หน่วย2

เอกสารประกอบการสอน คณิตศาสตร์เครื่องมือกล 20102-2005 ครั้งที่2 นายธนัท จันทบูลย์ ช่างกลโรงงาน วิทยาลัยเทคนิคชุมพร

33 แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 2 ชือ่ วิชา คณิตศาสตร์เครื่องมือกล รหสั 20102-2005 เวลาเรยี นรวม 36 ช่ัวโมง ช่ือหน่วย การคานวณความยาว พ้นื ท่ี ปริมาตร และน้าหนกั สอนครัง้ ที่ 3-4 ชอื่ เรื่อง การคานวณความยาว พนื้ ที่ ปริมาตร และน้าหนัก จานวน 4 ชว่ั โมง 1. หัวขอ้ เรื่อง 1. การคานวณความยาวเส้นขอบรูป 2. การคานวณความยาวเส้นแนวศูนย์กลาง 3. การคานวณพื้นทขี่ องรปู เรขาคณติ 4. การคานวณปรมิ าตรรปู ทรงเรขาคณิต 5. การคานวณมวลและน้าหนกั ของชิน้ งาน 2. สาระสาคญั การหาพ้ืนทร่ี ูปทรง ตอ้ งคานวณหลายวิธเี พ่ือ ที่สามารถคานวณหาความยาวเสน้ ขอบรูป คานวณหา ความยาวเส้นแนวศนู ย์กลาง พน้ื ท่ีของชนิ้ งานมหี ลายแบบ หลายรูปทรง การคานวณจึงตอ้ งใชห้ ลายวธิ ีเพื่อแบ่ง พน้ื ทดี่ ังกล่าวออกเปน็ รปู ทรงทีส่ ามารถคานวณได้ เชน่ สูตรทใี่ ช้ในการคานวณหาปรมิ าตรและพน้ื ท่ีผวิ ปรมิ าตร = พ้นื ทห่ี น้าตดั x สูง พืน้ ทผ่ี วิ = พนื้ ที่รอบผวิ ข้าง + พนื้ ทปี่ ดิ หัวทา้ ย หรอื การคานวณมวลของชิ้นงาน สามารถคานวณไดจ้ าก ปรมิ าตร และความหนาแนน่ 3. สมรรถนะหลกั (สมรรถนะประจาหนว่ ย) แสดงความรู้การคานวณความยาว พ้ืนท่ี ปริมาตร และนา้ หนัก 4. สมรรถนะย่อย (สมรรถนะการเรยี นรู)้ 4.1 สมรรถนะท่วั ไป (ทฤษฏ)ี 1) แสดงหลักการคานวณความยาวเส้นขอบรูป 2) แสดงหลกั การคานวณความยาวเสน้ แนวศนู ย์กลาง 3) แสดงหลกั การคานวณพ้นื ท่ีของรปู เรขาคณิต 4) แสดงหลักการคานวณปริมาตรรูปทรงเรขาคณิต 5) แสดงหลกั การคานวณมวลและนา้ หนักของชน้ิ งาน 4.2 สมรรถนะที่พึงประสงค์ (ทฤษฏ)ี เมื่อผู้เรยี นไดศ้ ึกษาเนื้อหาในบทนแี้ ล้ว ผเู้ รยี นสามารถ 1) คานวณความยาวเส้นขอบรูปไดถ้ ูกต้อง 2) คานวณความยาวเส้นแนวศนู ยก์ ลางไดถ้ ูกต้อง 3) คานวณพื้นท่ีของรปู เรขาคณิตได้ถูกต้อง 4) คานวณปริมาตรรูปทรงเรขาคณิตได้ถูกตอ้ ง 5) คานวณมวลและนา้ หนักของช้ินงานไดถ้ ูกต้อง

34 แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 1 ช่อื วิชา คณติ ศาสตรเ์ ครื่องมือกล รหัส 20102-2005 เวลาเรยี นรวม 36 ช่ัวโมง ชื่อหน่วย การคานวณความยาว พื้นที่ ปรมิ าตร และน้าหนกั สอนคร้ังท่ี 3-4 ชือ่ เร่ือง การคานวณความยาว พน้ื ท่ี ปรมิ าตร และน้าหนัก จานวน 4 ชว่ั โมง 5. กิจกรรมการเรียนการสอน ในการจัดการเรียนการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ ครื่องมือกล รหสั 20102-2005 นนั้ ไดก้ าหนดกิจกรรม การเรียนการสอนใหผ้ ูเ้ รยี นเกิดการเรยี นร้โู ดยใช้วธิ กี ารจดั การเรยี นรู้ฐานสมรรถนะเชิงรุก (Active Learning Competency Based) ดา้ นเทคนคิ การจัดการเรยี นการสอนแบบ MAIP โดยมขี น้ั ตอนในการดาเนินกจิ กรรม การเรียนการสอน ดังนี้ กิจกรรมการเรยี นการสอน (สอนครั้งที่ 3 ) เวลา 2 ชวั่ โมง/สัปดาห์ 1. ผู้สอนชี้แจงรายละเอยี ดประสงคป์ ระจาหน่วย คุณลักษณะของผูเ้ รยี นอันพึงประสงคข์ องหนว่ ย การเรยี นน้ี และข้อตกลงการจดั การเรียนในรายวชิ าน้ี . . 2. ผ้สู อนแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรียนประจาสัปดาห์ และนาเข้าส่บู ทเรียน . 3. ผู้สอนถ่ายทอดความรใู้ นหนว่ ยที่ 2 เร่ือง ความยาว พ้ืนท่ี ปริมาตร และนา้ หนกั 4. ผู้สอนอธิบายเก่ยี วกับความยาว พน้ื ท่ี ของชนิ้ งาน 5. ผู้สอนให้ผู้เรียนเขยี นสรุปสาระสาคัญของเรื่องท่เี รยี นประจาสปั ดาห์ กจิ กรรมการเรยี นการสอน (สอนครั้งท่ี 4 ) เวลา 2 ช่ัวโมง/สปั ดาห์ 1. ผูส้ อนแจ้งจดุ ประสงค์การเรยี นประจาสปั ดาห์ และนาเข้าสูบ่ ทเรยี น 2. ผสู้ อนอธิบายเกีย่ วกับ ปริมาตร และนา้ หนัก ของชิ้นงาน 3. ผู้สอนให้ผู้เรียนเขียนสรปุ สาระสาคัญของเร่ืองทเ่ี รยี นประจาสัปดาห์ 5.1 ขน้ั นาเข้าสู่บทเรยี น กจิ กรรมครผู ู้สอน 1) ครูเรียกชือ่ สารวจการแต่งกายของนักศกึ ษาวา่ มคี วามเรยี บร้อยถกู ตอ้ งตามระเบียบ หรอื ไม่ 2) ครูแจ้งจดุ ประสงค์ประจาหนว่ ยการเรียนรแู้ ละความสาคัญของเนอื้ หา . . .3) ผ้เู รยี นทาใบทดสอบก่อนเรยี น โดยใช้แบบทดสอบก่อนเรยี น กิจกรรมผเู้ รียน 1) ผเู้ รียนฟงั ครอู ธบิ าย และทาความเข้าใจบทเรียน 2) ผู้เรยี นทาแบบทดสอบทา้ ยบท พูดคยุ สอบถามครผู ู้สอน 3) ผู้เรียนศกึ ษาจากบทเรียน 4) ผเู้ รยี นชว่ ยกนั สรปุ หัวข้อต่าง ๆ และตอบคาถามจากแบบฝึกหัด .

35 แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 2 ช่ือวิชา คณติ ศาสตรเ์ ครื่องมือกล รหัส 20102-2005 เวลาเรยี นรวม 36 ช่ัวโมง ช่ือหน่วย การคานวณความยาว พ้ืนที่ ปริมาตร และน้าหนกั สอนครัง้ ท่ี 3-4 ช่ือเร่ือง การคานวณความยาว พืน้ ท่ี ปรมิ าตร และนา้ หนัก จานวน 4 ชว่ั โมง 5.2 ขัน้ สรุปกจิ กรรมการเรยี นรู้ กจิ กรรมครผู ้สู อน 1) ครผู ู้สอน สรปุ ทบทวน กระตนุ้ ผู้เรียน ให้ใช้ความคดิ จากการความเรียนรู้ 2) ครูผูส้ อน เปิดโอกาสใหน้ ักศึกษาสอบถาม 3) ครผู ้สู อน สรุปเน้ือหาทัง้ หมดร่วมกับนักเรียน มอบหมายแบบฝึกหัดให้ผู้เรยี น กจิ กรรมผู้เรียน 1) ผู้เรียนประเมนิ ตนเอง 2) ผู้เรยี นศึกษาเพิ่มเติมจากแบบฝกึ หดั ทค่ี รูผ้สู อนมอบหมาย 6. ส่อื การสอน 6.1 เอกสารประกอบการสอน 6.2 เอกสารประกอบการเรยี น 6.3 สอ่ื นาเสนอ PowerPoint 6.4 ช้ินงานตวั อยา่ ง 7. งานที่มอบหมาย/กิจกรรม 7.1 นกั เรียนทาแบบฝกึ หัด 7.2 นกั เรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรียน 8. การวดั และประเมนิ ผล วดั ผล/ประเมินผล วิธีการ เคร่อื งมือ เกณฑ์ 1.สมรรถนะท่ีพึง - ทาแบบฝึกหดั - ครตู รวจและเก็บ - ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 70 ประสงค์ คะแนนแบบทดสอบหลงั เรียนหน่วยท่ี 2 2.คณุ ลักษณะอนั พงึ - ประเมินคณุ ลักษณะ - แบบประเมนิ - ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 80 ประสงค์ (Attitude) อนั พึงประสงค์ คุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

36 แบบทดสอบก่อนเรยี น ช่อื วิชา คณติ ศาสตรเ์ คร่ืองมือกล รหัส 20102-2005 เวลาเรยี นรวม 36 ช่ัวโมง ช่ือหนว่ ย การคานวณความยาว พ้ืนท่ี ปริมาตร และน้าหนัก สอนครั้งที่ 3-4 ชื่อเรื่อง การคานวณความยาว พน้ื ท่ี ปรมิ าตร และน้าหนัก จานวน 4 ช่วั โมง แบบทดสอบหน่วยท่ี 2 การคานวณความยาว พ้นื ที่ ปริมาตร และน้าหนัก จากโจทย์ จงหาความยาวเส้นรอบรปู ขอ้ 1 L = mm ขอ้ 2 L = mm ขอ้ 3 L = mm ขอ้ 4 L = mm ขอ้ 5 A = cm2

37 ขอ้ 6 A = dm2 ขอ้ 7 V = cm3 ขอ้ 8 V = cm3 ขอ้ 9 V = dm3

38 ขอ้ 10 V = cm3 ขอ้ 11 V = dm3 ขอ้ 12 m = Kg

39 ใบความรู้หน่วยที่ 2 รหสั วิชา 20102-2005 ชอ่ื วชิ า คณติ ศาสตร์เคร่ืองมือกล หน่วยท่ี 2 ชอ่ื หน่วย การคานวณความยาว พื้นท่ี ปริมาตร และนา้ หนัก หน่วยท่ี 2 การคานวณความยาว พน้ื ที่ ปริมาตร และน้าหนัก จานวน 4 ช่ัวโมง ใบความรู้หน่วยที่ 2 การคานวณความยาว พืน้ ท่ี ปรมิ าตร และน้าหนัก 2.1 การคานวณหาความยาวเส้นขอบรปู ความยาวเส้นขอบรปู คอื ความยาวตามความจริงในขณะเหยยี ดตรง เพือ่ ทจี่ ะใชด้ ัดให้โค้งหรอื ใหเ้ ป็น มุมตามที่แบบต้องการ ซึ่งวิธดี ดั โค้งอาจเปน็ โค้งทเี่ ปน็ สว่ นหน่งึ ของวงกลมหรอื วงรี และอาจหักเป็นมมุ ฉากหรือคา่ มมุ ต่าง ๆ ได้ L  l1  R  l 2  l 3  l 4  l 5  l 6  l 7 รปู ที่ 2.1 วงกลม l  d รูปที่ 2.2 เสน้ รอบรปู l  2r เซกเมนต์วงกลมขนาดมมุ  ที่จดุ ศนู ยก์ ลาง เส้นโค้งของเซกเมนต์ l1   d 360 รปู ที่ 2.3 วงรี l   D  d  เส้นรอบรูปวงรี 2 D = ความยาวแกนยาว รปู ท่ี 2.4 d = ความยาวแกนส้นั ตวั อย่างที่ 2.1 จากรปู ทีก่ าหนดให้ จงคานวณหาความยาวเสน้ ขอบรูป ( หน่วยเปน็ mm )

40 l1  600mm l 2  500mm l 3  300mm d  210mm รูปที่ 2.5 วธิ ที า ความยาวเสน้ ขอบรปู สามารถคานวณหาได้จาก      L 4 d  = 2 1  3  2 2  d  2 3  d   2 = 2(600 - 300) + 2(500 - 200) + 2(300 - 210)+4 = 600 + 580 + 180 + 1,320  L = 2,680 mm สรุปไดว้ า่ ความยาวเสน้ ขอบรปู มีคา่ เท่ากบั 2,680 mm    หรืออาจหาจาก2 4 d  L = 1  d 2 2  d   2 = 2(600 - 210) + 2(500 - 210) + 4  22  210  7 2 = 780 + 580 + 1,320  L = 2,680 mm ซึ่งคาตอบท่ีไดม้ คี ่าเทา่ กนั กับวิธแี รก ดงั น้นั จงึ กล่าวไดว้ า่ ในการหาความยาวเส้นขอบรูปสามารถทา ไดห้ ลายวธิ แี ล้วแต่หลกั การของแต่ละคน คาตอบที่ได้กจ็ ะมีคา่ เท่ากนั เสมอ

41 ตวั อย่างท่ี 2.2 จากรูปที่กาหนดให้ จงคานวณหาความยาวเส้นขอบรูป ( หนว่ ยเป็น mm ) รูปท่ี 2.6 พจิ ารณาจากรูปท่ี 2.6 จะได้ว่า L = 1   2   3   4   5   6   7 โดยท่ี  1 =  7 ,  2 =  6 และ  3 =  5 แทนคา่ = 2(40) + 2(   10) + 2(25) + (30) = 80 + 62.84 + 50 + 94.26 = 287.1 mm  ความยาวของชนิ้ งานท้งั หมด = 287.1 mm

42 2.2 การคานวณหาพน้ื ทข่ี องรปู ทรงตา่ ง ๆ 2.2.1 พนื้ ท่ขี องรูปเหล่ียมทวั่ ไป ในการคานวณหาพืน้ ที่รูปเหลี่ยมท่วั ไป สามารถพิจารณาได้ดังน้ี กาหนดให้ A = พื้นท่ี U = ความยาวเสน้ รอบรูป e = ความยาวเส้นทแยงมุม h = ส่วนสูง a, b = ความยาวดา้ น สตู รท่ีใชใ้ นการคานวณหาพืน้ ที่และเส้นรอบรูปของรูปเหลย่ี มท่วั ไป พจิ ารณาได้ดงั น้ี รูปที่ 2.7 สเ่ี หล่ียมจัตรุ ัส (Square) รปู ที่ 2.8 รปู ที่ 2.9 A  a2 U  4a e a 2  1.414a a e 1. 414  0.707e สเ่ี หล่ียมผนื ผ้า (Rectangle) A  ab U  2a  b  e  a2 b2 สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน (Parallelogram) A  ah U  2a  b  รูปท่ี 2.10 สเี่ หล่ยี มขนมเปียกปูน (Rhombus) A  ab U  4a

43 รูปท่ี 2.11 สี่เหล่ยี มคางหมู (Trapezoid) รปู ที่ 2.12 A  1 a  b h รูปท่ี 2.13 รปู ที่ 2.14 2 เหลย่ี มดา้ นไม่เท่า (Quadrilateral) A ผลบวกของรูปสามเหลี่ยมย่อย A  1  เสน้ ทแยงมมุ  ผลบวกของเส้นก่ิง 2 สามเหล่ยี ม (Triangle) A  1h 2 สามเหลยี่ มด้านเทา่ (Equilateral Triangle) h  0.866a A  1 ah 2  0.433a 2 สามเหลยี่ มมมุ ฉาก (Right Triangle) รูปท่ี 2.15 A  1 ab รปู ที่ 2.16 2 สามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว (Isoceles) a2  h2  b2 4 A  1 bh 2 รปู หลายเหลีย่ มดา้ นไมเ่ ท่า A = ผลบวกของรปู สามเหล่ยี มย่อย รูปที่ 2.17

รปู ท่ี 3.18 44 รูปหลายเหลยี่ มด้านเท่า มุมที่แตล่ ะดา้ นกาง ณ จดุ ศนู ยก์ ลาง () = 360/n n = จานวนด้านเทา่ ของรปู () มุมระหวา่ งด้านเทา่ = 180 -  ;  = (n-2)/n  180 A = n  พนื้ ท่ีของรปู สามเหลีย่ มย่อยบนแต่ละดา้ น U = na 2.2.2 พืน้ ท่รี ปู ทรงผวิ โค้ง ในการคานวณหาพน้ื ท่ีรปู ทรงผิวโคง้ สามารถพจิ ารณาไดด้ ังนี้ กาหนดให้ d = ขนาดของเสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง A = พื้นที่  = ขนาดของมุมกาง ณ จุดศนู ย์กลาง L = ความยาวคอร์ด B = ความสูงคอร์ด S = ความยาวคอร์ดหรือ ความยาวสว่ นโค้ง ดงั นน้ั สูตรที่ใช้ในการคานวณพ้ืนท่ี รูปทรงผิวโค้งลกั ษณะต่าง ๆพจิ ารณาดังนี้ วงกลม เสน้ รอบวง = d = 2r พน้ื ที่ = r² = d²/4 รปู ท่ี 2.19 วงแหวน พ้นื ท่ี = (R²- r²) = /4  (D²- r²) = 0.785(D²- r²) รปู ที่ 2.20

45 เซกเตอร์ ความยาวโคง้ s    d 360  r   180 พ้ืนท่ีเซกเตอร์    d 2 360 4 รูปที่ 2.21    r 2  S  r รูปท่ี 2.22 360 2 รูปท่ี 2.23 เซกเมนต์ = พนื้ ที่เซกเตอร์ - ในเซกเมนต์ พ้นื ทีเ่ ซกเมนต์    r 2  L r  b  360 2  S  r  L r  b  22  2 LB 3 วงรี พนื้ ท่ี =   D/2  d/2 = Dd / 4 เส้นรอบรูป =   (D+d)/2

46 ตัวอย่างท่ี 2.3 จงคานวณหาพ้นื ท่ีดงั รูปท่ีกาหนดให้ (หนว่ ยเปน็ mm) รูปท่ี 2.24 รูปที่ 2.25 พื้นที่ท้ังหมดของรปู Ax = พน้ื ทท่ี ั้งหมด - (A1 + A2) เม่ือ Aท้ังหมด = 60  100 = 6,000 mm2 พน้ื ที่ A1 = 1 (10 + 75)  30 = 1,275 mm2 2 พื้นที่ A2 = 10  10 = 100 mm2 แทนค่า พน้ื ท่ีภาคตดั รูป Ax = 6,000 - (1,275 + 100) = 4,625  พ้ืนท่ภี าคตัด รปู Ax = 4,625 ตารางมิลลเิ มตร ตวั อย่างที่ 2.4 จงคานวณหาพ้นื ท่ีจากรูปท่กี าหนดให้ (หน่วยเป็น mm) รปู ท่ี 2.26 จากรูปที่ 2.26 จะได้วา่ = A1 + A2 + A3 ; A1 = A3 Aทัง้ หมด หา A1 = 0.785(D2  d2 ) 4  A1 0.785(1162  1002 ) = 4 = 678.24 mm2 หา A2 = (8  100) = 800 mm2 แทนค่า Aทั้งหมด = 678.24 + 800 + 678.24  พนื้ ทที่ ้ังหมดของรูป = 2,156.48 ตารางมลิ ลเิ มตร

47 2.3 การคานวณหาปรมิ าตรและ พืน้ ท่ีผิว ในการหาปริมาตรและพ้นื ท่ผี วิ ของรูปทรงตา่ ง ๆ สามารถพิจารณาได้ดงั นี้ คอื 1. รปู ทรงสูงขนาน 4. รปู ทรงกลมและทรงกลมตัด 2. รปู ทรงยอดแหลม 5. รูปวงแหวน 3. รปู ทรงยอดตัด 6. รปู ทรงอ่นื ๆ กาหนดให้ V = ปริมาตร A = พนื้ ทห่ี น้าตดั Am = พ้นื ที่หน้าตดั เฉล่ยี Ab = พนื้ ทฐ่ี าน As = พนื้ ทผ่ี วิ ทงั้ หมด h = ความสูง hm = ความสงู เฉลี่ย d = เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง r = รศั มี 2.3.1 ปรมิ าตร และพ้นื ทผ่ี ิวของรปู ทรงสงู ขนาน สูตรท่ีใชใ้ นการคานวณหาปริมาตรและพื้นท่ผี ิวของรปู ทรงสงู ขนาน พิจารณาได้ดงั นี้ ปริมาตร = พื้นท่หี นา้ ตดั  สงู พื้นท่ีผวิ = พนื้ ทร่ี อบผวิ ข้าง + พ้นื ท่ีปิดหวั ท้าย รปู ลูกบาศก์ V = a³ As = 6a² รปู ที่ 2.27 รปู ทรงกระบอก V = r²h = d² / 4 h As = 2r² + 2rh = d² / 2+dh รูปท่ี 2.28

48 รปู ทรงสูงขนานอ่ืน ๆ = A h = A  hm รูปที่ 2.29 2.3.2 ปรมิ าตรและพน้ื ทผ่ี วิ ของรปู ทรงยอดแหลม สูตรที่ใชใ้ นการคานวณหาปริมาตรและพืน้ ท่ผี วิ ของรูปทรงยอดแหลม พจิ ารณาดังน้ี ปรมิ าตร = 1/3 (พนื้ ท่ีฐาน  สูงตรง) พื้นท่ีผวิ = พ้นื ทฐ่ี าน + พื้นที่รอบรูปทรงยอดแหลม พจิ ารณารปู ทรงยอดแหลมในลกั ษณะตา่ ง ๆไดด้ งั รปู รปู ที่ 2.30 จากรปู จะได้ว่า V  1  Ab h 3 2.3.3 ปริมาตรและพน้ื ที่ผิวของรูปทรงยอดตดั สูตรทใ่ี ชใ้ นการคานวณหาปรมิ าตรและพน้ื ท่ีผวิ ของรปู ทรงยอดตัด พิจารณาไดด้ งั นี้ ปริมาตร = พื้นที่หน้าตัดเฉล่ยี  ความสูงตรง พ้นื ทีผ่ วิ = พนื้ ทร่ี อบรูปทรงยอดตัด + พืน้ ทีป่ ิดหัวทา้ ย พจิ ารณาลกั ษณะตา่ ง ๆ ของรปู ทรงยอดตดั ไดด้ ังรปู รูปที่ 2.31 จากรปู จะไดว้ ่า V  Am  h V  A1  A2  h 2

49 2.3.4 ปริมาตร และพืน้ ท่ีผิวของรูปทรงกลม และทรงกลมตดั สูตรทใ่ี ชใ้ นการคานวณหาปรมิ าตรและพน้ื ท่ีผิวของรูปทรงกลม และทรงกลมตัด พจิ ารณาไดด้ ังน้ี ทรงกลมและทรงกระบอกหุ้มทรงกลม ปรมิ าตรทรงกลม = 1/6 d³ V = 4/3 r³ V = 2/3  ปรมิ าตรทรงกระบอกหุ้มทรงกลม รูปท่ี 2.32 พน้ื ทผ่ี ิวของทรงกลม = 4  r² As = d² ทรงกลมตัด = h²(d/2  h/3) ปริมาตรทรงกลมตัด = h(s²/8 + h²/6) = 2rh V = /4(s² + 4h²) พืน้ ท่ีผิวของทรงกลมตดั รูปท่ี 2.33 2.3.5 ปรมิ าตร และพ้ืนทผ่ี วิ ของรูปวงแหวน สูตรท่ีใชใ้ นการคานวณหาปริมาตรและพนื้ ที่ผวิ ของรปู วงแหวน พิจารณาได้ดังนี้ รปู วงแหวนกลม รูปท่ี 2.34 จากรูปจะได้ว่า ปรมิ าตรวงแหวนกลม = พน้ื ทหี่ นา้ ตดั  เส้นรอบวงวัดตามแนวจุดศูนยถ์ ว่ ง น่นั คอื V = (d²/4)  (D) พน้ื ท่ผี วิ ของวงแหวนกลม = เสน้ รอบวงหน้าตดั  เสน้ รอบวงวัดตามแนวจดุ ศูนยถ์ ่วง นั่นคอื As = (d)  (D)

50 รูปวงแหวนสามเหล่ียม รูปท่ี 2.35 จากรปู จะไดว้ ่า ปรมิ าตรของวงแหวนสามเหลยี่ ม = พนื้ ท่ีหน้าตัด  เสน้ รอบวงวัดตามแนวจุดศนู ย์ถว่ ง นั่นคือ V = Ai  D พ้นื ทผี่ วิ ของวงแหวนสามเหลี่ยม = เสน้ รอบวงหน้าตดั  เส้นรอบวงวดั ตามแนวจุดศูนย์ถว่ ง นน่ั คือ As = (a + a + a)  D = 3a  D 2.3.6 ปรมิ าตรและพื้นทผ่ี วิ ของรูปทรงอ่ืน ๆ พิจารณาลักษณะของรปู ทรงทีแ่ ตกต่างของรูปทรงท่ีกลา่ วมาทัง้ หมด ไดแ้ ก่ รปู ทรงถังผวิ โค้ง รปู ที่ 2.36 จากรปู จะไดว้ ่า ปรมิ าตรของถังผิวโค้ง = /3  h (D²/2 – d²/4) นนั่ คอื V = /3  h(D²/2 – d²/4)

51 ตัวอยา่ งท่ี 3.5 ถังใสน่ า้ ดังรูปที่กาหนดให้ จงคานวณหา 1.เมอื่ บรรจุน้าเต็ม จะจุได้กีล่ ิตร 2.จะต้องสรา้ งจากแผน่ เหล็กหนา 2 มลิ ลเิ มตร พนื้ ที่โตเทา่ ใด 3.เม่อื บรรจนุ ้าสูงสามในส่ีส่วน จะจไุ ด้กลี่ ติ ร รปู ที่ 2.37 วิธที า 1. พจิ ารณาจากโจทยจ์ ะได้วา่ *** ปรมิ าตรตามรูป (V) = 1 (120 + 250)  150  600 2 = 75  (370)  600 mm3 = 16,650,000 mm3  ปรมิ าตรเม่ือบรรจนุ ้าเต็ม = 1,665 ลติ ร 2. ถา้ สรา้ งด้วยเหลก็ หนา 2 mm จะมพี น้ื ท่ี  A ท้งั หมด = 2  1 150 2 120  250 + (120  600) + (173.20  600) + (156.15  600) = 55,500 + 72,000 + 103,920 + 93,690 = 325,110 mm2 จะตอ้ งสรา้ งดว้ ยแผ่นเหลก็ มีพ้ืนท่ี = 0.325 ตารางเมตร 3. จากข้อ (1) เมื่อบรรจุนา้ เต็ม = 16.65 ลติ ร ถ้าบรรจุ 3 = 16.65  3 4 4 3  เมื่อบรรจนุ ้า 4 จะมปี ริมาณ = 12.48 ลิตร

52 2.4 การคานวณมวลและน้าหนกั ของชิน้ งาน การคานวณมวลของช้นิ งาน สามารถคานวณได้จาก ปริมาตร และความหนาแน่นดังน้ี . มวล = ปรมิ าตร  ความหนาแน่น หรอื m = V   โดยท่ี - ถา้ มวลเปน็ กรมั (g) ปรมิ าตรจะเปน็ ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร (cm³) - ถ้ามวลเป็นกิโลกรัม (kg) ปริมาตรจะเป็นลกู บาศกเ์ ดตเิ มตร (dm³) - ถา้ มวลเปน็ เมตริกตนั (ton) ปริมาตรจะเป็นลกู บาศกเ์ มตร (m³) เราสามารถพจิ ารณาความหนาแน่นของโลหะตา่ ง ๆ ไดด้ ังน้ี ตารางที่ 2.1 แสดงความหนาแนน่ ของโลหะตา่ ง ๆ (kg/dm³)หรือ (  10³ kg / m³) โลหะ ความหนาแน่น โลหะ ความหนาแน่น โลหะ ความหนาแนน่ อะลมู ิเนยี ม 2.7 ทองแดง 8.9 ปรอท 13.6 ตะกั่ว สงั กะสี 7.1 นกิ เกลิ 11.3 ทองเหลือง 8.5 เหลก็ เหนยี ว 7.85 1.00 เหลก็ หลอ่ 8.9 ดบี กุ 7.3 น้า 7.25 เบนซิน 0.7 ชิ้นงานทัง้ หลายสามารถคานวณหาปริมาตรไดจ้ าก ผลบวกของทรงต่าง ๆ ทป่ี ระกอบกนั เปน็ ช้ินงานนั้น ซงึ่ วิธีการคานวณหาปริมาตรจะตอ้ งคานวณจากทรงย่อย ๆ กอ่ นแล้วจึงรวมกนั เป็นปรมิ าตรช้ินงาน น่ันคอื V = V1 + V2 + V3 +………..+ Vn และจะไดว้ า่ m = V   นา้ หนกั ของชิน้ งาน คือ แรงทเี่ กิดจากการเคลอื่ นที่ด้วยความเร่งของมวลจานวนหนง่ึ นนั่ คอื F = mg เม่ือ F = แรง มหี น่วยเปน็ นวิ ตัน (N) M = มวล มหี น่วยเปน็ กโิ ลกรัม (kg) g = แรงโน้มถว่ งของโลก = 9.81 m/s² ดงั น้นั 1 kg = 9.81 N  10 N

53 ตวั อย่างที่ 2.6 จะต้องใช้เหลก็ หลอ่  120 mm มีความยาวเท่าใด ถึงจะพอดีถ่วงแรงจาก มวล 25 kg ดงั รูปทีก่ าหนดให้ รูปที่ 2.38 วธิ ีทา จากรปู จะไดว้ า่ ; ความหนาแน่นเหล็กหล่อ จากตาราง = 7.25 kg/dm3 นนั่ คอื *** มวล (m) = ปริมาตร (V)  ความหนาแนน่ () 25 kg = V  7.25 kg dm2 25 kg  ปรมิ าตร (V1) = 7.25 = 3.448 kg  dm3 *** ปรมิ าตร (V1) = d 2 h ; เมอื่ V1 = V2 4 แทนคา่ =   1202 3.448 dm3 = 4 h   1202 h= 4  h mm3 3.448  4 dm3 mm 3   14400  10 mm 2  dm3 = 304.75 mm  เหล็กหลอ่ ขนาด  120 mm จะตอ้ งมีความยาว (h) = 304.75 mm    

54 แบบฝึกหัดหน่วยท่ี 2 ชื่อวิชา คณติ ศาสตร์เคร่ืองมือกล รหัส 20102-2005 เวลาเรยี นรวม 36 ชั่วโมง ชือ่ หนว่ ย การคานวณความยาว พื้นท่ี ปริมาตร และนา้ หนกั สอนครง้ั ท่ี 3-4 ช่ือเร่ือง การคานวณความยาว พื้นที่ ปริมาตร และน้าหนัก จานวน 4 ชั่วโมง แบบฝึกหดั 2 การคานวณความยาว พื้นท่ี ปริมาตร และนา้ หนัก 1 คานวณหาความยาวเสน้ รอบรปู ได้ ข้อ 1.1 .................................................. .................................................. L = mm. ขอ้ 1.2 .................................................. .................................................. L = mm. ข้อ 1.3 .................................................. .................................................. L = mm. ขอ้ 1.4 .................................................. .................................................. .................................................. L = mm. 2

55 ข้อ 1.5 .................................................. .................................................. .................................................. L = mm. 2. คานวณหาความยาวของชิ้นงานท่มี เี ส้นแนวศนู ย์กลางได้ ข้อ 2.1 .................................................. .................................................. L = mm. ข้อ 2.2 .................................................. .................................................. .................................................. L = mm. ข้อ 2.3 .................................................. .................................................. L = mm. ขอ้ 2.4 .................................................. .................................................. L = mm.

56 ข้อ 2.5 .................................................. .................................................. L = mm. 3. คานวณหาพ้นื ท่ขี องรปู เรขาคณิตได้ ขอ้ 3.1 4 M2 2 dm2 cm2 120 4000 ขอ้ 3.2 .................................................. .................................................. A= cm2 ข้อ 3.3 .................................................. .................................................. A= cm2 ข้อ 3.4 .................................................. A= cm2

57 ขอ้ 3.5 .................................................. A = mm2 ข้อ 3.6 .................................................. .................................................. .................................................. A= mm ข้อ 3.7 .................................................. .................................................. A= mm ขอ้ 3.8 .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. A = cm2 ขอ้ 3.9 .................................................. .................................................. .................................................. A= mm2

58 ข้อ 3.10 .................................................. .................................................. A= mm2 ขอ้ 3.11 .................................................. .................................................. .................................................. A= cm2 ข้อ 3.12 .................................................. .................................................. A= cm ข้อ 3.13 .................................................. .................................................. A= mm

59 ข้อ 3.14 .................................................. .................................................. A= cm2 ข้อ 3.15 .................................................. .................................................. A= mm2 4. คานวณหาปริมาตรและพ้ืนท่ีผิวของรปู ทรงเรขาคณิตได้ dm3 cm3 ข้อ 4.1 400 3000 M3 0.2 ข้อ 4.2 .................................................. V = cm3

60 ขอ้ 4.3 .................................................. V = m3 ข้อ 4.4 .................................................. V = m3 ขอ้ 4.5 .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. V = cm3 ขอ้ 4.6 .................................................. .................................................. V = m3

61 ข้อ 4.7 .................................................. V = dm3 ข้อ 4.8 .................................................. .................................................. V = cm3 ข้อ 4.9 .................................................. .................................................. .................................................. V = m3 ข้อ 4.10 .................................................. V = mm3

62 ขอ้ 4.11 .................................................. .................................................. .................................................. V = cm3 ขอ้ 4.12 .................................................. .................................................. .................................................. V = cm3 ขอ้ 4.13 .................................................. V = m3 ข้อ 4.14 .................................................. .................................................. h = mm

5 คานวณหามวลและนา้ หนักของชิ้นงานได้ 63 ข้อ 5.1 .................................................. .................................................. m = Kg ขอ้ 5.2 .................................................. .................................................. m = kg. ขอ้ 5.3 .................................................. .................................................. .................................................. m = kg.

64 ขอ้ 5.4 .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. m = kg. ขอ้ 5.5 .................................................. .................................................. m = kg ข้อ 5.6 .................................................. .................................................. .................................................. G = KN

65 แบบทดสอบหลังเรยี น ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรเ์ ครื่องมือกล รหัส 20102-2005 เวลาเรียนรวม 36 ชั่วโมง ช่ือหน่วย การคานวณความยาว พน้ื ที่ ปริมาตร และนา้ หนัก สอนครัง้ ที่ 3-4 ช่ือเรื่อง การคานวณความยาว พ้ืนที่ ปริมาตร และน้าหนัก จานวน 4 ชวั่ โมง ใบทดสอบหนว่ ยท่ี 2 การคานวณความยาว พืน้ ท่ี ปรมิ าตร และน้าหนัก จงคานวณหาความยาวเสน้ รอบรูป ขอ้ 1 L= mm ขอ้ 2 L= mm ขอ้ 3 L = mm ขอ้ 4 L = mm ขอ้ 5 A = cm2

66 ขอ้ 6 dm2 A= ขอ้ 7 cm3 V= ขอ้ 8 cm3 V= ขอ้ 9 dm3 V=

67 ขอ้ 10 cm3 V= ขอ้ 11 dm3 V= ขอ้ 12 Kg m=

68 เฉลยแบบฝึกหดั ช่อื วิชา คณติ ศาสตรเ์ คร่ืองมือกล รหสั 20102-2005 เวลาเรียนรวม 36 ช่ัวโมง ชอื่ หนว่ ย การคานวณความยาว พ้นื ท่ี ปริมาตร และนา้ หนกั สอนครงั้ ที่ 3-4 ชื่อเร่ือง การคานวณความยาว พน้ื ท่ี ปริมาตร และนา้ หนกั จานวน 4 ช่ัวโมง เฉลยแบบฝึกหัดหน่วยท่ี 2 ขอ้ 1.1 1. คานวณหาความยาวเส้นรอบรูปได้ L = D = 2r = 3.14100 L = 314 mm. ข้อ 1.2 L =    .r 360 = 30  3.14 120 360 L = 3.14 mm. ข้อ 1.3 L = D = 3.14450 L = 1413 mm. ขอ้ 1.4 L = d + 200 = ( 3.14320X)+200 = 1004.8+200 L = 1204.80 mm.

69 ขอ้ 1.5 L = D+880+480 = (3.14160)+880+480 = 502.4+880+480 L = 1862.4 mm. 2. คานวณหาความยาวของช้นิ งานท่มี ีเสน้ แนวศูนยก์ ลาง ขอ้ 2.1 L = D 2 = 3.14 120 2 L = 188.40 mm. ขอ้ 2.2 D 100 L= 4 =  3.14  35   100 = 4 27.47+100 L = 127.47mm.

70 ขอ้ 2.3 L = D = 3.1442 L = 131.88 mm. ขอ้ 2.4 D  70 L= 2 =  3.14  36   70 = 2 56.52+70 L = 126.52 mm. ขอ้ 2.5 50  D  80  D L= 42 = 50   3.14  30   80   3.14  30  = 4 2 50+23.55+80+47.10 L = 200.65 mm.

71 3. คานวณหาพ้นื ท่ีของรปู เรขาคณติ ได้ ขอ้ 3.1 M2 dm2 cm2 2 100 10000 1.2 120 12000 0.4 40 4000 ขอ้ 3.2 A = 1 100 30 2 = 1500 mm2 A = 15 cm2 ขอ้ 3.3 A = 10050 = 5000 mm2 A = 50 cm2 ขอ้ 3.4 300400 A= 120000 mm2 = A = 1200 cm2

72 ขอ้ 3.5 A = 250500 A = 125000 mm2 ขอ้ 3.6 300300 250a = a= 300 300 a= 250 360 a = 360 mm2 ขอ้ 3.7 a400 900  800 = 900 800 2 2  400 a= a = 900 mm2 ขอ้ 3.8 A =  202  102 44 =  202  102  4 =  400 100 4 = 3.14  300 4 A = 235.5 mm2 หรือ A = 2.355 cm2

73 ขอ้ 3.9 A =   d 2 360 4 = 45  3.14  40  40 360 4 = 1  3.14  40  40 84 A = 157 mm2 ขอ้ 3.10   420 420 A= 4 3.14  420  420 = 4 A = 138474 mm2 ขอ้ 3.11  442  302  A= A= 4 A=  1936  900 4 3.14 1036 4 A = 813.26 cm2

74 ขอ้ 3.12 d 2 A= 4 803.84 = 3.14 d 2 4 d= 803.84  4 d= 3.14 1024 A = 32 cm ขอ้ 3.13 A = D2   2002 44 1275.63+  3.14 200 200     D2  4 4 D2 = 1275.63  31400 4 3.14 D2 = 32675.63 4 3.14 D = 41625 D = 204 cm A = 2040 mm ขอ้ 3.14 = 3 35   351 A 2 = 105+17.50 A = 122.50 cm2

75 ขอ้ 3.15 A = 4050 2010 = 2000-200 A = 1800 mm2 4. คานวณหาปรมิ าตรและพ้ืนท่ผี ิวของรปู ทรงเรขาคณติ ขอ้ 4.1 M3 dm3 cm3 0.2 200 200000 0.4 400 400000 0.003 3 3000 ขอ้ 4.2 V = 305 V = 150 cm3 ขอ้ 4.3 V = 3142 V = 628 m3

76 ขอ้ 4.4 V = 121.2 9 V = 2.40 m3 ขอ้ 4.5 A = 60 45 40 25 2010 = 2700-1000-200 V = A. h V = 1500120 = 180000 mm3 V = 180 cm3 ขอ้ 4.6 =  12 1.5 V 4 = 3.14 1.5 4 V = 3.92 m3 ขอ้ 4.7 = 12120.4 V V = 0.96 dm3

77 ขอ้ 4.8 = A.h V 3 = 89 V = 72 cm3 ขอ้ 4.9 = A.h V 3 = 23 3 = 2 m3 V = 2 m3 ขอ้ 4.10 = 100 300 V 3 V = 10000 mm3 ขอ้ 4.11 = 10000  1600 Am 2 V = 5800 mm2 = 5800100 = 580000 mm3 V = 580 cm3

ขอ้ 4.12 78 Am = 78.5  314 V 2 = 196.25 cm2 = 196.2510 V = 1962.50 cm3 ขอ้ 4.13 = 16  6 V 3 V = 32 m3 ขอ้ 4.14 400 300  200 = 300300h 3 h = 400  300  200 3 300  300 h = 88.88 mm

79 5. คานวณหามวลและน้าหนกั ของชิ้นงาน ขอ้ 5.1 = v m = 2.710 m m = 27 Kg ขอ้ 5.2 = v m = 8.93 m = 26.70 kg. ขอ้ 5.3 = v m = 7.8100 = 780 kg. m = 780 kg.

80 ขอ้ 5.4 m=  v A = 2 0.25 20.75 0.25 = 0.5+0.375 = 0.875 V = A.h = 0.8758 = 7 dm3 m=  v = 7.857 m = 54.95 kg. ขอ้ 5.5  v m= 8.9610200.008 = m = 14.336 kg ขอ้ 5.6 700+500+600 G= 1800 kg 18000 kg. = = G = 18 KN

81 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรยี น ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตร์เครื่องมือกล รหสั 20102-2005 เวลาเรียนรวม 36 ช่ัวโมง ชอ่ื หน่วย การคานวณความยาว พื้นที่ ปริมาตร และน้าหนกั สอนครั้งท่ี 3-4 ช่ือเร่ือง การคานวณความยาว พน้ื ท่ี ปรมิ าตร และนา้ หนัก จานวน 4 ชว่ั โมง เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน/หลงั เรียน เฉลยคาตอบหนว่ ยที่ 1 กอ่ นเรียน ขอ้ 1 L = 1456 mm ขอ้ 2 L = 1218.66 mm ขอ้ 3 L = 1739.20 mm ขอ้ 4 L = 458.61 mm ขอ้ 5 A = 875 cm2