บทที่5พิกัดเชิงขั้ว

บทที 5 พกิ ดั เชงิ ขวั (Polar coordinates) บรรยายโดย ผศ.ศริ วิ รรณ วาสกุ รี

5.1 ระบบพกิ ดั เชิงข้วั ระบบพิกดั ฉาก ประกอบดว้ ย ระบบพิกดั เชิงข้วั ประกอบดว้ ย เสน้ ตรง 2 เสน้ ที่ตดั กนั เป็นมุมฉาก เสน้ ตรงที่ผา่ นจุด เรียกวา่ แกนเชิง ที่จุดกาํ เนิด เสน้ ตรงแนวนอนของ ข้วั ซ่ึงใชแ้ กน x ทางดา้ นบวก หรือ แกนพิกดั ฉากคือ แกน x และ แกน ของระบบพิกดั ฉากเป็นแกน เสน้ ตรงแนวต้งั ของแกนพิกดั ฉาก เชิงข้วั และเรียกจุดกาํ เนิด วา่ ข้วั คือ แกน y (รูปที่ 1) (รูปท่ี 2)

5.1 ระบบพกิ ดั เชิงข้วั บทนิยามที่ 5.1.1 ระบบพิกดั เชิงข้วั มีส่วนประกอบท่ีสาํ คญั อยู่ 2 ส่วน คือ 1. จุดกาํ เนิด เป็นจุดคงท่ีจุดหน่ึง เขียนแทนดว้ ย O เรียกวา่ ข้วั (Polar) 2. เสน้ คงท่ี หมายถึง รังสีที่มีจุดเร่ิมตน้ ท่ีข้วั O โดยต่อออกไปในแนวราบ มีทิศทางรังสีไปทางขวามือ เรียกวา่ แกนเชิงข้วั (Polar axis)

5.1 ระบบพกิ ดั เชิงข้วั ให้ P เป็นจุดใดๆ บนระนาบ พกิ ดั ของจุด P ในระบบพิกดั เชิงข้วั เขียนแทนดว้ ย (r,) โดยท่ี r แทน ระยะทางจาก O ไป P และ  แทน มุมท่ีวดั จากแกนเชิงข้วั ไปยงั ส่วนของเสน้ ตรง OP   0 (เป็นบวก) เม่ือวดั จากแกนเชิงข้วั ในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา   0 (เป็นลบ) เม่ือวดั จากแกนเชิงข้วั ในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา r  0 (เป็นบวก) เม่ือวดั จากจุดข้วั ไปในทิศเดียวกบั ที่เป็นรังสีของมุม r  0 (เป็นลบ) เมื่อวดั จากจุดข้วั ไปในทิศตรงขา้ มกบั ท่ีเป็นรังสีของมุม

ตวั อยา่ งของการระบุพกิ ดั ของจุด P

5.1 ระบบพกิ ดั เชิงข้วั การระบุตาํ แหน่งของจุด การระบุตาํ แหน่งของจุดในระบบพิกดั เชิงข้วั จาํ เป็นตอ้ งมีจุดคงท่ี เรียกวา่ ข้วั และเสน้ ตรงผา่ นข้วั เรียกวา่ แกนเชิงข้วั ซ่ึงทาํ มุมต่างๆ กนั เช่น 0,  ,  ,  ,  ,... ดงั รูป 6 4 3 2

Y 2 (120 )  (90 )  (60 ) 3 2 3 3 (135 )  (45 ) 4 4 5 (150 )  (30 ) 6 6  (180 ) 0, 2 (360 ) X 7 (210 ) 11 (330 ) 6 6 5 (225 ) 7 (315 ) 4 4 4 (240 ) 3 (270 ) 5 (300 ) 3 2 3

มุมบวก มุมลบ

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องมุมต่างๆ

ตวั อย่างท่ี 5.1.1 จงแสดงพิกดั เชิงข้วั ของจุดต่อไปน้ี (4,  ) , (4,  ) , (4,  4 ) 4 4 และ  (4,  4 )  2 2  3 3 3 4 4 5  6 (4,  ) 6 4 (4,   ) 4 0 (4,  ) (4,  ) 11 4 4 6 7  6 7 4 5 4 5 3 3 4 3 2

ตวั อย่างที่ 5.1.2 จงแสดงพิกดั เชิงข้วั ของจุดต่อไปน้ี (3, 56) , (3, 116) , (3,  6 ) และ (3,  76)  2 2  3 3 3 4 4 5  66 0 7 11 6 6 5 7 4 4 5 4 3 3 3 2

5.2 ความสัมพนั ธ์ระหว่างพกิ ดั ฉากกบั พกิ ดั เชิงข้วั กาํ หนดให้ P เป็นจุดบนระนาบ (x , y) แทนพกิ ดั ฉากของจุด P (r, ) แทนพกิ ดั เชิงข้วั ของจุด P ถา้ ให้ ข้วั ทบั กบั จุดกาํ เนิด o และแกนเชิงข้วั ทบั กบั แกน x ดงั รูป

5.2 ความสัมพนั ธ์ระหว่างพกิ ดั ฉากกบั พกิ ดั เชิงข้วั สูตรท่ี 1 ใชส้ าํ หรับการเปลี่ยน สูตรที่ 2 ใชส้ าํ หรับการเปลี่ยน พกิ ดั ฉากใหเ้ ป็นพิกดั เชิงข้วั พิกดั เชิงข้วั ใหเ้ ป็นพกิ ดั ฉาก cos   xr และ sin  y tan  y และ r2  x2  y2 r x ดงั น้นั x  rcos และ y  rsin

ตวั อย่างท่ี 5.2.1 จงเปล่ียนพิกดั เชิงข้วั (2 , 3 ) ใหเ้ ป็นพกิ ดั ฉาก Y (2, 3 ) OX

ตวั อย่างที่ 5.2.2 จงเปลี่ยนพกิ ดั ฉาก(2 , 2 3) ใหเ้ ป็นพกิ ดั เชิงข้วั Y X (2, 2 3) O

5.3 กราฟและสมการเชิงข้วั สมการเชิงข้วั เป็นสมการท่ีเขียนในรูป r  f () หรือ F(r,)  0 โดย r และ  เป็นตวั แปรในระบบพกิ ดั เชิงข้วั เช่น 1. r  3 2. rcos  1 3. r  2sin 4. r  1  cos กราฟของสมการเชิงข้วั r  f () หรือ F(r,)  0 ประกอบดว้ ยจุด P ในระบบพิกดั เชิงข้วั ซ่ึงจะตอ้ งมีพกิ ดั เชิงข้วั (r,) อยา่ งนอ้ ยหน่ึงพิกดั ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการเชิงข้วั ท่ีกาํ หนดให้

ตวั อย่างที่ 5.3.1 กาํ หนดสมการเชิงข้วั r  3 1. จงเขียนกราฟของสมการเชิงข้วั ท่ีกาํ หนดให้ 2. จงเปล่ียนสมการเชิงข้วั ที่กาํ หนด ใหเ้ ป็นสมการระบบพิกดั ฉาก y (1) กราฟของ r = 3 หมายถึง r = 3 เสมอ 3 โดยท่ี  เปล่ียนไดเ้ ร่ือยๆ ดงั น้นั จะได้ กราฟดงั รูป –3 –3 3 x (2) จาก r=3 จะได้ r2 = 9 จากสูตร r2 = x2 + y2 ดงั น้นั x2 + y2 = 9

ตวั อย่างที่ 5.3.2 จงเปล่ียนสมการในระบบพิกดั ฉาก y 2  4x ใหเ้ ป็นสมการเชิงข้วั วธิ ีทาํ สูตร x  r cos  ; y  r sin  จาก y2  4x จะได้ (r sin )2  4(r cos ) r2 sin2   4 r cos  r2  4 cos  r sin2  r  4(csions)(sin1 ) r  4(cot )(cos ec)

ตวั อย่างที่ 5.3.3 จงเปล่ียนสมการเชิงข้วั r2  4 sin2 ใหเ้ ป็นสมการในระบบพกิ ดั ฉาก

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั 1. คาร์ดิออย์ (Cardioid) มีลกั ษณะคลา้ ยรูปหวั ใจบางทีเรียกวา่ เส้นโคง้ รูปหวั ใจ มี 4 แบบ ดงั น้ี r  a(1  cos ) r  a(1  cos ) r  a(1  sin) r  a(1  sin)

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ตวั อยา่ งกราฟคาร์ดิออย์ (Cardioid) หรอื เสน้ โคง้ รูปหวั ใจ

5.4 กราฟทนี่ ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั 2. ลีมาซอง (Limacon) รูปแบบสมการเชิงข้วั r  a  b sin หรือ r  a  b cos เม่ือ a , b เป็ นค่าคงท่ีใดๆ และ a > 0 , b > 0 ลกั ษณะกราฟของลีมาซองมี 4 แบบตามเงื่อนไขของค่า a และ b ดงั น้ี

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั กราฟของลีมาซอง จะมีตาํ แหน่งเป็นเช่นไรข้ึนอยกู่ บั สมการของลีมาซองวา่ อยใู่ นรูป sin หรือ cos และข้ึนอยกู่ บั เคร่ืองหมาย (+) หรือ () ท่ีปรากฏในสมการน้นั ตาํ แหน่งของ กราฟลีมาซอง มี 4 แบบ ดงั น้ี

5.4 กราฟทนี่ ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ตวั อยา่ งกราฟลีมาซอง

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั 3. เลมนิสเคต (Lemniscate) รูปแบบสมการเชิงข้วั r2   a2 sin 2 และ r2   a2 cos2 กราฟของเลมนิสเคต มีลกั ษณะคลา้ ยเลข 8 ตาํ แหน่งของกราฟจะเป็นเช่นไรข้ึนอยกู่ บั สมการน้นั มีพจน์ sin 2 หรือ cos 2 และข้ึนอยกู่ บั เครื่องหมาย (+) หรือ () ท่ี ปรากฏในสมการน้นั ตาํ แหน่งของกราฟเลมนิสเคต มี 4 แบบ ดงั น้ี

5.4 กราฟทนี่ ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ตวั อยา่ งกราฟเลมนิสเคต

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั 4. เสน้ โคง้ ดอกกหุ ลาบ (Rose Curve) รูปแบบสมการเชิงข้วั r  asin n และr  acosn เมื่อ a ≠ 0 และ n เป็นจาํ นวนนบั โดยท่ี n > 1 กราฟของเสน้ โคง้ ดอกกหุ ลาบ มีความยาวกลีบเท่ากบั | a | หน่วย จาํ นวนกลีบของดอก กหุ ลาบจะมีเท่าไรข้ึนอยกู่ บั ค่าของ n โดยแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ถา้ n เป็นจาํ นวนคี่ แลว้ เสน้ โคง้ ดอกกหุ ลาบจะมีจาํ นวนกลีบเท่ากบั n กลีบ ถา้ n เป็นจาํ นวนคู่ แลว้ เสน้ โคง้ ดอกกหุ ลาบจะมีจาํ นวนกลีบเท่ากบั 2n กลีบ ทิศทางของดอกกหุ ลาบ เทียบกบั แกนเชิงข้วั จะข้ึนอยกู่ บั เคร่ืองหมายของค่าคงที่ a และ ข้ึนอยกู่ บั พจน์ sin n หรือ cosn ที่ปรากฏอยใู่ นสมการดงั น้ี ถา้ เป็น sin n กราฟมีกลีบแรกอยเู่ หนือแกนขวั ไมท่ บั แกน ถา้ เป็น cosn กราฟมีกลีบแรกทบั แกนข้วั และแกนลากผา่ นก่ึงกลางกลีบแรก

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ตวั อยา่ งกราฟเสน้ โคง้ ดอกกหุ ลาบ

5.4 กราฟทน่ี ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั 5. เสน้ เวยี นกน้ หอย (Spiral) รูปแบบสมการเชิงข้วั r =  เมื่อ a ≠ 0 กราฟของเสน้ เวยี นกน้ หอยจะหมุนเวยี นรอบข้วั เป็นจาํ นวนไม่จาํ กดั รอบ โดยมี r เพิ่มข้ึนหรือลดลงอยา่ งไม่มีที่สิ้นสุด กราฟเสน้ เวยี นกน้ หอยจะวนทวนเขม็ นาฬิกา ถา้   0 และวนตามเขม็ นาฬิกา ถา้   0 สาํ หรับค่าคงท่ี a จะควบคุมระยะห่างของเสน้ กราฟ ถา้ a มีขนาดมากเสน้ กราฟ จะวนห่างกนั มาก และถา้ a มีขนาดนอ้ ยเสน้ กราฟจะวนห่างกนั นอ้ ย โดยสรุปกราฟเสน้ เวยี นกน้ หอยมีอยู่ 4 ลกั ษณะดงั น้ี

5.4 กราฟทนี่ ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั 1. ถา้   0 และa  0 กราฟวนทวนเขม็ 3. ถา้   0 และa > 0 กราฟวนทวนเขม็ นาฬิกา และเร่ิมในจตุภาคท่ี 1 นาฬิกา และเริ่มในจตุภาคท่ี 4 2. ถา้   0 และa < 0 กราฟวนทวนเขม็ 4. ถา้   0 และa < 0 กราฟวนทวนเขม็ นาฬิกา และเริ่มในจตุภาคท่ี 3 นาฬิกา และเร่ิมในจตุภาคที่ 2

5.4 กราฟทนี่ ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ตวั อยา่ งกราฟเสน้ เวยี นกน้ หอย เม่ือ   0

กจิ กรรมทาํ ตอนน้ี  นกั ศกึ ษาเปิดแบบฝึกหดั บทท่ี 5  แบง่ กลมุ่ ประมาณ 2 - 3 คน ใหช้ ว่ ยเขยี นคาํ ตอบ แสดงวธิ ที าํ  ดขู อ้ ทไ่ี ดร้ บั มอบหมายตามรหสั นกั ศกึ ษา  โจทยอ์ ยใู่ น Jamboard ใหค้ ลกิ ลงิ คเ์ ฉพาะขอ้ ของเรา แลว้ ชว่ ยกนั ทาํ ใหเ้ วลา 30 นาที  เขยี นคาํ ตอบในกระดาษแลว้ คลกิ เพมิ่ รปู ภาพใน Jamboard กไ็ ด้

5.4 กราฟทนี่ ่าสนใจในระบบพกิ ดั เชิงข้วั ตวั อย่าง จงเขียนกราฟของสมการ r = 5+5cos วธิ ีทาํ พจิ ารณาสมการ r = 5+5cos เม่ือแทน  ดว้ ย   จะได้ r มีค่าเหมือนเดิม เนื่องจาก cos = cos( ) ดงั น้นั กราฟจะสมมาตรกนั แกนเชิงข้วั จะไดค้ ่าของ r เมื่อ  มีค่าระหวา่ ง 0° ถึง 180° ดงั ตาราง ������ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° r 10 9.3 8.5 7.5 5 2.5 1.5 0.67 0

������ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° r 10 9.3 8.5 7.5 5 2.5 1.5 0.67 0 The picture can't be display ed. 120 60 135 45 150 30 180 The picture can't be display ed. 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 The picture can't be display ed. 330 225 315 240 300 270