5-ระบบอนุภาค

ระบบอนุภาค นิยาม: กลุ่มของอนุภาคที่มคี วามเกยี่ วโยงสัมพันธ์กันทางฟิสิกส์ นักศึกษาคิดว่า การแปรขบวนของโดรน เช่น ในเทศกาลเฉลมิ ฉลองปใี หม่ เปน็ ระบบอนภุ าคท่เี ก่ยี วโยงกันทางฟสิ กิ สห์ รอื ไม่

ระบบอนุภาค ระบบอนภุ าค เป็นพน้ื ฐานของฟิสกิ สข์ ้นั สงู หลายสาขา ตวั อย่างเชน่ จักรวาลวิทยา กลศาสตรค์ วอนตมั

ระบบอนุภาค 1. ประกอบดว้ ยอนุภาคมากกว่า 1 อนภุ าค 2. มคี วามเกี่ยวโยงกนั เชงิ ฟสิ ิกส์ เชน่ ทกุ อนภุ าค อยภู่ ายใต้ศักยห์ รอื สนามเชงิ ฟิสิกสบ์ างอยา่ ง 3. สามารถหาสมบัตริ ่วมซงึ่ เปน็ สมบัตแิ ทนอนภุ าค ทงั้ ระบบได้ เชน่ จดุ ศนู ย์กลางมวล และ ความเร่งของจุดศูนยก์ ลางมวล เป็นต้น

จุดศูนย์กลางมวล จุดศูนยก์ ลางมวล (Center of Mass) : คอื จุดที่ วิธีหาจดุ ศนู ยก์ ลางมวล (Center of Mass) : เสมอื นเปน็ ศนู ยร์ วมของมวลทั้งหมด 1. ต้ังแกนพิกัดทบั วตั ถุใดวัตถหุ นง่ึ 2. หาจดุ ศูนยก์ ลางมวลจาก จุดศนู ย์กลางมวล ( C. M. ) ของระบบ 2 มวล ทย่ี ดึ ตดิ กนั ด้วยแกนเบา จะมีลกั ษณะดังรปู xcm  m1x1  m2 x2 m1  m2 C.M . สังเกตว่าหากมีไม้มาค้ายนั ท่จี ุด c.m. คานจะสมดุล (ไมเ่ อยี ง)

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ศูนย์กลางมวลของคานเบาเมอ่ื ซง่ึ มนี ้าหนกั m1 = 10 kg และ m2 = 16 kg แขวงไวท้ ีป่ ลายท้ัง ของข้างดังรปู C.M .

จุดศูนย์กลางมวลของระบบ 3 มวล จดุ ศูนยก์ ลางมวล ( C. M. ) ของระบบ 3 มวล วธิ หี าจุดศนู ยก์ ลางมวล (Center of Mass) : ทยี่ ดึ ติดกันด้วยแกนเบา จะมลี กั ษณะดงั รูป 1. ต้ังแกนพกิ ัดทับวตั ถใุ ดวตั ถุหนึง่ 2. หาจุดศูนยก์ ลางมวลจาก xcm  m1x1  m2 x2  m3x3 m1  m2  m3 สังเกตว่าหากมไี มม้ าค้ายนั ทจี่ ุด c.m. คานจะสมดุล (ไมเ่ อียง)

ตวั อยา่ ง คานเบามมี วลติดอยูด่ ังรูป คานจะอย่ใู นภาวะสมดลุ (ไม่เอียงซ้ายขวา) หากแขวนคานโดยผกู เชอื กไว้ท่ี จุดใด เมอื่ มวล m1 = 4 kg, m2 = 6 kg และ m3 = 8 kg

วตั ถุแตกตวั กลางอากาศ วตั ถทุ ่ีเคล่ือนทกี่ ลางอากาศ (ไม่มแี รงภายนอกมากระทา้ ) แมแ้ ตกหัก จุด c.m. จะอยใู่ น แนวการเคลอ่ื นท่เี ดมิ เสมอ ดังน้นั 1. สามารถหาจดุ c.m. จากสมการการเคลื่อนท่ี และ 2. หากทราบ พิกดั ของชิ้นสว่ นใดช้นิ สว่ นหนงึ่ C.M. 3. สามารถหาตา้ แหนง่ ของอีกชิน้ ส่วนหน่งึ จาก xcm  m1x1  m2 x2 ycm  m1 y1  m2 y2 m1  m2 m1  m2

ตัวอยา่ ง วตั ถุ 10 kg ถกู ยิงข้นึ ไปกลางอากาศในแนวดงิ่ ด้วยความเร็วต้น 40 m/s เมอ่ื เวลาผ่านไป 2 วนิ าที วัตถุแตกตัวเป็นสองช้ิน ชิ้นละ 2.5 kg และ 7.5 kg ดงั รปู หากขณะนน้ั พบว่าวัตถหุ นัก 2.5 kg อยทู่ ี่ต้าแหนง่ x = -1 และ y = 39 เมตร (ใชจ้ ดุ ยิงเปน็ จุดอ้างอิง) วตั ถอุ ีกชิ้นจะอยทู่ ี่ตา้ แหน่งใด (1/3,40.3333) C.M .

จุดศูนย์กลางมวลของวตั ถุต่อเน่ือง วัตถุตอ่ เนื่อง เช่น แผน่ โลหะความหนาแนน่ สม้่าเสมอ วธิ หี าจดุ c.m. (เปลี่ยนแผน่ ใหเ้ ป็นจดุ มวล) 1. ตง้ั แกนพกิ ดั 2. แยกเป็นชิน้ ส่วนยอ่ ย หา c.m. ของแต่ละชน้ิ ยอ่ ย 3. มอง c.m. ของแต่ละชน้ิ ย่อยเป็นจุดมวล นา้ มาหา c.m. รวม February 5-8, 2013

ตวั อย่างที่ แผน่ โลหะความหนาแนน่ สมา่ เสมอ มีขนาดดังรูป จงหาจดุ ศนู ย์กลางมวลของแผ่นโลหะน้ี 10 cm 10 cm 20 cm

ตวั อย่าง ปา้ ยโฆษณา 2 แผน่ แขวนไวก้ ับแกนไม้ ดังรูป ตอ้ งผกู เชือกที่ตา่ แหน่งใด ปา้ ยโฆษณาจึงจะไม่ เอยี ง 2m 1m 1m 1m



จุดศูนย์ถ่วง จดุ ศูนยถ์ ว่ ง โดยปกติแลว้ คอื จุดเดยี วกบั จุดศนู ย์กลางมวล ยกเว้นกรณวี ัตถุสงู จากพื้นดนิ มากๆ เช่น เทอื กเขาเอเวอร์เรสต์ จุดศนู ยถ์ ว่ งกับจดุ ศนู ย์กลางมวลจะเคลอื่ นจากกนั เล็กน้อย วิธีหาจุดศนู ยถ์ ว่ ง (Center of Gravity) : 1. ตัง้ แกนพิกดั ทบั วัตถุใดวตั ถุหน่งึ 2. หาจดุ ศนู ย์ถว่ งจาก    xcg  m1g1 x1  m2 g2 x2 xcm  m1x1  m2 x2 m1g1  m2 g2 m1  m2 บรเิ วณผิวโลกค่า g1 = g2 = g = 9.8

จุดศูนย์ถ่วง ค่าความเร่งเนือ่ งจากแรงโน้มถว่ ง (g) แปรผันตามความสงู จากพ้นื โลก ตามสมการ g  GM โดย G คือ…………………. R2 M คอื …………………. R คอื …………………. วธิ หี าจุดศูนย์ถว่ ง ของวัตถุทส่ี ูงจากพ้ืนโลกมากๆ: 1. คา้ นวณคา่ g ทจี่ ุดน้ันๆ ซ่ึงวัตถุ m วางอยู่ 2. ต้ังแกนพกิ ัดทบั วตั ถุใดวตั ถหุ นึง่ 3. หาจดุ ศูนยถ์ ว่ งจาก    xcg  m1g1 x1  m2 g2 x2 m1g1  m2 g2 รัศมโี ลกมีคา่ ประมาณ 6400 km

กฎอนุรักษ์โมเมนตัมและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ทบทวนกฎอนุรกั ษ์โมเมนตมั : ในการศกึ ษาการชนจะใช้กฎอนรุ กั ษ์โมเมนตัมเป็นหลัก โดยกฎอนรุ ักษ์โมเมนตัม กล่าววา่ กรณีไม่มแี รงภายนอกมากระท่ากบั ระบบ โมเมนตมั รวมกอ่ นชนเท่ากับโมเมนตมั รวมหลังชนเสมอ   P ก่อนชน =  Pหลงั ชน โมเมนตมั P  mv การชนในท่ีนย้ี งั กนิ ความรวมถงึ การระเบิด การ แตกหกั ของวัตถุ อีกดว้ ย

กฎอนุรักษ์โมเมนตมั และความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ความเรว็ ของจุดศนู ย์กลางมวล หาจาก: xcm  m1x1  m2 x2 diff vcm  m1v1  m2v2 m1  m2 m1  m2 จากกฎอนุรกั ษ์โมเมนตัม  m1u1  m2u2  m1v1  m2v2  m1  m2 vcm กอ่ นชน หลงั ชน การชนจะไม่ท้าใหค้ วามเร็วจดุ ศูนยก์ ลางมวลของระบบเปล่ยี นไป

ตวั อยา่ ง รถสิบล้อ คนั หนึง่ น้่าหนกั รวม 20 ตัน (20,000 kg) กา่ ลังวงิ่ ดว้ ยความเรว็ คงที่ 72 km/hr (20 m/s) ทันใดนนั้ ลอ้ ซง่ึ มีมวล 40 kg เกดิ หลดุ ออก ท่าใหร้ ถมคี วามเร็วเหลอื 19.9 m/s ลอ้ จะพงุ ไป ขา้ งหนา้ ด้วยความเรว็ เท่าใด ความเร็วของจดุ ศนู ยก์ ลางมวลหลงั เกิดอบุ ตั ิเหตเุ ป็นเทา่ ไร (69.9 m/s, 20 m/s ) จะสังเกตวา่ ความเร็วจุดศูนย์กลางมวล ก่อนและหลงั ล้อหลุดจะเทา่ กนั

ตวั อย่าง เดก็ มวล 40 กโิ ลกรัม ยืนทที่ า้ ยเรอื ยาว 4 เมตร มวลเรือ 70 กิโลกรมั ลอยอยู่นิง่ ๆ โดยทีท่ ้ายเรือห่าง สะพาน 3 เมตร มเี ตา่ ตัวหนงึ่ เกาะอยบู่ นก้อนหนิ ข้างหวั เรือดังรูป ถ้าเด็กเร่มิ เดิน มาทางหวั เรือเพอื่ จับเต่า a. จงบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบทงั้ หมด b. เมอื่ เขามาถึงหวั เรอื เขาจะอย่หู ่างสะพานเทา่ ใด c. ถ้าเขาสามารถยน่ื มือออกมาพน้ เรอื ไดไ้ กลท่ีสุด 1 เมตร เขาจะจบั เตา่ ได้หรือไม่ (ไมค่ ดิ แรงเสียดทานระหวา่ งเรอื กบั น่า้ ) 7m

แนวคิด เนือ่ งจากเด็กและเรอื ไม่ได้ถูกแรงภายนอกกระทา่ ระบบจะรกั ษาสภาพการเคล่ือนทีเ่ ดิมตามกฎข้อที่ 1 ของนิวตนั น่ันคือ เดมิ เด็กและเรืออยู่น่งิ เมอื่ เด็กเรม่ิ เดินไปทางขวา ตัวเรอื จะเคล่ือนมาทางซ้าย เพ่ือรกั ษา จุดศนู ย์กลางมวลใหอ้ ย่ทู ่เี ดมิ (การทีจ่ ดุ c.m. อยู่ทเ่ี ดมิ บง่ บอกวา่ ระบบยงั คงอยูน่ ่ิง) ดังนั้นจะไดว้ า่ xbefore  xafter cm cm โดยการใช้ หัวสะพานเป็นจุดอ้างอิง จะได้ และ xafter  xbefore  cm cm before 3m x after

February 5-8, 2013

ค่าคงทส่ี ปริงและแรงสปริง การยดื -หด ของสปรงิ แต่ละแบบมคี วามยากงา่ ยแตกตา่ งกันข้ึนกบั คา่ คงที่สปรงิ k

การหาอตั ราเร็วเชิงมุม ความถี่ และคาบของวตั ถุตดิ สปริง กรณีสปรงิ ซึง่ มีคา่ คงทส่ี ปริง k ผกู ติดกบั มวล m ความสัมพันธร์ ะหวา่ งอัตราเร็วเชิงมมุ ความถ่ี และคาบ

การหาอตั ราเร็วเชิงมุม ความถี่ และคาบของแกว่งลูกตุ้มนาฬิกา กรณีลูกตุม้ หอ้ ยดว้ ยเชอื กยาว l แกวง่ อิสระรอบจดุ ตรึงแนน่ ความสมั พันธร์ ะหวา่ งอตั ราเรว็ เชงิ มมุ ความถี่ และคาบ

ตวั อย่างที่ 4 มวล 0.25 กโิ ลกรมั ตดิ กับปลายข้างหนึง่ ของสปรงิ ซง่ึ มีคา่ นิจ 100 นวิ ตนั /เมตร วางอย่บู นพื้น ระดับลน่ื สว่ นปลายอีกขา้ งหนึ่งของสปริงยดึ ติดกบั ผนงั เมื่อดงึ มวลท่าใหส้ ปรงิ ยืดออกเลก็ นอ้ ยแลว้ ปลอ่ ย มวลจะเคลอ่ื นที่กลบั ไปกลบั มาดว้ ยคาบเท่าใด (0.31 วินาท)ี

ตวั อยา่ งท่ี 5 ลกู ตมุ้ แขวนด้วยเชอื กยาว 2 เมตร แกวง่ ไปมาด้วยคาบ 2.5 วนิ าที ถา้ ลกู ตุ้มแขวนดว้ ย เชอื กยาว 8 เมตร จะแกว่งดว้ ยคาบเทา่ ไร (5 วนิ าที)

พลงั งานศักย์และพลงั งานจลน์ของการส่ันของสปริง • สปรงิ ทีม่ ีค่าคงทส่ี ปรงิ k เคล่ือนท่หี ่างจากจดุ สมดลุ เป็นระยะเทา่ กบั x จะมี พลงั งานศักย์ Ep 1 2 Ep  kx2 • จะมีพลงั งานจลน์ Ek เทา่ กับ Ek  1 mv2 2

พลงั งานรวมของการส่ันของสปริง พลังงานรวม ET คดิ จากผลรวมของพลงั งานศักยแ์ ละพลงั งานจลน์ ET  Ep  Ek  1 kx2  1 mv2 2 2  1 k( Acos(t))2  1 m( A sin(t))2 ET  1 kA2 2 22  1 kA2 cos2 (t)  1 mA22 sin2 (t) 22  1 kA2 cos2 (t)  1 mA2 k sin2 (t) 2 2m  1 kA2 cos2 (t)  1 kA2 sin2 (t)  1 kA2 222

ตวั อย่างที่ 6 สปริงสัน่ ดว้ ยสมการการเคลอ่ื นทแี่ บบ SHM x  5cos(6t) หากสปริงมีคา่ คงท่ีสปรงิ เทา่ กบั 100 N/m และผกู ติดกับมวล 3 kg อยากทราบว่าที่เวลา t = 1/18 วินาที จะมีพลงั งานศกั ย์ พลงั งานจลน์ และพลงั งานรวมของการเคล่ือนท่ีเปน็ เทา่ ไร

ตวั อย่างที่ 7 สปรงิ มคี า่ คงที่สปรงิ เท่ากับ 400 N/m ออกแรง 100 N เพอื่ ดึงสปริง จะมีพลงั งานศกั ยส์ ะสมใน สปรงิ เทา่ ไร