) = (k +1)(3(k +1) + 7) 2(k + 2)(k + 3) เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจรงิ โดยอปุ นัยเชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 5 + 6 + 7 + ... + n+4 = n(3n + 7) ทุกคา n ∈ N † 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 n(n + 1)(n + 2) 2(n +1)(n + 2) รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

34 Mathematical Induction 20. การแสดงวา (n + 1)(n + 2)(n + 3) ... (2n - 1)(2n) = 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) ทุกคา n ∈ N 20. แนวคดิ ให P(n) แทนขอความ “ (n + 1)(n + 2)(n + 3) ... (2n - 1)(2n) = 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) ” (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา 2 = 21(1) เพราะฉะนน้ั P(1) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เม่ือ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจริง เม่อื k ≥ 1 เพราะฉะนน้ั (k + 1)(k + 2)(k + 3) ... (2k - 2)(2k - 1)(2k) = 2k (1⋅3⋅5⋅ ... (2k - 5)(2k - 3)(2k - 1)) เพราะวา (k + 2)(k + 3)(k + 4) ... (2(k + 1) - 2)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1)) = (k + 2)(k + 3)(k + 4) ... (2k)(2k + 1)(2k + 2) = (k + 2)(k + 3)(k + 4) ... (2k)(2k + 1)(k + 1)(2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) ... (2k)(2k + 1)(2) = 2k (1⋅3⋅5⋅ ... (2k - 3)(2k - 1))(2k + 1)(2) (P(k) เปนจริง) = 2k+1 (1⋅3⋅5⋅ ... (2k - 3)(2k - 1)(2k + 1)) เพราะฉะนัน้ P(k + 1) เปนจริง โดยอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะน้นั (n + 1)(n + 2)(n + 3) ... (2n - 1)(2n) = 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) ทุกคา n ∈ N หมายเหตุ โดยการจัดรปู แบบพีชคณิต ให x = (n + 1)(n + 2)(n + 3) ... (2n - 1)(2n) y = 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) เพราะวา n! x = (1⋅2⋅3⋅ ... n) (n + 1)(n + 2) ... (2n - 1)(2n) = (2n)! และ n! y = (1⋅2⋅3⋅ ... n)( 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) = 2n (1⋅2⋅3⋅ ... n)(1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) = (2⋅4⋅6⋅ ... 2n)(1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) = (2n)! เพราะฉะนั้น n! x = n! y เพราะฉะนั้น x = y เพราะฉะน้นั (n + 1)(n + 2)(n + 3) ... (2n - 1)(2n) = 2n (1⋅3⋅5⋅ ... (2n - 3)(2n - 1)) † รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 35 21. การแสดงวา 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + n(n + 1) = n(n +1)(n + 2) ทุกคา n ∈ N 3 21. แนวคดิ แบบที่ 1 ให P(n) แทนขอความ “ 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + n(n + 1) = n(n +1)(n + 2) ” 3 (1) การแสดงวา P(1) เปนจรงิ เพราะวา 1⋅2 = 2 = (1)(1+1)(1+ 2) เพราะฉะนั้น P(1) เปนจรงิ 3 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปน จรงิ เม่อื k ≥ 1 เพราะฉะนั้น 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + k(k + 1) = k(k +1)(k + 2) 3 1⋅2 + 2⋅3 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = k(k +1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) 3 = (k + 1)(k + 2)( k + 1) 3 = (k +1)(k + 2)(k + 3) 3 เพราะฉะนนั้ P(k + 1) เปนจรงิ โดยอปุ นยั เชิงคณติ ศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนนั้ 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + n(n + 1) = n(n +1)(n + 2) ทุกคา n ∈ N 3 แบบท่ี 2 1⋅2 + 2⋅3 + 3⋅4 + ... + n(n + 1) = n i(i + 1) = n ( i2 + i) = n i2 + n i ∑ ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 i =1 = n (n + 1)(2n + 1) + n (n + 1) 62 = n(n + 1)( (2n +1) + 1 ) 62 = n(n + 1)( 2n +1+ 3 ) 6 = n(n + 1)(n + 2) † 3 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

36 Mathematical Induction 22. การแสดงวา 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n +1)(n + 2)(n + 3) 4 22. แนวคดิ แบบที่ 1 ให P(n) แทนขอความ “ 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n +1)(n + 2)(n + 3) ” 4 (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง เพราะวา 1⋅2⋅3 = 6 = (1)(1+1)(1+ 2)(1+ 3) เพราะฉะนน้ั P(1) เปน จริง 4 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมอ่ื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เม่ือ k ≥ 1 เพราะฉะนั้น 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + k(k + 1)(k + 2) = k(k +1)(k + 2)(k + 3) 4 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = k(k +1)(k + 2)(k + 3) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) 4 = (k + 1)(k + 2)(k + 3)( k + 1) 4 = (k +1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) 4 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนนั้ 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n +1)(n + 2)(n + 3) ทุกคา n ∈ N 4 แบบที่ 2 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 + 3⋅4⋅5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n i(i + 1)(i + 2) = n ( i3 + 3 i2 + 2i) ∑ ∑ i =1 i =1 = n i3 + 3 n i2 +2 n i ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 = ( n(n +1) ) 2 + 3( n (n + 1)(2n + 1)) + 2( n (n + 1)) 26 2 = n(n + 1)( n(n +1) + (2n +1) + 4) 42 = n(n +1) (n(n + 1) + 2(2n + 1) + 4) 4 = n(n +1) ( n2 + 5n + 6) 4 = n(n +1)(n + 2)(n + 3) † 4 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 37 23. ให p เปนจํานวนเตม็ บวก การแสดงวา (1⋅2⋅3 ... p) + (2⋅3⋅4 ... (p + 1)) + (3⋅4⋅5 ... (p + 2)) + ... + (n(n + 1) ... (n + p - 1)) = n(n + 1)(n + 2) ... (n + p) p +1 23. แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ (1⋅2⋅3 ... p) + (2⋅3⋅4 ... (p + 1)) + (3⋅4⋅5 ... (p + 2)) + ... .. + (n(n + 1) ... (n + p - 1)) = n(n + 1)(n + 2) ... (n + p) p +1 ” (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา 1⋅2⋅3 ... p = (1)(1+1)(1+ 2)...(1+ p −1)(1+ p) เพราะฉะนั้น P(1) เปนจริง p +1 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปนจริง เมื่อ k ≥ 1 เพราะฉะนัน้ (1⋅2⋅3 ... p) + (2⋅3⋅4 ... (p + 1)) + (3⋅4⋅5 ... (p + 2)) + ... .. + (k (k + 1) ... (k + p - 1)) = k(k + 1)(k + 2) ... (k + p) p +1 เพราะวา (1⋅2⋅3 ... p) + (2⋅3⋅4 ... (p + 1)) + ... + (k (k + 1) ... (k + p - 1)) + ((k + 1)(k + 2) ... (k + 1 + p - 1)) = k(k + 1)(k + 2) ... (k + p) + ((k + 1)(k + 2) ... (k + 1 + p - 1)) p +1 = (k + 1)(k + 2) ... (k + p)( p k 1 + 1) + = (k + 1)(k + 2) ... (k + p)(k + p + 1) p +1 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนัยเชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปน จรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนน้ั (1⋅2⋅3 ... p) + (2⋅3⋅4 ... (p + 1)) + (3⋅4⋅5 ... (p + 2)) + ... + (n(n + 1) ... (n + p - 1)) = n(n + 1)(n + 2) ... (n + p) ทกุ คา n ∈ N † p +1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

38 Mathematical Induction 24. จงแสดงวา 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n − 1 −1)n ), n ≥ 4 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (n − 3)(n − 2)(n −1)n 2)(n 36 24. แนวคิด ให P(n) แทนขอ ความ “ 1 + 1 + ... + 1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (n − 3)(n − 2)(n −1)n = 1(1 - (n 1 ) ” − 2)(n −1)n 36 (1) การแสดงวา P(4) เปน จริง เพราะวา 1 ( 1 - (4 − 1 −1)(4) ) = 1(1 - 1 )= 1 = 1 เพราะฉะน้ัน P(4) เปน จรงิ 36 2)(4 24 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 36 24 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เม่ือ k ≥ 4 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปนจริง เมอื่ k ≥ 4 1 + 1 + ... + 1 + 1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (k − 3)(k − 2)(k −1)k (k − 2)(k −1)k(k +1) = 1(1 - 1 )+ 1 (k − 2)(k −1)k (k − 2)(k −1)k(k +1) 36 = 1 - 1 + 1 18 3(k − 2)(k −1)k (k − 2)(k −1)k(k +1) = 1 - ( 3(k − k +1−3 + 1) ) 18 2)(k −1)k(k = 1 - k−2 18 3(k − 2)(k −1)k(k +1) = 1(1 - (k − 1 + 1) ) 1)k(k 36 เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจริง โดยอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะน้ัน 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n − 1 −1)n ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (n − 3)(n − 2)(n −1)n 2)(n 36 หมายเหตุ ผลท่ีไดค อื ∞ 1 =1 (n − 3)(n − 2)(n −1)n 18 ∑ n=4 (1) (1) 3 3 k(k +1)(k + 2) (k +1)(k + 2)(k + 3) โดยการจดั รูปพชี คณติ = -1 k(k +1)(k + 2)(k + 3) = -3 k(k +1)(k + 2)(k + 3) 11 k(k +1)(k + 2) (k +1)(k + 2)(k + 3) เพราะฉะนน้ั 3 = 1 - 1 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 3 = 1 - 1 2⋅3⋅4⋅5 2⋅3⋅4 3⋅4⋅5 3 = 1 - 1 3⋅4⋅5⋅6 3⋅4⋅5 4⋅5⋅6 : = -3 (n − 3)(n − 2)(n −1)n 11 (n − 3)(n − 2)(n −1) (n − 2)(n −1)n เพราะฉะนนั้ 3 + 3 + ... + 3 = 1 - 1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (n − 3)(n − 2)(n −1)n 1⋅ 2 ⋅ 3 (n − 2)(n −1)n = 1 - 1 6 (n − 2)(n −1)n เพราะฉะนั้น 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n 1 −1)n ) 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 2⋅3⋅4⋅5 (n − 3)(n − 2)(n −1)n − 2)(n 36 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 39 หมายเหตุ ในทํานองเดยี วกนั จะได 4 = -1 1 k(k +1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) k(k +1)(k + 2)(k + 3) (k +1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) 5 = -1 1 k(k +1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 5) k(k +1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) (k +1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)(k + 5) และเมือ่ p เปนจํานวนเตม็ บวก = -p 1 (k +1)(k + 2)...(k + p +1) k(k +1)(k + 2)...(k + p +1) 1 k(k +1)...(k + p) 1 + 1 + ... + 1 = 1( 1 - )1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 2⋅3⋅4⋅5⋅6 (n − 4)(n − 3)(n − 2)(n −1)n 4 1⋅2⋅3⋅4 (n − 3)(n − 2)(n −1)n = 1(1 - )1 4 4! (n − 3)(n − 2)(n −1)n 1 + 1 + ... + 1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 (n − 5)(n − 4)(n − 3)(n − 2)(n −1)n = 1(1 - 1 ) (n − 4)(n − 3)(n − 2)(n −1)n 5 5! 1 + 1 + ... + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...⋅ p 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... (p + 1) (n − p + 1)(n − p + 2) ... n = 1 ( 1 - )1 p −1 p! (n − p + 2)(n − p + 3) ... n นอกจากนั้นจะไดวา =∞ 1 4(4!) ∑ n=5 1 (n − 4)(n − 3)(n − 2)(n −1)n =∞ 1 5(5!) ∑ n=6 1 (n − 5)(n − 4)(n − 3)(n − 2)(n −1)n กรณีทว่ั ไปเมอ่ื p เปนจํานวนเต็มบวก =∞ † ∑ n=p 1 1 (n − p + 1)(n − p + 2)(n − p + 3) ... n (p −1)((p −1)!) รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

40 Mathematical Induction 25. จงแสดงวา 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n 1 ) ทกุ คา n ≥ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n − 1)n 22 25. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - 1 )” 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n 22 (n −1)n (1) การแสดงวา P(3) เปน จรงิ เพราะวา 1(1 - 1 )= 1(1 - 1)= 1(2)= 1 เพราะฉะน้ัน P(3) เปนจรงิ 1⋅ 2 ⋅ 3 22 (3 −1)3 22 6 26 (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เมือ่ k ≥ 3 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เม่ือ k ≥ 3 1 + 1 + ... + 1 + 1 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (k − 2)(k −1)k (k −1)(k)(k +1) = 1(1 - (k 1 ) + ( (k 1 + 1) ) (เพราะวา P(k) เปน จริง เมอื่ k ≥ 3) − 1)k −1)(k)(k 22 = 1 - 1 + 1 4 2(k −1)k (k −1)(k)(k +1) = 1 - ( k +1−2 ) 4 2(k −1)k(k +1) = 1 - ( 2(k k −1 + 1) ) 4 − 1)(k )(k = 1 - 1 4 2k(k +1) = 1(1 - 1 ) k(k +1) 22 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปน จริง โดยอปุ นยั เชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทกุ คา n ≥ 3 เพราะฉะนัน้ 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n 1 ) 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n − 1)n 22 หมายเหตุ ∞ 1 = lim ( 1 ( 1 - 1 )) = 1 (n − 2)(n −1)n n→∞ 2 2 4 ∑ (n −1)n n=3 โดยการจดั รปู พชี คณิต 1 = ( 1 ) ( 1 ) k(k +1)(k + 2) 2 2 - k(k +1) (k +1)(k + 2) เพราะฉะนัน้ 2 = 1 - 1 k(k +1)(k + 2) k(k +1) (k +1)(k + 2) 2 = 1 - 1 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 2⋅3 2 = 1 - 1 2⋅3⋅4 2⋅3 3⋅4 2 = 1 - 1 3⋅4⋅5 3⋅4 4⋅5 : = -2 (n − 2)(n −1)n 11 (n − 2)(n −1) (n −1)n เพราะฉะนั้น 2 + 2 + ... + 2 = 1 - 1 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n 2 (n −1)n เพราะฉะนน้ั 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - (n 1 ) 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n − 1)n 22 เพราะฉะน้ัน 2 = 1 - 1 k(k +1)(k + 2) k(k +1) (k +1)(k + 2) รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 41 † 2 = 1 - 1 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 2⋅3 2 = 1 - 1 2⋅3⋅4 2⋅3 3⋅4 2 = 1 - 1 3⋅4⋅5 3⋅4 4⋅5 : = -2 (n − 2)(n −1)n 1 1 (n − 2)(n −1) (n −1)n เพราะฉะนั้น 2 + 2 + ... + 2 = 1 - 1 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n 2 (n −1)n เพราะฉะนั้น 1 + 1 + ... + 1 = 1(1 - 1) 1⋅ 2 ⋅ 3 2⋅3⋅4 (n − 2)(n −1)n 22 (n −1)n รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

42 Mathematical Induction 26. การแสดงวา (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 )= 3 (1 - 1 ) 38 32n 2 32 n +1 3 9 81 26. แนวคิด แบบที่ 1 ให P(n) แทนขอ ความ “ (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 )= 3 (1 - 1 )” 38 32n 32 n +1 3 9 81 2 (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา 3 (1 - 1 ) = 3 (1 - 1) 2 321+1 2 34 = 3 (1 - 1 )(1 + 1 ) 2 32 32 = 3 (1 - 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) 2 3 3 32 = 3 ( 2 )(1 + 1 )(1 + 1 ) 2 3 3 32 = (1 + 1 )(1 + 1 ) 3 32 เพราะฉะนนั้ P(1) เปน จริง (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เมือ่ k ≥ 1 เพราะฉะน้นั (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 ) = 3 (1 - )1 38 32k 3 9 81 2 32k +1 (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 )(1 + 1) = 3 (1 - 1 )(1 + 1 ) 38 32k 32k +1 3 9 81 32k +1 2 32k +1 = 3 (1 - ( 1 )2) 2 32k +1 = 3 (1 - 1 ) (32k+1 )2 2 = 3 (1 - 1 ) 2 32k + 2 เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปน จรงิ โดยอปุ นัยเชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนน้ั (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 )= 3 (1 - 1 ) ทุกคา n ∈ N 38 32n 32 n +1 3 9 81 2 แบบท่ี 2 เพราะวา (1 - 1 )(1 + 1 ) = (1 - 1 ) 33 9 (1 - 1 )(1 + 1 ) = (1 - 1 ) 99 81 (1 - 1 )(1 + 1 ) = (1 - 1 ) = (1 - 1 ) 81 81 812 38 เพราะฉะนัน้ (1 - 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 ) 38 32n 3 3 9 81 = (1 - 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 ) 9 38 32n 9 81 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 43 † = (1 - 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 ) 38 32n 81 81 = (1 - 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 ) 38 38 32n = ... = (1 - 1 )(1 + 1 ) 32n 32n =1- 1 32n +1 เพราะฉะนน้ั (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) ... (1 + 1 )= 3 (1 - 1 ) ทกุ คา n ∈ N 32n 32 n +1 3 9 81 2 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

44 Mathematical Induction 27. การแสดงวา 1 +2 +4 + ... + 2n = 1 + 2n+1 ทุกคา n ∈ N 1+ x 1+ x2 1+ x4 1 + x2n x −1 1− x2n+1 27. แนวคดิ ให P(n) แทนขอ ความ “ 1 +2 +4 + ... + 2n = 1 + 2n+1 ” 1+ x 1+ x2 1+ x4 1+ x2n x −1 1− x2n+1 (1) การแสดงวา P(1) เปนจริง 1+ x2 + 2 + 2x x2 + 2x + 3 + = =1 2 1 + x 1+ x 2 (1 + x)(1 + x2) (1+ x)(1+ x 2 ) − (1 + x)(1 + x2) + 4 (1 + x)(1 − x)(1 + x2) + = + = =1 21+1 −1− x2 − x − x3 + 4 (1+ x)(1− x)(1+ x 2 ) x −1 1 − x21+1 14 x −1 1− x4 = = =− (x3 + x2 + x − 3) − (x −1)(x 2 + 2x + 3) x2 + 2x + 3 (1+ x)(1− x)(1+ x 2 ) (1+ x)(1− x)(1+ x 2 ) (1+ x)(1+ x 2 ) เพราะฉะน้นั P(1) เปน จรงิ (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจรงิ เมื่อ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปนจรงิ เม่อื k ≥ 1 เพราะฉะนั้น 1 + 2 + 4 + ... + 2k = 1 + 2k+1 1+ x 1+ x2 1+ x4 1+ x2k x −1 1− x2k+1 เพราะวา 1 + 2 +4 + ... + 2k + 2k+1 = ( 1 + 2k+1 ) + 2k+1 1+ x 1+ x2 1+ x4 1+ x2k 1+ x2k+1 x −1 1− x2k+1 1+ x2k+1 = 1 + (2k+1 1 + 1 ) x −1 1− x2k+1 1+ x2k+1 = 1 + ( )2k+1 x −1 2 1 − (x2k+1 )2 = +1 2(k +1) +1 x −1 1 − x2(k+1)+1 เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปนจรงิ โดยอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร จะได P(n) เปนจรงิ ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนัน้ 1 +2 +4 + ... + 2n = 1 + 2n+1 ทุกคา n ∈ N † 1+ x 1+ x2 1+ x4 1+ x2n x −1 1− x2n+1 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 45 † 28. จงแสดงวา a + ar + a r2 + ... + a rn−1 = a(1 − rn ) ทกุ คา n ∈ N 1− r 28. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ a + ar + a r2 + ... + a rn−1 = a(1 − rn ) ” 1− r (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา a(1− r1) = a เพราะฉะน้ัน P(1) เปน จริง 1− r (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จริง เมอื่ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปนจรงิ สมมติ P(k) เปนจริง เม่อื k ≥ 1 เพราะฉะนน้ั a + ar + a r2 + ... + a rk−1 = a(1− rk ) 1− r a + ar + a r2 + ... + a rk−1 + a rk = a(1− rk ) + a rk 1− r = a(1− rk ) + ark (1+ r) 1− r = a − ark + ark − ark+1 1− r = a(1− rk+1) 1− r เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปน จรงิ โดยอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปน จริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะน้นั a + ar + a r2 + ... + a rn−1 = a(1 − rn ) ทกุ คา n ∈ N 1− r แบบที่ 2 s = a + ar + a r2 + ... + a rn−1 rs = a + ar + a r2 + ... + a rn−1 + a rn s - rs = a - a rn (1 - r)s = a(1 - rn ) s = a(1 − rn ) 1− r เพราะฉะน้นั a + ar + a r2 + ... + a rn−1 = a(1 − rn ) ทกุ คา n ∈ N 1− r รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

46 Mathematical Induction 29. จงแสดงวา 1 + x + x2 + x3 + ... + xn = 1− x n+1 ทกุ คา n ∈ N 1− x 29. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ 1 + x + x2 + ... + xn = 1− x n+1 ” 1− x (1) การแสดงวา P(1) เปนจรงิ เพราะวา 1− x1+1 = 1− x2 = (1− x)(1+ x) = 1 + x เพราะฉะนั้น P(1) เปน จริง 1− x 1− x 1− x (2) การแสดงวา ถา P(k) เปน จรงิ เม่ือ k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จริง สมมติ P(k) เปน จรงิ เมื่อ k ≥ 1 เพราะฉะน้ัน 1 + x + x2 + ... + xk = 1− xk+1 1− x 1 + x + x2 + ... + xk + xk+1 = 1− xk+1 + xk+1 1− x = 1 − xk+1 + xk+1(1 − x) 1− x = 1− x k+1 + x k+1 − x(k+1)+1 1− x = 1− x(k+1)+1 1− x เพราะฉะน้ัน P(k + 1) เปน จริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทุกคา n ∈ N เพราะฉะนัน้ 1 + x + x2 + ... + xn = 1− x n+1 ทุกคา n ∈ N 1− x หมายเหตุ โดยใชผ ลของ a + ar + a r2 + ... + a rn−1 = a(1 − rn ) 1− r จะได 1 + x + x2 + ... + xn = 1− xn+1 เหมอื นกนั † 1− x รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 47 30. จงแสดงวา dn (xn ) = n! ทุกคา n = 1, 2, 3, ... dx n 30. แนวคิด ให P(n) แทนขอความ “ dn (xn ) = n! ” dx n (1) การแสดงวา P(1) เปน จริง เพราะวา dx = 1 = 1! เพราะฉะนนั้ P(1) เปนจริง dx (2) การแสดงวา ถา P(k) เปนจริง เม่อื k ≥ 1 แลว P(k + 1) เปน จรงิ สมมติ P(k) เปน จริง เม่อื k ≥ 1 เพราะวา d k +1 ( xk+1 ) = dk ( d ( xk+1 )) dx k +1 dx k dx = dk ((k + 1) xk ) dx k = (k + 1) dk ( xk ) dx k = (k + 1)(k!) (P(k) เปนจรงิ ⇒ dk ( xk ) = k!) dx k = (k + 1)! เพราะฉะนน้ั P(k + 1) เปน จรงิ โดยอุปนยั เชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง ทกุ คา n ∈ N เพราะฉะนนั้ dn (xn ) = n! ทกุ คา n ∈ N dx n หมายเหตุ ในทํานองเดยี วกนั จะได 1. dn (x - a) n = n! dx n 2. n เปน จํานวนเต็มบวก ถา f (k) (x) = dk ((x - a) n ) แลว f (k) (a) = 0 ทุกคา k = 0, 1, 2, ... ,n -1 dx k 3. dn (x + c)n = n! dx n แนวคิด เพราะวา (x + c) n = ⎛⎜⎝ n ⎞⎠⎟ xn + ⎜⎛⎝ n ⎟⎞⎠ xn−1 c + ⎝⎜⎛ n ⎟⎞⎠ xn−2 c2 + ... + ⎜⎝⎛ n ⎞⎟⎠ cn 0 1 2 n เพราะวา dn ( x n −1) = 0, dn (xn−2) = 0, ... , dn (cn ) =0 dx n dx n dx n เพราะฉะนั้น dn (x + c)n = dn ⎝⎛⎜ n ⎞⎟⎠ xn = dn (xn ) = n! dx n dx n 0 dx n นอกจากนั้นเรายังไดวา dn (x + c)n = n! † dx n รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

48 Mathematical Induction 31. การแสดงวา dk (x - c) n x = c = 0 ทกุ คา k = 0, 1, 2, ... , n - 1 † dx k 31. แนวคดิ เมือ่ k ∈ { 1, 2, ... , n - 1 } จะไดวา k ≠ 0, n - k ≠ 0 (x - c) n = (x - c) k (x - c) n−k dk (x - c) n = (x - c) k dk (x - c) n−k + (x - c) n−k dk (x - c) k dx k dx k dx k = (x - c) k dk (x - c) n−k + (x - c) n−k (k!) dx k เพราะฉะน้ัน dk (x - c) n x = c = (0) + (0)(k!) = 0 dx k เพราะวา d0 (x - c) n = (x - c) n dx0 เพราะฉะน้นั d0 (x - c) n x=c =0 dx0 รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั

Mathematical Induction 49 32. จงแสดงวา dk (q(x)(x - c) n ) x = c = 0 ทกุ คา k = 0, 1, 2, ... , n - 1 dx k 32. แนวคิด k = 0 d0 (q(x)(x - c) n ) = q(x)(x - c) n dx0 เพราะฉะน้ัน d0 (q(x)(x - c) n ) x=c =0 dx0 เมื่อ k ∈ { 1, 2, 3, ... , n - 1 } เพราะฉะนน้ั k ≠ 0, n - k ≠ 0 q(x)(x - c) n = q(x)(x - c) k (x - c) n−k dk (q(x)(x - c) n ) = (q(x)(x - c)k)( dk (x - c) n−k ) + ((x - c) n−k )( dk (q(x)(x - c) k )) dx k dx k dx k เพราะฉะนนั้ dk (q(x)(x - c) n ) x=c dx k = q(c)(0) k (( dk (x - c) n−k ) x = ) + ((0) n−k )( dk (q(x)(x - c) k ) x=c dx k dx k c =0+0 =0 † รองศาสตราจารย์ ดาํ รงค์ ทพิ ยโ์ ยธา ภาควชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาการคอมพวิ เตอร์ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั