บทที่ 2 ระบบแรง

เอกสารประกอบการสอน วชิ า กลศาสตร์เคร่ืองมอื กล บทที่ 2 ระบบแรง เรียบเรียงโดย นายเสกสรร ศรียศ

บทท่ี 2 ระบบแรง แนวคดิ สําคญั เน่ืองจากกลศาสตร์เป็นวิชาที่มุ่งศึกษาเกี่ยวกบั แรงท่ีกระทาํ กบั วตั ถุ และผลท่ีเกิดข้ึนกบั วตั ถุน้นั ภายหลงั ที่ถูกแรงมากระทาํ ดงั น้นั จึงจาํ เป็นตอ้ งศึกษาเกี่ยวกบั เร่ืองของแรงก่อนเป็นอนั ดบั แรก เนื่องจาก ในการศึกษาหวั ขอ้ ต่อ ๆ ไป จะตอ้ งหาขนาดของแรงที่กระทาํ จึงจะสามารถศึกษาในเร่ืองต่อไปได้ หัวข้อเรื่อง 1. คุณลกั ษณะของแรง 2. ชนิดของแรง 3. ระบบของแรง 4. การหาแรงลพั ธ์ของแรงระบบ 2 มิติ ดว้ ยวิธีกราฟิ ก 5. การหาแรงลพั ธ์ของแรงระบบ 2 มิติ กรณีท่ีแรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั 6. การหาแรงลพั ธข์ องแรงระบบ 2 มิติ กรณีท่ีแรงกระทาํ เป็นมุมกบั แนวแกนอา้ งอิง จุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม เม่ือจบบทน้ีแลว้ ผเู้ รียนสามารถ 1. อธิบายถึงคุณลกั ษณะของแรงได้ 2. บอกชนิดของแรงได้ 3. จาํ แนกระบบของแรงได้ 4. หาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ของแรงในระบบ 2 มิติ ดว้ ยวธิ ีกราฟิ กได้ 5. หาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธข์ องแรงในระบบ 2 มิติ กรณีท่ีแรงสองแรงกระทาํ เป็นมุม ต่อกนั นอ้ ยกวา่ 90๐ ได้ 6. หาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธข์ องแรงในระบบ 2 มิติ กรณีที่แรงสองแรงกระทาํ เป็นมุม ต่อกนั มากกวา่ 90๐ ได้ 7. หาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ในระบบ 2 มิติ กรณีที่แรงกระทาํ เป็นมุมกบั แนวแกน อา้ งอิงได้

ร ะ บ บ แ ร ง | 21 2.1 คุณลกั ษณะของแรง แรง คือ ปริมาณเวกเตอร์ท่ีพยายามจะกระทาํ กับวตั ถุให้วตั ถุมีการเปล่ียนแปลงหรือมีการ เคลื่อนที่ เช่น เดิมวตั ถุหน่ึงหยุดน่ิงอย่กู บั ท่ี แต่เม่ือมีแรงมากระทาํ มากพอ วตั ถุน้นั ก็จะมีการเคล่ือนท่ี เป็นตน้ เน่ืองจากแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดงั น้นั แรงจึงมีท้งั ขนาดและทิศทางที่มีคุณลกั ษณะ ดงั น้ี 1. ขนาด (Magnitude) บอกถึงปริมาณความมากนอ้ ยของแรง มีหน่วยเป็นนิวตนั (N) 2. ทิศทาง (Direction) บอกถึงทิศทางของแรงที่กระทาํ เป็นมุมกบั วตั ถุตามแนวแกนอา้ งอิง และ บอกถึงทิศทางที่แรงกระทาํ กบั วตั ถุวา่ มีทิศทางไปซา้ ยหรือขวา ข้ึนหรือลง ซ่ึงดว้ ยหวั ลูกศร ตัวอย่างท่ี 2.1 คุณลกั ษณะของแรง F = 10 N F = 10 N (ก) แรง 10 N กระทาํ ในแนวด่ิงข้ึน (ข) แรง 10 N กระทาํ ในแนวราบไป F = 20 N 30๐ (ค) แรง 20 N กระทาํ ข้ึนไปทางขวาทาํ มุม 30๐ กบั แนวแกน หรือ แรง 20 N กระทาํ ข้ึนไปทางขวาทาํ มุม 60๐ กบั แนวด่ิง ภาพท่ี 2.1 คุณลกั ษณะของแรง

ร ะ บ บ แ ร ง | 22 2.2 ชนิดของแรง แรงท่ีกระทาํ บนวตั ถุแบ่งอาจตามลกั ษณะของแรงท่ีกระทาํ ได้ 2 ประเภท ดงั น้ี 1. แรงปฏิกิริยา หมายถึง แรงที่ตา้ นการกระทาํ ของแรงที่มากระทาํ 2. แรงกิริยา หมายถึง แรงท่ีกระทาํ บนวตั ถุ ซ่ึงแบ่งออกเป็น 3 ลกั ษณะ คอื 1) แรงดึง (Tension Force) คือ แรงภายนอกที่กระทาํ ใหว้ ตั ถุยืดออกจากกนั โดยมี ทิศทางของแรงช้ีออกจากจุดท่ีกระทาํ ดงั ภาพท่ี 2.2 FF ภาพที่ 2.2 ลกั ษณะของแรงดึง 2) แรงอดั (Compression Force) คือ แรงภายนอกที่กระทาํ ใหว้ ตั ถุหดตวั เขา้ หากนั โดย มีทิศทางของแรงช้ีเขา้ หาจุดท่ีกระทาํ ดงั ภาพที่ 2.3 FF ภาพที่ 2.3 ลกั ษณะของแรงอดั 3) แรงเฉือน (Shearing Force) คือ แรงภายนอกท่ีกระทาํ ใหว้ ตั ถุที่ยดึ ต่อกนั ขาดออก จากกนั โดยแรงท่ีกระทาํ จะมีทิศทางตรงกนั ขา้ มกนั ดงั ภาพที่ 2.4 FF ภาพที่ 2.4 ลกั ษณะของแรงเฉือน

ร ะ บ บ แ ร ง | 23 2.3 ระบบของแรง แรงท่ีกระทาํ กบั วตั ถุ โดยทว่ั ไปสามารถจาํ แนกออกเป็น 2 ระบบ ดงั น้ี 1. ระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรือระบบแรง 2 มิติ ระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรือแรง 2 มิติ คือ แรงท่ีกระทาํ กบั วตั ถุในแนวระดบั หรือ แรงในแนวแกน x และแรงในแนวด่ิง หรือแรงในแนวแกน y ดงั ภาพที่ 2.5 y x ภาพท่ี 2.5 ระบบแรงในระนาบเดียวกนั หรือแรง 2 มิติ 2. ระบบแรงในหลายระนาบหรือระบบแรง 3 มิติ ระบบแรงในหลายระนาบหรือแรง 3 มิติ คือ แรงท่ีกระทาํ กบั วตั ถุโดยไม่ไดอ้ ยใู่ นแนว ระนาบของแนวแกน xy , yz และ xz แต่มีทิศทางเบนไปจากระนาบท้งั 3 ดงั ภาพท่ี 2.6 y x z ภาพท่ี 2.6 ระบบแรงในหลายระนาบหรือแรง 3 มิติ 2.4 การหาแรงลพั ธ์ในระบบ 2 มติ ิ โดยวธิ ีกราฟิ ก การหาแรงลพั ธ์ของแรงในระบบ 2 มิติ โดยวิธีกราฟิ กเป็นการหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ ท่ีไม่ละเอียด แต่กส็ ามารถดาํ เนินการได้ และก่อนที่จะทาํ การหาค่าของแรงโดยวิธีกราฟิ ก ผเู้ รียนควรจะ ทราบถึงพ้นื ฐานต่างๆ ท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การหาค่าของแรงดว้ ยวธิ ีกราฟิ กดงั น้ี 1. การเขียนเวกเตอร์ของแรง หมายถึง การเขียนเสน้ แทนแรง โดยเสน้ ท่ีเขียนจะตอ้ งถึง ความหมายท้งั หมดของแรง กล่าวคือ ความยาวของเสน้ จะแทนขนาดของแรง และทิศทางของเสน้ จะ แทนทิศทางของแรงน้นั

ร ะ บ บ แ ร ง | 24 2. การเขียนไดอะแกรมของเวกเตอร์ของแรง หมายถึง การเขียนกลุ่มของเสน้ แทนแรงที่กระทาํ ต่อจุด ๆ หน่ึงใหไ้ ดข้ นาดและทิศทางตามแรงท่ีกาํ หนด ตวั อยา่ งดงั ภาพที่ 2.7 F2 = 4 F1 = 8 F4 = 5 F3 = 3 ภาพท่ี 2.7 แรงท่ีมากระทาํ ต่อจุดๆหน่ึง จากภาพท่ี 2.7 ถึงแรงท่ีมากระทาํ ต่อจุด ๆ หน่ึง สามารถนาํ มาเขียนเป็นไดอะแกรมของ เวกเตอร์ของแรงได้ 4 ลกั ษณะ ดงั ภาพที่ 2.8 F4 F3 F2 -F1 F1 -F2 -F4 -F3 (ก) F1 + F2 + F3 + F4 (ข) -F2 - F3 - F4 - F1 F4 F2 F3 F4 F2 F1 F3 F1 (ค) F1 + F3 + F2 + F4 (ง) F1 + F2 + F4 + F3 ภาพท่ี 2.8 ลกั ษณะการเขียนไดอะแกรมของเวกเตอร์ของแรงท่ีกระทาํ สาํ หรับหลกั การพ้ืนฐานของการหาคา่ ของแรงโดยวิธีกราฟิ ก มีดงั น้ี 1. เขียนเวกเตอร์แทนแรงดว้ ยเส้นตรงและความยาวของเส้นตรงน้ีจะตอ้ งสอดคลอ้ ง กบั มาตราส่วนที่กาํ หนด เช่น ตอ้ งการเขียนเวกเตอร์แทนแรง 500 N โดยใชม้ าตราส่วน 1cm : 100 N ดงั น้นั ตอ้ งเขียนเสน้ ตรงที่มีความยาว 5 cm เป็นตน้

ร ะ บ บ แ ร ง | 25 2. เขียนไดอะแกรมของเวกเตอร์แรง ใหเ้ ขียนเวกเตอร์ของแรงต่อกนั โดยใชห้ วั ลูกศร ของเวกเตอร์ต่อกบั ปลายอีกดา้ นของเวกเตอร์ของแรงอ่ืน ส่วนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ตอ้ งเป็นไป ตามท่ีกาํ หนด ข้อสังเกต ๏ แรงที่กระทาํ ต่อวตั ถุและทาํ ใหว้ ตั ถุอยใู่ นสภาวะสมดุล ไดอะแกรมของเวกเตอร์ของแรงที่ กระทาํ ต่อวตั ถุจะเป็นภาพที่ปิ ดสนิทพอดี ดงั ภาพท่ี 2.9 F4 F5 F3 F6 F2 F1 ภาพที่ 2.9 ลกั ษณะไดอะแกรมของเวกเตอร์ที่อยใู่ นสภาวะสมดุล ๏ แรงที่กระทาํ ต่อวตั ถุและทาํ ให้วตั ถุไม่สมดุล ไดอะแกรมของเวกเตอร์ของแรงที่กระทาํ ต่อ วตั ถุจะเขียนไม่ครบเป็ นรูปปิ ด และแรงที่จะทาํ ให้วตั ถุมีความสมดุลมีค่าเท่ากบั เวกเตอร์ที่มาเช่ือมต่อ และทาํ ใหไ้ ดอะแกรมของเวกเตอร์เหล่าน้นั เป็ นรูปปิ ดสนิท ซ่ึงแรงที่ไดจ้ ะเป็ นแรงลพั ธ์ ส่วนในการหา ค่าแรงลพั ธ์และแรงท่ีทาํ ให้วตั ถุสมดุล ทาํ ไดโ้ ดยวดั ความยาวของเวกเตอร์ในส่วนท่ีปิ ดไม่สนิทของ ไดอะแกรมแลว้ เทียบกบั มาตราส่วนดงั ภาพท่ี 2.10 F1 F2 FR F3 F4 ภาพท่ี 2.10 ลกั ษณะไดอะแกรมของเวกเตอร์ที่อยใู่ นสภาวะไม่สมดุล

ร ะ บ บ แ ร ง | 26 ตวั อย่างที่ 2.2 จากรูปดา้ นล่าง จงหาคา่ ของแรงลพั ธเ์ พื่อทาํ ใหว้ ตั ถุเกิดสภาวะสมดุล โดยวธิ ีกราฟิ กดว้ ย มาตราส่วน 1cm : 20 N y F1 = 100 N 50 ° 30 ° x F2 = 50 N 45 ° F3 = 50 N วธิ ีทาํ เขียนไดอะแกรมของเวกเตอร์ของแรงต่างๆตามเงื่อนไขท่ีกาํ หนดให้ F1 = 100 N 45° F3 = 50 N 30° 50° FR F2 = 50 N จากไดอะแกรมของเวกเตอร์ท่ีเขียนข้ึน เม่ือทาํ การวดั ความยาวของเวกเตอร์ปรากฏวา่ ไดค้ า่ ดงั น้ี แรง FR ท่ีทาํ ใหเ้ กิดสภาวะสมดุลมีความยาวเท่ากบั 5.5 cm คิดเป็นคา่ แรงเท่ากบั 110 N มุมที่กระทาํ กบั แนวแกน x มีค่าเท่ากบั 125๐ 2.5 การหาแรงลพั ธ์ในระบบ 2 มติ ิ กรณแี รงสองแรงกระทาํ เป็ นมุมต่อกนั การหาขนาดของแรงลพั ธ์จากแรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั จะใชใ้ น 2 กรณี คือ แรงสองแรง กระทาํ เป็นมุมต่อกนั นอ้ ยกวา่ 90๐ และมากกวา่ 90๐ โดยใชห้ ลกั การของรูปสี่เหล่ียมดา้ นขนานแทนแรง และรูปสามเหล่ียมแทนแรง ตามลาํ ดบั โดยมีรายละเอียดดงั น้ี

ร ะ บ บ แ ร ง | 27 กรณที ่ี 1 แรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั นอ้ ยกวา่ 90๐ กรณีแรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั นอ้ ยกว่า 90๐ จะใชส้ มการของรูปส่ีเหล่ียมดา้ น ขนานแทนแรง ซ่ึงแรง 2 แรงจะตดั กนั ที่จุด ๆ หน่ึง ดงั ภาพที่ 2.11 (ก) สามารถแทนท้งั ขนาดและ ทิศทางของแรงท้งั 2 ไดด้ ว้ ยรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน ดงั ภาพที่ 2.11 (ข) ซ่ึงเส้นทะแยงมุมของส่ีเหลี่ยม ดา้ นขนานที่ออกจากจุดตดั ของแรงน้นั จะแทนขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ (R) ของแรง A และ B A AR θ αθ BB (ก) (ข) ภาพที่ 2.11 แรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั นอ้ ยกวา่ 90๐ จากภาพท่ี 2.11 (ข) สามารถเขียนเป็นสมการได้ ดงั น้ี • ขนาดของแรงลพั ธ์ คือ R= A2 + B2 + 2AB cos θ • ทิศทางของแรงลพั ธท์ ่ีทาํ มุม α กบั แรง B คือ tan α = A sin θ B + A cos θ

ร ะ บ บ แ ร ง | 28 ตัวอย่างท่ี 2.2 ชิ้นส่วน A และ B ดงั ภาพ ไดร้ ับแรงดึง F1 เท่ากบั 75 kN และ F2 เท่ากบั 50 kN และแรง ท้งั 2 กระทาํ เป็นมุมต่อกนั เป็นมุม 75๐ จงหาขนาดแรงและทิศทางของแรงลพั ธท์ ี่กระทาํ กบั โครงสร้างน้ี F2 = 50 kN 75๐ F1 = 75 kN วธิ ีทาํ ก) ขนาดของแรงลพั ธ์ จากสมการ R= A2 + B2 + 2AB cos θ แทนค่าในสมการ R= (75)2 + (50)2 + (2×75×50) cos 75๐ ∴ R = 100.33 N ………………………………………………. ตอบ ข) ทิศทางของแรงลพั ธ์ท่ีทาํ มุม α จากสมการ A sin θ tan α = B + A cos θ แทนคา่ ในสมการ 75 sin 75๐ α = tan -1 50 + 75 cos 75๐ ∴ α = 46.22๐ ∠ F2 ……..…………………………………… ตอบ

ร ะ บ บ แ ร ง | 29 กรณที ี่ 2 แรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั มากกวา่ 90๐ กรณีแรงสองแรงกระทาํ เป็ นมุมต่อกนั มากกว่า 90๐ จะใชส้ มการของรูปสามเหลี่ยม แทนแรง ซ่ึงแรงสองแรงจะตดั กนั ที่จุด ๆ หน่ึงดงั ภาพท่ี 2.12 (ก) หากเขียนเสน้ R ปิ ดระหว่างปลายเส้น A และ B ดงั ภาพที่ 2.12 (ข) จะไดเ้ ป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ซ่ึงดา้ นที่สามของรูปสามเหลี่ยมน้ี จะแทนท้งั ขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ (R) ของแรง A และ B B rA R r b aB A (ก) (ข) ภาพที่ 2.12 แรงสองแรงกระทาํ เป็นมุมต่อกนั มากกวา่ 90๐ จากภาพท่ี 2.12 (ข) จะเห็นวา่ รูปสามเหลี่ยมแทนแรงคือ คร่ึงหน่ึงของรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน แทนแรง ดงั น้นั ในการวิเคราะห์เพ่ือหาขนาดแรงลพั ธ์ (R) และหาทิศทางของแรงลพั ธ์ จึงหาไดจ้ ากกฎ ของ cosines และกฎของ sin ตามลาํ ดบั ดงั น้ี • กฎของ cosines R= A2 + B2 - 2AB cos r • กฎของ sin R = A = B sin r sin a sin b

ร ะ บ บ แ ร ง | 30 ตวั อย่างท่ี 2.3 จากภาพที่กาํ หนดให้ จงหาขนาดแรงและทิศทางของแรงลพั ธ์ 220 N 140๐ 200 N วธิ ีทาํ ก) หาขนาดของแรงลพั ธด์ ว้ ยกฎของ cosines จากสมการ R= A2 + B2 - 2AB cos r แทนค่าในสมการ R= (220)2 + (200)2 - (2×220×200) cos140๐ ∴ R = 394.73 N ………………..…………………………….. ตอบ ข) หาทิศทางของแรงลพั ธด์ ว้ ยกฎของ sin จากสมการ R A B sin r = sin a = sin b แทนค่าในสมการ 394.73 220 sin 140 ๐ = sin a sin a = 220 ×sin140 394.73 220 ×sin140 a = sin -1 394.73 ∴ a = 19.71๐ ∠ 200 N ……………………….…………….. ตอบ

ร ะ บ บ แ ร ง | 31 2.6 การหาแรงลพั ธ์ในระบบ 2 มติ ิ กรณแี รงกระทาํ เป็ นมุมกบั แนวแกนอ้างองิ การหาขนาดของแรงลพั ธ์จากแรงย่อยที่กระทาํ เป็ นมุมกบั แนวแกนอา้ งอิง (แนวแกนอา้ งอิง หมายถึง แนวแกน x และแนวแกน y ของแรงในระบบ 2 มิติ) สามารถคาํ นวณหาไดต้ ามข้นั ตอน คือ การแตกแรง การรวมแรง แลว้ จึงคาํ นวณหาขนาดของแรงลพั ธ์ ตามลาํ ดบั 2.6.1 การแตกแรง การแตกแรง คือ การแยกแรงท่ีกระทาํ ต่อวตั ถุ ณ จุดใด ๆ ออกเป็นแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y ดงั ภาพท่ี 2.13 y Fy F x Fx ภาพที่ 2.13 ลกั ษณะการแยกแรงท่ีกระทาํ ต่อวตั ถุ ณ จุดใด ๆ ออกเป็นแรงยอ่ ยตามแนวแกน x , y การแตกแรงสามารถกระทาํ ไดใ้ น 2 กรณี คือ กรณีที่ทราบค่ามุมระหว่างแรงท่ีกระทาํ กบั แนวแกน และกรณีที่ทราบความยาวดา้ นของแรงที่กระทาํ กบั แนวแกน กรณที ี่ 1 กรณีที่ทราบคา่ มุมระหวา่ งแรงท่ีกระทาํ กบั แนวแกน ดงั ภาพที่ 2.14 y Fy F x θ Fx ภาพท่ี 2.14 การแตกแรงกรณีที่ทราบคา่ มุม

ร ะ บ บ แ ร ง | 32 จากภาพที่ 2.14 สามารถนาํ มาเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไดด้ งั ภาพที่ 2.15 F Fy θ Fx ภาพท่ี 2.15 รูปสามเหล่ียมมุมฉากแทนแรง จากภาพท่ี 2.15 นาํ รูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีไดเ้ มื่อนาํ มาเทียบกบั ทฤษฎีของตรีโกณมิติ จะไดว้ า่ sin θ = Fy cos θ = FFx tan θ = F Fy Fx จากสมการการหาคา่ sin , cos และ tan ขา้ งตน้ สามารถนาํ มาเขียนเป็นสมการในการแตกแรง เขา้ สู่แนวแกน x และ y ไดด้ งั น้ี  การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x จะไดด้ งั น้ี Fx cos θ = F ดงั น้นั Fx = F cos θ  การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน y จะไดด้ งั น้ี Fy sin θ = F ดงั น้นั Fy = F sin θ จากสมการที่ไดจ้ ากการแตกแรงยอ่ ยเขา้ สู่แนวแกน โดยการเปรียบเทียบรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กบั ทฤษฎีของตรีโกณมิติ สามารถเขียนเป็นสมการของการแตกแรงยอ่ ยเขา้ สู่แนวแกน ไดด้ งั น้ี

y ร ะ บ บ แ ร ง | 33 F y F θ xθ x Fx = F cos θ Fx = F sin θ Fy = F sin θ Fy = F cos θ x θx θ F F y y Fx = F cos θ Fx = F sin θ Fy = F sin θ Fy = F cos θ ภาพท่ี 2.16 ตวั อยา่ งการแตกแรงยอ่ ยเขา้ สู่แนวแกน x และแนวแกน y ข้อควรจํา การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x และแกน y ค่า Fx ไม่จาํ เป็นตอ้ งเท่ากบั F cos θ และ คา่ Fy ไม่ จาํ เป็นตอ้ งเท่ากบั F sin θ ท้งั น้ีข้ึนอยกู่ บั มุม θ วา่ เกิดข้ึนในแนวใด ถา้ มุม θ เกิดข้ึนในแนวใดแลว้ การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกนน้นั จะมีค่าเป็น cos เสมอ ส่วนมุมท่ีเหลือจะมีคา่ เป็น sin เสมอ เช่นกนั

ร ะ บ บ แ ร ง | 34 ตวั อย่างที่ 2.4 จงคาํ นวณหาแรงยอ่ ยในแนวแกน x และแนวแกน y ของแรง F เท่ากบั 100 N ที่กระทาํ เป็นมุม θ เท่ากบั 35๐ กบั แนวแกน x ดงั ภาพ y Fy F x θ Fx วธิ ีทาํ ก) แตกแรงในแนวแกน x จากสมการ Fx = F cos θ แทนค่าในสมการ Fx = 100 cos 35๐ ∴ Fx = 81.92 N ………………………………………………….……… ตอบ ข) แตกแรงในแนวแกน y จากสมการ Fy = F sin θ แทนคา่ ในสมการ Fy = 100 sin 35 ๐ ∴ Fy = 57.36 N ………………………………………………….……… ตอบ ตัวอย่างที่ 2.5 จงคาํ นวณหาแรงยอ่ ยในแนวแกน x และแนวแกน y ของแรง F เท่ากบั 20 kN ท่ีกระทาํ เป็นมุม θ เท่ากบั 55๐ กบั แนวแกน x ดงั ภาพ

ร ะ บ บ แ ร ง | 35 y Fy F x θ Fx วธิ ีทาํ ก) แตกแรงในแนวแกน x จากสมการ Fx = F sin θ แทนค่าในสมการ Fx = 20 cos 55๐ ∴ Fx = 11.47 kN ………………………………………………….……… ตอบ ข) แตกแรงในแนวแกน y จากสมการ Fy = F cos θ แทนค่าในสมการ Fy = 20 sin 55 ๐ ∴ Fy = 16.38 kN ………………………………………………….……… ตอบ กรณที ่ี 2 กรณีท่ีทราบความยาวดา้ นของแรงท่ีกระทาํ ดงั ภาพที่ 2.17 y F Fy L y x x Fx ภาพที่ 2.17 การแตกแรงกรณีท่ีทราบความยาวดา้ น

ร ะ บ บ แ ร ง | 36 จากภาพที่ 2.17 สามารถนาํ มาเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากไดด้ งั ภาพท่ี 2.18 F Fy = L y Fx x ภาพที่ 2.18 การเปรียบเทียบกบั ทฤษฎีสามเหลี่ยมคลา้ ย จากภาพท่ี 2.18 เม่ือนาํ มาเปรียบเทียบทฤษฎีสามเหล่ียมคลา้ ยจะไดว้ า่ F = Fx = Fy L x y ดงั น้นั  การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x จะได้ ดงั น้ี F = Fx L = xx ∴ L F Fx  การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน y จะได้ ดงั น้ี F Fy L = y ∴ Fy = y F L ข้อควรจํา การแตกแรงในระบบ 2 มิติ ใหเ้ ป็นแรงยอ่ ยตามแนวแกน x และ y ในกรณีที่ทราบความยาวดา้ น จะตอ้ งคาํ นวณหาความยาว L ของขนาดของเวกเตอร์ในทิศทางของแรง F เสียก่อน โดยคาํ นวณไดจ้ าก สมการต่อไปน้ี L = x2 + y2

ร ะ บ บ แ ร ง | 37 ตวั อย่างที่ 2.6 จงคาํ นวณหาแรงยอ่ ยในแนวแกน x และ y y 3 F = 100 N x 4 วธิ ีทาํ ก) หาความยาว L ของแรง F L = 42 + 32 L =5 ข) สมการของการแตกแรง คือ Fy F Fx y L = x = แท่นคา่ ในสมการ Fy 100 Fx 3 5 = 4 = ค) แตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x จะได้ 100 Fx 5 = 44 5 Fx = ×100 ∴ Fx = 80 N …………………….……….………………………………….. ตอบ ง) แตกแรงเขา้ สู่แนวแกน y จะได้ 100 Fy 5 = 3 Fy = 3 ×100 5 ∴ Fy = 60 N ……………….……………….………………………………….. ตอบ

ร ะ บ บ แ ร ง | 38 2.6.2 การรวมแรง การรวมแรง คือ การรวมแรงยอ่ ยท่ีไดจ้ ากการแตกแรงหลาย ๆ แรง ให้อยใู่ นระนาบเดียวกนั การรวมแรงมีข้นั ตอน ดงั น้ี 1) แตกแรงทุกแรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y 2) รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y โดยท่ี ΣFx คือ ผลรวมของแรงในแนวแกน x ΣFy คือ ผลรวมของแรงในแนวแกน y หมายเหตุ ในการรวมแรงในระบบ 2 มิติ จะตอ้ งคาํ นึงถึงทิศทางของแรงตามแนวแกน ดงั น้ี • เมื่อแตกแรงเขา้ สู่แนวแกนแลว้ ปรากฏวา่ แรงมีทิศทางช้ีเขา้ หาแนวแกน แรงน้นั จะมี เครื่องหมายเป็นบวก ( + ) ดงั ภาพท่ี 2.19 • เมื่อแตกแรงเขา้ สู่แนวแกนแลว้ ปรากฏว่า แรงมีทิศทางช้ีตรงขา้ มกบั แนวแกน แรง น้นั จะมีเคร่ืองหมายเป็นลบ ( - ) ดงั ภาพที่ 2.19 y Fy = + Fx = - Fx = x+ Fy = - ภาพท่ี 2.19 ทิศทางของแรงในระบบ 2 มิติ 2.6.3 การหาแรงลพั ธ์ การหาแรงลพั ธ์ คือ การหาค่าของแรงที่เกิดจากการรวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y แต่ เน่ืองจากแรงในแนวแกน x และในแนวแกน y กระทาํ มุมต้งั ฉากต่อกนั ดงั ภาพที่ 2.20

ร ะ บ บ แ ร ง | 39 ΣFy R Oθ ΣFx ภาพที่ 2.20 การหาแรงลพั ธ์ (R) จากภาพท่ี 2.20 แรงลพั ธ์สามารถหาไดจ้ ากสมการ ดงั ตอ่ ไปน้ี R= ∑Fx2 +∑Fy2 เม่ือ R คือ แรงลพั ธ์ (N) ΣFx คือ ผลรวมของแรงตามแนวแกน x (N) ΣFy คือ ผลรวมของแรงตามแนวแกน y (N) และทิศทางของแรงลพั ธ์ (θ) ที่กระทาํ กบั แนวแกน ดงั ภาพที่ 2.20 สามารถใชห้ ลกั การ ทางตรีโกณมิติหาทิศทางของแรงลพั ธ์ได้ ดงั น้ี tan θ = ∑Fy ∴θ = หรือ sin θ = ∑Fx ∑Fy ∴θ = ∑Fx หรือ cos θ = tan -1 ∴θ = ∑Fy R sin -1 ∑Fy ∑Fx R R ∑Fx cos -1 R

ร ะ บ บ แ ร ง | 40 ตัวอย่างท่ี 2.7 จากภาพที่กาํ หนดให้ จงหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ที่เกิดจากแรงท้งั สามกระทาํ y F2 = 26 kN 40๐ F1 = 15 kN 5 12 x 30๐ F3 = 36 kN วธิ ีทาํ ก) หาความยาว L ของแรง F2 L (F2) = 122 + 52 = 13 ข) แตกแรงทุกแรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y • แตกแรง F1 F1x = F 1 cos θ = 15 sin 40๐ = 9.64 N = 15 cos 40๐ = 11.49 N F1y = F1 sin θ = 24.00 N • แตกแรง F2 x 12 = 10.00 N Ly 153 F2x = L × F 3 = 13 × 26 = 31.18 N F2y = × F 3 = × 26 = 18.00 N • แตกแรง F3 F3x = F3 sin θ = 36 cos 30๐ = 36 sin 30๐ F3y = F3 cos θ

ร ะ บ บ แ ร ง | 41 ค) รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y • รวมแรงในแนวแกน x ΣFx = F1x + F2x + F3x = 9.64 + (-24.00) + 31.18 = 16.82 N • รวมแรงในแนวแกน y ΣFy = F1y + F2y + F3y = 11.49 + 10.00 + (-18.00) = 3.49 N ง) หาขนาดของแรงลพั ธ์ จากสมการ R = ∑Fx2 +∑Fy2 แทนคา่ ในสมการ R = 16.822 + 3.492 ∴ R = 17.18 N ………………………………………………………. ตอบ จ) หาทิศทางของแรงลพั ธ์ จากสมการ ∑Fy θ = tan-1 ∑Fx แทนคา่ ในสมการ 3.49 16.82 θ = tan-1 ∴ θ = 11.72๐ ………..…………..…….…………………………. ตอบ

ร ะ บ บ แ ร ง | 42 ตวั อย่างท่ี 2.8 จากภาพที่กาํ หนดให้ จงหาขนาดและทิศทางของแรงลพั ธ์ท่ีเกิดจากการกระทาํ ของแรงท้งั สาม โดยไม่คิดน้าํ หนกั ของลงั ไม้ y F3 = 6 N 20๐ F2 = 7 N x 3m 4m F1 = 8 N 30๐ A วธิ ีทาํ ก) หาความยาว L ของแรง F2 L (F3) = 42 + 32 = 5 m ข) แตกแรงทกุ แรงใหอ้ ยใู่ นแนวแกน x และแนวแกน y • แตกแรง F1 F1x = F1 cos θ = 8 cos 30๐ = 6.93 N = 8 sin 30๐ = 4.00 N F1y = F1 sin θ = 2.39 N • แตกแรง F2 = 6.58 N F2x = F2 sin θ = 7 sin 20๐ = 4.80 N = 7 cos 20๐ = 3.60 N F2y = F2 cos θ • แตกแรง F3 x 4 L 35 F3x = × F3 = 5 × 6 = × 6 F3y = y × F3 L

ร ะ บ บ แ ร ง | 43 ค) รวมแรงในแนวแกน x และแนวแกน y • รวมแรงในแนวแกน x ΣFx = F1x + F2x + F3x = 6.93 + 2.39 + (-4.80) = 4.52 N • รวมแรงในแนวแกน y ΣFy = F1y + F2y + F3y = 4.00 + 6.57 + 3.60 = 14.17 N ง) หาขนาดของแรงลพั ธจ์ ากสมการ R = ∑Fx2 +∑Fy2 แทนคา่ ในสมการ R = 4.522 + 14.172 ∴ R = 14.87 N …………………………………………………. ตอบ จ) หาทิศทางของแรงลพั ธ์จากสมการ ∑Fy θ = tan-1 ∑Fx แทนคา่ ในสมการ 14.17 4.52 θ = tan-1 ∴ θ = 72.31๐ ……………………..……..…………………………. ตอบ สรุปสาระสําคญั แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ท่ีบอกท้งั ขนาดและทิศทาง การศึกษาเก่ียวกบั แรงเป็นการศึกษาเพื่อหา ขนาดของแรงหรือแรงลพั ธ์ซ่ึงเกิดจากแรงหลายๆ ที่กระทาํ กบั วตั ถุ ซ่ึงวิธีการหาขนาดของแรงลพั ธ์ท่ี นิยมคือวิธีการพีชคณิตหรือการคาํ นวณ ซ่ึงมีข้นั ตอน คือ แตกแรง รวมแรง หาขนาดของแรงลพั ธ์ และ หาทิศทางของแรงลพั ธ์

ร ะ บ บ แ ร ง | 44 1. แตกแรง 1.1 การแตกแรง กรณีที่ทราบค่ามุม การแตกแรง กรณีที่ทราบค่ามุม มีหลกั การที่สําคญั คือ การแตกแรงเขา้ สู่ แนวแกน x และแกน y ถา้ มุม θ เกิดข้ึนติดแนวใดแกนแลว้ การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกนน้นั จะมีค่าเป็น cos เสมอ ส่วนมุมท่ีเหลือจะมีคา่ เป็น sin เสมอ เช่นกนั 1.2 การแตกแรง กรณีท่ีทราบความยาวดา้ น การแตกแรง กรณีท่ีทราบความยาวดา้ น สมการคือ F Fx Fy L = x = y ดงั น้นั การแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน x จะไดส้ มการ x Fx = L F และการแตกแรงเขา้ สู่แนวแกน y จะไดส้ มการ y Fy = L F เมื่อ L = x 2 + y 2 2. รวมแรง การรวมแรง คือ การรวมแรงย่อยท่ีไดจ้ ากการแตกแรงหลายๆ แรง ให้อยู่ในระนาบ เดียวกนั ดงั สมการ ΣFx คือ ผลรวมของแรงยอ่ ยในแนวแกน x ΣFy คือ ผลรวมของแรงยอ่ ยในแนวแกน y 3. หาขนาดของแรงลพั ธ์ การหาขนาดของแรงลพั ธ์สามารถหาไดจ้ ากสมการ R= ∑Fx2 +∑Fy2 4. หาทิศทางของแรงลพั ธ์ การหาทิศทางของแรงลพั ธ์ (θ) ท่ีกระทาํ กบั แนวแกน หาไดจ้ ากสมการ θ= tan -1 ∑Fy ∑Fx