7-การเคลื่อนที่แบบหมุนและวัตถุแข็งเกร็ง

การเคลื่อนทแ่ี บบหมุน (Rotational Motion) การเคลอ่ื นทีแ่ บบหมุน (rotational motion) คือการเคลื่อนทีห่ มนุ อยู่กับที่รอบแกนหมุนตรึง แนน่ หรืออาจหมุนรอบศนู ยก์ ลางมวล เชน่ การหมุนของชงิ ชา้ สวรรค์ การหมุนของใบพัด ของพดั ลม เปน็ ต้น วตั ถุทใ่ี ช้ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมนุ จะเป็นวตั ถุท่ีมีรปู รา่ งแน่นอน วัตถไุ มเ่ ปลย่ี น รูปร่างเมอื่ เคลื่อนทห่ี รือมีแรงกระทา เรยี กวัตถนุ ้ันๆ ว่า วตั ถุแขง็ เกรง็ (rigid body) February 5-8, 2013

คำถำมท่ี 1 รูปใดไม่ใชก่ ำรหมนุ ของวตั ถแุ ขง็ เกรง็

ปริมาณต่างๆ ทเี่ กย่ี วข้องกบั การหมุน การกระจัดเชงิ มมุ (angular displacement, θ) คือ คอื มมุ ท่กี วาดไปได้ หนว่ ยเปน็ เรเดียน การกระจัดเชิงมมุ (angular displacement, θ) ในหนว่ ยเรเดยี นสามารถคานวณได้จาก S r มุมในหน่วยเรเดยี นเปล่ยี นเปน็ องศาได้โดย???

ปริมาณต่างๆ ทเี่ กยี่ วข้องกบั การหมุน ความเร็วเชิงมมุ (angular velocity, ) คือ อัตราส่วนของการกระจดั เชงิ มมุ ทท่ี าได้ ตอ่ เวลาทีใ่ ชใ้ นการหมุน ความเร่งเชิงมุม (angular velocity, ) ในหนว่ ย เรเดยี นตอ่ วินาที สามารถคานวณไดจ้ าก  t ความเร่งเชงิ มุม ยังสามารถคานวณไดจ้ าก   2  2 f T

ปริมาณต่างๆ ทเ่ี กยี่ วข้องกบั การหมุน การกระจัดเชงิ มุมและความเรว็ เชิงมุม เป็นปรมิ าณเวคเตอร์ สามารถหาทศิ ได้จาก กฎมือขวา โดยกำรใชม้ อื ขวำกำแกนหมนุ แล้วให้น้วิ ทัง้ ส่ีวนตำมกำรเคล่ือนท่ีนวิ้ หวั แม่มือจะชบ้ี อกทศิ ของกำรกระจัดเชงิ มมุ และควำมเร็วเชงิ มมุ ดังแสดงในรปู February 5-8, 2013

ตวั อย่ำงที่ 1 ลอ้ หมุนอนั หนง่ึ หมุนดว้ ยควำมถีค่ งที่ 7 รอบ/วินำที จงหำอัตรำเรว็ เชิงมมุ เฉล่ียของกำรหมุนลอ้ น้ใี นหนว่ ยเรเดยี นต่อวนิ ำที (44 เรเดยี นตอ่ วนิ ำที)

ปริมาณต่างๆ ทเ่ี กย่ี วข้องกบั การหมุน ความเร่งเชงิ มุม (angular acceleration, α) คอื อัตราส่วนของความเร็วเชงิ มมุ ท่ี เปล่ียนไปต่อเวลาทใ่ี ชใ้ นการหมุน ความเรง่ เชิงมุม (α) ในหน่วยเรเดยี นตอ่ วนิ าที2 สามารถคานวณไดจ้ าก     0 t ความเรง่ เชิงมุมจะเกดิ ขน้ึ ในกรณีใดบ้าง ????????

ตวั อย่ำงท่ี 2 ล้ออนั หนงึ่ ในตอนแรกหมุนด้วยควำมเร็วเชงิ มมุ คงตัว 50 เรเดียน/ วนิ ำทีตอ่ มำลดลงเหลอื 10 เรเดียน/วินำที ในเวลำ 10 วินำที จงหำควำมเร่ง เชงิ มุมในหนว่ ย เรเดยี นตอ่ วินำที2 (-4 เรเดียนต่อวนิ ำที2)

เปรียบเทยี บปริมาณต่างๆของการเคล่ือนทแ่ี นวเส้นตรงกบั การเคล่ือนทแ่ี บบหมุน เมื่อเปรียบเทียบปรมิ ำณตำ่ งๆ ของกำรเคลื่อนทใ่ี นแนวเส้นตรงกับกำรเคลอื่ นทีแ่ บบหมนุ รอบแกน หมนุ ตรึงแน่นจะไดด้ ังน้ี ปรมิ าณทางฟสิ ิกสข์ องการ ปริมาณทางฟสิ กิ สข์ องการ เคลื่อนทแ่ี นวเสน้ ตรง เคล่อื นที่แบบหมนุ Sθ u 0 v aα

ความสัมพนั ธ์ระหว่างการเคล่ือนทใ่ี นแนวเส้นตรงกบั การเคล่ือนที่แบบ • ล้อรัศมี R หมุนโดยไมไ่ ถล (rolls without slipping การเคลอ่ื นท่ีเชงิ มุม ของล้อทาให้รถเคล่อื นทีไ่ ปขา้ งหน้า • ความสมั พนั ธ์ระหว่างการกระจัด S = Rθ • ความสัมพันธ์ระหวา่ งความเร็ว v = R February 5-8, 2013 • ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความเรง่ a = Rα

เปรียบเทยี บสมการการเคล่ือนท่ขี องการเคล่ือนทแ่ี นวเส้นตรงกบั แบบหมุน เมอ่ื เปรยี บเทยี บสมกำรกำรเคลื่อนทขี่ องกำรเคลื่อนทใี่ นแนวเสน้ ตรงกับกำรเคลื่อนท่แี บบ หมนุ รอบแกนหมุนตรึงแน่นจะได้ดังนี้ สมการการเคลอ่ื นท่ีของการ สมการการเคลอื่ นทีข่ องการ เคลื่อนทแ่ี นวเสน้ ตรง เคลอ่ื นท่แี บบหมุน

ตวั อยำ่ งที่ 3 วตั ถุก้อนหนงึ่ หมนุ รอบตัวเองด้วยควำมเรว็ เชิงมุม 2 เรเดียน/วินำที เมอื่ ให้แรงคู่ ควบกระทำทำงเดยี วกับกำรหมนุ ปรำกฏวำ่ วตั ถกุ อ้ นนนั้ มีควำมเรง่ เชิงมุม 2 เรเดียน/ วินำที2 จงหำวำ่ ถ้ำให้แรงค่คู วบกระทำ นำน 5 วินำที ควำมเรว็ เชงิ มุมของวัตถเุ ปน็ เทำ่ ใด (12 Ra/s)

ตวั อย่ำงที่ 4 วงลอ้ วงหน่ึงมเี สน้ ผำ่ ศนู ยก์ ลำง 1 เมตร เรม่ิ หมนุ รอบแกนจำกหยุดนิ่งดว้ ย แรงขนำดหน่ึงทำ ให้ล้อนน้ั มีควำมเร่งเชงิ มุม 4 เรเดยี น/วินำที2 ในเวลำ 10 วินำที จงหำมมุ ท่ีวงลอ้ นนั้ กวำดไปได้ (200 เรเดยี น)

ตวั อยำ่ งที่ 5 ลอ้ อันหนึง่ มีรศั มี 2 เมตร หมุนจำกหยุดนง่ิ จนมคี วำมเรว็ เชิงมุมคงตัว 100 เรเดยี น/วนิ ำที ในเวลำ 20 วินำที จงหำระยะทำงท่ีกลง้ิ ไปได้ (2000 เมตร)

โมเมนความเฉ่ือย (Moment of Inertia) โมเมนตค์ วามเฉ่ือย (สัญลกั ษณ์ I หนว่ ย Kg•m2) เป็นสมบตั ิต้านการหมุนของวตั ถุ วตั ถทุ ่ีมี โมเมนต์ความเฉอ่ื ยมากจะหมุนไดย้ าก วัตถุท่มี ีโมเมนต์ความเฉอ่ื ยนอ้ ยจะหมุนได้งา่ ย I  miri2 i  m1r12  m2r22  m3r32  ... February 5-8, 2013

โมเมนความเฉื่อยของวตั ถุรูปร่างต่างๆ กรณเี ลื่อนแกนหมุนออก การจดุ ศูนยก์ ลางมวล เชน่ รูปสุดทา้ ย จะได้ I = Icm + Ml2 เม่อื l คือ ระยะท่เี ลื่อนไป February 5-8, 2013

ตวั อยำ่ งที่ 6 จำกรปู มวล 3 ก้อน เคลื่อนที่รอบแกน หมุนเดียวกันพรอ้ มกัน จงหำโมเมนต์ ควำมเฉอ่ื ยของกำรหมนุ น้ี (39 kg•m2)

ทอร์กกบั การเคลื่อนท่ีแบบหมุน ความแรงการหมนุ ของวตั ถุจะขนึ้ กับโมเมนตข์ องแรง ( moment of force ) หรอื ทอรก์ ( torque , τ) ซึง่ หมายถึงผลคณู เชิงเวกเตอรข์ องแรงกระทาตอ่ วัตถุ (F) กบั การกระจดั ทว่ี ดั จากจดุ หมุน (r) ทอรก์ สามารถหาค่าไดจ้ าก   r  F  r F sin กรณี r และ F ตงั้ ฉากกันจะได้ขนาด   rF นอกจากน้ขี นาดของทอร์กยังสามารถหาไดจ้ าก   I

ตวั อยำ่ งท่ี 7 จำกรปู จงคำนวณหำทอรก์ เม่อื F มคี ำ่ 10 นิวตนั (10 N•m)

ตวั อย่ำงที่ 8 จงหำทอรก์ ทใ่ี ชใ้ นกำรทำให้จำนกลมทีม่ ีโมเมนต์ควำมเฉอื่ ย 5 กิโลกรัม.เมตร2 เร่ิมหมนุ จำกหยุดนงิ่ จนกระทงั่ มคี วำมเรว็ เชงิ มุม 30 เรเดียน/วินำที ใน 10 วนิ ำที (15)

โมเมนตัมเชิงมุมและอตั ราการเปลยี่ นโมเมนตมั เชิงมุม โมเมนตัมเชงิ มุม (L) หมายถึง ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ของโมเมนตัมเชงิ เส้น (P) กบั เวกเตอร์ บอกตาแหน่ง (r) จากจุด O ไปยงั ตาแหน่งของมวล m L  r  p  r p sin กรณี r และ p ตั้งฉากกันจะได้ขนาดโมเมนตัมเชงิ มุม L  pr  mvr มาจากกฎขอ้ ท่ีสองของนิวตัน นอกจากนข้ี นาดของทอรก์ ยังสามารถหาได้จาก L  I และ L   t

ตวั อย่ำงที่ 9 ถำ้ เหวีย่ งมวล 0.2 กิโลกรมั ด้วยเชือกยำว 2 เมตร ใหเ้ คล่ือนทเ่ี ป็นวงกลมใน ระนำบระดบั ถ้ำควำมเร็วเชิงมุมมีค่ำ 10 เรเดียน/วินำที จงหำโมเมนตัมเชิงมุมหนว่ ย กิโลกรัม.เมตร2/วนิ ำที (8 กิโลกรมั .เมตร2/วนิ ำที )

กฎอนุรักษ์โมเมนตมั เชิงมุม กฎอนรุ ักษ์โมเมนตัมเชงิ มมุ กล่าววา่ “หากทอร์กลพั ธ์ท่กี ระทามคี ่าเป็นศูนย์ โมเมนตมั เชงิ มุมจะคงที่ตลอดการหมุน  Li   Li February 5-8, 2013 ii I11  I22  ...  I11  I22  ... กรณีทกุ สว่ นหมุนไปพร้อมกันจะมี  เดียว ดังน้นั L  L I  I

ตวั อยำ่ งที่ 10 วตั ถมุ วล 50 กรัม ผกู ตดิ กับปลำยเชอื กซง่ึ ลอดผำ่ นรูหลอดเล็กๆ ปลำยเชอื กข้ำง หน่ึงดึงยึดไว้ด้วยแรงค่ำหน่ึงแล้วเหวยี่ งใหเ้ ปน็ วงกลมรัศมี 1 เมตร ถ้ำดึงเชอื กให้รัศมีวงกลม เป็น 50 เซนติเมตร ทันที วตั ถจุ ะเคลื่อนทด่ี ้วยอตั รำเร็วเชงิ มมุ เทำ่ ไรในหน่วย เรเดยี น/ วนิ ำที ถ้ำเดมิ มอี ตั รำเรว็ เชิงมุม 6 เรเดยี นตอ่ วินำที (24 )

พลงั งานจลน์ของการหมุน พลงั งานจลน์ของการเคลอื่ นที่แบบหมุน สามารถคานวณได้จาก Ek  1 I2 2 ตัวอย่ำงท่ี 11 วตั ถมุ วล 0.1 กโิ ลกรมั และ 0.3 กโิ ลกรมั ติดอยู่กับปลำยทงั้ สองของแทง่ โลหะเบำยำว 1.00 เมตร ดงั รปู จงหำพลังงำนจลน์ของกำรหมนุ ถ้ำแท่งโลหะหมุนรอบแกน AB 5 เรเดยี น/วนิ ำที (2.19 J ) February 5-8, 2013

การเคล่ือนทแี่ บบกลงิ้ (Rolling Motion) เนื่องจากการเคลือ่ นท่ีของวัตถบุ างอยา่ งเช่น ลกู บอล ล้อรถจกั รยาน วัตถุเหลา่ นีจ้ ะมีการ เคลอื่ นทท่ี ง้ั แบบหมนุ และแบบเลือ่ นที่ไปข้างหน้าดว้ ย เรียกวา่ เปน็ การกล้งิ (rolling motion) การหาพลังงานจลน์ของการกล้ิงต้องหาทัง้ พลงั งานจลนข์ องการเคลือ่ นทเี่ ชงิ เสน้ และของการหมนุ แล้วนามารวมกัน Linear Angular k k E  E  ERolling k  1 mv2  1 I2 22 February 5-8, 2013

ตวั อยำ่ งที่ 12 แผ่นไมก้ ลมมีรัศมี 1 เมตร มวล 4 กโิ ลกรัม และโมเมนตคว์ ำมเฉือ่ ย 1 กิโลกรมั . เมตร2 เคล่ือนที่ในแนวตรง โดยมคี วำมเรว็ ของศนู ยก์ ลำงมวล 4 เมตรต่อวินำที จงหำ พลงั งำนจลนข์ องแผน่ ไมน้ เี้ ม่ือวัตถุเคล่ือนที่โดยหมนุ กล้ิงรอบศูนย์กลำงมวล (40 J)

ตวั อย่ำงที่ 13 แผน่ โลหะกลมแบนรศั มี 20 เซนติเมตร มวล 10 กิโลกรัม กลิง้ ลงมำตำมพ้นื เอยี งดงั รปู โดยเริ่มตน้ จำกสภำวะหยดุ นงิ่ จงหำควำมเรว็ v ของแผ่น โลหะน้ีเมื่อกล้ิงระยะทำง 50 เซนตเิ มตร ตำมแนวบนระนำบเอียง ให้โมเมนตค์ วำมเฉอื่ ยของแผน่ โลหะรอบแกนหมนุ เทำ่ กบั 0.4 กิโลกรัม. เมตร2 และสมมตใิ หก้ ำรกลิ้งบนพนื้ เอยี งไม่มีกำรลน่ื ไถล (sqrt(3) m/s) 37